第三章飞行器运动方程(0901)

第三章飞行器的运动方程 刚体动力学方程的推导 1.刚体飞行器运动的假设
1)认为飞行器不仅是刚体,而且质量是常数；
2)假设地面为惯性参考系，即假设地面坐标为惯性坐标； 3）忽略地面曲率，视地面为平面； 4）假设重力加速度不随飞行高度而变化；
5）假设机体坐标系的z o x --平面为飞行器对称平面，且飞行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对称，惯性积0==zy xy I I 2.旋转坐标系中向量的导数
设活动坐标系b b b z y Ox 具有角速度ω （见图）。

向量ω
在此坐标系中的分量为
r q p ,,，即
k r j q i p
++=ω （） 其中i 、j
、k 是b x 、b y 、b z 轴的单位向量。

图
设有一个可变的向量)(t a
，它在此坐标系中的分量为z y x a a a ,,，即
k a j a i a a z y x
++= （）
由上式求向量)(t a
对时间t 的导数：
b x
ω
b y
b z
O
i
j
k
dt
k
d a dt j d a dt i d a k dt da j dt da i dt da dt a d z y x z y x +++++= （） 从理论力学知，当一个刚体绕定点以角速度ω
旋转时，刚体上任何一点P
的速度为
r dt r d
⨯=ω （） 其中r
是从O 点到P 点的向径。

现在，把单位向量i
看作是活动坐标系中一点P 的向径，于是可得：
i dt
i
d
⨯=ω （） 同理可得： j dt
j d
⨯=ω （） k dt
k
d
⨯=ω （） 将式（）、（）及（）代入式（）中，可得：
)(k a j a i a k dt
da j dt da i dt da dt a d z y x z y x ++⨯+++=ω （） 或写为： a t a dt a d
⨯+=ωδδ （） 其中k dt da j dt da i dt da t a z y x
++=δδ t
a
δδ 称为在活动坐标系中的“相对导数”，相当于站在此活动坐标系中的观察者所看到的向量a 的变化率。

而dt
a
d
则称为“绝对导数”，相当于站在固定坐标系
中的观察者所看到的向量a 的变化率。

例如，若a 是某点的向径，则t
a
δδ
代表该
点的相对速度（相对于动坐标系），而dt a
d 则代表该点的绝对速度。

3.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器质心动力学方程
由牛顿第二定律得：
i V m dt d F |)(
=∑ （）
式中：F
——外力
m ——物体的质量
V
——物体的速度
i |——表示相对于惯性坐标系
在图中，考察飞机上的一个质量元m δ。

图 飞机上的质量元 列出牛顿第二定律方程
dt
V d m F
δδ= （）
式中：F
δ——作用在质量元上的外力
V
——质量元相对惯性坐标系的速度
作用在飞机上总的外力是这些微元的和，即 F F
=∑δ （） 质量元的速度为
dt
r
d V V c += （） b x
y
b z
O
c V
r
式中：c V
——飞机的质心的速度；
dt
r
d ——微元相对于质心的速度。

将式（）代入式（），两边求和得：
m dt r
d V dt d F F c δδ)( +∑==∑ （）
假设飞机的质量是常数，式（）可改写为
m dt
r
d dt d dt V d m F c δ ∑+= （）
或
m r dt
d dt V d m F c δ ∑+=22 （）
由于r
是从质心度量，所以和式0=∑m r δ 。

式（）简化为
dt
V d m F c
= （）
这个方程把作用在飞机上的外力和飞机质心的运动联系起来。

由式（）得
)(|c B c V m dt
V d m F
⨯+=ω （）
ω
,,V F 用机体坐标系上的分量表示为
k F j F i F F z y x
++= （）
k r j q i p
++=ω （） k w j v i u V c
++= （） 则有：
⎪⎭
⎪
⎬⎫-+=-+=-+=)()()(qu pv w m F pw ru v
m F rv qw u
m F z y x （） 这就是在机体坐标系（活动坐标系）下刚体飞行器质心动力学方程。

4.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器绕质心转动的力矩方程。

由牛顿第二定律得：
i H dt d M |
=∑ （）
式中： M
——外力矩
H
——物体的动量矩（角动量） i |——表示相对于惯性坐标系
用类似方法。

对于质量微元m δ，力矩方程可以写为
m V r dt
d H dt d M δδδ)(
⨯== （）
质量微元的速度可以用质心的速度和质量元相对于质心的速度表达，即 r V dt
r d V V c c
⨯+=+=ω （）
总的动量矩可以写作 m
r r m V r m
r V r m V r H H c c δωδδωδδ)()()]([)(
⨯⨯∑+⨯∑=⨯+⨯∑=⨯∑=∑= （） 速度c V
对于求和来说是常数，可以拿到求和符号的外面，即 m r r V m r H c δωδ)]([
⨯⨯∑+⨯∑= （）
式（）中的第一项为0，因为0=∑m r δ
，前面已经解释过。

设
k z j y i x r
++= （）
将式（）和（）代入（），得 k m y x r m yz q m xz p j m yz r m z x q m xy p i
m xz r m xy q m z y p H ])([])([])([2
22
22
2δδδδδδδδδ+∑+∑-∑-+∑-+∑+∑-+∑-∑-+∑= （）
如果定义
m z y I x δ)(22+∑=，m xy I xy δ∑=，m z x I y δ)(22+∑= （）
xzdm I xz ∑=，m y x I z δ)(22+∑=，m yz I yz δ∑= （）
则有
⎪⎭⎪
⎬⎫
+--=-+-=--=z yz xz z yz y xy y xz xy x x rI qI pI H rI qI pI H rI qI pI H （） 由式（3-9）得 H dt
H d M B ⨯+=ω| （）
设
k N j M i L M
++= （）
将式（3-20）、（3-35）代入式（3-34），则有
⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫-+=-+=-+=x y z z x y y
z x qH pH H N pH rH H M rH qH H L （） 因为假设xz 平面是飞机的对称平面，所以
0==xy yz I I （）
将式（）、（）代入（），得
⎪⎭
⎪
⎬⎫+-++-=-+-+=--+-=qr I I I pq r I p I N r p I I I rp q
I M pq I I I qr r I p
I L xz x y z xz xz z x y xz y z xz x )()()()(22 （） 飞行器的运动学方程 3.2.1 飞行器的线运动方程
1）由地面坐标系g S 绕g z 轴转动偏航角ψ到过渡坐标系''''z y Ox S -，转换关系为
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡g g g z y x z y x 10
0cos sin 0sin cos '''ψψψ
ψ
（） 2）由过渡坐标系''''z y Ox S -绕'y 轴转动θ到过渡坐标系''''''''z y Ox S -，转换关系为
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡'''cos 0sin 010sin 0cos ''''''z y x z y x θθ
θθ
（）
3）由过渡坐标系''''''''z y Ox S -绕''x 轴转动滚转角φ到机体坐标系b S ，转换关系为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡''''''cos sin 0sin cos 0001
z y x z y x φφφφ （） 由地面坐标系g S 到机体坐标系b S ，转换关系为
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡
-++--=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡g g g g g g z y x z y x z y x φθφψφψθφψφψθφθφψφψθφψφψθθψθψθψψ
ψ
ψ
θθθθφφφφcos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos 10
0cos sin 0sin cos cos 0sin 010sin 0cos cos sin 0sin cos 0001
（）
由机体坐标系b S 到地面坐标系g S ，转换关系为
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡-++--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x z y x T
g g g φθφθθφψφψθφψφψθψθφψφψθφψφψθψθφθφψφψθφψφψθφθφψφψθφψφψθθψθψθcos cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos （）
对式（）两边对t 求导得：
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡dt dz dt dy dt dx dt dz dt dy dt dx g g g φθφθθφψφψθφψφψθψθφψφψθφψφψθψθcos cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos （）
或
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡w v u dt dz dt dy dt dx g g g φθφθθφψφψθφψφψθψθφψφψθφψφψθψθcos cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos
（）
由速度坐标系的定义可建立速度坐标系与地轴系间的转换关系：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡
-++--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡g g g a a a z y x z y x μγμχμγχμχμγχμγμχμγχμχμγχγγχγχcos cos sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos cos （）
由速度坐标系的定义可建立速度坐标系与机体轴系间的转换关系：
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z y x a a a αα
βαββαβαββ
αcos 0
sin sin sin cos sin cos cos sin sin cos cos （）
式（）中的转换矩阵右乘（）的转换矩阵也表示从地轴系向速度轴系的转换，与式（）中转换矩阵相等，由此可得下列几何关系式。

⎪⎪
⎩⎪⎪⎨
⎧--=+++-+=+-=θ
φβφβαθβαγμψθφφψβθψφφψβαθψβαγχθ
φβφβαθβαγcos )sin cos cos sin (sin sin sin cos cos sin )sin sin sin cos (cos sin )sin sin cos sin cos (cos sin cos sin cos cos cos sin cos )sin sin cos cos (sin sin cos cos sin （） 3.2.2 飞行器的角运动方程
角速度分量（r q p ,,）与姿态角变化率（ψφθ ,,）之间的几何关系如图所示。

图 角速度分量（r q p ,,）与姿态角变化率（ψφθ
,,）之间的几何关系 飞机三个姿态角变化率的方位如下：
ψ
——沿g oz 轴的向量，向下为正。

θ
——在水平面内与ox 轴在水平面内投影线相垂直，向右为正。

φ
——沿ox 轴的向量，向前为正。

为了得到姿态角变化率与绕机体轴三个角速度间的转换关系，将三个姿态角变化率向机体轴上投影，得
⎪⎭
⎪⎬⎫+-=+=-=φθψφθφθψφθθψφ
cos cos sin sin cos cos sin r q p （）
或
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ψθφφθφφθφθ cos cos sin 0sin cos cos 0sin 01
r q p （） 从式（）可以解出姿态角变化率
q
y
φ
θ
ψ
g y
O
p
φ
x
θ
ψ
g x
r
z
g z
φ
θ
ψ
'y
''y
'z
''z
'x
''x
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡r q p θφθφφφθφθφψθφsec cos sec sin 0sin cos 0
tan cos tan sin 1 （）
积分这个方程可以求出欧拉角（姿态角）
应当指出，θ ，φ 和ψ
在一般情况下并不是互相垂直的正交向量，但r q p ,,却互相垂直的正交，并有
k r j q i p ++=++=ψφθω （） 重力和推力
重力通过质心作用在飞机上,由于机体坐标系固定在质心上所以重力不产生力矩。

它作为外力作用在飞机上，并沿机体坐标轴产生分量。

重力沿机体坐标轴的分量为
⎪⎩⎪
⎨⎧==-=φθφθθ
cos cos sin cos sin mg G mg G mg G z
y x （） 推进系统产生的推力可能沿体坐标轴的各方向产生分量。

此外，如果推力不通过质心，也可能产生力矩。

图表示推进系统可能产生的力矩的例子。

图 推力系统产生的力和力矩
作用在机体坐标系的推力和力矩为
T P x X F =)(，T P y Y F =)(，T P z Z F =)( （）
g c .
T
T T Tz M =
1T
2T
T T y T T N )(21-=
T z
T y g c .
现将飞行器的动力学方程和运动学方程总结如下： 力方程：
⎪⎭
⎪
⎬⎫
-+=+-+=+-+=-)(sin cos )(sin cos )(sin qu pv w m mg Z pw ru v
m mg Y rv qw u m mg X φθφθθ （） 力矩方程：
⎪⎭⎪
⎬⎫+-++-=-+-+=--+-=qr I I I pq r I p I N r p I I I rp q
I M pq I I I qr r I p
I L xz x y z xz xz z x y xz y z xz x )()()()(22 （） 绕质心转动的运动学方程
机体角速度用欧拉角和欧拉角速度表示：
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ψθφφθφφθφθ cos cos sin 0sin cos cos 0sin 01
r q p （） 欧拉角速度用欧拉角和机体角速度表示：
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡r q p θφθφφφθφθφψθφ
sec cos sec sin 0sin cos 0
tan cos tan sin 1 （）
飞行器质心运动的运动学方程
⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡w v u dt dz dt dy dt dx g g g φθφθθφψφψθφψφψθψθφψφψθφψφψθψθcos cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos cos （） 小扰动原理
节导出的方程可以通过小扰动原理进行线性化。

在小扰动原理中，需假定飞机的运动只在稳定飞行条件附近具有小的偏离。

很明显，这个原理不能用于大幅度运动的问题。

但是在很多情况下，小扰动原理对于实际工程能得到足够的精度。

动力学方程中的所有变量用一个基准值加上一个偏差或扰动代替，即
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆+=∆+=∆+=∆+=∆+=∆+=∆+=∆+=∆+=∆+=∆+=∆+=∆+=δ
δδ0000000000000,,,,,,,,
L L L N N N M M M Z Z Z Y Y Y X X X r r r q q q p p p w w w v v v u u u （） 作为一个例子，考虑x 方向力方程，即
)(sin rv qw u
m mg X -+=- θ （） 把小扰动变量代入上面方程，得
])(())(()([
)sin(0000000v v r r w w q q u u dt
d
m mg X X ∆+∆+-∆+∆++∆+=∆+-∆+θθ （）
如果忽略扰动量的乘积，并假定
00000000=======ψφr q p v w （）
则有
u
m mg X X ∆=∆+-∆+)sin(00θθ （） 因为
θθθθθθ∆+∆=∆+sin cos cos sin )sin(000
假设θ∆比较小，可以认为θθθ∆≈∆≈∆sin ,1cos 所以式（）可化为
u
m mg X X ∆=∆+-∆+)cos (sin 000θθθ （） 如果假定上式中的扰动量为0，得到基准飞行条件为
0sin 00=-θmg X （）
用上式代入（），得
u
m mg X ∆=∆-∆0cos θθ （） 其中X ∆是x 方向的空气动力和推力，可以用台劳级数展开。

如果假定X ∆只是T e w u δδ,,,的函数，则X ∆可以表示为
T T
e e X
X w w X u u X X δδδδ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=
∆ （）
其中
u X ∂∂、w X
∂∂、e
X δ∂∂、T X δ∂∂为稳定性导数，在基准飞行条件下计算。

e δ∆、T
δ∆分别为升降舵角度和油门位置的变化。

将式（）代入式（），得
u
m mg X
X w w X u u X T T
e e ∆=∆-∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂0cos θθδδδδ （） 整理后得
T T
e e X
X mg w w X u u X dt d m
δδδδθθ∆∂∂+∆∂∂=∆+∆∂∂-∆∂∂-)cos ()(0 （） 两边除以质量m ，得到更为方便的形式，即
T e w u T e X X g w X u X dt
d
δδθθδδ∆+∆=∆+∆-∆-)cos ()(0 （） 其中m u X X u /∂∂=
，m w
X
X w /∂∂=等，都是空气动力导数除以飞机的质量。

下面列出空气动力和力矩的台老级数展开式。

⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆T T e e r r T T e e Z
Z q q Z w w Z w w Z u u Z Z Y
r r Y p p Y v v Y Y X X w w X u u X X δδδδδδδδδδ （） ⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆a a r
r T T e e a a r r L N r r N p p N v v N N M
M q q M w w M w w M u u M M L L r r L p p L v v L L δδδδδδδδδδδδ （） 空气动力和力矩可以表示为所有运动变量的函数，但是在上面的方程中只把那些有显著影响的项包含进来。

同理可以得到其它线性化方程。

下面归纳如下： 纵向通道
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧∆+∆=∆-+∆+-∆-∆+∆=∆-+-∆--+∆-∆+∆=∆+∆-∆-T e q w w u T e q
w w u T e w u T e T e T e M M dt d M dt d w M dt d M u M Z Z g dt d Z u w Z dt d Z u Z X X g w X u X dt d
δδθδδθθδδθθδδδδδδ)()(]sin )[())1[()cos ()(22000 （）
横侧向通道
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧∆+∆=∆-+∆+-∆-∆+∆=∆+-∆-+∆-∆=∆-∆-+∆-∆-r a r p
z xz v r a r x xz p v r r p v r a r a r N N r N dt d p N dt d I I v N Z L r L dt d I I p L dt d
v L Y g r Y u p Y v Y dt d
δδδδδφθδδδδδ)()()(
)()cos ()()(00（）。