1.3有阻尼的自由振动解析
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
第三讲单自由度系统的振动(阻尼)解读
nt i
两端取自然对数得 其中
ln ln e nTd
nT
δ称为对数减缩系数
Td
2
0 1 2
c 0 2 m k
n
对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：
n
2
0 1
2
2 1
2
2
（ 2<<1 ）
上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼
x
这种振动的 振 幅 是 随 时 间 A x0 不断衰减的， 称为衰减振动。 衰减振动的运 动图线如图所 示。 d
Ae nt
衰减曲线的包络线
A1
A2
A3
t
Td
x
由衰减振动的表达式：
Ae
A x0
nt
x Ae
nt
sin(d t )
A1
A2
A3
这种振动不符合周期振 动 f (t ) f (t nT ) 的定
机械振动学
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随
时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响
nt 2 2 x Ae sin( n t ) 由衰减振动运动规律： 0
Ae-nt相当于振幅
设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有: 经过一个周期 Td ，系统到达另一个 比前者略小的最大偏离值Ai+1
第四节有阻尼的自由振动
第四节有阻尼自由振动（Damped Free Vibration）前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响。
实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。
振动中将阻力称为阻尼，例如粘性阻尼、库伦阻尼（干摩擦阻尼）、和结构阻尼及流体阻尼等。
尽管已经提出了许多种数学上描述阻尼的方法，但是实际系统阻尼的物理本质仍然极难确定。
一、粘性阻尼（Viscous Damping）------------- 最常见的阻尼力学模型在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。
粘性阻尼力与相对速度成正比，即=&F cxF--- 粘性阻尼力，x&--- 相对速度⋅c--- 粘性阻尼系数（阻尼系数），单位：N S m二、粘性阻尼自由振动()k x∆+以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。
由牛顿运动定律，得运动方程mx cx kx++=&&&（2-10）设方程的解为()stx t Ae=代入式（2-10），得2()0stms cs k Ae++=因为0A≠，所以在任一时间时均能满足上式条件为20ms cs k++=（2-11）------ 系统的特征方程（频率方程）它的两个根为1,22csm=-±（2-12）则方程（2-10）的通解为1211212s t s t c t mx A e A e eA A e=+⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭（2-13）式中1A 和2A 为任意常数，由初始条件00(0),(0)x x x x ==&&确定。
显然方程（2-10）的解（2-13）的性质取决于是实数、零，还是虚数。
当202c k m m⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用0c 表示。
因此02n c m ω==令02nc c cc m ζω===叫做阻尼比。
∵022n c c m mζζω==∴ 式（2-12）可写成(1,2n s ζω=-± （2-14）可见1s 和2s 的性质决定于ζ的值。
自由振动与受阻尼振动的比较
自由振动与受阻尼振动的比较振动是物体在某一平衡位置附近来回运动的现象。
在物理学中，振动可以分为自由振动和受阻尼振动两种类型。
这两种振动形式虽然有些相似之处，但在许多方面还是存在着明显的差异。
自由振动是指物体在没有外力作用下，自身具有的固有频率下进行的振动。
当物体受到扰动后，它会沿着平衡位置周围的路径来回振动，直到最终停下。
自由振动的特点是振幅和频率保持不变，振动过程中能量的转换是完全的，即机械能守恒。
这种振动形式常见于弹簧振子、摆锤等系统中。
受阻尼振动则是在振动过程中受到外部阻力的影响，使得振动逐渐减弱并最终停止的一种振动形式。
阻尼力的存在使得振动系统的能量逐渐耗散，振幅逐渐减小。
受阻尼振动的特点是振幅随时间的推移而减小，频率也会发生变化。
这种振动形式常见于摩擦力的作用下，如空气阻力、摩擦力等。
自由振动和受阻尼振动在能量转换、振幅变化和频率变化等方面存在明显的差异。
在自由振动中，能量的转换是完全的，振幅和频率保持不变；而在受阻尼振动中，能量会逐渐耗散，振幅和频率会随时间的推移而减小。
这意味着自由振动能够持续一段时间，而受阻尼振动则会逐渐停止。
另外，自由振动和受阻尼振动在实际应用中也有不同的用途。
自由振动常用于钟摆、弹簧振子等精确计时设备中，因为它的振幅和频率保持不变，可以提供稳定的计时基准。
而受阻尼振动则常用于减震器、避震器等阻尼装置中，因为它的能量耗散特性可以有效减少振动对其他设备的影响。
总的来说，自由振动和受阻尼振动虽然都是物体在平衡位置附近来回振动，但在能量转换、振幅变化和频率变化等方面存在明显的差异。
自由振动具有能量守恒和稳定的特点，而受阻尼振动则会逐渐减弱并停止。
这两种振动形式在不同的应用领域中发挥着重要的作用，对于我们理解和利用振动现象具有重要的意义。
1.4有阻尼的受迫振动振动力学课件
F (t )
m mx
实部和虚部分别与 F0 cos和t F相0 s对in 应t 。 振动微分方程：
mx cx kx F0eit
x为复数变量，分别与 F0 c和ost 相F0对sin应。t
kx cx
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
而相位滞后激振力的简谐振动；
（2）稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质
（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方
式（即初始条件）无关。
例题1： 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。
x x1 Asin t
c
k
m
解：运动微分方程： mx cx k(x1 x) 0
02
sin
（实部和虚部分别相等）
振幅放大因子
A
02
F0
k
2
02 40
F0 k
1
B
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
相位差
tan
20 02 2
2 s
1 s2
(s) arctan 2 s
1 s2
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设：x Xeit
c2 x0 / 0
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
mx kx F0 cost 的全解：
因此：
x(t)
2022-2023年注册结构工程师《结构专业基础考试一级》考前冲刺卷②(答案解析24)
2022-2023年注册结构工程师《结构专业基础考试一级》考前冲刺卷②（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第I卷一.综合考点题库(共70题)1.施工方案的选择一般不包括（）。
A.施工方法B.施工机械C.施工时间D.施工顺序正确答案：C本题解析：施工方案主要包括施工方法、施工机械、施工顺序三部分。
施工时间是施工进度计划的内容。
2.采用摩擦型高强度螺栓或承压型高强度螺栓的抗拉连接中，二者承载力设计值（）。
A.相等B.前者大于后者C.后者大于前者D.无法确定大小正确答案：D本题解析：高强螺栓是预应力螺栓，摩擦型用扭矩扳手施加规定预应力，承压型拧掉梅花头。
对于摩擦型螺栓，只要轴力小于此摩擦力，构件便不会滑移，连接就不会受到破坏；对于承压型高强度螺栓则是以杆身不被剪坏或板件不被压坏为设计准则。
因此，二者的承载力设计值无法确定大小。
3.正常使用极限状态比承载能力极限状态（）。
A.允许出现的概率高些B.出现的概率相同C.失效概率小些D.允许出现的概率相差不大正确答案：A本题解析：超过承载能力极限状态，可能会造成结构的整体倒塌或严重破坏，以致造成人身伤亡和重大经济损失，故允许其出现的概率非常小；超过正常使用极限状态，一般只是损害结构的使用功能或耐久性，通常不会造成人员伤亡和重大损失，故允许其出现的概率相对大些。
4.图示结构杆件1的轴力为（）。
A.－PB.－P/2C.D.正确答案：A本题解析：沿I—I剖面将结构截开，由于结构水平方向不受力，则杆2为零杆。
对节点A受力分析可得，杆3受到大小为P的拉力。
题37解图（a）沿II—II剖面将结构截开，由于轴力N2＝0，N3＝P，对左上部结构进行水平方向受力分析，由∑X＝0，N1＋N3＝0，解得N1＝－P。
题37解图（b）5.若荷载作用在静定多跨梁的基本部分上，附属部分上无荷载作用，则（）。
A.基本部分和附属部分均有内力B.基本部分有内力，附属部分无内力C.基本部分无内力，附属部分有内力D.不经计算无法判定正确答案：B本题解析：对于多跨静定梁一般的求解步骤是先求附属部分，然后再求基本结构，附属部分受不受力和基本结构是没有关系的，若附属部分没有力则基本结构就不受来自附属部分的力。
结构力学-阻尼对振动的影响
r
T
1.5
4.189 s 1
r 1 2 4.191s 1
P 9.8103 k 196104 N / m A0 0.005
4 2 0 . 0355 196 10 2k 33220 N s/m c 2 m 4.189
当ξ<0.2，则ωr/ω≈1，则
yk 1 r ln 2 n yk n
yk ln 2 n yk n 1
y (t ) et a sin(r t )
T 2
r
2
1 2
阻尼对自振频率的影响：ωr是低阻尼体系的自振频率
r 1 2
y(t ) Cet
(2) 考虑ξ=1的情况:
( 2 1)
λ= －ω
初始 条件
y=(C1+C2t)e-ωt y = [y0(1+ωt)+υ0t] e-ωt
y0
y tg0 θ0
v0
当阻尼增大到ξ=1时，曲线具有衰减，但不具波动，这时的阻 尼常数为临界阻尼常数，用Cr表示。 (Critical Damp)
在ξ<1的低阻尼情况下，ωr恒小于ω，而且随ξ值的增 大而减小。通常ξ是一个小数。如果ξ<0.2，则 0.96<ωr/ω<1，即ωr与ω的值很相近。因此，在ξ<0.2的 情况下，阻尼对自振频率的影响可以忽略。
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共计为m ，加一水平力9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 yk 1 1 0.5 ln ln 0.0335 m 2 y k 1 2 0.4 EI=∞ 9.8kN 2 2
单自由度系统强迫振动汇总
x2(t) Bsin( pt )
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
x2(t) Bsin( pt ) 代入 x 2nx 2 x hsin pt
h B
( 2 p2 )2 4n2 p2
tan
2np 2 p2
特解：
x2(t)
h
sin( pt )
( 2 p2 )2 4n2 p2
全解：
稳态响应： x2(t) Bsin( pt )
B
h ( 2 p2 )2 4n2 p2
简谐激振力引起的振动的全解：
tan
2np 2 p2
右端第一项是齐次解，代表衰减的自由振动；由于瞬态振动会很快衰 减而停止，我们在研究强迫振动问题时主要关心它的稳态振动解。
第二项是特解，代表由激振力引起的稳态强迫振动，位移响应是一简谐 运动，其频率与激振力的频率相同，但稳态响应的相位滞后于激励相位。
讨论影响振幅、相位差的因素：
mx cx kx H sin pt
x 2nx 2 x hsin pt x2(t) Bsin( pt )
B
( 2
h p2 )2
4n2 p2
h
2
1
1
p
2
2
2
n
p
2
B0
1 2 2 22
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
激振力的幅 值引起的静
变形
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
（单自由度系统）
1.1 无阻尼自由振动—简谐运动 1.2 有阻尼自由振动—衰减运动 强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动。
强迫振动从外界不断获取能量来补偿阻尼所消耗的能 量，使系统维持持续的振动。
外界激励周期激励简F (谐t 激T )励
机械振动学(第二章)-二自由度振动系统
3.1.2 二自由度无阻尼自由振动 1、自由振动微分方程
根据式（3-1），可得无阻尼二自由度自由振动微分方程为：
1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 x m1 2 k2 x1 (k2 k3 ) x2 0 x m2
即：
（3-4）
(k1 k 2 ) k2 1 x x1 x2 0 m1 m1 ( k 2 k3 ) k2 2 x x1 x2 0 m2 m2
1 1 x x 为加速度向量； 为速度向量； 2 2 x x f1 (t ) f (t ) 为激振力向量 2
x1 x 为位移向量； 2
根据以上，式（2-2）可写为以下更为一般的简化形式，即:
CX KX F (t ) MX
将固有频率 n1和 n 2 代入（3-10），可得
1 a d ad 2 ( ) bc 0 1 b 2 2 1 a d ( a d ) 2 bc 0 2 b 2 2
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
三、二Байду номын сангаас由度系统的振动
装备制造学院
College of Equipment Manufacture
3.1 二自由度自由振动
二自由度系统属于简单的多自由度系统，而多自由度系统 不同于单自由度系统的振动问题，不再是单自由度系统的简 谐振动了，而是多种频率的简谐波组成的复合运动。 这些频率是系统的固有频率，一般系统有几个自由度，就 有几个系统固有频率。 当系统按照其中某一固有频率作自由振动时，称为主振动， 主振动是一种谐振动。 几个自由度系统在任意初始条件下的响应，应是几个主振 动的叠加。 系统做主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的 相对比值，即称为系统的主振型。
单自由度体系的有阻尼振动
m
m
令 c
k11
2m
m
y(t) 2y(t) 2 y(t) 0
其特征方程的根为 (- 2 1)
根据 取值不同，微分方程的解可分三种情况进行讨论
（1）<1，称为低阻尼的情况
特征根为两共轭复根。令c 1 2 则 ic
此时微分方程式的解为 y(t) et (C1cosct C2sinct)
从上式中可以看出，有阻尼的纯强迫振动仍为简谐振动， 其频率和周期都与阻尼无关。但位移比荷载滞后一个相位 角，当动荷载最大或最小时，位移并不是最大或最小，这 与无阻尼情况不同。
2
(4.488s1 )2
2）求阻尼比 及阻尼系数c。
1 ln A0 1 ln 0.005m 0.04
2π A1 2π 0.0039m
c
2m
2W g
2
9730.84103 N 9.8m s2
4.488s1
0.04
356506.2N s m
3）求振动5个周期后的振幅A5
A5
A e 5Tc 0
y(t) y(t) y*(t)
y(t) et (C1 cosct C2 sinct)
y (t) 可由待定系数法确定，设其形式为
y*(t) D1 cost D2 sint
则有
y*(t) D1 sint D2 cost
y*(t) D1 2 cost D2 2 sint
将它们代入微分方程，整理并分别令等号两边cost 和 sint 的相应系数相等，可得
结构力学
单自由度体系的有阻尼振动
一、阻尼与阻尼力
结构在振动过程中会受到周围介质的阻碍。例如，结构与支座 及构件之间各连接部位的摩擦，变形时材料内部的摩擦等等。 这些因素会引起振动能量的耗散，阻滞体系持续振动，我们把 这些因素称为阻尼。阻碍体系中质点运动的力称为阻尼力。
二、单自由度系统阻尼自由振动解析
cc 2 km 2mn
阻尼比
▪ 令 c c c ，称为阻尼比或者相 cc 2 km 2mn
对阻尼系数。是一个无量纲的数， 是一个重要
振动参数。
▪ 表征一个振动系统阻尼的大小：
▪ 1 表示大阻尼，
▪ 1 表示临界阻尼，
▪ 1 表示小阻尼。
微分方程和解的表达方式
▪由
n
k m
，和
c m
c cc
cc m
2mn
m
2n
▪ 原来的微分方程可以改写成：
x 2n x n2x 0
▪ 特征根：s1,2 2 1 n
大阻尼情况的讨论
▪ 当 1，方程的特征根 s1,2 2 1 n ， 均为实数，方程的通解为：
x e Ae A e nt
2 1nt
1
2 1nt
2
▪ A1, A2 与初始条件 x0 , x0 有关，
A1,2
1 2
x0
x0
n x0 2 1 n
大阻尼系统的运动特点
▪ 可以证明，x e Ae A e nt
2 1nt 1
2 1nt 2
越过平衡位置的次数至多有一次。
x
·x0
x
·x0
x
x0
x0
t
x0
·x0
x0
n d
x0
tan1 x0 n x0 d x0
小阻尼的运动曲线
▪ 如图所示的为衰减振 5
动。在 cos(dt ) 1 4
的时候，物体的运动 3
2
曲线和曲线：
1
振幅
x Aent
相切， 0 -1
在切点的x值的绝对 -2
4-有阻尼系统的自由振动解析
(
2
1)
B2e
n
t
(
2
1)
t
n
当 1 时，位移方程为
x ( B1
B
当
2
t) e
n
t
随时间t，按照指数规律减小，不是自由振动。 可见只有 1 时，振系才可能进行自由振动。
一、在题1所示的振系中，一个质量块m分别用两个 弹簧和一个阻尼器连接到上、下基础上，其中质 量m=10千克，弹簧刚度ｋ1=ｋ2=500牛顿/米， 阻尼系数ｃ=160牛顿•秒/米。假设某一时刻将质 量块从平衡位置压低3厘米后，无初速释放，求系 统此后的运动方程。
典型振系的求解 根据振系受力情况，利用牛顿定律可得
m x c x kx
上式经过变形后可得
c k x x x 0 m m
由高等数学的理论可知，求解上式时可设：
xe
st
代入上式，可得其特征方程
s
2
c k s 0 m m
特征方程的根为
c k c s1,2 2m 2 m m
d
上式可改为
xe
t(
n
A cos
1
d
t
A sin
2
d
t)
对位移求导
x ne
t(
n
n t cos t sin t ) A1 d A2 d d e ( A1sind t A2 cosd t)
设在t=0时，有
x x0 , x
上次内容回顾：瑞利法和弹簧刚度系数 讲述的内容
第3章 单自由度体系3(阻尼)
第三章单自由度体系低阻尼体系主要内容1、阻尼的测量方法：1.1对数衰减率法1.2共振放大法1.3半功率点法2、粘滞阻尼系统的能量耗散及等效粘滞阻尼3、复阻尼理论][例]（刘晶波，p48）用自由振动法研究一单层框架结构的性质，用一钢索给结构的屋面施加P=73kN 的水平力，使框架结构产生Δst =5.0cm 的水平位移，突然切断钢索，让结构自由振动，经过2.0sec ，结构振动完成了4周循环，振幅变为2.5cm 。
从以上数据计算：①阻尼比ξ；②无阻尼自振周期T n ；③等效刚度k ；④等效质量m ；⑤阻尼系数c ；⑥位移振幅衰减到0.5cm 时所需的振动周数。
不容易，一般用u 0m 代替，用共振放大法确定体系的阻尼比，方法简单。
但由于激振器难以在零频时的静位移值u st ，实际测量无法直接获得，需要借助插值外推。
但实际工程中测得的动力放大系数曲图给出，因此工程中往往采用半功率(带宽)mst u u 0max 2=幅的点所对应的两个频率点。
ab ab f f f f +−=ζnab f f f 2−=ζ2.粘性阻尼的能量耗散和等效粘性阻尼2.1粘性阻尼体系的能量耗散SDOF 体系在简谐力p (t )=p 0sin ωt 作用下，在一个振动循环内的能量耗散记为：E D —阻尼引起的能量耗散，即阻尼力做的功；E I —外力做的功；E S —弹性力做的功；E K —惯性力做的功。
在简谐荷载p (t )作用下，SDOF 的位移为：)sin()(0ϕω−=t u t u2.2等效粘性阻尼(1) 粘性阻尼是一种理想化的阻尼，具有简单和便于分析计算的优点。
(2) 工程中结构的阻尼源于多方面，其特点和数学描述更为复杂，这时可以将复杂的阻尼在一定的意义上等效成粘性阻尼。
(3) 一般采用基于能量等效的原则。
(4) 阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滞回曲线反映。
抗力滞回曲线包围的面积等于阻尼力做的功。
在实际测量时，量测到的量是抗力。
阻尼对自由振动的影响
阻尼比实测新方法
x(t )
A
Asin
S2
S4
S6
t1
t3
t5
t
0
ห้องสมุดไป่ตู้
t2
t4
t6
S3
S5
S1
面积衰减法计算阻尼比原理图
黄方林 何旭辉 陈政清 高赞明 倪一清，识别结构模态阻尼比的一种新方法，土木工程学报，35 （6），2002，20-23
2）=1 有二重根 通解为
eT
<0.2时,r
为提高计算精度,可取两个相隔n个周期的振幅yk和yk+n,有 或
• 存在的问题 ：
– 实测响应 中，对数 衰减率 法中峰值是响应 的采样值，不一定 刚好与实际极大值相等；
– 易受噪声干扰。若y (t)受噪声干扰，yk和yk+n 的峰值可能在局部有很大的变化 ，从而影 响了阻尼比系数值的识别结果 。
yt
e t
y0
cosr
t
v0
y0 r
sinr
t
衰减的波动曲线 讨论：
a）逐渐衰减的波动曲线
低阻尼体系自由振动的y-t曲线 b）阻尼对自振频率的影响
r< , <0.2时, r c）阻尼比越大,波动曲线衰减越快
d）阻尼比的实测计算
相邻两个振幅yk与yk+1的比值
yk yk 1
e tk e (tk T )
例1:某结构自由振动经过10个周期后，振幅降为原来 的10%。试求结构的阻尼比ξ和在简谐荷载作用下共 振时的动力系数。
例2：试求图示体系1点的位移动力系数和0点的弯矩 动力系数；它们与动荷载通过质点作用时的动力系数 是否相同？不同在何处？
1-2单自由度系统无阻尼振动(1)解析
振动周期 振动频率
（ s）
（Hz）
结论2：响应满足叠加原理
系统在初始位移 x0 单独作用下的自由振动， 此时 系统在初始速度 x0单独作用下的自由振动， 此时
x0 0
系统的总响应 叠加性是线性系统的重要特征。
结论3
固有特性
这三个量都由振动系统的参数确 定，而与初始条件无关，是系统 的固有特性，因而又称作：固有 圆频率、固有周期和固有频率。
（2）能量法（拉格朗日方程法） 拉格朗日方程（单自由度系统）： T为系统的动能，U为系统的总势能（或应变能），y为位移 自由度（广义坐标），Q为非势力的广义力。 对于定常约束系统，动能仅与速度有关 对于定常约束的保守系统 拉格朗日函数
动能与位移无关， 势能与速度无关
在阻尼可以略去不计的条件下，振动系统自由振动时的机 械能（动能+势能）保持常值。
解：设j为圆盘相对于静平衡位置的角坐 标（即单自由度的广义坐标），作用在 圆盘上的恢复力矩 根据刚体绕定轴转动的平衡方程，有：
例3 弹簧—质量系统，在光滑的水平面上，质量为m的物体 用不计重量的弹簧固定，弹簧原长为l0，沿弹簧轴线取坐标轴 x，以弹簧不受力时右端位置o为原点，向右为正，假设物体 只限于沿x轴进行直线运动，故物体任意时刻的位置可由x完全 确定。建立运动微分方程。
解：以为广义坐标，以系统的静平 衡位置为零势能点，则：
若令
则得：
2.运动微分方程的求解
单自由度自由振动的微分方程：
这是二阶常系数线性微分方程，解的一般形式为：
式中c1、c2是由系统的初始条件决定的。 在t=0 时，初始位移为 ，初始速度为
结论1：
单自由度无阻尼自由振动为简谐振动——位移可以表示为时 间的简谐函数（正弦或余弦） A为系统自由振动的振幅，它表示质量块离开静平衡位置 的最大位移。 为相位角， 为初相位角。
第三章单自由度有阻尼系统的振动
（b）
于是微分方程（3-1）的通解为
（3-2）
式中待定常数c1与c2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式 是实数、零、还是虚数。对应的根s1与s2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若s1与s2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为cc，即cc＝2mp。引进一个无量纲的量 ，称为相对阻尼系数或阻尼比。
1）当激扰频率很低，即λ=ω/P＜＜1时，放大因子β接近于1，即振幅B很近于B0，此时的振幅相当于把激扰力力幅F0当作静载荷加于系统上产生的静位移。
2）当扰频很高，即ω/p>>1时，放大因子β趋近于零，原因是，扰力方向改变很快，振动物体由于惯性来不及跟随，结果是停着不动。
3）当扰频与振系的固有频率很近，即ω/p≈1，在 较小的情况下，振幅B可以很大（即比B0大很多倍），此即共振现象。在共振区附近振幅的大小主要取决于阻尼大小，阻尼越小，振幅越大，在无阻尼的情况下，即 =0时，如2－3节中所提到的那样，振幅将变为无限大，共振振幅（ω=p时）可由下式求出：
[例3-4]如图3-4所示粘性阻尼振系，质量m、弹簧刚度k及阻尼系数c均为已知，有扰力F=F0sinωt作用，ω=P，设在t=0时，x=0、 ，求运动方程。
由式（3-16）可知，强迫振动的相位差ψ与频率比λ及阻尼比 有关。若以ψ为纵坐标，以频率比λ为横坐标，以阻尼比 为参变量，椐（3-16）式可绘成如图3-7所示的曲线，此曲线称为相位频率响应曲线（简称相频响应曲线）。从图中可以看出，ψ始终是正值，故强迫振动的位移总是滞后于激扰力，而且与阻尼比 的大小无关。还可看出，若 ≠0，则当λ<1时，ψ在0º-90º之间；当λ>1时，ψ在90º-180º之间。若 =0，及系统无阻尼存在时相位差ψ与频率图3-7
1.4阻尼振动解析
【解题探究】
(1)共振曲线中,振幅最大的位置对应的频率的意义是什么?
提示:此频率应等于单摆的固有频率。
(2)怎样利用单摆的周期公式求摆长?
提示:由T=2π
2 L 得L= gT 。 4 2 g
【正确解答】(1)由图可知,单摆的固有频率为0.3Hz, T= 10 s=2π
3
L ,解得摆长L= 25 m。 g 9 g
动偏心轮,它每转一周,给筛子一个驱动力,这样就做成了一个共振筛,
筛子做自由振动时,完成10次全振动用时15s。在某电压下,电动偏心
轮转速是36r/min。已知增大电压可使偏心轮转速提高;增加筛子的质
量,可以增大筛子的固有周期。那么要使筛子的振幅增大,下列哪些做
法是正确的 ( ) B.降低输入电压 D.减小筛子质量
4 阻尼振动 受迫振动
一、固有振动、阻尼振动
不受外力 也不受任何阻力,只在自身_______ 回复力 作用 1.自由振动:系统_________, 无阻尼振动 。 下的振动,又叫作___________ 自由 振动的频率。 2.固有频率:_____ 摩擦力 或其他阻力。 3.阻尼:即阻力作用,通常包括_______
因此阻尼振动尽管是减幅振动,但其固有周期不变,当阻尼过大时由于 合外力可能为零,将不能提供回复力,则振动系统将不能发生振动,此 时振动系统的周期可看作无穷大,因此C选项不正确,D选项正确。
2.(2015·成都高二检测)A、B两个单摆,A摆的固有频率为f,B摆的固
有频率为4f,若让它们在频率为5f的驱动力作用下做受迫振动,那么A、
B两个单摆比较
(
)
A.A摆的振幅较大,振动频率为f
B.A摆的振幅较大,振动频率为5f
C.B摆的振幅较大,振动频率为5f D.B摆的振幅较大,振动频率为4f
1.3有阻尼的自由振动解析
可以看出：
t 时，
e0t 0
指数衰减运动，非振动。
3.过阻尼状态 1
1,2 ( 2 1)0
通解： x(t) C1e( 2 1)0t C2e( 2 1)0t
可以看出： t
时，
x(t) 0
是指数衰减运动，非振动。
系统的动力学方程：
J A&& l 2c& a2k 0
&& l2c & a2k 0
JA
JA
（2）由上式得：
0 a
k JA
l2c
2J A
JA
1 ml 2 3
lc 0 2a mk
3
发生自由振动的条件：
lc 1 2a mk
3
c 2a mk l3
0.391
例题2
对于阻尼较小 的 0系.1统 ，实验中有时可用半振幅
方法测定相对阻尼系数在振幅衰减曲线的包络线
上已测得相隔N个周期的两点 P 、 R之间幅值减小一
半，试确定 。
解：振幅衰减曲线的包络线方程为
设 R、 P两点在包络线上的幅值为
则
xP e0NTd 2
xR
当 = 时1可近似为
1 j
ln
A1 A j1
2 1 2
2
1
例题1 系统衰减振动的振幅在10次振动的过程中，由 A1=3cm缩小到A2=0.06cm，求对数减缩率。
解：
1 j
ln
A1 Aj 1
1 10
ln
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例题2
对于阻尼较小 的 0系.1统 ，实验中有时可用半振幅
方法测定相对阻尼系数在振幅衰减曲线的包络线
上已测得相隔N个周期的两点 P 、 R之间幅值减小一
半，试确定 。
解：振幅衰减曲线的包络线方程为
设 R、 P两点在包络线上的幅值为
则
xP e0NTd 2
xR
当 = 时1可近似为
2 N ln 2
一、粘性阻尼系统的自由振动
定义:
粘性阻尼——物体沿润滑表面滑动或在流体中低速运动时的阻尼。
粘性阻尼力 Fc cx
c 为粘性阻尼系数
粘性阻尼系统的运动微分方程为： mx cx kx 0
标准型： &x& 2 x& 02 x 0
令 x et
无阻尼系统的固有频率 0
k m
阻尼系数 c
2m
导入本征方程为： 2 20 02 0 阻尼比
0.56cm
0.11 =0.049
2.25
注意：公式使用范围为幅值减小一半
2.临界阻尼状态 1
1,2 0
通解： x(t) (C1 C2 x)et
初始值 x(0) x0 x(0) x0
x(t) [x0 (x& 0 x0 )t]e0t
可以看出：
t 时，
e0t 0
指数衰减运动，非振动。
2
在单自由度欠阻尼自由振动线性系统中，常用两种方 法求对数减缩率：
1 j
ln
A1 A j1
2 1 2
2
1
例题1 系统衰减振动的振幅在10次振动的过程中，由 A1=3cm缩小到A2=0.06cm，求对数减缩率。
解：
1 j
ln
A1 Aj 1
1 10
ln
3 0.06
0.391
二． 等效粘性阻尼
阻尼的主要作用是转移系统的能量。当无简谐激励作用 时，由于阻系统能量的损失，导致自由振动幅值的衰减；当有 简谐激励作用时，由于简谐激励不断做功，对系统输入的能量 平衡阻尼引起的能量损失，简谐激励的稳态响应时等幅振动。
等效阻尼的原则是令在一个周期内， (1) 非粘性阻尼耗散的能量与等效粘性阻尼耗散的能量相等 (2) 具有相同的简谐运动幅值。
x Aent 、xR xP
2 N ln 2 1 2
Td
2 d
0
2 1 2
ln 2 0.11 2 N N
N是周期数
ln 2 0.11 2 N N
= 1
此式对工程估算微弱阻尼系统的 值很方便的。
例如
在衰减曲线的 点P xp 1.12cm
测出经过2.25个周期的 点R测出
xR
xP 2
Fd FN sgn x 为摩擦因数
1
x& 0
sgn x为符号函数，定义为：
3.过阻尼状态 1
1,2 ( 2 1)0
通解： x(t) C1e( 2 1)0t C2e( 2 1)0t
可以看出： t
时，
x(t) 0
是指数衰减运动，非振动。
例题1
由弹簧k、阻尼器c及质量为m的匀质杆，组成的系统如图。 试求：
系统的动力学方程； 发生自由振动的条件； 最大初始转角； 不产生振动的条件；
常数A1、A2由初始条件决定，x(0)
x0 ,
x(0)
x 0
A1 x0 ,
A2
x0 0 x0 1 20
方程通解可表示为： x(t) Aet sin(dt )
有阻尼振动的初始幅值
A
A12 A22
x02
x0 x0 d
2
有阻尼振动的初相角
arctan
d x0 x0 x0
有阻尼振动的固有频率 d 0 1 2
第三节 有阻尼的自由振动
在无阻尼的自由振动中，由于机械能守恒，系统保持 等幅振动。实际上，在振动时，系统中不可避免地存在 着阻尼，振幅将会随时间的延长而衰减，逐渐趋于零， 因此阻尼对振动的影响不可忽略。
阻尼有各种来源。 两物体之间的干摩擦， 在润滑表面之间的滑动摩擦， 气体或液体等介质阻尼以及材料的内阻尼等。
结论：有阻尼振动的固有频率小于无阻尼振动的固有频 率，是系统固有的物理参数。
有阻尼振动的周期大于无阻尼振动的周期
2
2
Td
d
0
1 2
由于阻尼作用引起能量耗散，在欠 阻尼的情况下，阻尼使无阻尼自由 振动的固有周期增加，频率降低。
当 时1，阻尼对频率或周期的
影响可以忽略，但它对振幅按
几何级数衰减，即
相邻两个振幅之比——减缩系数，非常明显地反映阻尼造成的衰减效果，
3
发生自由振动的条件：
lc 1 2a mk
3
c 2a mk l3
（3）原长处 (0) xj a
(0)
mgl 2a2k
（4）不产生振动的条件：
根据 M A 0
kx ja
mg
l 2
xj
mgl 2ka
1
（5）对数减缩率
1
c 2a mk l3
2 2 lc 3lc
2a mk a mk 3
对数减缩率。 1
解：（1）由动量矩定理
Jo&& Mo
J A&& akx lcx& a2k l 2c&
系统的动力学方程：
J A&& l 2c& a2k 0
&& l2c & a2k 0
JA
JA
（2）由上式得：
0 a
k JA
l2c
2J A
JA
1 ml 2 3
lc 0 2a mk
记做，
Ai eTd
Ai1
Ai Aeti
A Ae (ti1 Td ) i 1
实际计算时，常用对数系数， n Td 0Td
2
即
1 2
Td
2 d
0
2 1 2
一般为：
1 j
ln
A1 A j1
用途：此公式在振动实验中有重要应用 （利用实验测出对数减缩并换算出阻尼比）
当 时1 ，
c 0 2 km
本征值： 1,2 ( m 2 1)0
方程通解的性质分三种情况讨论：本征值依赖于阻尼比
1.欠阻尼状态 1
1,2 ( i 1 2 )0
x(t) C1e1t C2e2t
e t {C1ei( 1 20t ) C2ei( } 1 20t )
et{A1 cos( 1 20t) A2 sin( 1 20t)} et{A1 cosdt A2 sin dt}
实用意义： 将复杂的阻尼机理用等效粘性阻尼替代，简化了分析过程。
当系统作简谐振动时，粘性阻尼在一个周期内耗散的能量 E
近似利用无阻尼振动规律 x Asin(0t ) 得：
E
cxdx
T 0
cx2 dt
c02
A2
T 0
cos2
(0t
)dt
c0
A2
1.干摩擦阻尼
(dx xdt)
遵循库仑定律，即摩擦力与接触物体间的正压力 FN成正比，与运动方向相反。