聚合物流变学的数学基础
聚合物成型加工第6章
有效黏度：曲线 OO上Ａ点：
a
A
dV
dy
A
曲线 OO上Ｂ点：
b
B
dV
dy
B
a
b
（6－9） （6－10）
通式：
a
dV dy
(6 11)
a 有效黏度，表观黏度
五、指数方程式及其应用
K1
或写成：
dV dy
m
(6 12)
dV K ' n 1 n
dy
式中：
K1
1 K'
m
(6 13) (6 14)
① 有些聚合物的拉伸黏度几乎与拉伸应力无关， 如图6.17中B。
② 有些聚合物，当拉伸应力约增至切变黏度开 始下降的应力值时，拉伸黏度开始随拉伸应 力的增加而增加，如图6.17中A。
③ 一些聚合物，当拉伸应力约增至切变黏度开 始下降的应力值时，拉伸黏度开始随拉伸应 力的增加而下降，如图6.17中C。
R
3G
(6 27)
式中， ——毛细管壁的切应力； w G ——聚合物熔体的切剪模量； B ——挤出物胀大比； SR ——可恢复剪切应变。
§6-5 拉伸流动和熔体破裂现象 一、拉伸流动
变形的基本形式有三种：压缩、剪切、拉伸
拉伸流动：纤维纺丝、中空吹塑、薄膜吹制、
热成型
1、拉伸黏度 t 计算公式
式中，
n 1 m
K' 1
K1 ——液体的稠度（条件黏度、假定黏度）。K1越大，表
示液体稠度越高；
K ' ——流体的流动度。K '与Ｋ１意义相反，K ' 越小，表明流
体越粘稠。
——非牛顿黏度，等于流动数 K ' 的倒数
第四章 聚合物流变学基础
三、非牛顿流体的剪切速率
由非牛顿流体的幂律方程，可得到毛细管中非牛 顿流体的剪切速率γ ，积分后可得到毛细管中非牛顿流 体的速度分布 v(r) 和体积流量 qv 。
第四节 聚合物熔体的拉伸粘度
一、拉伸流动
聚合物熔体在流动中受外力拉伸时产生的收敛流动 称为拉伸流动。在拉伸流动中，流体的速度梯度方向平 行于流动方向。
5. 二次流动
当聚合物流体在一椭圆形截面的管 子中流动时，除了轴向流动外，有可 能出现对称于椭圆两轴线的环流。它 是由第二法向应力差所引起，与大分 子链被拉伸的程度相关。
6. 应力过冲与应力松弛
对聚合物流体突然加上一个剪切 速率，其剪切应力先趋向一个最大 值，然后再减小至它的稳定值。 在稳定情况下突然停止流动，聚 合物流体的应力不会立即等于零， 而是有一个应力松弛过程。
第一节 聚合物熔体的流动
一、流动类型
1. 层流和湍流
聚合物成型时，高粘度熔体呈现层流状态，Re 1。 熔体经小浇口注射进入模腔，出现弹性湍流。
2. 稳定流动与不稳定流动
稳定流动：流体的流动状况以及影响流体流动的因素 均不随时间而变化。 不稳定流动：流体的流动状况以及影响流体流动的因 素均随时间而变化。
第二节 聚合物熔体剪切粘度 的影响因素
一、剪切速率的影响
聚合物熔体的粘度随剪切速率的增加而下降。对剪 切速率敏感性大的塑料，可采用提高剪切速率的方法来 降低熔体粘度。
二、温度的影响
聚合物熔体的粘度随温度的升高而下降。对粘流活
化能大的塑料，可采用提高温度的方法来提高成型加工 的流动性。
三、压力的影响
3. 入口效应
5第五章 聚合物流变学基础
压力的影响
体积的压缩
自由体积的减少
分子间距离缩小
流体粘度增加，流动性降低
35
压力的影响
36
单纯通过压力来提高聚合物的流 动性是不恰当的。过大的压力会 造成功率消耗过大和设备的磨损， 甚至使塑料熔体变得象固体而不 能流动，不易成型。
37
对聚合物流体而言，压力的增加相当于温度的 降低。称为“压力-温度等效性” 利用换算因子来确定产生同样熔体粘度所施 加的压力相当的温降。 换算因子：
剪切速率的影响 温度的影响 压力的影响 分子结构的影响 添加剂的影响
28
剪切速率的影响
聚合物熔体具有非牛顿行为，其粘度随剪 切速率的增加而下降 不同聚合物熔体在流动过程中，随剪切速 率的增加，粘度下降的程度不同
一般橡胶对剪切速率的敏感性比塑料大
29
聚合物熔体的剪切速率依赖性很大，例如 PMMA的熔体在6个数量级的剪切速率变化 时其粘度可下降三个数量级。再加上其粘度 的温度依赖性，聚合物熔体在加工过程中其 粘度的变化范围很大。
③膨胀性流体
定义： 表观粘度随剪切应力(或剪切速率)的增加而增加。 膨胀性流体的流动曲线也不是线性的，而且也不存在屈服 应力。 属于膨胀性流体行为的流动大多数为固体含量高的悬乳液， 如处于高剪切速率下的聚氯乙烯高浓度的悬浮溶液的流动 行为。还有玉米粉、糖溶液、湿沙和某些高浓度的粉末悬 浮液等。
膨胀性流体流动行为的解释： 悬乳液在静态时，体系中的固体颗粒空隙 最小，流体只能勉强充满其中的空间，但施加 低剪切应力(剪切速率小)时，流体充当固体颗 粒间的润滑剂，表观粘度不高； 但剪切速率很大时，固体颗粒的紧密堆积 就被破坏，体系体积有些膨胀，流体不能充满 所有的空隙，润滑作用受到了限制，流动内摩 擦阻力增加，表观粘度随之增大。
聚合物流变学的基础方程及本构方程(一)
Vz
Vz x
dx
dVs
dz
xyVy
x dx
xy
xy
x
dx Vy
Vy x
dx
dx xxVx
x dx
xx
xx
x
dx
Y
Vx
Vx x
dx
dy
第四节：流变学的基础方程
（4）重力做功
g •V
E • EV • q • V • g •V t
第四节：流变学的基础方程
三、能量方程 1、推导思路
CV
T t
•
q
T
P T
•V
: V
CV
T t
K T
T
P T
•V
: V
第四节：流变学的基础方程
三、能量方程
2、物理意义
CV
dT dt
单位时间单位体积流体因温度变化而引起的热量变化
• q或kT 因温差与周围流体产生热传导引起的热量变化
: V 流体层之间相对运动，应力做功，转化呈热量引起的热
能量守恒定律：
E—单位质量流体的能量
E
dxdydz t dz
（1）流体流动净带入的能量
dx Y （2）热传导净带入的能量（温差）
（3）应力做功 （4）重力做功
第四节：流变学的基础方程
三、能量方程 1、推导思路
（1）流体流动净带入的能量 （2）热传导净带入的能量（温差） （3）应力做功 （4）重力做功
四、流变状态方程 1、牛顿流体的本构方程 （1）普适（广义）牛顿流体的本构方程
ij
ij
k
2
3
•V
ij
第四节：流变学的基础方程
聚合物流变学基础11.10
液体
如：水
•实际上，完全流体可被认为是粘性流体的一种 晶体：内部质点在三维空间成周期性重复 排列的固体，具有长程有序，并成周期性 重复排列。 • 液体：液体是四大物质形态之一。它是没 有确定的形状，往往受容器影响。但它的 体积在压力及温度不变的环境下，是固定 不变的。此外，液体对容器的边施加压力 和其他物态一样。
●
0.2 流变学的发展 • 流变学是在20世纪20年代随着土木建筑工 程、机械、化学工业的发展需要而形成的。 一些新材料的开发和应用，使传统的弹性 力学和粘性理论已不能完全表征它们的特 性。1928年，美国物理化学家E.C.宾汉把 对非牛顿流体的研究正式命名为流变学,并 倡议成立流变学会,创刊了《流变学杂志》。
③对设计加工机械和模具有指导作用。例 如：应用流变学知识所建立的聚合物在单 螺杆中熔化的数学模型，可预测单螺杆塑 化挤出机的熔化能力；依据聚合物的流变 数据，指导口模的设计，以便挤出光滑的 制品和有效地控制制品的尺寸。
0.6 聚合物流变行为的特性 1. 经典的力学模式 （1）固体的经典模式
刚体
固体
★学习内容：聚合物流变学基础，聚合物稀 溶液的流变特性，聚合物浓厚体系的流变 特性，聚合物基多相体系的流变行为，流 变测量学及相关参考补充内容。 ★学习要求：同学们要有端正的学习态度； 认真听讲，课前预习，课后复习；认真完 成作业。
★参考书： [1]、吴其晔，高分子材料流变学，北京：高等教育出 版社， 2002 [2]、徐佩眩，高聚物流变学及其应用，北京：化学工 业出版社，2003 [3]、江体乾，工业流变学，北京：化学工业出版社， 1995 [4]王玉忠，高聚物流变学导论，成都：四川大学出版 社，1993
线性弹性体
只考虑物体的平动和转动而不考虑 其形状的变化的物体。 有一定的形状，施加力时，其形状 发生变化，而力被移去后，物体即 恢复其原有的形状。
聚合物流变学基础
名词解释动态力学性能：材料在交变力场作用下的力学性能。
爬杆现象：法向应力超过了离心力就将流体沿旋转轴向上推。
挤出膨胀：聚合物熔体经口模挤出后，其断面膨胀，大于口模的断面。
无管虹吸：对牛顿型流体，当虹吸管提高到离开液面时，虹吸现象立即终止。
对高分子液体，如聚异丁烯的汽油溶液或聚醣在水中的微凝胶体系，当虹吸管升离液面后，杯中的液体仍能源源不断地从虹吸管流出，这种现象称无管虹吸效应。
临界分子量：聚合物的性质随分子量的增加或减少，变化规律发生转折所对应的分子量。
蠕变实验：在不同的材料上瞬时地加上一个应力并保持恒定，然后观察各种材料的应变随时间的变化的实验。
应力松弛实验：使材料试样瞬时产生一个应变，保持恒定，然后观察应力随时间的变化的实验。
涂-4杯：国内应用最广泛的一种粘度杯，按GB/T 1723-93设计，适用于测量涂料及其它相关产品的条件粘度。
圆管中的稳定层流：流体仅沿着z轴方向在一根细管中流动，且每个质点的流动速度不随时间变化。
Couette流动：在外圆筒与内圆筒之间环形部分内的流体中的任一质点仅围绕着内外管的轴以角度ω作圆周运动，没有沿Z或Y方向流动。
锥板流动：发生在一个圆锥与一个圆盘之间，圆盘与平板之间的夹角很小，一般小于4度，在流动中，剪切面为具有相同θ坐标的圆锥面，速度梯度为θ方向，流体流动的方向为ψ方向。
进口效应：由于毛细管很细，压力传感器不能设置在毛细管壁上，它只可设在毛细管进口处的机筒内，这样测得的压力来计算粘度会偏高。
边缘效应：部分转矩被消耗在产生这种在边缘上的复杂流动上而造成的误差。
塑性：某些聚合物流体在受较低应力时像固体一样，只发生弹性形变而不流动，只有当外力超过某临界值σy（屈服应力）时，它会发生流动，网络被破坏，固体变为液体。
假塑性：粘度随剪切速率的增大而下降的性质。
膨胀性：粘度随剪切速率的增大而增大的性质。
触变性：凝胶结构的形成和破坏的能力。
剪切稀化：粘度随剪切速率的增大而下降的性质。
流变学的三大方程的数学基础与应用基础
阐明流变学的“三大方程”的数学基础高聚物材料的性能测定和加工过程，是流变学的主要研究范围和对象。
为了定量地分析研究高聚物材料的流动和变形过程，必须建立起描述这个过程的数学方程。
这就是流变学的三大基本方程：连续性方程，动量方程和能量方程。
而且这些数学方程必须建立在矢量模型和张量运算的基础上。
高聚物流变学的发展，与现代数学的应用密切相关。
特别是张量分析是高聚物流变学研究中必不可少的工具。
这里涉及到有限的一些张量分析的数学概念，有助于我们建立矢量空间的思维能力，以便更好地理解流变学基本方程，及其一些加工应用方程的推导。
全面学习和研究流变学，必须具有矢量代数，线性代数和张量运算的数学基础。
（1）标量，矢量和张量 没有任何方向性的纯数值的量称为标量。
如质量m ，体积V ，密度ρ，温度T ，热导率λ，热扩散率α，比定压热C P 和能量E 等。
标量的特征是其值不因坐标系变换而变换。
既有方向，又有大小的量称为矢量，如位移，速度和温度梯度等。
矢量用粗体代号或一个脚码代号表达k a j a i a a a z y x i ρρρρ++==这里k j i ρρρ,,是分别平行于x ，y ，z 轴的单位矢量。
三个分量a x ，a y ，a z 的大小，实际上是矢量a i 在x ，y ，z 轴上投影。
对于一个直角坐标系中的矢量a i (a 1,a 2,a 3)，需经坐标变换公式，才能变换到另一直角坐标系a `i (a `1,a `2,a `3)。
张量比矢量更为复杂，是矢量的推广。
在物理学上的定义为：在一点处不同方向上具有各个矢量值得物理量。
流变学应用的是二阶张量，是“面量”。
张量在数学上定义是：在笛卡尔坐标系上一组有32个有序矢量的集合。
指数n 称为张量的阶数，二阶笛卡尔张量3 n =9，n=2。
标量是零阶张量，矢量是一阶张量。
张量不仅可以从一个直角坐标系转换到另一个直角坐标系，还可以按定量关系转换到柱面坐标系（r ,θ, z ）和球面坐标系（r , θ, ϕ）。
【北化 聚合物流变学】二、流变学基础方程
Vx z
Vz x
0
Vy z
Vz y
1 2
Vx y
Vy x
2 Vz z
Vx z
Vz x
Vx y
Vy x
0
Vy z
Vz y
Vx z
Vz x
Vy z
Vz y
0
速度梯度张量 （非对称张量）
应变速率张量 （对称张量）
转动速率张量 （反对称张量）
• xx
•
xy
•
xz
•
• •
yx zx
1 2
xy
y
1 2
zy
1 2
xz
1 2
yz
z
转动张量 （反对称张量）
应变速率张量
Vx
x Vy
x
Vz
x
Vx y Vy
y Vz y
Vx z Vy
z Vz z
1 2
2
Vy x Vz x
Vx x Vx
y Vx
z
Vx y
Vy x
2 Vy y
Vz y
Vy z
偏导数形式的连续性方程
去掉三重积分，经归纳整理，得偏导数形式 的运动方程：
V
x
V y
V z
•
V
t x
y
z
• V
t
偏导数形式的连续性方程
单位时间单位体积内质量的变化 = 单位时间内沿X、Y、Z三个方向上单位 面积净流出质量之和
偏导数形式的连续性方程 连续流体的概念
•
yy
•
zy
•
yz
•
zz
流变学的描述流体在自然界运动的普遍规律； 本构方程：描述由流体本身性质所决定的应力与应变及应
聚合物流变学基础知识
聚合物流变学基础知识四章聚合物流变学基础1.与低分子物相比，聚合物的黏性流淌有何特点？答：绝大多数低分子物具有牛顿流体的性质，即其粘性仅与流体分子的结构和温度有关，与切应力和切变速率无关。
比如水、甘油等。
高分子稀溶液也是。
而大部分聚合物熔体属于非牛顿流体中的假塑性流体，随剪切力增强而变稀。
与低分子物相比，聚合物的粘性流淌（流变行为，主要是指聚合物熔体，而不包括聚合物溶液）具有如下特征：（1）聚合物熔体流淌时，外力作用发生粘性流淌，同时表现出可逆的弹性形变。
（2）聚合物的流淌并不是高分子链之间的容易滑移，而是运动单元依次跃迁的结果。
（3）它的流变行为剧烈地依靠于聚合物本身的结构、分子量及其分布、温度、压力、时光、作用力的性质和大小等外界条件的影响。
（4）绝大数高分子成型加工都是粘流态下加工的，如挤出，注射，吹塑等。
（5）弹性形变及其后的松驰影响制品的外观，尺寸稳定性。
2.什么是牛顿型流体和非牛顿型流体？使用流变方程和流淌曲线说明非牛顿型流体的类型。
答：牛顿粘性定律：某些液体流淌时切应力τ与切变率D之比为液体的粘度。
遵循牛顿粘性定律的液体称为牛顿流体,凡是流体运动时其切变率D与切应力τ不成线性关系的流体称为非牛顿流体。
η=K(d/dy)n= Kγn-1式中，K为稠度系数，N?S”／m ；为流体特性指数，无因次，表示与牛顿流体偏离的程度。
由方程式可见：①当n=1时，η=K，即K 具有粘度的因次．此时流体为牛顿流体；①当ηl时，为膨胀塑性或剪切增稠流体；①当剪切应力高于流淌前的剪切屈服应力的流体叫宾哈流体3.何为表观黏度？试述大部分聚合物熔体为假塑性流体的理由。
答：表观黏度为非牛顿流体剪切应力，即剪切速率曲线上的任一点所对应的剪切应力除以剪切速率。
由于大部分的聚合物是热塑性塑料而热塑性塑料的剪切速率在10-104S-1。
流淌曲线是非线性的，剪切速率的增强比剪切应力增强的快，并且不存在屈服应力，流体特征是黏度随剪切速率或剪切应力的增大而降低。
1-3聚合物流变学基本概念(应变与应变速率的描述)
−
∂uy ∂x
⎟⎟⎠⎞
0
−
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂uy ∂z
−
∂uz ∂y
⎟⎟⎠⎞
1 ⎜⎛ 2⎝
∂ux ∂z
−
∂uz ∂x
⎟⎞⎥⎤ ⎠⎥
1 2
⎜⎜⎝⎛
∂uy ∂z
−
∂uz ∂y
⎟⎟⎠⎞⎥⎥⎥
⎥
0⎥
⎥⎦
位移梯度张量 相对位移张量 （非对称张量）
应变张量 （对称张量）
转动张量 （反对称张量）
第三节 聚合物流变学的基本概念
四、应变速率的描述 （一）速度梯度张量与应变速率张量
⎡∂Vx
⎢ ⎢ ⎢
∂x ∂Vy
⎢ ∂x
⎢ ⎢
∂Vz
⎢⎣ ∂x
∂Vx ∂y ∂Vy
∂y ∂Vz ∂y
∂Vx ∂z ∂Vy
∂z ∂Vz ∂z
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
1 2
⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎢⎢⎜⎜⎝⎛ ⎢⎢⎜⎛ ⎢⎣⎝
2
∂Vy ∂x ∂Vz ∂x
举例：形变张量在xoy平面分量的物理意义
⎡ ⎢
0
D
=
⎢ ⎢
∂
u
y
⎢ ∂x
⎢0
⎢
∂u x ∂y
0 0
0⎥⎤
⎡ ⎢
0
⎥ 0⎥⎥ 0⎥
⎥
=
⎢
⎢1
⎢ ⎢
2
⎢
(
∂ux + ∂y
0
∂u y ∂x
)
1 ( ∂ux + ∂uy ) 2 ∂y ∂x
0 0
⎤ 0⎥
⎥ 0⎥⎥ 0⎥⎥
⎢⎣
⎥⎦ ⎢⎣
(优选)聚合物流变学基础复习课
膨胀性
宾汉姆体
a
膨胀性
假塑性
牛顿体
牛顿体 假塑性
应力与应变速率的关系 表观粘度与剪切速率的关系
4.2 表观粘度、零切粘度和微分粘度
d
0
a
其中: 0 a d
4.3 Weissenberg-Rabinowitch
Q R4 (P) 8l
a
4Q
R3
（Hagen-Poiseuille Law）
N2 ( ) 22 33 2 2
在Poiseuille流动中：
N1 ( ) zz rr N2 ( ) rr
在Couette流动中：
N1 ( ) rr N2 ( ) rr zz
在锥板流动中：
N1 ( ) N2 ( ) rr
法向应力效应是非牛顿流体的特性。 牛顿流体必须满足的条件：
dt dy
3.2 牛顿流体
=
粘度的单位:泊(P),1秒•牛顿/米2 换算关系:牛顿/米2 • 1秒=10泊
3.3 线性粘性变形的特点
● 变形的时间依赖性 ● 流体变形的不可回复性 ● 能量损失 ● 正比性
3.4 流动方式 (1) Poiseuille Flow
① 速度及速度分布
vr v 0 vz vz (r)
z
3.5 粘度的温度依赖性
(1) Arrhenius Equation
Aexp(E / RT )
适应条件：T > Tg +100 0C (2) WLF Equation
lg (T ) 17.4(T Tg ) (Tg ) 51.6 T Tg
适应条件： Tg ~Tg +100 0C
4.非线性粘性 4.1 几种非牛顿流体
【北化 聚合物流变学】流变学基础方程的应用
流变学基础方程的应用
北京化工大学
第一章：聚合物加工流变学基础理论简介
第一节 引言 第二节 流变学的数学基础 第三节 流变学的基本概念 第四节 流变学的基础方程 第五节 流变学基础方程的初步应用
知识回顾
一、应力张量与应变速率张量
xx
xy
xz
yx yy yz
温度分析
T 0 T 0 T 0 T 0
x
y
z
t
第五节 聚合物流变学基础方程的初步应用
平行平板拖曳流
3、建立方程 （1）X方向的运动方程
( Vx t
Vx
Vx x
Vy
Vx y
Vz
Vx ) z
P x
( xx x
yx y
zx z
)
g x
X方向的运动方程表达式
τyx = 0 ---（1） y
T
-T
P T
•V
: V
知识回顾
二、聚合物流变学的基础方程
3、能量方程
CV
T t
V
X
T X
V Y
T Y
V
Z
T Z
V V V
2T X 2
2T Y 2
2T Z 2
T
P T
X
X
Y Y
Z Z
V V V V V
XX
X X
YY
Y Y
ZZ
Z Z
XY
Y
x
Y X
• V
t
D •V
Dt
Vx Vy Vz 0
t x
y
z
知识回顾
二、聚合物流变学的基础方程 2、运动方程
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a11b13 a12b23 a13b33
a21b13
a22b23
a23b33
a31b13 a32b23 a33b33
二阶张量与二阶张量的单点积
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算 4、张量与张量的双点积 两个张量单点积所得张量主对角线上各分量之和
b22
b23
a31 a32 a33 b31 b32 b33
a11b11 a12b21 a13b31 a21b11 a22b21 a23b31
a31b11 a32b21 a33b31
a11b12 a12b22 a13b32 a21b12 a22b22 a23b32 a31b12 a32b22 a33b32
Aij : Bij tr Aij • Bij
该代数和称作这个张量的“迹”（Trace）， 实际上是个标量。
第二节 聚合物流变学的数学基础
小结： 一、场论的知识：定义、类型、性质 二、张量及其代数运算
1、定义、描述方法：张量分量数目=3n 2、特殊张量 3、张量的代数运算
AB Aij • Bij Aij : Bij
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （一）张量的定义及其描述 （二）几个特殊张量 （三）张量的代数运算
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （一）张量的定义及其描述 1、张量的定义 在一点处不同方向上具有不同量值的物理量称为张
量。例如：应力、应变、应变速率等。
第二节 聚合物流变学的数学基础
P23
P21
P22
P23
P31 P32 P33 P31 P32 P33
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算 4、张量与张量的单点积
11 12 13 V1 11V1 12V2 13V3
21
22பைடு நூலகம்
23
•
V2
21V1
《聚合物加工工程》
第一章 聚合物加工流变学基础理论简介
第一节 引言 第二节 聚合物流变学的数学基础 第三节 聚合物流变学的基本概念 第四节 聚合物流变学的基础方程 第五节 聚合物流变学基础方程的初步应用
第一章 聚合物加工流变学基础理论简介
第二节 聚合物流变学的数学基础
一、场论的知识 二、张量及其代数运算
二、张量及其代数运算 （二）几个特殊张量 3、并矢张量
AB BA
A A1, A2, A3 ,
A1B1
AB
A2 B1
A3B1
A1 B2 A2 B2 A3 B2
B B1, B2, B3
A1B3
A2
B3
A3B3
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算
1 0 0
I 0 1 0 ij
0 0 1
i j, ij 1 i j, ij 0
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （二）几个特殊张量 2、对称张量
P11 P12 P13
Pij
P21
P22
P23
P31 P32 P33
Pij Pji
第二节 聚合物流变学的数学基础
Q21
Q22
Q23
R31 R32 R33 P31 P32 P33 Q31 Q32 Q33
Rij Pij Qij
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算 3、张量与标量的乘积
P11 P12 P13 P11 P12 P13
Pij
P21
P22
22V2
23V3
31 32 33 V3 31V1 32V2 33V3
一阶张量与二阶张量的单点积
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算 4、张量与张量的单点积
a11 a12 a13 b11 b12 b13
a21
a22
a23
•
b21
第二节 聚合物流变学的数学基础
一、场论的知识 3、场的性质
（1）稳定场与非稳定场 若场中物理量在各点处的对应值不遂时间而改变，
则该场为稳定场，反之则为非稳定场。
第二节 聚合物流变学的数学基础
一、场论的知识 3、场的性质
（2）均匀场与非均匀场 若场中物理量在空间位置上处处相等、分布均匀，
则该场为均匀场，反之则为非均匀场。
二、张量及其代数运算 （一）张量的定义及其描述 2、张量的描述 标量：一个分量（30）— 零阶张量 矢量：三个分量（31）— 一阶张量 张量：九个分量（32）— 二阶张量
张量分量数目由阶数定，即： 张量分量数目=3n （数量30 、矢量31 、二阶张量32 ）
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （二）几个特殊张量 1、单位张量
The End
1、张量相等 2、张量加减法 3、张量与标量乘积 4、张量与张量的单点积 5、张量与张量的双点积
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算 1、张量相等 阶相等 对应分量相等
Pij Qij
P11 P12 P13 Q11 Q12 Q13
P21
P22
P23
Q21
第二节 聚合物流变学的数学基础
一、场论的知识 1、场的概念 在部分或全部空间里的每一点都对应有物理量的一
个确定的值，就称在这个空间里确定了该物理量的场。 例如：温度场、速度场、应力场等
第二节 聚合物流变学的数学基础
一、场论的知识 2、场的类型 数量场：场中物理量是数量（温度场） 矢量场：场中物理量是矢量（速度场） 张量场：场中物理量是张量（应力场）
Q22
Q23
P31 P32 P33 Q31 Q32 Q33
第二节 聚合物流变学的数学基础
二、张量及其代数运算 （三）张量的 代数运算 2、张量加减法：同阶张量对应分量相加减
R11 R12 R13 P11 P12 P13 Q11 Q12 Q13
R21
R22
R23
P21
P22
P23