1.3有阻尼的自由振动解析

常数A1、A2由初始条件决定，x(0)
x0 ,
x(0)
x 0
A1 x0 ,
A2
x0 0 x0 1 20
方程通解可表示为： x(t) Aet sin(dt )
有阻尼振动的初始幅值
A
A12 A22
x02
x0 x0 d
2
有阻尼振动的初相角
arctan
d x0 x0 x0
有阻尼振动的固有频率 d 0 1 2
2
在单自由度欠阻尼自由振动线性系统中，常用两种方 法求对数减缩率：
1 j
ln
A1 A j1
2 1 2
2
1
例题1 系统衰减振动的振幅在10次振动的过程中，由 A1=3cm缩小到A2=0.06cm，求对数减缩率。
解：
1 j
ln
A1 Aj 1
1 10
ln
3 0.06
0.391
结论：有阻尼振动的固有频率小于无阻尼振动的固有频 率，是系统固有的物理参数。
有阻尼振动的周期大于无阻尼振动的周期
2
2
Td
d
0
1 2
由于阻尼作用引起能量耗散，在欠 阻尼的情况下，阻尼使无阻尼自由 振动的固有周期增加，频率降低。
当 时1，阻尼对频率或周期的
影响可以忽略，但它对振幅按
几何级数衰减，即
相邻两个振幅之比——减缩系数，非常明显地反映阻尼造成的衰减效果，
3
发生自由振动的条件：
lc 1 2a mk
3
c 2a mk l3
（3）原长处 (0) xj a
(0)
mgl 2a2k
（4）不产生振动的条件：
根据 M A 0
kx ja
mg
l 2
xj
mgl 2ka
1
（5）对数减缩率
1
c 2a mk l3
2 2 lc 3lc
2a mk a mk 3
实用意义： 将复杂的阻尼机理用等效粘性阻尼替代，简化了分析过程。
当系统作简谐振动时，粘性阻尼在一个周期内耗散的能量 E
近似利用无阻尼振动规律 x Asin(0t ) 得：
E
cxdx
T 0
cx2 dt
c02
A2
T 0
cos2
(0t
)dt
c0
A2
1.干摩擦阻尼
(dx xdt)
遵循库仑定律，即摩擦力与接触物体间的正压力 FN成正比，与运动方向相反。
一、粘性阻尼系统的自由振动
定义:
粘性阻尼——物体沿润滑表面滑动或在流体中低速运动时的阻尼。
粘性阻尼力 Fc cx
c 为粘性阻尼系数
粘性阻尼系统的运动微分方程为： mx cx kx 0
标准型： &x& 2 x& 02 x 0
令 x et
无阻尼系统的固有频率 0
k m
阻尼系数 c
2m
导入本征方程为： 2 20 02 0 阻尼比
0.56cm
0.11 =0.049
2.25
注意：公式使用范围为幅值减小一半
2.临界阻尼状态 1
1,2 0
通解： x(t) (C1 C2 x)et
初始值 x(0) x0 x(0) x0
x(t) [x0 (x& 0 x0 )t]e0t
可以看出：
t 时，
e0t 0
指数衰减运动，非振动。
二． 等效粘性阻尼
阻尼的主要作用是转移系统的能量。当无简谐激励作用 时，由于阻系统能量的损失，导致自由振动幅值的衰减；当有 简谐激励作用时，由于简谐激励不断做功，对系统输入的能量 平衡阻尼引起的能量损失，简谐激励的稳态响应时等幅振动。
等效阻尼的原则是令在一个周期内， (1) 非粘性阻尼耗散的能量与等效粘性阻尼耗散的能量相等 (2) 具有相同的简谐运动幅值。
记做，
Ai eTd
Ai1
Ai Aeti
A Ae (ti1 Td ) i 1
实际计算时，常用对数系数， n Td 0Td
2
即
1 2
Td
2 d
0
2 1 2
一般为：
1 j
ln
A1 A j1
用途：此公式在振动实验中有重要应用 （利用实验测出对数减缩并换算出阻尼比）
当 时1 ，
x Aent 、xR xP
2 N ln 2 1 2
Td
2 d
0
2 1 2
ln 2 0.11 2 N N
N是周期数
ln 2 0.11 2 N N
= 1
此式对工程估算微弱阻尼系统的 值很方便的。
例如
在衰减曲线的 点P xp 1.12cm
测出经过2.25个周期的 点R测出
xR
xP 2
对数减缩率。 1
解：（1）由动量矩定理
Jo&& Mo
J A&& akx lcx& a2k l 2c&
系统的动力学方程：
J A&& l 2c& a2k 0
&& l2c & a2k 0
JA
JA
（2）由上式得：
0 a
k JA
l2c
2J A
JA
1 ml 2 3
lc 0 2a mk
3.过阻尼状态 1
1,2 ( 2 1)0
通解： x(t) C1e( 2 1)0t C2e( 2 1)0t
可以看出： t
时，
x(t) 0
是指数衰减运动，非振动。
例题1
由弹簧k、阻尼器c及质量为m的匀质杆，组成的系统如图。 试求：
系统的动力学方程； 发生自由振动的条件； 最大初始转角； 不产生振动的条件；
Fd FN sgn x 为摩擦因数
1
x& 0
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sgn x为符号函数，定义为：
c 0 2 km
本征值： 1,2 ( m 2 1)0
方程通解的性质分三种情况讨论：本征值依赖于阻尼比
1.欠阻尼状态 1
1,2 ( i 1 2 )0
x(t) C1e1t C2e2t
e t {C1ei( 1 20t ) C2ei( } 1 20t )
et{A1 cos( 1 20t) A2 sin( 1 20t)} et{A1 cosdt A2 sin dt}
例题2
对于阻尼较小 的 0系.1统 ，实验中有时可用半振幅
方法测定相对阻尼系数在振幅衰减曲线的包络线
上已测得相隔N个周期的两点 P 、 R之间幅值减小一
半，试确定 。
解：振幅衰减曲线的包络线方程为
设 R、 P两点在包络线上的幅值为
则
xP e0NTd 2
xR
当 = 时1可近似为
2 N ln 2
第三节 有阻尼的自由振动
在无阻尼的自由振动中，由于机械能守恒，系统保持 等幅振动。实际上，在振动时，系统中不可避免地存在 着阻尼，振幅将会随时间的延长而衰减，逐渐趋于零， 因此阻尼对振动的影响不可忽略。
阻尼有各种来源。 两物体之间的干摩擦， 在润滑表面之间的滑动摩擦， 气体或液体等介质阻尼以及材料的内阻尼等。