导数与微分习题及答案

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第三章导数与微分习题及答案

第三章导数与微分同步练习一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。

2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。

3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。

4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。

5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将。

6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为。

7、已知x x y ln =，则)10(y = 。

8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。

9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。

10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。

11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。

二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（）A 、不连续B 、极限不存在Ｃ、连续且可导Ｄ、连续但不可导４、下列函数在[]1,1-上可微的有（）Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（）Ａ、在0=x 处极限不存在Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（）Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对７、已知)(x f e y =，则y ''＝（）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。

导数与微分习题

习题2.1（B ）1. 设()||()f x x a x ϕ=-，()x ϕ连续且()0a ϕ≠。

证明()f x 在a 点不可导。

2. 给定曲线254y x x =++。

（1）确定b ，使直线3y x b =+为曲线的切线；（2）确定m ，使直线y mx =为曲线的切线。

3．证明：双曲线1xy =上任意点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2。

4．证明：抛物线1212()()(0,)y a x x x x a x x =--≠<与x 轴相交所成两角α与β(0,)2παβ<<彼此相等。

习题2.2（B ）1．证明：双曲线xy a =上任意点处的切线介于两坐标轴间的一段被切点所平分。

2．确定,,,a b c d 的值，使曲线432y ax bx cx d =+++与115y x =-在点(1,6)相切，经过点(1,8)- 并在点(0,3)有一水平的切线。

3．定义双曲函数如下：双曲正弦函数2x x e e shx --=；双曲余弦函数2x xe e chx -+=；双曲正切函数shx thx chx =；双曲余切函数coth chx x shx=。

证明：（1）()'shx chx =；（2）()'chx shx =；（3）21()'thx ch x =；（4）21()'cothx sh x=。

习题2.3（B ）求下列函数的导数：（1）xx e y e e =+；（2）axx a y a a =+ （3）1tan 2xy =；（4）(1cot )3xx y e =+；(5) sin xy x=；（6）cot 2(tan 2)x y x =。

习题2.4 (B)1．设2(arcsin )y x =，证明：y 满足2(1)'''2x y xy --=。

2．求下列函数的n 阶导数：（1）211y x =-；（2）2sin y x =；（3）1nx y x=-。

高等数学第七版教材答案详解

高等数学第七版教材答案详解1. 课后习题答案1.1 第一章：函数与极限1.1.1 习题1解答1.1.2 习题2解答...1.2 第二章：导数与微分1.2.1 习题1解答1.2.2 习题2解答...1.3 第三章：微分中值定理与导数的应用1.3.1 习题1解答1.3.2 习题2解答...2. 课后思考题答案2.1 第一章：函数与极限2.1.1 思考题1解答2.1.2 思考题2解答...2.2 第二章：导数与微分2.2.1 思考题1解答2.2.2 思考题2解答...2.3 第三章：微分中值定理与导数的应用2.3.1 思考题1解答2.3.2 思考题2解答...3. 课后习题详解3.1 第一章：函数与极限3.1.1 习题1详解3.1.2 习题2详解...3.2 第二章：导数与微分3.2.1 习题1详解3.2.2 习题2详解...3.3 第三章：微分中值定理与导数的应用3.3.1 习题1详解3.3.2 习题2详解...在这篇文章中，我将给出《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。

为了方便阅读，我将按章节划分答案，并提供习题和思考题的解答。

如果你在学习过程中遇到了困惑，希望这些答案能够帮助你更好地理解相关的数学概念和解题方法。

首先，我将给出每章节的课后习题答案。

在习题解答中，我将详细解释每个题目的解题思路和步骤，并给出最终答案。

你可以根据自己的需要，选择性地查看想要解答的习题。

接下来是课后思考题答案的解析。

这些思考题往往比较有挑战性，需要一定的思考和推导。

我将为每个思考题提供解答，希望能够帮助你在思考和解决问题时找到正确的方向。

最后，我将给出课后习题的详细解析。

在这一部分中，我将逐题逐题地分析解题思路，并给出详细的步骤和推导过程。

通过仔细研究这些解析，你可以更好地理解每个题目的解法，并且提高自己的解题能力。

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导数与微分习题及答案

第二章导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。

高等数学第二章导数与微分习题

h0
h
lim f ( x) f ( x x) f ( x) .
x0
x
lim f ( x x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) f ( x) f ( x x)
x0
x
lim f ( x x) f ( x) lim f ( x) f ( x x)
习题课
f (a) lim f ( x) f (a) lim ( x a)F ( x) 0
xa x a
xa
xa
1
lim ( x a)F ( x) 0
x a 0
xa
g
(a
)
x
lim
a 0
g(
x) x
g(a a
)
2
例2.
研究函数
f
(
x
)
1 x 1 x
解 . lim f ( x) lim
x0
x
x0
x
14
例16 .
f
(
x)
ln x
(1
x)
x0 x0
求 f ( x) .
)[
f (0 0) f (0) ln(1 x) x0 0 ,
0
f (0 0) lim x 0 , f ( x) 在 x 0 处连续 .
x 0
f (0)
ln(1
x)
x
0
1
1
x
1
x0
f (0)
lim
(n)
(1)n n! ( x 1)n1
,
23
例24 . 试从 d x 1 导出: d y y
1.
d d
2x y2

第二章导数与微分课后答案

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第二章导数与微分内容概要名称主要内容导数的定义00 0()() ()limxf x x f x f xx∆→+∆-'=∆00 0()() ()limhf x h f xf xh→+-'=()()()limx xf x f xf xx x→-'=-函数的求导法则(1)导数的四则运算法则错误！未找到引用源。

.[()()]()()u x v x u x v x--'''+=+错误！未找到引用源。

.[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x'''⋅=+错误！未找到引用源。

.2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v xv xv x v x''-'=≠(2)复合函数的求导法则(链式法则)dy dy dudx du dx=⋅隐函数的导数(1)求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dydx (2)对数求导法:对幂指函数()()v xy u x=,可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数反函数的导数反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即1()()f xyϕ'=',其中()x yϕ=为()y f x=的反函数高阶导数(1)直接法:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导(2)间接法:利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶导数(3)莱布尼茨公式()()nn k n k knkuv C u v-==∑课后习题全解习题2-1★ 1. 用定义求函数3y x =在1x =处的导数.知识点：函数在某点处导数的定义思路：按照三个步骤：(1)求增量；（2）算比值；（3）求极限解：3323(1)133()()y x x x x ∆=+∆-=∆+∆+∆ 2210033()|lim lim(33())3x x x yx x xyy x x x =∆→∆→∆=+∆+∆∆∆'==+∆+∆=∆ ★ 2. 已知物体的运动规律2()st m =,求该物体在2()t s =时的速度.知识点：导数的定义思路：根据导数的定义，按照三个步骤求导解: 2222000(2)(2)(2)24|lim lim lim 4t t t t s t s t t tv t t t=∆→∆→∆→+∆-+∆-∆+∆====∆∆∆　3. 设0()f x '存在，试利用导数的定义求下列极限：知识点：导数的定义思路：利用导数的定义式)()()(lim0000x f hx f h x f h '=-+→求极限★(1)000()()lim x f x x f x x∆→-∆-∆解：0000000()()()()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆--∆-'∆∆＝－＝－－★(2)000()()lim h f x h f x h h→+--解：00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h h→→+--+-+--= 000000000()()()()lim lim ()()2()h h f x h f x f x h f x f x f x f x h h→→+---'''=+=+=- ★★ (3)000()()lim2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆2解：00000000()()()()()(2)lim lim22x x f x x f x x f x x f x f x f x x x x ∆→∆→+∆--∆+∆-+--∆∆∆2＝000000000()()(2)()113lim lim ()()()2222x x f x x f x f x x f x f x f x f x x x ∆→∆→+∆--∆-'''+∆-∆＝＝+＝ ★★ 4.设()f x 在2x =处连续，且2()lim 22x f x x →=-，求(2)f '.知识点:导数和连续的定义思路: 关键求出(2)f ,再利用导数的定义解: ()f x 在2x =处连续2(2)lim ()x f f x →∴=又22222()()()lim ()lim(2)lim(2)lim 0lim 0222x x x x x f x f x f x f x x x x x x →→→→→=-⋅=-⋅=⋅=---22(2)0()(2)()(2)limlim 222x x f f x f f x f x x →→∴=-'∴===-- ★ 5.给定抛物线22y x x =-+,求过点(1,2)的切线方程与法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率解:21y x '=- ∴切线的斜率1|2111x k y ='==-=∴切线的方程为21(1)y x -=-,即1y x =+法线方程为2(1)(1)y x -=--,即3y x =-+★ 6.求曲线x y e =在点(01)，处的切线方程和法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率解: xy e '= ∴切线的斜率00|1x k y e ='===∴切线的方程为11(0)y x -=-,即1y x =+ 法线方程为11(0)1y x -=--,即1y x =-+★ 7.函数21,01()31,1x x f x x x ⎧+≤<=⎨-≤⎩在点1x =处是否可导?为什么?知识点：函数在某点可导的充要条件思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件判别解：11()(1)312(1)lim lim 311x x f x f x f x x +++→→---'===-- 211()(1)12(1)lim lim 211x x f x f x f x x ---→→-+-'===--(1)(1)f f +-''≠ ()f x ∴在1x =处不可导.★ 8.用导数的定义求,0()ln(1),0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩在0x =处的导数.知识点：函数在某点可导的充要条件思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件解: 00()(0)ln(1)0(0)lim lim 100x x f x f x f x x +++→→-+-'===--00()(0)0(0)lim lim 100x x f x f x f x x ---→→--'===--(0)(0)f f +-''= (0)(0)(0)f f f+-'''∴===★★ 9.设sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩,求()f x '.知识点：分段函数的导数思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导解：当0x <时，()(sin )cos f x x x ''==当0x >时，()1f x x ''== 当0x=时，00()(0)(0)lim lim 10x x f x f xf x x+++→→-'===- _00()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f xf x x--→→-'===-(0)1cos ,0()1,0f x x f x x '∴=<⎧'∴=⎨≥⎩ ★★ 10.试讨论函数21sin ,00,0x x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性与可导性. 知识点：函数在某点连续与可导的定义思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断解: 201lim ()lim sin0(0)x x f x x f x→→=== ()y f x ∴=在0x =处连续.20001()s i n 01l i m l i m l i m [()s i n ]0x x x x y x x x xx∆→∆→∆→∆-∆∆==∆=∆∆∆ 21s i n y x x∴=在0x =处可导.★★ 11.设()x ϕ在x a =处连续, 22()()()f x x a x ϕ=-,求()f a '.知识点：函数在某点处导数的定义思路：利用导数的定义求导数解:()x ϕ在x a =处连续22lim ()()()()()()0()lim lim lim()()2()x ax a x a x a x a f x f a x a x f a x a x a a x a x aϕϕϕϕϕ→→→→∴=---'∴===+=--★★ 12.设不恒为零的奇函数()f x 在0x =处可导,试说明0x =为函数()f x x的何种间断点.知识点：导数以及间断点的定义思路：利用导数的定义求极限解:()f x 为奇函数 (0)(0)(0)f f f ∴=-=- (0)0f ∴= 又()f x 在0x =处可导 '0()(0)l i m (0)0x f x f f x →-∴=-即0()lim (0)x f x f x→'=∴()f x x在0x =处有极限. 0x ∴=为函数()f x x的可去间断点. ★★ 13.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度T 与时间t 的函数关系为()T T t =,应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度?知识点: 导数的定义思路: 导数反映的是函数的变化率,在t 时刻的冷却速度即为函数()T T t =对时间t 的导数解:t 时刻该物体的温度为()T T t =,则t t +∆时刻物体的温度为()T T t t =+∆,∴物体在t 时刻的冷却速度0()()()lim()t T t t T t dTv t T t t dt∆→+∆-'===∆.★★★ 14.设函数()f x 在其定义域上可导,若()f x 是偶函数,证明()f x '是奇函数;若()f x 是奇函数,则()f x '是偶函数(即求导改变奇偶性).知识点：导数的定义思路：利用导数的定义求导数解:若()f x 为偶函数时, ()()f x f x -=000()()()()()limlim()()lim ()x x x f x x f x f x x f x f x x xf x x f x f x x∆→∆→-∆→-+∆---∆-'∴-=∆∆-∆-'=-∆＝＝-－()f x '∴为奇函数.若()f x 为奇函数时, ()()f x f x -=-000()()()()()limlim()()lim ()x x x f x x f x f x x f x f x x xf x x f x f x x∆→∆→-∆→-+∆----∆+'∴-=∆∆-∆-'=-∆＝＝()f x '∴　为偶函数. 习题2-2★ 1. 计算下列函数的导数：知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(1)35y x x =+;解: 5(35)(3)(5)32y x x x x x''''=+=+=+(2)2533x x y x e =-+;解: 22(533)(5)(3)(3)103ln 33xxxxxxy x e x e x e '''''=-+=-+=-+(3)2tan sec 1y x x =+-;解: 2(2tan sec 1)(2tan )(sec )(1)2sec sec tan y x x x x x x x '''''=+-=+-=+(4)sin cos y x x =⋅;解: 22(sin cos )(sin )cos sin (cos )cos sin cos 2y x x x x x x x x x ''''=⋅=+=-=(5)3ln y x x =;解: 3332321(ln )()ln (ln )3ln (3ln 1)y x x x x x x x x x x x x''''==+=+=+(6)cos x y e x =;解: (cos )()cos (cos )cos sin xxxxxy e x e x e x e x e x ''''==+=-(7)ln xy x=; 解:2221ln (ln )ln 1ln x xx x x x xx y x x x-''--'=== (8)(1)(2)(3)y x x x =---;解:(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)y x x x x x x x x x ''''=---+---+---(2)(3)(1)(3)(1)(2)x x x x x x =--+--+--(9)1sin 1cos t st+=+;解:22(1sin )(1cos )(1sin )(1cos )cos (1cos )(1sin )(sin )(1cos )(1cos )t t t t t t t t s t t ''++-+++-+-'==++ 21sin cos (1cos )t tt ++=+(10)3sin x x y x x a e =+;解：333(sin )()()sin (sin )()()x xxxxxy x x a e x x x x a e a e '''''''=+=+++21331sin cos ln 3x x x x x x x x a e a a e -=+++(11)2log ln 2y x x =+;解:22221(log )(ln 2)log (log )0log ln 2y x x x x x x x '''''=+=++=+(12)225341x x y x -+=-.解:222222(534)(1)(534)(1)'(1)x x x x x x y x ''-+---+-=-2222222(103)(1)(534)(2)3(61)(1)(1)x x x x x x x x x ----+-+==--★ 2.计算下列函数在指定点处的导数:知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(1)3333x y x =+-,求(0)y ';解:32233()()33(3)x y x x x '''=+=+-- 1(0)3y '∴=(2)2(31)x y e x x =-+,求(0)y '.解:222(31)(31)(23)(2)x x x x y e x x e x x e x e x x ''⎡⎤=-+=-++-=--⎣⎦20(0)(2)1(112)2x x y e x x ='∴=--=--=-★ 3.求曲线22sin y x x =+上横坐标为0x =的点处的切线方程与法线方程.知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率解:2cos 2y x x '=+ ∴在0x =的点处切线的斜率0|2cos0202x k y ='==+=又当0x=时,0y = ∴在0x =的点处切线方程为2y x =，法线方程为12y x =-★ 4.写出曲线1y x x=-与x 轴交点处的切线方程.知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率解:211()1y x xx ''=-=+当0y =时，即10x x-= 解得1x =或1- ∴曲线与x 轴的交点为(1,0),(1,0)-∴点(1,0)处的切线的斜率为11|2x k y ='== ∴切线方程为2(1)y x =-，即22y x =- ∴点(1,0)-处的切线的斜率为21|2x k y =-'== ∴切线方程为2(1)y x =+，即22y x =+★ 5.求下列函数的导数:知识点：基本初等函数的导数以及复合函数的求导法则思路：利用链式法则求复合函数的导数(1)cos(43)y x =-;解:[]cos(43)(43)sin(43)(3)3sin(43)y x x x x '''=-⋅-=---=-(2)23xy e -=;解:2223323()(3)6x x xy ee x xe ---'''==⋅-=-(3)22y a x =-;解:22222222()1(2)22a x x y x a xa xa x'-'==-=----(4)2tan()y x =;解:22222sec ()()2sec ()y x x x x ''=⋅=(5)arctan()x y e =;解:22()'1()1x xx xe e y e e '==++(6)arcsin(12)y x =-;解:22(12)11(12)x y x x x'-'==----(7)1arccosy x=;解:222211()111||11()1x x y x x x x''=-==--- (8)ln(sec tan )y x x =+;解:211(sec tan )(sec tan sec )sec sec tan sec tan y x x x x x x x x x x''=+=+=++(9)ln(csc cot )y x x =-.解:211(csc cot )(csc cot csc )csc csc cot csc cot y x x x x x x x x x x''=-=⋅-+=--★ 6.求下列函数的导数:知识点：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则思路：利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求导数(1)22(23)15y x x =++;解:222222(1645)(23)15(23)(15)15x x y x x x x x+'''=++++⋅+=+(2)ln ln y x x =+;解:1(ln )11()22ln 2ln x y x x x x x x '''=⋅+=+(3)1ln1x y x+=-;解:211(1)(1)111122()111(1)(1)x x x x x xxy x x xx x x⋅-+⋅+-+-''=⋅=⋅=+-+--⋅(4)ln tan2x y =; 解:21111(tan )sec csc 222sin tan tan 22x x y x x x x ''=⋅=⋅⋅== (5)ln ln y x =;解:11(ln )ln ln y x x x x''=⋅=(6)21arcsin y x x x =-+;解:22222221211(1)1211211x y x x x x x x xxx-''=-+⋅-+=-+⋅+=----(7)2(arcsin )2xy =;解:222arcsin 122arcsin(arcsin )2arcsin ()22221(2)4xx x x x y x x'''=⋅=⋅⋅=--(8)21ln y x =+;解:22222(1ln )2ln (ln )2ln (1)ln 21ln 21ln 21ln 1ln x x x x x x y xxxx x''+'====++++(9)arctanxy e =解:arctan arctan arctan arctan 22()11(arctan )11()22(1)x xxxx e y ex ee x x x x x '''=⋅=⋅=⋅⋅=+++(10)tan 210x x y =;解:tan 2tan 2210ln10(tan 2)10ln10[tan 2sec 2(2)]x xx x y x x x x x x '''=⋅⋅=+⋅ tan 2210ln10(tan 22sec 2)x xx x x =+(11)44ln 1xx e y e =+;解:44411[ln ln(1)]2ln(1)22x x x y e e x e =-+=-+ 4444411(1)2[2ln(1)]222211x x xx xe e y x e e e '+''∴=-+=-⋅=-++ (12)21sin xy e-=.解:222111sin sin sin 2111111(sin )(2sin )(sin )(2sin )(cos )()xxx y ee e x x x x x x---''''=⋅-=⋅-⋅=⋅-⋅⋅21sin 212sin xe x x-=★★ 7.设()f x 为可导函数,求dydx: 知识点：复合函数的导数思路：利用链式法则求复合函数的导数(1)3()y f x =;解:3323()()3()y f x x x f x ''''=⋅=(2)22(sin )(cos )y f x f x =+;解:222222(sin )(sin )(cos )(cos )sin 2[(sin )(cos )]y f x x f x x x f x f x '''''''=⋅+⋅=⋅- (3)1(arcsin )y f x=.解:2211111(arcsin )(arcsin )(arcsin )()11y f f x x xxx ''''=⋅=⋅⋅-- 211(arcsin )||1f x x x '=-⋅-★★ 8.设(1)x f x xe --=,且()f x 可导,求()f x '.知识点：抽象函数的导数思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数解:令1x t -=,则1x t =-(1)1()(1)(1)t t f t t e t e ---∴=-=- 1()(1)x f x x e -∴=- 1111()[(1)](1)(1)()x x x x f x x e x e x e xe ----''''∴=-=-+-=-★★ 9.设()f u 为可导函数，且5(3)f x x +=，求(3),()f x f x ''+.知识点：复合函数的导数思路：)3(+'x f 表示对)3(+x 的导数，)(x f '表示对x 的导数，注意求导的变量解: 由5(3)f x x +=有 5(3)[(3)3]f x x +=+-44(3)5[(3)3]15f x x x '∴+=+-⋅=令3x t +=,则3x t =- 5()(3)f t t ∴=- 5()(3)f x x ∴=- 54(3)()5f x x x ''∴+==★★ 10.已知1()1xf x x=+，求()f x '. 知识点：抽象函数的导数思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数解:令1t x =,则1x t= 11()111t f t t t∴==++ 1()1f x x ∴=+ 211()()1(1)f x x x ''∴==-++ ★★ 11.已知2()()fx x a ϕ=,且1()()ln f x f x a'=,证明()2()x x ϕϕ'=.知识点：复合函数的导数思路：利用链式法则求导数解:22()2()()ln [()]2ln ()()f x fx x aa f x a a f x f x ϕ'''=⋅⋅=⋅⋅由1()()ln f x f x a '=，得1()()ln f x f x a'⋅= 2()()22()f x x a x ϕϕ'∴== ★★ 12.设()f x 在(,)-∞+∞内可导,且22()(1)(1)F x f x f x =-+-,证明:(1)(1)F F ''=-知识点: 复合函数的导数思路: 利用链式法则求导解:由22()(1)(1)F x f x f x =-+-,有22()(1)2(1)(2)F x f x x f x x '''=-⋅+-⋅- (1)2(0)2(0)0F f f '''∴=-=(1)2(0)2(0)0F f f '''-=-+= (1)(1)F F ''∴=-★ 13.求下列函数的导数:知识点：复合函数的导数思路：利用链式法则求导数(1)()y ch shx =;解:()()()y sh shx shx sh shx chx ''=⋅=⋅(2)chx y shx e =⋅;解:2()()()chxchx chx chx chx y shx eshx e shx chx e shx e shx e chx sh x '''=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=+(3)(ln )y th x =;解:2211(ln )ln (ln )y x ch x x ch x ''=⋅=⋅ (4)32y sh x ch x =+;解:223()2()32y sh x shx chx chx sh x chx chx shx '''=⋅+⋅=⋅+⋅(5)2()x y arch e =;解:2224411[()]()211xx x x x y arch e e e e e '''==⋅=⋅--(6)2(1)y arsh x =+.解:22212(1)1(1)1(1)x y x x x ''=⋅+=++++习题2-3★ 1.求下列函数的二阶导数:知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导(1)5342y x x x =++;解:425122y x x '=++ 32024y x x ''=+(2)32x y e -=;解:3232(32)3x x y ex e --''=⋅-= 32323(32)9x x y e x e --'''=⋅-=(3)sin y x x =;解:sin (sin )sin cos y x x x x x x x '''=+=+(sin )cos (cos )2cos sin y x x x x x x x x '''''=++=-(4)sin t y e t -=;解:()sin (sin )(cos sin )ttty e t e t e t t ---'''=+=-()(cos sin )(cos sin )2cos t t t y e t t e t t e t ---''''=-+-=-(5)21y x =-;解:222(1)211x x y xx'-'==---2222222231(1)1(1)11(1)(1)x x x x x x x x y x x x ''-------''=-=-=----(6)2ln(1)y x =-;解:222(1)211x xy x x '-'==--- 2222222(2)(1)2(1)2(1)(1)(1)x x x x x y x x ''---+''=-=---(7)tan y x =;解:2sec y x '= 22sec (sec )2sec tan y x x x x '''=⋅=(8)211y x =+; 解:22222(1)2(1)(1)x xy x x '-+'==-++2222222242423(2)(1)2[(1)]2(1)22(1)262(1)(1)(1)x x x x x x x x x y x x x ''+-⋅++-⋅+⋅-''=-=-=+++(9)2xy xe=.解:2222222()()(12)x x x x x y x ex e e xe x e x ''''=+=+=+222222222()(12)(12)2(12)42(32)x x x x x y e x e x xe x e x xe x ''''=+++=++⋅=+★ 2.设10()(31)f x x =+,求(0)f '''.知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导解:99()10(31)(31)30(31)f x x x x ''=+⋅+=+88()309(31)(31)810(31)f x x x x '''=⨯++=+77()8108(31)(31)19440(31)f x x x x ''''=⨯++=+ (0)19440f '''∴= ★ 3.已知物体的运动规律为sin s A t ω=(,A ω是常数),求物体运动的加速度,并验证:2220d s s dtω+=. 知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导解:cos s A t ωω'= 2sin s A t ωω''=222sin d s a A t dt ωω∴==- 22222sin sin 0d s s A t A t dtωωωωω∴+=-+=★ 4.验证函数12x x y C e C e λλ-=+(12,,C C λ是常数)满足关系式: 20y y λ''-=知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导解:12xx y C eC e λλλλ-'=- 2212x x y C e C e λλλλ-''=+2221212()()0x x x x y y C e C e C e C e λλλλλλλ--''∴-=+-+=★★ 5.设()g x '连续,且2()()()f x x a g x =-,求()f a ''.知识点: 导数的定义思路: 因为()g x ''不一定存在,不能直接求二阶导数,要利用导数的定义求解:2()2()()()()f x x a g x x a g x ''=-+- ()0f a '∴=又()g x ' 连续,但()g x '不一定存在 lim ()()x ag x g a →''∴=()()()()limlim lim[2()()()]2()x ax a x a f x f a f x f a g x x a g x g a x ax a →→→'''-'''∴===+-=-- ★★ 6.若()f x ''存在,求下列函数的二阶导数22:d ydx.知识点: 高阶导数,复合函数的求导法则思路: 利用链式法则求导 (1)3();y f x =解:32()3y f x x ''=⋅ 32323436()3()36()9()y xf x x f x x xf x x f x ''''''''∴=+⋅=+ (2)ln[()]y f x =.解:()()f x y f x ''= 22()()[()][()]f x f x f x y f x '''⋅-''∴= ★★★ 7.已知2,0()ln(1),0ax bx c x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩在0x =处有二阶导数,试确定参数,,a b c 的值.知识点：可导与连续的定义，以及可导与连续的关系思路：由已知条件得方程组，联立方程组求解解: ()f x 在0x =处有二阶导数 ()f x ∴在0x =处连续，且()f x '在0x =处连续从而有0lim ()(0)x f x f -→=，即2lim ()0x ax bx c -→++= 0c ∴= 又 ()f x 在0x =处可导 (0)(0)f f +-''∴=而0()(0)ln(1)(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→-+'===-2_00()(0)(0)lim lim 0x x f x f ax bxf b x x--→→-+'===-1b ∴=，且(0)(0)1f f +-''==21,01(),011,0ax x f x x x x +<⎧⎪⎪'∴=>⎨+⎪=⎪⎩ 又()f x 在0x =处二阶可导 (0)(0)f f +-''''∴=而 0011()(0)1(0)lim lim 1x x f x f x f x x+++→→-''-+''===- 00()(0)(21)1(0)lim lim 2x x f x f ax f a x x---→→''-+-''===21a ∴=-，即12a =-8.求下列函数所指定阶的导数:知识点：高阶导数思路: 利用已知的高阶导数公式和莱布尼茨公式求高阶导数★ (1)cos ,x y e x =求(4)y ;解:(4)4(sin )6(cos )4sin (cos )x x x x ye e x e x e x x =+-+-++-★★ (2)ln y x x =,求()n y ;解:()()(1)(ln )(ln )n n n yx x n x -=+121(1)!(2)!(1)(1)n n n n n n x n x x-----=-+⋅- ★★ (3)2132y x x =-+,求()n y ; 解:21113221y x x x x ==--+-- ()()()1111!!()()(1)(1)21(2)(1)n n n n nn n n n y x x x x ++∴=-=-------★★ (4)44sin cos y x x =+,求()n y .解:44222222131sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 2cos 4244y x x x x x x x x =+=+-=-=+ ()()11(cos 4)4cos(4)42n n n y x x n π-∴==+⋅ ★★★ 9.作变量代换ln x t =,简化方程2220xd y dy ye dx dx-+=. 知识点: 高阶导数思路: 利用链式法则求导解: 1dy dy dx dy dt dx dt t dx =⋅= dy dy t dt dt ∴=又22222211111()()()d y d dy d dy dy d dy dy d y dx dt dt dt dt t dx t dx t dt dx t dx t dx dt ===-+=-+⋅ 22211dy d yt dt t dx =-+ 22222d y d y dy t t dx dt dt ∴=+代入方程得22220d y t yt dt += 即 220d y y dt+= 习题2-41.求下列方程所确定的隐函数y 的导数dy dx :知识点: 隐函数的导数思路: 方程两边同时对自变量x 求导,凡遇到含有因变量y 的项时,把y 当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx★(1)x y xy e +=;解:方程两边同时对x 求导,得 (1)x yy xy e y +''+=+解得x yx yy e y e x++-'=-★ (28)2sin()0xy y π-=;解:方程两边同时对x 求导,得 2cos()20y xy y yy ππ''+-⋅=解得22cos()yy y y xππ'=-★ (3)350xy e y x +-=;解:方程两边同时对x 求导,得 2()350xye y xy y y ''⋅++-=解得253xyxy ye y xe y -'=+★ (4)1y y xe =+;解:方程两边同时对x 求导,得 yyy e xe y ''=+解得1yye y xe '=-★ (5)22arctanln yx y x=+.解:方程两边同时对x 求导,得22222222221x yy y x yx y x y x y x'+'-+=++ 即y xy x yy ''-+=+ 解得x y y x y +'=-2.求下列方程所确定的隐函数y 的导数22d ydx :知识点: 隐函数的导数,高阶导数思路: 方程两边同时对自变量x 求导,凡遇到含有因变量y 的项时,把y 当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dydx,再对一阶导数利用导数四则运算法则和复合函数求导法则求导★★ (1)222222b x a y a b +=解:方程两边同时对x 求导,得 22220b x a yy '+= 解得2'2b xy a y=-22222222242222322323b y xy b a y b x b a b b y a y a a y a a y a y'-+''∴=-⋅=-⋅=-⋅=- ★★ (2)sinln()y x y =+;解: 方程两边同时对x 求导,得 1cos (1)y y y x y ''⋅=++ 解得1()cos 1y x y y '=+- ''2''23(1)cos ()(sin )()cos ()sin [()cos 1][()cos 1]y y x y y y x y y x y yy x y y x y y +++-⋅+-+∴=-=-+-+- ★★ (3)tan()y x y =+.解: 方程两边同时对x 求导,得 2sec ()(1)y x y y ''=++解得222sec ()11sec ()1sec ()1x y y x y x y -+'==--+-+-221cot ()csc ()x y x y =--+=-+ 232csc ()cot ()x y x y =-++3.用对数求导法则求下列函数的导数:知识点: 对数求导法思路: 在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x 求导,最后解出所求导数★ (1)2tan (1)x y x =+;解:等式两边同时取对数,得 2ln tan ln(1)y x x =+等式两边同时对x 求导,得22212sec ln(1)tan 1x y x x x y x '=++⋅+2tan 2222tan (1)[sec ln(1)]1xx xy xx x x '∴=++++★★ (2)533322x x y x --=+解: 等式两边同时取对数,得111ln ln(3)ln(32)ln(2)532y x x x =-+--+等式两边同时对x 求导,得11(3)1(32)1(2)5333222x x x y y x x x '''--+'=⋅+⋅-⋅--+ 53332111[]5(3)322(2)2x x y x x x x --'∴=+---++ ★★ (3)452(3)(1)x x y x +-=+解:等式两边同时取对数,得1ln ln(2)4ln(3)5ln(1)2y x x x =++--+等式两边同时对x 求导,得111452231y y x x x '=⋅--+-+ 452(3)145[](1)2(2)31x x y x x x x +-'∴=--++-+★ 4.设函数()y y x =由方程1y y xe -=确定,求(0)y ',并求曲线上其横坐标0x =处点的切线方程与法线方程.知识点:隐函数导数和导数的几何意义思路: 方程两边同时对自变量x 求导,凡遇到含有因变量y 的项时,把y 当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx解: 方程两边同时对x 求导,得 0yyy e xe y ''--= 解得 1yye y xe '=-当0x =时,1y = ∴在0x =处切线的斜率(0)k y e '==0x ∴=处的切线方程为1y ex -=,即1y ex =+法线方程为11y x e -=-,即11y x e=-+★★ 5.求曲线2ln(1)arctan x t y t ⎧=+⎨=⎩在1t =对应点处的切线方程和法线方程.知识点: 参数方程表示的函数的导数思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导解:22111221dy t t dx t t +==+ 11|2t dy dx =∴= 当1t=时,ln 2,4x y π==∴ 在1t =对应点处的切线方程为1(ln 2)42y x π-=-, 即11ln 2224y x π=-+ 法线方程为2(ln 2)4y x π-=--, 即22ln 24y x π=-++6.求下列参数方程所确定的函数的导数dydx:知识点: 参数方程表示的函数的导数思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导★ (1) 23x at y bt⎧=⎨=⎩; 解:23322t t y dy bt bt dx x at a '==='★ (2) sin cos t tx e t y e t⎧=⎨=⎩; 解:cos sin cos sin sin cos sin cos t t t t t t y dy e t e t t t dx x e t e t t t '--==='++★ (3) 22cos sin x t y t ⎧=⎨=⎩. 解:2sin cos 12cos sin t t y dy t t dx x t t'===-'- 7.求下列参数方程所确定的函数的导数dy dx: 知识点: 参数方程表示的函数的导数思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求一阶导数,再将t 看作中间变量利用复合函数求导法则求二阶导数,★★ (1) 32ttx e y e -⎧=⎨=⎩;解: 22233t t t t t y dy e e dx x e '===-'-22223222414()()()33339t t t tt d y d d dt e e e e dx dx dt dx e -=-=-=-⋅-= ★★ (2) 231x t y t t⎧=-⎨=-⎩;解:22131322t t y dy t t dx x t t'--===-'-22222223131362131()()22424d y d t d t d t t t d x d x t d t t d x t t t----+∴=-=-=-⋅=-- ★★ (3) 2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩.解: 22111221t t y dy t t t dx x t-'+==='+ 2222111()()22224d y d t d t dt t t dx dx dt dx t t ++===⋅= ★★ 8.落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波半径的增大率总是6/2m ,问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少?知识点: 导数的定义思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导解:设最外一圈波半径为r ,则水面面积2s r π=∴扰动水面面积的增大率22ds rdr dr r dt dt dtππ== (*) 在2t s =时,6212r m =⨯=. 6/drm s dt=代入(*)式得22126144(/)dsm s dtππ=⨯⨯=★★ 9.一长为5米得梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁,试求梯子与墙的夹角为3π时,该夹角的增加率.知识点: 导数的定义思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导解:设梯子下端离墙面的距离为L ,则0.5L t =设梯子与墙的夹角为α,则0.5sin 5510L t t α=== arcsin 10t α∴= 当3πα=时,535sin32L π==,即530.52t = 53t ∴=∴当3πα=时,夹角α的增加率为5321110|51()10t d dtt α===- ★★ 10.在中午十二点整甲船以6公里/小时的速率向东行驶,乙船在甲船之北16公里处,以8公里/小时的速率向南行驶,问下午一点整两船相距的速率为多少?知识点: 导数的定义思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导解:在十二点后t 小时甲船行驶的路程6s t =甲(km),乙船行驶的路程为8s t =乙(km)当02t≤≤时,甲乙两船的距离2222(16)(168)3664(2)s t t t t =+-=+-甲乙∴当1t =时,甲乙两船相距的速率122256200| 2.823664(2)t ds tdt t t =-+==-+-甲乙km/h习题2-5★ 1.已知13-=x y ，在点2=x 处计算当x ∆分别为1，0.1，0.01时的y ∆及dy 之值.知识点：函数增量以及函数微分的定义思路：利用函数增量以及函数微风的定义计算即可解：8)2()2()2(3-∆+=-∆+=∆x f x f y dx dx f dy x 12)2(|2='==)1(当1=∆x 时，19833=-=∆y12112=⨯=dy(2) 当1.0=∆x 时，261.18)1.2(3=-=∆y 2.11.012=⨯=dy(3) 当01.0=∆x 时，120601.08)01.2(3=-=∆y 12.001.012=⨯=dy★ 2.将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：知识点：微分形式的不变性思路：利用du u f dy )('=求函数微分(1)xdx d 5)(=解：xdx x d 2)(2= xdx c x d 5)25(2=+∴(2)xdx d ωsin )(=解：xdx x d ωωωsin )(cos -= x d xc xd ωωωs i n )c o s 1(=+-∴ (3)dx xd +=21)(解：dx x x d +=+21))2(ln( dx xc xd +=++∴21))2(ln( (4)dx e d x 2)(-=解：dx e ed x x222)(---= dx e c e d x x 22)21(--=+-∴(5)dx x d 1)(=解：dx xx d 21)(=dx xc xd 1)2(=+∴ (6)xdx d 2sec )(2=解：xdx x d 2sec 2)2(tan 2= x d xc xd 2se c )2t a n 21(2=+∴ 3.求下列函数的微分：知识点：基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数的导数，以及微分的定义思路：利用dx x f dy )('=求函数微分★ (1)x x y 2ln +=解：x x y 11+=' dx xx dy )11(+=∴★（2）x x y 2sin =解：x x x y 2cos 22sin +=' dx x x x dy )2cos 22(sin +=∴★ (3)22x y x e =解: 22222()()2(1)xx x y x ex e x x e '''=+=+ 22(1)x dy x x e dx ∴=+★ (4)3ln 1y x =-解:3233(1)32(1)1x x y x x '-'==--- 2332(1)x dy dx x ∴=-- ★ (5)2()x x y e e -=+解:222()()2()xxxxxx y e e e e ee ---'=+-=- 222()x x dy e e dx -∴=-★ (6)y x x=-解:()2124x x x y x xx x x'--'==--214x dy dx x x x-∴=-★ (7)221arctan1x y x -=+解:2224221()21111()1x x x y x x x -'+'==--+++ 421x dy dx x =-+ ★★ (8)21cos()x x x y a a arc a =+-解:2222(1)()ln arccos()1[]211x x xx xxxa a y a a a a a a'-'=++----2222ln ln ln cos()ln cos()11x x xx xx xxa a a a a a arc a a a arc a a a =--=---22ln cos()1x x xa a dy arc a dx a ∴=--★★ 4.求方程2()ln()y x x y x y -=--所确定的函数()y y x =的微分dy .知识点: 微分的四则运算法则和微分形式的不变性思路: 方程两边同时求微分,再解出dy解:方程两边同时求微分, (2)()ln()()(ln())d y x d x y x y x y d x y -=--+--即2()ln()()dx dydy dx dx dy x y x y x y--=--+-⋅-化简得2ln()3ln()x y dy dx x y +-=+-★★ 5.求由方程22cos()xy x y =所确定的函数y 的微分.知识点: 微分的四则运算法则和微分形式的不变性思路: 方程两边同时求微分,再解出dy解:方程两边同时求微分,得22(cos())()d xy d x y = 即sin()()2()xy dydx xdy xy dx xdy -+=+化简得222sin()sin()2xy y xy dy dx x xy x y +=-+★★ 6.当||x 较小时,证明下列近似公式:知识点: 微分的应用思路: 当||x 较小时,()(0)(0)f x f f x '≈+(1)sin x x ≈解:当||x 较小时,()(0)(0)f x f f x '≈+sin sin0cos0x x x ∴≈+⋅= 即sin x x ≈(2)1x e x ≈+ 解:00x e e e x ≈+ 即1xe x ≈+ (3)11n x x n+≈+解: 11111(10)(10)nnn x x n -+≈+++⋅ 即111n x x n+≈+⋅★★ 7.计算下列格式的近似值:知识点: 微分的应用思路: 当||x 较小时,00()()()f x f x f x x '≈+ (1)1001.002解: 令100(),f x x =则991001()100f x x -'=取01,0.002,x x =∆=得10011.002(1)(1)10.002 1.00002100f f x '≈+∆=+⨯= (2) 0cos29解:令()cos f x x =,则()sin f x x '=-取0306x π==,1180x π∆=-=-,得3cos 29cos(sin )()661802360ππππ≈+-⋅-=+(3) arcsin0.5002解:令()arcsin f x x =,则21()1f x x'=-取00.5,0.0002x x =∆=,得213arcsin 0.5002arcsin 0.50.0002675001(0.5)π≈+⨯=+-。

第三章导数与微分习题

习题三1．根据导数的定义求下列函数的导数：（1）221x y -= （2）21x y = （3）32x y =2．给定函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，其中a 、b 、c 为常量，求：)(x f '，)0(f '，)21(f '，)2(a b f -' 3．一物体的运动方程为s ＝t 3＋10，求该物体在t ＝3时的瞬时速度。

4．求在抛物线y ＝x 2上点x ＝3处的切线方程。

5．自变量x 取哪些值时，抛物线y ＝x 2与y ＝x 3的切线平行？6．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≤+=x x x x x f 113101)(2在点x ＝1处是否可导？为什么？7．讨论函数y ＝x|x|在点x ＝0处的可导性。

8．用导数定义求⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(1)(x s x xx f 在点x ＝0处的导数。

9．设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=101101)1ln()(x xx x x x f 讨论f （x ）在x ＝0处的连续性与可导性。

10．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0)1ln(1sin )(12x s x x x f x 在点x ＝0处是否继续？是否可导？11．讨论⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<+≤<+≤=x xx x x x x x f 2212101201)(2在x ＝0，x ＝1，x ＝2处的连续性与可导性。

12．求下列各函数的导数（其中a ，b 为常量）：（1）532+-=x x y （2）b a x y +=（3）3412+-=xx y （4）2222x x y += （5）x x y 31-= （6）)12(2-=x x y（7）)11)(1(-+=x x y （8）x x y 2)1(+=（9）ba b ax y ++= （10）))((b x a x y --=（10）)1)(1(a b bx ax y ++=13．求下列各函数的导数（其中a ，b ，c ，d ，n 为常量）：（1）)3)(2)(1(+++=x x x y（2）x x y ln =（3）x x y n ln = （4）x y alog = （5）11-+=x x y （6）215xx y += （7）x x x y --=223 （8）n cx b a y += （9）x x y ln 1ln 1+-= （10）2211xx x x y +--+= 14．求下列各函数的导数：（1）x x x y cos sin += （2）xx y cos 1-=（3）x x x y tan tan -= （4）xx y cos 1sin 5+= （5）x x x x y sin sin += （6）x x x y ln sin ⋅= 15．求曲线x y sin =在点x ＝π处的切线方程。

导数与微分测试题

从而，从而，f ′(1) = 2 .
由于 f ( x + 5) = f (5) , 所以 f (6) = f (1) = 0 , f ′(6) = f ′(1) = 2 .
故所求切线方程为 y = 2( x − 6) .
测验题
(第一、二章 ) 第一、
每题3分一、填空题 (每题分，共12分) 每题分
f (1 + sin x ) − 3 f (1 − sin x ) 即 lim x →0 sin x
f (1 − sin x ) − f (1) f (1 + sin x ) − f (1) = lim +3 x →0 sin x − sin x
= f ′(1) + 3 f ′(1) = 4 f ′(1) = 8 .
二、设曲线 y = x n 在点 (1,1) 处的切线与 x 轴的交点为 (ξ n ,0), 求 lim f (ξ n ).
n→ ∞
1 c 满足关系式：三、设 f ( x ) 满足关系式：af ( x ) + bf ( ) = (| a |≠| b |) . x x 求 f ′( x ) . x −1 ( x + 1)2 ; | x |≤ 1 四、设 f ( x ) = 4 | x |> 1 | x | −1 .
易知 , f ( x ) 在 | x |= 1 处连续 . 在 x = −1 处， f ( x ) − f ( −1) − x −1 = −1 , ′ (−1) = lim− f− − = lim− x → −1 x → −1 x − ( −1) x +1
f +′ (−1) = lim f ( x ) − f ( −1) − x → −1+ x − ( −1)

高等数学导数及微分练习题

作业习题1、求下列函数的导数。

（1）223)1(-=x x y ；（2）xxy sin =；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）xx x y )1(+=。

2、求下列隐函数的导数。

（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。

3、求参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy与二阶导数22dx yd 。

4、求下列函数的高阶导数。

（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin 2x x y =求)50(y 。

5、求下列函数的微分。

（1）)0(,>=x x y x ；（2）21arcsin xx y -=。

6、求双曲线12222=-by a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。

7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧=,0,1sin )(2xx x f .0,0=≠x x 并讨论导函数的连续性。

作业习题参考答案：1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222⋅-+-= )37)(1(222--=x x x 。

（2）解：2sin cos )sin (x xx x x x y -='='。

（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=')cos sin (bx b bx a e ax +=。

（4）解：][1])[ln(222222'++++='++='a x x a x x a x x y])(211[1222222'+++++=a x a x a x x]2211[12222x ax ax x ⋅++++=]1[12222ax x ax x ++++=221ax +=。

导数与微分习题及答案

第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。

C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。

高等数学题库第02章(导数与微分)

第二章导数与微分习题一一、选择题1.设)(x f 在a x =处可导,则=+--→hh a f h a f h )()(lim( )A.)(2'a fB. )('a fC. )(2'a f -D.0 2.设0)0(=f ,则下述所论极限存在,则=→xx f x )(lim( ) A. )0(f B. )0('f C. )('x f D.03.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1arctan )(x x xx x f ，,则)(x f 在点0=x 处( ) A.间断 B.连续,但不可导 C.可导 D.可导且2)0('π=f4.在3=x 处可导,则常数a 和b 的一组值为( )A.6和9B.-6和-9C.6和-9D.-6和95.已知)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,且!3)('=k f ,则=k ( ) A.4 B.3 C.2 D.16. 设)(x f 是偶函数,且在0=x 处可导,则)0('f =( ) A.1 B.-1 C.0 D.以上都不对7.设曲线21x e y -=与直线1-=x 的焦点为p ,则曲线在点p 处的切线方程是( ) A.022=+-y x B. 012=++y x C. 032=-+y x D. 032=+-y x8. 已知曲线L 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==2sin cos ty tx ,则曲线L 上3π=t 出法线方程是( ) A. 0142=+-y x B. 0124=--y x C. 0342=-+y x D. 0324=-+y x 二.填空题1.设函数)()()(22x g a x x f -=,其中)(x g 在点a x =处连续=)('a f .2.设函数)(x f 在()+∞∞-,可导,)1()1()(22x f x f x F -+-=,则=)1('F .3.设x x x f +=sin )(ln ,则=)('x f .4.设)0(1>=x xy x ,则='y . 5.设x z x y ∙=2,则=dy .6.设π<<x 0,则=∙+)cot 1(x x d )(cot x d7.已知)(2)(x fa x =ϕ,且)(2)('x x ϕϕ=,则=)('x f .8.)(2b x f y +=,则=''y .9.设)(x y y =由y y x =+)(ϕ确定，若)('y ϕ存在且1)('≠y ϕ，则=dxdy. 三．下列各题中均假定)(0'x f 存在，按照导数定义，求出下列各题中的A 值（）（1）=∆-∆-→∆x x f x x f x )()(lim 000A（2）=→xx f x )(limA 设存在且)0(,0)0('f f = （3）=-+→hx f h x f h )()3(lim000A（4）=--+→hh x f h x f h )()2(lim000A四.设函数()⎩⎨⎧>+≤+=2212x b x x ax x f 在2=x 处可导,求常数a 和b 的值.五.设函数()⎩⎨⎧≥-<=0202x bx x ae x f x 在点0=x 处可导,求常数a 和b 的值.习题二一、选择题1. 2)('=a f ,则=--+→xx a f x a f x )()(lim0( ) A.2 B.-2 C.4 D.-42.设函数)(x f 和)(x g 在0=x 处可导,0)0()0(==g f ,且0)0('≠g ,则=→)()(limx g x f x ( )A.)0()0(''g fB. )()(''x g x f C. )0()0('g f D. )()('x g x f3.下列函数中,在0=x 处既连续又可导的是( ) A.x xx f =)( B. ⎩⎨⎧≤>-=0sin 0,1)(x x x x x f ， C. ⎩⎨⎧≥+<=0)1ln(0,)(x x x x x f ， D.x y sin =4.满足)()()('''b f a f b a f +=+的函数)(x f =( ) A.2x B.3x C.x e D.x ln5.设)100()4)(3)(2)(1()(++-+-=x x x x x x x f ,则=)1('f ( ) A.!101 B.100!101-C. !100-D. 99!100 6.设a 是实数,函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-∙-=101,11c o s )1(1)(x x x x x f a ，则)(x f 在1=x 处可导时,必有( )A.1-≤aB.01<<-aC.10<≤aD.1≥a7.若)(x f 的一阶导数与二阶导数都存在,且均不等于零,其反函数为)(y x ϕ=,则=)(''y ϕ( )A.)(1''x f B.[]2''')()(x f x f C. []2''')()(x f x f - D. []3''')()(x f x f - 二.填空题1.若对任意实数x ,函数)(x f 满足)()(x f x f -=-,且0)(0'≠=-k x f , 则=)(0'x f .2.已知)(x f e y =,其中f 二阶可导,则=''y .3.设xx x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,则=)('x f .4.设抛物线2ax y =与曲线x y ln =相切,则a = .5.设)1ln(2-+=x x y ,则='y .6.设曲线ax x y +=3与曲线c bx y +=2在点()0,1-处相切,其中c b a ,,为常数, 则a = ,b = , c = . 三.求下列函数的一阶导数:1.2ln 222+-=a x x y2.211xx y -+=3.21ln xxy += 4.x x y 2ln +=5.()x x y 32cos 3sin ∙=6.x y arcsin ln 3=7.x x y 2sec arctan ∙=8.xxx y tan 1sin +=9.()22sin sin xxy = 10.xx y ln 2=11.()x x y ln arcsin = 12.()x x y cos cos -=习题三一、选择题1.下列函数中,在0=x 处不可导的是( ) A.x y sin = B. x y cos = C.2ln =y D.x y =2. 下列函数中,在0=x 处可导的是( )A. x y ln =B. x y cos =C. x y sin =D. ⎩⎨⎧≥<=00,2x x x x y ，3.若函数⎩⎨⎧≥-<=0,0,)(2x bx a x e x f x 在0=x 处可导,则b a 、的值必为( )A.1-==b aB. 2,1=-=b aC. 2,1-==b aD. 2==b a4.设函数)(x f 在1=x 处可导,且21)1()31(lim=∆-∆-→∆x f x f x ,则=)1('f ( )A.31B. 61C. 61- D. 31- 5.曲线x e x y +=在0=x 处的切线方程是( )A.012=+-y xB. 022=+-y xC. 01=+-y xD. 02=+-y x 6.曲线1213123+++=bx x x y 在点(0,1)处的切线与x 轴交点的坐标是( ) A.(-1,0) B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,61 C.(1,0) D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,617.设xey 2sin =,则=dy ( )A.)(sin 2x d e xB. )(sin 2sin 2x d e x C. )(sin 2sin 2sin x xd e x∙ D. )(sin 2sin x d e x8．若函数)(x f y =有21)(0'=x f ，则当0→∆x 时，)(x f 在点0x 处的微分是（） A.与x ∆等价的无穷小量 B.与x ∆同阶,但不等价的无穷小量 C.比x ∆高阶的无穷小量 D. 比x ∆低阶的无穷小量二.填空题1设函数)(x f 在2=x 处可导,且2)1('=f ,则=+-+→h nh f mh f h )2()2(lim0 。

导数微分练习题专升本

导数微分练习题专升本### 导数微分练习题#### 一、基础导数题1. 求导函数：设 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( f'(x) \)。

2. 复合函数求导：若 \( g(x) = (2x^3 - x)^4 \)，求 \( g'(x) \)。

3. 隐函数求导：给定 \( xy^2 - x^3 + y = 6 \)，求 \( y' \)。

4. 参数方程求导：设 \( x = t^2 \)，\( y = t^3 \)，求\( \frac{dy}{dx} \)。

5. 高阶导数：若 \( f(x) = x^3 \)，求 \( f'''(x) \)。

#### 二、导数的应用6. 切线问题：已知 \( f(x) = x^2 \)，求在 \( x = 1 \) 处的切线方程。

7. 单调性：判断函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的单调性。

8. 极值问题：求函数 \( h(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 的极值点。

9. 凹凸性：判断函数 \( k(x) = -x^4 + 4x^3 - 3x^2 \) 的凹凸性。

10. 函数的增长速度：比较 \( f(x) = e^x \) 和 \( g(x) = x^2 \) 在 \( x \) 趋于无穷大时的增长速度。

#### 三、微分练习题11. 一阶微分：设 \( z = x^2y + xy^2 \)，求 \( dz \)。

12. 隐函数微分：若 \( x^2 + y^2 = 4 \)，求 \( dy \)。

13. 参数方程微分：给定 \( x = e^{\theta} \)，\( y =e^{2\theta} \)，求 \( dy \)。

14. 函数的线性近似：使用 \( f(x) = \sin(x) \) 在 \( x = 0 \) 处的线性近似来估计 \( \sin(0.1) \)。

专升本高等数学第二章导数与微分习题练习题

第二章导数与微分1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．1arctany x =，则='y ( )A ．211x +-B ．211x+ C ．221x x +- D ． 221x x + 11．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 12．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在13．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。

导数与微分练习题答案

高等数学练习题第二章导数与微分第一节导数观点一．填空题1. 若f (x0)存在，则lim f (x0x)f (x)= f ( x0)x 0x2. 若f (x0)存在，lim f (xh) f ( xh)=2 f ( x0).h 0hlim0f ( x3 x) f ( x)=3 f ( x0).x x3. 设f ( x0)2x 1, 则lim4x 0 f ( x0 2 x) f ( x0 ) )4.已知物体的运动规律为 s t t 2(米)，则物体在t 2秒时的刹时速度为 5（米/秒）5. 曲线y cosx 上点（，1）处的切线方程为 3 x 2 y 10 ，法线323方程为2x3y3202 36.用箭头 ? 或? 表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，可微可导|连续极限存在。

二、选择题1．设 f (0) 0 ,且 f ( 0) 存在，则 lim f ( x)=xx 0[B]（A）f ( x)(B) f (0)(C) f (0)(D)1f (0)22.设 f ( x) 在 x 处可导， a ,b为常数，则lim f (x a x) f (x b x) =x 0x [ B ]（A）f (x)( B)( a b) f (x)(C)(a b) f (x)(D)a bf (x)23.函数在点 x0处连续是在该点 x0处可导的条件[ B ]（A）充足但不是必需（B）必需但不是充足（ C）充足必需（D）即非充足也非必需4．设曲线y x2x 2 在点M 处的切线斜率为，则点M的坐标为3[ B ]（ A） (0,1)( B) (1, 0)(C) ( 0,0)(D) (1,1)5.设函数 f ( x) | sin x |，则 f (x)在x 0处[ B ]（A）不连续。

（B）连续，但不行导。

（D）可导，且导数也连续。

三、设函数 f ( x)x2x 1为了使函数 f (x) 在x 1 处连续且可导，ax b x1a ，b应取什么值。

第二章导数与微分

第二章导数与微分第一节导数概念习题2.11、设26)(x x f =，试按定义求)1(-'f2、证明x x sin )(cos -='3、下列各题中均假定)(0x f '存在，按导数的定义观察下列极限，并指出a 表示什么：（1）a xx f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim 000（2）a xx f x =→)(lim，其中0)0(=f ，且)0(f '存在。

（3）a hh x f h x f h =-+--→)()(lim0004、求下列函数的导数：（1）52x y = （2）53x y =（3）4.2x y = （4）xy 2=（5）31xy = （6）35x x y ⋅=（7）3533xxx y ⋅=5、已知物体的运动规律为3t s =(m)，求这物体在2=t 秒(s)时的速度。

6、如果)(x f 为偶函数，且)0(f '存在，证明)0(f '0=。

7、求曲线x y sin =在具在下列横坐标的各点处切线的斜率： π32=x ，π=x8、求曲线x y cos =上点)21,3(π处的切线方程和法线方程。

9、求曲线2x e y =在点)1,0(处的切线方程和法线方程。

10、在抛物线2x y =上取横坐标为11=x 及2x 3=的两点，作过这两点的割线。

问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？11、讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性：（1）x y sin =；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin 3x x xx y ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin x x xx y 。

12、设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(3x b ax x x x f为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，b a ,应取什么值？13、已知)(x f =⎩⎨⎧<-≥0,0,3x x x x ，求)0(+'f 及)0(-'f ，又)0(f '是否存在？14、已知⎩⎨⎧≥<0,0,sin 2x x x x ，)(x f '15、证明：双曲线2a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a 。

导数和微分练习题(答案版)

1. 13arctan )1()(2+--=x x x x f ,求f’(1) 2. 设1lim )()1()1(2+++=--∞>-x n x n n e b ax e x x f 是区间),(+∞-∞内是可导函数，试确定常数a,b 3. 设f(x)是周期为2的周期函数，且在点x=1处连续，22cos ]3)(ln[lim 1=+>-xx f x π,求曲线y=f(x)在(-1,f(-1))处的切线方程。

4. 设函数在),(+∞-∞内有定义，对任意的x,y 都有)()()(x f e y f e y x f y x +=+,e f =)0(',求f （x ）的表达式5. 设函数0,)(;0,)()(==≠-=-x a x f x x e x x f xϕ,其中的)(x ϕ具有二阶导数，且1)0(',1)0(-==ϕϕ1) 确定常数a 的值，使得f （x ）在x=0时连续2) 求f’(x);3) 讨论f’(x)在区间),(+∞-∞内的连续性6. 设函数)()()(x g x f x F =，如果f(x)在x 0点可导，g （x ）在x 0点连续不可导，证明：F(x)在x 0点可导⇔f(x 0)=07. 设曲线y=f(x)与曲线y e y x =-++)14tan(π在（1,0）处有公切线. 1）求公切线方程2）计算极限)1(lim +∞>-n n nf n 8. 设f(x)是周期为3的连续函数，在点x=0的某一邻域内恒有x x x f x f 2tan 6)tan 1(2)tan 1(+=--+,已知f(x)在点x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(10.f(10))处的切线方程。

9. 设函数f(x)在x ≤x 0时具有二阶导数，00200,)()()(;),()(x x c x x b x x a x F x x x f x F >+-+-=≤=,试确定常数a ，b ，c ，使得F(x)在x 0处二阶可导。

导数与微分习题及答案

第三章 导数与微分 习题及答案

导数与微分习题

高等数学第七版教材答案详解

导数与微分习题及答案

高等数学第二章导数与微分习题

第二章 导数与微分课后答案

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导数与微分测试题

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导数微分练习题专升本

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导数与微分练习题答案

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导数和微分练习题(答案版)

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