高中数学函数的定义定义域值域解析式求法

课题7：函数的概念（一）

一、复习准备：

1． 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

2．回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法.

二、讲授新课：

（一）函数的定义：

设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：

(),y f x x A =∈

其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。

（1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ；

（2）二次函数2

y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭

；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭

。 （3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。 （二）区间及写法：

设a 、b 是两个实数，且a

（1） 满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；

（2） 满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；

（3） 满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ；

这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。

巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0}

（三）例题讲解：

例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

变式：求函数223,

{1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域

例2．已知函数1()2f x x =+， （1） 求()()2

(3),(),33f f f f --的值；(2) 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。

（四）课堂练习：

1． 用区间表示下列集合：

{}{}{}{}4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或

2． 已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值；

3． 课本P 19练习2。

课题8：函数的概念（二）

一、复习准备：

1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y ＝x

x 2

3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？ 2. 用区间表示函数y ＝ax ＋b （a ≠0）、y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）、y ＝x

k (k ≠0)的定义域与值域。 二、讲授新课：

（一）函数定义域的求法：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。

例1：求下列函数的定义域（用区间表示）

⑴ f(x)=2

32--x x ； ⑵

； ⑶ f(x)=1+x －x x -2；

小结：定义域求法（分式、根式、组合式）

说明：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）

*复合函数的定义域求法：

（1）已知f(x)的定义域为（a,b ），求f(g(x))的定义域；

求法：由a

（2）已知f(g(x))的定义域为（a,b ），求f(x)的定义域；

求法：由a

例2．已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(x ＋1)的定义域。

例3．已知f(x -1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。

巩固练习：

1．求下列函数定义域：（1

）()f x = （2）1()11f x x =+ 2．（1）已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求2(1)f x +的定义域；

（2）已知函数f(2x -1)的定义域为[0，1]，求f(1-3x)的定义域。

（二）函数相同的判别方法：函数是否相同，看定义域和对应法则。

例5．下列函数中哪个与函数y=x 相等？

（1

）2y =； （2

）y =； （3

）y =； （4） 2

x y x =。

（三）课堂练习：

1．课本 P 19练习1，3；

2．求函数y ＝－x 2

＋4x －1 ，x ∈[-1,3) 的值域。

课题9：函数的表示法（一）

一、复习准备：

1．提问：函数的概念？函数的三要素？

2．讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

二、讲授新课：

（一）函数的三种表示方法：

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（1）；

优点：简明扼要；给自变量求函数值。

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（2）；

优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如1.2.1的实例（3）；

优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。

例1．（课本P 19 例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种

表示法表示函数y=f(x)

．

（二）分段函数：

分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。

说明：

（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；

（2）．分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同。

例3：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5公里以内（含5公里），票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。

例4．已知f(x)＝⎩

⎨⎧+∞∈+-∞∈+),0[,12)0,(,322x x x x ，求f(0)、f[f(-1)]的值

（三）课堂练习：

1．课本P 23 练习1，2；

2．作业本每本0.3元，买x 个作业本的钱数y （元）。试用三种方法表示此实例中的函数。

3．某水果批发店，100kg 内单价1元／kg ，500kg 内、100kg 及以上0.8元／kg ，500kg 及以上0.6元／kg 。试用三种方法表示批发x 千克与应付的钱数y （元）之间的函数y=f(x)。