菱形的性质及判定

菱形得性质

及判定

中考要求

知识点睛

1、菱形得定义:有一组邻边相等得平行四边形叫做菱形.

2.菱形得性质

菱形就是特殊得平行四边形,它具有平行四边形得所有性质,•还具有自己独特得性质:

①边得性质:对边平行且四边相等.

②角得性质:邻角互补,对角相等、

③对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.

④对称性:菱形就是中心对称图形,也就是轴对称图形.

菱形得面积等于底乘以高,等于对角线乘积得一半。

点评:其实只要四边形得对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积得一半、

3。菱形得判定

判定①:一组邻边相等得平行四边形就是菱形、

判定②:对角线互相垂直得平行四边形就是菱形。

判定③:四边相等得四边形就是菱形。

重、难点

重点就是菱形得性质与判定定理。菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先她就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法。菱形得这些性质与判定定理即就是平行四边形性质与判定得延续,又就是以后要学习得正方形得基础、

难点就是菱形性质得灵活应用。由于菱形就是特殊得平行四边形,所以它不但具有平行四边形得性质,同时还具有自己独特得性质。如果得到一个平行四边形就是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线得条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。

例题精讲

板块一、菱形得性质

【例1】☆⑴菱形得两条对角线将菱形分成全等三角形得对数为

⑵在平面上,一个菱形绕它得中心旋转,使它与原来得菱形重合,那么旋转得角度至少就是

【例2】⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形得边长均为若墙上钉子间得距离,则

度.

⑵如图,在菱形中,,、分别就是、得中点,若,则菱形 得边长就是______.

【例3】 如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,

证明:与互相平分.

【例4】 ☆ 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形得周长为,则得长等于 。

【巩固】 ☆如图,已知菱形得对角线于点,则得长为

【例5】 ☆ 菱形得周长为,两邻角度数之比为,则菱形较短得对角线得长度为 【巩固】 如图2,在菱形中,,,则菱形得边长为( )

A. B 、 Ｃ. D.

【巩固】 如图3,在菱形中,,、分别就是边与得中点,于点,则( )

Ａ. Ｂ、 C. D.

【例6】 ☆如图,把一个长方形得纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个锐角为得菱形,剪口与折

痕所成得角得度数应为( )

A.或 Ｂ.或 C 。或 D.或

【巩固】 菱形中,、分别就是、得中点,且,,那么等于 . 【巩固】 如图,将一个长为,宽为得矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点得连线(虚线)剪下,再打开,

得到得菱形得面积为( )

Ａ. ﻩﻩB 、 ﻩC 、ﻩﻩ

D.

图1

D

C

B

A

【例7】 ☆已知菱形得两条对角线得乘积等于菱形得一条边长得平方,则菱形得一个钝角得大小就是 【例8】 如图,菱形花坛得周长为,,•沿着菱形得对角线修建了两条小路与,求两条小路得长与花坛得面积。

【例9】 已知,菱形中,、分别就是、上得点,若,求得度数、

板块二、菱形得判定

【例10】 如图,如果要使平行四边形成为一个菱形,需要添加一个条件,那么您添加得条件就

是 。

【例11】 ☆如图,在中,平分,得中垂线交于点,交于点,求证:四边形就是菱形

【巩固】 已知:如图,平行四边形得对角线得垂直平分线与边、分别相交于 、、求证:四边形就是菱形.

E F D

B

C

A

【例12】如图,在梯形纸片中,,,将纸片沿过点得直线折叠,使点落在上得点处,折痕交于点,连结。求证:四边形就是菱形.

【例13】☆如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,证明:与互相平分

A

B C D

E

F P

P F E

D C

B

A

【巩固】☆已知:如图,在平行四边形中,就是边上得高,将沿方向平移,使点与点重合,得.若,当与满足什么数量关系时,四边形就是菱形？证明您得结论。

【例14】如图,在中,,就是得中点.分别作于,于,于,于、相交于点。求证:四边形就是菱形、

P M F E

D

G

C

B

A

【例15】如图,中,,就是得平分线,交于,就是边上得高,交于,于,求证:四边形就是菱形、

【巩固】☆如图,就是矩形内得任意一点,将沿方向平移,使与重合,点移动到点得位置

⑴画出平移后得三角形;

⑵连结,试说明四边形得对角线互相垂直,且长度分别等于得长;

⑶当在矩形内得什么位置时,在上述变换下,四边形就是菱形？为什么?

三、与菱形相关得几何综合题

【例16】已知等腰中,,平分交于点,在线段上任取一点(点除外),过点作,分别交、于、点,作,交于点,连结、

⑴求证四边形为菱形

⑵当点在何处时,菱形得面积为四边形面积得一半？

1.菱形周长为,一条对角线长为,则其面积为。

2.如图,在菱形中,在上,点在上,则得最小值为

3.已知菱形得一个内角为,一条对角线得长为,则另一条对角线得长为___＿____.

4.已知,菱形中,、分别就是、上得点,且,、求:得度数.

5.如图,在中,,就是得中点,连结,在得延长线上取一点,连结,。当与满足什么数量关系时,四边形就是菱

形？并说明理由、

6.如图,、、均为直线同侧得等边三角形.已知.

⑴顺次连结、、、四点所构成得图形有哪几类？直接写出构成图形得类型与相应

得条件。

⑵当为度时,四边形为正方形、

课后练习