最新数列基础知识

数列

基础知识梳理

一、数列

1、数列的定义

数列是按照一定顺序排列着的一列数，在函数的意义下，数列是某一定义域为正整数或它

的有限子集｛1,2,3,4，……,n｝的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，

其图像是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形式为印，a2,a3,|l（,a n ,通常简记为｛a n｝，其中a n是数列的第n项，也叫通项。

1）｛a n｝与a n是不同的概念，｛a n｝表示数列a1l a2,a3^|,an^L而a.表示的是这个数

列的第n项

2）数列与集合的区别

集合中元素性质：确定性，无序性，互异性；

数列中数的性质：确定性，有序性，可重复性。

2、数列的通项公式

当一个数列｛a n｝的第n项a n与项数n之间的函数关系可以用一个公式a^ f n来表示，就把这个公式叫数列｛a n｝的通项公式，可根据数列的通项公式算出数列的各项，也可判断给定的数是否为数列｛a n｝中的项或可确定是第几项。但不是所有数列都可以写出通项公式，数列的通项公式也不唯一。

3、数列的表示方法

数列看成一个特殊的函数，所有从函数的观点出发，数列的表示方法有以下三种:

1）解析法：通项公式和递推公式两种；

2）列表法

3）图像法（数列的图像是一系列孤立的点）4、数列的分类

（1）有穷数列和无穷数列

（2）单调数列，搬动数列，常数列

5、a n与S n的关系

S（ n =1）

n

一IS n —Sn4（n^2）

6、等差数列

1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，

这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母

d 表示

定义的表示为：a n -a n 一1 = d （n •二 N *,n 丄2）或者 a n ： -a n = d （n •二 N *） 公差d 可正可负或为零，为零时，数列为常数列。

2）等差数列的通项公式

a n =印 n -1 d, a .二 a m

n -m d

d = a n

~am

(n = m)

n —m

3）等差数列的增减性

d .0=等差数列「aj 为递增数列；

d ：：0=等差数列「a/为递减数列； d=0=等差数列CaJ 为常数列。

4 ）等差中项

a +b

任意两个数a,b 有且仅有一个等差中项 ，即。

2

A 二~~ = a,A,b 三个数构成等差数列。

2

5）等差数列前n 项和公式（倒序相加法）

n & a n

S

i

；

2

n （n —1）

5

d. 2

+

x ,

n （n T ）

d 2 『 d 第二个公式 q = na 1

d 可整理成 S n n …I 印 n 2

2 I 2丿

pl

pl

A 二一启二印-一则S n =An 2 •

B n , S n 可看成是关于n 的二次函数（常数项为

2 2

那么可以得出一下结论：

（1） 当d -0是,S n 有最小值；当d ：：：0是,S n 有最大值；

（2） ｛ a n ｝是等差数列二 S n 二 An 2 • Bn.

对于第二个公式要求

a n ，a m 是数列中的项即可，也可表示为

n -1

7、等比数列

1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等差数列的公比，公差通常用字母q（q = O）表示

定义的表示为：a n =q(n N ,n _2)或者％1 =q(nN)

a n-1 a n

公比q = 0 ;当q =1时，数列为常数列。

2）等比数列的通项公式

3）等比数列的增减性

i°或i°加为递增数列;

q 1 0 q :: 1

a i 0或a1二啣为递减数列;

0 ■ q .1 q 1

q=1 a n［为常数列；

q 0二、a n ?为摆动数列。

4）等比中项

项。

如果G是a与b的等比中项，那么即G2=ab,因此G=_ab ；只有同号的两

a G

个数才有等比中项。

一个等比数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等

比中项。

5）等比数列前n项和公式

当「1 时，s^a L±±=a^a^；

1-q 1-q

当q 二 1 时，S n二n a1.

等比数列前n项和公式的特点：当q = 0,且q = 1时可以化为

记A二旦，那么S n = A-Aq n或者S n =A Bq(A B=0)

1-q

a m q

如果在a与b中间插入一个数G使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中

1 -q

a_

1-q

n _m

二、等差数列、等比数列的性质

1.等差数列的性质

⑴若公差d 0，此数列为递增数列；若公差d ：：：0,此数列为递减数列；若d = 0，此数列为常数列。

(2)有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和；特别地若项数为奇数，还等于中间项的2倍。

*

⑶若m,n, p,k^N ,且m+n = p+k,则a^a^a^a k ，

特别地若m= 2 p,则a m - a n = 2a p

此条性质可推广到多项的情形，但要注意等式两边下标和相等，并且两边和的项数相同。

(4)等差数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列依然是等差数列，但剩下的项不一定是等差数列

⑸等差数列连续几项之和构成的新数列依然是等差数列，即S n,务- & , S3n - S2n」1(是等

差数列。

(6)若数列｛a n｝和数列｛b n｝是等差数列，则｛m a n - kd｝也是等差数列，其中m,k为常数。

(7)项数为偶数2n的等差数列｛a n｝，有

Sn = n ai • a2n 二川二n a. • a n -1 ;

项数为奇数2n -1的等差数列｛a n｝，有

S2n4 - 2n - 1 a n

S禺- S奇=a n

S奇n

3禺n一1

2.等比数列的性质

(1)单调性

(2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积；特别地若项

数为奇数，还等于中间项的平方。