第三章飞行器运动方程(0901)

第三章飞行器的运动方程 刚体动力学方程的推导 1.刚体飞行器运动的假设

1)认为飞行器不仅是刚体,而且质量是常数；

2)假设地面为惯性参考系，即假设地面坐标为惯性坐标； 3）忽略地面曲率，视地面为平面； 4）假设重力加速度不随飞行高度而变化；

5）假设机体坐标系的z o x --平面为飞行器对称平面，且飞行器不仅几何外形对称，而且内部质量分布亦对称，惯性积0==zy xy I I 2.旋转坐标系中向量的导数

设活动坐标系b b b z y Ox 具有角速度ω （见图）。向量ω

在此坐标系中的分量为

r q p ,,，即

k r j q i p

++=ω （） 其中i 、j

、k 是b x 、b y 、b z 轴的单位向量。

图

设有一个可变的向量)(t a

，它在此坐标系中的分量为z y x a a a ,,，即

k a j a i a a z y x

++= （）

由上式求向量)(t a

对时间t 的导数：

b x

ω

b y

b z

O

i

j

k

dt

k

d a dt j d a dt i d a k dt da j dt da i dt da dt a d z y x z y x +++++= （） 从理论力学知，当一个刚体绕定点以角速度ω

旋转时，刚体上任何一点P

的速度为

r dt r d

⨯=ω （） 其中r

是从O 点到P 点的向径。

现在，把单位向量i

看作是活动坐标系中一点P 的向径，于是可得：

i dt

i

d

⨯=ω （） 同理可得： j dt

j d

⨯=ω （） k dt

k

d

⨯=ω （） 将式（）、（）及（）代入式（）中，可得：

)(k a j a i a k dt

da j dt da i dt da dt a d z y x z y x ++⨯+++=ω （） 或写为： a t a dt a d

⨯+=ωδδ （） 其中k dt da j dt da i dt da t a z y x

++=δδ t

a

δδ 称为在活动坐标系中的“相对导数”，相当于站在此活动坐标系中的观察者所看到的向量a 的变化率。而dt

a

d

则称为“绝对导数”，相当于站在固定坐标系

中的观察者所看到的向量a 的变化率。例如，若a 是某点的向径，则t

a

δδ

代表该

点的相对速度（相对于动坐标系），而dt a

d 则代表该点的绝对速度。

3.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器质心动力学方程

由牛顿第二定律得：

i V m dt d F |)(

=∑ （）

式中：F

——外力

m ——物体的质量

V

——物体的速度

i |——表示相对于惯性坐标系

在图中，考察飞机上的一个质量元m δ。

图 飞机上的质量元 列出牛顿第二定律方程

dt

V d m F

δδ= （）

式中：F

δ——作用在质量元上的外力

V

——质量元相对惯性坐标系的速度

作用在飞机上总的外力是这些微元的和，即 F F

=∑δ （） 质量元的速度为

dt

r

d V V c += （） b x

y

b z

O

c V

r

式中：c V

——飞机的质心的速度；

dt

r

d ——微元相对于质心的速度。

将式（）代入式（），两边求和得：

m dt r

d V dt d F F c δδ)( +∑==∑ （）

假设飞机的质量是常数，式（）可改写为

m dt

r

d dt d dt V d m F c δ ∑+= （）

或

m r dt

d dt V d m F c δ ∑+=22 （）

由于r

是从质心度量，所以和式0=∑m r δ 。式（）简化为

dt

V d m F c

= （）

这个方程把作用在飞机上的外力和飞机质心的运动联系起来。

由式（）得

)(|c B c V m dt

V d m F

⨯+=ω （）

ω

,,V F 用机体坐标系上的分量表示为

k F j F i F F z y x

++= （）

k r j q i p

++=ω （） k w j v i u V c

++= （） 则有：

⎪⎭

⎪

⎬⎫-+=-+=-+=)()()(qu pv w m F pw ru v

m F rv qw u

m F z y x （） 这就是在机体坐标系（活动坐标系）下刚体飞行器质心动力学方程。 4.在机体坐标系（活动坐标系）中刚体飞行器绕质心转动的力矩方程。

由牛顿第二定律得：

i H dt d M |

=∑ （）

式中： M

——外力矩

H

——物体的动量矩（角动量） i |——表示相对于惯性坐标系

用类似方法。对于质量微元m δ，力矩方程可以写为

m V r dt

d H dt d M δδδ)(

⨯== （）

质量微元的速度可以用质心的速度和质量元相对于质心的速度表达，即 r V dt

r d V V c c

⨯+=+=ω （）

总的动量矩可以写作 m

r r m V r m

r V r m V r H H c c δωδδωδδ)()()]([)(

⨯⨯∑+⨯∑=⨯+⨯∑=⨯∑=∑= （） 速度c V

对于求和来说是常数，可以拿到求和符号的外面，即 m r r V m r H c δωδ)]([

⨯⨯∑+⨯∑= （）

式（）中的第一项为0，因为0=∑m r δ

，前面已经解释过。 设

k z j y i x r

++= （）

将式（）和（）代入（），得 k m y x r m yz q m xz p j m yz r m z x q m xy p i

m xz r m xy q m z y p H ])([])([])([2

22

22

2δδδδδδδδδ+∑+∑-∑-+∑-+∑+∑-+∑-∑-+∑= （）

如果定义

m z y I x δ)(22+∑=，m xy I xy δ∑=，m z x I y δ)(22+∑= （）

xzdm I xz ∑=，m y x I z δ)(22+∑=，m yz I yz δ∑= （）

则有