电动力学复习题与答案
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1、根据算符∇的微分性与矢量性，推导下列公式：
()()()()()A B B A B A A B A B ∇=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇
21
()()2
A A A A A ⨯∇⨯=∇-∇
推导：
由算符∇的微分性，可得 ()()()C C A B A B A B ∇=∇+∇
其中下标C 表示将该矢量看成是常矢量，∇不对它作用
由矢量公式可得 ()()()C C C A B A B A B ⨯∇⨯=∇-∇
()()()C C C B A A B B A ⨯∇⨯=∇-∇
即 ()()()C C C A B A B A B ∇=⨯∇⨯+∇，()()()C C C A B B A B A ∇=⨯∇⨯+∇ 代入
()()()C C A B A B A B ∇=∇+∇，可得
()()()()()C C C C A B B A B A A B A B ∇=⨯∇⨯+∇+⨯∇⨯+∇
略去下标C ，即为证明的第一式 再令A B =即可得证明的第二式
2、设u 是空间坐标x ，y ，z 的函数，证明：
()df
f u u du
∇=
∇，()dA A u u du ∇=∇⋅，()dA A u u du ∇⨯=∇⨯ 证明：
()()()()x y z f u f u f u f u e e e x y z ∂∂∂∇=
++∂∂∂x y z df u df u df u df
e e e u du x du y du z du ∂∂∂=++=∇∂∂∂ ()()()()y x z A u A u A u A u x y z ∂∂∂∇=
++∂∂∂y x z dA dA dA u u u dA
u du x du y du z du
∂∂∂=++=∇∂∂∂ ()()()
()()()
()x y z x y z x y z y x z e e e e e e u
u u dA A u u x y z x y z du
A u A u A u dA u dA u dA u du
du
du
∂
∂∂∂∂∂∇⨯=
==∇⨯
∂∂∂∂∂∂
3、电荷Q f 均匀分布于半径为a 球体内，求空间各点的电场.
解：
作半径为r 的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面上的电场强度有相同的数值E ，并沿径向.
当r>a 时，根据高斯定理得： 0
2
4επf
Q E r S d E ==⋅⎰
从而有：
3
04r r
Q E f πε