一元一次方程经典例题讲解解析
一元一次方程典型例题解析
一元一次方程是数学中基础且重要的概念，它涉及到日常生活和科学研究的各个方面。
以下是一元一次方程的典型例题解析：
例题：某商品的进价为300元，按标价的八折销售时，利润率为10%，商品的标价是多少？
首先，设商品的标价为x元。
根据题意，商品按标价的八折销售，即售价为0.8x 元。
利润则是售价与进价之差，即0.8x−300元。
而题目给出利润率是10%，即利润占销售价的10%，可以表示为：
0.8x0.8x−300=10%解这个方程，我们得到：
$0.8x - 300 = 0.08 \times 0.8x
0.8x−300=0.64x
-300 = 0.64x - 0.8x
−300=−0.16x
x = \frac{-300}{-0.16}
x = 1875$因此，商品的标价是1875元。
这道题目展示了如何根据实际问题建立一元一次方程，并利用给定的条件求解未知数。
在解决此类问题时，理解利润率的概念并正确设置方程是关键。
解一元一次方程：去括号例题解析示范
合并同类项，得14x=28 系数化为1，得x=2 在具体求解过程中，要灵活选择方法、 步骤，不要拘泥于形式。
课后作业：
解下列一元一次方程：
(3) 1-4(0.25-t)=2
解：去括号，得1-1+4t=2 合并，得4t=2
系数化为1，得t= 1
2
课后作业：
解下列一元一次方程：
(4) 8x-2(1-x)=7x-3(x-1)
解：去括号，得8x-2+2x=7x-3x+3 移项，得8x+2x-7x+3x=3+2
合并同类项，得6x=5 系数化为1，得x= 5
6
第二步也可先合并同类项，再移项。
课后作业：
解下列一元一次方程：
(5) 2(1-3x)-(x+4)-3(2x-5)+9=0
足球的表面是由若干黑色五边形和白色六边形皮块围 成的。黑白皮块的数目比为3:5，一个足球表面一共 有32个皮块，黑色皮块与白色皮块各多少块？
解：设黑色皮块有3x块，白色皮块有5x块. 由题意，得方程3x+5x=32 解方程，得x=4 经检验，符合题意. 则3x=3×4=12，5x=5×4=20.
答：黑色皮块有12块，白色皮块有20块.
方法二
解：设黑色皮块有x块，则白色皮块有
由题意，得方程x+
5 3
x=32
5 3
x块.
解方程，得x=12
经检验，符合题意.
则Leabharlann 5 3x=5 3
×12=20.
答：黑色皮块有12块，白色皮块有20块.
初二数学一元一次方程例题解析
初二数学一元一次方程例题解析一元一次方程是数学中的基础知识，也是初中数学中的重要内容之一。
通过解析一些常见的一元一次方程例题，我们可以更好地理解和掌握这一知识点。
例题1：解方程2x + 3 = 11解析：这是一个最常见的一元一次方程，我们需要找出未知数x的值。
首先，我们将方程中的常数项3移到等号右边，得到2x = 11 - 3，简化为2x = 8。
然后，我们可以将系数2移到x的右边，得到x = 8 ÷ 2，即x = 4。
所以，方程2x + 3 = 11的解为x = 4。
例题2：解方程3(x - 2) = 15解析：这是一个带括号的一元一次方程，我们需要先消去括号，再求解。
首先，我们可以将括号内的表达式乘以系数3，得到3x - 6 = 15。
然后，将常数项-6移到等号右边，得到3x = 15 + 6，简化为3x = 21。
最后，我们将系数3移到x的右边，得到x = 21 ÷ 3，即x = 7。
所以，方程3(x - 2) = 15的解为x = 7。
例题3：解方程2x + 5 = 3x - 1解析：这是一个含有未知数在方程两边的一元一次方程，我们需要将方程整理成形如ax + b = cx + d的标准形式，然后求解。
首先，我们将方程中的相同项合并，得到2x - 3x = -1 - 5，简化为-x = -6。
然后，我们将系数-1移到x的右边，注意符号的改变，得到x = -6 ÷ -1，即x= 6。
所以，方程2x + 5 = 3x - 1的解为x = 6。
例题4：解方程4(x - 3) = 8(x + 1)解析：这是一个含有多个括号的一元一次方程，我们需要先消去括号，再求解。
首先，我们可以将括号内的表达式乘以系数，得到4x -12 = 8x + 8。
然后，将常数项-12移到等号右边，得到4x = 8x + 8 + 12，简化为4x = 8x + 20。
接下来，我们将系数4x移到等号右边，得到0 =8x - 4x + 20，简化为0 = 4x + 20。
初中数学一元一次、二元一次、一元二次解方程例题
一元一次方程例题解析例题1：解方程2x + 3 = 7解析：首先，从等式的两边减去3，得到2x = 4。
然后，将等式两边除以2，得到x = 2。
所以，x的解为2。
例题2：解方程5x - 7 = 12解析：首先，将等式的两边加上7，得到5x = 19。
然后，将等式两边除以5，得到x = 3.8。
所以，x的解为3.8。
例题3：解方程3x + 4 = 10解析：首先，从等式的两边减去4，得到3x = 6。
然后，将等式两边除以3，得到x = 2。
所以，x的解为2。
例题4：解方程7x - 5 = 19解析：首先，将等式的两边加上5，得到7x = 24。
然后，将等式两边除以7，得到x = 3.4。
所以，x的解为3.4。
例题5：解方程4x + 6 = 18解析：首先，从等式的两边减去6，得到4x = 12。
然后，将等式两边除以4，得到x = 3。
所以，x的解为3。
例题6：解方程9x - 7 = 25解析：首先，将等式的两边加上7，得到9x = 32。
然后，将等式两边除以9，得到x = 3.56。
所以，x的解为3.56。
例题7：解方程8x - 9 = 17解析：首先，将等式的两边加上9，得到8x = 26。
然后，将等式两边除以8，得到x = 3.25。
所以，x的解为3.25。
例题8：解方程6x + 7 = 19解析：首先，从等式的两边减去7，得到6x = 12。
然后，将等式两边除以6，得到x = 2。
所以，x的解为2。
例题9：解方程10x - 8 = 24解析：首先，将等式的两边加上8，得到10x = 32。
然后，将等式两边除以10，得到x = 3.2。
所以，x的解为3.2。
例题10：解方程11x - 9 = 30解析：首先，将等式的两边加上9，得到11x = 39。
然后，将等式两边除以11，得到x = 3.54。
所以，x的解为3.54。
例题11：解方程12x - 10 = 28解析：首先，将等式的两边加上10，得到12x = 38。
专题 一元一次方程的同解、错解、参数等问题(解析版)
七年级上册数学《第三章一元一次方程》专题一元一次方程的同解、错解、参数等问题【例题1】（2022•江阴市模拟）已知x＝1是方程x+2a＝﹣1的解，那么a的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，从而可求出a 的值．【解答】解：把x＝1代入方程，得：1+2a＝﹣1，解得：a＝﹣1．故选：A．【点评】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”．【变式1-1】（2022秋•秀山县期末）已知x＝1是关于x的方程6﹣（m﹣x）＝5x的解，则代数式m2﹣6m+2＝．【分析】根据一元一次方程的解的定义可知m的值，然后代入求值即可．【解答】解：把x＝1代入6﹣（m﹣x）＝5x，得6﹣（m﹣1）＝5×1．解得m＝2．所以m2﹣6m+2＝22﹣6×2+2＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．【变式1-2】（2022秋•张家港市期中）已知x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，则3a3﹣2a2+a ﹣4的值是（）A．1B．﹣1C．16D．14【分析】把x＝1代入关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0可以求得a的值，然后把x＝2代入所求的代数式进行求值．【解答】解：∵x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，∴3﹣2+1﹣4+a＝0，解得，a＝2，∴3a3﹣2a2+a﹣4＝3×23﹣2×22+2﹣4＝14．故选：D．【点评】本题主要考查了方程解的定义，解决本题的关键在于根据方程的解的定义将x＝1代入，从而转化为关于a的一元一次方程．【变式1-3】若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−12|＝1，则m的值是（）A．14或134B．14C．54D．−12或54【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．【解答】解：因为方程|x−12|＝1，所以x−12=±1，解得x=32或x=−12，因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x−12|＝1，所以解方程x+2＝2（m﹣x）得，m=3r22，当x=32时，m=134，当x=−12时，m=14．所以m的值为：134或14．故选：A．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论．【变式1-4】（2022秋•奎屯市校级月考）已知x＝4是关于x的一元一次方程﹣3m﹣x=2+3m的解，则m2020+1的值是．【分析】根据一元一元一次方程的解的定义求得m，再解决此题．【解答】解：由题意得，﹣3m﹣4=42+3．∴﹣3m﹣4＝2+3m．∴﹣6m＝6．∴m＝﹣1．∴m2020+1＝（﹣1）2020+1＝1+1＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查一元一次方程的解、有理数的乘方，熟练掌握一元一次方程的解的定义、有理数的乘方是解决本题的关键．【变式1-5】（2022秋•烟台期末）已知x＝﹣1是关于x的方程2a+2＝﹣1﹣bx的解．求代数式5（2a﹣b）﹣2a+b+2的值．【分析】根据方程解的定义，把x＝﹣1代入关于x的方程2a+2＝﹣1﹣bx，即可得出代数式5（2a﹣b）﹣2a+b+2的值．【解答】解：当x＝﹣1时，2a+2＝﹣1+b，即2a﹣b＝﹣3，∴5（2a﹣b）﹣2a+b+2＝5（2a﹣b）﹣（2a﹣b）+2＝﹣15+3+2＝﹣10．【点评】本题考查了一元一次方程的解，以及整式的加减，把2a﹣b作为整体，是数学中常用的整体思想．（2023春•长春期中）已知关于x的方程4x+2m＝3x+1的解是x＝0，试求(−2p2021−(−32)2020【变式1-6】的值．【分析】将x＝0代入原方程，可求出m的值，再将m的值代入原式，即可求出结论．【解答】解：将x＝0代入原方程得：2m＝1，解得：m=12，∴原式＝（﹣2×12）2021﹣（12−32）2020，＝（﹣1）2021﹣（﹣1）2020＝﹣1﹣1＝﹣2．【点评】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．【例题2】（2023秋•东台市期中）如果关于x的方程K43=8−r22的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求a的值．【分析】先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于a的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可．【解答】解：解方程K43=8−r22得：x＝10，由题意：4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解为x＝10，代入得：4×10﹣（3a+1）＝6×10+2a﹣1，解得：a＝﹣4．【点评】本题考查了同解方程，同解方程就是解相同的方程，本题先求出第一个方程的解是解题的关键．【变式2-1】（2022秋•长沙期末）若关于x的方程r32−=2的解与方程x+1＝m的解相同，求m的值．【分析】先解方程r32−=2可得x＝4﹣m，再根据方程同解的含义可得4﹣m+1＝m，再解关于m 的方程即可．【解答】解：r32−=2，去分母可得：m+3x﹣2x＝4，即x＝4﹣m，∵关于x的方程r32−=2的解与方程x+1＝m的解相同，∴4﹣m+1＝m，解得：=52．【点评】本题考查的是同解方程的含义，选择合适的方程进行变形是解本题的关键．【变式2-2】（2022秋•仙游县校级期末）如果方程2K35=23x﹣2与3a−14=3（x+a）﹣2a的解相同，求（a ﹣3）2的值．【分析】通过解关于x的方程2K35=23x﹣2求得x的值，然后将x的值代入3a−14=3（x+a）﹣2a列出关于a的新方程，通过解该新方程即可求得a的值，再代入计算即可求解．【解答】解：由关于x的方程2K35=23x﹣2，解得x＝5.25∵关于x的方程2K35=23x﹣2与3a−14=3（x+a）﹣2a的解相同，∴3a−14=3（5.25+a）﹣2a，解得a＝8．∴（a﹣3）2＝（8﹣3）2＝25．【点评】本题考查了同解方程的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．【变式2-3】（2023春•安岳县校级期中）已知关于x的一元一次方程2r13−5K16=1．（1）求这个方程的解；（2）若这个方程的解与关于x的方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解相同，求m的值．【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；（2）根据题意可知x＝﹣3是方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解，把x＝﹣3代入方程3（x+m）＝﹣（x ﹣1）中得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：（1）2r13−5K16=1去分母得：2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝6，去括号得：4x+2﹣5x+1＝6，移项得：4x﹣5x＝6﹣1﹣2，合并同类项得：﹣x＝3，系数化为1得：x＝﹣3；（2）由题意得x＝﹣3是方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解，∴3（﹣3+m）＝﹣（﹣3﹣1），∴3m﹣9＝4，解得=133．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．【变式2-4】如果方程K43−8=−r22的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求式子a﹣a2的值．【分析】先求得方程方程K43−8=−r22的解，然后将所求的x的值代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1求得a的值，最后在求代数式的值即可．【解答】解：K43−8=−r22去分母得：2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2）去括号得：2x﹣8﹣48＝﹣3x﹣6，移项得：2x+3x＝﹣6+8+48，合并同类项得：5x＝50，系数化为1得：x＝10．将x＝10代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：40﹣（3a+1）＝60+2a﹣1，去括号得：40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1，移项得：﹣3a﹣2a＝60﹣1﹣40+1，合并同类项得：﹣5a＝20，系数化为1得：a＝﹣4．a﹣a2＝﹣4﹣（﹣4）2＝﹣4﹣16＝﹣20．【点评】本题主要考查的是同解方程的定义、解一元一次方程、求代数式的值，求得a的值是解题的关键．【变式2-5】（2022秋•巴南区期末）已知方程3K52=5K83的解满足等式10−3(Kp2=3K4−25（3x+m），求m的值．【分析】根据方程的解相同，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：解方程3K52=5K83，3（3x﹣5）＝2（5x﹣8），9x﹣15＝10x﹣16，9x﹣10x＝﹣16+15，x＝1，∵方程3K52=5K83的解满足等式10−3(Kp2=3K4−25（3x+m），∴10−3(1−p2=3−4−25×(3+p，2m﹣30（1﹣m）﹣5（3﹣m）﹣8（3+m），2m﹣30+30m＝15﹣5m﹣24﹣8m，2m+30m+8m+5m＝30+15﹣24，45m＝21，解得m=715．【点评】本题考查了同解方程，利用同解方程得出关于m的方程是解题关键．【变式2-6】（2022秋•利州区校级期末）已知方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同．（1）求m的值；（2）求代数式（﹣2m）2022−(−32)2021的值．【分析】（1）分别解出两个方程的解，根据解相同列出方程，解方程即可；（2）代入求值即可．【解答】解：（1）由4x+2m＝3x+1解得：x＝1﹣2m，由3x+2m＝6x+1解得：x=2K13，由题知：1﹣2m=2K13，解得：m=12；（2）当m=12时，（﹣2m）2022﹣（m−32）2021＝（﹣2×12）2022﹣（12−32）2021＝1+1＝2．【点评】本题考查了同解方程，解一元一次方程，列出关于m的方程是解题的关键．【例题3】（202秋•沂源县期末）方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程r2−3k﹣2＝2x的解互为相反数，求k的值【分析】直接解方程得出x=−13，进而得出关于x的方程r2−3k﹣2＝2x的解，求出答案即可．【解答】解：∵2﹣3（x+1）＝0，∴解得：x=−13，∵方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程r2−3k﹣2＝2x的解互为相反数，∴关于x的方程r2−3k﹣2＝2x的解x=13，∴r132−3k﹣2=23，解得：k＝﹣1．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出x的值是解题关键．【变式3-1】（2022秋•高港区校级月考）已知关于x的方程①：x+1﹣2m＝﹣m的解比方程②：32(−p−2=54的解大2．求m的值以及方程②的解．【分析】用含m的式子分别表示出方程①和方程②的解，根据方程①的解比方程②的解大2列出关于m的方程，求解可得m的值，将m的值代入方程②中即可解得x的值．【解答】解：解x+1﹣2m＝﹣m得：x＝m﹣1，解32(−p−2=54得：=611−811，∵方程①的解比方程②的解大2，∴−1−(611−811)=2，解得：m＝5，将m＝5代入方程②中得：32(5−p−2=54，解得：x＝2．【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．【变式3-2】（2022秋•石景山区校级期末）已知关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1，求a的值．【分析】分别解出关于x的方程12x﹣a＝0的解和方程a+8x＝2+4x的解，然后根据已知条件“关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1”列出关于a的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：由方程12x﹣a＝0，得x=12，由方程a+8x＝2+4x，得x=2−4，又∵关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1，∴12−2−4=1，去分母，得a﹣3（2﹣a）＝12，去括号，得a﹣6+3a＝12，移项，得a+3a＝6+12，合并同类项，得4a＝18，化系数为1，得a＝4.5．【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．【变式3-3】（2022秋•太仓市期末）已知关于x的一元一次方程2x+10﹣3m＝0的解与关于x的一元一次方程r12+2(r1)3=1的解互为相反数，求代数式92m﹣4n﹣1的值．【分析】分别解方程，进而用m，n分别表示出x，再结合相反数的定义得出等式，将原式变形求出答案．【解答】解：2x+10﹣3m＝0，则2x＝3m﹣10，解得：x=3K102，r12+2(r1)3=1，则3（x+1）+4（n+1）＝6，故3x+3+4n+4＝6，3x＝﹣1﹣4n，解得：x=−1+43，∵关于x的一元一次方程2x+10﹣3m＝0的解与关于x的一元一次方程r12+2(r1)3=1的解互为相反数，∴3K102−1+43=0，去分母得：3（3m﹣10）﹣2（1+4n）＝0，则9m﹣30﹣2﹣8n＝0，故9m﹣8n＝32，则92m﹣4n﹣1=12（9m﹣8n）﹣1=12×32﹣1＝16﹣1＝15．【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键．【变式3-4】（2022秋•亭湖区校级月考）已知关于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a的解比r2=2K3的解小52，求2a﹣3的值．【分析】先分别求出两个方程的解，根据题意得出关于a的一元一次方程，再求出方程的解，最后求出答案即可．【解答】解：解方程3（x﹣2）＝x﹣a得：x=6−2，解方程r2=2K3得：x＝5a，∵关于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a的解比r2=2K3的解小52，∴6−2=5a−52，解得：a＝1，∴2a﹣3＝2×1﹣3＝﹣1．【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．【变式3-5】（2022秋•常州期中）已知关于x的方程r12=3x﹣2与K2=x+3的解互为倒数，求m的值．【分析】先求出两方程的解，再由倒数的定义即可得出结论．【解答】解：解方程r12=3x﹣2得，x＝1，解方程K2=x+3得，x=−53，∵关于x的方程r12=3x﹣2与K2=x+3的解互为倒数，−53×1＝1，解得m=−35．【点评】本题考查的是一元一次方程的解，熟知使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解答此题的关键．【变式3-6】（2022秋•武城县期末）已知（|a|﹣1）x2﹣（a+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程．（1）求a的值，并解出上述一元一次方程；（2）若上述方程的解是方程5x﹣2k＝2x解的2倍，求k的值．【分析】（1）根据一元一次方程的定义和解一元一次方程的一般步骤准确计算即可；（2）根据解析（1）得出的方程解，得出方程5x﹣2k＝2x解为x＝2，然后代入求出k的值即可．【解答】解：（1）由题意得：|a|﹣1＝0，﹣（a+1）≠0，∴a＝±1且a≠﹣1，∴a＝1，将a＝1代入方程得：﹣2x+8＝0，解得：x＝4．答：a的值是1，方程的解是x＝4．（2）由题意得：x＝4÷2＝2，将x＝2代入方程得：5×2﹣2k﹣2×2，解得：k＝3．答：k的值是3．【点评】本题主要考查了解一元一次方程，方程解的定义，一元一次方程的定义，解题的关键熟练掌握解一元一次方程的方法．【例题4】（2023•平桥区校级开学）王涵同学在解关于x的一元一次方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（）A．x＝4B．x＝2C．x＝0D．x＝﹣2【分析】把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18，得出方程7a+4＝18，求出a的值，再代入方程，求出方程的解即可．【解答】解：把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18得：7a+4＝18，解得：a＝2，即原方程为14+x＝18，解得：x＝4．故选：A．【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．【变式4-1】（2022秋•椒江区校级期中）小明解方程2K15+1=r2，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并求出方程的正确解．【分析】把x＝4代入小明粗心得出的方程，求出a的值，代入方程求出解即可．【解答】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4），2（2x﹣1）+1＝5（x+a），把x＝4代入得：a＝﹣1，将a＝﹣1代入原方程得：2K15+1=K12，去分母得：4x﹣2+10＝5x﹣5，移项合并得：﹣x＝﹣13，解得x＝13．【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．【变式4-2】（2022秋•前郭县期末）某同学在解关于y的方程3K4−5K76=1去分母时，忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y＝10．（1）求a的值；（2）求方程正确的解．【分析】（1）根据题意得3（3y﹣a）﹣2（5y﹣7a）＝1，将y＝10代入方程即可求a的值；（2）当a＝1代入原方程再求解即可．【解答】解：（1）该同学去分母时方程右边的1忘记乘12，则原方程变为3（3y﹣a）﹣2（5y﹣7a）＝1，∵方程的解为y＝10，代入得3（30﹣a）﹣2（50﹣7a）＝1．解得a＝1．（2）将a＝1代入方程3K4−5K76=1，得3K14−5K76=1，解得y＝﹣1，即原方程的解为y＝﹣1．【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．【变式4-3】（2023•秦皇岛一模）米老鼠在解方程2K13=r2−1的过程中，去分母时方程右边的﹣1忘记乘6，因而求得的解为x＝2．（1）请你帮助米老鼠求出a的值；（2）正确地解这个方程．【分析】（1）把x＝2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1得出2×（2×2﹣1）＝3（2+a）﹣1，再求出方程的解即可；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：（1）把x＝2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1得：2×（2×2﹣1）＝3（2+a）﹣1，解得：a=13；（2）方程为2K13=r132−1，2（2x﹣1）＝3（x+13）﹣6，4x﹣2＝3x+1﹣6，4x﹣3x＝1﹣6+2，x＝﹣3．【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．【变式4-4】（2022秋•道里区校级月考）小明同学在解方程2K13=r3−2，去分母时，方程右边的﹣2没有乘3，因而求得方程的解为x＝3．试求a的值，并正确地解出方程．【分析】先根据题意，得x＝3是方程2x﹣1＝x+a﹣2的解，然后根据方程解的定义将x＝2代入这个方程，从而求出a的值；再把所求得的a的值代入原方程，最后解一元一次方程即可．【解答】解：依题意，x＝3是方程2x﹣1＝x+a﹣2的解，∴2×3﹣1＝3+a﹣2，∴a＝4．∴原方程为2K13=r43−2，解方程，得2x﹣1＝x+4﹣6，解得x＝﹣1．故a＝4，原方程的正确的解是x＝﹣1．【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程的知识，解题的关键是掌握相关的定义和解一元一次方程的一般步骤．【变式4-5】小王在解关于x的方程3a﹣2x＝15时，误将﹣2x看作2x，得方程的解x＝3，（1）求a的值；（2）求此方程正确的解；（3）若当y＝a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y＝﹣a时，代数式my3+ny+1的值．【分析】（1）把x＝3代入方程即可得到关于a的方程，求得a的值；（2）把a的值代入方程，然后解方程求解；（3）把y＝a代入my3+ny+1得到m和n的式子，然后把y＝﹣a代入my3+ny+1，利用前边的式子即可代入求解．【解答】解：（1）把x＝3代入3a+2x＝15得3a+6＝15，解得：a＝3；（2）把a＝3代入方程得：9﹣2x＝15，解得：x＝﹣3；（3）把y＝a代入my3+ny+1得27m+3n+1＝5，则27m+3n＝4，当y＝﹣a时，my3+ny+1＝﹣27m﹣3n+1＝﹣（27m+3n）+1＝﹣4+1＝﹣3．【点评】本题考查了方程的解的定义，以及代数式的求值，正确理解方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，是关键．【变式4-6】（2022秋•大余县期末）聪聪在对方程r33−B−16=5−2①去分母时，错误地得到了方程：2（x+3）﹣mx﹣1＝3（5﹣x）②，因而求得的解是=52．（1）求m的值；（2）求原方程的解．【分析】（1）将x=52代入方程②，整理即可求出m的值，（2）将m的值代入方程①即可求出正确的解．【解答】（1）把x=52代入2（x+3）﹣mx﹣1＝3（5﹣x）中，得：2×（52+3）−52m﹣1＝3×（5−52），解得：m＝1．（2）当m＝1时原方程为r33−K16=5−2，2（x+3）﹣（x﹣1）＝3（5﹣x），4x＝8，x＝2．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【例题5】（2022秋•兴隆县期末）方程mx+2x﹣12＝0是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则正整数m的值有几个？（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据方程的解是正整数，可得（m+2）是12的约数，根据12的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由mx+2x﹣12＝0，得=12r2，∵方程mx+2x﹣12＝0是关于x的一元一次方程，此方程的解为正整数，m是正整数，∴m+2＝3或4或6或12，解得m＝1或2或4或10，∴正整数m的值有4个．故选：C．【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确理解m+2＝3或4或6或12是关键．【变式5-1】已知关于x的方程kx＝5﹣x，有正整数解，则整数k的值为．【分析】根据方程的解是正整数，可得5的约数．【解答】解：由kx＝5﹣x，得x=5r1．由关于x的方程kx＝5﹣x，有正整数解，得5是（k+1）的倍数，得k+1＝1或k+1＝5．解得k＝0或k＝4，故答案为：0或4．【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于k的方程是解题关键．【变式5-2】已知关于x的一元一次方程mx﹣1＝2（x+32）的解是正整数，则整数m的值为．【分析】根据方程的解是正整数，可得4的约数，根据4的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由mx﹣1＝2（x+32），得x=4K2，因为关于x的方程mx﹣1＝2（x+32）的解是正整数，得m﹣2＝1，m﹣2＝2，或m﹣2＝4．解得m＝3，m＝4，或m＝6．故答案为：3或4或6．【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于m的方程是解题关键．【变式5-3】（2022秋•九龙坡区校级期末）若关于x的方程−2−B6=r13的解是整数解，m是整数，则所有m的值加起来为（）A．﹣5B．﹣16C．﹣24D．18【分析】根据解一元一次方程的一般步骤表示出x的代数式，分析解答即可．【解答】解：解方程−2−B6=r13，得：=44+，根据题意可知=44+为整数，m是整数，当m的值为0，﹣2，﹣3，﹣5，﹣6，﹣8时，44+为整数，∴0+（﹣2）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣6）+（﹣8）＝﹣24，故选：C．【点评】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，熟练掌握解一元一次方程的一半步骤是解本题的关键．【变式5-4】（2022秋•邗江区校级期末）若关于x的方程2ax＝（a+1）x+6的解为正整数，求整数a的值．【分析】首先解方程表示出x的值，然后根据解为正整数求解即可．【解答】解：2ax＝（a+1）x+6，移项得：2ax﹣（a+1）x＝6，合并同类项得：（a﹣1）x＝6，系数化为1得：=6K1，∵关于x的方程2ax＝（a+1）x+6的解为正整数，∴=6K1为正整数，∴a﹣1＝1或a﹣1＝2或a﹣1＝3或a﹣1＝6∴a＝2或a＝3或a＝4或a＝7．【点评】本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【变式5-5】设m为整数，且关于x的一元一次方程（m﹣5）x+m﹣3＝0．（1）当m＝2时，求方程的解；（2）若该方程有整数解，求m的值．【分析】（1）把m＝2代入原方程，得到关于x得一元一次方程，解之即可，（2）根据“m≠5，该方程有整数解，且m是整数”，结合一元一次方程的解题步骤，得到关于m的几个一元一次方程，解之即可．【解答】解：（1）当m＝2时，原方程为﹣3x﹣1＝0，解得，=−13，（2）当m≠5时，方程有解，=3−K5=−1−2K5，∵方程有整数解，且m是整数，∴m﹣5＝±1，m﹣5＝±2，解得，m＝6或m＝4或m＝7或m＝3．【点评】本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义，解题的关键：（1）正确掌握一元一次方程的解题步骤，（2）正确掌握一元一次方程的定义和一元一次方程的解题步骤．。
一元一次方程数形结合的例题
一元一次方程数
形结合的例题
例题：一列火车匀速行驶，经过一条长300米的隧道需要20秒，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，求火车的速度。
一、分析：
1.火车完全经过隧道的时间是20秒，所以火车在这段时间里行驶的距离是火车的长度加上隧道的长度，即300米+ 火车的长度。
2.灯光照在火车上的时间是10秒，这段
时间里火车行驶的距离是隧道的长度，即300米。
二、用数学方程表示：
1.火车在20秒内行驶的距离= 300米+ 火车的长度
2.火车在10秒内行驶的距离= 300米
由于火车是匀速行驶的，所以我们可
以设火车的速度为v 米/秒。
1.根据速度的定义，速度= 距离/ 时间。
2.根据上面的分析，我们可以得到以下方程：
(20 ×v) = 300 + 火车的长度
(10 × v) = 300
现在我们要来解这个
方程组，找出v 和火车的长度的值。
计算结果为：[{v: 30, length: 300}]
所以，火车的速度为：30米/秒。
第09讲-用一元一次方程解决问题(12种题型)(解析版)精选全文
第09讲用一元一次方程解决问题（12种题型）一、配套问题配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。
解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。
每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比.二、工程问题工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。
关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。
工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。
还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。
三. 销售问题销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售．四、比赛积分问题①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分）②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x）③.寻找等量关系胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分五、方案选择问题1.借助方程先求出相等的情况。
2.再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。
六、数字问题1、多位数的表示方法：①若一个两位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，则这个两位数是10b+a②若一个三位数的个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数是100c+10b+a③四、五…位数依此类推。
2、连续数的表示方法:①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数）②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数）或2n-2，2n，2n+2（n为整数）③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数）或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数）七、几何问题1.将几何图形赋予了代数元素，便产生了一类新问题，2.解决这类问题时，通常要用到图形的性质以及几何量之间的关系.八、和差倍分问题1.和、差关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.2.倍、分关系：通过关键词语“是几倍、增加几倍、增加到几倍、增加百分之几、增长率……”来体现.3.比例问题：全部数量=各种成分的数量之和.此类题目通常把一份设为x.解题的关键是弄清“倍、分”关系及“和、差”关系.九、分段计费问题分段计费问题解题思路1.明确分段区间2.明确不同区间的计费标准3.分区间讨论计算十. 行程问题1.行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。
5.4应用一元一次方程——打折销售例题与讲解
4 应用一元一次方程——打折销售1．商品销售中与打折有关的概念及公式(1)与打折有关的概念 ①进价：也叫成本价，是指购进商品的价格． ②标价：也称原价，是指在销售商品时标出的价格． ③售价：商家卖出商品的价格，也叫成交价． ④利润：商家通过买卖商品所得的盈利，一般以“获利”、“盈利”、“赚”等词语表示所得利润． ⑤利润率：利润占进价的百分比． ⑥打折：出售商品时，将标价乘十分之几或百分之几卖出即为打折．打几折，就是以原价的百分之几十或十分之几卖出．如打8折就是以原价的80%卖出．(2)利润问题中的关系式①售价＝标价×折扣；售价＝成本＋利润＝成本×(1＋利润率)．②利润＝售价－进价＝标价×折扣－进价．③利润＝进价×利润率；利润＝成本价×利润率；利润率＝利润进价＝售价－进价进价. 【例1】 (1)某商品成本100元，提高40%后标价，则标价为__________元；(2)500元的9折是__________元，__________元的八折是340元；(3)一件商品的进价是40元，售价是70元，这件商品的利润率是__________． 解析：(1)成本×(1＋提高率)＝标价，即100×(1＋40%)＝140(元)；(2)九折即原价的十分之九，所以500元打9折，就是500×0.9＝450(元)，设x 的八折是340，所以有0.8x ＝340，解得x ＝425；(3)利润率＝利润进价＝售价－进价进价＝70－4040＝75%. 答案：(1)140 (2)450 425 (3)75%2．列方程解应用题的一般步骤及注意事项(1)列方程解应用题步骤①审：审题，分析题中已知的是什么、求的是什么，明确各数量之间的关系． ②找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系．③设：设未知数(一般求什么就设什么)．④列：根据相等关系列出方程．⑤解：解所列的方程，求出未知数的值．⑥验：检验所求出的解是否符合实际意义．⑦答：写出答案．(2)列方程解应用题应注意①列方程时，要注意方程两边应是同一类量，并且单位要统一．②解、答时必须写清单位名称． ③求出的方程的解要判断是否符合实际意义，即必须检验．【例2－1】 在商品市场经常可以听到小贩的叫嚷声和顾客的讨价还价声：“10元一个的玩具赛车打八折，快来买啊！”“能不能再便宜2元？”如果小贩真的让利(便宜)2元卖了，他还能获利20%，那么一个玩具赛车进价是多少元？分析：利润＝销售价×打折数－让利数－进价．解：设进价是x 元，依题意，得x ×20%＝10×0.8－2－x .解得x ＝5.答：一个玩具赛车进价是5元．【例2－2】 某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%标价出售，“春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售．某顾客购买甲、乙两种服装共付款182元，两种服装标价之和为210元．问这两种服装的进价和标价各是多少元？分析：本题的题情稍复杂，需要求四个未知量．可以先求出标价，然后再求进价．解：设甲种服装的标价为x 元，则进价为x 1.4元，乙种服装的标价为(210－x )元，进价为210－x 1.4元． 根据题意，得0.8x ＋0.9(210－x )＝182.解得x ＝70.所以210－x ＝140.x 1.4＝50，210－x 1.4＝100.答：甲种服装的进价为50元，标价是70元；乙种服装的进价是100元，标价是140元．3．利用一元一次方程确定商品的利润与商品的利润有关的实际问题主要有以下三类：(1)确定商品的打折数 利用一元一次方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，根据相等关系列出方程．利润中的求最低打折数的问题，要根据与打折有关的等量关系：标价×打折数－进价＝利润，利润＝进价×利润率．(2)确定商品的利润 根据商品的售价和利润率确定商品的利润，也是一元一次方程的应用之一．用到的等量关系是：进价×(1＋利润率)＝售价．(3)优惠问题中的打折销售商场中的某些优惠销售是购买数量超过一定的范围才打折或超过的部分打折．要分段分情况计算不同的利润．【例3－1】 某种商品的进价是400元，标价是600元，商店要求以利润不低于5%打折销售，那么售货员最低可以打几折出售此商品？分析：利润问题的相等关系是：商品售价－商品进价＝商品利润．其中商品利润＝进价×利润率，即400×5%.而商品售价＝标价×打折数．解：设最低可以打x 折出售．根据题意，得600×0.1x －400＝400×5%.解得x ＝7. 答：售货员最低可以打7折出售此商品．【例3－2】 某书城开展学生优惠售书活动，凡一次购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．李明购书后付了212元，若没有任何优惠，则李明应该付多少元？分析：先判断属于哪一种优惠，再根据情况确定相等关系．当购书是200元时，应该付200×0.9＝180(元)，李明支付了212元，说明超过了200元，相等关系是：不超过200元的部分应付款＋超过200元部分应付款＝实际付款．解：因为200×0.9＝180(元)<212(元)，所以购书超过了200元．设应该付x 元，根据题意，得200×0.9＋(x －200)×0.8＝212.解方程，得x ＝240.答：若没有任何优惠，则李明应该付240元．。
一元一次方程应用题10大类型例题精讲+学后练习
一元一次方程应用题10大类型例题精讲+学后练习1.配套问题【例题】某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．生产螺钉和螺母的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？【解析】设安排x名工人生产螺钉，则(26﹣x)人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知，螺母的个数是螺钉个数的2倍。
从而得出等量关系列出方程。
【解答】解：设安排x名工人生产螺钉，则(26﹣x)人生产螺母由题意得1000(26﹣x)=2×800x解得x=10,则26﹣x=16答：生产螺钉的工人为10人，生产螺母的工人为16人。
【学后练习】油桶制造厂的某车间主要负责生产制造油桶用的圆形铁片和长方形铁片，该车间有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片或者长方形铁片80片，一个油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片相配套。
生产圆形铁片和长方形铁片的工人各为多少人时，才能使生产的铁片恰好配套？2. 增长率问题【例题】甲、乙班组工人，按计划本月应共生产680个零件，实际甲组超额20％，乙组超额15％完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件。
问本月原计划每组各生产多少个零件？【解析】设本月原计划甲组生产x个零件，那么乙组生产（680-x）个零件；实际甲组超额20％，实际甲组生产了(1+20％)x；乙组超额15％，实际生产了(1+15％)（680-x）；本月共生产680个零件，实际比原计划多生产118个零件，也就是实际生产了798个零件。
从而得出等量关系列出方程。
【解答】解：设本月原计划甲组生产x个零件，则乙组生产（680-x）个零件由题意可得：(1+20％)x+(1+15％)（680-x）=798解得x=320则680-x=360答：本月原计划甲组生产320个零件，则乙组生产360个零件。
【学后练习】已知甲、乙两种商品的原单价和为100元,因市场变化,甲商品降价10%,乙商品提价5%,调价后,甲、乙两种商品的单价和比原单价和提高了2%,求甲、乙两种商品的原单价各是多少元？3. 数字问题【例题】一个两位数，十位数与个位上的数之和为11，如果把十位上的数与个位上的数对调得到比原来的数大63，原来的两位数是多少？【解析】数字问题，千位数字×1000、百位数字×100、十位数字×10、个位数字×1相加后才是所求之数，以此类推，切忌位数数字直接相加。
七年级一元一次方程应用题经典例题及解析
七年级一元一次方程应用题经典例题及解析一、问题描述1.小明在超市买了一些苹果，每斤5元，共用了15元，求小明买了多少斤苹果？解析这是一个典型的一元一次方程问题。
设小明买了x斤苹果，则根据题意可得方程5x = 15。
解方程得x = 3，小明买了3斤苹果。
二、问题描述2.一种牛奶每瓶售价为x元，小红买了5瓶牛奶共花了30元，求每瓶牛奶的售价是多少？解析设每瓶牛奶的售价为x元，则根据题意可得方程5x = 30。
解方程得x = 6，每瓶牛奶的售价为6元。
三、问题描述3.某商店进行促销活动，一种商品原价x元，经过7折优惠后售价为21元，求该商品的原价是多少？解析设该商品的原价为x元，根据题意可得方程0.7x = 21。
解方程得x = 30，该商品的原价为30元。
四、问题描述4.小明和小刚一起去电影院看电影，两人共花了36元，小明比小刚多出了4元，求小明和小刚各自花了多少钱？解析设小明花了x元，小刚花了(x-4)元，根据题意可得方程x + (x-4) = 36。
解方程得x = 20，小明花了20元，小刚花了16元。
五、问题描述5.一家服装店进行清仓处理，原价为x元的衣服打折后售价为15元，打折了x的3/5，求原价是多少？设该衣服的原价为x元，根据题意可得方程(1-3/5)x = 15。
解方程得x = 25，该衣服的原价为25元。
六、问题描述6.某公司组织员工团建活动，共花费了240元，如果每人平均花费30元，求这个团队有多少人？解析设团队人数为x人，根据题意可得方程30x = 240。
解方程得x = 8，这个团队有8人。
七、问题描述7.一家餐馆供应两种套餐，A套餐售价x元，B套餐售价为25元，小张买了4份A套餐和2份B套餐共花了130元，求A套餐的售价是多少？解析设A套餐的售价为x元，根据题意可得方程4x + 2*25 = 130。
解方程得x = 20，A套餐的售价为20元。
八、问题描述8.甲乙两人玩猜硬币游戏，甲猜错了4次给了乙16元，每猜错一次需要支付4元，求共猜了多少次？解析设共猜了x次，根据题意可得方程4x = 16。
解一元一次方程习题附含讲解
一、解方程：（1） =x﹣．（2）（x﹣1）=2﹣（x+2）．（3）．（4）（6） [3（x﹣） + ] =5x﹣1 （5）．(8)（7）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）；(10)(9)（12）（11）．（13）．（14）（15） +2 1（I8）12y﹣2.5y=7.5y+5（17）（20）．（19）x﹣﹣3（22）．（21）．二、计算：（1）（23）．(2) ÷20．解方程（ 1）．2 3 3（4）﹣4× +|﹣2|×（﹣）（5）当 k 为何数时，式子比的值少 3．（2）．（16）2解一元一次方程（三）参照答案与试题分析一．解答题（共30 小题）1．（2005?宁德）解方程： 2x+1=7考解一元一次方程．点：专计算题；压轴题．题：分本题直接经过移项，归并同类项，系数化为 1 可求解．析：解解：原方程可化为： 2x=7﹣ 1答：归并得： 2x=6系数化为 1 得：x=3点解一元一次方程，一般要经过去分母，去括号，移项，归并同类项，未知数的系数化为 1 等步骤，把一评：个一元一次方程“转变”成 x=a 的形式．2．考解一元一次方程．点：专计算题．题：分这是一个带分母的方程，因此要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1，进而获得方程的解．析：解解：左右同乘 12 可得： 3[2x ﹣（x﹣1）]=8（x﹣1），答：化简可得： 3x+3=8x ﹣8，移项可得： 5x=11，解可得 x= ．故原方程的解为 x= ．点假如分式方程，先同分母，转变为整式方程后，再移项化简，解方程可得答案．评：3．（1）解方程： 4﹣x=3（2﹣x）；（2）解方程：．考点：解一元一次方程．专题：计算题．剖析：（1）先去括号，而后再移项、归并同种类，最后化系数为 1，得出方程的解；（2）题的方程中含有分数系数，应先对各式进行化简、整理，而后再按（ 1）的步骤求解．解答：解：（1）去括号得： 4﹣x=6﹣3x，3移项得：﹣ x+3x=6 ﹣4，归并得： 2x=2，系数化为 1 得：x=1．（2）去分母得： 5（x﹣1）﹣2（x+1 ）=2，去括号得： 5x﹣5﹣2x﹣2=2，移项得： 5x﹣2x=2+5+2 ，归并得： 3x=9，系数化 1 得：x=3．评论：（1）本题易在去分母、去括号和移项中出现错误，还可能会在解题前产生惧怕心理．因为看到小数、分数比许多，学生常常不知如何找寻公分母，如何归并同类项，如何化简，因此我们要教会学生疏开进行，进而达到分解难点的成效．（2）本题的此外一个要点是教会学生关于分数的分子、分母同时扩大或减小若干倍，值不变．这一性质在此后常会用到．4．解方程：．考解一元一次方程．点：专计算题．题：分本题两边都含有分数，分母不同样，假如直接通分，有必定的难度，但将方程左右同时乘以公分母 6，难度析：就会降低．解解：去分母得： 3（2﹣x）﹣18=2x ﹣（2x+3），答：去括号得： 6﹣3x﹣18=﹣3，移项归并得：﹣ 3x=9，∴x=﹣3．点本题易在去分母和移项中出现错误，学生常常不知如何找寻公分母，如何归并同类项，如何化简，因此我评：们要教会学生疏开进行，进而达到分解难点的成效．5．解方程（1）4（x﹣1）﹣ 3（20﹣x）=5（x﹣2）；（2）x﹣ =2﹣．考点：解一元一次方程．专题：计算题．剖析：（1）先去括号，再移项、归并同类项、化系数为 1，进而获得方程的解；（2）先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1，进而获得方程的解．解答：解：（1）去括号得： 4x﹣4﹣60+3x=5x ﹣10（2 分）移项得： 4x+3x ﹣5x=4+60 ﹣10（3 分）归并得： 2x=54（5 分）系数化为 1 得：x=27；（6 分）（2）去分母得： 6x﹣3（x﹣1）=12﹣2（x+2 ）（2 分）去括号得： 6x﹣3x+3=12 ﹣2x﹣4（3 分）移项得： 6x﹣3x+2x=12 ﹣4﹣3（4 分）归并得： 5x=5（5 分）系数化为 1 得：x=1．（6 分）评论：去分母时，方程两头同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（假如是一个4多项式）作为一个整体加上括号．去括号时要注意符号的变化．6．（1）解方程： 3（x﹣1）=2x+3；（2）解方程： =x﹣．考解一元一次方程．点：专计算题．题：分（1）是简单的一元一次方程，经过移项，系数化为 1 即可获得；析：（2）是较为复杂的去分母，本题方程两边都含有分数系数，假如直接通分，有必定的难度，但对每一个式子先进行化简、整理为整数形式，难度就会降低．解解：（1）3x﹣3=2x+3答： 3x﹣2x=3+3x=6；（2）方程两边都乘以 6 得：x+3=6x ﹣3（x﹣1）x+3=6x ﹣3x+3x﹣6x+3x=3 ﹣3﹣2x=0∴x=0．点本题易在去分母、去括号和移项中出现错误，还可能会在解题前不知如何找寻公分母，如何归并同类项，评：如何化简，因此要学会分开进行，进而达到分解难点的成效．去分母时，方程两头同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（假如是一个多项式）作为一个整体加上括号．7．﹣（1﹣2x）= （3x+1）考解一元一次方程．点：专计算题．题：分这是一个带分母的方程，因此要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1，进而获得方程的解．析：解解：﹣ 7（1﹣2x）=3×2（3x+1）答：﹣7+14x=18x+6﹣4x=13x= ﹣．点解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、归并同类项和系数化为 1．本题去分母时，方程两评：端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（假如是一个多项式）作为一个整体加上括号．8．解方程：（1）5（x﹣1）﹣ 2（x+1）=3（x﹣1）+x+1 ；（2）．考解一元一次方程．5点：专计算题．题：分（1）可采纳去括号，移项，归并同类项，系数化 1 的方式进行；析：（2）本题方程两边都含有分数系数，假如直接通分，有必定的难度，但对每一个式子先进行化简、整理为整数形式，难度就会降低．解解：（1）5（x﹣1）﹣2（x+1）=3（x﹣1）+x+1答： 3x﹣7=4x﹣2∴x=﹣5；（2）原方程可化为：去分母得： 40x+60=5 （18﹣18x）﹣3（15﹣30x），去括号得： 40x+60=90 ﹣90x﹣45+90x，移项、归并得： 40x=﹣15，系数化为 1 得： x= ．点（1）本题易在去分母、去括号和移项中出现错误，还可能会在解题前产生惧怕心理．因为看到小数、分评：数比许多，学生常常不知如何找寻公分母，如何归并同类项，如何化简，因此我们要教会学生疏开进行，进而达到分解难点的成效；（2）本题的此外一个要点是教会学生关于分数的分子、分母同时扩大或减小若干倍，值不变．这一性质在此后常会用到．9．解方程：．考点：解一元一次方程．专题：计算题．剖析：这是一个带分母的方程，因此要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，进而获得方程的解．解答：解：，去分母得： 2x﹣（3x+1）=6﹣3（x﹣1），去括号得： 2x﹣3x﹣1=6﹣3x+3，移项、归并同类项得：2x=10，6评论：去分母时，方程两头同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（假如是一个多项式）作为一个整体加上括号．10．解方程：（1）4x﹣3（4﹣x）=2；（2）（x﹣1）=2﹣（x+2）．考点：解一元一次方程．专题：计算题．剖析：（1）先去括号，再移项，归并同类项，系数化 1，即可求出方程的解；（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化 1 可求出方程的解．解答：解：（1）4x﹣3（4﹣x）=2去括号，得 4x﹣12+3x=2移项，归并同类项 7x=14系数化 1，得x=2．（2）（x﹣1）=2﹣（x+2）﹣2（x+2）7﹣4移项、归并同类项，得7x=21系数化 1，得x=3．评论：（1）本题主假如去括号，移项，归并同类项，系数化1．（2）方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，切勿漏乘不含有分母的项，此外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应当将分子用括号括上．11．计算：（1）计算：（2）解方程：考点：解一元一次方程；有理数的混淆运算．专题：计算题．剖析：（1）依占有理数的混淆方、后算乘8减；（2）两边同时乘以最简公分母 4，即可去掉分母．解答：解：（1）原式=，=，= ．（2）去分母得：2（x﹣1）﹣（3x﹣1）=﹣4，解得： x=3 ．评论：解答本题要注意：（1）去分母时最好先去中括号、再去小括号，以减少去括号带来的符号变化次数；（2）去分母就是方程两边同时乘以分母的最简公分母．12．解方程：考点：解一元一次方程．专题：计算题．剖析：（1）这是一个带分母的先去分母，再去括号，最后9移项，化系数为 1，进而得到方程的解．（2）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为 1．解答：解：（1）去分母得： 3（3x﹣1）+18=1﹣5x，去括号得： 9x﹣3+18=1 ﹣5x，移项、归并得：14x= ﹣14，系数化为 1得：x=﹣1；（2）去括号得： x﹣x+1= x，移项、归并同类项得：x= ﹣1，系数化为 1得：x=﹣．评论：本题考察解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的一般步骤，注意移项要变号、去分母时“1”也要乘以最小公倍数．13．解方程：（1）10（2）考点：解一元一次方程．专题：计算题．剖析：（1）去分母、去括号、移项、归并同类项、化系数为1．（2）去分母、去括号、移项、归并同类项、化系数为1．解答：（1）解：去分母得： 5（3x+1）﹣2×10=3x ﹣2﹣2（2x+3），去括号得：15x+5﹣20=3x﹣2﹣4x﹣6，移项得：15x+x= ﹣8+15，归并得：16x=7，解得：；（2）解：，4（x﹣1）﹣18（x+1 ）=﹣36，4x﹣4﹣18x﹣18=﹣36，﹣14x=﹣14，x=1．评论：本题考察解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的一般步骤，注意移11项要变号、去分母时“1”也要乘以最小公倍数．14．解方程：（1）5（2x+1 ）﹣2（2x﹣3）=6 （2） +2（3） [3（x﹣）+ ] =5x﹣1考点：解一元一次方程．专题：计算题．剖析：（2）经过去括号、移项、归并同类项、系数化为 1，解得 x 的值；（3）乘最小公倍数去分母即可；（4）主假如去括号，也可以把分数转化成整数进行计算．解答：解：（1）去括号得： 10x+5﹣4x+6=6移项、归并得：6x=﹣5，方程两边都除以 6，得 x=﹣；（2）去分母得：3（x﹣2）=2（4﹣3x）+24，去括号得： 3x﹣6=8﹣6x+24，移项、归并得：9x=38 ，方程两边都x= ；12[3（x﹣）+ ]=5x﹣1，4x﹣2+1=5x﹣1，移项、归并得：x=0．评论：一元一次方程的解法：一般要经过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等步骤，把一个一元一次方程“转变”成 x=a的形式．解题时，要灵巧运用这些步骤．15．（A 类）解方程： 5x﹣2=7x+8 ；（B 类）解方程：（x﹣1）﹣（ x+5）=﹣；（C 类）解方程：．考点：解一元一次方程．专题：计算题．剖析：经过去分母、去括号、移项、系数化为1 等方法，求得各方程的解．解答：解：A 类：5x﹣2=7x+8移项： 5x﹣7x=8+2化简：﹣2x=10即：x=﹣5；B 类：（x﹣1）﹣（x+5）13=﹣去括号： x﹣﹣x﹣5=﹣化简： x=5即：x=﹣；C 类：﹣=1去分母： 3（4﹣x）﹣2（2x+1）=6去括号：12﹣3x﹣4x﹣2=6化简：﹣ 7x=﹣4即：x= ．评论：本题主要考查一元一次方程的解法，比较简单，但要仔细运算．16．解方程（1）3（x+6）=9﹣5（1﹣2x）（2）（3）（4）考解一元一次方程．点：专计算题．题：分（1）去括号此后，移项，归并同类项，系数化为 1 即可求解；析：（2）（3）第一去掉分母，再去括号此后，移项，归并同类项，系数化为 1 此后即可求解；（4）第一依据分数的基天性质，把第一项分母中的化为整数，再去分母，求解．解解：（1）去括号得： 3x+18=9 ﹣5+10x答：移项得： 3x﹣10x=9﹣5﹣1814归并同类项得：﹣ 7x=﹣14则 x=2；（2）去分母得： 2x+1=x+3 ﹣5移项，归并同类项得： x=﹣3；（3）去分母得： 10y+2（y+2）=20﹣5（y﹣1）去括号得： 10y+2y+4=20 ﹣5y+5移项，归并同类项得： 17y=21系数化为 1 得：；（4）原方程能够变形为：﹣5x=﹣1去分母得： 17+20x﹣15x=﹣3移项，归并同类项得： 5x=﹣20系数化为 1 得：x=﹣4．点解方程的过程中要注意每步的依照，这几个题目都是基础的题目，需要娴熟掌握．评：17．解方程：（1）解方程： 4x﹣3（5﹣x）=13（2）解方程： x﹣﹣3考点：解一元一次方程．专题：计算题．剖析：（1）先去括号，再移项，化系数为 1，进而获得方程的解．（2）这是一个带分母的方程，因此要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1，进而得到方程的解．解答：解：（1）去括号得： 4x﹣15+3x=13 ，移项归并得：7x=28，系数化为 1得：得 x=4；（2）原式变形为x+3=15，去分母得： 5（2x﹣5）+3（x﹣2）=15（x+3 ），去括号得 10x﹣25+3x ﹣6=15x+45 ，移项归并得﹣2x=76 ，系数化为 1得：x=﹣38．评论：本题考察解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为 1．注意移项要变号．2 33 18．（1）计算：﹣4 × +|﹣2|×（﹣）2 2（2）计算：﹣ 1 ﹣﹣ |÷×[﹣2﹣（﹣ 3）] （3）解方程： 4x﹣3（5﹣x）=2；（4）解方程：．考点：解一元一次方程；有理数的混淆运算．剖析：（1）利用平方和立方的定义进行计算．（2）按四则混淆运算的次序进行计算．（3）主假如去括号，移项归并．16乘最小公倍数去分母，再求值．解答：解：（1）﹣24×+|3﹣2|×（﹣）3==﹣1﹣1=﹣2．2（2）﹣1﹣﹣|÷×[﹣2﹣2（﹣3）]==== ．（3）解方程：4x﹣3（5﹣x）=2去括号，得 4x﹣15+3x ）=2移项，得4x+3x=2+15归并同类项，得 7x=17系数化为 1，得．去分母，得15x﹣3（x﹣172）=5（2x﹣5）﹣3×15去括号，得15x﹣3x+6=10x ﹣25﹣45移项，得 15x﹣3x﹣10x=﹣25﹣45﹣6归并同类项，得 2x=﹣76系数化为 1，得 x=﹣38．评论：前两道题考查了学生有理数的混淆运算，后两道考察了学生解一元一次方程的能力．19．（1）计算：（1﹣2﹣4）×；（2）计算：÷；（3）解方程： 3x+3=2x+7 ；（4）解方程：．考点：解一元一次方程；有理数的混淆运算．专题：计算题．剖析：（1）和（ 2）要娴熟掌握有理数的混合运算；（3）和（ 4）第一熟习解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1．解答：解：（1）（1﹣2﹣4）×18=﹣=﹣13；（2）原式 =﹣1×（﹣4﹣2）×（﹣）=6×（﹣）=﹣9；（3）解方程：3x+3=2x+7移项，得 3x﹣2x=7﹣ 3归并同类项，得 x=4；（4）解方程：去分母，得 6（x+15）=15﹣10（x﹣7）去括号，得6x+90=15 ﹣10x+70移项，得6x+10x=15+70﹣90归并同类项，得 16x= ﹣5系数化为 1，得 x= ．评论：（1）和（ 2）要注意符号的办理；（4）要特别注意去分母的时候不要发生数字漏乘的现象，娴熟掌握去括号法则以及归并同类项法例．20．解方程（ 1）﹣（x﹣5）=1；（2）．19考点：解一元一次方程．剖析：（1）经过去括号、移项、系数化为 1 等过程，求得 x的值；（2）经过去分母以及去括号、移项、系数化为 1 等过程，求得 x的值．解答：解：（1）﹣（x﹣5）=1；去括号得：﹣0.2x+1=1 ，∴﹣0.2x=0 ，∴x=0 ；（2）．去分母得：2（x﹣2）+6x=9（3x+5）﹣（1﹣2x），∴﹣21x=48 ，∴x=﹣．评论：本题主要考查了一元一次方程解法，解一元一次方程常有的过程有去括号、移项、系数化为 1 等．21．解方程：（x+3 ）﹣2（x﹣1）=9﹣3x．考点：解一元一次方程．专题：计算题．剖析：先去括号得x+3﹣2x+2=9﹣3x，而后移项、归并同类获得 2x=4 ，然20后把 x 的系数化为 1 即可．解答：解：去括号得x+3﹣2x+2=9﹣3x，移项得 x﹣2x+3x=9 ﹣3﹣2，归并得 2x=4，系数化为 1 得x=2．评论：本题考察了解一元一次方程：先去分母，再去括号，接着移项，把含未知数的项移到方程左侧，不含未知数的项移到方程右侧，而后合并同类项，最后把未知数的系数化为 1获得原方程的解．22．8x﹣3=9+5x ．5x+2（3x﹣7）=9﹣4（2+x ）．．．考点：解一元一次方程．专题：方程思想．剖析：本题是解 4 个不一样的一元一次方程，第一个经过移项、归并同类项及系数化 1求解．第二个先去括号再经过移项、合并同类项及系数化 1 求21解．第三个先去分母再同第二个．第四个先分子分母乘以 10，再同第三个求解．解答： 8x﹣3=9+5x ，解： 8x﹣5x=9+3，3x=12，∴x=4 ．∴x=4 是原方程的解；5x+2（3x﹣7）=9﹣4（ 2+x），解： 5x+6x ﹣14=9﹣8﹣4x，5x+6x+4x=9﹣8+14，15x=15，∴x=1 ．∴x=1 是原方程的解．．解：3（ x﹣1）﹣2（2x+1）=12，3x﹣3﹣4x﹣2=12，3x﹣4x=12+3+2 ，﹣x=17，∴x=﹣17．∴x=﹣17 是原方程的解．，解：，22=4（10x+1 ）+40，50x﹣15=40x+4+40，50x﹣40x=4+40+15，10x=59，∴x= ．∴x= 是原方程的解．评论：本题考察的知识点是解一元一次方程，要点是注意解方程时的每一步都要认真认真，如移项时要变符号．23．解以下方程：（1）﹣﹣（x﹣1）；（2） = ﹣2．考点：解一元一次方程．剖析：（1）第一去括号，而后移项、归并同类项，系数化成1，即可求解；（2）第一去分母，而后去括号，移项、归并同类项，系数化成 1，即可求解解答：解：（1）去括号，得：归并同类项，则 x=4；移项，得：（2）去分母0.5x+1.3x=5.23得：7（1﹣2x）（4）第一去=3（3x+1）﹣分母，而后去42，括号、移项，去括号，得：归并同类项，7﹣14x=9x+3而后系数化﹣42，成 1 即可求移项，得：﹣解．解答：解：（1）14x﹣9x=3﹣42﹣7，，归并同类项，；得：﹣23x=﹣（2）3x﹣46，则 x=2 ．2x=6﹣8，评论：本题考察解 x=﹣2；一元一次方程，解一元一（3）次方程的一 2x+3x+3=5 ﹣般步骤是：去 4x+4，分母、去括 2x+3x+4x=5+号、移项、合 4﹣3，并同类项、化 9x=6，系数为 1．注x= ；意移项要变号．（4）2（x+1 ）24．解方程： +6=3（3x﹣（1）﹣0.5+3x=10 ；2），（2）3x+8=2x+6 ；2x+2+6=9x ﹣（3）2x+3 （x+1 ）=5﹣4（x﹣1）；6，2x﹣9x=﹣6 （4）．﹣2﹣6，﹣7x=﹣14，考点：解一元一次 x=2．方程．评论：本题考察解剖析：（1）移项，一元一次方归并同类项，程，解一元一而后系数化次方程的一成 1 即可求般步骤是：去解；分母、去括（2）移项，号、移项、合归并同类项，并同类项、化而后系数化系数为 1．注成 1 即可求意移项要变解；号．（3）去括号、移项，归并同25．解方程：．类项，而后系数化成 1即可求解；考点：解一元一次24方程． 5x=12+15，专题：计算题．归并同类项，剖析：方程两边乘得以 10 去分母5x=27，后，去括号，方程的两边移项归并，将同时除以 5，x 系数化为 1，得即可求出解．x= ；解答：解：去分母得：5（3x﹣1）﹣2（5x﹣6）（2）去括号，=2，得去括号得：=15x﹣5﹣10x+12=2 ，，移项归并得：方程的两边同时乘以 6，5x=﹣5，解得：x=﹣1．得评论：本题考察了 x+1=4x ﹣2，解一元一次移项、归并同方程，其步骤类项，得为：去分母， 3x=3，去括号，移项方程的两边归并，将未知同时除以 3，数系数化为得1，求出解． x=1．评论：本题考察解26．解方程：（1）10x﹣12=5x+15 ；（2）一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分考点：解一元一次母、去括号、方程．移项、归并同专题：计算题．类项、化系数剖析：（1）先移项，为 1．注意移再归并同类项要变号．项，最后化系数为 1，进而27．解方程：获得方程的（1）8y﹣3（3y+2）=7解；（2）．（2）先去括号，再移项、归并同类项，考点：解一元一次最后化系数方程．为 1，进而得专题：计算题．到方程的解．剖析：（1）依据一解答：解：（1）移项，元一次方程得的解法，去括10x﹣号，移项，合25。
一元一次方程例题讲解及答案.doc
一元一次方程例题讲解及答案.doc去括号，得12 兀+ 66-25 + 10x30. 移项、合并同类项，得22 兀=-11.解这个方程，得例3列方程求下列问题的解:in = -6 —元一次方程课标要求：1?解一元一次方程及其解的意义.2.理解方程变形的基木原理，能在解方程屮正确应用.3.掌握一元一次方程中移项、系数化为1等基本步骤，会解一元一次方程，并会对方程的解进行检验.4.能根据具体情境中的数量关系，列出方程，解决简单的实际问题.中招考点一元一次方程概念及解法，一元一次方程的应用，能利用一元一次方程解决生活屮的实际问题.典型例题例1解方程生巴一土空=1.6(2X4-11)-5(5-2X)=1X 30.系数化为1,得说明：注意在解方程过程中正确进行有理数及整式的运算，步骤不宜过于简单. 例2已知兀=-2是关于兀的方程2(x-m) = 8x-4m的解，求加的值.分析：本题已知方程的解，要求方程中待确定的字母系数，可以像解数字系数的方程一样, 先求出方程的解，再进行比较；也可以根据方程的解的定义：能使方程两边代数式的值相等的未知数的取值叫做方程的解，将工=-2代入原方程，转化为关于加的方程求解.解1解关于兀的方稈：lx-Im = 8x-4m .因为已知方程的解是兀=-2,所以巴=-2,即m=-63解2因为x = -2是方程的解，所以2(-2-m) = 8(-2) 一4/n .解：去分母,强化训练1.选择题(1)下列方程变形正确的是(Y — 1A?由 -- =0得x-l = 55r — 1C.由---- =1 得X -1 = 55 ）.YB.由一一1 = 0得x-l = 05D?由兰一1 = 1得兀一5 = 1(1)甲乙两车分别从相距360千米的两地相向开出，己知甲车速度是60千米/小时.乙车速度是40千米/小时.若甲车先开1小时，问乙车开出多少时间后两车相遇？(2)小陈和老师一起整理了一篇教学材料，准备打印成稿.按篇幅估计老师单独打字需4个小时，小陈单独打字需6个小时，后来小陈先打了一个小时后，老师开始一起打.问还需多少小时完成？分析：方程是刻画现实世界数量之间相等关系的一个重要数学模型，通过对实际问题中数量关系的分析，列出相关的代数式，进而建立方程，可以把复杂的实际问题转化为纯数学问题来解决.这一过程的关键是要透过纷繁多变的问题的表象，抓住数量关系的实质，抽象为数学问题.因此，常有面目迥异的情形，在学习屮我们不能机械地记忆、套用某些题型而忽略了问题的本质.像上述两个问题，不论是甲、乙两车还是师、生两人，主要的等量关系都是两个对象所完成数量的和等于总量，而其中一个对象所完成的数量又分为两部分；前一小时的和后來的.请同学们注意强化训练第8题两个问题中数量关系和解法的比较. 解：(1)设乙车开出兀小时后两车相遇，根据题意，得60（1 + 兀）+ 40x = 360 ?解这个方程得经检验，符合题意.答乙车开出3小吋两车相遇.(2)设老师开始打字后还需兀小时完成,扣+兀）+*=1.解这个方程得答老师开始打字后还需要2个小时完成.D.(2)下列方程后所列出的解不正确的是().x 2 ----- 1—23(2) 0.7x +1.37 = 1.5x-0.23；(3) x-3(20-x) = 3x-7(9-x)；(4)2x-ll + 4x5(5)A.7B. ±7 C ?3 D ?7 或 3(4) 一种书包经两次降价10%,现在售价Q 元，则原售价为( )元.A. 81%? C ?80%aD.-^81% 80%2 .填空题(1) 若关于兀的方程、x = 5-k 的解是x = -3 ,则比= __________________ .3 (2) 当兀= ___________ 时，代数式2x4-3与6-4兀的值相等. 3. 解下列方程：(1) 3x-2 = -5(x-2)；4.当x = -2时，代数式x 2+bx-2的值是12,求当x = 2时，这个代数式的值.5. 初一 (4)班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了 5元，后来组长收了每人8元，自己多付了 2元，问两副乒乓球板价值多少？3y+ 6856(6)6 ?请你编制-道关于兀的方程，形如一咛冷使它的解在】到2之间.7.已y = ax3 +bx-8,当x = 3时，y = 5 .求当兀=一3日寸，y的值.8.应用方程解下列问题：(1)某车间原计划每周装配36台机床，预计若干周完成任务，在装配了三分之一后，改进操作技术，功效提高了一倍，结果提前一周半完成任务?求这次任务需装配的机床总台数.(2)某人有急事，预定搭乘一辆小货车从A地赶住B地，实际上他乘小货车行了三分路后改乘出租车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达.己知小货车的车速是36千米 /小时，求两地间的路程.一元一次方程参考答案13 11.(1) C (2) C (3) D (4) B2. (1) 6 (2) 一3?(1) x = - (2) x = 2(3) x = -2 2 27(4) x = —(5) y = 2(6) j = -6 4. -8 (提示：先求得方=一5 ) 5?两副乒乓球拍2价值58元6?略(提示：本题解答不唯一，任収符合条件的一个根，如x = -,代入原方程，2即能得到一个对应的加的值)7. -21 (提示：将已知条件代入后可求得27a + 36 = 13,当兀=一3 时，j =-27a-3^-8 =-(27a+ 3*)-8 = -13-8 = -21 )2 28. (1)装配机床总台数162台(提示：设共装配机床x台，根据题意，3—二一--；或72 36 2设共装配机床3兀台，根据题意，得竺二—72 36 2(2)两地间的路程为162千米(提示：与第(1)题具有相同的等量关系和方程)解：(1)由②得代入①，得解得代入③，得所以方程组的解是(2)①+(§)x6,得即代入①，得x = 7 -3y.3(7-3J)-4J =-5.y = 2.x = 1.x = l,y = 2.32 兀= 16,1x =—,2J = -l第6部分二元一次方程组课标要求1.了解二元一次方程组及其解的概念，会将二元一次方程化为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，会检验未知数的一组对应值是否为二元一次方程的解.2.了解二元一次方程组、方程组的解、解方程组等基本概念，掌握用消元法解方程组的基本思想；通过“消元”，转化为一元一次方程.3.会灵活应用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组.4.能应用二元一次方程组解决简单的实际问题.中招考点二元一次方程概念及解法，代入法和加减法解方程组，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，会检验未知数的一组对应值是否为二元一次方程的解，能应用二元一次方程组解决简单的实际问题.典型例题例1解下列方程组：j3x-4J = -5, ①小严①(1)—(2) 5 1 _x+ 3j = 7; ②5x + —y = 2.②2分析：要结合方程组中方程的系数特征，合理选择消元的方法?通常方程中系数比较简单，尤其当一个未知数系数的绝对值是1时，可选用代入消元法，一般常采用加减消元法.Y =—所以方程组的解是2'y=~1 2例2已知关于工、y的方程组戶[尸& 与[x-2y = 5y有相同的解，求（l-2m）x + 2y = \-n ?[兀兀 + 丿=m + 1.“2、兀值?分析：这里两个方程组屮都有待定系数，但并未知道具体的解，不能应用方程解的定义，代入后转化为关于加、H的方程来解.注意到两个方程组中都有一个方程的系数是已知的.且根据方程组的解的定义，本题“相同的解”也就是方程组!2x_3j=8,的解，因此，这个解可[x-2y = 5.y* — 1 f 1 — 2"? — 4 _ 1 —U以先予求出：~ :这时再将它代入另两个方程组，得几 ~ '[y = -2. [n-2 = m + 1.解这个方程组，得m = -l,7i = 2.例3某公园的学生门票价格如下：1 初一甲、乙两个班共104人，若分别购票，需1240元.两个班合起来购票，能否节约一些？或己知甲班人数稍多一些，请求出两班各有多少人？2若不知道两班学生总数及各班人数的多少，你能求出各班人数吗？分析本题具有较大的开放性?在第（1）个问题中，首先应根据题意，判断各班人数的大致范围：两班共104人，则至少有一个班级人数50,但总票价1240元不是11的倍数，说明另一个班级人数不超过50.根据这些信息，可以着手应用列方程组求解.在第二个问题中，减弱了条件，两班学生的总数也是未知数.比较上述分析，共同之处是两班人数不可能是同一范围内的数（因为1240不是13、11、9的倍数），不同之处是少了一个方程.则应该用到求二元一次方程的整数解的知识，同吋还应根据实际情况，选取合适的解.解（1）设初一甲班学生兀人，初一乙班学生y人，根据题意，两班票价总数1240不是13 或11的倍数，所以甲班人数大于50,乙班人数小于50.可得方程组x + y = 104,llx + 13j = 1240?1240-13兀n = 112—兀 +8-2x11= 112—兀 +2(4-兀)H(1)3兀一丿=2,5x + 4y = 1.3x + 5y = 42.(4)j5/n +7" = 26,[4,72 + 6〃= 18. 解这个方程组，得经检验，符合题意.y = 4&答：初一甲班学生56人，初一乙班学生48人.(2)设两个班级人数分别为兀人和y人，根据实际情况，其屮兀、J 的值是不超过100的正整数，且X ＜卩根据题意，得方程13x + llj = 124 0?将方程变形为含X的代数式表示”得所以4-x是11的倍数，依次取工=4,15,26,37,48.求出对应的y = l 0& 95,82,69,56.根据实际情况，我们选取甲、乙两班人数分别为37人、69人、69人、37人、48人、56人或56人、48人四种比较合理的解答.强化训练1?填空题(1)已知4兀+ 5y —20 = 0 ,用含工的代数式表示只得___________________________当y = _4 时，X= ______________________________ .(2)己知x = 3』=一2是关于兀、丿的方程2兀一加丿+ 2加一2 = 0的解，贝【J：m= _______ .(3)己知|2x +J-3|+(X-3J +2)2 =0 ,贝ij x-y= ___________________(4)己知关于的方程组：%二亠的解’与y相等’则" ------------------------------------2.解下列方程组:(2) x3-t 丄、，十门.e 小「2兀一y = 2a + b 3.已知关于兀、丿的万程组彳 .[x^2y = a-b.的解是｛二求…的值.4.已知当x = l 吋,代数式ax + b 的值等于2；当x = 2吋,代数式ax+ b 的值是1.求当x = 5 时，这个代数式的值.5?甲、乙两件商品成本共400元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价.后应顾客的要求，两种商品都按定价的90%出售，商店仍获利55?4元.求两种商品的成本各是多少？6. 求方程4x + 3y = 31的正整数解.7. 探索用适当的方法解下列方程组:(1)8. 某校课外阅读小组同学每人订甲、乙两份杂志，甲杂志是月刊，每月一期定价2?2元：乙杂志是双月刊，两个月一期定价2?6元.每位同学都是一份杂志订半年，另一份杂志订全年. 经统计，甲杂志订费858元，乙杂志订费429元，求这个阅读小组的人数.J17x + 23j = 57, [23兀+ 17y = 63;x + y-z = 5, (3) ? 2x + 3j+ z = 10,x-2y-z = 20.第6部分二元一次方程组1. (1) 丁=20一4兀］05 (2) -1 (3) 0 (4) 4 2. (1)9x ——,17 (2)7 y = ?17口⑶y = 6.X =29 7 = -!(4)m = 15.n = —7.3a = 2° 4. -2 5?甲商品成本260元，乙商品成本140元b = -5.商品成本兀元，乙商品成本J元，根据题意得方程组x + j = 400,x(l + 30%) x 90% + y (1 + 20%) x 90% = 400 + 55.4 6.x2 =4,兀1 =y=9; J2=5;l j3=l.（提示:I — x先将方程化为y = 10-x + —；或先确定y是1与9之间的奇数）37. (1) X =29J = 1（提示：将两式分别相减和相加，得x-y = t)x+j=3?(2) x = l,1y = -2(3)35X~T,j = -5, 8?这个阅读小组有40人（提示：设订甲种杂志全年的学5 Z_3'生兀人，订乙种杂志全年的学生y人，列方程组2.2x12兀+ 2?2x6y = 85& 曰解得＜〔2.6x3 兀+ 2?6x6y = 429.x = 25,)y = 15.。
一元一次方程应用题（含答案解析）
一元一次方程应用题（含答案解析）一元一次方程应用题知能点1：市场经济、打折销售问题×100%（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售．1. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？2. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？3.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（）A.45%×（1+80%）x-x=50B. 80%×（1+45%）x - x = 50C. x-80%×（1+45%）x = 50D.80%×（1-45%）x - x = 504．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折．5．一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”．经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价．知能点2：方案选择问题6．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，?经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行精加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，?但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工．方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，?在市场上直接销售．方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．你认为哪种方案获利最多？为什么？7．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50?元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1?分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）．若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元．（1）写出y1，y2与x之间的函数关系式（即等式）．（2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？（3）若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？8．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。
一元一次方程经典例题讲解解析
一元一次方程知识点梳理1．一元一次方程的有关概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. 2．等式的基本性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
用字母表示若a=b ，则a+m=b+m ,a-m=b-m（2）等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 用字母表示：若a=b,则am=bm,n a =nb(n 不为0) 3．解一元一次方程的基本步骤：例1、解方程（1）y-522-=例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：73|12|=-x一元一次方程应用题（找出等量关系） 一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案． 1、数字问题要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a ，十位数字是b ，个位数字为c （其中a 、b 、c 均为整数，且1≤a ≤9， 0≤b ≤9， 0≤c ≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c 。
例1、 若三个连续的偶数和为18，求这三个数。
例2、 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
一元一次方程应用汇总及答案解析
一、一般行程问题（相遇与追击问题）1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x 千米，则列方程为 。
解：等量关系 步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时 列出方程是：6.3408=-x x 2、甲、乙两人在相距18千米的两地同时出发，相向而行，1小时48分相遇，如果甲比乙早出发40分钟，那么在乙出发1小时30分相遇，当甲比乙每小时快1千米时，求甲、乙两人的速度。
解：等量关系 甲行的总路程＋乙行的路程＝总路程 (18千米)设乙的速度是x 千米/时，则列出方程是： 18211)1(211321=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x3、某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系 ⑴ 速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程⑵ 速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟老师提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。
方法一：设预定时间为x 小/时，则列出方程是：15（x －0.25）＝9（x ＋0.25）方法二：设从家里到学校有x 千米，则列出方程是：60159601515-=+x x 4、在800米跑道上有两人练习中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，两人同时同地同向起跑，t 分钟后第一次相遇，t 等于 分钟。
老师提醒：此题为环形跑道上，同时同地同向的追击问题（且为第一次相遇）等量关系：快者跑的路程－慢者跑的路程＝800 （俗称多跑一圈） 320t －280t ＝800 t ＝205、一列客车车长200米，一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之比是3：2，问两车每秒各行驶多少米？老师提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。
人教版初一数学第三章一元一次方程典型例题及答题技巧
人教版初一数学第三章一元一次方程典型例题及答题技巧单选题1、下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（）A．若a(x2+1)=b(x2+1)，则a=b B．若a=b，则ac=bcC．若a=b，则ac2=bc2D．若x=y，则x−3=y−3答案：C解析：根据等式的性质，逐项判断即可．解：A、根据等式性质2，a（x2+1）=b（x2+1）两边同时除以（x2+1）得a=b，原变形正确，故这个选项不符合题意；B、根据等式性质2，a=b两边都乘c，即可得到ac=bc，原变形正确，故这个选项不符合题意；C、根据等式性质2，c可能为0，等式两边同时除以c2，原变形错误，故这个选项符合题意；D、根据等式性质1，x=y两边同时减去3应得x-3=y-3，原变形正确，故这个选项不符合题意．故选：C．小提示：此题主要考查了等式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．2、甲数是2019，甲数比乙数的14还多1，设乙数为x，则可列方程为（）A．4(x−1)=2019B．4x−1=2019C．14x+1=2019D．14(x+1)=2019答案：C 解析：根据甲数比乙数的14还多1，列方程即可．解：设乙数为x ，根据甲数比乙数的14还多1，可知甲数是14x +1，则 14x +1=2019 故选：C ．小提示：本题考查列一元一次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3、方程4(2x −1)−2(−1+10x)=2可化简为（ ）A ．8x −4−2−10x =2B ．8x −4+2−20x =2C ．8x +4+2−20x =2D ．8x −4+2−20x =0答案：B解析：根据去括号法则化简即可求得答案．解：4(2x −1)−2(−1+10x)=2，去括号，得：8x −4+2−20x =2，故选：B ．小提示：本题考查了解一元一次方程——去括号，熟练掌握去括号法则是解决本题的关键．．4、下列各式中，是方程的是（ ）A ．x−2y 3B ．14﹣5=9C ．a ＞3bD ．x=1答案：D解析：根据方程的定义：含有未知数的等式叫方程可得答案．A、没有等号，故不是方程，故此选项错误；B、等式中没有未知数，不是方程，故此选项错误；C、是不等式，不是方程，故此选项错误；D、符合方程的定义，是方程，故此选项正确；故选D．小提示：此题主要考查了方程，关键是掌握方程定义．5、若x=1是x+2x=a方程的解，则a的值是（）A．−1B．1C．−3D．3答案：D解析：将方程的解x=1代入方程求解即可.解：根据题意，将x=1代入方程x+2x=a，得a=1+2=3.故选：D.小提示：本题主要考查方程的解，解决本题的关键是要将方程解代入方程求解.6、下列式子中，是方程的是（）A．x−1≠0B．3x−2C．2+3=5D．3x=6答案：D解析：根据方程的定义，对选项逐个判断即可．解：A．不是等式，故不是方程，选项不符合题意；B．是多项式，不是等式，故不是方程，选项不符合题意；C．不含未知数，故不是方程，选项不符合题意；D．是含有未知数的等式，故是方程，选项符合题意；故选D．小提示：此题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，掌握方程的定义是解题的关键．7、小涵在2020年某月的月历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为30，则这三个数在月历中的排位位置不可能是（）A．B．C．D．答案：D解析：由月历表数字之间的特点可依次排除选项即可．解：由A选项可得：b=a+7,c=a+14，∴a+b+c=a+a+7+a+14=3a+21=30，解得a=3，故不符合题意；由B选项可得：b=a+6,c=a+12，∴a+b+c=a+a+6+a+12=3a+18=30，解得a=4，故不符合题意；由C选项得b=a+1,c=a+8，∴a+b+c=a+a+1+a+8=3a+9=30，解得a=7，故不符合题意；由D选项得b=a+6,c=a+14，∴a+b+c=a+a+6+a+14=3a+20=30，，故符合题意；解得a=103故选D．小提示：本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．8、某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要两个螺母与之配套，如何安排生产螺栓才能让螺栓和螺母正好配套？设有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依题意列方程应为（）A．12x=18(28−x)B．2⋅12x=18(28−x)C．12⋅18x=18(28−x)D．12x=2⋅18(28−x)答案：B解析：设有x名工人生产螺栓，则(28−x)人生产螺母，根据一个螺栓需要两个螺母与之配套，列出一元一次方程解决问题．设有x名工人生产螺栓，则(28−x)人生产螺母，依题意得,2×12x=18(28−x),故选B．小提示：本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．填空题9、若关于x的方程3x m−2−3m+6=0是一元一次方程，则这个方程的解是__________．答案：x=1解析：利用一元一次方程的定义求解即可．∵关于x的方程3x m-2-3m+6=0是一元一次方程，∴m-2=1，解得：m=3，此时方程为3x-9+6=0，解得：x=1，故答案为x=1.小提示：此题考查一元一次方程的定义以及解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．10、若（a﹣1）x|a|+4＝﹣6是关于x的一元一次方程，则a＝_____．答案：-1解析：根据一元一次方程的特点求出a的值．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．解：根据题意知：|a|＝1且a﹣1≠0．解得a＝﹣1．故答案是：﹣1．小提示：本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程的定义．11、请阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，四只栖一树，五只没处去，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗中谈到的鸦为_____只，树为_____棵．答案： 45 10解析：本题涉及两种分配方法，关键是不管怎么分配鸦的总数是不变的，可设树有x棵，即可列方程：4x+5＝5(x﹣1)求解．解：设树有x棵依题意列方程：4x+5＝5(x﹣1)解得：x＝10所以树有10棵，鸦的个数为：10×4+5＝45故答案为45，10小提示：本题是典型的分配问题．不管怎么分配鸦的个数是不变的是解题关键．12、明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意：有一群人分银子，如果每人分七两银子，那么剩余四两；如果每人分九两银子，那么还差八两．请问所分的银子共有________两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）答案：46解析：可设有x人，根据有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，根据所分的银子的总两数相等可列出方程，求解即可．解：设有x人，依题意有7x+4=9x−8，解得x=6，故7x+4=42+4=46，即所分的银子共有46两，所以答案是：46．小提示：本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目中所分的银子的总两数相等的等量关系列出方程，再求解．13、如果5x n−2=3是一元一次方程，那么n=________．答案：3解析：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可得出关于n的方程，继而可求出n的值．解：根据题意，得n-2=1，解得n=3．所以答案是：3．小提示：本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1．解答题14、如图，将数轴在原点O与点C处各折一下得到“折线数轴”，点A表示8，点B表示20，点C表示12，我们称点O与点B在“折线数轴”上相距20长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒速度沿“折线数轴”正向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点B出发，以1单位/秒速度沿数轴负向运动，从点C运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设它们运动的时间为t秒．（1）直接写出点A与点C在“折线数轴”上相距的长度单位数；（2）动点P从点A运动至点B，动点Q从点B运动至点A，各需要多少时间？（3）当P，Q两点在点M相遇时，点M所对应的数是多少？答案：（1）20；（2）20，22；（3）203.解析：（1）由题意直接用点C所表示的数减去点A所表示的数即可；（2）根据题意直接用每段路程除以各自的速度，分别计算即可得出答案；（3）由题意根据相遇时P，Q的时间相等，所走路程即为AB的距离可得方程，进而解方程，可得答案. 解：（1）由题意可得点A与点C在“折线数轴”上相距的长度单位数为：12−(−8)=20；（2）动点P从点A运动至点B，需要的时间为：[0−(−8)]÷2+(12−0)÷(2÷2)+(20−12)÷2=8÷2+12÷1+8÷2=4+12+4=20（秒）；动点Q从点B运动至点A，需要的时间为：(20−12)÷1+(12−0)÷(1×2)+[0−(−8)]÷1=8+6+8=22（秒）；（3）设它们运动的时间为t秒，由题意可得：0−(−8)+(t−82)+(20−12)+2(t−8)=20−(−8)解得：t=323，所以点M所对应的数是：323−4=203.小提示：本题综合考查数轴与有理数的关系以及一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用．15、根据市场调查，某厂某种消毒液的大瓶装(500g) 和小瓶装(250g) 两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2：5．该厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应分装大、小瓶两种产品各多少瓶？答案：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶解析：设这些消毒液应该分装x 大瓶，y 小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x ，y 的值，即可求解． 解：设这些消毒液应该分装x 大瓶，y 小瓶由题意得 {5x =2y 500x +250y =22500000解得 {x =20000y =50000答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶．小提示：本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．。
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一元一次方程知识点梳理1．一元一次方程的有关概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程. 2．等式的基本性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
用字母表示若a=b ，则a+m=b+m ,a-m=b-m（2）等式的两边都乘以同一个数或都除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 用字母表示：若a=b,则am=bm,n a =nb(n 不为0) 3．解一元一次方程的基本步骤：例1、解方程（1）y-522-=例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程104x x =-的解与方程522x m +=的解相同，求m 的值.例3 、解方程知识与绝对值知识综合题型 解方程：73|12|=-x一元一次方程应用题（找出等量关系） 一 、列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意．（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案． 1、数字问题要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a ，十位数字是b ，个位数字为c （其中a 、b 、c 均为整数，且1≤a ≤9， 0≤b ≤9， 0≤c ≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c 。
例1、 若三个连续的偶数和为18，求这三个数。
例2、 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数等量关系：原两位数+36=对调后新两位数例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．2、日历中的规律：横行相邻两数相差____竖行相邻两数相差___。
例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期___________例2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2个数，则它们的和一定能被___________整除。
A 3 B 4 C 5 D 6例3、如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几？3、等积变形问题常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。
例1、用直径为4cm 的圆钢，锻造一个重0.62kg 的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重7.8g ，应截圆钢多长？例2. 用直径为90mm 的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为1251252⨯mm 内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm ？（结果保留整数π≈314.） 4、 和、差、倍、分问题：倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
（1）劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化. 例1.某厂一车间有64人，二车间有56人。
现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间？例2．甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。
（2）配套问题：例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）例2. 机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？解：设分别安排x 名、()85-x 名工人加工大、小齿轮31621085()[()]x x =-4817002068170025x xx x =-== ∴-=8560x 人答：略.（3）分配问题：例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
例2. 三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？（比例分配问题 常用等量关系：各部分之和＝总量。
）（4）年龄问题：例1、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多少岁？例2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄。
5、工程问题工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
例1. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？分析设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
解：设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(115+112)×3+x12=1，...................例2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？6、 打折销售问题（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等 （2）基本关系式：①利润＝售价—进价；②售价=标价×折数；③利润率＝利润/进价 。
由①②可得出④利润＝标价×折数－进价。
由③④可得出⑤利润率＝ 。
例1、一件衣服标价是200元，现打7折销售。
问：买这件衣服需要多少钱？若已知这件衣服的成本（进价）是115元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？利润是多少？例2、某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，问这次售货员是赔了还是赚了？7、行程问题。
（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点）要掌握行程中的基本关系：路程＝速度×时间。
相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：同时不同地：甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
例7. 甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
故可结合图形分析。
（1）分析：相遇问题，画图表示为：甲 乙 等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。
解：设快车开出x 小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480 解这个方程，230x=390 ∴ x=11623答：略. 分析：相背而行，画图表示为：600甲 乙等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。
解：设x 小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 ∴ x=1223答：略.（3）分析：等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程+480公里=600公里。
解：设x 小时后两车相距600公里，由题意得，(140－90)x+480=600 50x=120∴ x=2.4答：略. 分析：追及问题，画图表示为：甲 乙等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：设x 小时后快车追上慢车。
由题意得，140x=90x+480 解这个方程，50x=480 ∴ x=9.6 答：略.分析：追及问题，等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。
解：设快车开出x 小时后追上慢车。
由题意得，140x=90(x+1)+48050x=570 解得，x=11.4①答：略.环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和=一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。
（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度例：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．1、A、B两地相距150千米。
一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发，另一辆汽车以每小时40千米的速度从B地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距30千米？2、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？3、一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要2小时45分，逆风要3小时，已知风速是20千米／小时，则两城市间的距离为多少？4、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥，用了半分钟，则火车本身的长度为多少米？5、火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求列车的长度。
5．市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润商品成本价×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．8．储蓄问题七、银行储蓄问题。