高考数学 数列+导数 精编精讲练习

时，是否有
？说明理由.
（1）解法：∵
∴
（）
∴
-------------------------------------1分
4
----------------------------------------------------3分
∴
又
也适合上式，
（
）
∴
-------------------------------------------------5分
，若存在
，使
成立，则称 为
有且仅有两个不动点 、 ，且
（Ⅰ）试求函数
的单调区间；
（Ⅱ）已知各项不为 1的数列 满足
，求证：
的不动点.如果函数 .
；
（Ⅲ）在（2）中，设
， 为数列 的前 项和，求证：
.
解：（1）设
∴
………………………1分
∴
由 又∵ ∴
∴ …… 3分
于是 由
得
或
；由
得
或
7
故函数
的单调递增区间为
及
得
，……………………………………………………………8分
……………………10分
………………12分
（3）.裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数 n有关的 n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例 7.设数列 满足
，
（
），数列
的前 n
项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证：当
时，
；
（3）试探究：当
，从而是使和式得到化简.
例 2．函数 f（x）= ，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+
.
证明：由 f(n)=
=1-
得 f（1）+f（2）+…+f（n）>
.
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行 放缩，从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为 常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小 即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
则 中令
，并将各式相加得
即
3.数列 满足
，
（Ⅰ）求 ， ， 及 ； （Ⅱ）证明：
，若数列 满足
……14分 ，
;
8
（Ⅲ）求证：
解：（Ⅰ） 由 ∴
（Ⅱ）∵
，
，
……………1分
…………………………3分
∴
，
∴
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
………6分
而
当
时，
法 1：∴
………………8分 ………………9分
………………10分
∴
法 2:只须证
即
，
恒成立，试确定实数 k的取值范围；
解：（1）
，当
，函数 f(x)的递减区间为
（2）由
得
，令
，则
当 （3）由（2）知
，所以 y的最大值为 1，故
在
上恒成立，令
，则
6.已知二次函数 g（x）对任意实数 x都满足
．
（1）求 g(x)的表达式；
（2）设
，
证明:对任意 x,x
， ，恒有
解 （1）设
，于是
所以
（1）“添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例 1. 已知
求证：
证明：
若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值
变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用
不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了
则
,只须证
4.已知函数
（1）求
在
………………12分 令
成立.
上的最小值；
9
（2）对一切 （3）证明对一切 解：
恒成立，求实数 的取值范围；
都有
成立
（2）由题意知：
（3）等价证明 由（1）知
10
5.已知函数
（1)求函数 f(x)的单调区间；（2）若
（3）证明
时函数 f(x)的递增区间为
当
时函数 f(x)的递增区间为
单调减区间为
和
（2）由已知可得
，当
两式相减得
∴
或
……6分
当
时，
，若
∴
∴
和 时，
，则
于是，待证不等式即为
.
，……4分 ……5分
这与 ……7分
矛盾
为此，我们考虑证明不等式
令
则，
再令 ∴当 即
， 时， 单调递增
……9分
由 ∴
①
知 于是
令
，
由
知
∴当
时， 单调递增 ∴
于是
即
②
由①、②可知
所以，
，即
……11分
（3）由（2）可知 在
（2）证明：∵
∴
∵当
时，
∴
＝
------8分
又∵
∴ ∴当
时，
(3)∵
.---------------------------------------------10分
∴ ＝
-----------------------------------------------------12分
当
时,要
只需
即需 而
又
，则
．所以
（2）因为对
，
于是
记
，则
，且
．令
. ……………5分
所以
在
内单调递减.
…………………8分
11
所以函数
在
是单调增函数，
所以
，故命题成立. ………………… 12分
7.设数列 是公差不为 0的等差数列， 为其前 项和，数列 为等比数列，且
∴
例 5.已知数列
……………………12分
的首项
，前 项和为 ，且
、 、 分别是直线 上
的点 A、B、C的横坐标，点 B分 所成的比为
，设
。
⑴ 判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论；
⑵设
，证明：
。
3
解 ⑴由题意得
……………3分
数列 则 ⑵由
则
是以
为首项，以 2为公比的等比数列。………………6分
（
）]
，综合知结论成立。 的解集中的整数的个数，且已知
（1）求数列 的通项公式；
（2）若
的前 n项和
（3）求证：对
解：（1）不等式 解得
，其中整数解有 n个，
（2）由（1）知， （3）
，用错位相减法可求得 …………7分
6
又由
得证
…………9分 ，两式相减，得：
的最小值是 综上，对
递增， …………12分
2.对于函数
（2）.分式放缩
一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一 个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例 3..数列 满足
，
.
（1）求 通项公式 ；
（2）令
，数列 前 项和为 ，
1
求证：当 解（1）
时，
，两边同除以
； 得：
∴
∴
是首项为
∴
∴
（2）
，显然这在
时成立
,当
时
显然
5
即当
时
也成立
综上所述：当
时，有
（4）先放缩再求和（或先求和再放缩）
例 8.已知
且
有正整数 n都成立。
证明：因为
，所以
.------------------------------14分 ，求证： ，
对所
又
，
所以 二.数列导数与不等式综合问题 1.数列 的通项是关于 x的不等式
，当
时，
两边平方得：
，公比
的等比数列………………4分
，
………………5分
……
相加得： 又
∴
…………………………………………9分
例 4.已知
数列 的前 n项和为 ，点
在ห้องสมุดไป่ตู้线
上
且
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证：
.
解：(1)
2
∴
∴
∴数列
是等差数列，首项
∴ ∴ ∵
∴…………（4分）
(2)
∴
公差 d=4