江苏省无锡市高一上学期数学期末考试试卷

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2023-2024学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.设集合A ={x |x >1},B ={x |﹣2<x <2},则(∁R A )∩B =( ) A .(﹣2,1)B .(﹣2,1]C .(﹣∞,2)D .(﹣∞,2]2.已知幂函数f (x )=x a ,且f (3)=27,则f (2)=( ) A .﹣8B .﹣9C .8D .93.“x >1”是“|x ﹣1|>1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.函数f (x )=cos x •e x +1e x −1的部分图象大致为( )A .B .C .D .5.已知角α的终边过点(1,2),则sin(π2+α)⋅sin(π+α)tan(π−α)⋅cos(−α)的值为( )A .√55B .2√55C .﹣2D .−2√556.已知函数f(x)=log 12(−x 2+4x −3),则f (x )的单调递减区间为( ) A .[2,3)B .(﹣∞,2]C .(1,2]D .[2,+∞)7.化简sin140°(tan10°−√3),得( ) A .−√32B .−√2C .﹣1D .−128.若关于x 的方程|x|x+4=kx 2有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( ) A .(0,1)B .(14,1)C .(14,+∞)D .(1,+∞)二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.已知全集为U ,则如图阴影部分表示正确的为( )A .∁A (A ∩B ) B .(∁U A )∩(∁U B )C .(∁U B )∩AD .∁U (A ∩B )10.若正实数x ,y 满足x +2y =1,则( ) A .xy 的最大值为18B .2x +1y 的最小值为9C .x 2+4y 2的最小值为1D .√x +√2y 的最大值为√211.已知函数f(x)=12cos(2x −π3),把y =f (x )的图象向右平移π3个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,以下说法正确的是( )A .x =π6是y =f (x )图象的一条对称轴B .f (x )的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3](k ∈Z)C .y =g (x )的图象关于原点对称D .f (x )+g (x )的最大值为1212.已知函数f(x)={|x|,x ≤1,3−2x,x >1.则下列说法正确的是( )A .不等式f (x )>x +1的解集为(−∞,−12)B .当x ∈(12,32)时,f (x )的取值范围为(12,1]C .若关于x 的方程f (x )=t 有三个不同实数根x 1,x 2,x 3,则1<x 1+x 2+x 3<log 23D .令g (x )=f 2(x )﹣f (x )+c ,不存在常数c ,使得g (x )恰有5个零点二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,第16题第一空2分,第二空3分,请把答案填写在答题卡相应位置上.13.命题“∃x ∈R ,x +2≤0”的否定是 .14.写出一个同时具有下列性质①②的函数f (x )= . ①f (x 1+x 2)=f (x 1)•f (x 2),②当x >0时,f (x )>115.酒驾是严重危害交通安全的违法行为,根据国家规定,100mL 血液中酒精含量达到20﹣79mg 的驾驶员即为酒后驾车,80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,血液中的酒精含量达到1mg /mL ,如果停止喝酒以后,他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少,那么他至少经过 .小时,才能驾驶?(结果精确到0.1h )(附:lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771)16.已知f (x )=ax ﹣1,g (x )=x 2+bx ﹣5(a >0,b ∈R ).当a =2时,f (x )=g (x )的两根为x 1,x 2,则|x 1﹣x 2|的最小值为 ;当x >0时,f (x )•g (x )≥0恒成立,则b +3a的最小值为 .三、解答题:本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)已知全集U =R ,集合A ={x |﹣1<x <3},B ={x |2<x ≤6},C ={x |10﹣2a <x <3a }. (1)求A ∪B ;(2)若A ∩C =∅,求实数a 的取值范围. 18.(12分)已知函数f (x )=ax 2+bx ﹣1(a ,b ∈R ).(1)若不等式f (x )>0的解集是{x |1<x <3},求a ,b 的值;(2)当b =3时,若不等式f (x )<0对一切实数x 恒成立,求a 的取值范围. 19.(12分)已知函数f(x)=√3sinxcosx +sin 2x −12.(1)当x ∈(π4,7π12)时,求f (x )的取值范围;(2)若x 0∈(π4,7π12)且f(x 0)=13,求cos2x 0的值.20.(12分)已知函数f(x)=−3x+b3x+1+a是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a ,b 的值;(2)判断并证明函数f (x )的单调性;(3)对任意t ∈[1,e ],关于t 的不等式f [(lnt )2﹣ln (et 2)]+f (k )<0恒成立,求实数k 的取值范围. 21.(12分)如图,已知直线l 1∥l 2,A 是l 1,l 2之间的一个定点,过点A 作直线l 垂直于l 1,l 2且分别交于点E ,D ,AD =2,AE =1.B 是直线l 2上的一个动点,作AC ⊥AB ,且使AC 与直线l 1交于点C .设∠ABD =α,α∈[π6,π3].(1)设△ABD 的面积为S 1,△ACE 的面积为S 2,求S 1+S 2的最小值; (2)若△ABC 的外接圆面积不超过5π2,求角α的取值范围.22.(12分)已知函数y =f (x ),若对于其定义域D 中任意给定的实数x ,都有f(x)+f(1x)=0,就称函数y =f (x )满足性质P .(1)已知f (x )=2x +1,判断y =f (x )是否满足性质P ,并说明理由; (2)若y =f (x )满足性质P ,且定义域为(0,+∞). ①已知x ∈(0,1)时,f(x)=log 3x −3x 2,求函数f (x )的解析式并指出方程f (x )=255是否有正整数解?请说明理由;②若f (x )在(0,1)上单调递增,证明:f (x )在(1,+∞)上单调递增.2023-2024学年江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.设集合A ={x |x >1},B ={x |﹣2<x <2},则(∁R A )∩B =( ) A .(﹣2,1)B .(﹣2,1]C .(﹣∞,2)D .(﹣∞,2]解:因为A ={x |x >1},所以∁R A ={x |x ≤1},因为B ={x |﹣2<x <2},则(∁R A )∩B ={x |﹣2<x ≤1}. 故选:B .2.已知幂函数f (x )=x a ,且f (3)=27,则f (2)=( ) A .﹣8B .﹣9C .8D .9解:幂函数f (x )=x a ,且f (3)=27,则3a =27,解a =3,故f (x )=x 3,f (2)=23=8. 故选:C .3.“x >1”是“|x ﹣1|>1”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解:因为|x ﹣1|>1,所以x >2或x <0,所以“x >1”是“|x ﹣1|>1”的既不充分也不必要条件. 故选:D .4.函数f (x )=cos x •e x +1e x −1的部分图象大致为( )A .B .C .D .解:函数的定义域为{x |x ≠0},f (﹣x )=cos (﹣x )•e −x +1e −x −1=cos x •1+e x1−e x =−f (x ),则f (x )是奇函数,排除A ,D ,当0<x <π2时,cos x >0,e x +1e x −1>0,则f (x )>0,排除C ,故选:B .5.已知角α的终边过点(1,2),则sin(π2+α)⋅sin(π+α)tan(π−α)⋅cos(−α)的值为( )A .√55B .2√55C .﹣2D .−2√55解:角α的终边过点(1,2),则sin(π2+α)⋅sin(π+α)tan(π−α)⋅cos(−α)=cosα⋅(−sinα)−tanα⋅cosα=cos α=1√1+2=√55.故选:A .6.已知函数f(x)=log 12(−x 2+4x −3),则f (x )的单调递减区间为( )A .[2,3)B .(﹣∞,2]C .(1,2]D .[2,+∞)解:根据题意,设t =﹣x 2+4x ﹣3,则y =log 12t ,有t =﹣x 2+4x ﹣3>0,解可得1<x <3,即函数的定义域为(1,3),在区间(1,2]上,t =﹣x 2+4x ﹣3为增函数,区间(2,3)上,t =﹣x 2+4x ﹣3为减函数, y =log 12t 在(0,+∞)上为减函数,则f (x )的单调递减区间为(1,2].故选:C .7.化简sin140°(tan10°−√3),得( ) A .−√32B .−√2C .﹣1D .−12解:sin140°(tan10°−√3)=sin40°(sin10°cos10°−√3)=sin40°(sin10°−√3cos10°)cos10°=2sin40°(−sin50°)cos10°=−−2sin40°cos40°sin80°=−sin80°sin80°=−1.故选:C . 8.若关于x 的方程|x|x+4=kx 2有四个不同的实数解,则k 的取值范围为( ) A .(0,1)B .(14,1)C .(14,+∞)D .(1,+∞)解:要使方程|x|x+4=kx2有四个不同的实数解,当x=0时,是方程的1个根,所以只要方程|x|x+4=kx2有3个不同的实数解,变形得1k={x(x+4),x>0−x(x+4),x<0,设函数g(x)={x(x+4),x>0−x(x+4),x<0,如图,所以只要0<1k<4即可,所以k>14;故选:C.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.已知全集为U,则如图阴影部分表示正确的为()A.∁A(A∩B)B.(∁U A)∩(∁U B)C.(∁U B)∩A D.∁U(A∩B)解:由韦恩图可知,图中阴影部分为A∩(∁U B)或∁A(A∩B).故选:AC.10.若正实数x,y满足x+2y=1,则()A.xy的最大值为18B.2x+1y的最小值为9C.x2+4y2的最小值为1D.√x+√2y的最大值为√2解:因为正实数x,y满足1=x+2y≥2√2xy,当且仅当x=2y,即x=12,y=14时取等号,所以xy≤18,A正确;2 x +1y=2x+4yx+x+2yy=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8,当且仅当x=2y,即x=12,y=14时取等号,B错误; 因为x 2+4y 22≥(x+2y2)2=14,当且仅当x =2y ,即x =12,y =14时取等号,所以x 2+4y 2≥12,C 错误;因为√x+√2y2≤√x+2y 2=√22,当且仅当x =2y ,即x =12,y =14时取等号,所以√x +√2y ≤√2,D 正确. 故选:AD .11.已知函数f(x)=12cos(2x −π3),把y =f (x )的图象向右平移π3个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,以下说法正确的是( )A .x =π6是y =f (x )图象的一条对称轴B .f (x )的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3](k ∈Z)C .y =g (x )的图象关于原点对称D .f (x )+g (x )的最大值为12解:函数f(x)=12cos(2x −π3),把y =f (x )的图象向右平移π3个单位长度,得到函数y =g (x )=12cos(2x ﹣π)=−12cos2x 的图象,令x =π6,求得f (x )=12,是最大值,故直线x =π6是函数f (x )图象的一条对称轴,故A 正确.令2k π≤2x −π3≤2k π+π,k ∈Z ,求得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z , 可得f (x )的单调减区间为[k π+π6,k π+2π3],k ∈Z ,故B 正确.由于g (x )=﹣cos2x 是偶函数,故它的图象关于y 轴对称,故C 错误.由于f (x )+g (x )=12cos (2x −π3)+(−12cos2x )=12[12cos2x +√32sin2x ]−12cos2x=√34sin2x −14cos2x =12sin (2x −π6)≤12,即f (x )+g (x )的最大值为12,故D 正确. 故选:ABD .12.已知函数f(x)={|x|,x ≤1,3−2x ,x >1.则下列说法正确的是( )A .不等式f (x )>x +1的解集为(−∞,−12)B .当x ∈(12,32)时,f (x )的取值范围为(12,1]C .若关于x 的方程f (x )=t 有三个不同实数根x 1,x 2,x 3,则1<x 1+x 2+x 3<log 23D .令g (x )=f 2(x )﹣f (x )+c ,不存在常数c ,使得g (x )恰有5个零点 解:作出函数f(x)={|x|,x ≤1,3−2x,x >1.的图象如下.对于A.在同一坐标系中画出f(x)和y=x+1的图象如下.联立{y=x+1y=−x,得x=−12,y=12,所以不等式f(x)>x+1的解集为(−∞,−12),故A正确;对于B.由图可知,函数f(x)在(12,1)上单调递增,在(1,32)上单调递减,又f(1)=1,f(12)=12,f(32)=3−2√2,所以f(x)的取值范围为(3−2√2,1],故B错误;对于C.若关于x的方程f(x)=t有三个不同实数根x1,x2,x3,即函数f(x)与函数y=t有三个不同的交点,不妨设x1<x2<x3,如图.其中x1+x2=0,1<x3<log23,所以1<x1+x2+x3<log23,故C正确;对于D.g(x)=f2(x)﹣f(x)+c,g(x)恰有5个零点令f(x)=t,则h(t)=t2﹣t+c,当h (t )=t 2﹣t +c 只有1个零点时,设为t 0,则方程f (x )=t 0有5个根,不可能; 当h (t )=t 2﹣t +c 有2个零点时,设为t 1,t 2,且t 1<t 2,则f (x )=t 1和f (x )=t 2共有5个根,可得{t 1=00<t 2<1或{0<t 1<1t 2=1若h (t )=t 2﹣t +c 有一个零点是0,则另一个零点为1,不满足{t 1=00<t 2<1,若h (t )=t 2﹣t +c 有一个零点是1,则另一个零点为0,不满足{0<t 1<1t 2=1,故存在常数c ,使得g (x )恰有5个零点,D 正确. 故选:ACD .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,第16题第一空2分,第二空3分,请把答案填写在答题卡相应位置上.13.命题“∃x ∈R ,x +2≤0”的否定是 ∀x ∈R ,x +2>0 . 解:命题为特称命题,则命题的否定为∀x ∈R ,x +2>0, 故答案为:∀x ∈R ,x +2>0.14.写出一个同时具有下列性质①②的函数f (x )= 2x (答案不唯一) . ①f (x 1+x 2)=f (x 1)•f (x 2),②当x >0时,f (x )>1 解:由性质①联想到指数函数f (x )=a x , f (x 1+x 2)=a x 1+x 2=a x 1•a x 2=f (x 1)•f (x 2), 又当x >0时,f (x )>1,可得a >1, 可取a =2,则满足条件的函数为f (x )=2x . 故答案为:2x (答案不唯一).15.酒驾是严重危害交通安全的违法行为,根据国家规定,100mL 血液中酒精含量达到20﹣79mg 的驾驶员即为酒后驾车,80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,血液中的酒精含量达到1mg /mL ,如果停止喝酒以后,他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少,那么他至少经过 6 小时,才能驾驶?(结果精确到0.1h )(附:lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771) 解:假设经过x 小时才能驾驶,则100(1﹣25%)x <20, 所以(34)x <15,所以xlg 34<lg 15,所以x >lg 15lg 34=lg2−1lg3−2lg2=0.3010−10.4771−2×0.3010≈5.6,故x =6.故答案为:6.16.已知f (x )=ax ﹣1,g (x )=x 2+bx ﹣5(a >0,b ∈R ).当a =2时,f (x )=g (x )的两根为x 1,x 2,则|x1﹣x2|的最小值为4;当x>0时,f(x)•g(x)≥0恒成立,则b+3a的最小值为2√10.解:当a=2时,方程f(x)=g(x),即x2+(b﹣2)x﹣4=0,则有x1+x2=2﹣b,x1x2=﹣4,|x1−x2|=√(x1−x2)2=√(x1+x2)2−4x1x2=√(2−b)2+16,所以当b=2时,|x1﹣x2|的最小值为4,此时b=2满足Δ>0.当x>0时,f(x)•g(x)=(ax﹣1)(x2+bx﹣5)≥0恒成立,由a>0,当0<x<2时,ax﹣1<0,x2+bx﹣5≤0;当x>1a时,ax﹣1>0,x2+bx﹣5≥0,x=1a是方程x2+bx﹣5=0的根,即有1a2+ba−5=0,得b=5a−1a,b+3a=5a+2a≥2√5a⋅2a=2√10,当且仅当5a=2a,即a=√105时等号成立,所以b+3a的最小值为2√10.故答案为:4;2√10.三、解答题:本大题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)已知全集U=R,集合A={x|﹣1<x<3},B={x|2<x≤6},C={x|10﹣2a<x<3a}.(1)求A∪B;(2)若A∩C=∅,求实数a的取值范围.解:(1)∵集合A={x|﹣1<x<3},B={x|2<x≤6},∴A∪B={x|﹣1<x≤6}.(2)C={x|10﹣2a<x<3a},当10﹣2a≥3a时,即a≤2时,C=∅,此时A∩C=∅,满足题意;当10﹣2a<3a时,即a>2时,C={x|10﹣2a<x<3a},若A∩C=∅,则10﹣2a≥3或3a≤﹣1,即a≤72或a≤−13,∴2<a≤7 2.综上,实数a的取值范围为{a|a≤72 }.18.(12分)已知函数f(x)=ax2+bx﹣1(a,b∈R).(1)若不等式f(x)>0的解集是{x|1<x<3},求a,b的值;(2)当b=3时,若不等式f(x)<0对一切实数x恒成立,求a的取值范围.解:(1)由题意得1,3为方程ax2+bx﹣1=0的两实数根,且a<0,则{−1a=3−ba=4,解得{a=−13b=43.(2)当b =3时,f (x )=ax 2+3x ﹣1,即不等式ax 2+3x ﹣1<0对一切实数x 恒成立, 当a =0时,即3x ﹣1<0,显然对一切实数x 并不是恒成立,则a ≠0, 则有{a <0Δ=9+4a <0,解得a <−94,综上所述:a <−94,即a 的取值范围是(﹣∞,−94).19.(12分)已知函数f(x)=√3sinxcosx +sin 2x −12.(1)当x ∈(π4,7π12)时,求f (x )的取值范围;(2)若x 0∈(π4,7π12)且f(x 0)=13,求cos2x 0的值.解:(1)f(x)=√3sinxcosx +sin 2x −12=√32sin2x −12cos2x =sin (2x −π6), 当x ∈(π4,7π12)时,π3<2x −π6<π,所以0<sin (2x −π6)≤1,即f (x )的取值范围为(0,1];(2)若x 0∈(π4,7π12)且f(x 0)=13=sin (2x 0−π6),则π3<2x 0−π6<π,因为sin (2x 0−π6)<√32,所以cos (2x 0−π6)=−2√23,故cos2x 0=cos (2x 0−π6+π6)=√32cos (2x 0−π6)−12sin (2x 0−π6)=√32×(−2√23)−12×13=−1−2√66.20.(12分)已知函数f(x)=−3x+b3x+1+a是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a ,b 的值;(2)判断并证明函数f (x )的单调性;(3)对任意t ∈[1,e ],关于t 的不等式f [(lnt )2﹣ln (et 2)]+f (k )<0恒成立,求实数k 的取值范围. 解:(1)∵函数f(x)=−3x+b3x+1+a是定义在R 上的奇函数,∴f (0)=0,f (1)=﹣f (﹣1),即−1+b 3+a =0,−3+b 9+a =−−13+b 1+a,解得a =3,b =1,此时f(x)=−3x +13x+1+3=13(23x +1−1),可得f (x )+f (﹣x )=13(23x +1−1)+13(23−x +1−1)=13(23x +1+2×3x 3x +1−2)=0,即a =3,b =1符合题意.(2)函数f (x )在R 上单调递减,证明如下:由(1)可得,f (x )=−3x−13x +1×13=−13(1−23x +1)=−13+23×13x +1,设x 1<x 2,则f (x 1)﹣f (x 2)=23(11+3x 1−11+3x 2)=23⋅3x 2−3x1(1+3x 1)(1+3x 2)>0,∴f (x 1)<f (x 2),即函数f (x )在R 上单调递减.(3)对任意t ∈[1,e ],关于t 的不等式f [(lnt )2﹣ln (et 2)]+f (k )<0恒成立,且f (x )为单调递减的奇函数,∴f [(lnt )2﹣ln (et 2)]<﹣f (k )=f (﹣k ), ∴(lnt )2﹣ln (et 2)>﹣k ,可得(lnt )2﹣2lnt ﹣1>﹣k 对任意t ∈[1,e ]恒成立, 令u =lnt ,由t ∈[1,e ],可知u =lnt ∈[0,1],可得g (u )=u 2﹣2u ﹣1且g (u )的图象开口向上,对称轴为u =1,则g (u )在[0,1]内单调递减,可得g (u )在[0,1]内的最小值为g (1)=﹣2, 则﹣2>﹣k ,解得k >2,∴实数k 的取值范围为(2,+∞).21.(12分)如图,已知直线l 1∥l 2,A 是l 1,l 2之间的一个定点,过点A 作直线l 垂直于l 1,l 2且分别交于点E ,D ,AD =2,AE =1.B 是直线l 2上的一个动点,作AC ⊥AB ,且使AC 与直线l 1交于点C .设∠ABD =α,α∈[π6,π3].(1)设△ABD 的面积为S 1,△ACE 的面积为S 2,求S 1+S 2的最小值; (2)若△ABC 的外接圆面积不超过5π2,求角α的取值范围.解:(1)根据题意,∠ABD =α,则∠EAC =α,α∈[π6,π3],∴|BD|=2tanα,|AB|=2sinα,|EC |=tan α,|AC|=1cosα, S 1=12×|AD|×|BD|=2tanα,S 2=12×|AE|×|EC|=tanα2, ∴S 1+S 2=2tanα+tanα2,α∈[π6,π3], 令x =tanα∈[√33,√3],f(x)=2x +x2, 任取x 1,x 2∈[√33,√3],且x 1<x 2,则f(x 1)−f(x 2)=2x 1+x 12−(2x 2+x22)=(x 1−x 2)⋅x 1x 2−42x 1x 2,∵√33≤x 1<x 2≤√3,∴x 1﹣x 2<0,x 1x 2>0,x 1x 2﹣4<0,∴f (x 1)﹣f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2),所以函数f (x )在[√33,√3]上单调递减,∴f(x)≥f(√3)=2√3√32=7√36,即S 1+S 2的最小值为7√36, 当且仅当α=π3时等号成立;(2)设△ABC 外接圆半径为r ,则|BC |=2r , 又△ABC 外接圆面积S =πr 2≤5π2,即4r 2≤10,即|BC |2≤10, 由题可得|BC|2=|AB|2+|AC|2=1cos 2α+4sin 2α, ∴1cos 2α+4sin 2α≤10,即1+3cos 2α≤10sin 2αcos 2α,化简整理得5cos 22α+3cos2α≤0,解得−35≤cos2α≤0,又α∈[π6,π3],2α∈[π3,2π3],∴−12≤cos2α≤0,∴π2≤2α≤2π3,解得α∈[π4,π3].22.(12分)已知函数y =f (x ),若对于其定义域D 中任意给定的实数x ,都有f(x)+f(1x)=0,就称函数y =f (x )满足性质P .(1)已知f (x )=2x +1,判断y =f (x )是否满足性质P ,并说明理由; (2)若y =f (x )满足性质P ,且定义域为(0,+∞). ①已知x ∈(0,1)时,f(x)=log 3x −3x 2,求函数f (x )的解析式并指出方程f (x )=255是否有正整数解?请说明理由;②若f (x )在(0,1)上单调递增,证明:f (x )在(1,+∞)上单调递增. 解:(1)因为f (x )+f (1x)=2x +1+2x +1=2x +2x +2=0不恒成立,所以y =f (x )不满足性质P ; (2)①当x >1时,0<1x<1,此时f (x )=﹣f (1x )=﹣(log 31x−3x 2)=3x 2+log 3x ,又当x =1时,f (1)+f (1)=0,所以f (1)=0, 所以f (x )={log 3x −3x 2,0<x <10,x =13x 2+log 3x ,x >1;假设方程f(x)=255有正整数解n,则3n2+log3n=255,要使上式能成立,则必有n=3k,k≥1,k∈N,所以3×32k+log33k=32k+1+k=255,明显y=32k+1+k为单调递增函数,又当k=2时,32k+1+k=35+2=245<255,当k=3时,32k+1+k=37+3=2190>255,故方程f(x)=255没有正整数解;②证明:任取x1>x2>1,则0<1x1<1x2<1,则f(x1)﹣f(x2)=﹣f(1x1)﹣[﹣f(1x2)]=f(1x2)﹣f(1x1),因为f(x)在(0,1)上单调递增,且0<1x1<1x2<1,所以f(1x2)>f(1x1),所以f(x1)﹣f(x2)=f(1x2)﹣f(1x1)>0,即f(x1)>f(x2).所以f(x)在(1,+∞)上单调递增.。

2019-2020年江苏省无锡市高一上册期末数学试卷(有答案)

2019-2020年江苏省无锡市高一上册期末数学试卷(有答案)

江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分).1.(5分)设全集U={0,1,2,3},集合A={1,2},B={2,3},则(∁U A)∪B=.2.(5分)函数的最小正周期为.3.(5分)若函数f()=,则f(f(﹣2))=.4.(5分)在平面直角坐标系Oy中,300°角终边上一点P的坐标为(1,m),则实数m的值为.5.(5分)已知幂函数y=f()的图象过点(,),则f()=.6.(5分)已知向量与满足||=2,||=3,且•=﹣3,则与的夹角为.7.(5分)已知sin(α+π)=﹣,则sin(2α+)=.8.(5分)函数y=log2(3cos+1),∈[﹣,]的值域为.9.(5分)在△ABC中,E是边AC的中点,=4,若=+y,则+y=.10.(5分)将函数y=sin(2﹣)的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为y=.11.(5分)若函数f()=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间(﹣2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是.12.(5分)若=1,tan(α﹣β)=,则tanβ=.13.(5分)已知f()是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,当>0时,f()=4﹣2,若函数f()在区间[t,4]上的值域为[﹣4,4],则实数t的取值范围是.14.(5分)若函数f()=|sin(ω+)|(ω>1)在区间[π,π]上单调递减,则实数ω的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.15.(15分)已知向量=(﹣3,1),=(1,﹣2),=+(∈R).(1)若与向量2﹣垂直,求实数的值;(2)若向量=(1,﹣1),且与向量+平行,求实数的值.16.(15分)设α∈(0,),满足sinα+cosα=.(1)求cos(α+)的值;(2)求cos(2α+π)的值.17.(15分)某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查,得到每月利润y(单位:万元)与相应月份数的部分数据如表:14712y229244241196(1)根据如表数据,请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与的变化关系,并说明理由,y=a3+b,y=﹣2+a+b,y=a•b.(2)利用(1)中选择的函数,估计月利润最大的是第几个月,并求出该月的利润.18.(15分)已知函数f()=()﹣2.(1)若f()=,求的值;(2)若不等式f(2m﹣mcosθ)+f(﹣1﹣cosθ)<f(0)对所有θ∈[0,]都成立,求实数m的取值范围.19.(15分)已知t为实数,函数f()=2log a(2+t﹣2),g()=log a,其中0<a<1.(1)若函数y=g(a+1)﹣是偶函数,求实数的值;(2)当∈[1,4]时,f()的图象始终在g()的图象的下方,求t的取值范围;(3)设t=4,当∈[m,n]时,函数y=|f()|的值域为[0,2],若n﹣m的最小值为,求实数a的值.20.(15分)已知向量=(cos,sin),=(cos,﹣sin),函数f()=•﹣m|+|+1,∈[﹣,],m∈R.(1)当m=0时,求f()的值;(2)若f()的最小值为﹣1,求实数m的值;(3)是否存在实数m,使函数g()=f()+m2,∈[﹣,]有四个不同的零点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分).1.(5分)设全集U={0,1,2,3},集合A={1,2},B={2,3},则(∁U A)∪B={0,2,3} .【解答】解:全集U={0,1,2,3},集合A={1,2},B={2,3},则∁U A={0,3},所以(∁U A)∪B={0,2,3}.故答案为:{0,2,3}.2.(5分)函数的最小正周期为π.【解答】解:函数,∵ω=2,∴T==π.故答案为:π3.(5分)若函数f()=,则f(f(﹣2))=5.【解答】解:∵函数f()=,∴f(﹣2)=(﹣2)2﹣1=3,f(f(﹣2))=f(3)=3+2=5.故答案为:5.4.(5分)在平面直角坐标系Oy中,300°角终边上一点P的坐标为(1,m),则实数m的值为﹣.【解答】解:在平面直角坐标系Oy中,∵300°角终边上一点P的坐标为(1,m),∴tan300°=tan(360°﹣60°)=﹣tan60°=﹣=,∴m=﹣,故答案为:﹣.5.(5分)已知幂函数y=f()的图象过点(,),则f()=4.【解答】解:∵幂函数y=f()=α的图象过点(,),∴=,解得:α=﹣2,故f()=﹣2,f()==4,故答案为:4.6.(5分)已知向量与满足||=2,||=3,且•=﹣3,则与的夹角为.【解答】解:∵向量与满足||=2,||=3,且•=﹣3,设与的夹角为θ,则cosθ===﹣,∴θ=,故答案为:.7.(5分)已知sin(α+π)=﹣,则sin(2α+)=.【解答】解:∵sin(α+π)=﹣,∴sinα=,∴sin(2α+)=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=,故答案为:.8.(5分)函数y=log2(3cos+1),∈[﹣,]的值域为[0,2] .【解答】解:∵∈[﹣,],∴0≤cos≤1,∴1≤3cos+1≤4,∴0≤log2(3cos+1)≤2,故答案为[0,2].9.(5分)在△ABC中,E是边AC的中点,=4,若=+y,则+y=﹣.【解答】解:∵E是边AC的中点,=4,∴=,所以=﹣,y=,+y=﹣.故答案为:﹣.10.(5分)将函数y=sin(2﹣)的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为y=sin(4+).【解答】解:将函数y=sin(2﹣)的图象先向左平移,得到函数y=sin[2(+)﹣]=sin(2+)的图象,将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应的函数解析式为:y=sin(4+)故答案为:sin(4+).11.(5分)若函数f()=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间(﹣2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是(0,2).【解答】解:∵函数f()=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间(﹣2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,∴,求得0<a<2,故答案为:(0,2).12.(5分)若=1,tan(α﹣β)=,则tanβ=.【解答】解:∵═==,∴tanα=,又tan(α﹣β)=,则tanβ=tan[α﹣(α﹣β)]===,故答案为:.13.(5分)已知f()是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,当>0时,f()=4﹣2,若函数f()在区间[t,4]上的值域为[﹣4,4],则实数t的取值范围是[﹣2﹣2,﹣2] .【解答】解:如<0,则﹣>0,∵当>0时,f()=4﹣2,∴当﹣>0时,f(﹣)=﹣4+2,∵函数f()是奇函数,∴f(0)=0,且f(﹣)=﹣4+2=﹣f(),则f()=4+2,<0,则函数f()=,则当>0,f()=4﹣2=﹣(﹣2)2+4≤4,当<0,f()=4+2=(+2)2﹣4≥﹣4,当<0时,由4+2=4,即2+4﹣4=0得==﹣2﹣2,(正值舍掉),若函数f()在区间[t,4]上的值域为[﹣4,4],则﹣2﹣2≤t≤﹣2,即实数t的取值范围是[﹣2﹣2,﹣2],故答案为:[﹣2﹣2,﹣2]14.(5分)若函数f()=|sin(ω+)|(ω>1)在区间[π,π]上单调递减,则实数ω的取值范围是[,] .【解答】解:∵函数f()=|sin(ω+)|(ω>0)在[π,π]上单调递减,∴T=≥,即ω≤2.∵ω>0,根据函数y=|sin|的周期为π,减区间为[π+,π+π],∈,由题意可得区间[π,]内的值满足π+≤ω+≤π+π,∈,即ω•π+≥π+,且ω•+≤π+π,∈.解得+≤ω≤(+),∈.求得:当=0时,≤ω≤,不符合题意;当=1时,≤ω≤;当=2时,≤ω≤,不符合题意.综上可得,≤ω≤,故答案为:[,].二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.15.(15分)已知向量=(﹣3,1),=(1,﹣2),=+(∈R).(1)若与向量2﹣垂直,求实数的值;(2)若向量=(1,﹣1),且与向量+平行,求实数的值.【解答】解:(1)=+=(﹣3+,1﹣2),2﹣=(﹣7,4).∵与向量2﹣垂直,∴•(2﹣)=﹣7(﹣3+)+4(1﹣2)=0,解得=.(2)+=(+1,﹣2﹣1),∵与向量+平行,∴(﹣2﹣1)(﹣3+)﹣(1﹣2)(+1)=0,解得=.16.(15分)设α∈(0,),满足sinα+cosα=.(1)求cos(α+)的值;(2)求cos(2α+π)的值.【解答】解:(1)∵α∈(0,),满足sinα+cosα==2sin(α+),∴sin(α+)=.∴cos(α+)==.(2)∵cos(2α+)=2﹣1=,sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2••=,∴cos(2α+π)=cos[(2α+)+]=cos(2α+)cos﹣sin(2α+)sin=﹣=.17.(15分)某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查,得到每月利润y(单位:万元)与相应月份数的部分数据如表:14712y229244241196(1)根据如表数据,请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与的变化关系,并说明理由,y=a3+b,y=﹣2+a+b,y=a•b.(2)利用(1)中选择的函数,估计月利润最大的是第几个月,并求出该月的利润.【解答】解:(1)由题目中的数据知,描述每月利润y(单位:万元)与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数,也不是单调函数;所以,应选取二次函数y=﹣2+a+b进行描述;(2)将(1,229),(4,244)代入y=﹣2+a+b,解得a=10,b=220,,∴y=﹣2+10+220,1≤≤12,∈N+y=﹣(﹣5)2+245,∴=5,y ma=245万元.18.(15分)已知函数f()=()﹣2.(1)若f()=,求的值;(2)若不等式f(2m﹣mcosθ)+f(﹣1﹣cosθ)<f(0)对所有θ∈[0,]都成立,求实数m的取值范围.【解答】解:(1)令t=2>0,则﹣t=,解得t=﹣4(舍)或t=,…3分,即2=,所以=﹣2…6分(2)因为f(﹣)=﹣2﹣=2﹣=﹣f(),所以f()是定义在R上的奇函数,…7故f(0)=0,由f(2m﹣mcosθ)+f(﹣1﹣cosθ)<f(0)=0得:f(2m﹣mcosθ)<f(1+cosθ)…8分,又f()=()﹣2在R上单调递减,…9分,所以2m﹣mcosθ>1+cosθ对所有θ∈[0,]都成立,…10分,所以m>,θ∈[0,],…12分,令μ=cosθ,θ∈[0,],则μ∈[0,1],y==﹣1+,μ∈[0,1]的最大值为2,所以m的取值范围是m>2…16分19.(15分)已知t为实数,函数f()=2log a(2+t﹣2),g()=log a,其中0<a<1.(1)若函数y=g(a+1)﹣是偶函数,求实数的值;(2)当∈[1,4]时,f()的图象始终在g()的图象的下方,求t的取值范围;(3)设t=4,当∈[m,n]时,函数y=|f()|的值域为[0,2],若n﹣m的最小值为,求实数a的值.【解答】解:(1)∵函数y=g(a+1)﹣是偶函数,∴log a(a﹣+1)+=log a(a+1)﹣,对任意∈R恒成立,∴2=log a(a+1)﹣log a(a﹣+1)=log a()=∴=,(2)由题意设h()=f()﹣g()=2log a(2+t﹣2)﹣log a<0在∈[1,4]恒成立,∴2log a(2+t﹣2)<log a,∵0<a<1,∈[1,4],∴只需要2+t﹣2>恒成立,即t>﹣2++2恒成立,∴t>(﹣2++2)ma,令y=﹣2++2=﹣2()2++2=﹣2(﹣)2+,∈[1,4],∴(﹣2++2)ma=1,∴t的取值范围是t>1,(3)∵t=4,0<a<1,∴函数y=|f()|=|2log a(2+2)|在(﹣1,﹣)上单调递减,在(﹣,+∞)上单调递增,∵当∈[m,n]时,函数y=|f()|的值域为[0,2],且f(﹣)=0,∴﹣1<m≤≤n(等号不同时取到),令|2log a(2+2)|=2,得=或,又[﹣(﹣)]﹣[(﹣)﹣]=>0,∴﹣(﹣)>(﹣)﹣,∴n﹣m的最小值为(﹣)﹣=,∴a=.20.(15分)已知向量=(cos,sin),=(cos,﹣sin),函数f()=•﹣m|+|+1,∈[﹣,],m∈R.(1)当m=0时,求f()的值;(2)若f()的最小值为﹣1,求实数m的值;(3)是否存在实数m,使函数g()=f()+m2,∈[﹣,]有四个不同的零点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.【解答】解:(1)•=(cos,sin)•(cos,﹣sin)=cos cos﹣sin sin=cos (+)=cos2,当m=0时,f()=•+1=cos2+1,则f()=cos(2×)+1=cos+1=;(2)∵∈[﹣,],∴|+|===2cos,则f()=•﹣m|+|+1=cos2﹣2mcos+1=2cos2﹣2mcos,令t=cos,则≤t≤1,则y=2t2﹣2mt,对称轴t=,①当<,即m<1时,当t=时,函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1,得m=(舍),②当≤≤1,即m<1时,当t=时,函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1,得m=,③当>1,即m>2时,当t=1时,函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1,得m=(舍),综上若f()的最小值为﹣1,则实数m=.(3)令g()=2cos2﹣2mcos+m2=0,得cos=或,∴方程cos=或在∈[﹣,]上有四个不同的实根,则,得,则≤m<,即实数m的取值范围是≤m<.。

江苏省无锡市2020-2021学年高一上学期期末数学试题(解析版)

江苏省无锡市2020-2021学年高一上学期期末数学试题(解析版)

【详解】对于 A:当 a 3 , b 1时,无法得到 ab 0 ,故 A 错误;
对于 B:若 a b 0 ,则 1 1 , b a 0 , ab 0 ,又 c 0 , ab
所以 c c bc ac b a c 0 ,所以 c c ,故 B 正确;
a b ab
ab
ab
0
1 2
log3
Q1 100
,则
Q1 100
1,即耗氧量为
Q1
100

当一条鲑鱼以1.5m/s
的速度游动时,
v
1.5
,此时1.5
1 2
log3
Q 100
,所以 log3
Q 100
3
,则
Q 100
27

即耗氧量为 Q 2700 ,
因此当一条鲑鱼以1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱm/s 的速度游动时,它的耗氧量比静止时多出的单位数为 2700 100 2600 .
B. y f (x) 的图象关于点 (k , 0)(k Z ) 对称
C. f (x) 的值域为[ 2,1]
D. f (x) 在 , 2 上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】
对已知函数去绝对值写成分段函数的形式,作出其函数图象,借助于三角函数的图象逐一判断四个选项的
正误,即可得正确选项.
【详解】当 cos x 0 即 2k x 2k k Z 时,
2
2
f (x) sin x cos x
2
sin
x
4

当 cos x 0 即 π + 2kπ < x < 3π + 2kπ(k Î Z ) 时,
2

无锡市XX中学高一(上)期末数学试卷(有答案)

无锡市XX中学高一(上)期末数学试卷(有答案)

江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1.(5分)已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={﹣1,0,1,6},且A∩B=.2.(5分)函数的定义域是.3.(5分)cos24°cos36°﹣cos66°cos54°的值等于.4.(5分)已知向量、满足,它们的夹角为60°,那么=.5.(5分)若幂函数f(x)的图象过点,则f(x)=.6.(5分)函数f(x)=1﹣2sin2x的最小正周期为.7.(5分)方程lgx+x=2的根x0∈(k,k+1),其中k∈Z,则k=.8.(5分)设定义域为R的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(0,+∞),(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,则f(﹣π)f(3.14).(填“>”、“<”或“=”)9.(5分)将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为.10.(5分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))的图象如图所示,则φ=.11.(5分)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一点,=2,则•=.12.(5分)已知角α、β的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,α、β∈(0,π),角β的终边与单位圆交点的横坐标是,角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是,则cosα=.13.(5分)若奇函数f(x)在其定义域R上是减函数,且对任意的x∈R,不等式f(cos2x+sinx)14.(5分)已知△ABC的边长为2的等边三角形,动点P满足,则的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)已知(1)求tanθ的值;(2)求的值.16.(14分)已知向量,向量,向量满足.(1)若,且,求的值;(2)若与共线,求实数k的值.17.(14分)已知函数(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)若,求cos2α的值.18.(16分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD是个半圆,固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆(MN和AB、DC不重合).(1)当MN和AB之间的距离为1米时,求此时三角通风窗EMN的通风面积;(2)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x);(3)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通风窗EMN的通风面积最大?并求出这个最大面积.19.(16分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量=(﹣1,2),又点A(8,0),(1)若⊥,且,求向量;(2)若向量与向量共线,常数k>0,求f(θ)=tsinθ的值域.20.(16分)对于函数f1(x),f2(x),h(x),如果存在实数a,b使得h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),那么称h(x)为f1(x),f2(x)的生成函数.(1)给出函数,h(x)是否为f1(x),f2(x)的生成函数?并说明理由;(2)设,生成函数h(x).若不等式3h2(x)+2h(x)+t>0在x∈[2,4]上恒成立,求实数t的取值范围;(3)设,取a>0,b>0,生成函数h(x)图象的最低点坐标为(2,8).若对于任意正实数x1,x2且x1+x2=1.试问是否存在最大的常数m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立?如果存在,求出这个m的值;如果不存在,请说明理由.参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1.(5分)已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={﹣1,0,1,6},且A∩B={0,1} .【解答】解:∵集合A={0,1,2,3,4,5},B={﹣1,0,1,6},∴A∩B={0,1}.故答案为:{0,1}.2.(5分)函数的定义域是(﹣1,0)∪(0,+∞).【解答】解:要使原函数有意义,则,得x>﹣1且x≠0.∴函数的定义域是:(﹣1,0)∪(0,+∞).故答案为:(﹣1,0)∪(0,+∞).【解答】解:∵24°+66°=90°,∴cos66°=sin24°,同理可得cos54°=sin36°.由此可得cos24°cos36°﹣cos66°cos54°=cos24°cos36°﹣sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=.故答案为:4.(5分)已知向量、满足,它们的夹角为60°,那么=.【解答】解:向量、满足,它们的夹角为60°,∴=+2•+=12+2×1×2×cos60°+22=7∴=.故答案为:.5.(5分)若幂函数f(x)的图象过点,则f(x)=x﹣2.【解答】解:设幂函数为y=xα,因为图象过点,则,所以,α=﹣2.所以f(x)=x﹣2.故答案为x﹣2.6.(5分)函数f(x)=1﹣2sin2x的最小正周期为π.【解答】解:f(x)=1﹣2sin2x=cos2x∴函数最小正周期T==π故答案为:π.7.(5分)方程lgx+x=2的根x0∈(k,k+1),其中k∈Z,则k=1.【解答】解:由题意设f(x)=lgx+x﹣2,则函数f(x)的定义域是(0,+∞),所以函数f(x)在(0,+∞)是单调增函数,因为f(1)=0+1﹣2=﹣1<0,f(2)=lg2+2﹣2=lg2>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上有一个零点,即方程lgx+x=2的一个根x∈(1,2),因为x0∈(k,k+1),k∈Z,所以k=1,故答案为:1.8.(5分)设定义域为R的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(0,+∞),(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,则f(﹣π)>f(3.14).(填“>”、“<”或“=”)【解答】解:∵函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(0,+∞),(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,∴函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,又由函数f(x)是定义域为R的偶函数,故f(﹣π)=f(π)>f(3.14).故答案为:>.9.(5分)将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y=sin(2x+).【解答】解:将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),可得y=sin2x 的图象;再将得到的图象向左平移个单位长度,可得y=sin2(x+)=sin(2x+)的图象,故答案为:y=sin(2x+).10.(5分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))的图象如图所示,则φ=.【解答】解:由题意可知A=3,T=8,所以ω==,因为函数经过(3,0),所以═3sin故答案为:.11.(5分)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一点,=2,则•=.【解答】解:法一:选定基向量,,由图及题意得,=∴=()()=+==法二:由题意可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+1+2=7,∴BC=,∴cosB===AD==,∵,∴=.故答案为:﹣.12.(5分)已知角α、β的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,α、β∈(0,π),角β的终边与单位圆交点的横坐标是,角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是,则cosα=.【解答】解:由题意得α、β∈(0,π),cosβ=﹣,∴sinβ=,故<β<π.∵sin(α+β)=,∴<α+β<π,∴cos(α+β)=﹣,∴cosα=cos[(α+β)﹣β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=,故答案为.13.(5分)若奇函数f(x)在其定义域R上是减函数,且对任意的x∈R,不等式f(cos2x+sinx)+f(sinx﹣a)≤0恒成立,则a的最大值是﹣3.【解答】解:不等式f(cos2x+sinx)+f(sinx﹣a)≤0恒成立,即f(cos2x+sinx)≤﹣f(sinx ﹣a)恒成立又∵f(x)是奇函数,﹣f(sinx﹣a)=f(﹣sinx+a)∴不等式f(cos2x+sinx)≤f(﹣sinx+a)在R上恒成立∵函数f(x)在其定义域R上是减函数,∴cos2x+sinx≥﹣sinx+a,即cos2x+2sinx≥a∵cos2x=1﹣2sin2x,∴cos2x+2sinx=﹣2sin2x+2sinx+1,当sinx=﹣1时cos2x+2sinx有最小值﹣3.因此a≤﹣3,a的最大值是﹣3故答案为:﹣314.(5分)已知△ABC的边长为2的等边三角形,动点P满足,则的取值范围是[﹣,0] .【解答】解:如图所示,△ABC中,设BC的中点为O,则=2,∵=sin2θ•+cos2θ•=sin2θ•+cos2θ•=(1﹣cos2θ)•+cos2θ•=+cos2θ•(﹣),即﹣=cos2θ•(﹣),可得=cos2θ•,由于BC边上的中线OA=2×sin60°=,因此(+)•=2•,设||=t,t∈[0,],可得(+)•=﹣2t(﹣t)=2t2﹣2t=2(t﹣)2﹣,∴当t=时,(+)•取得最小值为﹣;当t=0或时,(+)•取得最大值为0;∴的取值范围是[﹣,0].故答案为:[﹣,0].二、解答题:本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)已知(1)求tanθ的值;(2)求的值.【解答】解:(1)∵,∴,∵π<θ<2π,∴<θ<π,∴tanθ=﹣2.(2)=.16.(14分)已知向量,向量,向量满足.(1)若,且,求的值;(2)若与共线,求实数k的值.【解答】解:(1)∵,∴,又,∴,而,且,∴=,则||=;(2)由,得,∴,∵与共线,∴,解得:k=1.17.(14分)已知函数(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)若,求cos2α的值.【解答】解:(1)函数=sin2x+2•﹣=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+,令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴函数f(x)的单调增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z;(2)∵f(α)=sin(2α+)+=2,∴sin(2α+)=,又α∈[,],∴≤2α+≤,∴2α+=,∴2α=,∴cos2α=.18.(16分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD是个半圆,固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆(MN和AB、DC不重合).(1)当MN和AB之间的距离为1米时,求此时三角通风窗EMN的通风面积;(2)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x);(3)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通风窗EMN的通风面积最大?并求出这个最大面积.【解答】解:(1)由题意,当MN和AB之间的距离为1米时,MN应位于DC上方,且此时△EMN中MN边上的高为0.5米,又因为EM=EN=1米,所以MN=米,所以,即三角通风窗EMN的通风面积为(2)当MN在矩形区域内滑动,即时,△EMN的面积;当MN在半圆形区域内滑动,即时,△EMN的面积综上可得;(3)当MN在矩形区域内滑动时,f(x)在区间上单调递减,则f(x)<f(0)=;当MN在半圆形区域内滑动,等号成立时,因此当(米)时,每个三角形得到最大通风面积为平方米.19.(16分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量=(﹣1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t),θ∈R.(1)若⊥,且,求向量;(2)若向量与向量共线,常数k>0,求f(θ)=tsinθ的值域.【解答】解:(1)=(n﹣8,t),∵⊥,且,∴﹣(n﹣8)+2t=0,=8,解得t=±8,t=8时,n=24;t=﹣8时,n=﹣8.∴向量=(24,8),(﹣8,﹣8).(2)=(ksinθ﹣8,t),(2)∵向量与向量共线,常数k>0,∴t=﹣2ksinθ+16,∴f(θ)=tsinθ=﹣2ksin2θ+16sinθ=﹣2k+.①k>4时,,∴sinθ=时,f(θ)=tsinθ取得最大值,sinθ=﹣1时,f(θ)=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16,此时函数f(θ)的值域为.②4>k>0时,>1.∴sinθ=1时,f(θ)=tsinθ取得最大值﹣2k+16,sinθ=﹣1时,f(θ)=tsinθ取得最小值﹣2k﹣16,此时函数f(θ)的值域为[﹣2k﹣16,﹣2k+16].20.(16分)对于函数f1(x),f2(x),h(x),如果存在实数a,b使得h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),那么称h(x)为f1(x),f2(x)的生成函数.(1)给出函数,h(x)是否为f1(x),f2(x)的生成函数?并说明理由;(2)设,生成函数h(x).若不等式3h2(x)+2h(x)+t>0在x∈[2,4]上恒成立,求实数t的取值范围;(3)设,取a>0,b>0,生成函数h(x)图象的最低点坐标为(2,8).若对于任意正实数x1,x2且x1+x2=1.试问是否存在最大的常数m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立?如果存在,求出这个m的值;如果不存在,请说明理由.【解答】解:(1)函数,若h(x)是af1(x)+bf2(x)的生成函数,则有:lgx=,由:,解得:,存在实数a,b满足题意.∴h(x)是f1(x),f2(x)的生成函数.(2)由题意,,生成函数h(x).则h(x)=2•f 1(x)+f2(x)=∴h(x)是定义域内的增函数.若3h2(x)+2h(x)+t>0在x∈[2,4]上恒成立,即.设S=log2x,则S∈[1,2],那么有:y=﹣3S2﹣2S,其对称轴S=.∴﹣16≤y≤﹣5,故得t>﹣5.(3)由题意,得h(x)=a•f1(x)+b•f2(x)=ax,则h(x)=ax≥2∴,解得:a=2,b=8.∴h(x)=2x+,(x>0)假设最大的常数m,使h(x1)h(x2)≥m恒成立,令u=h(x1)h(x2)==∵x1+x2=1,∴u=,令t=x1x2,则t=x1x2≤,即,那么:u=4t,在上是单调递减,∴u≥u()=289.故最大的常数m=289.。

江苏省无锡市第一中学2023届高一数学第一学期期末检测试题含解析

江苏省无锡市第一中学2023届高一数学第一学期期末检测试题含解析
2、B
【解析】根据函数的奇偶性定义判断为奇函数可得对称性,化简解析式,根据指数函数的性质可得单调性和值域.
【详解】因为 的定义域为 ,
,即函数 为奇函数,
所以函数 的图象关于原点对称,即①正确,②不正确;
因为 ,
由于 单调递减,所以 单调递增,故④错误;
因为 ,所以 , ,
即函数 的值域为 ,故③正确,即正确的个数为2个,
(2)利用基本不等式即得.
【小问1详解】
由函数 ,图象如图:
递增区间为 , 递减区间为 ;(注:写成 也可以)
【小问2详解】
当 时, ,
等号当且仅当 时成立,
∴ 的最小值为 ,y取最小值时
18、
【解析】先计算正弦与正切,利用诱导公式化简可得
【详解】若 = , 是第四象限角,则
原式= .
19、(1)
(2)
故选C.
点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.
【详解】 向左平移 个单位,再向上平移1个单位后,
可得 的图象,
在根据所得图象和 的图象重合,故 ,
显然, 是非奇非偶函数,且它的最大值为2,故排除A、B;
当 时, ,故 不是对称点;
当 时, 为最大值,故 一条对称轴为 ,故D正确,
故选D.
【点睛】本题主要考查函数 的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题.利用y=sinx的对称中心为 求解,令 ,求得x.

江苏省无锡市高一上学期数学期末考试试卷

江苏省无锡市高一上学期数学期末考试试卷

江苏省无锡市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分)设集合,,,则=()A .B .C .D .2. (2分)如果,且,直线不经过()A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. (2分) (2016高一上·淮北期中) 设方程10x=|lg(﹣x)|的两个根分别为x1 , x2 ,则()A . x1 x2<0B . x1 x2=1C . x1x2>1D . 0<x1 x2<14. (2分) (2019高三上·长治月考) 如图,在正方体中,点M为中点,则异面直线AM与所成角的余弦值为()A .B .C .D .5. (2分)已知m≠0,直线ax+3my+2a=0在y轴上的截距为2,则直线的斜率为()A . 1B . -C . -D . 26. (2分)设l是直线,是两个不同的平面,则()A . 若,,则B . 若,,则C . 若,,则D . 若,,则7. (2分) (2019高一下·鹤岗月考) 如图,正方形的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是()A . 8B . 6C .D .8. (2分)已知直线PQ过P(2,3),Q(6,5)则直线PQ的斜率是()A . 2B . 1C . ﹣1D .9. (2分) (2016高一下·商水期中) 给出下列三个等式:f(xy)=f(x)+f(y),f(x+y)=f(x)f(y),.下列函数中不满足其中任何一个等式的是()A . f(x)=3xB . f(x)=sinxC . f(x)=log2xD . f(x)=tanx10. (2分)(2017·湖北模拟) 如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形,则该空间几何体的外接球的表面积为()A .B .C . 16πD . 21π11. (2分)函数f(x)=log2x在区间[1,2]上的最小值是()A . -1B . 0C . 1D . 212. (2分) (2017高一下·长春期末) 某工作的三视图如图所示,现将该工作通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工作的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=新工件的体积/原工件的体积)()A .B .C .D .二、填空题 (共4题;共5分)13. (1分) (2017高一下·邢台期末) 若直线ax+y=0与直线x+ay+a﹣1=0平行,则a=________.14. (1分) (2017高二上·苏州月考) 正四棱锥底面边长为4,高为1,则其侧面积为________.15. (2分) (2017高二上·绍兴期末) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱长等于________,体积等于________.16. (1分) (2019高三上·沈阳月考) 已知函数f(x),若函数f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是________.三、解答题 (共6题;共55分)17. (10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.18. (10分) (2016高一下·滁州期中) 若不等式ax2+5x﹣2>0的解集是,(1)求实数a的值;(2)求不等式ax2﹣5x+a2﹣1>0的解集.19. (10分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,E,F分别为PA,BD的中点,PA=PD=AD=2.(1)证明:EF∥平面PBC;(2)若,求二面角E﹣DF﹣A的正弦值.20. (5分) (2017高二下·孝感期中) 如图,线段AB在平面α内,线段BD⊥AB,线段AC⊥α,且AB= ,AC=BD=12,CD= ,求线段BD与平面α所成的角.21. (10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a , M为BD1的中点,N在A1C1上,且满足|A1N|=3|NC1|.(1)求MN的长;(2)试判断△MNC的形状.22. (10分) (2018高一上·东台月考) 已知二次函数在区间上有最大值4,最小值0.(1)求函数g(x)的解析式;(2)设 .若(k为常数)在时恒成立,求k的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2019-2020年江苏省无锡市高一上册期末数学试卷(有答案)【优质版】

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江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分).1.(5分)设全集U={0,1,2,3},集合A={1,2},B={2,3},则(∁U A)∪B=.2.(5分)函数的最小正周期为.3.(5分)若函数f()=,则f(f(﹣2))=.4.(5分)在平面直角坐标系Oy中,300°角终边上一点P的坐标为(1,m),则实数m的值为.5.(5分)已知幂函数y=f()的图象过点(,),则f()=.6.(5分)已知向量与满足||=2,||=3,且•=﹣3,则与的夹角为.7.(5分)已知sin(α+π)=﹣,则sin(2α+)=.8.(5分)函数y=log2(3cos+1),∈[﹣,]的值域为.9.(5分)在△ABC中,E是边AC的中点,=4,若=+y,则+y=.10.(5分)将函数y=sin(2﹣)的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为y=.11.(5分)若函数f()=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间(﹣2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是.12.(5分)若=1,tan(α﹣β)=,则tanβ=.13.(5分)已知f()是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,当>0时,f()=4﹣2,若函数f()在区间[t,4]上的值域为[﹣4,4],则实数t的取值范围是.14.(5分)若函数f()=|sin(ω+)|(ω>1)在区间[π,π]上单调递减,则实数ω的取值范围是.二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.15.(15分)已知向量=(﹣3,1),=(1,﹣2),=+(∈R).(1)若与向量2﹣垂直,求实数的值;(2)若向量=(1,﹣1),且与向量+平行,求实数的值.16.(15分)设α∈(0,),满足sinα+cosα=.(1)求cos(α+)的值;(2)求cos(2α+π)的值.17.(15分)某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查,得到每月利润y (单位:万元)与相应月份数的部分数据如表:并说明理由,y=a3+b,y=﹣2+a+b,y=a•b.(2)利用(1)中选择的函数,估计月利润最大的是第几个月,并求出该月的利润.18.(15分)已知函数f()=()﹣2.(1)若f()=,求的值;(2)若不等式f(2m﹣mcosθ)+f(﹣1﹣cosθ)<f(0)对所有θ∈[0,]都成立,求实数m的取值范围.19.(15分)已知t为实数,函数f()=2log a(2+t﹣2),g()=log a,其中0<a<1.(1)若函数y=g(a+1)﹣是偶函数,求实数的值;(2)当∈[1,4]时,f()的图象始终在g()的图象的下方,求t的取值范围;(3)设t=4,当∈[m,n]时,函数y=|f()|的值域为[0,2],若n﹣m的最小值为,求实数a的值.20.(15分)已知向量=(cos,sin),=(cos,﹣sin),函数f()=•﹣m|+|+1,∈[﹣,],m∈R.(1)当m=0时,求f()的值;(2)若f()的最小值为﹣1,求实数m的值;(3)是否存在实数m,使函数g()=f()+m2,∈[﹣,]有四个不同的零点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.江苏省无锡市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分).1.(5分)设全集U={0,1,2,3},集合A={1,2},B={2,3},则(∁U A)∪B={0,2,3} .【解答】解:全集U={0,1,2,3},集合A={1,2},B={2,3},则∁U A={0,3},所以(∁U A)∪B={0,2,3}.故答案为:{0,2,3}.2.(5分)函数的最小正周期为π.【解答】解:函数,∵ω=2,∴T==π.故答案为:π3.(5分)若函数f()=,则f(f(﹣2))=5.【解答】解:∵函数f()=,∴f(﹣2)=(﹣2)2﹣1=3,f(f(﹣2))=f(3)=3+2=5.故答案为:5.4.(5分)在平面直角坐标系Oy中,300°角终边上一点P的坐标为(1,m),则实数m的值为﹣.【解答】解:在平面直角坐标系Oy中,∵300°角终边上一点P的坐标为(1,m),∴tan300°=tan(360°﹣60°)=﹣tan60°=﹣=,∴m=﹣,故答案为:﹣.5.(5分)已知幂函数y=f()的图象过点(,),则f()=4.【解答】解:∵幂函数y=f()=α的图象过点(,),∴=,解得:α=﹣2,故f()=﹣2,f()==4,故答案为:4.6.(5分)已知向量与满足||=2,||=3,且•=﹣3,则与的夹角为.【解答】解:∵向量与满足||=2,||=3,且•=﹣3,设与的夹角为θ,则cosθ===﹣,∴θ=,故答案为:.7.(5分)已知sin(α+π)=﹣,则sin(2α+)=.【解答】解:∵sin(α+π)=﹣,∴sinα=,∴sin(2α+)=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=,故答案为:.8.(5分)函数y=log2(3cos+1),∈[﹣,]的值域为[0,2] .【解答】解:∵∈[﹣,],∴0≤cos≤1,∴1≤3cos+1≤4,∴0≤log2(3cos+1)≤2,故答案为[0,2].9.(5分)在△ABC中,E是边AC的中点,=4,若=+y,则+y=﹣.【解答】解:∵E是边AC的中点,=4,∴=,所以=﹣,y=,+y=﹣.故答案为:﹣.10.(5分)将函数y=sin(2﹣)的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为y=sin(4+).【解答】解:将函数y=sin(2﹣)的图象先向左平移,得到函数y=sin[2(+)﹣]=sin(2+)的图象,将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应的函数解析式为:y=sin(4+)故答案为:sin(4+).11.(5分)若函数f()=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间(﹣2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,则实数a的取值范围是(0,2).【解答】解:∵函数f()=2﹣a+2a﹣4的一个零点在区间(﹣2,0)内,另一个零点在区间(1,3)内,∴,求得0<a<2,故答案为:(0,2).12.(5分)若=1,tan(α﹣β)=,则tanβ=.【解答】解:∵═==,∴tanα=,又tan(α﹣β)=,则tanβ=tan[α﹣(α﹣β)]===,故答案为:.13.(5分)已知f()是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数,当>0时,f()=4﹣2,若函数f()在区间[t,4]上的值域为[﹣4,4],则实数t的取值范围是[﹣2﹣2,﹣2] .【解答】解:如<0,则﹣>0,∵当>0时,f()=4﹣2,∴当﹣>0时,f(﹣)=﹣4+2,∵函数f()是奇函数,∴f(0)=0,且f(﹣)=﹣4+2=﹣f(),则f()=4+2,<0,则函数f()=,则当>0,f()=4﹣2=﹣(﹣2)2+4≤4,当<0,f()=4+2=(+2)2﹣4≥﹣4,当<0时,由4+2=4,即2+4﹣4=0得==﹣2﹣2,(正值舍掉),若函数f()在区间[t,4]上的值域为[﹣4,4],则﹣2﹣2≤t≤﹣2,即实数t的取值范围是[﹣2﹣2,﹣2],故答案为:[﹣2﹣2,﹣2]14.(5分)若函数f()=|sin(ω+)|(ω>1)在区间[π,π]上单调递减,则实数ω的取值范围是[,] .【解答】解:∵函数f()=|sin(ω+)|(ω>0)在[π,π]上单调递减,∴T=≥,即ω≤2.∵ω>0,根据函数y=|sin|的周期为π,减区间为[π+,π+π],∈,由题意可得区间[π,]内的值满足π+≤ω+≤π+π,∈,即ω•π+≥π+,且ω•+≤π+π,∈.解得+≤ω≤(+),∈.求得:当=0时,≤ω≤,不符合题意;当=1时,≤ω≤;当=2时,≤ω≤,不符合题意.综上可得,≤ω≤,故答案为:[,].二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.15.(15分)已知向量=(﹣3,1),=(1,﹣2),=+(∈R).(1)若与向量2﹣垂直,求实数的值;(2)若向量=(1,﹣1),且与向量+平行,求实数的值.【解答】解:(1)=+=(﹣3+,1﹣2),2﹣=(﹣7,4).∵与向量2﹣垂直,∴•(2﹣)=﹣7(﹣3+)+4(1﹣2)=0,解得=.(2)+=(+1,﹣2﹣1),∵与向量+平行,∴(﹣2﹣1)(﹣3+)﹣(1﹣2)(+1)=0,解得=.16.(15分)设α∈(0,),满足sinα+cosα=.(1)求cos(α+)的值;(2)求cos(2α+π)的值.【解答】解:(1)∵α∈(0,),满足sinα+cosα==2sin(α+),∴sin(α+)=.∴cos(α+)==.(2)∵cos(2α+)=2﹣1=,sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2••=,∴cos(2α+π)=cos[(2α+)+]=cos(2α+)cos﹣sin(2α+)sin=﹣=.17.(15分)某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查,得到每月利润y (单位:万元)与相应月份数的部分数据如表:并说明理由,y=a3+b,y=﹣2+a+b,y=a•b.(2)利用(1)中选择的函数,估计月利润最大的是第几个月,并求出该月的利润.【解答】解:(1)由题目中的数据知,描述每月利润y(单位:万元)与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数,也不是单调函数;所以,应选取二次函数y=﹣2+a+b进行描述;(2)将(1,229),(4,244)代入y=﹣2+a+b,解得a=10,b=220,∴y=﹣2+10+220,1≤≤12,∈N,+y=﹣(﹣5)2+245,∴=5,y ma=245万元.18.(15分)已知函数f()=()﹣2.(1)若f()=,求的值;(2)若不等式f(2m﹣mcosθ)+f(﹣1﹣cosθ)<f(0)对所有θ∈[0,]都成立,求实数m的取值范围.【解答】解:(1)令t=2>0,则﹣t=,解得t=﹣4(舍)或t=,…3分,即2=,所以=﹣2…6分(2)因为f(﹣)=﹣2﹣=2﹣=﹣f(),所以f()是定义在R上的奇函数,…7故f(0)=0,由f(2m﹣mcosθ)+f(﹣1﹣cosθ)<f(0)=0得:f(2m﹣mcosθ)<f(1+cosθ) (8)分,又f()=()﹣2在R上单调递减,…9分,所以2m﹣mcosθ>1+cosθ对所有θ∈[0,]都成立,…10分,所以m>,θ∈[0,],…12分,令μ=cosθ,θ∈[0,],则μ∈[0,1],y==﹣1+,μ∈[0,1]的最大值为2,所以m的取值范围是m>2…16分19.(15分)已知t为实数,函数f()=2log a(2+t﹣2),g()=log a,其中0<a<1.(1)若函数y=g(a+1)﹣是偶函数,求实数的值;(2)当∈[1,4]时,f()的图象始终在g()的图象的下方,求t的取值范围;(3)设t=4,当∈[m,n]时,函数y=|f()|的值域为[0,2],若n﹣m的最小值为,求实数a的值.【解答】解:(1)∵函数y=g(a+1)﹣是偶函数,∴log a(a﹣+1)+=log a(a+1)﹣,对任意∈R恒成立,∴2=log a(a+1)﹣log a(a﹣+1)=log a()=∴=,(2)由题意设h()=f()﹣g()=2log a(2+t﹣2)﹣log a<0在∈[1,4]恒成立,∴2log a(2+t﹣2)<log a,∵0<a<1,∈[1,4],∴只需要2+t﹣2>恒成立,即t>﹣2++2恒成立,∴t>(﹣2++2)ma,令y=﹣2++2=﹣2()2++2=﹣2(﹣)2+,∈[1,4],∴(﹣2++2)ma=1,∴t的取值范围是t>1,(3)∵t=4,0<a<1,∴函数y=|f()|=|2log a(2+2)|在(﹣1,﹣)上单调递减,在(﹣,+∞)上单调递增,∵当∈[m,n]时,函数y=|f()|的值域为[0,2],且f(﹣)=0,∴﹣1<m≤≤n(等号不同时取到),令|2log a(2+2)|=2,得=或,又[﹣(﹣)]﹣[(﹣)﹣]=>0,∴﹣(﹣)>(﹣)﹣,∴n﹣m的最小值为(﹣)﹣=,∴a=.20.(15分)已知向量=(cos,sin),=(cos,﹣sin),函数f()=•﹣m|+|+1,∈[﹣,],m∈R.(1)当m=0时,求f()的值;(2)若f()的最小值为﹣1,求实数m的值;(3)是否存在实数m,使函数g()=f()+m2,∈[﹣,]有四个不同的零点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.【解答】解:(1)•=(cos,sin)•(cos,﹣sin)=cos cos﹣sin sin=cos (+)=cos2,当m=0时,f()=•+1=cos2+1,则f()=cos(2×)+1=cos+1=;(2)∵∈[﹣,],∴|+|===2cos,则f()=•﹣m|+|+1=cos2﹣2mcos+1=2cos2﹣2mcos,令t=cos,则≤t≤1,则y=2t2﹣2mt,对称轴t=,①当<,即m<1时,当t=时,函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1,得m=(舍),②当≤≤1,即m<1时,当t=时,函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1,得m=,③当>1,即m>2时,当t=1时,函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1,得m=(舍),综上若f()的最小值为﹣1,则实数m=.(3)令g()=2cos2﹣2mcos+m2=0,得cos=或,∴方程cos=或在∈[﹣,]上有四个不同的实根,则,得,则≤m<,即实数m的取值范围是≤m<.。

无锡市高一上册期末数学试卷含解析强化班【精校】.doc

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2019-2020学年江苏省无锡市中学高一(上)期末数学试卷(强化班)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1.(5分)已知M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x<1},则(∁M)∩N= .R2.(5分)设x,y∈R,向量,,且,,则x+y= .3.(5分)已知向量夹角为45°,且,则= .4.(5分)已知cosα=,且α∈(﹣,0),则sin(π﹣α)= .5.(5分)设2a=5b=m,且+=2,m= .6.(5分)将函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为y= .7.(5分)若函数的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是.8.(5分)设向量,满足,=(2,1),且与的方向相反,则的坐标为.(5分)若θ是△ABC的一个内角,且,则sinθ﹣cosθ的值为.9.10.(5分)已知角φ的终边经过点P(1,﹣2),函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则= .11.(5分)已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是.12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,•=4,•=﹣1,则•的值是.13.(5分)对于实数a和b,定义运算“*”:,设f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则实数m的取值范围是;x1+x2+x3的取值范围是.14.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)单调,则ω的最大值为.二、解答题:本大题共6题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)设函数,其中0<ω<2;(Ⅰ)若f(x)的最小正周期为π,求f(x)的单调增区间;(Ⅱ)若函数f(x)的图象的一条对称轴为,求ω的值.16.(14分)已知△ABC中.(1)设•=•,求证:△ABC是等腰三角形;(2)设向量=(2sinC,﹣),=(sin2C,2cos2﹣1),且∥,若sinA=,求sin (﹣B)的值.17.(14分)如图,半径为1,圆心角为的圆弧上有一点C.(1)若C为圆弧AB的中点,点D在线段OA上运动,求|+|的最小值;(2)若D,E分别为线段OA,OB的中点,当C在圆弧上运动时,求•的取值范围.18.(16分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD是个半圆,固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆(MN和AB、DC不重合).(1)当MN和AB之间的距离为1米时,求此时三角通风窗EMN的通风面积;(2)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x);(3)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通风窗EMN的通风面积最大?并求出这个最大面积.19.(16分)如图,正方形ABCD中边长为1,P、Q分别为BC、CD上的点,△CPQ周长为2.(1)求PQ的最小值;(2)试探究求∠PAQ是否为定值,若是给出证明;不是说明理由.20.(16分)已知函数f(x)=x|x﹣a|+2x.(1)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围;(2)求所有的实数a,使得对任意x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)=2x+1图象的下方;(3)若存在a∈[﹣4,4],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.高一(上)期末数学试卷(强化班)参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.M)∩N= {x|x<﹣2} .1.(5分)已知M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x<1},则(∁R【解答】解:∵M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x<1},M={x|x<﹣2或x>2},∴∁RM)∩N={x|x<﹣2}.则(∁R故答案为:{x|x<﹣2}2.(5分)设x,y∈R,向量,,且,,则x+y= 0 .【解答】解:∵,,∴=2x﹣4=0,2y+4=0,则x=2,y=﹣2.∴x+y=0.故答案为:0.3.(5分)已知向量夹角为45°,且,则= 3.【解答】解:∵,=1∴=∴|2|====解得故答案为:34.(5分)已知cosα=,且α∈(﹣,0),则sin(π﹣α)= ﹣.【解答】解:∵cosα=,且α∈(﹣,0),∴sinα=﹣=﹣,则sin(π﹣α)=sinα=﹣.故答案为:﹣5.(5分)设2a=5b=m,且+=2,m= .【解答】解:∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,由换底公式得,∴m2=10,∵m>0,∴故应填6.(5分)将函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移个单位,再将图象上各点的横坐标变为原的倍(纵坐标不变),那么所得图象的解析式为y= sin(4x+).【解答】解:将函数y=sin(2x﹣)的图象先向左平移,得到函数y=sin[2(x+)﹣]=sin(2x+)的图象,将所得图象上所有的点的横坐标变为原的倍(纵坐标不变),则所得到的图象对应的函数解析式为:y=sin(4x+)故答案为:sin(4x+).7.(5分)若函数的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是[﹣1,0).【解答】解:作出函数的图象如图,由图象可知0<g(x)≤1,则m<g(x)+m≤1+m,即m<f(x)≤1+m,要使函数的图象与x轴有公共点,则,解得﹣1≤m<0.故答案为:[﹣1,0).8.(5分)设向量,满足,=(2,1),且与的方向相反,则的坐标为(﹣4,﹣2).【解答】解:设=(x,y),∵与的方向相反,∴=(2λ,λ),(λ<0).又∵,∴=2,解得λ=﹣2,∴=(﹣4,﹣2).故答案为:(﹣4,﹣2).(5分)若θ是△ABC的一个内角,且,则sinθ﹣cosθ的值为.9.【解答】解:∵θ是△ABC的一个内角,且,∴sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ﹣cosθ====,故答案为.10.(5分)已知角φ的终边经过点P(1,﹣2),函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则= ﹣.【解答】解:函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,∴函数f(x)的周期T=,∵ω>0∴ω=3∵角φ的终边经过点P(1,﹣2),∴sinφ=,cosφ=∴=sin(3•+φ)=sin(+φ)=(sinφ+cosφ)=•()=﹣故答案为:﹣11.(5分)已知f(x)=是(﹣∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是.【解答】解:∵f(x)=是(﹣∞,+∞)上的增函数,∴,解得:,故答案为:12.(5分)如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,•=4,•=﹣1,则•的值是.【解答】解:∵D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点, ∴=+,=﹣+,=+3,=﹣+3,∴•=2﹣2=﹣1,•=92﹣2=4, ∴2=,2=,又∵=+2,=﹣+2,∴•=42﹣2=,故答案为:13.(5分)对于实数a 和b ,定义运算“*”:,设f (x )=(2x ﹣1)*(x ﹣1),且关于x 的方程为f (x )=m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1,x 2,x 3,则实数m 的取值范围是;x 1+x 2+x 3的取值范围是.【解答】解:∵,∴f (x )=(2x ﹣1)*(x ﹣1)=,则当x=0时,函数取得极小值0,当x=时,函数取得极大值故关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3时,实数m的取值范围是令f(x)=,则x=,或x=不妨令x1<x2<x3时则<x1<0,x2+x3=1∴x1+x2+x3的取值范围是故答案为:,14.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)单调,则ω的最大值为9 .【解答】解:∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=﹣为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,∴ω(﹣)+φ=nπ,n∈,且ω•+φ=n′π+,n′∈,∴相减可得ω•=(n′﹣n)π+=kπ+,k∈,即ω=2k+1,即ω为奇数.∵f(x)在(,)单调,(1)若f(x)在(,)单调递增,则ω•+φ≥2kπ﹣,且ω•+φ≤2kπ+,k∈,即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+①,且ω•+φ≤2kπ+,k∈②,把①②可得ωπ≤π,∴ω≤12,故有奇数ω的最大值为11.当ω=11时,﹣+φ=kπ,k∈,∵|φ|≤,∴φ=﹣.此时f(x)=sin(11x﹣)在(,)上不单调,不满足题意.当ω=9时,﹣+φ=kπ,k∈,∵|φ|≤,∴φ=,此时f(x)=sin(9x+)在(,)上单调递减,不满足题意;故此时ω无解.(2)若f(x)在(,)单调递减,则ω•+φ≥2kπ+,且ω•+φ≤2kπ+,k∈,即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ﹣③,且ω•+φ≤2kπ+,k∈④,把③④可得ωπ≤π,∴ω≤12,故有奇数ω的最大值为11.当ω=11时,﹣+φ=kπ,k∈,∵|φ|≤,∴φ=﹣.此时f(x)=sin(11x﹣)在(,)上不单调,不满足题意.当ω=9时,﹣+φ=kπ,k∈,∵|φ|≤,∴φ=,此时f(x)=sin(9x+)在(,)上单调递减,满足题意;故ω的最大值为9.故答案为:9.二、解答题:本大题共6题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)设函数,其中0<ω<2;(Ⅰ)若f(x)的最小正周期为π,求f(x)的单调增区间;(Ⅱ)若函数f(x)的图象的一条对称轴为,求ω的值.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=sin2ωx+…(2分)=sin(2ωx+)+.…(3分)∵T=π,ω>0,∴,∴ω=1.…(4分)令,…(5分)得,…(6分)所以f(x)的单调增区间为:.…(7分)(Ⅱ)∵的一条对称轴方程为,∴.…(9分)∴.…(11分)又0<ω<2,∴.∴k=0,∴.…(13分)16.(14分)已知△ABC中.(1)设•=•,求证:△ABC是等腰三角形;(2)设向量=(2sinC,﹣),=(sin2C,2cos2﹣1),且∥,若sinA=,求sin (﹣B)的值.【解答】(1)证明:∵•=•,∴,∴,即.∴△ABC是等腰三角形;(2)解:=(2sinC,﹣),=(sin2C,2cos2﹣1),且∥,则∴,则,得,∴sin2C=0,∵C∈(0,π),∴.∵,,∴,.∴.17.(14分)如图,半径为1,圆心角为的圆弧上有一点C.(1)若C为圆弧AB的中点,点D在线段OA上运动,求|+|的最小值;(2)若D,E分别为线段OA,OB的中点,当C在圆弧上运动时,求•的取值范围.【解答】解:(1)以O为原点,OA为x轴建立直角坐标系,则设D(t,0)(0≤t≤1),则,所以,当时,.(2)由题意,设C(co sθ,sinθ),所以=.因为,则,所以.18.(16分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=0.5米.上部CmD是个半圆,固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆(MN和AB、DC不重合).(1)当MN和AB之间的距离为1米时,求此时三角通风窗EMN的通风面积;(2)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数S=f(x);(3)当MN与AB之间的距离为多少米时,三角通风窗EMN的通风面积最大?并求出这个最大面积.【解答】解:(1)由题意,当MN和AB之间的距离为1米时,MN应位于DC上方,且此时△EMN中MN边上的高为0.5米,又因为EM=EN=1米,所以MN=米,所以,即三角通风窗EMN的通风面积为(2)当MN在矩形区域内滑动,即时,△EMN的面积;当MN在半圆形区域内滑动,即时,△EMN的面积综上可得;(3)当MN在矩形区域内滑动时,f(x)在区间上单调递减,则f(x)<f(0)=;当MN在半圆形区域内滑动,等号成立时,因此当(米)时,每个三角形得到最大通风面积为平方米.19.(16分)如图,正方形ABCD中边长为1,P、Q分别为BC、CD上的点,△CPQ周长为2.(1)求PQ的最小值;(2)试探究求∠PAQ是否为定值,若是给出证明;不是说明理由.【解答】解:设∠CPQ=θ,则CP=PQcosθ,CQ=PQsinθ(1)()∴∴(2)分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,设Q(x,1),P(1,y),设∠DAQ=α,∠PAB=β∴,即xy+(x+y)=1又tanα=x,tanβ=y∴,∴∴20.(16分)已知函数f(x)=x|x﹣a|+2x.(1)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围;(2)求所有的实数a,使得对任意x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)=2x+1图象的下方;(3)若存在a∈[﹣4,4],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.【解答】解:(1)由f(x)在R上是增函数,则即﹣2≤a≤2,则a范围为﹣2≤a≤2;(4分)(2)由题意得对任意的实数x∈[1,2],f(x)<g(x)恒成立,即x|x﹣a|<1,当x∈[1,2]恒成立,即,,,故只要且在x∈[1,2]上恒成立即可,在x∈[1,2]时,只要的最大值小于a且的最小值大于a即可,(6分)而当x∈[1,2]时,,为增函数,;当x∈[1,2]时,,为增函数,,所以;(10分)(3)当﹣2≤a≤2时,f(x)在R上是增函数,则关于x的方程f(x)=tf(a)不可能有三个不等的实数根;(11分)则当a∈(2,4]时,由得x≥a时,f(x)=x2+(2﹣a)x对称轴,则f(x)在x∈[a,+∞)为增函数,此时f(x)的值域为[f(a),+∞)=[2a,+∞),x<a时,f(x)=﹣x2+(2+a)x对称轴,则f(x)在为增函数,此时f(x)的值域为,f(x)在为减函数,此时f(x)的值域为;由存在a∈(2,4],方程f(x)=tf(a)=2ta有三个不相等的实根,则,即存在a∈(2,4],使得即可,令,即可,而g(a)在a∈(2,4]上是增函数,,只要使t<(g(a))max故实数t的取值范围为;(15分)同理可求当a∈[﹣4,﹣2)时,t的取值范围为;综上所述,实数t的取值范围为.(16分)。

2023-2024学年江苏省无锡市高一上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年江苏省无锡市高一上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年江苏省无锡市高一上册期末数学试题一、单选题1.已知集合{02},{11}A x x B x x =≤<=-<<∣∣,则A B ⋃=()A .(1,0]-B .(1,2)-C .[0,1)D .(0,1)【正确答案】B【分析】直接根据集合运算求解即可.【详解】解:因为{02},{11}A x x B x x =≤<=-<<∣∣,所以A B ⋃={12}xx -<<∣,即A B ⋃=(1,2)-.故选:B2.tan(420)- 的值为()A .B C .D 【正确答案】C【分析】根据诱导公式运算求解.【详解】由题意可得.()()tan(420)tan 300720tan 300tan 36060tan 60-=︒-︒=︒=︒-︒=-︒=-o故选:C.3.已知对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭,则4log a =()A .14B .12C .2D .4【正确答案】C【分析】根据题意结合对数运算求解.【详解】由题意可得:1214log log log 2a a a a ===4=,解得16a =,则44log log 162a ==.故选:C.4.函数()e e x xxf x -=+的图象大致为()A .B .C.D.【正确答案】A【分析】先判断()f x 的奇偶性,排除B ;再由0x >得()0f x >,排除C ,再取特殊点法推得()f x 在()0,∞+上并不单调递增,从而排除D ;再分析A 中的图像性质,满足()f x 的性质,从而得解.【详解】因为()e e x xxf x -=+,所以()f x 的定义域为R ,关于原点对称,又因为()()e e e e x x x xx xf x f x ----==-=-++,所以函数()f x 是奇函数,所以()f x 的图象关于原点对称,故B 错误;当0x >时,因为e 0,e 0x x ->>,所以()0e ex xxf x -=>+,故C 错误;因为()111e ef -=+,()2222212e e e e 22f --==++,又()2112e 2e e e 2e 12e 2e --=->⨯>>=,所以21e e e 2->+,则221e e e e 22--+>+,所以()()22111120e e e e 22f f ---=->++,即()()12f f >,所以()f x 在()0,∞+上并不单调递增,故D 错误;由于排除了选项BCD ,而且选项A 中的图像满足上述()f x 的性质,故A 正确.故选:A.5.已知0.412log 1.41,2,ln 2a b c ===,则()A .a c b <<B .c a b <<C .b a c <<D .a b c<<【正确答案】A【分析】找中间量12和1进行比较,根据指数函数、对数函数的单调性可得到答案.【详解】因为e 4<2<,则1ln 2ln e 12=<<=又22210log 1log 1.41log 2=<<,0.410221>=,所以102a <<,1b >,112c <<,所以a c b <<.故选:A6.已知3sin(30),601505αα+=<<,则cos α的值为()A .310-B .310-C .410--D 【正确答案】B【分析】根据平方关系式求出()cos 30α+ ,再根据()cos cos 3030αα=+-及两角差的余弦公式可求出结果.【详解】因为60150α<< ,所以9030180α<+< ,又因为()3sin 305α+=,所以()cos 30α+= 45==-,所以()cos cos 3030αα=+- ()()cos 30cos30sin 30sin 30αα=+++431552=-=.故选:B7.图(1)是某条公共汽车线路收支差额y 关于乘客量x 的图象,图(2)(3)是由于目前本条路线亏损,公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议,则下列说法错误的是()A .图(1)中的点A 表示当乘客量为0时,亏损1.5个单位B .图(1)中的点B 表示当乘客量为3时,既不亏损也不盈利C .图(2)的建议为降低成本同时提高票价D .图(3)的建议为保持成本同时提高票价【正确答案】C【分析】根据直线的斜率与纵截距的实际意义(斜率表示每增加一个乘客时收入的增加值,纵截距表示乘客人数为0时的支出),分析图形即可得出结论.【详解】对于A ,当0x =时,15y =-.,所以图(1)中当乘客量为0时,亏损1.5个单位,故本选项说法正确;对于B ,当3x =时,0y =,所以图(1)中点B 表示当乘客量为3时,既不亏损也不盈利本选项说法正确;对于C ,根据题意和图(2)知,两直线平行即票价不变,直线向上平移说明当乘客量为0时,收支差额(负值)变大了,即支出变少了,即说明此建议是降低成本而保持票价不变,所以本选项不正确;对于D ,根据题意和图(3)知,当乘客量为0时,支出不变,但是直线的倾斜角变大,即每增加一个乘客时收支差额的增加值变大,即票价提高了,但乘客人数为0时的收支差额(负值)没有变化,即说明此建议是提高票价而保持成本不变所以本选项说法正确.故选:C8.函数ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的零点个数是()A .1B .5C .6D .7【正确答案】D【分析】令()0f x =,利用诱导公式化简可得(2π)sin cos 0x x x -+=,然后分类讨论,利用正切函数的图象和性质即可求解.【详解】令()0f x =,即ππ(2π)cos sin 022x x x ⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以(2π)sin cos 0x x x -+=,当3πππ3π5π,,,,22222x ≠--时,方程可化为tan π2x x =-,在同一直角坐标系中分别做出tan y x =与π2y x =-的图象,由图可知:当3πππ3π5π,,,,22222x ≠--时,函数tan y x =与π2y x =-的图象有6个交点,分别为,,,,,A B C D E F ,又因为π2x =,满足方程(2π)sin cos 0x x x -+=,所以π2也是函数()f x 的一个零点,综上,函数ππ()(2π)cos sin ,(2π,3π)22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的零点个数是7,故选.D二、多选题9.下列说法错误的是()A .命题“2R,230x x x ∃∈-+=”的否定为“2R,230x x x ∀∈-+≠”B .命题“1,x ∀>都有215x +>”的否定为“1,x ∃≤使得215x +≤”C .“a b >”是“ln ln a b >”的充要条件D .“1122(1)(3)a a +<-”是“21a -<<”的充分不必要条件【正确答案】BC【分析】根据含有一个量词的否定的定义,可判断A ,B ;根据充分条件和必要条件的定义可判断C ,D.【详解】对于A ,命题“2R,230x x x ∃∈-+=”的否定为“2R,230x x x ∀∈-+≠”,故A 正确;对于B ,命题“1,x ∀>都有215x +>”的否定为“1,x ∃>使得215x +≤”,故B 不正确;对于C ,“a b >”推不出“ln ln a b >”,如12a b =>=-,“ln ln a b >”能推出“0a b >>”,所以“a b >”是“ln ln a b >”的必要不充分条件,故C 不正确;对于D ,若1122(1)(3)a a +<-,则103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩,解得:11a -≤<,所以“1122(1)(3)a a +<-”是“21a -<<”的充分不必要条件,故D 正确.故选:BC.10.下列函数既是偶函数,又在(,0)-∞上单调递增的是()A .3y x =-B .1||y x =C .2ln(1)y x =+D .221y x x =-【正确答案】BD【分析】函数3y x =-为奇函数,故A 不正确;当0x <时,11||y x x==-为增函数,故B 正确;根据1-和2-的函数可知,C 不正确;根据偶函数的定义以及函数21y x=在(,0)-∞上为增函数,2y x =在(,0)-∞上为减函数,可知D 正确.【详解】因为33()--=x x ,所以函数3y x =-为奇函数,故A 不正确;因为11||||x x =-,所以函数1||y x =为偶函数,且当0x <时,11||y x x ==-为增函数,故B 正确;当=1x -时,2ln(1)ln 2y x =+=,当2x =-时,2ln(1)ln5y x =+=,因为12->-,ln 2ln 5<,所以函数2ln(1)y x =+在(,0)-∞上不是增函数,故C 不正确;因为222211()()x x x x --=--,所以函数221y x x=-为偶函数,因为21y x=在(,0)-∞上为增函数,2y x =在(,0)-∞上为减函数,所以函数221y x x=-在(,0)-∞上为增函数,故D 正确.故选:BD11.若,(0,),1a b a b ∈+∞+=,则下列说法正确的是()A .ab 的最大值为14B .11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是4C .144a b-的最大值为2D .12a b+的最小值为3+【正确答案】ACD【分析】利用基本不等式对每个选项进行判断即可【详解】对于A ,因为1a b +=,所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,当且仅当12a b ==时,取等号,所以ab 的最大值为14,故正确;对于B ,因为,(0,),a b ∈+∞1a b +=,所以1,1,a b ≠≠所以12a a+>,(当且仅当1a a =即1a =时取等号,故等号不取)12b b+>,(当且仅当1b b =即1b =时取等号,故等号不取),所以114a b a b ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,故错误;对于C ,因为1a b +=,所以1a b =-,所以144a b -=1144444244b b b b ⎛⎫--=-+≤-= ⎪⎝⎭,当且仅当144b b =即14b =时,取等号,故正确;对于D ,()1221233b a a b a a b b ⎛⎫++=+++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=即1,2a b ==故选:ACD12.函数21,()321,xx af x x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩,则下列结论正确的是()A .当0a =时,函数()f x 的单调递增区间为(0,1)B .不论a 为何值,函数()f x 既没有最小值,也没有最大值C .不论a 为何值,函数()f x 的图象与x 轴都有交点D .存在实数a ,使得函数()f x 为R 上的减函数【正确答案】ABD【分析】对于A,根据指数函数和二次函数的单调性可知A正确;对于B,根据指数函数与二次函数的图象可知B正确;对于C,根据函数1()3xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与x轴没有交点,当1a≥函数2()210(1f x x x x=-++=>+的图象与x轴没有交点,可知C不正确;对于D,当1a≥()f x为R上的减函数,可知D正确.【详解】对于A,当0a=时,函数21,0()321,0xxf xx x x⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-++>⎩,当0x≤时,1()3xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,当0x>时,2()21f x x x=-++的单调递增区间为(0,1),故A正确;对于B,当x a≤时,1()3xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,所以不论a为何值,当x趋近于负无穷时,()f x 趋近于正无穷,即()f x没有最大值;当x a>时,2()21f x x x=-++的图象是开口向下的抛物线的一部分,所以不论a为何值,当x趋近于正无穷时,()f x趋近于负无穷,即()f x没有最小值;故B正确;对于C,当x a≤时,函数1()3xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与x轴没有交点,当x a>时,由2210-++=x x得1x=1x=1a≥2()210(1f x x x x=-++=>+的图象与x轴没有交点,故C不正确;对于D,当1a≥1()3xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,]a-∞上为减函数,函数2()21f x x x=-++在(,)a+∞上为减函数,且103a⎛⎫>⎪⎝⎭,2221(1)20a a a-++=--+≤,21213aa a⎛⎫>-++⎪⎝⎭,所以此时函数()f x为R上的减函数,故D正确.故选:ABD.三、填空题13.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是2,则扇形的弧长为________【正确答案】【分析】根据扇形的面积为2结合扇形圆心角的弧度数是2,由211S==222lr r α=求得半径,再由弧长公式求解.【详解】设弧长为l ,半径为r ,弧度为α,因为扇形的面积为2,所以211S==222lr r α=,又因为扇形圆心角的弧度数是2,所以r =所以扇形的弧长为l r α==故本题主要考查弧度制公式和扇形面积公式,还考查了运算求解的能力,属于基础题.14.不等式4220x x --≤的解集是________.【正确答案】(],1-∞【分析】结合换元法及指数函数单调性求解.【详解】令20x t =>,则可得(]22020,2xt t t --^=,由指数函数单调性可得(],1x ∈-∞.故答案为.(],1-∞15.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境,从而对入侵地的生态系统造成危害的现象,若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q ,一年四季均可繁殖,繁殖间隔T 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期,可用对数模型3()log ()K n n λλ=为常数来描述该物种累计繁殖数量n 与入侵时间K (单位:天)之间的对应关系,且1TQ λ=+,在物种入侵初期,基于现有数据得出6,60Q T ==.据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为________天.(结果保留一位小数.参考数据:ln 20.30,ln 30.48≈≈)【正确答案】19.5【分析】根据已知数据可求得λ,设初始时间为1K ,累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为2K ,利用21K K -,结合对数运算法则可求得结果.【详解】解: 1TQ λ=+,6Q =,60T =,∴6061λ=+,解得:12λ=.设初始时间为1K ,初始累计繁殖数量为n ,累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍的时间为2K ,则21333ln 2ln 312log (6)12log 12log 612()19.5ln 3K K n n +-=-==≈(天).故19.5.16.已知函数3()1a f x ax x +=++对于任意121x x ≤<,都有1212()()12f x f x a x x ->-,则实数a 的取值范围是________.【正确答案】3a ≥【分析】将不等式1212()()12f x f x a x x ->-化为12(1)(1)26a x x a ++>+,分类讨论a ,利用12(1)(1)4x x ++>可得答案.【详解】因为对于任意121x x ≤<,都有1212()()12f x f x a x x ->-,即121212331112a a ax ax x x a x x +++--++>-,即12121212(3)()()1(1)(1)2a x x a x x x x ax x +---++>-,即1231(1)(1)2a a a x x +->++,即12(1)(1)26a x x a ++>+恒成立,因为121x x ≤<,所以12(1)(1)4x x ++>,当a<0时,1226(1)(1)a x x a+++<不可能恒成立,当0a =时,12(1)(1)26a x x a ++>+化为06>不成立,当0a >时,1226(1)(1)a x x a +++>恒成立,则264a a+≥,得3a ≥,综上所述:实数a 的取值范围是3a ≥.故答案为.3a ≥四、解答题17.设全集U =R ,集合2{|321},{|log (1)2}A x a x a B x x =-<<-=-≤,其中R a ∈.(1)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件,求a 的取值范围;(2)若命题“x A ∃∈,使得R x B ∈ð”是真命题,求a 的取值范围.【正确答案】(1)(3,4](2)()2,-+∞【分析】(1)首先求解集合B ,根据条件转化为集合的包含关系,列式求解;(2)根据条件转化为R A B ≠∅ ð,列式求a 的取值范围.【详解】(1)()2log 12x -≤,得014x <-≤,解得:15x <≤,即{}15B x x =<≤,因为“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件,所以BA ,则32131215a a a a -<-⎧⎪-≤⎨⎪->⎩,解得:34a <≤;(2)由条件可知,R A B ≠∅ ð,{1R B x x =≤ð或5}x >,所以31321a a a -<⎧⎨-<-⎩或215321a a a ->⎧⎨-<-⎩,解得:2a >-,所以a 的取值范围是()2,-+∞18.在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β的顶点均为坐标原点O ,始边均与x 轴的非负半轴重合,角β的终边过点(1,2)Q -,将OQ 绕原点O 按顺时针方向旋转π4后与角α的终边OP 重合.(1)写出角α与角β的关系,并求出tan α的值:(2)求π3πcos 2sin cos(π)22ααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【正确答案】(1)π2π(Z)4k k αβ=--∈;tan 3α=.(2)710-【分析】(1)根据题意可得:π2π(Z)4k k αβ=--∈,然后利用任意角三角函数的定义得到sin tan 2cos βββ==-,最后再利用两角差的正切公式即可求解;(2)利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简可得:2π3π2tan 1cos 2sin cos(π)221tan ααααα--⎛⎫⎛⎫+--+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,结合(1)的结论代入即可求解.【详解】(1)由题意可得:π2π(Z)4k k αβ=--∈,由任意角的三角函数可知:cos 5β=-,sin 5β=,所以sin tan 2cos βββ==-,则ππtan 1tan tan(2π)tan()3441tan k βαβββ-=--=-==+.(2)π3πcos 2sin cos(π)sin 2cos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos cos ααα=--2222sin cos cos sin cos ααααα--=+22tan 11tan αα--=+23119-⨯-=+710=-19.已知函数π()2cos()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式:(2)将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位后,得到函数()y g x =的图象,求函数()g x 在[0,]π上的单调减区间.【正确答案】(1)π()2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)5π11π0,,,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【分析】(1)由图象可得T ,则可得ω,再将点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭代入解析式中可求出ϕ的值,从而可求得函数()f x 的解析式;(2)利用函数图象变换求得()π2cos 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求出函数()g x 在R 上的单调递减区间,再与[0,]π取交集可得结果.【详解】(1)由图可得函数()f x 的最小正周期为5ππ2π63T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭,所以,22Tπω==,π22cos 033f πϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则2πcos 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∵π||2ϕ<即ππ22ϕ-<<,则π2π7π636ϕ<+<,2ππ32ϕ∴+=,则π6ϕ=-,所以π()2cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)由题意可得()πππ2cos 22cos 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,令π2π2π2π6k x k ≤+≤+,Z k ∈,得π5πππ1212k x k -+≤≤+,Z k ∈,记()π5ππ,πZ 1212A k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎦=⎣,则[]5π11π0,π0,,π1212A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦.因此,函数()g x 在[]0,π上的减区间是5π11π0,,,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦20.已知二次函数2()41f x ax x =--.(1)当a 取何值时,不等式()0f x <对一切实数x 都成立:(2)若()f x 在区间(1,1)-内恰有一个零点,求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)(),4-∞-(2){4}[3,0)(0,5]-- 【分析】(1)对a 分类讨论,结合二次函数图象及判别式法求解;(2)对零点个数分类讨论,结合判别式法及零点存在定理列式求解,另外需要注意讨论零点在1±的临界情况.【详解】(1)()f x 为二次函数,则0a ≠,当0a >时,二次函数开口向上,不等式()0f x <不对一切实数x 都成立,不满足题意;当a<0时,则有1640a D =+<,解得4a <-.故当(),4a ∈-∞-时,不等式()0f x <对一切实数x 都成立;(2)i.当()f x 仅有一个零点时,由16404a a D =+=Þ=-,此时零点为4122x a -=-=-,符合题意;ii.当()f x 有两个零点时,16404a a D =+>Þ>-①当()105f a =Þ=,则由2()5410f x x x =--=解得另一个零点为15x =-,符合题意;②当()103f a -=Þ=-,则由2()3410f x x x =---=解得另一个零点为13x =-,符合题意;③当()()110f f -¹,由零点存在定理,则有()()()()11530f f a a -=-+<,解得(3,0)(0,5)a ∈-.综上,()f x 在区间(1,1)-内恰有一个零点时,实数a 的取值范围为{4}[3,0)(0,5]-- .21.某蔬菜种植基地共有蔬菜种植大棚100个,用于种植普通蔬菜,平均每个大棚年收入为10万元.为适应市场需求,提高收益,决定调整原种植方案,将*(1032,N )x x x ≤≤∈个大棚改种速生蔬菜,其余大棚继续种植普通蔬菜.经测算,调整种植方案后,种植普通蔬菜的每个大棚年收入比原来提高2.5%x ,种植速生蔬菜的每个大棚年收入为38m x ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元.(1)当20m =时,要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%,求x 的取值范围(2)当2223m <<时,求蔬菜种植大棚全年总收入的最大值.【正确答案】(1)*1632,N x x ≤≤∈(2)887.530m+【分析】(1)当20m =时,设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为12,y y ,表示出12,y y ,要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%,即1210010140%y y +≥⨯⨯,解不等式结合*1032,N x x ≤≤∈,即可得出答案.(2)设蔬菜种植大棚全年总收入为Z 万元,可得()()3100100.258Z x m x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭,由二次函数的性质结合2223m <<,即可得出答案.【详解】(1)当20m =时,设种植速生蔬菜和普通蔬菜的收入分别为12,y y ,则13208y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,*(1032,N )x x ≤≤∈,()()()()210010100.025100100.25y x x x x =-+⨯=-+20.25151000x x =-++,要使蔬菜种植大棚全年总收入不少于原来的140%,则1210010140%y y +≥⨯⨯,所以23200.2515100014008x x x x ⎛⎫--++≥ ⎪⎝⎭,化简得:2566400x x -+≤,即()()40160x x --≤,解得:1640x ≤≤,又因为*1032,N x x ≤≤∈,所以1632x ≤≤,*N x ∈.(2)设蔬菜种植大棚全年总收入为Z 万元,所以()()3100100.258Z x m x x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭()()251510001032,N*8x m x x x =-+++≤≤∈,()()22542=151********x m m ⎡⎤--++++⎢⎥⎣⎦,当2223m <<时,()()41529.6,30.45x m =+∈,所以当()410,155x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦时,函数在单调递增,当()415325x m ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,时,函数在单调递减,所以,当29x =时,129909.375Z m =+,当30x =时,230887.5Z m =+,当31x =时,331864.375Z m =+,所以当2223m <<时,2121.875Z Z m -=-,所以21Z Z >,3223.125Z Z m -=-,所以23Z Z >,所以2Z 最大,所以当30x =时,蔬菜种植大棚全年总收入最大为:30887.5m +万元.22.定义在区间[4,4]-上的函数1()1(R,01x a f x a b b +=-∈>+且1)b ≠为奇函数.(1)求实数a 的值,并且根据定义研究函数()f x 的单调性:(2)不等式222(1)22cos )1b f m b θθ+++>- 对于任意的π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1;答案见解析(2)答案见解析【分析】(1)利用(0)0f =即可求出1a =,然后利用奇函数的定义进行检验;分01b <<和1b >结合单调性的定义进行讨论即可;(2)题意可得到()π(2sin 21)26f m f θ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭,利用π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得到[]π2sin 212,36m m m θ⎛⎫+++∈++ ⎪⎝⎭,然后分01b <<和1b >两种情况进行讨论即可【详解】(1)因为1()11x a f x b +=-+是奇函数,所以1(0)1011a f +=-=+,解得1a =,所以2()11x f x b =-+,检验:22()()11011x xf x f x b b --+=-+-=++,满足题意;任取12,[4,4]x x ∈-,且12x x <,则()()2121221111x x f x f x b b ⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭()()()1212211x x x xb b b b -=++,因为12,[4,4]x x ∈-,12x x <,所以110x b +>,210x b +>,当01b <<时,12x x b b >,所以()()210f x f x ->即()()21f x f x >,此时()f x 在[4,4]-上单调递增;当1b >时,12x x b b <,所以()()210f x f x -<即()()21f x f x <,此时()f x 在[4,4]-上单调递减;(22π22cos sin 2cos 212sin 216θθθθθ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭,由222(1)22cos )1b f m b θθ+++>- 可得()22π1(2sin 21)261b f m f b θ-⎛⎫+++>= ⎪+⎝⎭,因为π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以5π2π6π,66θ⎡⎤∈⎢⎣⎦+,所以1πs ,in 2126θ⎡⎤∈⎢⎥⎭⎣⎛⎫+ ⎝⎦⎪,所以[]π2sin 212,36m m m θ⎛⎫+++∈++ ⎪⎝⎭,所以2434m m +≥-⎧⎨+≤⎩,解得61m -≤≤,当01b <<时,由()f x 在[4,4]-上单调递增可得π2sin 2126m θ⎛⎫+++> ⎪⎝⎭恒成立,所以2261m m +>⎧⎨-≤≤⎩,解得01m <≤;当1b >时,由()f x 在[4,4]-上单调递减可得π2sin 2126m θ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭恒成立,所以3261m m +<⎧⎨-≤≤⎩,解得61m -≤<-;当01b <<时,实数m 的取值范围是{}01m m <≤;当1b >时,实数m 的取值范围是{}61m m -≤<-;方法点睛:函数存在性和恒成立问题,构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键,并注意把握下述结论:①()()f x g a <存在解min ()()f x g a ⇔<;()()f x g a <恒成立max ()()f x g a ⇔<;②()()f x g a ≤存在解min ()()f x g a ⇔≤;()()f x g a ≤恒成立max ()()f x g a ⇔≤;③()()f x g a >存在解max ()()f x g a ⇔>;()()f x g a >恒成立min ()()f x g a ⇔>;④()()f x g a ≥存在解max ()()f x g a ⇔≥;()()f x g a ≥恒成立min ()()f xg a ⇔≥。

2020-2021学年江苏省无锡市高一(上)期末数学测试卷

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2020-2021学年江苏省无锡市高一(上)期末数学测试卷题号 一 二 三 总分 得分第I 卷(选择题)一、单项选择题(本大题共12小题,共60.0分) 1. 已知集合A ={1,2},B ={2,3},则A ∪B =( )A. {2}B. {1,2,3}C. {1,3}D. {2,3}2. 向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,7),则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. (−2,−4)B. (2,4)C. (6,10)D. (−6.−10)3. 已知扇形的面积为3π8,半径是1,则扇形的圆心角是( )A. 3π16B. 3π8C. 3π4D. 3π24.√3+tan15∘1−√3tan15∘=( )A. 2+√3B. 1C. 2−√3D. −15. 将函数y =cos(3x +π3)的图象向左平移π18个单位后,得到的图象可能为( )A.B.C.D.6. 设向量a ⃗ =(−1,4),b ⃗ =(2,x),若(a ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −b ⃗ ),则x 等于( )A. 12B. 2C. −2D. −87. 已知函数f(x)=log 2(1+x)−log 2(1−x),则f(x)是( )A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数8. 已知sinφ=35,且φ∈(π2,π),函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2,则f (π4)的值为( )A. −35B. −45C. 35D. 459. 某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量Pmg/L 与时间t h 间的关系为P =P 0e −kt .若在前5个小时消除了10%的污染物,则污染物减少50%所需要的时间约为( )小时. (已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)A. 26B. 33C. 36D. 4210. 设x 0是函数f(x)=x 2+log 2x 的零点,若有0<a <x 0,则f(a)的值满足( )A. f(a)=0B. f(a)>0C. f(a)<0D. f(a)的符号不确定11. 已知等边三角形ABC 的边长为2,D ,E 分别是边BC ,AC 的中点,点P 是线段AC上的动点,则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A. [0,2]B. [0,1]C. [1,2]D. [0,√3]12. 设函数f (x )={2−x ,x ≤1,x 2,x >1,则y =2f(f (x ))−f (x )的取值范围为( )A. (−∞,0]B. [0,2√2−12]C.D.第II 卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题,共20.0分) 13. 若偶函数f(x)=xa+53的定义域为[3a,a 2+2],则实数a 的值为________.14. 已知a ⃗ =(−3,2),b ⃗ =(−1,0),向量λa ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 垂直,则实数λ=__________. 15. 计算(−25)0−√0.0643+lg2−lg 15的结果是______ .16. 已知函数f (x )=lg (sinx +a )的定义域为R ,且存在零点,则实数a 的范围______ 三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17. 已知|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=2,且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°.(1)求|3a ⃗ −2b ⃗ |;(2)若(3a ⃗ −2b ⃗ )⊥(k a ⃗ +b ⃗ ),求实数k 的值.18.已知集合A={x|x2−x−12≤0},B={x|2m−1<x<m+1}.(1)若m=−1,求A∩(∁R B);(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围.19.已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点P(3,1),α∈(0,π),β∈(0,π),tan(α−β)=sin 2(π2−α)+4cos2α10cos2α+cos(3π2−2α)(1)求tan(α−β)的值;(2)求tan β的值.(3)求2α−β的值.20.已知a⃗=(√32,−32),b⃗ (sinπx4,cosπx4),f(x)=a⃗⋅b⃗ 。(1)求f(x)的单调递减区间。]时,y=g(x)的最大值。(2)若函数g(x)=f(2−x),求当x∈[0,4321.已知函数f(x)=a−2是定义在R上的奇函数.4x+1(1)求实数a的值;(2)求不等式f(4m−5)+f(m2−2m+2)>0的解集;(3)若关于x的方程f(2t−sinx)+f(−2tcos2x−3)=0有解,求实数t的取值范围.22.设函数f(x)=x|x−1|+m,g(x)=ln x.(1)当m>1时,求函数y=f(x)在[0,m]上的最大值;(2)设函数p(x)=f(x)−g(x),若函数p(x)有零点,求实数m的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解:∵A ={1,2},B ={2,3}, ∴A ∪B ={1,2,3}. 故选:B .由A 与B ,求出两集合的并集即可.此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查向量的减法及坐标运算,属于基础题. 由向量的减法得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,代入坐标运算可得. 【解答】解:向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,7), 则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,7)−(2,3)=(2,4). 故选B .3.【答案】C【解析】【分析】本题考查扇形面积公式. 直接代入公式计算即可.【解答】解:设扇形的圆心角是α, 则3π8=12α×12, 解得α=3π4.故选C .4.【答案】A【解析】本题考查两角和与差的正切公式,属于基础题.使用两角和与差的正切公式求出tan15°的值,代入原式即可求解. 【解答】解:∵tan15°=tan(45°−30°)=tan45°−tan30°1+tan45°tan30°=1−√331+√33=√33+√3=2−√3,所以原式=√3+(2−√3)1−√3(2−√3)=4−2√3=2−√3=2+√3.故选A .5.【答案】A【解析】解:将函数y =cos(3x +π3)的图象向左平移π18个单位后, 得到的函数解析式为:y =cos[3(x +π18)+π3]=−sin3x , 此函数过原点,为奇函数,排除C ,D ; 原点在此函数的单调递减区间上,故排除B . 故选:A .由函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换可得向左平移π18个单位后,得到的函数解析式为:y =−sin3x ,利用正弦函数的图象和性质即可得解.本题主要考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律,考查了正弦函数的图象和性质,诱导公式的应用,属于基本知识的考查.6.【答案】D【解析】 【分析】根据两向量平行的坐标表示,列出方程组,求出x 的值即可. 本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题,是基础题目. 【解答】解:∵向量a ⃗ =(−1,4),b ⃗ =(2,x),∴(a ⃗ +b ⃗ )=(1,4+x),∴(a ⃗ −b ⃗ )=(−3,4−x), ∵(a ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −b ⃗ ), ∴4−x =−3(4+x), 解得x =−8,7.【答案】A【解析】解:由对数有意义可得{1+x >01−x >0,解得−1<x <1,∴函数f(x)的定义域为(−1,1),关于原点对称, ∵f(−x)=log 2(1−x)−log 2(1+x)=−f(x), ∴函数f(x)为奇函数 故选:A由对数有意义可得函数的定义域,由函数的奇偶性定义可得. 本题考查函数的奇偶性,属基础题.8.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查正弦函数的周期性,同角三角函数的基本关系,属于基础题.由周期求出ω,由条件求出cosφ的值,从而求得f (π4)的值.【解答】解:根据函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2, 可得T2=πω=π2, ∴ω=2.由sinφ=35 ,且φ∈(π2,π) , 可得cosφ=−45,∴则f (π4)=sin(π2+φ)=cosφ=−45, 故选B .9.【答案】B【解析】【试题解析】解:由题意,前5个小时消除了10%的污染物, ∵P =P 0e −kt ,∴(1−10%)P 0=P 0e −5k ,∴k=−15ln0.9;即P=Pe t5ln0.9,当P=50%P0时,有50%P=P0e t5ln0.9∴t5ln0.9=ln0.5∴t=5ln0.5ln0.9=−5lg22lg3−1≈33即污染物减少50%需要花33h.故选B.先利用函数关系式,结合前5个小时消除了10%的污染物,求出k,当P=50%P0时,有50%P=P0e t5ln0.9,即可得出结论.本题考查函数模型的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数零点与方程根的关系,是中档题.结合图象求解是解题的关键.【解答】解:由f(x)=x2+log2x=0得log2x=−x2,设函数y=log2x,y=−x2,在同一坐标系中分别作出两个函数的图象如图:由图象可知当0<a<x0时,log2a<−a2,即log2a+a2<0,所以f(a)=a2+log2a<0.故选C.11.【答案】C【解析】解:以AB 中点为坐标原点O ,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(−1,0),B(1,0),C(0,√3),D(12,√32),E(−12,√32),所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3), 设P(x,y),x ∈[−1,0],则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y ). 由点P 是线段AC 上的动点,可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[0,1], 即(x +1,y )=λ(1,√3),所以P(x,√3+√3x),x ∈[−1,0], 所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,√3+√3x), 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1−x ∈[1,2]. 故选:C .画出图形,建立平面直角坐标系,由点P 在线段AC 上,求出点P 的坐标,从而表示出DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,利用向量的数量积的表达式,转化求解范围即可. 本题考查利用建系法求平面向量的数量积,属于基础题.12.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了分段函数求值域问题,解题的关键在于注意分类讨论,属于中档题. 【解答】解:当x ∈(−∞,1]时,f(x)≥(12)1=12, 当x ∈[1,+∞)时,f(x)≥12×1=12,所以f (x )∈[12,+∞),当f (x )∈[12,1]时,f(f (x ))=(12)f (x )∈[12,√22], 故y =2f(f (x ))−f (x )∈[0,2√2−12], 当f (x )∈[1,+∞)时,f(f (x ))=f (x )2,故y =2f(f (x ))−f (x )=0,综上所述,y =2f(f (x ))−f (x )∈[0,2√2−12], 故选B .13.【答案】−1【解析】【分析】本题考查幂函数的性质,由偶函数定义域关于原点对称以及幂函数的奇偶性求得结果.【解答】解:∵f(x)是偶函数,∴a 2+2=−3a ,即a 2+3a +2=0,解得a =−1或a =−2.当a =−1时,f(x)=x 43=√x 43,∴f(−x)=√(−x)43=√x 43=f(x),此时f(x)是偶函数,符合题意;当a =−2时,f(x)=x ,∴f(−x)=−x =−f(x),此时f(x)是奇函数,不符合题意.故a =−1.14.【答案】−17【解析】 【分析】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了运算能力,属于基础题. 利用平面向量的坐标运算计算得结论. 【解答】解:∵a ⃗ =(−3,2),b ⃗ =(−1,0),则λa ⃗ +b ⃗ =(−3λ−1,2λ),a ⃗ −2b ⃗ =(−1,2)由向量λa ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 垂直得(−3λ−1)×(−1)+4λ=0, 解得λ=−17. 故答案为−17.15.【答案】1.6【解析】 【分析】根据指数幂和对数的运算性质化简计算即可. 本题考查了指数幂和对数的运算性质,属于基础题. 【解答】解:(−25)0−√0.0643+lg2−lg 15 =1−0.4+lg2+lg5=0.6+1=1.6, 故答案为:1.6.16.【答案】(1,2]【解析】 【分析】本题由sin x 的取值范围结合定义域的概念,可得a >1,再根据零点的定义可得a 的取值范围. 【解答】 解:因为函数的定义域为R , 故恒成立,恒成立,因为,所以a >1,又因为存在零点,有解,所以a =1−sinx ∈[0,2]所以实数a 的取值范围是(1,2]. 故答案为(1,2].17.【答案】解:(1)|a⃗|=1,|b⃗ |=2,且a⃗与b⃗ 的夹角为120°;∴a⃗⋅b⃗ =−1;∴(3a⃗−2b⃗ )2=9a⃗2−12a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=9+12+16=37;∴|3a⃗−2b⃗ |=√37;(2)∵(3a⃗−2b⃗ )⊥(k a⃗+b⃗ );∴(3a⃗−2b⃗ )⋅(k a⃗+b⃗ )=3k a⃗2+(3−2k)a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=3k−(3−2k)−8=0;.解得k=115【解析】(1)根据条件即可求出a⃗⋅b⃗ =−1,从而可求出(3a⃗−2b⃗ )2=37,从而得出|3a⃗−2b⃗ |=√37;(2)根据(3a⃗−2b⃗ )⊥(k a⃗+b⃗ )即可得出(3a⃗−2b⃗ )⋅(k a⃗+b⃗ )=0,进行数量积的运算即可求出k的值.考查向量数量积的运算及计算公式,向量垂直的充要条件,向量长度的求法.18.【答案】解:(1)若m=−1,则B={x|−3<x<0},所以∁R B={x|x≤−3或x≥0},又A={x|(x−4)(x+3)≤0}={x|−3≤x≤4},所以A∩(∁R B)={x|0≤x≤4或x=−3};(2)因为A∪B=A,所以B⊆A,当B=⌀时,显然B⊆A,此时2m−1≥m+1,解得m≥2;当B≠⌀时,则由B⊆A得−3≤2m−1<m+1≤4,解得−1≤m<2;综合上述,实数m的取值范围为[−1, +∞).【解析】本题主要考查集合的基本运算,根据集合关系求参数的取值范围,属于中档题.(1)若m=−1,化简集合,即可求A∩(∁R B);(2)若A∪B=A,则B⊆A,利用集合关系即可求实数m的取值范围.19.【答案】解:(1)由已知tanα=1.3∵tan(α−β)=sin2(π2−α)+4cos2α10cos2α+cos(3π2−2α)=sin2α+4cos2α10cos2α−sin2α=2sinαcosα+4cos2α10cos2α−2sinαcosα=2cosαsinα+2cosα2cosα5cosα−sinα=sinα+2cosα5cosα−sinα=tanα+25−tanα=13+25−13=12;(2)tanβ=−tan[(α−β)−α]=−tan(α−β)−tanα1+tan(α−β)tanα=12−131+12⋅13=−17,(3)∵tanα=13>0,∴0<α<π2,又∵tan2α=2tanα1−tan2α=2×131−(13)2=34>0,∴0<2α<π2,∴tan(2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=34+171−34×17=1.∵tanβ=−17<0,∴π2<β<π,−π<2α−β<0,∴2α−β=−3π4 .【解析】(1)由三角函数恒等变换的应用化简等式右边,结合已知即可计算得解.(2)利用β=(α−β)−α,结合两角差的正切函数公式即可计算得解.(3)利用两角差的正切函数公式计算可求tan(2α−β)=1,结合范围0<2α<π2,π2<β<π,−π<2α−β<0,即可得解.本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.20.【答案】解:(1)∵a⃗=(√32,−32),b⃗ (sinπx4,cosπx4),∴f(x)=a⃗⋅b⃗ =√32sinπx4−32cosπx4=√3sin(πx4−π3).∴当πx4−π3∈[π2+2kπ,3π2+2kπ]时,f(x)单调递减.解得:x∈[103+8k,223+8k],k∈Z,∴f(x)的单调递减区间为[103+8k,223+8k],k∈Z;(2)由(1)可知f(x)=√3sin(πx4−π3),∴g(x)=f(2−x)=√3sin[π(2−x)4−π3]=√3sin[π2−πx4−π3]=√3cos(πx4+π3).∵x∈[0,43],∴πx4+π3∈[π3,2π3],∴cos(πx4+π3)∈[−12,12].则当x=0时,g(x)max=√32.【解析】(1)由数量积的坐标表示可得f(x),然后直接利用复合函数的单调性的求法求得f(x)的单调递减区间;(2)由g(x)=f(2−x)求得g(x)的解析式,再由x∈[0,43]求出相位的范围,从而求得当x∈[0,43]时,y=g(x)的最大值,本题考查平面向量的数量积运算,考查了三角函数的图象和性质,考查计算能力,是中档题.21.【答案】解:(1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(x)=−f(−x),∴f(0)=0,∴a=1∴f(x)=1−24x+1=4x−14x+1,∴f(−x)=4−x−14−x+1=1−4x1+4x=−f(x),∴f(x)为奇函数,∴a=1;(2)由f(4m−5)+f(m2−2m+2)>0,得f(4m−5)>−f(m2−2m+2),∵f(x)为奇函数,∴f(4m−5)>f(−m2+2m−2),∵f(x)=1−24x+1为R上的增函数,∴4m−5>−m2+2m−2,解得m>1或m<−3,∴不等式的解集为(−∞,−3)∪(1,+∞).(3)由(1)(2)得,f(x)为R上的奇函数和增函数,∴由得:∴2tsin2x−sinx−3=0有解,令u=sinx∈[−1,1],2tu2−u−3=0在[−1,1]有解,∵u=0不成立,∴2t=u+3u2=1u+3u2,令n =1u ∈(−∞,−1]∪[1,+∞), 2t =3n 2+n ,∵y =3n 2+n 的值域为[2,+∞). ∴2t ∈[2,+∞), ∴t ∈[1,+∞).【解析】本题考查函数的性质、抽象不等式的解法,属于中档题. (1)由R 上的奇函数,必有f(0)=0即可;(2)由函数的单调性奇偶性转化为具体不等式即可;(3)由函数的单调性奇偶性转化为具体等式,再采用换元法即可.22.【答案】解:(1)当x ∈[0,1]时,f (x)=x(1−x)+m =−x 2+x +m=−(x −12)2+m +14,当x =12时,f (x)max =m +14.当x ∈(1,m]时,f (x)=x(x −1)+m =x 2−x +m =(x −12)2+m −14,因为函数y =f (x)在(1,m]上单调递增, 所以f (x)max =f (m)=m 2. 由m 2≥m +14,得m 2−m −14≥0, 又m >1,所以m ≥1+√22.所以当m ≥1+√22时,f (x)max =m 2;当1<m <1+√22时,f (x)ma x =m +14. (2)函数p(x)有零点,即方程f (x)−g(x)=x|x −1|−ln x +m =0有解, 即m =ln x −x|x −1|有解. 令ℎ(x)=ln x −x|x −1|,当x ∈(0,1]时,ℎ(x)=x 2−x +ln x . 因为ℎ′(x)=2x +1x −1≥2√2−1>0,所以函数ℎ(x)在(0,1]上是增函数,所以ℎ(x)≤ℎ(1)=0. 当x ∈(1,+∞)时,ℎ(x)=−x 2+x +ln x . 因为ℎ′(x)=−2x +1x+1=−2x 2+x+1x=−(x−1)(2x+1)x<0,所以函数ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数,所以ℎ(x)<ℎ(1)=0.所以方程m=ln x−x|x−1|有解时m≤0.即函数p(x)有零点时实数m的取值范围是(−∞,0].【解析】本题考查用分类讨论的方法求函数最大值,利用导数求函数值域,及化归与转化的思想方法.(1)化简函数f(x)的解析式,分别在[0,1]和(1,m]上求函数的最大值;(2)函数有零点即对应方程有解,得到m的解析式m=ℎ(x),通过导数符号确定ℎ(x)=lnx−x|x−1|的单调性,由ℎ(x)的单调性确定ℎ(x)的取值范围,即得m的取值范围.。

2022年江苏省无锡市高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2022年江苏省无锡市高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2021-2022学年江苏省无锡市高级中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 的值是()A. 0B. 1C.2D.3参考答案:C2. 图中曲线是幂函数在第一象限的图象,已知取、四个值,则相应于曲线的值依次为 ( )(A) 2,-2,(B)2,, -2, (C)2,-2, (D) 2,,-2,参考答案:B3. 设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,,则a,b,c大小关系()A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b参考答案:D【考点】不等式比较大小;两角和与差的正弦函数.【专题】计算题.【分析】利用两角和的正弦公式对a和b进行化简,转化为正弦值的形式,再由正弦函数的单调性进行比较大小.【解答】解:由题意知,a=sin14°+cos14°==,同理可得,b=sin16°+cos16°=, =,∵y=s inx在(0,90°)是增函数,∴sin59°<sin60°<sin61°,∴a<c<b,故选D.【点评】本题考查了比较式子大小的方法,一般需要把各项转化统一的形式,再由对应的性质进行比较,考查了转化思想.4. 若不等式对满足的所有实数都成立,则实数的取值范围是()A. B.C. D.参考答案:A5. 设函数条件:“”;条件:“为奇函数”,则是的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件参考答案:B6. (5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积是()A.42+6B.30+6C.66 D.44参考答案:A考点:由三视图求面积、体积;简单空间图形的三视图.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:由三视图可得多面体的底面是侧视图,高为3的四棱柱,即可求出该多面体的表面积.解答:由三视图可得多面体的底面是侧视图,高为3的四棱柱,所以该多面体的表面积是+2×3+4×3+3××2=42+6,故选:A.点评:本题考查三视图,考查学生的计算能力,比较基础.7. 已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,5},B C U A,则集合B 的个数是()A.5 B. 6 C. 7 D. 8参考答案:C8. 已知函数,若任意且都有,则实数a的取值范围()A.[1,+∞)B. (0,1]C. [2,+∞)D. (0,+∞)参考答案:B9. 下面四个图象中,不是函数图象的是().参考答案:B10. (5分)若函数y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是这段图象的最高点和最低点,且?(O为坐标原点),则A=()A.B.C.D.参考答案:B考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;平面向量数量积的含义与物理意义.专题:计算题;数形结合.分析:根据图象求出函数的周期,再求出ω的值,根据周期设出M和N的坐标,利用向量的坐标运算求出A的值.解答:由图得,T=4×=π,则?=2,设M(,A),则N(,﹣A),∵,A >0,∴×﹣A×A=0,解得A=,故选B .点评: 本题考查了由函数图象求出函数解析式的方法,考查向量的数量积的计算,考查了读图能力.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 集合A={1,2},B={2,3},则A∩B= .参考答案:{2}【考点】交集及其运算. 【专题】计算题.【分析】直接利用交集的运算求解. 【解答】解:∵A={1,2},B={2,3}, ∴A∩B={1,2}∩{2,3}={2}. 故答案为:{2}.【点评】本题考查了交集及其运算,是基础的会考题型.12. 若函数f (x )=(x∈[2,6]),则函数的值域是 .参考答案:[ ]考点: 函数的值域.专题:函数的性质及应用.分析: 由x 的范围可以得出x ﹣1的范围,进一步得到 的范围,即得出该函数的值域.解答: 解:x∈[2,6]; ∴x﹣1∈[1,5];∴ ;∴该函数的值域为.故答案为:[ ].点评: 考查函数值域的概念,根据不等式的性质求函数值域的方法,反比例函数的单调性 13. 记S n 为数列{a n }的前项和,若,则S 10=_______.参考答案:-1023 【分析】 对和分类讨论,结合,,计算得出数列是等比数列,并写出通项公式,得到,即可得出. 【详解】当时,当时所以数列是首项为,公比为2的等比数列则即故【点睛】形如,常用构造等比数列:对变形得(其中),则是公比为的等比数列,利用它可求出。

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江苏省无锡市高一上学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共11题;共11分)
1. (1分)(2019·扬州模拟) 已知集合,,则 ________.
2. (1分) (2020高一上·重庆月考) 不等式的解集为________.
3. (1分)不等式|2x﹣1|+1>0的解集为________.
4. (1分)函数f(x)=2x+1的反函数f﹣1(x)=________ .
5. (1分)命题“若a>b,则a﹣1>b﹣1”的逆否命题是________.
6. (1分) (2019高三上·上海月考) 已知“角的终边在第一象限”,“ ”,则是
的________条件(填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)
7. (1分) (2016高一上·张家港期中) 已知奇函数f(x)是定义在(﹣1,1)上的减函数,且f(1﹣t)+f(1﹣t2)<0,则 t的取值范围是________.
8. (1分) (2017高三上·苏州开学考) 已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=k(x+1)有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是________.
9. (1分) (2019高三上·静海月考) 定义域为的函数满足,当时,
,若时,对任意的都有成立,则实数的取值范围是________.
10. (1分) (2019高三上·沈阳月考) 下列四个命题中,真命题的序号有________.(写出所有真命题的序号)①若,则“ ”是“ ”成立的充分不必要条件;②命题“ 使得”的否定是“ 均有”;③命题“若,则或”的否命题是“若,则”;④函数在区间上有且仅有一个零点.
11. (1分) (2019高二下·上海月考) 下列四个命题,其中真命题的个数是________.
①任意两条直线都可以确定一个平面;②若两个平面有3个不同的公共点,则这两个平面重合;③直线,,,若与共面,与共面,则与共面;④若直线上有一点在平面外,则在平面外.
二、选择题 (共6题;共12分)
12. (2分)已知全集,集合M,N满足,,则M=()
A . {2,4}
B . {4,8,10}
C . {4,6,10}
D . {4,10}
13. (2分) (2018高二上·长安期末) 已知条件p:x2+2x-3>0;条件q:x>a ,且的一个充分不必要条件是,则a的取值范围是()
A . [1,+∞)
B . (-∞,1]
C . (1,+∞)
D . (-∞,-3]
14. (2分) (2019高一上·宾阳月考) 已知定义域为的函数在上是减函数, 又
是偶函数, 则()
A .
B .
C .
D .
15. (2分) (2019高一上·延安期中) 设函数,则对任意正实数,下列不等式总成立的
是()
A .
B .
C .
D .
16. (2分)已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()
A . (-∞,-1)∪(2,+∞)
B . (-1,2)
C . (-2,1)
D . (-∞,-2)∪(1,+∞)
17. (2分) (2018高三上·西安期中) 的图象如图所示,下列数值的排序正确的是
A .
B .
C .
D .
三、解答题 (共7题;共80分)
18. (10分)已知集合A={x|log2(x2﹣2x﹣8)<4},B={x| <2 <64}.
(1)求(∁RA)∪B;
(2)若(a,a+1)⊆B,求a的取值范围.
19. (10分) (2019高三上·东湖期中) 已知函数,不等式的解集为 . (1)求;
(2)记集合的最大元素为,若正数满足,求证: .
20. (10分) (2020高二下·阳春月考) 已知函数 .
(1)做出函数图象;
(2)说明函数的单调区间(不需要证明);
21. (15分) (2016高一上·宝安期中) 已知幂函数f(x)=xa的图象经过点(,).
(1)求函数f(x)的解析式,并判断奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(﹣∞,0)上的单调性,并用单调性定义证明.
(3)作出函数f(x)在定义域内的大致图象(不必写出作图过程).
22. (15分)(2019·奉贤模拟) 若对任意的正整数,总存在正整数,使得数列的前项和
,则称数列是“回归数列”.
(1)前项和为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由;
(2)设是等差数列,首项,公差,若是“回归数列”,求的值;
(3)是否对任意的等差数列,总存在两个“回归数列” 和,使得()
成立,请给出你的结论,并说明理由.
23. (10分)(2020·海南模拟) 已知函数,若函数 .
(1)求函数的定义域;
(2)求函数的最值.
24. (10分) (2019高一上·纳雍期中) 已知集合是函数的定义域.
(1)求集合,并求出满足不等式的的取值范围;
(2)若集合是函数的值域,求出集合,并求出 .
四、附加题 (共1题;共10分)
25. (10分) (2019高一上·汪清月考) 如图,一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,其中有一个高为xcm 的内接圆柱.
(1)试用x表示圆柱的侧面积;
(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大.
参考答案一、填空题 (共11题;共11分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
二、选择题 (共6题;共12分)
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、解答题 (共7题;共80分)
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21-1、
21-2、
21-3、22-1、22-2、
22-3、
23-1、
23-2、
24-1、
24-2、
四、附加题 (共1题;共10分)
25-1、
25-2、
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