初中几何中线段和差的最大值与最小值模型解析

初中几何中线段和（差）的最值问题

一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）已知两个定点：

1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：

（2）点A 、B 在直线同侧：

A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。

2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧：

m

m

B

m

A

B

m

n m n

（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

（3）两

个点都在内侧：

（4）台球两次碰壁模型

变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m

分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形

ADEB 周长最短.

填空：最短周长=________________

变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在

直线m 、n 分

n

m

n

n

n

m

别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.

二）一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：

点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）

1、两点在直线两侧：

2、两点在直线同侧：

（二）动点在圆上运动

点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P

m n

m

n

m

n

m

和点B ）

1、点与圆在直线两侧：

2、点与圆在直线同侧：

（三）已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解)

（1）点A 、B 在直线m 两侧：

过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

m

m

m

m

Q

（2）点A 、B 在直线m

同侧：

二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：

1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；

（1）点A 、B 在直线m

同侧：

解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两

边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA

—PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的

点。

（2）点A 、B 在直线m 异侧：

Q

B

m

解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’