圆综合测试题(含详细解析及答案)

《圆》的综合测试题
学校: __________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________
一、选择題（題型注释）
1.用半径为3cm,圆心角是120。

的扇形鬧成一个惻锥的侧面，则这个圆锥的底面半径
为（）
A. B・ 1. 5cm
C.仇cm
D. lcm
2.已知G）O］的半径为5cm, （DO?的半径为3cm,两圆的圆心距为7cm,则两圆的
位置关系是（）
A外离 B.外切C,内切D,相交
3.如图是某公园的一角，ZA0B=90° ,弧AB的半径0A长是6米，C是0A的中点，点D在弧AB上.CD〃0B・则图中休闲区（阴影部分）的面积是【】
10/r —牙米-B.
4.如右图，圆心角ZAOB=100\则ZACB的度数为（）
C
A、100° B. 50° C. 80° D、45°
6.如图，肋是00的直径，弦CDLAB^点£ ZCDB=3/ , 00的半径为3cm•则圆
心0到弦少的距离为（
7.圆心角为120%弧长为12n的扇形半径为（）
A. 6
B. 9
C. 18
D. 36
8.。

0的直径AB = 10cm,弦CD丄AB,垂足为P・若OP： 0B=3： 5,则CD的长为（）
9.如图.在△磁中，ZJ=90\ AB=AC=2.以％的中点0为圆心的圆弧分别与月从相切于点八E.则图中
阴影部分的面枳是【】
小 4
717T71X
A. 1- —
B.—
C. 1 — _
D. 2- —
4422
■
10.如图，PA、PB切00于A、B两点，CD切00于点E,交PA, PB于C、D,若00的半径为r, Z\PCD的周长等于3“贝lj tanZAPB的值是（）
二、填空题（题型注释）
11.母线长为4,底面圆的半径为1的圆锥的侧面枳为_______________ ■，
12.如图，AB是半圆0的直径，点P在AB的延长线卜.，PC切半圆0于点C,连接AC・若ZCPA=20° ,则ZA二_______ ° •
A. 2 Cm
B. 3 cm
C. 3^3 cm
D. 6cm
A・ 6cm B. 4cm C. 8cm D. 5/9? cm
D.
3
13.如图是一个用來盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开II圆的直径EF长为10cm・母线
OE (OF)长为10cm.在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=2cm, 一只蚂蚁
从杯I 1的点E处沿圆锥表面爬行到A点,则此蚂蚁爬行的最短距离为_____________ cm.
14••如图，00内切于AABC.切点分别为D、E、F.己知<B=50° , <060° ,连结
OE. OF、DE、DFJ1IJ<EDF= _______________________ 度.
15.己知AB、CD是直径为10的00中的两条平行弦，且AB二8, CD二6.则这两条弦的距离为
三、计算題(題型注释) 四、解答题(题型注释)
16.如图，AB足G)0的直径，AF是00切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E,过点C 作DA的平行线与AF相交于点F, CD=4>/3 , BE=2.
求证：(1)四边形FADC是菱形：
(2) FC是O0的切线.
17.如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4, 0),以点A为圆心, 4为半径的圆与x轴交于O, B两点• OC为弦，厶QC = 60J P足x轴上的•动
点，连结CP・
(1)求ZOAC的度数；
(2)如图①，当CP与。

A相切时，求PO的长：
(3)如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与0A相交于点Q,问PO为何
值时，AOCQ是等腰三角形？
18.如图，己知口4与」Q相交于点E、F,点P是两圆连心线上的一点，分别联结
PE、PF交3 0：于A、C两点，并延长交DO］与B、D两点。

求证：PA=PCo
19.如图所示.©As Q& OCs g OE相互外离,它们的半径都是1,顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个扇形（阴影）部分的面积之和是多少？
20•如图，在矩形ABCD中，点0在对角线AC上，以0A长为半径的0O与血，AC分别交于点E, F, ZACB=ZDCE -请判断直线CE与。

0的位置关系，并证明你的结论；
A a
参考答案
1. D
【解析】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧而展开图是-个扇形, 此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解.
解：设此圆锥的底面半径为r,
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长町得，
2Tl r=120lP3
180 *
解得：r=lcm.
故选D.
2. D
【解析】・・•两个圆的半径分别是3和5,圆心距是7, 5-3V7V5+3,・・・两圆的位置关系是相交.故选D.
3« Co
【解析】连接0D,则S）刃形=$扇形AOD - Sqoc。

•・•弧AB的半径0A长是6米.C是0A的中点.••.0C二丄0A二丄X6二3。

2 2
TZAOB二90° , CD〃OB・•'•CD丄0A。

在RtAOCD 中，TOD二6. 0C二3. ；•=届==3屁
又V sinZDOC = £2 = ^=2^ , ZDOC^O0。

OD 6 2
：•环］形=形AOD _Sqoc = "3：o6 _ + •'• 3若=6龙一?弟（米 ~）。

故选C。

4. B
【解析】
试题分析：圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半. 由图可得ZACB= -ZAOB=50°,故选B.
2
考点：圆周角定理
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练学握圆周角定理，即可完成.
5. D.
【解析】试题分析：AAOB 中，OA二OB. ZABO=30° : A ZA0B=180°・ 2ZAB0=120° : A ZACB= - Z
2
A0B=60°；故选。

.
考点：圆周角定理.
如图,连接CB・
VAB是0O的直径，弦CD丄AB于点E・
・・・圆心O到弦CD的距离为OE；
・・・ZCOB二2ZCDB （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），ZCDB二30。

，
・•・ ZCOB 二60。

；
在RtAOCE 中，
OC二3cm, OE二OC・cosZCOB, AOE=|.
故选A.
7. C
【解析】
试题分析：根据弧长的公式I二匹:进行计算.
180
解：设该扇形的半径是
根据弧长的公式1=込，
180
得到：12n=120 7137,
180
解得r=18,
考点：弧长的计算
& C.
【解析】
试题分析:连接OC： TAB二10cm, ・・・0B=5cm； V0P： 0B=3： 5,.・.OP二3cm： RtAOCP 中,0C=0B=5cm, OP二3cm：由勾股定理.得：CP= VoC2-OP2 = lcm：所以CD二2PC二8cm.故选C.
9. A
【解析】解：因为△磁中，ZJ=90°, AB=AC=2,那么利用三角形面枳公式町知为2,而 扇形QDE 的面积町以得到，运用间接法，△磁的面枳减公扇形的面积和三角形COE, BOD 的 面积可得。

10. B.
【解析】
试题分析：如答图，连接P0, A0,取AO 中点G,连接AG,过点A 作AH 丄P0于点H, •・・PA 、PB 切
00于A 、B 两点，CD 切00于点E,
・・・PA 二PB, CA 二CE, DB=DE. ZAP0=ZBP0, Z0AP=90°.
•・.用=塑* OH = ^^r. A GH = GO-OH = —r-^^r = -^^r .
13
13
4
13 52 3>/13 ATJ R
taiiZAPB = taiiZAGH =-——=—】
二
GH 5伍
52
考点：1 •切线的性质；2•切线长定理；3•勾股定理；4•相似三角形的判定和性质：5•锐角三 角函数定义：6•直角三角形斜边上中线的性质；7•转换思想的应用.
••'△PCD 的周长等于3r,
.*.PA=PB=-r.
2
VO0的半径为 •••在RtAAPO 中，由勾股定理得PO = Jr+
I Z OHA= Z 0AP=90°, Z HOA= Z AOP t :. △ HOA s △ AOP.
• AH OH OA
• PA _ OA _ OP
HP
AH _ OH _ r
I ZAGH=2ZAP0=ZAPB,
11・ 4TT
【解析】・・•圆锥的底面半径为1,母线为4,・••圆锥的侧面积=TT X1X4=4TT
12.35
【解析】
试题分析：连接0C，
V ZCPA=20° , A ZPOC=70°。

/. ZA= 1 ZPOC =35°。

13. 2 顷
【解析】分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段城短”得出结果.
解答：解：因为0E二OF二EF二10 (cm),
所以底面周长=10TT (cm),
将圆锥侧面沿0E剪开展平得一扇形，此扇形的半径0E=10 (cm),弧长等于圆锥底面圆的周长
10TT (cm)
设扇形圆心角度数为n,则根据弧长公式得：
1015
10TT 二--- ，
180
所以n二180° ,
即展开图是-个半圆，
因为F点是展开图弧的中点，
所以ZEOF=90° ,
连接EA,则EA就是蚂蚁爬行的最短距离，
在RtAAOE中由勾股定理得，
EA:=0E:+OA:=100+64=164,
所以EA二2J3T (cm),
即蚂蚁爬行的最短距离是2>/41 (cm
14.55
【解析】先由三角形的内角和定理求出/A,然后根据切线的性质和四边形的内角和求出Z EOF,最后根据圆周角定理得到ZEDF的度数.
解：VZB=50° , ZC=60° ,
A ZA=180° -50° -60° =70° ； 又TE, F 是切点, ••・0E 丄AB, OF 丄AC, A ZE0F=180° 一70° 二110° • A ZEDF=- X110° =55° .故填 55° .
2
15. 1或7・
【解析】
TAF 是。

0 切线.•••AF 丄AB 。

TCD 丄AB, AAF/ZCDo
•・・CF 〃AD,・•・四边形FADC 是平行四边形。

TAB 是00的直径，CD 丄AB,
••• CE = DE = ZCD = ix4>/3=2>/3 o
2 2
设 0C 二X,
TBE 二2, A0E=x - 2.
在 RtZiOCE 中，0C :=0E :+CE\
/. x 2 = (x- 2)2 +(2*73)，解得：x 二4。

A0A=0C=4> 0E=2O AAE=6O
在 RtAAED 中，AD = V A E 2 + DE 2 =4>/3 t AAD=CDo ・•・平行四边形“DC 足菱形。

(2)连接OF,
试题分析：由勾股定理得：圆心0到弦AB 的距离
圆心0到弦CD 的距离dy
(1) 弦 AB 和 CD 在(DO 同旁.d 二 (2) 弦 AB 和 CD 在00 两旁，d=d ：+d ：=7. 故这两条平行弦Z 间的距离是1或7.
故答案是1或7.
考点：1.垂径定理2・勾股定理.
16・证明：(1)连接0C.
=4.
•••四边形FADC是菱形,AFA=FCo
FA = FC
在AAFO 和ACFO 中，T { OF = OF , AAFO^ACFO (SSS )<>
OA = OC
/. ZFC0=ZFA0=90° ,即OC丄FC。

•・•点C在(DO上，・・・FC是。

0的切线。

【解析】
试题分析：(1)连接OC,由垂径定理，町求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径0C的长，然后由勾股定理求得AD的长，即町得AD二CD,易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形：
(2)连接OF,易证得△ AFO^ACFO,继而可证得FC是G>0的切线。

17. (1) 60° . (2) 4. (3) 2 或2+2>/3.
【解析】
试题分析：(1)OA二AC首先三角形OAC是个等腰三角形，因为ZAOC二60“，三角形AOC是个等边三角形，因此Z0AC二60“ ；
(2)如果PC与圆A相切，那么AC丄PC,在直角三角形APS",有ZPCA的度数，有A点的坐标也就有了AC的长，可根据余弦函数求出PA的长，然后由PO=PA-OA得出OP的值.
(3)本题分两种情况：
①以0为顶点，OC, 0Q为腰.那么町过C作x轴的垂线，交圆于Q,此时三角形OCQ就是此类情况所说的等腰三角形：那么此时P0町在直角三角形OCP中，根据ZC0A的度数，和0C 即半径的长求出P0・
②以Q为顶点，QC, QD为腰，那么可做0C的垂直平分线交圆于Q,则这条线必过圆心，如果设垂直平分线交0C于D的话，叮在直角三角形AOQ屮根据ZQAE的度数和半径的长求出Q 的坐标：然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式，得出这条直线与x轴的交点，也就求出了
P0的值.
试题解析：(1) •.•ZAOC二60”，A0二AC,
•••△AOC是等边三角形，
Z0AC=60° .
(2)TCP与。

A相切，
A ZACP=901> ,
A ZAPC=90° -ZOAC二30°；
又TA (4, 0),
AC二A0二4.
・・・PA二2AC二8,
P0=PA-0A=8-4=4•
(3)①过点C作CP」OB,垂足为匕，延长CP,交于Q：
TOA是半径，
・•・ OC = OQ ,
••・OC=OQi,
AUCUx足等腰三角形；
又VAA0C是等边三角形，
APiO=丄0A=2：
2
•••DQ：是OC的垂直平分线.
・・・CQ=OQ：,
•••△OCQ：是等腰三角形；
过点Q：作QE丄x轴于E,
在RtAAQ:E 中,
V ZQ^E=ZOAD=- Z0AC=30° ,
2
AQ：E=-AQ：=2^ AE二2屈
2
・••点Q：的坐标（4+2屈-2）；
在RtACOP：中，
TPQ二2, ZA0C=60° ,
/.CP：=2>/3 ,
・・・C点坐标（2, 2y/3）；
设直线CQ：的关系式为尸kx+b,则
-2 = （4+2>/3）k + b
2>/3 = 2k + b
»
k = —1
解得£l，
b = 2 + 2>/3
/. 5r=~x+2+2 >/3 ；
当y=0 时，x=2+2 >/3 ,
・口0=2+2>/1.
考点：1.切线的性质；2.等腰三角形的性质：3.等边三角形的性质.
18.连接EF,交PO］于点H,连接AH、CH,根据两例相交的性质町得PO】垂直平分EF,则町得PE二PF,证^AEAH^AFCH.即町得到EA=FC,从而得到结论.
【解析】
试题分析：连接EF,交PO】于点H,连接AH、CH
V □0｝与」Q相交于点E、F,点P是两圆连心线上的一点
・・・ZEHP二ZFHP二90° , EH二FH, PE二PF
・•・ ZPEH二ZPFH
.•.AEAH^AFCH
・・・EA二FC
・・・PA=PC.
考点：两圆相交的性质，全等三角形的判定和性质
点评：全等三角形的判定和性质的应用是初中数学的施点和难点，与各个知识点的结合极为容易，是中考的热点，需熟练掌握.
3
19. -TT
2
【解析】解：•・•五边形ABCDE和为：
180° X (5-2) =540°
. 54O-TX12 3
• • S in u；= ---------- -- — TT
思路剖析：因为五个圆为等圆，所以根据扇形面枳S*曙可知，五个扇形的面积之和即为缶与五边形的内角和之枳。

20.直线CE与＜90相切
证明：•・•矩形ABCD , .•.BC//AD, ZACB=ZDAC.
•・• ZACB=ZDCE,
・ZDAC = ZDCE.
••
连接0E,则ZDAC = ZAEO = ZDCE.
••• ZDCE + ZDEC = 90°,
・•・厶EO + ZDEC = 90：
ZOEC = 90°. ........ 2分
・•・直线CE与OO相切21.
• tanZACB =上逻=. BC = 2, BC 2
AB = BC • tan ZACB = 5/2, AC = >/6.
YACB=ZDCE,
/. tanZDCE =—,
2
DE = DC • tanZDCE = 1.
在RtACDE 中,CE = >/3.
设G）O的半径为r,则在RtACE O+, CO2=CE2+ EO2
H|J（./6-r）2=r2+ 3,解得r=^
【解析】
20.首先连接0E,由0E二0A与四边形ABCD是矩形，易求得ZDEC+Z0EA二90",即0E丄EC, 即可证得直线CE与00的位宣关系是相切；
21.首先易证得△ CDEsACBA,然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，
又由勾股定理即町求得AC的长，然后设0A为x,即可得方程（＞/3 ）:+x:=（V6-x）解
此方程即可求得©0的半径.。