正弦级数和余弦级数

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a0 (an cos nx bn sin nx ) 2 n 1 f ( x ) f ( x ) , x 为间断点
x 为连续点
f (x) 的傅里叶系数
f ( x) ,
2
例1. 设周期函数 在一个周期内 的表达式为
则它的傅里叶级数在 x 处收敛于
2
2
y

它的傅里叶级数在
o

x
x 处收敛于 ( n 1,2,3,...) 4 0 0 , 在 x 0 处收敛于 . n 1,3,5,... n 0 1 1 1 0 1 cos nx cos nx f ( ) cos nx)d x1 1 cos nx d x f ( 1 n n 0 n 2,4,6,... 0 0 0 4 1 1 2 2 0 1 1 [sin x 2 1 f1 (2 x) sin 3 sin(2 k 1) x ] 0 x n 1 1 (1 sin cos nx n d)x sin nx d x1 f (0 f (0 ) 0 sin nx [1 ( 1) ] 3 2 k 0 0 n n ( x n n 0 2 , x 02, , 2 , )

1 nx cos nx 1 2 2 x sin cos 5 x cos 3 x x (cos n 1) [ cos 2 ]0 2 2 2 5 3 2 n n n

)

2
1 1 cos x 2 cos 3 x 2 cos 5 x 3 5
)
说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 当 x = 0 时,
例2.设函数 数展式为
的傅里叶级
则其中系数
(93 考研) 利用“偶倍奇零”
2 3
解:
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在 1 , x 0 上的表达式为 将 f (x) 展成傅里叶级数. f ( x)
1, 0 x
解: 先求傅里叶系数
1
11.6
傅里叶级数
第十一章
一、函数展开成傅里叶级数
二、正弦级数和余弦级数
一、函数展开成傅里叶级数
设 f (x) 是周期为 2 的周期函数, 若 f (x) 并满足狄利克雷 ( Dirichlet ) 条件: 1) 在一个周期内连续 或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数 收敛,且

n = 2 n = 5 3 x cos nx 1 n = 4 2
n
sin nx n2
2 n cos n 0
级数的部分和 逼近 f (x) 的情况见左图.

内容小结
1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理
a0 f ( x ) (an cos n x bn sin n x ) 为连续点, 2 n1 1 an f ( x )cos n xdx ( n 0,1,2, ) 其中 1 bn f ( x )sin n xd x ( n 1,2, )
1
0
1 x 0 x2 d x [ ] 2 2 n 1,3,5,... n 2 0 n 2,4,6,... x 处收敛于
1
0
2
2


2
,
2 n 2 0
( 1)n1 n
n 1,3,5,... n 2,4,6,...

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 , 2 2 2 2 , 3 5 7 2 4 6 2 1 1 1 1 2 2 (1 2 2 ) , 已知 1 8 4 2 3 4 4 2
1
3
又 1 2
2
8

2
24

2
6
三、正弦级数和余弦级数
1. 周期为2 的奇、 偶函数的傅里叶级数 定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 正弦级数, 它的傅里叶系数为
周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,
它的傅里叶系数为
例4. 设 是周期为2 的周期函数,它在 的表达式为 f (x)=x , 将 f (x) 展成傅里叶级数. 解: 奇函数,
( n 1, 2, )
2 1 ( cos x sin x) sin 2 x 4 2 21 1 ( 2 cos 3 x sin 3 x ) sin 4 x 3 3 4 1 2 ( 2 cos5 x sin5 x ) 5 5 ( x , x (2k 1) , k 0, 1 , 2 , ) 0 ( ) 说明: 当 x (2k 1)时, 级数收敛于 2 2
y
an 0
2

(n 0 , 1 , 2 ,
)
o
x
2 bn f ( x )sin nx d x ( 1)n1 ( n 1 , 2 , 3 , ) 0 n 1 1 2 f (d x) x sin nx x 2(sin x 2 sin 2 x 3 sin 3 x ) 0
x
1 1 [ ] a0 F ( x )d x f ( x )d x 0 4 2 , n 1,3,5,... 1 f ((x an F x) )cos nx d x n n 2,4,6,... 0, 1 | x | sin nx d x f ( x)
答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .
3
0, 0 x
x
将 f (x) 展成傅里叶级数.
解:
它的傅里叶级数在
, n 1 x cos nx d x 1 0 ( 1) x sin nxdx f ( ) f ( ) 0 0 n 1 cos n 1 x sin nx cos nx 2 2 2 2 2 n n n
, 在 x 4 处收敛于

0

.
解:

f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 2 2 2 1 2 (1 1) 2 2 y f (4 ) f (4 ) f (0 ) f (0 ) 2 1 2 o 1 x 1 1 0 2
1
sin 3 x sin 5 x sin 7 x sin 9 x f ( x ) [sin x 9 7 3 5 4
说明: 1) 根据收敛定理可知,
1
]
y
o


x
1 1 时,级数收敛于 0 2
2) 傅氏的情况见右图.
例2.设 f (x) 是周期为 2 的周期函数, 它在 y 上的表达式为 x 0 3 2 2 x , o f ( x)

f ( x0 ) f ( x0 ) 为间断点则级数收敛于 , 2

2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 • 奇函数 正弦级数
• 偶函数
余弦级数
3. 在 [ 0 , ] 上函数的傅里叶展开法
• 作奇周期延拓 , 展开为正弦级数
• 作偶周期延拓 , 展开为余弦级数
思考
在 [ 0 , ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?
定义在[– ,]上 的函数 f (x) 的傅氏级数展开法
周期延拓
F ( x)
f ( x) ,
x [ , )
f ( x 2k ) , 其它
傅里叶展开
上的傅里叶级数
例3.将函数
展成傅里叶 级数 .
解: 将 f (x)延拓成以 2为周期的函数 F(x) , 则

y

o

x2
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