计算复杂性
计算复杂性理论
计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中重要的一个分支，它研究了计算问题的难度和可解性。
通过对问题的复杂性进行分析和分类，计算复杂性理论为我们提供了解决问题的指导原则和限制条件。
本文将介绍计算复杂性理论的基本概念、主要研究内容以及其在实际应用中的重要性。
一、基本概念1. P和NP问题在计算复杂性理论中，最基本的概念是P问题和NP问题。
P 问题是指可以在多项式时间内解决的问题，即存在一个算法可以在多项式时间内给出问题的正确答案。
而NP问题则是指可以在多项式时间内验证答案的问题，但尚未找到多项式时间内解决的算法。
P问题是NP问题的子集，即所有的P问题也是NP问题，但目前尚不清楚P问题和NP问题是否是相同的类。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个关键概念，它指的是一类最困难的NP问题。
一个问题被称为是NP完全的，如果它既是一个NP问题，又满足以下条件：对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
换句话说，如果我们能够找到一个多项式时间算法来解决一个NP完全问题，那么我们也可以用同样的算法来解决所有的NP问题。
3. NP难度除了NP完全性概念，计算复杂性理论还引入了NP难度的概念。
一个问题被称为是NP难度的，如果对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
虽然NP难度问题不一定是NP问题，但它们和NP完全问题一样，都是十分困难的问题。
二、主要研究内容1. 多项式时间算法计算复杂性理论的一个主要研究内容是寻找和分析多项式时间算法。
多项式时间算法是指可以在多项式时间内解决的算法，即其执行时间与输入规模呈多项式关系。
研究多项式时间算法的目标是寻找高效的解决方法，从而提高问题的可解性。
2. 算法复杂性分析算法复杂性分析是计算复杂性理论中的另一个重要内容。
通过对算法的复杂性进行全面的分析，我们可以预测算法在实际应用中的性能表现。
算法复杂性分析的主要方法包括时间复杂性分析和空间复杂性分析，通过对算法的时间和空间需求进行测量和评估，我们可以判断算法在给定条件下的可行性和效率。
第一讲：计算复杂性理论
大多数研究者认可 的包容关系
L m
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型2
计算复杂度的影响因素
简化模型：模型3。
计算复杂度的影响因素
建模假设 例：高空抛球的运动轨迹。 ----抛物线模型 假设1.没有空气阻力； 假设2.地面是平面。 ----椭圆模型
计算复杂度的影响因素
探索空间1 探索空间1---解的近似度、满意度
例：0—10之间的整数解：1-9共9个可行解（一维） 0—10之间的实数解：精确到小数点后6位 共有107个可行解（一维）； 107n个可行解（n维）
n! 10141世紀 → 10120世紀 102551世紀 → 102530世紀
问题与算法
每个問題都可能有多个算法存在． 每个算法的计算量（速度）都不同。 例： 赝品金币問題： 问题：9個外观完全一样的金币.，有一个是假的 （重量轻）． 提问：用天秤来鉴别真伪，天秤需要使用几次？
贋品金币問題算法 問題算法
优化技术与方法
計算量(1) 計算量
＋,－,×,÷ 比較：≠，≤，≥，＜，＞ 5种基本演算都是用1step 可以实现. 実際上,×比＋多占用時間. 「四舍五入」不算基本演算.
計算量(2) 計算量
｛a1, a2,..., an｝：n個整数 Q1. 求和（1）： a1+a2+･･･+an. 1 + +a n-1 steps → O(n)算法. Q2. 求和（2）： (1) 2×a1+･･･+ 2×an , 2n-1 steps→ O(n)算法. (2) 2×(a1+･･･+an) , n steps→ O(n)算法.
尚未确信能否用多項式時間算法求解的问题的 集合称为NP （non-deterministic polynomial）问题 某一个问题不属于NP问题的証明 如能够找到一个多項式時間算法 （簡単） 某一个问题属于NP问题的証明 可以归结为某一类既知的NP类问题（现阶段7类））
计算机科学中的计算复杂性理论
计算机科学中的计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中的一个重要分支，研究的是计算问题的算法复杂性和计算机问题的可解性。
它帮助我们理解计算问题是否有高效的解决方法，为设计和分析算法提供了基础。
一、引言计算复杂性理论涉及到算法的效率和计算问题的可解性，对计算机科学和信息技术具有重要意义。
本文将首先介绍计算复杂性理论的起源和发展，然后重点讨论几个计算复杂性理论中的重要概念和问题。
二、计算复杂性理论的起源和发展计算复杂性理论起源于20世纪60年代，由对计算问题的可解性进行研究逐渐演化而来。
该理论的研究者，如图灵奖得主阿隆佐·邱奇、史蒂芬·库克等，提出了多个理论模型和概念，奠定了计算复杂性理论的基础。
三、计算复杂性理论的重要概念1. P问题和NP问题在计算复杂性理论中，P问题指的是可以在多项式时间内解决的问题，而NP问题则是指可以在多项式时间内验证给定解是否正确的问题。
其中，P问题是NP问题的一个子集，即P⊆NP。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个重要概念。
一个问题是NP完全的，意味着它是NP问题中最难的一类。
如果我们能够找到一个多项式时间内解决NP完全问题的算法，那么可以得出P = NP的结论，这是计算机科学中的一个重大问题。
3. 计算复杂性度量计算复杂性理论通过引入时间复杂性和空间复杂性度量来衡量算法的效率。
其中，时间复杂性度量算法执行所需的时间步数，空间复杂性度量算法所需的存储空间。
这些度量帮助我们选择具有高效率的算法，提高计算问题的解决速度。
四、计算复杂性问题的研究方法计算复杂性理论研究问题的方法主要有两种：证明方法和求解方法。
证明方法通过证明某个问题是NP完全的来研究问题难度；而求解方法则是通过设计高效的算法来解决问题。
1. 证明方法证明方法是计算复杂性理论中常用的方法之一，它使用约简技术将一个已知的NP完全问题转化为待研究问题，从而证明待研究问题也是NP完全的。
可计算性与计算复杂性
可计算性与计算复杂性1.可计算性：可计算性研究的是什么样的问题可以通过其中一种计算模型解决。
早期的计算模型是图灵机（Turing machine），后来发展出其他等效的计算模型，例如递归函数、Lambda演算等。
根据这些计算模型，可以定义一类问题为可计算问题，也就是可以通过计算模型求解的问题。
1.1停机问题：停机问题是可计算性的典型例子，它是指根据给定的程序和输入，判断这个程序是否会在有限的时间内停止运行。
根据图灵在20世纪30年代证明的停机问题的不可判定性，他证明了不存在一个通用的算法能够判断任意程序是否停机，这个结论被称为图灵不可判定性定理。
1.2基本计算问题：除了停机问题，可计算性还研究了一些其他的基本计算问题。
例如，可计算性研究了自动机是否可以接受一些字符串，或者函数是否可以被一个特定的计算模型计算等。
1.3计算模型的等效性：在可计算性理论中，研究了不同计算模型之间的等效性。
图灵机、递归函数和Lambda演算等计算模型之间可以相互转化，这意味着它们的计算能力是等价的。
这个等价性的概念对理解可计算性是至关重要的。
2.计算复杂性：计算复杂性研究的是什么样的问题可以在多项式时间内解决，以及在不同条件下求解问题所需要的计算资源（例如时间、空间等）。
计算复杂性理论的核心是研究问题的复杂度类别和难度。
2.1多项式时间可解问题：计算复杂性理论将问题分为多项式时间可解问题和非多项式时间可解问题。
多项式时间可解问题是指那些可以在多项式时间内求解的问题。
这些问题的解决方法被认为是高效的，因为随着输入规模的增加，所需计算资源的增长是可接受的。
2.2难解问题：非多项式时间可解问题是那些不可以在多项式时间内求解的问题。
例如，图的旅行商问题（TSP）和布尔可满足性问题（SAT）等问题被认为是难解问题。
难解问题的求解需要指数级的时间或空间复杂度，因此在实际中很难找到有效的算法。
2.3复杂度类别：计算复杂性理论还研究了不同问题的复杂度类别。
密码学的计算复杂性理论
从前，有一个酷爱数学的年轻国王向邻国一位聪明美丽的公主求婚。 公主出了这样一道题：求出48 770 428 433 377 171的一个真因子。若国王 能在一天之内求出答案，公主便接受他的求婚。国王回去后立即开始逐个 数地进行计算，他从早到晚，共算了三万多个数，最终还是没有结果。国 王向公主求情，公主将答案相告：223 092 827是它的一个真因子。国王很 快就验证了这个数确能除尽48 770 428 433 377 171。公主说：“我再给你 一次机会，如果还求不出，将来你只好做我的证婚人了。”国王立即回国， 并向时任宰相的大数学家求教，大数学家在仔细地思考后认为这个数为17 位，则最小的一个真因子不会超过9位，于是他给国王出了一个主意：按自 然数的顺序给全国的老百姓每人编一个号发下去，等公主给出数目后，立 即将它们通报全国，让每个老百姓用自己的编号去除这个数，除尽了立即 上报，赏金万两。最后，国王用这个办法求婚成功。
– 当将一个问题分解到多个处理器上解决时，由于算法中不可避 免地存在必须串行执行的操作，从而大大地限制了并行计算机 系统的加速能力。
•设f为求解某个问题的计算存在的必须串行执行的操作占整 个最计大算 的的 加百 速分 能比 力，，则p为处理器的数目，Sp为并行计算机系统
设f=1%，p→，则Sp=100。（阿达尔定律） 串行执行操作仅占全部操作1%，解题速度最多也只能提高 一百倍。 对难解性问题而言，提高计算机系统的速度是远远不够的， 而降低算法复杂度的数量级才是最关键的问题。
读写头
状态 控制器 q
图灵在1936年提出了著名的图灵机模型(计算模型)： ▪图灵机由一个无限长的带子（被划分成均匀的方格） 、一个磁带读/写头 和一个有限状态控制器组成。 ▪在每一步计算中，图灵机从磁带上读出一个符号，并由有限状态控制器决 定是否在当前的磁带区上写入不同的符号，然后决定是否需要将磁带读/写 头向前或向后移动一位。 当前的计算机，在理论上都是可以被图灵机模拟的，其原理和图灵机是相同 的，甚至还包含了存储程序的思想。
浅谈计算复杂性理论
浅谈计算复杂性理论
计算复杂性理论是计算机科学中一个重要的领域，它有助于我们理解
计算机如何工作，帮助我们知晓如何使用计算机以有效的方式来解决各种
问题。
而在过去的几十年里，人们研究了计算机的性能，从而开发出有用
的表示，以及有效地分类计算机上的问题，这就是计算复杂性理论。
计算复杂性理论被用来表示计算机程序的复杂性以及它们的处理效率。
它不仅可以度量一个问题的复杂度，还可以度量一系列问题的复杂度，以
及不同的处理器在处理不同问题时所花费的时间。
它还可以用来分析算法
的有效性，以及在最佳的情况下使用不同算法的优劣。
计算复杂性理论目前分为不同的分支，如理论计算机科学、算法分析、最优性和可实现性。
理论计算机科学主要研究计算机能够处理任何问题的
理论基础，包括计算机中可用的空间和时间复杂度等。
算法分析是指利用
不同的技术指标，比如时间和空间复杂度，来评估算法性能的过程。
最优
性跟理论计算机科学相关，它研究给定问题的最优解，并将其复杂度限制
在最低要求。
而可实现性则专注于研究计算机中实现这些最佳解的方法和
算法。
计算复杂性理论的研究是一个新兴的研究领域。
算法的计算复杂性概念
算法的计算复杂性概念
计算复杂性是一个相当普遍的概念，用来衡量算法的复杂程度及其所需要的计算和存储资源。
它指出了通过解决一个特定问题所需要的资源数量和时间，是计算机科学领域中应用非常广泛的计算时间和空间复杂度理论。
计算复杂性的基本思想是：给定的算法的运行时间，由其所执行的基本步骤的重复次数决定。
这些步骤机会包括读写输出、内存操作、比较和逻辑判断等。
每一次的重复，都会消耗算法所需的资源。
算法的运行时间，在某程度上可以用消耗的资源数量来衡量。
计算复杂性概念被用来衡量算法空间和时间复杂度，以及评价算法效率，它是一种定量量度。
运行时间和空间复杂度由大O表示法来表示，Big O表示法在数学里描述函数增加量的时候，使用主要步骤多少来表示算法的复杂程度。
算法中最耗时的基本步骤是核心步，而计算复杂性可以衡量算法的效率，并评估算法的运行性能。
计算复杂性的概念历经多年，今天已经成为计算机科学领域的核心技术，深受计算性能分析专家、软件开发者和算法设计者的重视。
它不仅能够帮助识别算法效率的关键瓶颈，而且能够用精准的度量标准来比较两个算法的性能，帮助推进算法的改进，提高计算性能。
因此计算复杂性是一个极为重要的计算机科学概念，它能够用精确的方式衡量算法的复杂程度，用于评估算法的性能，以及帮助算法设计者和开发者识别算法缺陷并进行改进。
8.3.2计算复杂性的度量方法
关于计算
第八讲
计算复杂性的度量方法
计算复杂性理论
计算复杂性理论研究各种可计算问题在计算过程中资源(如时间、空间等)的耗费情况。
算法的时间度量
从算法中取一种对于研究
问题来说是基本操作的原操作
，以该基本操作重复执行的次
数作为算法执行的时间度量
计算复杂性的度量方法
算法的时间度量
算法的所需时间与问题规模的函数T（n）
(a) X=X+1
(b) for（i=1; i<=n; i++）
X=X+1
(c) for（i=1; i<=n; i++）
for（j=1; j<=n; j++）
X=X+1
以上操作执行的次数分别是
1, n, n^2
如何降低计算复杂度
常见的算法时间复杂度
指数时间
多项式时间
好的算法
多项式时间算法。
计算复杂性的度量方法
确定性问题：只有肯定和否定答案。
P类问题：具有多项式时间
算法的确定性问题形成的计
算复杂性类。
P类问题包含了大量的
已知自然问题，如计算最大
公约数、计算π值、排序问
题、二维匹配问题等。
计算复杂性的度量方法
非确定算法
猜测一个变量的真值赋值
检查该赋值是否满足NP类问题：由非确定性算法在多项式时
间内可计算的判定问题所组成的集合。
NP类问题数量巨大，如完全子图问题、
图的着色问题、汉密尔顿回路问题、以
及旅行销售员问题等。
计算理论计算复杂性ppt课件
3cnf: 每个子句文字数不大于3, 2cnf: 每个子句文字数不大于2
可满足问题SAT
• 可满足性问题: SAT = { <> | 是可满足的布尔公式 }
• 思想: 将字符串对应到布尔公式 利用接受的形式定义.
• 过程: 任取ANP, 设N是A的nk时间NTM. w(|w|=n), N接受w
N有长度小于nk的接受格局序列 能填好N在w上的画面(一个nknk表格) f(w)可满足 • 结论: SAT是NP完全的
N接受w能填好N在w上的画面
# q0 w0 w1 … wn #
2)若0,1都在带上,重复以下步骤. O(n)
3) 检查带上0,1总数的奇偶性,
若是奇数,就拒绝.
O(n) log n
4) 再次扫描带,
第1个0开始,隔1个0删除1个0; O(n)
第1个1开始,隔1个1删除1个1.
总时间:
5)若带上同时没有0和1,则接受. O(n) O(nlogn)
否则拒绝.”
{0k1k|k0}TIME(nlogn)
快速验证
HP = {<G,s,t>|G是包含从s到t的 哈密顿路径的有向图}
CLIQUE={<G,k>|G是有k团的无向图} 目前没有快速算法,但其成员是可以快速验证的. 注意:HP的补可能不是可以快速验证的. 快速验证的特点: 1. 只需要对语言中的串能快速验证. 2. 验证需要借助额外的信息:证书,身份证.
• 二元可满足性问题: 2SAT = { <> | 是可满足的2cnf }
理论计算机科学中的计算复杂性理论研究毕业论文
理论计算机科学中的计算复杂性理论研究毕业论文Abstract:计算复杂性理论是理论计算机科学中的一个重要研究领域。
本文从该领域的起源、基本概念和主要研究内容三个方面探讨计算复杂性理论的重要性及其在实际应用中的作用。
首先介绍了计算复杂性理论的起源和发展历程，接着解释了计算问题、计算模型、算法和复杂性的基本概念。
随后探讨了计算复杂性理论在计算机科学中的核心问题，包括P与NP问题、NP完全性和NP难度、多项式时间可解问题等。
最后，讨论了计算复杂性理论在实际应用中的作用和价值，并对其未来发展进行了展望。
1. 引言计算复杂性理论是理论计算机科学中的一个重要研究领域，是研究计算机算法和问题的困难程度的理论基础。
自20世纪60年代以来，计算复杂性理论逐渐发展成为理论计算机科学的基石之一。
计算复杂性理论的研究成果不仅为计算机科学的发展提供了理论依据，也为解决实际问题提供了方法和策略。
2. 计算复杂性理论的起源与发展计算复杂性理论的起源可以追溯到20世纪50年代末和60年代初，其最早的研究动机源于对计算问题的困难性的认识。
此后，随着计算机技术的快速发展，计算复杂性理论逐渐形成并得到广泛应用。
计算复杂性理论的发展受益于图灵机模型、多项式时间可解、NP完全性等基本概念的提出和研究。
3. 计算问题的基本概念与模型在计算复杂性理论中，计算问题是研究的基本对象。
计算问题可以通过算法解决，而算法又可以由计算模型来描述。
计算模型是一个形式化的数学模型，用于描述计算过程中使用的有限资源和约束条件。
计算问题的本质是找到一种有效的算法来解决它，而算法的复杂度则是刻画算法的时间和空间资源使用情况的度量。
4. 计算复杂性理论的核心问题计算复杂性理论的核心问题之一是P与NP问题。
P和NP是两个重要的复杂性类，前者表示在多项式时间内可解的问题，后者表示在非确定性多项式时间内可解的问题。
P与NP问题的解答关系到计算理论的基础性问题。
另一个核心问题是NP完全性和NP难度的研究，它们是复杂性理论中的重要概念。
线性规划与计算复杂性简介(全部)
图的着色问题
给定一个无向图和k种颜色，图的着 色问题要求用这k种颜色为图的顶点 着色，使得相邻的顶点颜色不同且使 用的颜色数最少。这是一个NP完全 问题，因为验证一个给定的着色方案 是否满足条件可以在多项式时间内完 成，但找到最优的着色方案却是一个 难题。
06
线性规划与计算复杂性关系探讨
线性规划在计算复杂性中的地位
1
线性规划是计算复杂性理论中的重要问题之一， 其求解算法的复杂性直接影响了许多实际问题的 计算效率。
2
线性规划问题的求解算法在计算复杂性理论中具 有重要的理论价值，对于推动计算复杂性理论的 发展具有重要意义。
3
线性规划问题的求解算法也是评价计算复杂性理 论的重要指标之一，其求解效率的高低直接反映 了计算复杂性理论的水平。
线性规划与计算复杂性简介(全部)
• 线性规划基本概念 • 单纯形法求解线性规划 • 内点法求解线性规划 • 线性规划应用举例 • 计算复杂性理论简介 • 线性规划与计算复杂性关系探讨
01
线性规划基本概念
定义与特点
定义
线性规划是一种数学优化技术， 用于优化一组线性不等式约束下 的线性目标函数。
特点
目标函数和约束条件均为线性函 数；可行域为凸多边形或凸多面 体；最优解存在于可行域的顶点 上。
线性规划问题分类
有界与无界问题
01
根据可行域是否有界进行分类。
标准型与非标准型问题
02
根据目标函数和约束条件的形式进行分类。
整数规划与非整数规划
03
根据决策变量的取值范围进行分类。
标准形式与转化
标准形式
求解线性规划问题的复杂性分析
求解线性规划问题的算法通常包括多项式时间算法和指数 时间算法两类，其中多项式时间算法具有较高的计算效率， 而指数时间算法则具有较高的计算精度。
可计算性与计算复杂性
可计算性与计算复杂性可计算性是研究计算问题是否具有解决方法的理论。
可计算性理论起源于上世纪30年代，由图灵（Alan Turing）等人提出。
可计算性的核心观点是，一个计算问题是否可以用一个确定的算法来解决。
如果存在一个算法解决了一些问题，那么这个问题就是可计算的。
例如，对于给定的两个整数，判断它们是否互质是一个可计算问题，因为存在一种算法可以解决这个问题。
另一方面，对于一个不可计算的问题，不存在一个算法可以解决它，如停机问题（Halting Problem）。
计算复杂性是研究计算问题所需的资源的理论。
计算复杂性理论的主要目标是研究在给定资源限制下，一个问题是否可以在合理的时间或空间内解决。
计算复杂性关注的是问题的难解程度，即需要多少资源才能解决问题。
计算复杂性理论通过引入时间和空间复杂度来描述问题的难度。
常见的时间复杂度表示方法有大O记号，如O(n)、O(nlogn)等，表示问题的解决时间与问题规模n之间的关系。
类似地，空间复杂度表示问题所需的存储空间。
计算复杂性理论中的一个重要问题是P与NP问题。
P问题（Polynomial Time）是指可以在多项式时间内解决的问题。
换句话说，对于一个P问题，存在一个多项式时间的算法可以解决它。
例如，对于给定的两个整数，判断它们是否互质就是一个P问题，因为存在一种多项式时间的算法可以解决。
P问题是计算复杂性理论中最为理想的一类问题。
NP问题（Nondeterministic Polynomial Time）是指可以在多项式时间内验证一个解的问题。
对于一个NP问题，如果一个解被提供，可以在多项式时间内验证它的正确性。
例如，对于给定的一组整数和一个目标值，判断是否存在一组整数使得它们的和等于目标值就是一个NP问题。
虽然验证解的正确性可以在多项式时间内完成，但寻找解的过程可能需要指数时间等非多项式时间，因此NP问题被认为是一类困难问题。
P问题与NP问题之间的关系是计算复杂性理论中一个重要的开放问题，即P=NP问题。
计算复杂性的现代方法
：
算法分析
1.概念
算法分析是在数学上定义和推断算法效率的过程。
它实质上试图衡量算法的复杂性，检测可能的性能瓶颈，并确定程序运行时间与空间之间的权衡。
主要方法是估计算法的执行时间，并改进其复杂度或执行时间。
2.时间复杂度
时间复杂度评估一个算法的执行时间和性能的有效性。
它是衡量算法的一项标准，用来评估算法的最大执行时间。
它可以用大O符号来表示，如O(n),O(nlogn)等等。
3.空间复杂度
空间复杂度评估的是算法需要的内存空间。
它可以用来表示算法所需的存储空间大小。
例如，可以用O(n)来表示，表示使用了n个内存单元。
4.算法优化
算法优化是指一系列策略来改善算法效率或消除不必要的计算。
它通过分析不断调整算法来提高算法的效率，减少执行时间。
算法优化的方法有：按需动态调度、分析时间和空间复杂度、减少算法中的冗余等。
5.模拟分析
模拟分析是将算法应用于计算机程序中，它通过模拟解决程序中的情况来估计算法的执行时间和复杂度。
它结合了计算机科学和数学来估计程序运行时间和空间复杂性分析，可以用来找到程序中的性能瓶颈并改进程序。
6.分析和优化工具
现代分析和优化工具提供了一个便捷的方式来衡量和优化复杂的算法。
它们可以帮助程序员更好地理解算法的本质，监测程序的执行时间和空间复杂性，帮助他们辨别算法的性能瓶颈并指出可以改进的地方。
数学的计算复杂性
数学的计算复杂性数学是一门研究数量、结构、变化和空间等概念的科学，它作为一门基础学科，在现代社会发挥着重要的作用。
数学中的计算复杂性是指在特定的算法下解决数学问题所需的计算步骤的数量和时间的增长率。
计算复杂性理论是近代计算机科学的重要分支，它关注的是如何评估和分析算法的效率和可行性。
一、计算复杂性的概念和意义计算复杂性的研究始于20世纪上半叶，它的基本思想是通过对计算问题进行形式化建模和分析，以便对问题的解决方案的效率进行评估。
计算复杂性理论的发展具有深远的理论和实践意义。
首先，计算复杂性理论可以帮助我们理解问题的可解性。
在数学中并不是所有的问题都能找到有效的解决方案，有些问题可能是不可解的，也就是说不存在一种算法可以得出问题的解。
计算复杂性的研究可以帮助我们判断一个问题是否可解，从而提醒我们在解决问题时的合理性和可行性。
其次，计算复杂性理论可以指导我们设计高效的算法。
现实生活中，我们经常遇到需要解决大规模计算问题的情况，如图像处理、数据分析和网络优化等。
通过研究计算复杂性，我们可以找到更好的方法来设计算法，降低问题求解的计算复杂性，提高计算效率。
最后，计算复杂性理论对计算机科学的发展具有重要意义。
20世纪中叶，计算机科学经历了飞速发展，计算机的各个方面不断取得突破性的进展。
计算复杂性理论为计算机科学提供了坚实的理论基础，推动了计算机科学的研究和应用。
二、计算复杂性的分类和评估标准计算复杂性可以分为时间复杂性和空间复杂性两个方面。
1. 时间复杂性：时间复杂性是指算法所需的计算步骤的数量和时间的增长率。
它可以通过计算算法的最坏情况时间复杂性来评估。
常用的时间复杂性评估标准有“大O记法”，即用一个函数来描述算法运行时间与输入规模的关系，通常情况下我们希望算法的时间复杂度尽可能低。
2. 空间复杂性：空间复杂性是指算法所需的存储空间的数量和增长率。
它可以通过计算算法所需的最大存储空间来评估。
与时间复杂性类似，我们通常希望算法的空间复杂度尽可能低。
3 计算复杂性理论
计算复杂性理论（Computational complexity theory）是计算理论的一部分，研究计算问题时所需的资源，比如时间和空间，以及如何尽可能的节省这些资源。
目录[隐藏]• 1 简介• 2 历史• 3 基本概念和工具o 3.1 计算模型与计算资源o 3.2 判定性问题和可计算性o 3.3 算法分析o 3.4 复杂性类o 3.5 归约• 4 NP与P关系问题及相关理论o 4.1 NP和P的定义o 4.2 NP与P关系问题o 4.3 NP完备理论o 4.4 电路复杂性o 4.5 其它NP与P关系问题相关的理论• 5 理论与实践• 6 参考•7 外部链接[编辑]简介计算复杂性理论所研究的资源中最常见的是时间（要通过多少步才能解决问题）和空间（在解决问题时需要多少内存）。
其他资源亦可考虑，例如在并行计算中，需要多少并行处理器才能解决问题。
时间复杂度是指在计算机科学与工程领域完成一个算法所需要的时间，是衡量一个算法优劣的重要参数。
时间复杂度越小，说明该算法效率越高，则该算法越有价值。
空间复杂度是指计算机科学领域完成一个算法所需要占用的存储空间，一般是输入参数的函数。
它是算法优劣的重要度量指标，一般来说，空间复杂度越小，算法越好。
我们假设有一个图灵机来解决某一类语言的某一问题，设有X个字（word）属于这个问题，把X放入这个图灵机的输入端，这个图灵机为解决此问题所需要的工作带格子数总和称为空间。
复杂度理论和可计算性理论不同，可计算性理论的重心在于问题能否解决，不管需要多少资源。
而复杂性理论作为计算理论的分支，某种程度上被认为和算法理论是一种“矛”与“盾”的关系，即算法理论专注于设计有效的算法，而复杂性理论专注于理解为什么对于某类问题，不存在有效的算法。
[编辑]历史在20世纪50年代，Trahtenbrot和Rabin的论文被认为是该领域最早的文献。
而一般说来，被公认为奠定了计算复杂性领域基础的是Hartmanis和Stearns的1960年代的论文On the computational complexity of algorithms。
线性规划与计算复杂性简介
在一般n维空间中，要直接得出多胞形“顶点”概念还有一些困难。在图8.1中顶点可以看成为边界直线的交点，但这一几何概念的推广在一般n维空间中的几何意义并不十分直观。
定义8.1 称n 维空间中的区域R为一凸集，若x1 , x2 ∈ R及 λ∈(0, 1)，有λ x1 +（1－λ）x2 ∈ R。
例1的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2台乙机床时总利润最大，则 x1 、x2应满足
例8.2 min S.t i=1,…,m xj≥0,j=1,…,n
线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件可以是不等式也可以是等式，变量可以有非负要求也可以没有非负要求（称这样的变量为自由变量）。为了避免这种由于形式多样性而带来的不便，规定线性规划的标准形式为
（1）可行域R可能会出现多种情况。R可能是空集也可能是非空集合，当R非空时，它必定是若干个半平面的交集（ 除非遇到空间维数的退化）。R既可能是有界区域，也可能是无界区域。（2）在R非空时，线性规划既可以存在有限最优解，也可以不存在有限最优解（其目标函数值无界）。（3）若线性规划存在有限最优解，则必可找到具有最优目标函数值的可行域R的“顶点”。
在线性规划的求解中，下列定理起了关键性的作用。在这里，我们不加证明地引入这些定理。。
定理8.1 （基本可行解与极点的等价定理） 设A为一个秩为m的m×n矩阵（n>m）b为m维列向量，记R为（8.3）的可行域。则x为R的极点的充分必要条件为 x 是 的基本可行解。 定理8.1既提供了求可行域R的极点的代数方法，又指明了线性规划可行域R的极点至多只有有限个.
设B为一非退化的可行基，x=（B-1b，0）为其对应的基本可行解。现在，我们先来讨论如何判别x0是否为最优解。为此，考察任一可行解 。由Ax=b可得（8.5）代入目标函数，得到
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若控制器当前状态为 且n 读写头指向方格内容为 ，n 转 移函数 ( n,可n完) 成如下工作：
若 n h，则计算停止（也称停机），否则确定控制器的下一步
状态 n1 ；
修改读写头指向方格内容，将其改为 n1； 确定读写头移动的方向，要么向左(←)，要么向右(→)。来自 问题的难度概率多项式时间
PP机(Probabilistic Polynomial-time Machine) ：
存在多项式界限且没有未知状态的PTM。
PP机满足两类概率的界限：
❖ 输入I属于语言L时，PTM识别该输入属于语言L的概率， 这是一种正确概率：
Pr[PTM recognizes I L | I L] C
控制器
... *
读写头
0
1
1
0
纸带
1
*
*
...
确定型图灵机
问题的难度
定义8.5 P 确定型图灵机上的具有有效算法的 判定问题之集合。
Cook-Karp论题：L是易解的当且仅当L∈P；
得出的问题的难度的定义为：
某问题存在有效算法则称之为易解(Tractable) 的；如果它不存在多项式算法，则称它是难解 的(Intractable)。它与Cook-Karp论题等价。
(c其), 中(loOg(nc)),一(般n),写(成n lOog(n1)),，(它n2)是, 理(2论n), 上(n的!)最, (佳nn算) 法； O(n)称为线性算法，它是实际中常见的最好算法；而 O(nn)是最差算法，相当于穷举搜索。
算法效率分析
定义8.3 有效算法(Efficient Algorithm) 时间复杂度为O(nk)(k∈N)的算法是有效算
❖ 多项式时间不可区分性。
8.1 确定性多项式时间
8.1.1 算法效率分析
什么是算法？ 算法(Algorithm)即是在有限步骤内求解某
一问题所使用的一组定义明确的规则。
如何衡量算法的效率？ 使用复杂度来衡量算法的效率。
算法效率分析
定义8.1 复杂度
❖ 时间复杂度(Time Complexity)：该算法完全运行所 需运算时间的多少。通常采用阶(Order)的概念来描
号均属于∑，除了有限个方格外，其它方格上的符号均为*； ❖ 读写头：可在任一时刻对某个确定的方格进行操作。此读写头可向
左(←)或向右(→)移动；
❖ 控制器：它携带状态集Γ，包括特定的起始状态 和0 停机状态集 h。
问题的难度
DTM的计算可由转移函数(Transition Function)决定：
❖ 输入I不属于语言L时，PTM识别该输入属于语言L的概率， 这是一种错误概率：
Pr[PTM recognizes I L | I L] E
BPP机(Bounded Probabilistic Polynomial-time Machine)
界限为
1 2
C
1
和
0 E
1 2
的PTM。
概率多项式时间
法。多项式算法是有效算法。
8.1.2 问题的难度
如何判断问题的难度： 如果一个问题存在有效算法解决之，则可
认为它是较“简单”的问题，反之则可认为 它是较“困难”的问题。
问题的难度
定义8.4 确定型图灵机(Deterministic Turing Machine) 一台DTM由如下要素组成：
❖ 符号表∑：∑由有限个符号组成，包括标识空白的特殊字符*； ❖ 可双向移动的无限长纸带：该纸带由无限个方格组成，方格上的符
非确定多项式时间
定义8.6 NP：非确定型图灵机上的存在有效算 法的判定问题之集合。 NP完全(NP-Complete, NPC)问题：
满足既找不到有效算法，又不能确定它不 存在有效算法，但是如果其中一个存在有效算 法，那么此类问题均存在有效算法的问题。
非确定多项式时间
NP问题
P问题
NP完全问题
：当且仅当 f (n) (g(n与)) f (n) ，(g(称n))
f (n) O(g(n)) f (n) (g(n)) f (n) (g(n))
算法效率分析
通常分析时间的渐进复杂度，常使用O记号，指明 算法的上界。Θ记号更为精确，但难以估算，较少采用。
常用的阶按照增长速度递增排序为：
NP中各类问题的关系
8.3 概率多项式时间
定义8.7 概率图灵机(Probabilistic Turing Machine, PTM) ：
它可以看成一台总停机的NTM，它在每个 格局至多有两个格局，从当前格局等可能的到 达其中之一。PTM停机的状态有三种：接受、 不接受和未知。如果PTM停机在未知状态，称 该计算无效。
8.2 非确定多项式时间
非确定型图灵机(NTM, Non-deterministic Turing Machine) NTM在进行计算的时候，会自动选择最优路径
进行计算。 NTM进行计算时，碰到需要选择的分支，则对 自身进行复制，每个分支分配一个副本进行计 算，这样也只需要多项式时间即可判定其可满 足性。
定义8.8 广义的有效算法 在DTM或PP机下的多项式算法是有效算法。
定义8.9 Monte Carlo算法 满足下列特点的概率算法：
Pr[PTM recognizes I L | I L] 1 Pr[PTM recognizes I L | I L] E
概述
Oded Goldreich提出定义“安全”的两种途 径：
❖ 基于信息论的经典方法：度量密文中包含 明文的信息量。
❖ 基于计算复杂性的现代方法：给出破解密 文的难度。
本章内容
❖ 介绍确定型图灵机、非确定型图灵机、概率 图灵机这三个基本计算模型；
❖ 在三种图灵机的基础上讨论NP完全问题和加 密体制是否安全之间的关系；
述时间复杂度。
❖ 空间复杂度(Space Complexity)：该算法完全运行所 需存储空间的大小。
算法效率分析
定义8.2 渐进记号(Asymptotic Notation)
假定f ()、g() 均为非负函数，定义域均为N。问题的输
入规模为n，为描述渐进复杂度中的阶，定义如下记号：
O：当且仅当 c, n0,n(n n0 f (n) c， g称(n)) ：当且仅当c, n0,n(n n0 f (n) c， g称(n))