课时跟踪检测(五十三) 曲线与方程(普通高中) (1)

课时跟踪检测（五十三） 曲线与方程

(一)普通高中适用作业

A 级——基础小题练熟练快

1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线

D ．双曲线右支

解析：选C 根据双曲线的定义知动点P 的轨迹类似双曲线，但不满足2c >2a >0的条件，故动点P 的轨迹是一条射线．

2．(2018·湖南雅礼中学月考)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交线段BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为( )

A.x 212＋y 2

11＝1 B.x 236－y 2

35＝1

C.x 23－y 2

2

＝1 D.x 23＋y 2

2

＝1

解析：选D 圆F 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝12，则圆心F (1,0)，半径r ＝2 3.由已知可得|FB |＝|PF |＋|PB |＝|PF |＋|PA |＝23＞2＝|AF |⇒动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆⇒a ＝

3，c ＝1⇒b 2＝a 2－c 2＝2，所以动点

P 的轨迹方程是x 23＋y 2

2

＝1.

3．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1

的中点P 的轨迹是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

解析：选B 设椭圆的右焦点是F 2，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＞2c ，所以|PF 1|＋|PO |＝1

2

(|MF 1|＋|MF 2|)＝a ＞c ，所以点P 的轨迹是以F 1和O 为焦点的椭圆．

4．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA ―→＝AP ―→

，则点P 的轨迹方程为( )

A ．y ＝－2x

B ．y ＝2x

C ．y ＝2x －8

D ．y ＝2x ＋4

解析：选B 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)， 由RA ―→＝AP ―→

知，点A 是线段RP 的中点，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋x 12＝1，y ＋y 1

2＝0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＝2－x ，

y 1＝－y .

∵点R 是直线l 上的点， ∴－y ＝2(2－x )－4. 即y ＝2x .

5．(2018·安徽六安一中月考)如图，已知F 1，F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2

b 2＝

1(a >b >0)的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为( )

A ．直线

B ．圆

C ．椭圆

D ．双曲线

解析：选B 延长F 2Q ，与F 1P 的延长线交于点M ，连接OQ .因为PQ 是∠F 1PF 2的外角的角平分线，且PQ ⊥F 2M ，所以在△PF 2M 中，|PF 2|＝|PM |，且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点，由三角形

的中位线定理，得|OQ |＝12|F 1M |＝1

2(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，

所以|OQ |＝a ，所以点Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为a 的圆，故选B.

6．已知正方形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且|OD |＝|BE |，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是( )

A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)

B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)

C ．y ＝x 2(0≤x ≤1)

D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1)

解析：选A 设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的方程为x ＋y

λ＝1(0≤x ≤1)，

线段OE 的方程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，

y ＝(1－λ)x ，0≤x ≤1(λ为参数)，消去

参数λ得点G 的轨迹方程为y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)．

7．已知定点A (4,0)和圆x 2＋y 2＝4上的动点B ，动点P (x ，y )满足OA ―→＋OB ―→＝2OP ―→

，

则点P 的轨迹方程为________．

解析：设B (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋x 0＝2x ，y 0＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧

x 0＝2x －4，

y 0＝2y ，

代入圆方程得(2x －4)2＋4y 2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1. 答案：(x －2)2＋y 2＝1

8．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹方程为____________．

解析：设Q (x ，y )．因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4， 所以⎝⎛⎭⎫MN 22

＋|x |2＝|AQ |2

，

所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x . 所以动圆圆心Q 的轨迹方程是y 2＝4x . 答案：y 2＝4x

9．(2018·河北衡水一模)已知点Q 在椭圆C ：x 216＋y 210＝1上，点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋

OQ ―→

)(其中O 为坐标原点，F 1为椭圆C 的左焦点)，则点P 的轨迹方程为_________________．

解析：因为点P 满足OP ―→＝12(OF 1―→＋OQ ―→

)，所以点P 是线段QF 1的中点．设P (x ，y )，

由F 1为椭圆C ：x 216＋y 2

10＝1的左焦点，得F 1(－6，0)，故Q (2x ＋6，2y )，又点Q 在椭圆

C ：x 216＋y 2

10＝1上，则点P 的轨迹方程为

(2x ＋6)2

16

＋(2y )2

10

＝1，即⎝

⎛⎭⎫x ＋622

4

＋2y 25

＝1.

答案：

⎝

⎛⎭⎫x ＋622

4

＋2y 25

＝1

10．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________________．

解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，所以|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 2

4

＋