复变函数教学大纲

复变函数教学大纲 Prepared on 24 November 2020

复变函数教学大纲

课程名称：复变函数课程编码：

英文名称：Complex Analysis

学时：48 学分：3

适用专业：信息与计算科学课程类别：任选

课程性质：学科基础课

先修课程：数学分析高等代数空间解析几何

教材：复变函数论（钟玉泉第三版高等教育出版社）

一、课程性质与任务

复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，它不仅在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）有着广泛应用，而且还被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。复变函数论课程是信息与计算科学专业的一门重要必修基础课。开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定的分析问题、解决实际问题的能力。

二、课程教学的基本要求

复变函数论作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。

本课程主要包括：复数与复变函数、解析函数——柯西黎曼定理、复变函数的积分——柯西定理、柯西积分公式与高阶导数公式、级数——泰勒级数与洛朗级数、应用留数计算及其应用。

教学要求层次：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。

在复变函数论的学习过程中，使学生逐步提高数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高，同时极大的扩展学生的学习思路，使他们了解更多的应用知识，特别是和现代生活息息相关的数学应用知识。

三、课程内容及教学要求

第一章复数与复变函数

教学基本内容：

1.复数发展史略；

2.复数定义及运算：复数的定义、相等及运算，复数的代数式，复数的模与辐角，共轭复数；

3.复平面与复球面：复平面，复数的向量式、三角式与指数式，复数的乘幂与n次方根，无穷远点与复球面；

4.复数的应用举例；

5.平面点集：邻域，聚点，孤立点，内点，外点，边界点，边界，开集，闭集，有界集，曲线（连续曲线，简单曲线，简单闭曲线，光滑曲线，逐段光滑曲线），区域，闭区域，单连通区域，复连通区域，几个重要定理（闭矩形套定理，有限覆盖定理，聚点原理），无穷远点的邻域；

6.复变函数，极限，连续：复变函数（单值函数，多值函数，单叶函数，反函数，无界函数），极限，有界数列，无界数列，几个定理（柯西收敛准则等），复变函数的连续性，复变函数连续性与其实部和虚部连续性的关系。重点：

1．复数及其运算；

2．复平面，复数的模与辐角；

3．复平面上的点集，区域；

4．无穷远点与扩充复平面；

5．复变数函数，极限与连续概念。

难点：

复数的球面表示及无穷远点的概念的理解。

本章节主要教学要求：了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数的运算；知道无穷远点邻域；了解单连通区域与复连通区域；理解复变函数、极限与连续。

第二章解析函数

教学基本内容：

1．复变函数的导数定义；

2．解析函数的概念及基本性质；

3．解析函数的求导公式与求导法则；

4．柯西－黎曼条件（.条件）；

5．指数函数；

6．多值函数导引：辐角函数；

7、对数函数；

8．幂函数；

9．三角函数。

重点：

1.解析函数定义；

2. 解析函数的充分必要条件及柯西－黎曼条件所揭示的解析函数的特征；

3．初等函数概念与性质。

难点：

1．已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数、支点。

本章节主要教学要求：复变函数的概念，能把复变函数理解为两个复平面集合间的映射，能把一个复变函数看成两个实的二元函数；能精确的叙述复变函数的极限概念，并直观的理解起意义；掌握复变函数的连续性概念和基本性质；理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系；熟练掌握解析函数的.条件；能运用.条件判定函数的解析性；熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式；熟练掌握指数函数、幂函数、三角函数的定义、基本性质和简单映射性质，并会运用欧拉公式和复数的指数表示；掌握各初等多值函数的定义和基本性质，了解其多值性。

第三章复变函数积分

教学基本内容：

1．复变函数积分的定义及基本性质；

2．单连通区域内的柯西积分定理；

3．不定积分概念；

4．多连通区域内的柯西积分定理；

5．柯西积分公式，高阶导数公式；

6．平均值公式，最大模原理；

7．柯西不等式，刘维尔定理，代数基本定理的证明，摩勒拉定理。

重点：

1．柯西积分定理；

2．柯西积分公式；

3．高阶导数公式。

难点：

1．计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。

本章节主要教学要求：掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义，基本性质和计算方法，及其与实函数积分的关系；熟练掌握柯西积分定理，能证明柯西积分定理；理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念；熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式；掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理，并能应用它们做一些较简单的证明题，了解摩勒拉定理。

第四章解析函数的幂级数表示法

数学基本内容：

1．复数项级数、序列，柯西收敛准则；