复变函数教学大纲

复变函数教学大纲 Prepared on 24 November 2020
复变函数教学大纲
课程名称：复变函数课程编码：
英文名称：Complex Analysis
学时：48 学分：3
适用专业：信息与计算科学课程类别：任选
课程性质：学科基础课
先修课程：数学分析高等代数空间解析几何
教材：复变函数论（钟玉泉第三版高等教育出版社）
一、课程性质与任务
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。

早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。

复变函数论不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，它不仅在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）有着广泛应用，而且还被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。

复变函数论课程是信息与计算科学专业的一门重要必修基础课。

开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定的分析问题、解决实际问题的能力。

二、课程教学的基本要求
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与微积分理论的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。

本课程主要包括：复数与复变函数、解析函数——柯西黎曼定理、复变函数的积分——柯西定理、柯西积分公式与高阶导数公式、级数——泰勒级数与洛朗级数、应用留数计算及其应用。

教学要求层次：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。

在复变函数论的学习过程中，使学生逐步提高数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高，同时极大的扩展学生的学习思路，使他们了解更多的应用知识，特别是和现代生活息息相关的数学应用知识。

三、课程内容及教学要求
第一章复数与复变函数
教学基本内容：
1.复数发展史略；
2.复数定义及运算：复数的定义、相等及运算，复数的代数式，复数的模与辐角，共轭复数；
3.复平面与复球面：复平面，复数的向量式、三角式与指数式，复数的乘幂与n次方根，无穷远点与复球面；
4.复数的应用举例；
5.平面点集：邻域，聚点，孤立点，内点，外点，边界点，边界，开集，闭集，有界集，曲线（连续曲线，简单曲线，简单闭曲线，光滑曲线，逐段光滑曲线），区域，闭区域，单连通区域，复连通区域，几个重要定理（闭矩形套定理，有限覆盖定理，聚点原理），无穷远点的邻域；
6.复变函数，极限，连续：复变函数（单值函数，多值函数，单叶函数，反函数，无界函数），极限，有界数列，无界数列，几个定理（柯西收敛准则等），复变函数的连续性，复变函数连续性与其实部和虚部连续性的关系。

重点：
1．复数及其运算；
2．复平面，复数的模与辐角；
3．复平面上的点集，区域；
4．无穷远点与扩充复平面；
5．复变数函数，极限与连续概念。

难点：
复数的球面表示及无穷远点的概念的理解。

本章节主要教学要求：了解复数定义及其几何意义，熟练掌握复数的运算；知道无穷远点邻域；了解单连通区域与复连通区域；理解复变函数、极限与连续。

第二章解析函数
教学基本内容：
1．复变函数的导数定义；
2．解析函数的概念及基本性质；
3．解析函数的求导公式与求导法则；
4．柯西－黎曼条件（.条件）；
5．指数函数；
6．多值函数导引：辐角函数；
7、对数函数；
8．幂函数；
9．三角函数。

重点：
1.解析函数定义；
2. 解析函数的充分必要条件及柯西－黎曼条件所揭示的解析函数的特征；
3．初等函数概念与性质。

难点：
1．已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数、支点。

本章节主要教学要求：复变函数的概念，能把复变函数理解为两个复平面集合间的映射，能把一个复变函数看成两个实的二元函数；能精确的叙述复变函数的极限概念，并直观的理解起意义；掌握复变函数的连续性概念和基本性质；理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系；熟练掌握解析函数的.条件；能运用.条件判定函数的解析性；熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式；熟练掌握指数函数、幂函数、三角函数的定义、基本性质和简单映射性质，并会运用欧拉公式和复数的指数表示；掌握各初等多值函数的定义和基本性质，了解其多值性。

第三章复变函数积分
教学基本内容：
1．复变函数积分的定义及基本性质；
2．单连通区域内的柯西积分定理；
3．不定积分概念；
4．多连通区域内的柯西积分定理；
5．柯西积分公式，高阶导数公式；
6．平均值公式，最大模原理；
7．柯西不等式，刘维尔定理，代数基本定理的证明，摩勒拉定理。

重点：
1．柯西积分定理；
2．柯西积分公式；
3．高阶导数公式。

难点：
1．计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。

本章节主要教学要求：掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义，基本性质和计算方法，及其与实函数积分的关系；熟练掌握柯西积分定理，能证明柯西积分定理；理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念；熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式；掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理，并能应用它们做一些较简单的证明题，了解摩勒拉定理。

第四章解析函数的幂级数表示法
数学基本内容：
1．复数项级数、序列，柯西收敛准则；
2．复函数项级数，一致收敛及其判别准则，维尔斯特拉斯定理；
3．幂级数的收敛圆，收敛半径公式，幂级数在收敛圆内表示解析函数；
4．解析函数在一点邻域内展开成泰勒级数，展开式的唯一性、系数公式，初等函数的泰勒展开；
5．解析函数零点的孤立性，唯一性定理。

重点：
1.幂级数的收敛圆及收敛半径的求法；
2.将函数在一点展成幂级数的方法；
3.解析函数的唯一性定理。

难点：
1．利用级数乘法将函数在指定点展成泰勒级数。

本章节主要教学要求：理解复数项级数的基本概念，掌握一致收敛性的判别法；掌握幂级数的基本性质和求收敛半径的公式，理解幂级数在收敛圆内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性；牢记e z,In(1+z),sinz,cosz和(1+z)a 的幂级数展开式，并能熟练的运用；掌握解析函数零点的孤立性定理和唯一的定理。

第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点
教学基本内容：
1．洛朗级数的定理与收敛域，内闭一致收敛性，所定义函数的解析性；
2．解析函数洛朗展开式的系数公式、收敛域；
3．解析函数的孤立奇点（包括无穷远点）的分类，三类奇点的特征与性质；
4．整函数与亚纯函数的概念。

重点：
1.将函数展成洛朗级数的方法；
2.识别孤立奇点类别的方法；
3.解析函数在其孤立奇点的去心邻域内的性质。

难点：
1. 孤立奇点类别的识别；
2. 将在其孤立奇点展成洛朗级数。

本章节主要教学要求：理解洛朗级数的概念，会求出一些简单的洛朗级数的收敛域；能熟练的求出一些较简单函数的洛朗展开式；掌握解析函数奇点的三种类型及其特征与性质，了解解析函数在无穷远点的性质；了解整函数与亚纯函数的概念。

第六章留数理论及其应用
教学基本内容：
1．留数的定义及计算方式，在无穷远点的留数；
2．留数定理；
3．利用留数定理计算实积分；
重点：
1.计算留数的方法；
2. 留数基本定理。

难点：
1．函数在无穷远点处留数的计算。

本章节主要教学要求：理解留数的定义；熟练掌握计算留数的方法；理解留数基本定理，会用留数理论计算积分；知道利用留数定理计算实积分的一般方法，并能计算常见的三种类型的实积分。

三、课程学时分配
五、课程习题要求
每章根据学生学习情况，留有一定数量的思考题供学生课后复习，巩固课堂教学效果，并进行讲评。

六、考核方式
以期末闭卷考试成绩为主，参考课堂提问、课堂讨论、实验、平时作业及出勤情况等，综合评定给出成绩。

七、课程的主要参考书
1、《复变函数论》钟玉泉编高等教育出版社
2、《复变函数》余家荣编人民教育出版社
3、《复变函数引论》 N·N·普里瓦洛夫着人民教育出版社。