整式乘除法总复习

整式的乘除

题型一：幂的运算 一、幂的混合运算

a 5

÷（－a 2

）·a ＝ ； (b a 2

)()

3

ab ?2

＝ ； (－a 3)2

·(－a 2)3

= ； ()

m

m

x

x x 23

2÷?＝ ；

（﹣a 2

）3

+（﹣a 3

）2

= ； ()2

1

--k x = ；

()

73

4x x ?= ； ()()

=-?3

42

a a ；

()[]5

2x --= ； n

n 2)

(-a = ；

()c -1-n ()1+-?n c = ； 3

2

3

221???

???????? ??-z xy = ；

下列等式中正确的是

①a 5+a 5=a 10； ②(﹣a)6?(﹣a)3?a=a 10

；

③﹣a 4?（﹣a ）5=a 20；④25+25=26

． 1、()

1132)(--?÷?n m n m x x x x

2、(－3a)3－(－a)·(－3a)2

3、()

()

()2

36

752

44

4

32x

x x x x

x x

+?++

二、化归思想

1、若2,x a =则3x

a = 2、已知,43=m

81

43

4=

-n

m ，求n

2005的值

3、若1+2+3+…+n=a，求代数式（x n y ）（x n ﹣1y 2）（x n ﹣2y 3）…（x 2y n ﹣1）（xy n

）的值．

4、已知2x+5y=3，求4x ?32y

的值．

5、已知25m ?2?10n =57?24

，求m 、n ．

6、已知a x =5，a x+y =25，求a x +a y

的值．

7、若x m+2n =16，x n =2，求x m+n

的值．

8、已知10a =3，10β=5，10γ

=7，试把105写成底数是10的幂的形式

9、已知9n+1﹣32n

=72，求n 的值．

10、若（a n b m b ）3=a 9b 15，求2m+n

的值．

11、计算：a n ﹣5（a n+1b 3m ﹣2）2+（a n ﹣1b m ﹣2）3（﹣b 3m+2

）

12、已知：2x =4y+1，27y =3x ﹣1

，求x ﹣y 的值．

13、若（a m+1b n+2）（a 2n ﹣1b 2n ）=a 5b 3

，则求m+n 的值．

练习：

1、计算25m ÷5m

的结果为 2、若32,35n

m

==，则231

3

m n +-=

3、已知a m

＝2，a n

＝3，求a 2m-3n

的值。

4、已知: 8·22m －1·23m =217

.求m 的值.

6、解关于x 的方程:3

3x+1

·5

3x+1

=15

2x+4

7、计算：

()()

x x

x ÷÷2

2

3 0422101010)10

1(??+--

32))(()(x y y x y x --- ()

()()

22

322

3

x x x x x x -?-?+÷÷

(﹣2)100+(﹣2)99

； 2005

2004

532135?

?? ?

?

-??

?

? ??

化简求值a 3

·（－b 3

）2

＋（－21ab 2）3 ，其中a ＝4

1

，b ＝4。

8、若

23,63==n m ，求n m 323-的值。

9、如果a －4=－3b ，求a 3×b

27的值。

10、先化简，再求值，x 2 · x 2n · (y n+1)2

，其中，x ＝－3，y ＝13

11、已知x 3

=m,x 5

=n,用含有m ，n 的代数式表示x 14

=

12、设x=3m ，y=27m+2

，用x 的代数式表示y 是__ ___.

13、已知x=2m+1，y=3+4m

，用x 的代数式表示y 是___ __.

14、已知b

a 289

3

==，求??? ?

?+-??? ??++??? ??-b a b b a b a 2512515122

2的值。

15、已知:

()()1216

1

3212222++=

++++n n n n ,的值试求222250642++++ .

16、已知10m

=20,10n

=5

1

,的值求n m 239

÷

17、用简便方法计算：

（1）（2）2×4

2

（2）（﹣0.25）12

×4

12

（3）0.52×25×0.125 （4）[（）2]3×（23）3

三、降次、整体代入法

1、如果a 2+a=0（a≠0），求a 2005+a 2004

+12的值．

2、若代数式2425x x -+的值为7，那么代数式2

21x x -+的值等于 3、若3a 2

-a-2=0,则 5+2a-6a 2

=

4、先化简，再求值22

2142442a a a a a a a a +--??-÷ ?--+-??，其中a 满足a 2－2a －1=0．

5、.已知

114a b -=，则2227a ab b a b ab

---+的值等于 6、已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式

222a b c ab bc ac ++---的值．

7、已知m 2-m -1=0，求代数式m 3

-2m +2005的值．

练习：

1、已知m 是方程2250x x +-=的一个根，求32

259m m m +--的值.

2、已知m 是方程2

310x x -+=的根，求代数式10214+-m m 的值.

3、已知a 是方程2200910x x -+=一个根，求2

22009

20081

a a a -+

+的值.

5、 若0422=--a a , 求代数式2]3)2()1)(1[(2

÷--+-+a a a 的值.

6、已知a 2

-a-4=0，求a 2

-2(a 2

-a+3)-2

1(a 2

-a-4)-a 的值.

7、212m -=，求34m

+的值．

8、已知

y

xy x y xy x y x ---+=-2232311，求的值

9、已知,0132

=+-x x 求22

1x x +的值.?若31=+x x ,求1

242

++x x x 的

值.

10、如果(a 2+b 2) 2－2(a 2+b 2)－3=0，那么a 2+b 2

=_________．

四、比较大小

1、比较下列一组数的大小．8131，2741，961

2、比较274与813

的大小．

3已知a ＝2－555，b ＝3－444，c ＝6－222

，请用“>”把它们按从大到小的顺序连接起来，并说明理由．

4、已知a 2＝- (0.3)，-2b ＝- 3

，13

-2c ＝(-)，13

0d ＝(-)，用“<”连接a 、b 、c 、d 为_________________________________

5、设A=333

2

，B=222

3

，C=111

5

，试比较A 、B 、C 的大小关系。

6、试比较4488，5366，6244

的大小。

7、已知 ，比较X 与Y 的大小。

8、108

3与144

2

的大小关系是

99

99909911,99X Y ==

9、已知a ＝2－555，b ＝3－444，c ＝6－222

，请用“>”把它们按从小到大的顺序连接起来

10、若a=8131，b=2741，c=961

，则a 、b 、c 的大小关系为 .

五：零指数、负指数

1、要使(x －1)0－(x ＋1)-2

有意义，x 的取值应满足什么条件？

2、若(23)x =9

4

,则x=

3、如果等式()1122=-+a a ，则a 的值为

4、已知: ()124

2=--x x ,求x 的值.

5、计算（x -3

yz -2

）2

(a 3b -1)-2

(a -2b 2)2

(2m 2n -3)3

(-mn -2)-2

(x -3

yz -2)2

； (a 3b -1)-2

(a -2b 2)2

； (2m 2n -3)3

(-mn -2)-2

．

(－12) 2 ÷(－2) 3 ÷(－2) －2 ÷(π－2005) 0

(－22)3

＋22

×24

＋(1125)0＋||－5－(17

)－1

()()4

4062242222410--??-?-?÷-÷?÷??

6、如果(),990

-=a ()1

1.0--=b ,2

35-??

?

??-=c ,那么c b a ,,三数的大小关

系

六、混合运算整体思想

1、(a ＋b)2·(b＋a)3

＝

2、(2m －n)3·(n－2m)2

＝ ;

3、(p －q)4÷(q－p)3·(p－q)

2

4、()a b - ()3

a b -()5

b a -

5、()[

]3

m n -p

()[]5

)(p n m n m --?

6、()m

m a b b a 25)(--()m

a b 7-÷ (m 为偶数,b a ≠)

7、()()y x x y --2

+3）（y x -+()x y y x -?-2

)(2

8、(p －q)4÷(q －p)3·(p －q)2

9、（a ﹣b ）m+3?（b ﹣a ）2?（a ﹣b ）m ?（b ﹣a ）

5

七、平方差、完全平方公式 一、计算

11()32x y +11

()32

x y -； （2）（-2a-b ）(2a+b);

(3)(a+b-2c)(-a+b+2c) (4)(x-2)(x+2)2(4)x + 4(16)x +

(2m-3n)(-2m-3n)

化简求值：4

a -（1-a ）(1+a)(1+2

a ),其中a=1

2

-

二、应用完全平方公式进行简便计算 （1）14

5×435

； （2）2012×2014-2

2013；

（3）（2+1）（2

21+）4(21)+8(21)+16(21)++1

(4)10.4×9.6； (5)2

997-998×996

(6)()

2

2m n --； (7)()

2

x y z

-+ (8)()22x 3y - ()2

2x 3y +

⑨2

2

(1)(1)a a +-- ⑩

变式训练

计算（1）2

12a ??-- ??

?； （2）()2

222a b +；

（3）()2

1a +()2

1a -()2

2

1a +；（4）22y x ?

?+ ??

?-2

2y x ??- ???

考点6：逆用完全平方公式 【例6】已知a+b=8,ab=16,求()2

212

a b +的值。

变式训练

1、已知0x ≠且x+ 1x =5，求2

21x x

+的值。

2、（1）2

(2)2

z x y +-； （2）（a-2b+3c ）(a-3c-2b)

题型五：公式变形

题型六：配方

（1）214a

2=2

12a b ??+ ???

；（2）2

4x xy +

)22x y +

3、如果2

x +kx+81是一个完全平方式，那么常数k

6.化简求值：（2x-1）（x+2）-2

(2)x --2

(2)x +，其中x=3

2

-。

例1. 计算()()x x 2

52

52

2

+--

例2.

2

2222222129596979899100-?????+-+-+-________________。 例3. 已知

13122a a a

a +=+求的值________________

例4. 如图，从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形，然后将剩

余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________.

例5. 如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a b >)，把

剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.

例6. 计算：()()()()

2432212121211+++++ __________.

例7. 计算2244()()()()a b a b a b a b -+++__________.

例8. 计算：

① 22(2)(2)x x +-__________.

② 先化简，再求值：2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中1

3

x =-

例9 2322

1111(1)(1)(1)(1)23410---- __________.

例10已知3a b +=，12ab =，求下列各式的值：

?22a b +__________.

?22a ab b -+__________.

?2()a b -__________. （2112-

）21(1)3-21(1)4- (2)

1

(1)2013-

科学计数法

用科学记数法表示：

(1)0.000 34＝______； (2)0.000 48＝______； (3)0.000 007 30＝______； (4)0.000 010 23＝_______．

21．若0.000 000 2＝2×10a

，则a ＝______．

22．已知一粒大米的质量约为2.1×10－5

kg ，用小数表示为_______kg ． 多项式除以多项式

多项式除以多项式的一般步骤：

多项式除以多项式一般用竖式进行演算

（1）把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐．

（2）用被除式的第一项去除除式的第一项，得商式的第一项． （3）用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项，把不相等的项结合起来．

（4）把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式

如果一个多项式除以另一个多项式，余式为零，就说这个多项式能被另一个多项式整除

例1 计算)4()209(2+÷++x x x

计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x

计算)3()432(3-÷-+x x x

例2 用综合除法证明9101522

35-+-x x x 能被3+x 整除

1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。 （1）)2()76543(234

-÷-+--x x x x x ；

（2）)4()81496(345+÷+-++x x x x x ；

（3）)())()((23

a x abc x ca bc a

b x

c b a x

-÷-+++++-；

（4）)23()188859(334224

y x y x xy y y x x -÷+--+； （5）)32()15151672(2234

+-÷+-+-x X x x x x ；

（6）)253()712(2

3

3

5

6

-++÷--+x x x x x x x

培优

12．为了求1＋2＋22＋23＋…＋22008的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋…＋22008

，

则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋22009，因此2S －S ＝22009－1，所以1＋2＋22

＋23＋…＋22008＝22009－1．仿照以上推理计算出1＋5＋52＋53＋…＋52009的值是( )． A ．52009

－1 B ．5

2010

－1 C ．2009514- D ．201051

4

-

若(x 2)3

·x ÷

21x

-－(π－3.14)0＝0，试求x －1999＋x －2000

＋1的值．c 已知x (x －1)－(x 2

－y )=－2,猜想：22

2y x +－xy 的值是多少？

3、若 ，求（ab ）2n

的值。

13、已知 ，求22+42+62

+……+502

的值。 15、已知2.5x =20，8y

=20，求 。

16、计算： 2－22－23－24－25－26－27－28－29+210

例1． 如果()36522

+-+x m x

是一个完全平方公式，求m 的值.

例2．如果(a 2+b 2)(a 2+b 2—6)+9=0，求a 2+b 2

当a ,b 为何值时，多项式2

2

4618a b a b +-++有最小值，并求出这个最小值。

若a 、b 、c 为正数，且满足444222222,a b c a b b c c a ++=++那么a 、b 、c 之间有什么关系？为什么？

如果(x+y)2

—4(x+y)+4=0，则x+y=_____________

2．如果(a+b)(a+b —2)+1=0，a+b=_________

3．填空：x 2

+( )x+4

1=( )2；( )(—2x+3y)=9y 2—4x 2

4．已知32=-y

x ，则22222

1y xy x +-的值是______________

5．如果4x 2—Mxy+9y 2

是一个完全平方式，则M 的值是（ ） A 、72 B 、36 C 、—12 D 、±12

6.已知4x 2+x 4

+M 是一个完全平方式，则M 可以有哪几种结果____________________

7．如果22530a ab m -+是一个完全平方式，那么m = 。

8．(1)已知224250a b a b ++-+=求a b

a b

+-

(2)如果x 2+y 2

—4x —6y+13=0，求xy

9. 求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值。

13．若△ABC 的三边长分别为a ．b ．c ，且a ．b ．c 满足等式

2222)()(3c b a c b a ++=++，试说明该三角形是等边三角形．

1,32n n a b ==222222

112345(1)(21)6

n n n n ++++++=++ 11111248162n

++++

14.整数x,y 满足不等式x 2+y 2

+1≤2x+2y,求x+y 的值.

15.1.345?0.345?2.69-1.345?0.3452

-1.3453

16.已知a,b,c 满足a 2

+2b=7,b 2

-2c=-1,c 2-6c=-17,求a+b+c 的值.

四、整式乘除法计算

5、()

1132)(--?÷?n m n m x x x x

6、(－3a)3－(－a)·(－3a)2

7、()

()

()

2

36752

4

44

3

2x x x x x x x +?++

9、32m ×9m

×27＝

2、()()2

30

2559131-÷-+??

? ??+??? ??--

3、()

10-053

102）（-??-2101012

????

? ??-

4、4－(－2)-2－32÷(3.14-π)0

(3) (5×105)3÷(2.5×103)×(－4×10－7)2

；

(4)2－5

×0.5－4

＋3－2

×3

13-??

???

；

(5)(－3)0

＋23

×(－2)2

＋(－5)4

÷2

15-??

???

；

(6) [－24×(4－2×20)÷(－2－4 )÷26 ]×4÷102

． 5、0.25×55

＝

7、0.125 2004×（-8）2005

＝

8、2007

2006

522125????-? ? ???

??

=

9、()5.1)3

2(2000

?1999()19991-?

10、)

1(16997111

11-??

?

????? ??11

11、（7

104?）()

5102?÷= 12、()()=???24103105________； 13、()()()2

23

3

12105.0102102?÷?-÷?-

14、长为2.2×103 m ，宽是1.5×102m ，高是4×102

m 的长方体体积为_________。 *、012200420052006

222222------ 的值.

9、若整数a,b,c 满足,4169158320=??

? ?????? ?????? ??c

b

a

求a,b,c 的值.

*20、已知25x

=2000,80y

=2000. .1

1的值求

y

x +

幂的运算培优讲义

【知识精要】:

一．幂的四种运算法则：

a a a a a a

b a b m n m n m n mn m m m ·，，·===+()()

a a a m n m n ÷=-（a m n ≠0，、为正整数，m n >)

二．零次幂及负整数次幂的运算： )0(10

≠=a a ，p p

a

a

1

=

-（0≠a ，p 是正整数）。

三．科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的数记为a ×10n

的形式的记法。(其中1≤|a|＜10)

【易错点剖析】: 1.注意法则的拓展性

对于含有三个或三个以上同底数幂相乘（除）、幂（积）的乘方等运算，法则仍然适用。

如： 234a a a a ???= 423()ab ??=?? 4()xyz -= 2.注意法则的底数和指数的广泛性

运算法则中的底数和指数，可取一个或几个具体的数；也可取单独一个

字母或一个单项式或多项式。

如：()m n m n y -+= ，()()()x y x y x y m n n m

+÷+÷+++32222=

3.注意法则的可逆性

逆向应用运算法则，由结论推出条件，或将某些指数进行分解。

如：已知10m ＝4，10n ＝5，求103m +2n

的值．

4.注意法则应用的灵活性

在运用法则时，要仔细观察题目的特点，采取恰当、巧妙的解法，使解题过程简便。

如：125256255÷?÷n m

=

5. 注意符号使用的准确性

如：判断下列等式是否成立：

①(-x )2＝-x 2， ②(-x 3)＝-(-x )3， ③(x -y )2＝(y -x )2， ④(x -y )3＝(y -x )3，⑤x -a -b ＝x -(a +b )， ⑥x +a -b ＝x -(b -a )．

【拓展训练】: 1.若2x ＝4y ＋1，27y ＝3x －1，求xy 的值。 2. 若a 2＋a ＝1，求a 3＋2a 2

＋2009的值。

3. 已知(a m ?b?ab n )5＝a 10b 15，求3m(n 2

＋1)的值。

4已知2a ＝3，2b ＝6，2c

＝12，求a 、b 、c 之间的关系。

5计算：(110×19×18×…×12

×1)10?(10×9×8×…×2×1)10

6、已知：∣a －1∣＋∣b ＋3∣＋∣3c －1∣＝0，求(abc)125÷(a 9?b 3?c 2

)的值。

7、若1＋2＋…＋n ＝k ，求(x n y) ? (x n －1y 2) ? (x n －2y 3)…(xy n

)的值。

8.试判断20082009＋20092008

的末位数字是几？

9.已知(x ＋1)(x 2＋ax ＋5)＝x 3＋bx 2

＋3x ＋5，求a 、b 的值。

10. 若x a －b ＝y b －c ＝z c －a ，求x ＋y ＋z 的值。

【能力提高练习】:

1.若a 2＋a ＋1＝0，求a 1000＋a 2001＋a 3002

的值。

2. 已知A ＝987654321×123456789，B ＝987654322×123456788，试比较A 、B 的大小。

3. 已知2a ?27b ?37c ＝1998，求(a －b ＋c)2009

的值。

4.已知25x ＝2000，80y

＝2000，求1x ＋1y

的值。

5. 已知x?x m ?x n ＝x 14，且m 比n 大3，求2m(n 3

-1)的值。

6.若x=12+m ,y=3+m

4,则用x 的代数式表示y 为 . 7..式子200420032002

1373?? 的末位数字为 ．

8.计算：012200420052006222222

------ .

9.．已知25m+1+52m

=130，求m 值

教师寄语：

10. .已知4482

2

23

2

1

=+++++x x x ，求x ．

11. .若ab ac -=-=21，，求()()222

abc ca --+-的值。

【数学小故事】:

数学奇才——伽罗华

1832年5月30日晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点钟，他就离开了人世。数学史上最年轻、最有创造性的头脑停止了思考。人们说，他的死使数学发展推迟了好几十年。这个青年就是死时不满21岁的伽罗华。 伽罗华生于离巴黎不远的一个小城镇，父亲是学校校长，还当过多年市长。家庭的影响使伽罗华一向勇往直前，无所畏惧。1823年，12岁的伽罗华离开双亲到巴黎求学，他不满足呆板的课堂灌输，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助。老师们对他的评价是“只宜在数学的尖端领域里工作”。

1828年，17岁的伽罗华开始研究方程论，创造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的方程来解决问题。伽罗华最重要的成就，是提出了“群”的概念，用群论改变了整个数学的面貌。1829年5月，伽罗华把他的成果写成论文，递交法国科学院，但伴随着这篇杰作而来的是一连串的打击和不幸。先是父亲因不堪忍受教士诽谤而自杀，接着因他的答辩既简捷又深奥令考官们不满而未能进入著名的巴黎综合技术学校。至于他的论文，先是被认为新概念太多又过于简略而要求重写；第二份推导详尽的稿子又因审稿人病逝而下落不明；1831年1月提交的第三份论文又因评阅人不能全部看懂而被否定。

青年伽罗华一方面追求数学的真知，另一方面又献身于追求社会正义的事业。在1831年法国的“七月革命”中，作为高等师范学校新生，伽罗华率领群众走上街头，抗议国王的专制统治，不幸被捕。在狱中，他染上了霍乱。即使在这样的恶劣条件下，伽罗华仍然继续搞他的数学研究，并且写成了论文，准备出狱后发表。出狱不久，因为卷入一场无聊的“爱情”纠葛而决斗身亡。

伽罗华去世后16年，他留存下来的60页手稿才得以发表，科学界才传遍了他的名字。

【课堂小测验】:

计算：

（1）9·3m ＋1·3m －3

；

（2）（x －y ）2（y －x ）（x －y ）3（y －x ）2

．

3．用科学记数法表示(4×102)×(15×105

)的计算结果应是

5．已知2m ＝4，2n ＝16.求2m ＋n

的值．

6．已知：x a ＝1，x b ＝4，求x 3a ＋2b

的值．

7．若2x ＋5y ＝4，求4x ·32y

的值

8.．试确定31995

的个位数字

9．若m 为正整数，且x 2m ＝3，求（3x 3m ）2－13（x 2）2m

的值．

10．若m 、n 、p 是正整数，则p n m a a )(?等于（ ）． A ．np m

a a

? B ．np mp a + C ．nmp a D ．an mp a ?

11．计算：n

n

2716881???

12．．已知：2700532=??c b a

，其中a 、b 、c 为正整数，求4)(c b a -+的

值．

【夯实基础】: .计算：

(1)(－3)0

＋23

×(－2)2

＋(－5)4

÷2

15-??

???

；

(2) [－24×(4－2×20)÷(－2－4 )÷26 ]×4÷102

． (3) 21

1

2168(4)8m m m m --??+-?(m 为正整数).

(4)42

24

22

3

3

22

()()()()()()x x x x x x x x +-?--?-?-;

（5）（－3－1）－2－2÷4－1－（2.5－2＋202）0－（－2）－1

（6）()m

m a b b a 25)(--()m

a b 7-÷ (m 为偶数,b a ≠)

【快乐作业】: .计算： （1）

()()

[]

2

322

c

b a b a ?-- （2）

()

()()

22

322

3x x x x x x -?-÷+÷÷

(3)

3

23221??

?????

???? ??-z xy (4)

()()y x x y --2+

3

）（y x -+()x y y x -?-2)(2

7、已知:2a ·27b ·37c =1998,其中a,b,c 是自然数,求(a-b-c)2004

的值.

8、已知:2a ·27b ·37c ·47d =1998,其中a,b,c,d 是自然数,求(a-b-c+d)2004

的值.