(整理)多元函数积分学39918.

第十章 重 积 分

第一节 二重积分的概念与性质

习题A

一．填空与选择

1．比较()2

1D

I x y d σ=+⎰⎰，()3

2D

I x y d σ=+⎰⎰大小

(1)若D 由x 轴，y 轴与直线1=+y x 围成，则在D 上

(2) 若D 由22

(2)(1)2x y -+-=围成，则在D 上

2．设⎰⎰=I D

d y x f ,),(σ若(),1f x y x y =++，区域D 为01x ≤≤，02y ≤≤,则在D

上该积分的估计值为 ．

3．设平面区域D 由直线0=x ，0=y ，2

1

=

+y x ，1=+y x 围成，若 ()7

1ln D

I x y dxdy =+⎡⎤⎣⎦⎰⎰，()7

2D

I x y dxdy =+⎰⎰，()7

3sin D

I x y dxdy =+⎡

⎤⎣⎦⎰⎰ 则1I ，2I ，3I 之间的关系是___________ ．

（A ）321I I I <<； （B ）123I I I <<； （C ）231I I I <<； （D ）213I I I <<．

二． 设),(y x f 在闭区域2

2

22:1x y

D a b +≤上连续，求证：00

(,)lim

(0,0)D

a b f x y d f ab

σ

π++

→→=⎰⎰

习题B 判断

⎰⎰≤+≤+1

22

)ln(y x r dxdy y x

的符号.

第二节 二重积分的计算法

（一）利用直角坐标计算二重积分

习题A

一．填空与选择 1．交换积分次序._____________________),(10

=⎰⎰

y y

dx y x f dy

2

．交换积分次序222220

2

(,)(,)x I dx f x y dy dx f x y dy =+=⎰⎰

⎰

⎰

若(),f x y xy =，则I = ． 3．_______________2

2

2

=⎰⎰-x

y dy e dx

，1

0sin y

x dy dx x

⎰___________=． 4．交换二次积分⎰⎰10

x

x

2dx f(x,y)dy 的积分次序，它等于( )．

(A)

⎰⎰

10

y

y 2

dy f(x,y)dx (B)

⎰⎰

1

y y

2dy f(x,y)dx

(C) ⎰⎰10

x x

2dy f(x,y)dx (D) ⎰⎰1

y y

2

dx f(x,y)dy

二．化二重积分(,)D

I f x y dxdy =⎰⎰为累次积分（按两种不同的积分次序），其中

积分区域D 由直线y x =，2x =及双曲线1(0)y x x =>围成．并计算2

2,D

x dxdy y ⎰⎰

三．计算下列二重积分

1． cos()D

x x y dxdy +⎰⎰，其中D 是顶点分别为()0,0，(),0π和(),ππ的三

角形闭区域．

2． 2,2.D

ydxdy D y x y x ==-⎰⎰计算其中是由抛物线及直线所围成的区域

3．⎰⎰+D

y x dxdy e ，其中D 是由||||1x y +≤所确定的闭区域．

四．计算⎰⎰⎰⎰+y

y

x

y y

x

y dx e dy dx e dy 12

12

1214

1．

五．求三个坐标平面与平面1x =，1y =，236x y z ++=围成的立体Ω的体积． 六．计算,)1(dxdy xy I D

⎰⎰+= 其中.44:22≤+y x D

七．计算,||2⎰⎰-D

dxdy x y 其中D 为10,11≤≤≤≤-y x

习题B 一．设D 是xOy 平面上以()11，．()11，-．()11--，为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则积分()⎰⎰+D

dxdy y x xy sin cos 等于（ ）

． （A ）⎰⎰1

sin cos 2D ydxdy x ； （B ）⎰⎰1

2D xydxdy ；

（C ）()⎰⎰+1

sin cos 4D dxdy y x xy ； （D ）0．

二．若函数),(y x f 在矩形区域1010≤≤≤≤y x D ，：上连续，且

()1,),(2

-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎰⎰y x f dxdy y x f xy D ，则=),(y x f ________________． 三．计算二重积分：2

y D

e d σ⎰⎰其中D 是第一象限中由直线y x =

和曲线y =所

围成的闭区域．

四．利用二重积分证明：

若)(x f 在],[b a 上可积，则有⎰⎰-≤⎪⎭

⎫ ⎝⎛b

a b a dx x f a b dx x f )()()(22

五．求⎰⎰++D

d y x yf x ，σ)](1[22其中D 由x y =及1,1=-=y x 所围成，且f 连续．

（二）利用极坐标计算二重积分 习题A 一．填空

1．__________)()()

(0

40

2

122

1

2⎰

⎰⎰⎰==+-ρθπ

d d dy y x dx x

x