(整理)多元函数积分学39918.
（整理）多元函数积分
（整理）多元函数积分多元函数积分1. 利用积分区域的对称性化简多元函数的积分1.1 利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分题型一计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分类型（一）计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分常用下述命题简化计算二重积分.命题1 若f(x,y)在积分区域D 上连续，且D 关于y 轴（或x 轴）对称，则（1）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的奇函数时，有??=Ddxdy y x f 0),(；（2）f(x,y)是D 上关于x （或y ）的偶函数时，有=D D dxdy y x f dxdy y x f 1),(2),(；其中D 1是D 落在y 轴（或x 轴）一侧的那一部分区域.命题2 若D 关于x 轴、y 轴对称，D 1为D 中对应于x ≥0,y ≥0（或x ≤0,y ≤0）的部分，则-=--=-=-=D D y x f y x f y x f y x f y x f y x f dxdy y x f dxdy y x f ).,(),(),(,0),,(),(),(,),(4),(1或命题3 设积分区域D 对称于原点，对称于原点的两部分记为D 1和D 2.（1）;),(2),(),,(),(1==--D D d y x f d y x f y x f y x f σσ则若（2）.0),(),,(),(??=-=--Dd y x f y x f y x f σ则若命题4 积分区域D 关于y x ,具有轮换对称性，则+==DD D d x y f y x f d x y f d y x f σσσ)],(),([21),(),( 记D 位于直线y=x 上半部分区域为D 1,则-===D D y x f x y f y x f x y f dxdy y x f dxdy y x f ),,(),(,0),,(),( ,),(2),(1类型（二）计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的三重积分.常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算.命题1若Ω关于xOy 平面对称，而Ω1是Ω对应于z ≥0的部分，则Ω∈?=-Ω∈?--=-=ΩΩ;),,(),,,(),,(,),,(2,),,(),,,(),,(,0),,(1z y x z y x f z y x f d z y x f z y x z y x f z y x f d z y x f υυ 若Ω关于yOz 平面（或zOx 平面）对称，f 关于x （或y ）为奇函数或偶函数有类似结论.命题2 若Ω关于xOy 平面和xOz 平面均对称（即关于x 轴对称），而Ω1为Ω对应于z ≥0,y ≥0的部分，则=ΩΩ为奇函数；或关于，当为偶函数，关于当z y f z y f d z y x f d z y x f 0,,),,(4),,(1υυ 若Ω关于xOz 平面和yOz 平面均对称（即关于z 轴对称），或者关于xOy 平面和yOz 平面均对称，那么也有类似结论.命题3 如果积分区域Ω关于三个坐标平面对称，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，则=ΩΩ为奇函数；或或关于，当均为偶函数，关于当z y x f z y x f d z y x f d z y x f 0,,,),,(8),,(1υυ 命题4 若积分区域Ω关于原点对称，且被积函数关于x,y,z 为奇函数，即.0),,(),,,(),,(=----=Ωυd z y x f z y x f z y x f 则题型三计算积分区域具有轮换对称性的三重积分命题5 如果积分区域关于变量x,y,z 具有轮换对称性（即x 换成y,y 换成z,z 换成x ，其表达式不变），则ΩΩΩΩ++===υυυυd y x z f x z y f z y x f d y x z f d x z y f d z y xf )],,(),,(),,([31),,(),,(),,(.1.2 利用积分区域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分类型（一）计算积分曲线具有对称性的第一类曲线积分命题1.2.1 设曲线L 关于y 轴对称，则=??，0,),(2),(1L L ds y x f s d y x f 是奇函数，关于是偶函数，关于x y x f x y x f ),(),( 其中L 1是L 在x ≥0的那段曲线，即L 1是L 在y 轴右侧的部分；若曲线L 关于x 轴对称，则有上述类似结论.命题1.2.2 设f(x,y)在分段光滑曲线L 上连续，若L 关于原点对称，则=??，LL ds y x f s d y x f ),(2,0),( 为偶函数，关于若为奇函数，关于若),(),(),(),(y x y x f y x y x f 其中L 1为L 的右半平面或上半平面部分.类型（二）计算积分曲面具有对称性的第一类曲面积分第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分类似，可利用下述命题简化计算.命题1.2.3 设积分曲面Σ关于yOz 对称，则=∑∑1),,(2,0),,(dS z y x f dS z y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当x z y x f x z y x f ),,(),,( 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.若Σ关于另外两坐标面有对称性，则有类似结论.注意不能把Σ向xOy 面上投影，因第一类曲面积分的Σ投影域面积不能为0.题型二计算平面积分曲线关于y=x 对称的第一类曲线积分命题1.2.4 若L 关于直线y=x 对称，则??=L Lds x y f ds y x f ),(),(. 题型三计算空间积分曲线具有轮换对称性的第一类曲线积分命题1.2.5 若曲线Γ方程中的三变量x,y,z 具有轮换对称性，则ΓΓΓΓΓΓ====ds z ds y ds x zds yds xds 222,. 1.3 利用积分区域的对称性化简第二类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反，有下述结论.命题1.3.1 设L 为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)连续，（1）L 关于y 轴对称，L 1是L 在y 轴右侧部分，则=??,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为偶函数；关于若为奇函数，关于若x y x P x y x P ),(),( =??,),(2,0),(Q 1L L dy y x Q dy y x .),(),(为奇函数关于若为偶函数，关于若x y x Q x y x Q （2）L 关于x 轴对称，L 1为L 在x 轴上侧部分，则=??,),(2,0),(1L L dx y x P dx y x P 为奇函数；关于若为偶函数，关于若y y x P y y x P ),(),( =??,),(2,0),(1L L dy y x Q dy y x Q .),(),(为偶函数关于若为奇函数，关于若y y x Q y y x Q （3）L 关于原点对称，L 1是L 在y 轴右侧或x 轴上侧部分，则+=+,2,0),(),(1L L L Qdy Pdx dy y x Q dx y x P .),(),(),,(),(),(),,(为奇函数关于若为偶函数，关于若y x y x Q y x P y x y x Q y x P （4）L 关于y=x 对称，则.),(),(),(),(),(),(+-=+=+-LL L dx x y Q dy x y P dx x y Q dy x y P dy y x Q dx y x P 即若L 关于y=x 对称，将x 与y 对调，则L 关于直线y=x 翻转，即L 化为L —.因而第二类曲线积分没有轮换对称性.题型二计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分命题1.3.2 设Σ关于yOz 面对称，则=∑∑,0,),,(2),,(1dydz z y x P dydz z y x P .),,(),,(为偶函数关于当为奇函数，关于当x z y x P x z y x P 其中Σ1是Σ在yOz 面的前侧部分.这里对坐标y 和z 的第二类曲面积分只能考虑Σ关于yOz 面的对称性，而不能考虑其他面，这一点也与第一类曲面积分不同.2. 交换积分次序及转换二次积分题型一交换二次积分的积分次序※直接例题，无讲解.题型二转换二次积分转换二次积分是指将极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分转换成直角坐标系（或极坐标系）下的二次积分.由极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分的内外层积分限写出相应的二重积分区域D 的极坐标（或直角坐标）表示，再确定该区域D 在直角坐标系（或极坐标系）中的图形，然后配置积分限.3. 计算二重积分题型一计算被积函数分区域给出的二重积分含绝对值符号、最值符号max 或min 及含符号函数、取整函数的被积函数，实际上都是分区域给出的函数，计算其二重积分都需分块计算.题型二计算圆域或部分圆域上的二重积分当积分区域的边界由圆弧、过原点的射线（段）组成，而且被积函数为)(22y x f y x m n +或)/(x y f y x m n 的形状时，常作坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，利用极坐标系计算比较简单.为此，引进新变量r,θ,得到用极坐标（r ，θ）计算二重积分的公式：=')sin ,cos (),(D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ （其中rd θdr 是极坐标系下的面积元素）. 用极坐标系计算的二重积分，就积分区域来说，常是圆域（或其一部分）、圆环域、扇形域等，可按其圆心所在位置分为下述六个类型（其中a,b,c 均为常数）.类型（一）计算圆域x 2+y 2≤a 上的二重积分. 类型（二）计算圆域x 2+y 2≤2ax 上的二重积分.类型（三）计算圆域x 2+y 2≤-2ax 上的二重积分.类型（四）计算圆域x 2+y 2≤2ay 上的二重积分.类型（五）计算圆域x 2+y 2≤-2ay 上的二重积分.类型（六）计算圆域x 2+y 2≤2ax+2by+c 上的二重积分.4. 计算三重积分题型一计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分当积分区域Ω主要由平面围成时，宜用直角坐标系计算，如果积分区域Ω的边界方程中含某个坐标变量的方程只有两个，则可先对该坐标变量积分。
多元函数积分知识点总结
多元函数积分知识点总结1. 多元函数的概念多元函数是指至少含有两个自变量的函数，它是自变量的多项式和、积、商或者反函数的复合函数。
多元函数的自变量可以是实数，也可以是复数。
例如，z=f(x,y)表示一个含有两个自变量的函数，其中x和y称为自变量，z称为因变量。
多元函数的图形通常是在三维坐标系中表示的，它描述了自变量之间的关系和对因变量的影响。
2. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数的积分具有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域中都有重要应用。
多元函数的积分包括二重积分和三重积分两种重要形式。
3. 二重积分二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的面积进行求和。
二重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
二重积分的求解可以利用极坐标、直角坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
4. 三重积分三重积分是对三元函数在给定区域上的积分运算，它可以表示为对函数在该区域上的体积进行求和。
三重积分的计算通常涉及到对区域进行分割、确定积分范围、选择合适的坐标系等步骤。
三重积分的求解可以利用柱面坐标、球面坐标等不同坐标系进行计算，根据具体问题的情况选择合适的坐标系可以简化计算过程。
5. 多元函数的积分性质多元函数的积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加性、区域可加性等。
其中线性性质指的是积分运算满足线性运算规律，可加性指的是积分在不同区域的和等于对整个区域的积分，区域可加性指的是积分在求和区域上的分割等价性。
这些性质在多元函数积分的计算中起着重要的作用，可以帮助简化计算过程和求得精确解。
6. 多元函数的变限积分多元函数的变限积分是对多元函数在变化区域上的积分运算，它可以表示为对函数在变限区域上的所有微小部分进行求和。
多元函数微积分汇总
多元函数微积分汇总一、多元函数的极限对于多元函数，其极限的定义与一元函数相似。
设有一个二元函数，如果对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当点(x,y)满足0＜√[(x-a)²+(y-b)²]＜δ 时，必有，f(x,y)-A，＜ε成立，那么常数A是这个二元函数f(x,y)在点(x,y)处的极限，记作lim_(x,y)→(a,b)(f(x,y))=A。
类似地，也可以定义其它维度函数的极限。
二、多元函数的连续性在多元函数中，连续性的定义也与一元函数相似。
若多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处极限存在且等于f(x0,y0)，则称多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。
对于多元函数来说，全体连续点的集合称为多元函数的连续域。
三、多元函数的可微性多元函数的可微性与一元函数的可微性有一些差异。
设有一个二元函数f(x,y)，如果对于任意给定的（Δx,Δy）,有f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)=AΔx+BΔy+o(√Δx²+Δy²)其中A和B为常数，那么称二元函数f(x,y)在点(x,y)处可微。
类似地，对于三元、四元或n元函数也可以定义可微性。
四、多元函数的偏导数对于多元函数，其偏导数是指函数在其中一变量上的导数，而把其他变量视为常数。
例如，对于二元函数f(x,y)，其对于变量x的偏导数记为∂f/∂x。
偏导数描述了函数在其中一方向上的变化率。
五、多元函数的全微分全微分是指多元函数的微分与偏导数之间的关系。
对于二元函数f(x,y)，其全微分df可表示为df=∂f/∂x*dx+∂f/∂y*dy。
全微分可用于描述函数的微小变化。
六、多元函数的方向导数方向导数是指多元函数在其中一方向上的变化率。
给定一个二元函数f(x,y)和一个单位向量u=(cosθ, sinθ)，函数f(x,y)在点(x0,y0)处沿着方向u的方向导数定义为D_uf(x0,y0)=∂f/∂x * cosθ + ∂f/∂y * sinθ七、多元函数的梯度多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小为变化率的最大值。
第八讲 多元函数积分学知识点
第八讲 多元函数积分学知识点一、二重积分的概念、性质1、 ∑⎰⎰=→∆=n i i i i d D f dxdy y x f 10),(lim ),(δηξ ，几何意义：代表由),(y x f ，D 围成的曲顶柱体体积。
2、性质：（1）=⎰⎰D dxdy y x kf ),(⎰⎰Ddxdy y x f k ),(（2）[]⎰⎰+D dxdy y x g y x f ),(),(=⎰⎰D dxdy y x f ),(+⎰⎰D dxdy y x g ),( （3）、D dx d y D =⎰⎰（4）21D D D +=,⎰⎰D dxdy y x f ),(=⎰⎰1),(D dxdy y x f +⎰⎰2),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤，则≤⎰⎰D dxdy y x f ),(⎰⎰Ddxdy y x g ),(（6）若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤⎰⎰),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续，则至少存在一点D ∈),(ηξ，使=⎰⎰D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ二、计算 （1） D:)()(,21x y x b x a ϑϑ≤≤≤≤⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x ba D dy y x f dx dxdy y x f ϑϑ （2） D ：)()(,21y x y d y c ϕϕ≤≤≤≤，⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ϑϕ 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围（3）极坐标下：θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos⎰⎰⎰⎰=)(0)sin ,cos (),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分1、第一型曲线积分的计算（1）若积分路径为L ：b x a x y ≤≤=),(φ，则 ⎰L ds y x f ),(=dx x x x f ba ⎰'+2))((1))(,(φφ （2）若积分路径为L ：d y c y x ≤≤=),(ϕ，则⎰L ds y x f ),(=dy y y y f dc ⎰'+2))((1)),((ϕϕ （3）若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕφ，βα≤≤t ，则⎰L ds y x f ),(=dt t t t t f ⎰'+'βαϕφϕφ22))(())(())(),(( 2、第二型曲线积分的计算（1） 若积分路径为L ：)(x y φ=，起点a x =,终点b y =，则⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dx x x x Q x x P ba ⎰'+)())(,())(,(φφφ （2） 若积分路径为L ：)(y x ϕ=，起点c y=，终点d y =，则 ⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dy y y Q y y y P d c⎰+')),(()())),((ϕϕϕ （3） 若积分路为L ：⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕφ，起点α=t ，终点β=t ，则⎰=+L dy y x Q dx y x P ),(),([]dt t t t Q t t t P ⎰'+'βαϕϕφφϕφ)())(),(()())(),((。
第九章多元函数的积分学
第9章 多元函数的积分学第一节 重积分的概念与性质一、重积分的概念引例1 曲顶柱体的体积曲顶柱体是指底是xOy 面上的有界闭区域D ，它的侧面是以D 的边界为准线而母线平行于z 轴的柱面的一部分，它的顶面是曲面),(y x f z =，D y x ∈),(，且0),(≥y x f 为D 上的连续函数，如图所示，现在我们讨论如何计算上述曲顶柱体的体积V 。
（1）分割区域D ：任取一组曲线网将区域D 分割成n 个小闭区域：1D ∆，2D ∆，…，i D ∆，…，n D ∆，（2）近似代替：在i D ∆中任取一点),(i i ηξ，用i σ∆表示i D ∆的面积，则以i D ∆为底，以),(i i f ηξ为高的平顶柱体的体积为：i i i f σηξ∆),(，于是有i i i i f V σηξ∆≈∆),( ),,2,1(n i =（3）作和：∑∑==∆≈∆=ni i i i n i i f V V 11),(σηξ。
（4）取极限：记}{max 1i ni d ≤≤=λ，当λ趋于零时，∑=→∆=ni iiif V 1),(limσηξλ引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的有界闭区域D ，它在点),(y x 处的面密度为0),(≥y x ρ,且在D 上连续，现在要计算该薄片的质量M 。
首先作分割，将薄片任意分成n 个小块，在i D ∆上任取一点),(i i ηξ，用i σ∆表示i D ∆的面积，就可得到每个小块薄片质量i M ∆的近似值：i i i σηξρ∆),( ),,2,1(n i = 再通过求和即得平面薄片质量的近似值：∑∑==∆≈∆=ni iiin i iM M 11),(σηξρ，记}{max 1i ni d ≤≤=λ，则∑=→∆=ni iiiM 1),(limσηξρλ。
1.二重积分的定义定义 1 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域D 任意分割成n 个小闭区域1D ∆，2D ∆，…，i D ∆，…，n D ∆，并用i σ∆表示第i 个小闭区域i D ∆的面积。
多元函数微积分学总结
多元函数微积分学总结多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究多个变量之间的关系以及对这些变量的变化进行分析和计算。
本文将对多元函数微积分学的主要内容进行总结，并介绍常见的方法和技巧。
一、空间坐标系和极坐标系在多元函数微积分学中，我们通常使用空间坐标系和极坐标系来描述多维空间中的点和曲线。
空间坐标系是由三个相互垂直的坐标轴x、y、z组成，用来表示三维空间中的点。
我们可以通过向量运算、平面的方程等方式来研究空间中的曲线、曲面以及相关的计算方法。
极坐标系是在平面上建立的坐标系，由极径r和极角θ组成。
极坐标系可以用来描述平面上的点和曲线，通过坐标变换的方法可以与空间坐标系进行转换。
二、多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性是多元函数微积分学的基础概念。
类似于一元函数的极限和连续性，多元函数的极限和连续性也可以通过定义、性质等方式进行研究和计算。
对于多元函数的极限，我们需要考虑函数在不同方向上的极限以及函数在某点处的极限。
通过使用极限的定义和极限运算法则，我们可以判断多元函数在某点处的极限是否存在，并进行具体的计算。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，即函数在某点附近的函数值和极限值之间存在一个足够小的常数δ，使得当自变量的取值在这个常数范围内时，函数值的变化足够小。
通过使用连续函数的定义和连续性的性质，我们可以判断多元函数在某点处是否连续，并进行具体的计算。
三、多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数变化的重要工具，在微积分学中有着广泛的应用。
对于多元函数的偏导数，我们可以通过定义和偏导数的性质来进行计算。
偏导数可以表示函数在某个方向上的变化率，它在多个方向上的值决定了函数的变化趋势和比例。
通过计算偏导数和一阶偏导数的矩阵，我们可以得到多元函数的梯度，进而进行更复杂的分析和计算。
多元函数的全微分则广义地描述了函数在某一点附近的变化情况。
全微分可以通过偏导数和偏导数向量的运算来进行计算，并可以表示函数值的一个线性近似。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的一个重要分支，研究的是多个变量的函数在特定区域上的积分计算和性质。
在实际问题中，我们经常需要求解多元函数的积分，以求得面积、体积、质量等物理量。
本文将对多元函数积分学的基本概念、计算方法和应用进行总结和介绍。
一、多元函数积分的基本概念1. 二重积分二重积分是多元函数积分学中最基本的概念之一。
它表示在二维平面上的一个有界区域上对函数进行积分。
二重积分的计算可以通过投影到坐标轴上的两个一元积分来实现。
根据积分区域的形状和函数性质的不同，二重积分可以分为类型I和类型II两种。
•类型I：积分区域为矩形、正方形或一般的可由直线分割成有限个矩形的区域。
•类型II：积分区域不属于类型I的情况，一般需要进行变量替换或极坐标转化来简化计算。
2. 三重积分三重积分是对三维空间内的函数进行积分。
它可以用于计算体积、质量、重心等与物体形状和密度有关的物理量。
三重积分的计算方法较为复杂，一般需要采用适当的坐标变换或者使用球坐标、柱坐标等不同坐标系下的积分公式来进行计算。
二、多元函数积分的计算方法1. Fubini定理Fubini定理是多元函数积分计算的基础定理之一。
它建立了二重积分和三重积分之间的关系，使得计算复杂多元函数积分时可以拆分为若干个简单的积分。
Fubini定理主要有两种形式：对于矩形区域上的二重积分，可以通过交换积分次序将其转化为两次一元积分。
对于空间区域上的三重积分，也可以利用类似的方法进行计算。
2. 极坐标和球坐标对于具有相关几何特性的问题，使用极坐标和球坐标可以简化多元函数积分的计算过程。
极坐标常用于计算平面上的二重积分，而球坐标常用于计算空间中的三重积分。
通过引入极坐标或球坐标的坐标变换，我们可以将原积分区域变换为一个更简单的形式，从而简化积分计算。
在实际应用中，灵活运用极坐标和球坐标可以大大提高计算效率。
三、多元函数积分的应用多元函数积分在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用。
(整理)第六章多元函数积分1
第六章 多元函数积分学一．重积分例1：将⎰⎰=Dd y x f I σ),(用两种积分次序表为二次积分。
（1）D ：由曲线1,21,0,8222====+y y x y y x 所围； （2）⎩⎨⎧≤≤-≤≤axy x ax ax D 2220:2例2：交换二次积分⎰⎰xdy y x f dxsin 020),(π的顺序。
例3：计算二次积分⎰⎰xxdy yxdx 2sin21π⎰⎰+2422sinxdy yxdx π例4：计算二次积分+⎰⎰--yxR y dx e dy e 0222⎰⎰---22222y R x RR ydx edy e例5：计算二重积分⎰⎰=Dydxdy I ，其中D 是由直线2,0,2==-=y y x 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域。
（答案：24π-）例6：计算二重积分⎰⎰-=Ddxdy x y I 2，其中D 是由直线2,1,1=-==y x x 和x 轴所围成的平面区域。
（答案：352+π） 例7：设)(t f 在),0[+∞上连续，且 +=1)(t f ⎰⎰≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22242221t y x dxdy y x f 求)(t f （答案：24)(t e t f π=）例8：设闭区域D ：.0,22≥≤+x y y x ),(y x f 为D 上的连续函数，且 ---=221),(y x y x f ()⎰⎰Ddudv v u f ,8π求),(y x f （答案：---=221),(y x y x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32234ππ） 例9：计算二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x I 22，其中D 由圆轴及直线x x y x y x ==+,222所围成的平面区域。
（答案：2910） 例10：设D 是xoy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限部分，则⎰⎰+Ddxdy y x xy )sin cos (等于)(A ⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x )(B ⎰⎰12D xydxdy)(C ⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy 0)(D例11：计算⎰⎰++++++=Ddxdy y x x x y y I 22211ln 1）（ 其中}01{22≥≤+=y y x y x D ，），（。
第十一章 多元函数的积分学(最全)word资料
第十一章多元函数的积分学1. 计算下列二重积分：(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，．2 . 将二重积分化为不同顺序的累次积分：(1) 由轴与所围成；(2) 由及所围成；(3) 由和围成；(4) ．3 .改变下列累次积分的次序：(1) ；(2) ；(3) ．4 .设在所积分的区域上连续，证明．5. 计算下列二重积分：(1) ( ), 是由围成的区域；(2) 是由和围成的区域；(3) ：；(4) ：；(5) 由所围成；(6) 由所围成；(7) 是以和为顶点的三角形；(8) 由和所围成．6. 求下列二重积分：(1) ；(2) ；(3) ．7. 用极坐标变换将化为累次积分：(1) ：半圆；(2) ：半环；(3) ：圆；(4) ：正方形．8. 用极坐标变换计算下列二重积分：(1) ：；(2) 是圆的内部；(3) 由双纽线围成；(4) 由阿基米德螺线和半射线围成；(5) 由对数螺线和半射线围成．9. 在下列积分中引入新变量，将它们化为累次积分：(1) 若；(2) ( ) ，若；(3) ，其中＝，若；(4) ，其中＝( ) ，若．10 .作适当的变量代换，求下列积分：(1) 是由围成的区域；(2) 由围成；(3) 由围成．11 、利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1) ；(2) ；(3) 球面与圆柱面（）的公共部分；(4) ( ) ；(6) ；(6) ．第十一章调用外部程序组件概览在ABAP/4 中，有多种使事务模块化的选项可供选择。
这些选项包括所有可以调用程序外部代码组件的方法。
这些外部组件可以是功能模块、其它事务、对话模块或报表。
内容嵌入程序调用.................................................................................................................................. １外部程序和滚动区 ..................................................................................................................... １外部程序和LUW 处理 ............................................................................................................... １调用功能模块.................................................................................................................................. ２访问功能库.................................................................................................................................. ２进行调用 ..................................................................................................................................... ２使用功能模块接口 ..................................................................................................................... ２处理例外情况 ............................................................................................................................ ３调用其它事务.................................................................................................................................. ４转到事务 ..................................................................................................................................... ４调用事务 ..................................................................................................................................... ４调用与调用程序共享SAP LUW 的事务 ................................................................................... ４调用对话模块.................................................................................................................................. ４运行时执行对话模块.................................................................................................................. ４用事务作为对话模块.................................................................................................................. ４提交报表........................................................................................................................................... ５向报表传送数据......................................................................................................................... ６保存或打印报表......................................................................................................................... ７在程序间传送数据........................................................................................................................... ７用SPA/GPA 参数传送数据...................................................................................................... ７详细信息，参见：嵌入程序调用(页１)调用功能模块(页２)调用其它事务(页４)调用对话模块(页４)提交报表(页５)在程序间传送数据(页７)嵌入程序调用外部程序组件由系统进行维护，对所有程序都可用。
多元函数积分学课件
解析
首先将二重积分拆分为两个定积 分，然后分别进行计算。
答案
$frac{4}{9}$
答案
$-frac{1}{6}$
解析
同样拆分二重积分，然后进行计 算。
例题2
计算$int_{0}^{1}int_{0}^{y}(x y)dxdy$
三重积分习题与解析
例题1
计算 $int_{0}^{1}int_{0}^{1}int_{0}^{x}xydzdxdy $
传导问题。
在几何中的应用
曲面面积和体积计算
积分可以用来计算曲面的面积和三维物体的体积，这在几何学中 非常重要。
曲线积分
在几何学中，曲线积分被用来计算曲线长度、面积和线段上的变化 量。
参数曲线和曲面
参数曲线和曲面可以用积分表示，这有助于研究几何对象的形状和 性质。
在工程中的应用
流体动力学
在航空航天、船舶和车辆设计中 ，积分被用来计算流体动力学效 应，如压力分布、速度场和流线 。
多元函数积分学课件
目 录
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的计算方法 • 多元函数积分的几何意义 • 多元函数积分的性质与定理 • 多元函数积分的应用 • 多元函数积分习题与解析
01
多元函数积分学概述
定义与性质
定义
多元函数积分学是研究多元函数的积 分及其性质的一门学科，其基础概念 包括二重积分、三重积分、曲线积分 和曲面积分等。
计算步骤
首先确定积分区域，然后选择合适的 积分次序，最后根据定积分的计算公 式进行计算。
曲线上的第一类曲线积分计算
定义
第一类曲线积分是计算曲线上的函数值 与其对应的参数的乘积的积分，即求曲 线上的一个物理量（如质量、热量等） 的分布情况。
多元函数积分学总结
多元函数积分学总结引言多元函数积分学是微积分的重要分支，研究具有多个变量的函数的积分。
它在物理、工程、经济学等领域都有广泛的应用。
本文旨在总结多元函数积分学的基本概念、技巧和应用。
一、多重积分1.二重积分二重积分即对二元函数在一个有界区域上的积分。
它可以通过将区域分割成小的矩形，并在每个矩形中求函数值乘以该矩形的面积，再将所有矩形的面积相加而得到。
二重积分的计算可以使用极坐标、换元法等方法来简化计算过程。
2.三重积分三重积分即对三元函数在一个有界区域上的积分。
类似于二重积分，三重积分可以通过对区域进行分割，并在每个小的立体元中求函数值乘以立体元的体积，再将所有立体元的体积相加而得到。
三重积分的计算可以使用柱坐标、球坐标等方法来简化计算过程。
3.多重积分的性质–可加性：多重积分具有可加性，即对于函数的积分，可以将区域分割成多个子区域，分别在每个子区域上计算积分，再将这些积分相加。
–定积分的值与路径无关：对于连续函数，在一个闭合曲线上的积分与路径无关，只与路径所围成的区域有关。
二、重要定理1.Fubini定理Fubini定理是二重积分和三重积分的重要定理，它可以将多重积分转换为一重积分的形式，简化积分计算的过程。
2.Green公式和Stokes定理Green公式和Stokes定理是两个重要的向量积分定理。
它们描述了曲线积分和曲面积分与散度、旋度之间的关系。
3.Gauss公式Gauss公式是一个重要的体积积分定理，它表明了三维空间中的散度与体积分之间的关系。
这个定理在电磁学和流体力学中有广泛的应用。
三、应用实例1.质量和质心多重积分在质量和质心的计算中有广泛的应用。
通过将物体划分为无穷小的微元，可以通过多重积分计算物体的总质量和质心的位置。
2.引力和电场的计算在物理学中，多重积分可以用于计算引力和电场的作用。
通过计算物体上的质量或电荷在空间中的分布，可以使用多重积分来求解引力或电场的强度。
3.概率密度函数和统计分析在概率论和统计学中，概率密度函数描述了随机变量的概率分布。
多元函数积分学及其应用
D
➢性质4（比较性）
如果在G上f P h P ,则有
G f P dg G h P dg
特别地，由于 f (P) f (P) f (P)，
故有 G f P dg G f P dg
定积分
b
a
f
xdx
b
a
h
x dx
二重积分： f ( x, y)d h( x, y)d
G f P dg G h P dg
b
a [
f
(x)
g( x)]dx
b
a
f
x dx
b
a
g
x dx
[ f ( x, y) g( x, y)]d f ( x, y)d g( x, y)d
D
D
D
➢性质2（区域可加性）
若G分为两部分G G1 G2,G1 G2 ,
则 G f P dg G1 f P dg G2 h P dg
称为对弧长的曲线积分
n
f f( x,Py)ddsg G L
lim 0 i1
f (i ,i )si
n
L(或f( x)称, y为, z积)d分s路径l，imd0si称1为f弧(长i ,元i素,. i )si
（5）当G为空间有限曲面片（常记为∑）时，
f (P) f ( x, y, z)，( x, y, z) ，
薄板的质量
m lim 0 i1
f (Mi ) i
均可由相同形式的和式极限来确定.
一般地，设有一质量非均匀分布在某一
几何形体G上的物体 (G可以是直线段、 平面或空间区域、一片曲面或一段曲线),
其质量可以按照以上四个步骤来计算：
【分割】 把G任意划分为n个子域
《多元函数积分学》课件
物理应用
重积分在物理中有广泛的应用，如计 算物体的质量、质心、转动惯量等物 理量，还可以用来解决流体动力学、 弹性力学等领域的问题。
数值分析应用
重积分在数值分析中有重要的应用， 如数值积分、数值微分等计算方法的 实现都需要用到重积分的知识。
04 曲线积分与曲面积分
曲线积分的概念与性质
总结词
理解曲线积分的定义和计算方法，掌握其在几何和物理问题中的应用。
总结词
掌握多元函数的可积性和积分的基本性 质是理解多元函数积分学的重要环节。
VS
详细描述
可积性的判定条件和积分的基本性质（如 线性性质、可加性、不等式性质等）是多 元函数积分学中的核心知识点，对于理解 和应用积分具有重要意义。
多元函数积分的计算方法
总结词
掌握多元函数积分的计算方法是学习多元函数积分学的关键。
《多元函数积分学》ppt课件
• 多元函数积分学概述 • 多元函数积分的基本概念 • 重积分 • 曲线积分与曲面积分 • 多元函数积分学的应用
01 多元函数积分学概述
多元函数积分学的定义
定义
多元函数积分学是研究多元函数 的积分、微分和微积分基本定理 的一门学科。
多元函数
一个数学函数，其中自变量不止 一个，即函数的输入和输出都是 向量或更高维度的几何对象。
计算多维工程结构的热传导和流 体流动
在工程中，很多问题需要考虑多维工程结构的热传导和 流体流动，如热力管道、流体机械等。多元函数积分学 可以用来计算这些结构的热传导和流体流动。
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积分
对一个函数在某个区域上的所有 点的值进行加权求和，权值由该 点的坐标决定。
多元函数积分学的重要性
解决实际问题
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第十章 重 积 分第一节 二重积分的概念与性质习题A一．填空与选择1．比较()21DI x y d σ=+⎰⎰，()32DI x y d σ=+⎰⎰大小(1)若D 由x 轴，y 轴与直线1=+y x 围成，则在D 上(2) 若D 由22(2)(1)2x y -+-=围成，则在D 上2．设⎰⎰=I Dd y x f ,),(σ若(),1f x y x y =++，区域D 为01x ≤≤，02y ≤≤,则在D上该积分的估计值为 ．3．设平面区域D 由直线0=x ，0=y ，21=+y x ，1=+y x 围成，若 ()71ln DI x y dxdy =+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，()72DI x y dxdy =+⎰⎰，()73sin DI x y dxdy =+⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 则1I ，2I ，3I 之间的关系是___________ ．（A ）321I I I <<； （B ）123I I I <<； （C ）231I I I <<； （D ）213I I I <<．二． 设),(y x f 在闭区域2222:1x yD a b +≤上连续，求证：00(,)lim(0,0)Da b f x y d f abσπ++→→=⎰⎰习题B 判断⎰⎰≤+≤+122)ln(y x r dxdy y x的符号.第二节 二重积分的计算法（一）利用直角坐标计算二重积分习题A一．填空与选择 1．交换积分次序._____________________),(10=⎰⎰y ydx y x f dy2．交换积分次序2222202(,)(,)x I dx f x y dy dx f x y dy =+=⎰⎰⎰⎰若(),f x y xy =，则I = ． 3．_______________222=⎰⎰-xy dy e dx，10sin yx dy dx x⎰___________=． 4．交换二次积分⎰⎰10xx2dx f(x,y)dy 的积分次序，它等于( )．(A)⎰⎰10yy 2dy f(x,y)dx (B)⎰⎰1y y2dy f(x,y)dx(C) ⎰⎰10x x2dy f(x,y)dx (D) ⎰⎰1y y2dx f(x,y)dy二．化二重积分(,)DI f x y dxdy =⎰⎰为累次积分（按两种不同的积分次序），其中积分区域D 由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x =>围成．并计算22,Dx dxdy y ⎰⎰三．计算下列二重积分1． cos()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中D 是顶点分别为()0,0，(),0π和(),ππ的三角形闭区域．2． 2,2.Dydxdy D y x y x ==-⎰⎰计算其中是由抛物线及直线所围成的区域3．⎰⎰+Dy x dxdy e ，其中D 是由||||1x y +≤所确定的闭区域．四．计算⎰⎰⎰⎰+yyxy yxy dx e dy dx e dy 121212141．五．求三个坐标平面与平面1x =，1y =，236x y z ++=围成的立体Ω的体积． 六．计算,)1(dxdy xy I D⎰⎰+= 其中.44:22≤+y x D七．计算,||2⎰⎰-Ddxdy x y 其中D 为10,11≤≤≤≤-y x习题B 一．设D 是xOy 平面上以()11，．()11，-．()11--，为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则积分()⎰⎰+Ddxdy y x xy sin cos 等于（ ）． （A ）⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x ； （B ）⎰⎰12D xydxdy ；（C ）()⎰⎰+1sin cos 4D dxdy y x xy ； （D ）0．二．若函数),(y x f 在矩形区域1010≤≤≤≤y x D ，：上连续，且()1,),(2-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰⎰y x f dxdy y x f xy D ，则=),(y x f ________________． 三．计算二重积分：2y De d σ⎰⎰其中D 是第一象限中由直线y x =和曲线y =所围成的闭区域．四．利用二重积分证明：若)(x f 在],[b a 上可积，则有⎰⎰-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ba b a dx x f a b dx x f )()()(22五．求⎰⎰++Dd y x yf x ，σ)](1[22其中D 由x y =及1,1=-=y x 所围成，且f 连续．（二）利用极坐标计算二重积分 习题A 一．填空1．__________)()()(040212212⎰⎰⎰⎰==+-ρθπd d dy y x dx xx2．⎰⎰⎰⎰=)()()()(1)(),(2ρθd d dy y x f dx x3．把积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是由曲线22x a y -=，2x ax y -=及x y -=所围成的闭区域()0>a ； ________________________________________________________ 二．利用极坐标计算：1．D⎰⎰，其中D 是圆环形闭区域：22224ππ≤+≤y x ；2．dxdy x yD⎰⎰arctan ，其中D 是由122=+y x ，422=+y x 及0=x ，x y =所围成的闭区域的第一象限部分．3．,D其中D 是由圆周22x y Rx +=所围成的闭区域．4． 求二重积分⎰⎰Ddxdy x ，其中x y x D ≤+22:三．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x 2222)sin(π, 其中积分区域D 是由4122≤+≤y x 所确定的圆环域. 习题B一．求⎰⎰++Ddxdy y x 2)1(,其中D 为422≤+y x ．二．求⎰⎰+Ddxdy by a x ,)(2其中D 为222a y x ≤+． 三．计算二重积分()⎰⎰+Ddxdy y x ，其中x y x D 222≤+：．第三节 三重积分习题A一．填空与选择1．化(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰为三次积分，其中积分区域Ω分别是：(1) 由双曲抛物面z xy =及平面01=-+y x ，0=z 所围成的闭区域： ____________________________ (2) 由曲面22222x z y x z -=+=，所围成的闭区域：_______________ 2．已知)(z f 为连续函数，空间闭区域Ω由z y x ≤+22及21≤≤z 所确定 则⎰⎰⎰Ωdv z f )(＝（ ）（A ）⎰212)(dz z f z π （B ）⎰212)(2dz z f z π （C ）⎰21)(2dz z f π （D ）⎰21)(dz z zf π3．设22()I f x y dxdydz Ω=+⎰⎰⎰，其中Ω是曲面z =和z =围成的空间区域．（1）将三重积分I 化为球坐标系下的三次积分（不作计算）_______________（2）将三重积分I 化为柱坐标系下的三次积分_______________二．计算3(1)dxdydzI x y z Ω=+++⎰⎰⎰，其中Ω是由平面0x =，0y =，0z =，x y +1=+z 所围成的空间域．三．计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z ，其中Ω是由锥面z =与平面)0,0(>>=h R h z 所围成的闭区域．四．计算xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω由平面0=z ，1=y ，y z =以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域．五．利用柱面坐标计算下列三重积分．1．求dV y x ⎰⎰⎰+Ω22,其中Ω是由平面曲线⎩⎨⎧=-=042x yz 绕z 轴旋转而成的抛物面与xoy 面所围成的空间闭区域．2．计算三重积分()⎰⎰⎰Ω++dv z y x ，其中Ω是由曲面22y x z +=及4=z 所围成的空间区域．六．利用球坐标计算三重积分． 1．⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x 222，其中Ω是由球面2222x y z ++=所围成的闭区域．2．,⎰⎰⎰Ωdxdydz z 其中Ω由不等式2222)(a a z y x ≤-++，)0(222>≤+a z y x 所确定． 习题B一．选用适当的坐标系计算下列三重积分．1．⎰⎰⎰Ωdxdydz xyz ，其中Ω是由226y x z --=，22y x z +=所围成闭区域．2．dxdydz z y x z ⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是由不等式：1222≤++z y x ，)(322y x z +≥所确定．3．⎰⎰⎰Ωdxdydz z 2其中Ω是2222x y z R ++≤ ，)0(2222>≤++R Rz z y x 的公共部分．4．计算三重积分()⎰⎰⎰Ω+d x d y d z z x ，其中Ω是由曲面22y x z +=及221y x z --=所围成的空间区域．二．dxdydz y x z ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω由曲面y =，0z =，)0(>=a az ，0=y 所围成的闭区域．三．曲面22z z x y ==+所围成立体的体积．四．计算dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω++2)(, 其中Ω是由抛物面22y x z +=和球面2222=++z y x 所围成的空间闭区域.第四节 重积分的应用习题A一．占有区域为D 平面薄片对于直线0:=++c by ax L 的转动惯量的公式为_________________．二．求锥面z =被柱面22z x =所割下部分的曲面面积．三．求平面1x y za b c++=被三坐标面所割出的有限部分的面积．四．求由θcos 2=r 与θcos 16=r 所围均匀薄片的形心．五．求密度为222),,(z y x z y x ++=ρ．球心在原点半径为3的上半球体的质心及对于任一直径边的转动惯量．测 试 题一 选择与填空（每题4分，共40分）1．⎰⎰⎰⎰+=+=DDdxdy y x I dxdy y x I 2231)()(与，其中2)1()2(22≤-+-y x D ：的大小 关系为:（ ）(A) 21I I = (B) 21I I > (C) 21I I < (D) 无法判断2．dv z y x f r r ⎰⎰⎰+→Ωπ),,(1lim 30=（ ），2222)()()(:r c z b y a x ≤-+-+-为其中Ω，且),,(z y x f 在Ω上连续．(A) ),,(c b a f (B) 3),,(4c b a f π (C) 3),,(4c b a f (D) ),,(c b a f π3．区域⎩⎨⎧≤≤≤≤⎩⎨⎧≤≤≤≤+=242,21,2121y x x D x y x x D D D D ：：,按Y 型区域应为（ ） (A) ⎩⎨⎧≤≤≤≤221y x y y (B) ⎩⎨⎧≤≤≤≤y x y y 21 (C) ⎩⎨⎧≤≤≤≤221x y x x (D) ⎩⎨⎧≤≤≤≤x y x x 21 4．已知,1,0,0:,1:1≤+≥≥≤+y x y x D y x D ⎰⎰+=Dd y x I ，σ)(⎰⎰+=1)(D d y x J σ，则（ ）(A) J I = (B) J I 2= (C) J I 3= (D) J I 4=5．已知Ω为z z y x 2222≤++,下列等式错误的是( ) (A) 0)(22=+⎰⎰⎰dv z y x Ω(B) 0)(22=+⎰⎰⎰dv z x y Ω(C)0)(22=+⎰⎰⎰dv y x z Ω(D) 0)(2=+⎰⎰⎰dv z y x Ω6．设),(y x f 连续,且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(,其中D 由1,,02===x x y y 所围成,则)(),(=y x f(A) xy (B) xy 2 (C) 1+xy (D) 81+xy7．⎰⎰--22221),(x x xdy y x f dx 在Y 型区域下的二次积分为_______________． 8．将⎰⎰+x xdy y x f dx 32220)(转换为极坐标形式下的二次积分______________．9．223[1()]___,1,1Dx yf x y d D y x x y σ++===-=⎰⎰其中由,所围成，且f 连续． 10．_____________)(2202220=+⎰⎰-x ax ady y x dx ．三．完成下列各题（1—4题7分，5—8题8分，共60分）1．求⎰⎰++Ddxdy y y x )(22,其中D 为422≤+y x 与0222≥++x y x 的公共部分．2．计算二重积分{}⎰⎰-Dy x d eσ22,max ,其中⎩⎨⎧≤≤≤≤1010y x D ： ．3． 求由θsin 2=r 与θsin 4=r 所围均匀薄片的形心．4 ．求dv y ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω为由曲面y z y x 2222=++及y z x =+22所围成的空间闭区域．5．求由曲面z z y x =++2222)(所围立体的体积． 6．已知)(t f 为可导函数,且4)0(,0)0(/==f f ,求极限dv z y x f t t ⎰⎰⎰+++→Ωπ)(1lim 22240,其中Ω： 2222t z y x ≤++ 7．计算二重积分⎰⎰++≤++Dy x y x D d y x 1:)(22，其中σ8．计算二重积分[],122⎰⎰++Dd y x xy σ 2:22≤+y x D 其中,[]x 表示x 的整数部分，且.0,0≥≥y x考 研 真 题1．（00数一）设有一半径为R 的球体，0P 是此球体的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比（比例常数0k >），求球体重心位置． 2．（02数一）计算22max(,)xy De dxdy ⎰⎰，其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤．3．（03数一）设函数()f x 连续且恒大于零，22222()()222()()()(),()()()t D t ttD t f xy z dvf x y d F t G t f x y d f x dxσσΩ-+++==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中2222222(){(,,)},(){(,)}t x y z x y z t D t x y x y t Ω=++≤=+≤，(1) 讨论()F t 在区间(0,)+∞内的单调性；(2) 证明当0t >时，2()()F t G t π>．4．（04数一）设()f x 为连续函数，dx x f dy t F tyt )()(1⎰⎰=，则(2)F '等于（ ）(A) 2(2)f ；(B) (2)f ； (C) (2)f -； (D) 0．5．（04数二）设函数()f u 连续，区域22{(,)2}D x y x y y =+≤，则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（ ）(A) 11()dx f xy dy -⎰；(B) 22()dy f xy dx ⎰；(C) 2sin 2(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰； (D) 2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰．6．（05数一）设22{(,)0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，22[1]x y ++表示不超过221x y ++的最大整数，计算二重积分22[1]Dxy x y dxdy ++⎰⎰．7．（05数二）设区域22{(,)4,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为常数，则=++⎰⎰dxdy y f x f y f b x f a D)()()()(（ ）(A) ab π；(B)2ab π； (C) ()a b π+； (D) 2a bπ+． 8．（05数二）计算二重积分221Dx y d σ+-⎰⎰，其中{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤．9．（06数一二）设(,)f x y 为连续函数，则14(sin ,cos )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ ）(A) 0(,)x f x y dy ；(B) 00(,)f x y dy ；(C) 0(,)yf x y dx ；(D) 0(,)f x y dx ．10．（06数一二）设区域22{(,)1,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y+=++⎰⎰． 11．（07数二）设二元函数2,1(,)12x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰，其中}2:),{(≤+=y x y x D ． 12.（08数二）设函数)(u f 连续，dxdy (),(D2222⎰⎰++=yx y x f v u F ），其中D 由园122=+y x ，）（1222>=+u u y x ，x 轴及直线v x y tan =所围成的第一象限部分，则=∂∂uF（ ）（A ）)(2u vf （B ）)(2u f u v （C ）)(u vf （D ）)(u f uv13.（08数二）求二重积分{}dxdy 1,max D⎰⎰xy ，其中{}20,20),(≤≤≤≤=y x y x D ． 第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分习题A一．填空与选择1．设椭圆L ：13422=+y x 的周长为l ，则⎰=+L ds y x 2)23(（ ）．(A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 122．设L 为下半圆周21x y --=，则_______)(222=+⎰ds y x Ln ．3．____________=⎰ds x L,其中L 为x y =与2x y =所围区域的整个边界曲线．二．计算ds x L⎰2,其中L 为圆周：422=+y x ．三．计算,)(22ds y x L⎰+其中L 为曲线)cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x -=+=)20(π≤≤t ． 习题B一．已知曲线L 的极坐标方程为(0)2r πθθ=≤≤，L 上任意一点处的线密度为()ρθ=二．计算（1）,2ds z L ⎰（2）ds y x L⎰+)(,其中L 为圆周：⎩⎨⎧=++=++04222z y x z y x ．第二节 对坐标的曲线积分习题A 一．计算⎰+--+L yx dyy x dx y x 22)()(，其中L 为222a y x =+（按逆时针方向绕行）． 二．计算22sin cos y x Le xdx e ydy +⎰，式中L 是从点(0,0)O 经点(0,1)A 到点(1,1)B 的折线段．三．计算dy y x dx y x L)()(2222-++⎰，其中L 为曲线x y --=11上由点0=x 到点2=x 的部分．四．计算Γ-+++⎰Γ,)1(dz y x ydy xdx 为点)4,3,2(A 至点)1,1,1(B 的空间有向线段.五．求质点在力j xy i x F-=2的作用下沿着曲线L t y t x sin ,cos ==从点)0,1(A 移动到点)1,0(B 时所作的功. 习题B一．计算dy x dx y a L+-⎰)2(，其中L 为摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=上对应t 从0到π2的一段弧．二．在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ,使沿该曲线从点O 到点A 的积分dy y x dx y L)2()1(3+++⎰的值最小．三．计算⎰Γ+-ydz dy dx ，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里的A ，B ，C 依次为点()0,0,1，()0,1,0及()1,0,0第三节 格林公式及其应用习题A一．填空与选择1．设L 为369422=+y x ，则→→→-+-=j x x i y xy F )4()22(2按L 的逆时针方向运动一周所作的功为.___________2．___________=-⎰Lydx xdy ，其中100:22=+y x L 的顺时针方向．3．已知存在),(y x u 使dy y xy y x dx y xy x du )33()35(222324+-+-+=,则),(y x u ________________= 4．设曲线积分⎰+Ldy x yf dx xy )(2与路径无关，)(x f 具有连续导数，且0)0(=f ，则______)(=x f5．设dy yx by x dx y x y ax 2222++--++为某一函数),(y x u 的全微分，则_____),(=b a 6．设G 为一单连通开区域，),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶连续偏导，命题⎰=+LQdy Pdx a 0:，其中L 为G 内任一条分段光滑闭曲线，命题:b 在G 内P Q y x∂∂=∂∂处处成立 ，命题:c Qdy Pdx +为某一二元函数的全微分．则命题c b a ,,满足（ ）（A ）c b a ⇔⇔ （B ）c b a ⇒⇔ （C ）c b a ⇔⇐ （D ）c b a ⇒⇐ 7．已知曲线积分在右半平面内与路径无关，其中可微，则应满足的微分方程是_____________________．二、设L 是由12==y x y 及所围成的区域D 的正向边界 求⎰+++L24233)()dy y x x dx y x xy （．三．求⎰⋂-+-AOx x dy m y e dx my y e )cos ()sin (，其中ABO 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22．四、计算dy y x dx xy x L)()2(422+++⎰,其中L 是2sinxy π=上从点()0,0到点)1,1(的一段弧．五、证明：dy y x x y dx x y y x )sin cos 2()sin cos 2(22-+-为某一个二元函数),(y x u 的全微分，并求出一个这样的函数),(y x u ． 六、确定λ的值,使曲线积分dy y y x dx xy x B A)56()4(42134-++-⎰λ与路径无关，并求当点A 、B 分别为)0,0(、)2,1(时曲线积分的值． 习题B 一、计算⎰-+-=Lx x dy y y e dx y e I )(sin )cos 1(,其中L 为从()0,0O 到()0,πA 的正弦曲线x y sin = ．二． 计算,sin 3)3(32dy y y x dx xe y x L x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎰ 其中L 为沿摆线⎩⎨⎧-=-=t y tt x cos 1sin 从O (0, 0)到)2,(πA 的一段三．设曲线积分⎰+Ldy x y dx xy )(2ϕ与路径无关, 其中ϕ具有连续的导数, 且,0)0(=ϕ计算.)()1,1()0,0(2⎰+dy x y dx xy ϕ 五．计算曲线积分,22⎰+-L y x ydx xdy （1）L是圆周1)1()1(22=-+-y x 的正向； （2）L 是曲线1=+y x 的正向．六．设满足积分0)()]([ln /L /=+-⎰dy x f dx xyx f x ，其中存在二阶连续导数，0)1()1(='=f f ，是半平面内任意光滑闭曲线．试求．七．已知dx x y dy y x x L )(23]2)([22ϕϕ+-⎰在全平面上与路径无关，其中)(x ϕ具有一阶连续导数，并且L 是起点为()0,0，终点()1,1为的有向曲线时，该曲线积分值等于41，试求函数)(x ϕ.九． 设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t , 总有,),(2),(2),1()0,0()1,()0,0(⎰⎰+=+t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx 求).,(y x Q第四节 对面积的曲面积分习题A一．计算4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限的部分．二．计算dS y x ⎰⎰∑+)(22，其中∑是锥面z 及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面．三．计算,)(⎰⎰∑++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分.四．计算下列积分，其中∑为球面2222a z y x =++． 1．dS z ⎰⎰∑22．dS z y x ⎰⎰∑++2)(习题B一．计算⎰⎰∑++dS z y x z 2224，其中∑是椭球面22222=++z y x 的上半部分．二．设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).第五节 对坐标的曲面积分习题A一．取曲面∑：2222a z y x =++的内侧，将曲面积分zdxdy ydzdx dydz x ++⎰⎰∑转化成对面积的曲面积分____________________,其值为__________ 二．计算⎰⎰∑++dy dx z dx dz y dz dy x 222，其中∑为222y x a z --=的上侧．三．计算yzdzdx dydz xy xzdxdy ++⎰⎰∑，其中∑是平面0=x ，0=y ，0=z ，y x ++1=z 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．四．计算222x dy dz y dz dx z dx dy ∑++⎰⎰，其中∑是过()0,0,1A ，()0,1,0B ，()1,0,0C 三点的平面位于第一卦限的部分，取上侧． 习题B一．利用两类曲面积分的关系计算⎰⎰∑++3r zdxdyydzdx xdydz ，其中222z y x r ++=，∑为上半球面222y x R z --=下侧．二．当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x f ),,(与二重积分有什么关系?第六节 高斯公式 通量与散度习题A一．填空与选择1．设∑由分片光滑的所围成闭曲面的外侧，则∑所围的体积V ＝（ ）（A ）⎰⎰∑++xdxdy zdzdx ydydz 31 （B ）⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 31（C ）⎰⎰∑++ydxdy xdzdx zdydz 31 （D ）⎰⎰∑++ydxdy zdzdx xdydz 312．已知∑为向量场A 中一张有向闭曲面的内侧，则⎰⎰⋅∑dS A =Ω⎰⎰⎰ _____dv ．3．向量场j xy x i y y x )()(A 2332-++=→的散度为___________二．计算⎰⎰∑-dx dz zx y )(2，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =，a z =所围成的立体的表面的外侧．三．计算⎰⎰∑+dy dx yz dz dy xz 24，其中∑是球面2222a z y x =++外侧的上半部分)0(>a ．四．设有向量场z j y i x 333++=及闭曲面∑ ：2222a z y x =++，求A 从内穿出∑的通量．五．计算⎰⎰∑++dy dx xy dx dz z x )(22，其中∑为曲面224x z y +=-在平面xoz 右侧部分的外侧．六．设空间区域Ω由曲面222y x a z --=与平面0=z 围成，其中a 为正的常数，又设Ω表面的外侧为∑，Ω的体积为V ，证明：⎰⎰=++-∑V dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x )1(2222．习题B一．计算曲面积分()()⎰⎰∑-+++=dxdy z dzdx z y dydz xz I 322912其中∑为曲面122++=y x z ()21≤≤z ，取下侧．二．求⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 之值，式中∑为介于平面1=z 与5=z 之间的那一部分圆柱面122=+y x 的外侧．三．利用高斯公式计算,)()()(222⎰⎰+-+-+-S dxdy xy z dzdx xz y dydz yz x 其中+S 为球2222)()()(R c z b y a x =-+-+-面的外侧.四．求向量场k z j y i x r++=的流量(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度习题A 一．填空1．向量场→→→+++=k z x j ye i xy A z )1ln(22在点)0,1,1(P 的散度与旋度_____=→A div ，rot ________________=A2．div grad =++-)2,2,1(222)(z y x __________________二．计算曲线积分⎰Γ++dz x dy z dx y 222，其中Γ为球面1222=++z y x 与柱面x y x =+22 ()0≥z 的交线，从x 轴的正向看去为逆时针方向．三设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ，div(grad u )，rot(grad u )． 习题B计算222()()()ABI x yz dx y zx dy z xy dz ⋂=-+-+-⎰，其中⋂AB 为螺线φc os =x ，y =φsin ，φ=z 上从点()0,0,1到点()π2,0,1的弧段．测 试 题一 ．选择填空（每题3分,共15分）1． 已知曲面∑的方程为2222a z y x =++，则dS z y x ⎰⎰∑++)(222＝（ ）(A) 0 (B)42a π (C) 44a π (D) 46a π 2． 已知2)()(y x jy i ay x A +++=→→→为某一二元函数的梯度，则=a （ ）(A) －1 (B) 0 (C) 1 (D) 23． 已知4:,4:,222222222=++≤++++=z y x z y x z y x r ∑Ω,⎩⎨⎧=++=++04:222z y x z y x Γ,且)(r f 连续，那么下列等式错误的是（ ）， （A ）()(2)f r dV f dV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（B ）dS f dS r f ⎰⎰⎰⎰∑∑=)2()(（C ）ds f ds r f ⎰⎰ΓΓ=)2()(（D ）⎰⎰∑++3r zdxdy ydzdx xdydz ＝⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 814．已知∑为z z y x 2222=++,下列等式错误的是( ) (A) 0)(22=+⎰⎰∑dS z yx (B)0)(22=+⎰⎰∑dS z xy(C)0)(22=+⎰⎰∑dS y x z (D) 0)(2=+⎰⎰∑dS z y x 5．设曲线L 是任意不经过0=y 的区域D 内的曲线，为使曲线积分()()⎰+-+Laa dy y x y x dx y x y x 222222与路径无关，则=a （ ）． （A ）21-； （B ）31-； （C ）25； （D ）23．二 ．填空（每题3分,共15分）1．_____2=⎰-dy e Lx ,其中L 为305322=+y x 的逆时针方向．2．div grad =++)(ln 222z y x __________________3．设L 为椭圆422=+y ax ，则→→→-++=j y x i y x F )7()43(按L 的顺时针方向运动一周所作的功为π6,则______=a4．设为位于原点处的点电荷所产生的静电场，∑为介于1=z 到2=z 之间的圆锥面222y x z +=的下侧，那么，E 穿过∑的电通量为______________． 5．已知),,(z y x f u =具有二阶连续偏导，那么grad rot (_______)=u 三 ．完成下列各题（每题6分,共30分）1．22,:1,1L xdx ydyL x y x y +≤≤+⎰边界的逆时针方向； 2． 求半径为R 均匀球壳（)1=ρ对于球心的转动惯量．3．求⎰⎰+++++∑dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f ]),,(3[]),,(2[]),,([，其中∑为3=-+z y x 在第Ⅴ卦限的下侧．4．计算积分⎰+Lds y x 22，x y x L 2:22=+．5．计算dy y x y xy dx y x y x e L x 2222222cos 2+-++-⎰-，其中L 为圆周222a y x =+的顺时针方向．四．完成下列各题（每题10分,共40分） 1．已知)('x Φ连续，且()()010=Φ=Φ，计算⎰⋂-Φ=AMBx e y I )([+dx y ] dy e y x ]1)('[-Φ其中⋂AMB 是以线段AB 为直径的上半圆周，)0,0(A ，)1,1(B ． 2．计算22(1)84x dydz xydzdx xzdxdy∑-+-⎰⎰，式中∑是由xoy 平面上的曲线)0(a y e x y ≤≤=绕x 轴旋转而成的旋转面，又曲面法向量与x 轴正向的夹角大于2π． 3．计算⎰⎰∑+++++dy dx ay z dx dz ax y dz dy z a x )()()(232323，其中∑为上半球面222y x a z --=的上侧．4．求证：53108)3(a dS a z y x π≥+++⎰⎰∑)0(>a ，其中∑为球面022222222=+---++a az ay ax z y x ．考 研 真 题1．（00数一）曲面2222321x y z ++=在点(1,-2,2)的法线方程为 ． 2．（00数一）设2222:23(0)S x y z a z ++=≥，1S 是S 在第一卦限中的部分，则有（ ）(A) 14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰；(B) 14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰；(C) 14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰； (D) 14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰．3．（00数一）计算曲线积分,422⎰+-L y x ydxxdy 其中L 是以点(1,0)为中心，R 为半径的圆周(1)R >取逆时针方向．4．（00数一）设r =(1,2,2)()div gradr -= ． 5．（01数一）设对于半空间0x >内任意光滑有向封闭曲面S ，都有0)()(2=--⎰⎰∑zdxdy e dzdx x xyf dydz x xf x ，其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +→=，求()f x ． 6．（01数一）计算⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )3()2()(222222，其中L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向． 7．（01数一）设有一高度为()(h t t 为时间）的雪堆，在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-(设长度单位为cm ，时间单位为小时)，已知体积的减少速度与侧面面积成正比(比例系数0．9)，问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时？ 8．（02数一）设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有连续的一阶导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记⎰-++=L dy xy f y yxdx xy f y y I ]1)([)](1[1222(1) 证明曲线积分I 与路径L 无关； (2) 当ab cd =时，求I 的值． 9．（05数一）已知平面区域{(,)0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤，L 为D 的边界，试证：(1) ⎰⎰-=---Lx y Lx y dx ye dy xe dx ye dy xe sin sin sin sin ；(2)⎰≥--Lx ydx ye dy xe2sin sin 2π．10．（04数一）设L 为正向圆周222x y +=在第一象限的部分，则曲线积分2Lxdy ydx -⎰的值为 ．11．（04数一）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dxdz z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑是曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．12．（05数一）设Ω是由锥面z =与半球面z =围成的空间区域，∑是Ω的整个边界外侧，则xdydz ydxdz zdxdy ∑++=⎰⎰ ．13．（05数一）设函数()y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++L yx xydydx y 2222)(ϕ的值恒为同一常数． (1) 证明：对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有⎰=++L y x x y d ydx y 022)(22ϕ；(2) 求函数()y ϕ的表达式．14．（06数一）设∑是锥面z =(01)z ≤≤的下侧，则23(1)xdydz ydxdz z dxdy ∑++-=⎰⎰ ．15．（06数一）设在上半平面{(,)0}D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续的偏导数，且对于任意的0t >都有2(,)(,)f tx xy t f x y -=．证明：对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有,0),(),(⎰=-Ldy y x xf dx y x yf ．16．（07数一）设曲面:1x y z ∑++=，则⎰⎰∑=+__________)(dS y x ．17．（07数一）设曲线:(,)1((,)L f x y f x y =具有一阶连续偏导数）过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零的是（ ）(A) (,)f x y dx Γ⎰； (B) (,)f x y dy Γ⎰；(C) (,)f x y ds Γ⎰； (D) (,)(,)x y f x y dx f x y dy Γ''+⎰18．（07数一）计算曲面积分23I xzdydz zydxdz xydxdy ∑=++⎰⎰，其中∑为取面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧．19．（08数一）设曲面∑是224y x z --=的上侧，则____2=++⎰⎰∑dxdy x xdzdx xydydz20（08数一）.计算,)1(22sin 2⎰-+Lydy x xdx 其中L 为x y sin =上从点)0,0(到点。