数学与猜想第一卷(G.波利亚)思维导图
高中数学知识框架思维导图(整理版)
基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 分段探究，整体考察 复合函数的单调性：同增异减 赋值法、典型的函数模型 零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换：������ = ������(������) → ������ = ������(������ ± ������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������) ± ������，������, ������ > 0 函数图象 及其变换 对称变换：������ = ������(������) → ������ = −������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(−������)，������ = ������(������) → ������ = −������(−������) 翻折变换：������ = ������(������) → ������ = |������(������)|，������ = ������(������) → ������ = ������(|������|) 伸缩变换：������ = ������(������) → ������ = ������������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������������)
������
第二部分
角的概念
三角函数与平面向量
弧长公式������ = ������������、扇形面积公式������ = ������������
2 1 π 2
中学数学教学中创新思维培养论文
中学数学教学中创新思维的培养摘要：创设问题情境，激趣促思，明确思维方向，诱发猜想，交流归纳，激发思维的主动性，联想探究，深化理解，培养学生的发散思维，掌握并综合运用思维的方法，促进思维的创新和发展关键词：思维；创新；发展中图分类号：g633.6 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2011）12-197-01数学教学的目的，不仅要使学生牢固地掌握系统的知识和技能，而且要使学生的思维得到创新和发展，教学实践证明：只有恰当地调控教学过程，促使学生的思维得到创新和发展才能更深刻地理解和巩固所学知识，才能提高学生分析和解决问题的能力。
在数学教学中，必须在传授基础知识的同时，注重学生思维的创新和发展，一、创设情境，激趣促思，明确思维的方向在教学中应该有计划，有目的精心创设各种问题情境，提出挑战性的问题，设置认知上的冲突，激发学生的思维和兴趣，引导学生明确思维的方向，促进思维的创新和发展。
例如，在圆的教学中，讲圆的概念时，教师不是直接去告诉学生什么是圆，而是先从学生熟悉的生活实际入手，创设情境，激发学生的思维和兴趣提出这样一个问题让学生去思考：“车轮为什么都要做成圆形的?为什么不是方形的或其他的形状？”这一问题立即会引起全班学生的注意和思维：学生经过思考和讨论，得出结论：“如果做成方形或其他形状的车轮时，在转动过程中会颠簸。
”然后又问：为什么做成圆形的车轮就不会颠簸？在学生进入积极的思维后，教师要及时引导学生去寻求解决问题的途径：要把学生作为主体，给他们提供足够的思维时间和思维空间，同时让他们在群体因素的影响下，通过讨论形成思路：“因为圆形轮子边上各个部分到轮子轴心的距离都相等：而其它形状轮子边上的各个部分到轮子轴心的距离都不相等”，从而得出圆的概念：“到定点的距离等于定长的点的集合，叫做圆”。
二、诱发猜想，交流归纳，激发思维的主动性在教学中教师在创设情景的同时还要善于诱发猜想；引导学生交流归纳，激活思维，主动去思考和学习。
(完整版)小学数学思维导图(全)
小学数学思维导图(全)一、数的概念1. 自然数自然数是无限的，可以一直往上数。
自然数是离散的，相邻的自然数之间没有其他数。
自然数是可数的，可以一个一个地数出来。
2. 整数整数是可加的，可以相加得到新的整数。
整数是可减的，可以相减得到新的整数。
整数是可乘的，可以相乘得到新的整数。
整数是可除的，可以相除得到新的整数。
3. 分数分数有分子和分母两部分，分子表示被等分的部分，分母表示等分的总份数。
分数可以相加、相减、相乘、相除。
分数可以化简，即分子和分母同时除以它们的最大公约数。
4. 小数小数有整数部分和小数部分两部分，整数部分表示整体中的整数部分，小数部分表示整体中的小数部分。
小数可以相加、相减、相乘、相除。
小数可以化简，即去掉末尾的0。
二、数的运算1. 加法加法是可交换的，即加数的位置可以交换。
加法是可结合的，即加数可以按照任意顺序相加。
加法的结果是唯一的。
2. 减法减法的结果是唯一的。
减法的结果可以是正数、负数或0。
3. 乘法乘法是可交换的，即乘数的位置可以交换。
乘法是可结合的，即乘数可以按照任意顺序相乘。
乘法的结果是唯一的。
4. 除法除法的结果可以是正数、负数或分数。
除法的结果是唯一的。
三、几何图形1. 线段线段有长度。
线段可以测量。
线段可以比较长度。
2. 角角有大小。
角可以测量。
角可以比较大小。
3. 三角形三角形有面积。
三角形的面积可以用公式计算。
三角形的面积可以比较大小。
4. 四边形四边形有面积。
四边形的面积可以用公式计算。
四边形的面积可以比较大小。
四、数学应用1. 解决实际问题数学可以应用于解决实际问题，例如：计算购物时的找零。
计算路程和时间的关系。
计算物体的面积和体积。
2. 数学游戏数学游戏可以帮助学生提高数学思维能力和兴趣，例如：猜数字游戏。
24点游戏。
数独游戏。
3. 数学竞赛数学竞赛可以激发学生的学习兴趣和竞争意识，例如：数学奥林匹克竞赛。
华罗庚金杯赛。
小学生数学竞赛。
五、数学思维方法1. 归纳法归纳法是一种从具体事例出发，得出一般结论的思维方式。
新人教版A版高中高一数学必修一知识点思维导图
一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫同向可加性我们把只含有一个未知数，并且未知求出相应的一元二次方程的根利用二次函数的图像与X轴的交点确定一元二次不等式的解集如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值如果积xy等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值积定和最小，和定积最大设A、B是非空的实数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数,是幂函数的底数，幂函数的系数是1， 比如2不是幂函数一次函数：二次函数：反比例函数：第五章 三角函数角的定义平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角角的分类按照旋转方向正角负角零角按照终边位置第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角度量角的两种制度角度制弧度制诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等sin（2kπ+α）=sinα k∈zcos（2kπ+α）=cosα k∈ztan（2kπ+α）=tanα k∈z 公式二:设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系sin（π+α）=－sinα k∈zcos（π+α）=－cosα k∈ztan（π+α）=tanα k∈z 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanα弧长与角的换算1°=π/180°，1rad=180°/π弧长公式L=n× π× r/180，L=α× r扇形面积公式S=LR/2三角函数的定义域、值域y＝sinαy＝cosαy＝tanα三角函数的单调性正弦函数余弦函数一周是360度，也是2π弧度，即360°=2π.（n是圆心角度数，r是半径，L是圆心角弧长，α是圆心角度数）（R是扇形半径，L是扇形对应的弧长）定义域是R，值域[-1,1]定义域是R，值域[-1,1]定义域是α≠kπ+π/2区间是(kπ-π/2,kπ+π/2)值域是Ry=sinx在[2kπ-π/2，2kπ+π/2]，k∈Z，上是增函数；在[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]，k∈Z，上是减函数；三角函数y=sin x，它的定义域为全体实数，值域为[-1,1]y=cosx在[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，上是减函数；在[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z，上是增函数；余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]；余弦函数是周期函数，其最小正周期为2π。
波利亚解题表
波利亚是谁？
上中学时，他就是一个很有上进心的学生。但每当遇到较难 的数学题时，他也时常感到困惑：“这个解答好像还行，它 看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？这个结论 好像还行，它看起来是个事实，但别人是怎样发现这个事实 的？我自己怎样才能想出或发现他们呢？”
波利亚解题表是什么？
• Step3 实现计划
实现你的求解计划，检验每一步骤．
第三，实行你的计划
你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这 一步骤是正确的?
小结
• 这节课你学到了什么？
• 你还有什么疑惑吗？
谢谢!
Step 4 回顾
波利亚解题表是什么？
某单位计划10月份组织员工到外地旅游，估计人数在6～15人之间。甲、乙两旅行社的服务质量 相同，且对外报价都是200元，该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行 社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客九折优惠。 （1）分别写出两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式。 （2）若有11人参加旅游，应选择那个旅行社？ （3）人数在什么范围内，应选甲旅行社；在什么范围内，应选乙旅行社？
第一，你必须弄清问 题
画张图，引入适当的符号．
把条件的各个部分分开．你能否把它们写下来?
波利亚解题表是什么？
• Step2 拟定计划
你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理? 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题． 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．
Step 4 回顾
数学名著译丛
《普林斯顿数学指南（第一卷）》[英]TimothyGowers 著 《普林斯顿数学指南（第二卷）》[英]TimothyGowers 著 《普林斯顿数学指南（第三卷）》[英]TimothyGowers 著 《线性算子理论》[波兰] S.Banach 著
《数学——它的内容 方法和意义 (第一卷)》[俄]A.D.亚历山大洛夫 著 《数学——它的内容 方法和意义 (第二卷)》[俄]A.D.亚历山大洛夫 著 《数学——它的内容 方法和意义 (第三卷)》[俄]A.D.亚历山大洛夫 著 《代数几何》[美] R.哈茨霍恩 著
《常微分方程》[俄]V.I.阿诺尔德 著
《微分几何基础（第一卷）》[美]小林昭七 [美]野水克己 著
《控制论（或关在动物和机器中控制和通信的科学）》[美]N.维纳 著 《代数学Ⅱ》[荷]B.L 范德瓦尔登 著
《代数学Ⅰ》[荷]B.L 范德瓦尔登 著
《组合几何》[美] J.帕赫 [美] P.K阿格瓦尔 著
《环与模范畴》[美]F.W.安德森 [美]K.R.富勒尔 著
数学名著译丛
《最佳可能的世界：数学与命运》[法]Ivar Ekeland 著 《图论欧拉理论及相关问题》[英]Herbert Fleischner 著 《数学物理方法Ⅰ》[德]R.柯朗 [德]D.希尔伯特 著
《数学物理方法Ⅱ》[德]R.柯朗 [德]D.希尔伯特 著
《能量分析攻击》[奥]Stefan Mangard [奥]Elisabeth Oswald [奥]Thomas Popp著 《一般拓扑学》[美]J.L.凯莱 著
《代数特征值问题》[英] J.H.威尔金森 著
《拓扑空间论》[日]儿玉之宏 [日]永见启应 著
《数学概观》[瑞典]L.戈丁 著
数学书目
Б[1].П.吉米多维奇数学分析习题集题解（费定晖、敖学圣 著）第六册.pdf
Б[1].П.吉米多维奇数学分析习题集题解（费定晖、敖学圣 著）第四册.pdf
【数学】伽罗华理论（E[1]. Artin 著）.pdf
【数学】常微分方程Βιβλιοθήκη B?И? 阿诺尔德 著）.pdf
数学与猜想（第二卷）：合情推理模式（G[1]. 波利亚）.pdf
数学分析中的问题和定理（波利亚、舍贵 著）第一册.pdf
数学分析中的问题和定理（波利亚、舍贵 著）第二册.pdf
数学分析八讲（A[1].я.辛钦）.pdf
数学分析原理（Rudin 著）第一册.pdf
数学分析原理（Rudin 著）第二册.pdf
数理哲学导论（罗素）.pdf
数论入门（Introduction to the Theory of Numbers，Hardy Wright，Simon Plouffe 著）.pdf
新英汉数学词汇（科学出版社名词室 著）.pdf
无穷的艺术：数学的乐趣（The Art of the Infinite - The Pleasures of Mathematics，Robert Kaplan、Ellen Kaplan 著）.pdf
从微分观点看拓扑（J?W?米尔诺）.pdf
信息论与编码理论.pdf
具体数学：计算机科学基础（Graham、Knuth、Patashnik 著）.pdf
几何原本（欧几里得 著）.pdf
几何基础（D[1]. Hilbert 著）.pdf
几何（笛卡尔 著）.pdf
北大版《高等代数》附册：习题答案与提示.pdf
2023最新小学数学课程标准内附思维导图建议收藏
2023最新小学数学课程标准内附思维导图建议收藏第一部分前言数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。
作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在(培养人)的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。
一、课程性质数学课程具有基础性、普及性和发展性。
二、课程基本理念人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。
三、课程设计思路符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。
（一）学段划分三个学段：第一学段（1~3年级）、第二学段（4~6年级）、第三学段（7~9年级）。
（二）课程目标义务教育阶段数学课程目标:分为总目标和学段目标课程目标从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面加以阐述。
数学课程目标包括结果目标和过程目标。
结果目标使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述，过程目标使用“经历、体验、探索”等术语表述（三）课程内容在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。
“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。
在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。
为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。
建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。
归纳推理与类比推理
归纳推理与类比推理阅读材料先观察一个例子：19109944811147114614544111311211+==+=+++=++=+==++=+==不难发现，从1到10，其中只有7需要用4个平方数（即4=22，1=12）来表示，其余的用一个，两个或三个就够了。
由此，人们很自然就会概括出一个结论：对任何一个正整数，或者本身是平方数，或者总是两个、三个或四个平方数之和。
首次提出这一命题的是G.B.德·梅齐里亚克（Bachet de meziriac 法国数学家 1581一1638 ），他一直试到325，都未发现反例。
由此他相信，上述概括出的结论很可能是正确的。
他的发现就是运用归纳推理获得的。
这种由一类事物中个别（或部分）事物具有某种属性，推断该类事物中每一个对象都具有该属性的推理，称为归纳推理。
归纳推理的一个重要特征是：从部分推断整体，由个别到一般，结论的对象范围超出了已知的对象范围。
在人类认识中，归纳具有十分重要的作用。
首先，归纳是人们获得知识的基础。
其次，大数学家欧拉说过：“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的……这类仅从观察为旁证而仍未被证明的知识……是通常所说的用归纳所获得的。
”法国数学家拉普拉斯则断言：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。
”德国天才数学家高斯（Guass ）宣称：“在数论中由于意外的幸运颇为经常，所以归纳法可萌发出极漂亮的新的真理。
”但是，归纳推理得出的结论不一定是正确的。
几个有名的归纳推理例子： 例11131475125510538336224+=+=+=+=+=+= 这是德国数学家哥德巴赫提出的猜想：“所有大于或等于4的偶数都可以写成两个素数之和”这个猜想至今没有得到证明。
例2655371225712171251243212222=+=+=+=+费尔马猜想：“形如122+n（n 为正整数）的数都是素数”。
瑞士数学家欧拉在验证5=n 时发现67004176411252⨯=+，推翻了费尔马的猜想。
《高中数学选择性必修一》思维导图(复习课)
《1.1 空间向量及其运算》思维导图
《1.2 空间向量的基本定理》思维导图
《1.3 空间向量及其坐标的运算》思维导图
《1.4.1 空间向量应用（一）》思维导图
《1.4.2 空间向量应用（二）》思维导图
《2.1 直线的斜率与倾斜角》思维导图
《2.2 直线方程》思维导图
《2.3 直线的交点及距离公式》思维导图
《2.4 圆的方程》思维导图
《2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系》思维导图
《3.1.1 椭圆及其标准方程》思维导图
《3.1.2椭圆的简单几何性质》思维导图
《3.2.1双曲线及其标准方程》思维导图
《3.2.2双曲线的简单几何性质》思维导图《3.3 抛物线 Nhomakorabea思维导图
人教版高中数学必修一章节思维导图全套
《3.2 函数的性质》思维导图
《3.3 幂函数》思维导图
《4.1 指数的运算》思维导图
《4.2指数函数》思维导图
《4.3 对数的运算》思维导图
《4.4 对数函数》思维导图
《4.5 函数的应用（二）》思维导图
《5.1 任意角和弧度制》思维导图
《5.2 三角函数的概念》思维导图
人教版高中数学必修一章节思维导图全套
《1.1集合的概念及特征》思维导图
《1.2 集合间的关系》思维导图
《1.3 集合的基本运算》思维导图
《1.4 充分、必要条件》思维导图
《1.5 全称量词与存在量词》思维导图
《2.1 等式与不等式的性质元二次方程、不等式》思维导图
《5.3 诱导公式》思维导图
《5.4 三角函数的图象与性质》思维导图
《5.5 三角恒等变换》思维导图
《5.6 函数 》思维导图
《5.7 三角函数的应用》思维导图
人教版高中数学知识框架思维导图(04)-按章节整理(含目录高清版)
几何意义
归纳
合情推理
猜想
类比
推理
演绎推理
推理与证明
三段论
大前提、小前提、结论
综合法
由因导果
分析法
执果索因
直接证明
证明
间接证明
1.验证 = 0 （初始值）命题成立；
2.若 = ( ≥ 0 )时命题成立，证明 = + 1时命题也成立.
数学归纳法
两个原理
反设、归谬、结论
反证法
分类加法计算原理和分步乘法计算原理
1.f (a+x)＝f (b-x)，对称轴为 =
对称性
2.f (a+x)+f (b-x)=c，对称中心为(
2
+
2
, )
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
最值
一次、二次函数、反比例函数、双勾函数
基本初等函数
指数函数、对数函数、幂函数、三角函数
分段函数
利用对称性求函数
对称变换： = () → = −()， = () → = (−)， = () → = −(−)
函数图象
及其变换
翻折变换： = () → = |()|， = () → = (||)
伸缩变换： = () → = ()， = () → = ()
②减法：( + i)－( + i)＝(－c)＋(b－d)i；
③乘法：( + i)·( + i)＝(c－bd)＋(d＋bc)i；
运算
④除法：
+i
+i
=
(+i)(−i)
(+i)(−i)
数学的发展历史思维导图
埃及象形文字
印度河谷在称重和测量中使用挂轮比值
毕达哥拉斯定理
，这一系统仍用于现在的时间和角度计算
莱因德纸草书
毕达哥拉斯
欧几里得
婆罗门数字
亚历山大的海伦
印度
斐波纳契数列
开普勒宇宙模型
伽利略
布莱斯
帕斯卡三角
艾萨克
莱昂哈德
巴贝奇计算机
海王星
理查德
阿尔伯特
伯特兰
阿兰
分形
用计算机进行新的证明，如回答下列问题：要想对任意地图着色而相邻区域颜色不重
几种颜色？问题很简单，但只有计算机考虑到所有可能的方案之后才能解
费马大定理。
推理的理论概述
2.1推理的涵义G〃波利亚在《数学与猜想》川一书中讨论了推理的特征、作用、范例、模式，并且还指出了推理的教学意义和教学方法。
他是通过对数学创造和数学学习等具体思维过程的再现、分析提出了‚推理‛的思维模式，开辟了一条与传统的思辨方式截然不同的新途径;他首先肯定了论证推理在确定数学命题的真理性和其科学体系建构中的作用，然后说数学与其他学科一样，数学知识也是从零散的猜想开始，通过归纳、检验等非论证的思维方式而发生发展，而这种思维方式就是推理。
G〃波利亚的主要成就是有效地拓宽了数学推理的范围;有关推理的概念的展开、模式概括和技能训练都是密切结合数学发现和数学学习的具体思维活动;他的不足之处是对推理的界定比较模糊和不完全。
1988年，我国著名数学家徐利治指出:‚要用G〃波利亚的思想改革数学教和教学方法，要培养G〃波利亚的数学工作者‛，从而在我国正式拉开了把数学方法论和G〃波利亚的数学教育思想应用于课堂教学进行创新教育实践的序幕。
从此，人们逐渐开始探索，在培养学生逻辑思维能力的同时进行推理能力的培养。
杨世明的《数学发现的艺术》(30]，是用G〃波利亚风格写出的数学方法论专著。
从数学史、数学课本、众多数学家的著作和手稿中采集了丰富的素材，归纳、研究了推理方法，对数学学习、解题、教学和研究中广泛应用的观察、实验、归纳、类比、联想、猜测、检验、推广、限定以及抽象、概括等思维方法进行了探讨。
可以说推理的思想萌芽很早。
开拓它，发展它，使之趋于完善的是G。
波利亚。
G〃波利亚是在与传统观念普遍认可的演绎推理相对立的意义上引入合情推理的，并力图将数学推理的非演绎机制尽可能地涵盖其中。
目前，数学教育理论对推理的涵义说法众多，但仔细探究可分为两大类。
一类从逻辑学的角度出发，认为推理是根据已知判断提出新的判断的思维式，推理有两种，论证推理与推理，前者回答如何证明定理的问题，后者回答如何发现定理的问题，并且认为，推理主要包括归纳推理和类比推理。
《从一到无穷大 科学中的事实与猜想》读书笔记思维导图
04
第二部分空间、时间 和爱因斯坦
目录
05 第三部分微观世界
07 出版后记
06 第四部分 宏观宇宙
本书是科普界一代宗师乔治·伽莫夫的代表作，在一众自然科学经典名著中宛如灯塔一般，是科学爱好者不 容错过的经典之作，其历久弥新的魅力，仍对普通读者构建自身的科学素养大有裨益。本书共分为四个部分，先 从数学基础知识入手，而后以通俗有趣的语言清晰介绍了时间、空间及其相对性，再将爱因斯坦深奥的相对论和 四维时空结构简明说理，最后生动讨论了人类在微观世界和宏观世界的认知进展。书中大量的有趣插图均为作者 亲笔绘制，有助读者轻松进入奇妙的科学世界，是学生、科学爱好者难得的入门读物。
第十章 扩展 视野
第十一章 创 造之日
出版后记
谢谢观看
读书笔记
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本
第一版前言
1961年版前言
第一部分 做做数字游戏
第一章 大数
第二章 自然 数和人工数
第二部分空间、时间和爱因斯坦
第四章 四维世界
第三章 空间的特殊 性质
第五章 空间和时间 的相对性
第三部分微观世界
第六章 下降的阶梯 第七章 现代炼金术
第八章 无序定律 第九章 生命之谜
第四部分 宏观宇宙
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本书关键字分析思维导图
相对性
定律
微观世 界
空间
爱好者
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世界
自然Байду номын сангаас学
乔治伽莫 夫
爱因斯坦
科普
经典
时间
正割函数的 n阶导数公式
２４ 正割函数的ｎ阶导数公式■张玉祥 （福建船政交通职业学院 福州 ３５０００７）【摘 要】先通过演绎，逻辑推导得到正割函数的公式，再利用数学归纳法证明正割函数的ｎ阶导数公式。
【关键词】ｎ阶导数；正割函数；数学归纳法【中图分类号】Ｇ６３３．６ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】２０９５－３０８９（２０１９）０２－００２４－０２Ｆｏｒｍｕｌａｏｆｎ－ｏｒｄｅｒｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｆｏｒｓｅｃａｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎＺｈａｎｇＹｕ－ＸｉａｎｇＦｕｊｉａｎＣｈｕａｎｚｈｅｎｇＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓＣｏｌｌｅｇｅ，ＦｕｚｈｏｕＦｕｊｉａｎ，３５０００７Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｏｆｓｅｃａｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｄｅｄｕｃｅｄｂｙｌｏｇｉｃａｌｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ．Ｗｅｔｈｅｎｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｉｓｆｏｒｍｕｌａｉｓｎ－ｏｒｄｅｒｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｆｏｒｓｅｃａｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｖｉａｕｓｉｎｇｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｄｕｃｔｉｏｎ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎ－ｏｒｄｅｒｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，ｓｅｃａｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｄｕｃｔｉｏｎ 如果一个函数满足ｎ阶可导的条件，则它就一定有ｎ阶导数存在．对于三角函数而言，正、余弦函数的ｎ阶导数不言而喻．那么，正割函数的ｎ阶导数存在吗？如果存在，它的ｎ阶导数的公式是什么？本文将利用数学归纳法来探讨这些问题．定理：正割函数ｙ＝ｓｅｃｘ（ｘ≠ｋπ＋π２，ｋ∈Ｚ）的ｎ阶导数存在，且有公式其中ａｎ，ｋ＝（ｎ－２ｋ＋３）ａｎ－１，ｋ－１＋（２ｋ－１）ａｎ－１，ｋ，ｎ≥２，ｋ≥１，ａｎ，０＝ａ０，［ｎ２］＋１＝０，ａ１，１＝１当ｋ＞［ｎ２］＋１时，ａｎ，ｋ＝０，［］为取整符号．证明：显然，当ｎ确定时，公式是有限项的和，且每项都是有限个三角函数与常数的乘积，故函数ｙ＝ｓｅｃｘ（ｘ≠ｋπ＋π２，ｋ∈Ｚ）的ｎ阶导数存在，即公式存在．下面我们用数学归纳法证明公式成立．１．当为奇数时，公式为：其中ａｎ，ｋ＝（ｎ－２ｋ＋３）ａｎ－１，ｋ－１＋（２ｋ－１）ａｎ－１，ｋ，ｎ≥２，ｋ≥１，ａｎ，０＝ａ０，ｎ＋１２＝０，ａ１，１＝１，当ｋ＞ｎ＋１２时，ａｎ，ｋ＝０．显然，ｙ′＝ｓｅｃｘ·ｔａｎｘ，公式成立．设当ｎ＝２ｍ－１时，公式成立，即ｙ２ｍ－１＝∑ｍｋ＝１ａ２ｍ－１，ｋｓｅｃ２ｋ－１ｘ·ｔａｎ２ｍ－２ｋ＋１ｘ成立，其中ａ２ｍ－１，ｋ＝（２ｍ－２ｋ＋２）ａ２ｍ－２，ｋ－１＋（２ｋ－１）ａ２ｍ－２，ｋ，ａ２ｍ－１，０＝ａ０，ｍ＝０，ａ１，１＝１，ｍ≥１，ｋ≥１，ｍ∈Ｎ＋；当ｋ＞ｍ时，ａ２ｍ－１，ｋ＝０．则当ｎ＝２ｍ＋１时，对函数ｙ２ｍ－１求导得：ｙ２ｍ＝所以，当ｎ＝２ｍ＋１时，公式成立．由数学归纳法，当ｎ为奇数时，公式成立．２．当ｎ为偶数时，公式为：ｙ（ｎ）＝∑ｎ２＋１ｋ＝１ａｎ，ｋｓｅｃ２ｋ－１ｘ·ｔａｎｎ－２ｋ＋２ｘ，ｎ∈Ｎ＋．其中ａｎ，ｋ＝（ｎ－２ｋ＋３）ａｎ－１，ｋ－１＋（２ｋ－１）ａｎ－１，ｋ，ｎ≥２，ｋ≥１，ａｎ，０＝ａ０，ｎ２＋１＝０，ａ１，１＝１，当ｋ＞ｎ２＋１时，ａｎ，ｋ＝０．显然ｙ′′＝ｓｅｃｘ·ｔａｎ２ｘ＋ｓｅｃ３ｘ，公式成立．设当ｎ＝２ｍ时，公式成立，即ｙ２ｍ＝∑ｍ＋１ｋ＝１ａ２ｍ，ｋｓｅｃ２ｋ－１ｘ·ｔａｎ２ｍ－２ｋ＋２ｘ成立．其中ａ２ｍ，ｋ＝（２ｍ－２ｋ＋３）ａ２ｍ－１，ｋ－１＋（２ｋ－１）ａ２ｍ－１，ｋ，ａ２ｍ，０＝ａ０，ｍ＋１＝０，ａ１，１＝１，ｍ≥１，ｋ≥１，ｍ∈Ｎ＋；当ｋ＞ｍ＋１时，ａ２ｍ，ｋ＝０．则当ｎ＝２ｍ＋２时，对函数ｙ２ｍ求导得：ｙ２ｍ＋１＝其中ａ２ｍ＋２，ｋ＝（２ｍ－２ｋ＋５）ａ２ｍ＋１，ｋ＋１＋（２ｋ－１）ａ２ｍ＋１，ｋ，ａ２ｍ＋１，０＝０，ａ２ｍ＋１，ｍ＋２＝０，ａ１，１＝１，ｍ≥１，ｋ≥１，ｍ∈Ｎ＋；当ｋ＞ｍ＋１时，ａ２ｍ＋２，ｋ＝０．所以，当ｎ＝２ｍ＋２时，公式（△）成立．由数学归纳法，公式（△）得证．综上所述，无论ｎ为何值，公式（△）总是成立的．本文利用微分学中求导公式与数学归纳法的结合，推导出正割函数ｙ＝ｓｅｃｘ的ｎ阶求导公式．导数的应用从刚开始的经济学到随后的医学、交通、通讯等领域，当现实生活中的某些关系能用三角函数表达后，正割函数ｙ＝ｓｅｃｘ的ｎ阶求导公式必然得到积极的应用．参考文献［１］［美］Ｇ·波利亚．数学与猜想，第一卷，数学中的归纳与类比．北京：科学出版社出版，１９８４，１１－２３．［２］［苏］菲赫金哥尔茨．微积分学教程，第一卷，第一分册．北京：人民出版社出版，１９５６，２２８－２３１．作者简介：张玉祥（１９６１．４－），男，福建省福州市、福建船政交通职业学院、副教授、理学士。
波利亚-怎样解题ppt课件
传统的应用题条件不多不少，数量结构明显，使得学生用于 数学抽象的思考较少，到了最低限度，学生的信息处理能力、 独立思考能力受到了压抑。而新教材在解决实际问题的教学 中，需要教师鼓励学生利用已有的生活经验进行解题。
教师要根据题目的特点和学生的思维发展水平使学生掌握一 些常用的解题策略。
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4.让不同的人在数学上得到不同的发展，特别是使 学习困难的学生化被动学习为主动学习
作为老师，要面向每一位同学，鼓励大家要认真思 考，然后每一位成员阐述自己的想法，最后由发言 人发言（经常轮换角色）。强迫他接受知识，教师 则适时的给予激励。在他们听到你真棒！、你真聪 明！……等这些鼓励的话时，就能尝到成功的甜头， 大家都跃跃欲试。逐步学会思考、学会不懂多问、 主动探求知识。
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（五）教师与学生，模仿与实践
当教师向学生提出表中的问题或建议时，他 可能有两个目的：第一，帮助学生解决手头 的问题；第二，培养学生将来能够独立解题 的能力。
解题是一种本领，是只有模仿和实践才能实 现的本领。
教师通过培养学生的兴趣，然后给他们提供 大量的机会去模仿与实践。
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二、主要部分，主要问题
长、宽、高 这个问题的条件是否充分，能否确定未知数x？充分，如果知
道a,b,c,就能确定长方体，知道长方体就可以确定对角线。
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2.拟定计划
首先，教师愿意向学生暴露自己的思维过程。 当学生问到某些较困难的问题时，他们愿意 和学生共同思考，寻找解决问题的思想方法。
其次，教师应指导学生对数学解题过程进行 分析、归纳，把解题过程概括、提炼，形成 数学学习最重要的内容——数学的思想和方 法。
波利亚及其解题理论
执行计划
13)把你想好的解题过程具体地用术语,符号, 图形,式子表述出来. 14)修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方 案. 15)解题要求是:严密具有逻辑性.
检验回顾
16)你能拟定其它解题方案吗? 17)你能利用它吗?你能用它的结果吗?你能用 它的方法吗? 18)你能找到什么方法检验你的结果吗?
拟定计划
• 例4 已知k＞a＞b＞c＞0，求证： k2－(a+b+c)k + ab +bc+ ca ＞ 0
①
拟定计划
• 抛物线y=x2－(a＋b＋c) x＋ab＋bc＋ca开口向 上．如果二次多项式 x2－(a＋b＋c) x＋ab＋bc＋ca ② 的判别式 △=(a＋b＋c) 2－4(ab＋bc＋ca) ③ 满足△＜0 ④ 那么抛物线与x轴没有交点，从而在x轴上方，恒有 x2 －(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＞0． ⑤ 于是①成立． • 故，原问题化为证明④成立． • 这一计划也很清楚，但是无法证明④一定成立．
解题必须实践
• 解题是一种实践性的技能，就像游泳、滑 雪或弹钢琴一样，只能通过模仿和实践学 到它……你想学会游泳，你就必须下水，你 想成为解题的能手，你就必须去解题． ——波利亚 • 学习数学要做到熟练化．熟能生巧，进而 出神入化．而要这样，就必须练。 ——华罗庚
问题的种类
• 按数学内容来分，可以分成几何、代数、数 论(算术)、组合数学等． • 按问题的结论来分，可以分为计算题、求解 题、证明题． • 从形式上分，有选择题、填充题、综合题． • 从与已有经验关系分，有固定模式、没有或 较少固定模式．
12条解题要诀——单撙
1．要享受到解题的乐趣．对解题有浓厚的兴趣， 能有几分痴迷更好． 2．要有充足的信心． 3．要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力． 4．要做100道有质量的题目． 5．反复探索，大胆地跟着感觉走． 6．从简单的做起． 7．从不同的角度看问题． 8．学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想 法”． 9．设法创造条件，不断变更问题． 10．引入适当字母，向基本量靠拢． 11．力求简单自然，直剖核心． 12．注意总结．