l二次根式竞赛专题
专题01 二次根式的概念及性质(知识精讲+综合训练)(原卷版)
章节复习知识精讲与综合训练专题01 二次根式的概念及性质知识点01 二次根式的概念1（10a ³）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数．（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．即两个特性（双重非负性）⎩⎨⎧³³00a a 【典例分析】1．下列式子一定是二次根式的是（）ABCD2是整数，则a 能取的最小整数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33a 的取值范围为（ ）A ．1a ³-B ．2a ¹C ．1a ³-且2a ¹D ．1a >-4．若2m =+，则m n -=（ ）A ．425B ．254C ．254-D ．425-5=-a 的取值范围是（ ）A ．20a -££B ．0a £C ．a<0D ．2a ³-知识点02 二次根式的性质1、二次根式的性质（1性质1(0)a a³；性质22；性质3=0a ³，0b ³）；知识精讲性质4（0a ³，0b >）．（2与a的关系：(0)0(0)(0)a a a a a >=-<⎩．【典例分析】6．观察下列式子：====…．请你按照规律写出第n （1n ³）个式子是( )A(n =-B=C(n =+D=7．实数a 、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简b ）A ．2a b -+B ．2b a -C ．a D ．B 8．已知xy ＞0，化简二次根式- ）ABC．D．9．实数a 、b的结果是（ ）A ．- 2a B ．2（a +b ）C ．2b D ．- 2b 10．实数a，b）A ．2b -B ．2a -C ．22ba -D ．0123x =+，则x 取值范围为（ ）A ．2233x -££B ．203x -££C ．203x ££D ．23x £-或23x ³2．当1a <- ）A ．1-B ．1C ．21a +D ．12a--3．已知0xy <）．AB．CD ．4．实数a，b ||a b ++化简的结果为（ ）A ．a B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b-+5．在下列各式中，计算正确的是（ ）A9=-B ．3=C ．(22=-D1=-6，3，…，3，；L ；若()14，，()23， ）A ．()64，B ．()53，C ．()52，D ．()65，7．若实数a 、b 、cA ．a c -B ．2a b c --+C ．a c --D ．a c -+8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）综合训练A B C D9．x ）A ．0B ．1-C ．2-D ．3-10．下列各式中，正确的是（）A 5=±B 142=C =D 210-=-二、填空题11．对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种运算※如下：a b =※，例如23==※62=※____________．12．实数a ，b 化简的值是___________．13)12x <<=___________．14a 的取值范围是_____________________．15．已知等腰三角形ABC 0BC =，则此三角形的周长为___________.16．如果2、5、m _____．17＝_____．18．若22m n x y --与423m n x y +是同类项，则3m n -的平方根是____________．19a =，则a =_____________．20．若3y =，则xy =________．三、解答题21．求代数式a 的值，其中2022a =-．如图，小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．(1)___________的解法是错误的；(2)求代数式a+的值，其中4a=22．已知关于x、y的二元一次方程组325342x y ax y a+=⎧⎨+=-⎩①②的解互为相反数．(1)求a的值；(2)若b为3c23．当2022a=时，求a的值．如图是小亮和小芳的解答过程：(1)__________的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：____________________；(3)当3a>|1|a-的值．。
初中数学竞赛中“二次根式”问题的解法
数学竞赛中二次根式问题的解法一、定义相夹法当a ≥0时，a 叫做二次根式，据此由a ≥0与a ≤0得出a=0，从而对所求式进行化简。
例1、1993)33342(a a a aa x --+--+-=的个位数字是 。
例2、等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不相等的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 。
二、运用0≥aa 是一个非负数，常根据出生个非负数和为0，而断定各个数都是0，用于解多元方程及求值。
例3、已知x ，y ,z 是实数且满足024122=+++-+-z y z z y x ，则(y+z)x 的值为 。
三、分子有理化化分子为常数，分析分母特点，求出结论。
例4、若a ＞1，P=,119931993--a a q=,199311993a a --r=,119931993+-a a S=,199311993a a -+则p ，q ，r ，s 中取值最小的一个是例5、若x ≠0，则xx x x 44211+-++的最大值是 。
四、利用分式的运算法则(1)拆后分算，法则是：ac a b a c b +=+ 例6、化简：)32)(25(24335++++(2)拆后相消，法则是分母有理化。
例7、设M=199419931.....321211+++++，N=1-2+3-4+……+1993-1994，则2)1(+M N 的值是 。
(3)分解相约，法则是因式分解。
例8、化简：156310245--+-五、运用乘法公式例9、计算：)765).(765)(765).(765(++-+--+++六、配方法例10、若a ，b ，c 为两两不等的有理数，求证222)(1)(1)(1a c c b b a -+-+-为有理数。
七、换元法例11、当x=231+时，求代数式11.11111+--+----++x x x x x x x 的值。
二次根式(竞赛培训资料)
《二次根式》赛点简索：1. 二次根式的定义：形如()0≥a a 的式子叫二次根式。
2. 二次根式的性质：（1）()()02≥=a a a ；（2）()()⎩⎨⎧<-≥=002a a a a a a 3. 命题主要类型：（1）算术平方根的非负性及应用；（2）b a 2±型的双重根式化简；（3）aa =2的度应用；（4）根式的大小比较。
4. 二次根式问题处理：（1）利用二次根式的定义；（2）利用配方法；（3）利用a a =2转化为讨论绝对值；（4）若有b a -和a b -，则必有b a =；（5）利用平方法；（6）利用代数公式。
如：当0,0≥≥b a 时，()()b a ba b a -+=-，()()3233233b ab a ba b a +-+=+；（7）在根式的求值中，当含有字母时，不要忘记要分类讨论；（8）整体思想和降次思想可以同时使用；（9）设a 、b 、m 是有理数，且m 不是完全平方数，则当且仅当0==b a 时，有0=+m b a ；（10）得用分子或分母有理化。
其中：形如b a +与b a -的两个根式称为互为共轭根式。
典例讲解： 1. 计算：()()711571127654--+-2. 已知：7373-+=x ，7373+-=y ，求223103y xy x ++。
3. 设a 、b 为有理数，且133332-=--a b ，求a 、b 的值。
4. 设20021312111++++=a ，求[]a 的值。
5. 化简：5210452104++++-6. 若b a ≠，a 、b 、b a -都是有理数，则a 和b （ ）A 、都是有理数B 、一个是有理数，另一个是无理数C 、都是无理数D 、是有理数还是无理数不能确定 7. 如果N 是自然数，且()1236+<+<N N ，则N 的值是___________。
8. 已知：12433++=a ，那么32133aa a ++=_____________。
二次根式--2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编(含解析)
二次根式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)4+15+4-15=．2(2024·全国·九年级竞赛)已知x为实数，则x-2+4-x的最大值为．3(2024·全国·八年级竞赛)定义一种新的运算“@”：x@y=ax+by，其中a、b为常数，且使得等式a-2-8-4a+a b=12恒成立，那么2@3=．4(2024·全国·八年级竞赛)计算：2+520172-52017=．5(2024·全国·八年级竞赛)若不等式x+4+x-1≥a-x-2-2对任意实数x都成立，则a的最大值为．6(2024·全国·八年级竞赛)计算12×1327+75+313-48-24-3232=．7(2024·全国·八年级竞赛)计算：2009×2010×2011×2012+1-2009=．8(2024·全国·八年级竞赛)化简：-(x+1)2=．9(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x满足20122-4024x+x2+x-2013=x，则x-20122=．10(2024·全国·八年级竞赛)计算：1+20092+2009220102-12010=．11(2024·全国·八年级竞赛)5+26+5-26=．12(2024·全国·八年级竞赛)计算：(π+999)0-12+-3+8+(-1)3+(2+1)23-22=．13(2024·全国·九年级竞赛)已知正整数a、b满足等式a+b=369，则a-b=．14(2024·全国·七年级竞赛)计算：1-2+2-3+3-4+⋅⋅⋅+2016-2017=．15(2024·全国·九年级竞赛)计算：9+18-27=．16(2024·全国·八年级竞赛)若实数a满足a-8+a-2015=a，则a=．17(2024·全国·八年级竞赛)已知-2<x<3，则x2-6x+9-x2+4x+4化简为．二、单选题18(2021·全国·九年级竞赛)设n,k为正整数，A1=(n+3)(n-1)+4,A2=(n+5)A1+4,A3=(n+7)A2+4，A4=(n+9)A3+4,⋯,A k=(n+2k+1)A k-1+4,⋯，已知A100=2005，则n的值为( )．A.1806B.2005C.3612D.410019(2011·湖北黄冈·九年级竞赛)设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是4-23，则a2+b2 ab的值为()A.2B.0C.-2D.-120(2024·全国·八年级竞赛)若二次根式x-2在实数范围内没有意义，则x的取值范围是() A.x<2 B.x≤2 C.x>2 D.x≥221(2024·全国·八年级竞赛)已知13-7的整数部分是m，小数部分是n，则m m+7n+mn的值为()A.10B.7C.6D.422(2024·全国·九年级竞赛)若1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，则ab的值为()A.18B.8C.2D.9223(2024·全国·八年级竞赛)已知75m 是整数，则满足条件的最小正整数m =( )．A.5B.0C.3D.7524(2021·全国·九年级竞赛)已知实数a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ,b +1 2=3-3b +1 ，则bb a+aa b的值为()A.23B.-23C.-2D.-13三、解答题25(2024·全国·八年级竞赛)若m 满足关系式2x +3y +4x +5y -m =x -2012+y +2012-x -y ，求m 的值．26(2024·全国·八年级竞赛)设等腰三角形的腰为a ，底边为b ，底边上的高为h ．(1)如果a =6+3，b =6+43，求h ；(2)如果b =46+2，h =26-1，求a ．27(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：(2x -1)2-(3x +2)(3x -2)+(5x -4)(x +2)，其中x =2．28(2024·全国·八年级竞赛)已知：y =3x -15+15-3x +4，求2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -12y 的值．29(2024·全国·八年级竞赛)已知a =4-15，求：(1)a -1a；(2)a 5-6a 4-16a 3+7a 2+23a -4 2008．30(2024·全国·八年级竞赛)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a-2+b2-10b+25=0．(1)求△ABC第三边c的取值范围；(2)求△ABC的周长l的取值范围；(3)若△ABC为等腰三角形，你能求出△ABC的周长吗？二次根式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)4+15+4-15=．【答案】10【分析】本题考查二次根式的运算，将式子进行平方，运用完全平方公式展开后化简，即可解答．【详解】∵4+15+4-152=4+152+24+15⋅4-15+4-152=4+15+216-15+4-15=8+2=10，又4+15>0，4-15>0∴4+15+4-15=10．故答案为：10．2(2024·全国·九年级竞赛)已知x为实数，则x-2+4-x的最大值为．【答案】2【分析】本题考查二次根式有意义的条件和配方法，掌握被开方数为非负数和配方法是解题关键．先确定x的取值范围，然后利用配方法分析其最值．【详解】解：由题意可得x-2≥04-x≥0，解得2≤x≤4，令y=x-2+4-x y≥0，则y2=x-2+4-x2=x-2+2x-24-x+4-x=2+2-x2+6x-8=2+2-x-32+1∵0≤-x-32+1≤1∴y2的最大值为4，∴y的最大值为2，即x-2+4-x的最大值为2．故答案为：2．3(2024·全国·八年级竞赛)定义一种新的运算“@”：x@y=ax+by，其中a、b为常数，且使得等式a-2-8-4a+a b=12恒成立，那么2@3=．【答案】1【分析】本题考查了二次根式的意义，幂的运算，求代数式的值，正确理解二次根式的意义是解答本题的关键．先根据二次根式的意义列出不等式组并求解，得到a=2，再代入方程求出b的值，从而得到x@y=2x -y，依此即可求得答案．【详解】根据题意得a-2≥08-4a≥0 ，∴a≥2 a≤2 ，∴a=2，将a=2代入a-2-8-4a+a b=12得0-0+2b=12，解得b=-1，∴x@y=2x-y，∴2@3=2×2-3=1．故答案为：1．4(2024·全国·八年级竞赛)计算：2+520172-52017=．【答案】-1【分析】本题主要考查了分式混合运算，平方差公式和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据相关的运算法则进行计算即可．【详解】解：2+520172-52017=2+52-52017=4-52017=-12017=-1．故答案为：-1．5(2024·全国·八年级竞赛)若不等式x+4+x-1≥a-x-2-2对任意实数x都成立，则a的最大值为．【答案】8【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，根据题设借助绝对值的几何意义得x+4+x-2有最小值为6，又由x-1≥0得出当x=1时，x+4+x-2+x-1的最小值为6，然后由不等式恒成立即可求解．【详解】解：x+4+x-1≥a-x-2-2，∴x+4+x-2+x-1≥a-2当-4≤x≤2时，x+4+x-2有最小值为6，∵x-1≥0，∴当x=1时，x+4+x-2+x-1的最小值为6，∴6≥a-2，∴解得a≤8，∴a的最大值为8，故答案为：8．6(2024·全国·八年级竞赛)计算12×1327+75+313-48-24-3232=．【答案】12【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，解题的关键是掌握运算法则．【详解】解：原式=23×13×33+53+3×33-43-26-3×632=23×33-6=12．7(2024·全国·八年级竞赛)计算：2009×2010×2011×2012+1-2009=．【答案】2010【分析】本题考查整式的混合运算、二次根式的性质，设参数计算是解答的关键．设a=2009，利用整式的混合运算法则和二次根式的性质是解答的关键．【详解】解：记a=2009，则原式=a a+1+1-aa+3a+2=a a+3+1-aa+2a+1=a2+3a+1-aa2+3a+2=a2+3a2+2a2+3a+1-a=a2+3a+12-a=a2+3a+1-a=a+12=a+1=2010，故答案为：2010．8(2024·全国·八年级竞赛)化简：-(x+1)2=．【答案】0【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由被开方数为非负数得到-x+12≤0，可确2≥0，即x+1定x+12=0，进而求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可得，-(x+1)2≥0，∴x+12≤0∴(x+1)2=0，∴-x+12=0=0，故答案为：0．9(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x满足20122-4024x+x2+x-2013=x，则x-20122=．【答案】2013【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得x-2013=2012，然后两边平方即可求解．【详解】解：∵x-2013≥0，∴x≥2013，∴x>2012．∵20122-4024x+x2+x-2013=x，∴2012-x2+x-2013=x，∴2012-x+x-2013=x，∴x-2012+x-2013=x，∴x-2013=2012，即x-2013=20122，故x-20122=2013．故答案为：2013．10(2024·全国·八年级竞赛)计算：1+20092+2009220102-12010=．【答案】2009【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式化简，熟练巧用完全平方公式是解本题的关键；首先化简为完全平方公式形式，然后根据二次根式开方即可解答．【详解】解：1+20092+20092 20102-12010=1+2010-12+20092 20102-12010=1+20102-2×2010+1+2009220102-1 2010=20102-2×2010+2+200920102-12010=20102-2×2010-1+200920102-12010=20102-2×2009+200920102-12010=2010-200920102-12010=2010-20092010-1 2010=2009．故答案为：2009．11(2024·全国·八年级竞赛)5+26+5-26=．【答案】23【分析】本题考查二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键．把原式化为3+22+3-22，再利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：5+26+5-26=3+22+3-22=3+2+3-2=23，故答案为：23．12(2024·全国·八年级竞赛)计算：(π+999)0-12+-3+8+(-1)3+(2+1)23-22=．【答案】22-3+1【分析】本题主要考查了二次根式的运算，先将二次根式化简，再根据二次根式的运算法则计算即可．【详解】原式=1-23+3+22-1+(3+22)(3-22)=22-3+(9-8)=22-3+1.故答案为：22-3+1．13(2024·全国·九年级竞赛)已知正整数a、b满足等式a+b=369，则a-b=．【答案】123或-123【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先把369化成最简二次根式，再把满足正整数a、b的所有值列举出来代入计算即可．【详解】解：∵369=341，正整数a、b满足等式a+b=369，∴a=41，b=241，即a=41,b=164，或a=241，b=41，即a=164,b=41，∴a-b=41-164=-123或a-b=164-41=123，故答案为：123或-123．14(2024·全国·七年级竞赛)计算：1-2=．+2-3+⋅⋅⋅+2016-2017+3-4【答案】2017-1/-1+2017【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可．【详解】解：1-2+⋯+2016-2017+3-4+2-3=2-1+3-2+4-3+⋯+2017-2016=2017-1．故答案为：2017-1．15(2024·全国·九年级竞赛)计算：9+18-27=．【答案】3+32-33【分析】本题考查二次根式的加减运算，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键．直接根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：9+18-27=3+32-33故答案为：3+32-33．16(2024·全国·八年级竞赛)若实数a满足a-8+a-2015=a，则a=．【答案】2079【分析】本题考查二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根，熟知二次根式有意义的条件是解答的关键．先求得a≥2015，则a-8=a-8，进而得到a-2015=8，然后求解即可．【详解】解：依题意得a-2015≥0，则a≥2015，∴a-8=a-8，∴原式化为a-8+a-2015=a，即a-2015=8，得a-2015=64，∴a=2079．故答案为：2079．17(2024·全国·八年级竞赛)已知-2<x<3，则x2-6x+9-x2+4x+4化简为．【答案】1-2x【分析】先判断出x-3<0,x+2>0，再根据二次根式的性质化简原式即可．此题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：∵-2<x<3，∴x-3<0,x+2>0，∴x2-6x+9-x2+4x+4=x-32-x+22=x-3-x+2=3-x-x-2=1-2x故答案为：1-2x二、单选题18(2021·全国·九年级竞赛)设n,k为正整数，A1=(n+3)(n-1)+4,A2=(n+5)A1+4,A3= (n+7)A2+4，A4=(n+9)A3+4,⋯,A k=(n+2k+1)A k-1+4,⋯，已知A100=2005，则n的值为( )．A.1806B.2005C.3612D.4100【答案】A【详解】A1=[(n+1)+2][(n+1)-2]+4=(n+1)2-22+4=(n+1)2=n+1，A2=[(n+3)+2][(n+3)-2]+4=(n+3)2-22+4=(n+3)2=n+3，A3=[(n+5)+2][(n+5)-2]+4=(n+5)2-22+4=(n+5)2=n+5，同理A4=n+7,A5=n+9,⋯,A100=n+2×100-1=n+199=2005⇒n=2005-199=1806．故选：A．19(2011·湖北黄冈·九年级竞赛)设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是4-23，则a2+b2 ab的值为()A.2B.0C.-2D.-1【答案】C【分析】先化简4-23，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a 和b的值，再代入计算即可．【详解】解：4-23=32-23+1==3-12=3-1．∵方程x2+ax+b=0的一根是4-23，∴4-232+4-23a+b=0．∴3-12+3-1a+b=0．∴a-23+4-a+b=0．∵a、b是整数，∴a-2=0,4-a+b=0．解得a=2, b=-2．∴a2+b2ab =22+-222×-2=-2．故选：C．【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题关键．20(2024·全国·八年级竞赛)若二次根式x-2在实数范围内没有意义，则x的取值范围是() A.x<2 B.x≤2 C.x>2 D.x≥2【答案】A【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式没有意义的条件可得x-2<0，再解不等式即可，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.【详解】解：二次根式x -2在实数范围内没有意义，∴x -2<0，解得：x <2故选：AD ．21(2024·全国·八年级竞赛)已知13-7的整数部分是m ，小数部分是n ，则m m +7n +mn 的值为()A.10B.7C.6D.4【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出m ，n 的值，再代入进行求解即可．【详解】解：13-7=3+73+7 3-7=3+72，∵4<7<9，∴2<7<3，∴2.5<3+72<3，∴m =2，n =3+72-2，∴m m +7n +mn =22+7×3+72-2 +2×3+72-2 =10，故选：A ．22(2024·全国·九年级竞赛)若1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，则a b 的值为()A.18 B.8 C.2 D.92【答案】B【分析】本题考查了根与系数的关系．先整理成一般式，利用根与系数的关系分另求得b 和a 的值，再代入求解即可．【详解】解：方程a (x -b )2=7整理得ax 2-2abx +ab 2-7=0，∵1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，∴1+72+1-72=1=--2ab a=2b ，∴b =12，1+72⋅1-72=-32=ab 2-7a ，∴-32=12 2-7a，∴a =4，∴a b =412=8．故选：B ．23(2024·全国·八年级竞赛)已知75m 是整数，则满足条件的最小正整数m =( )．A.5 B.0 C.3 D.75【答案】C【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解75m 什么情况下为正整数．【详解】解：∵75m =52×3m ，∴3m 是一个平方数，∴正整数m 最小是3，故选：C ．24(2021·全国·九年级竞赛)已知实数a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ,b +1 2=3-3b +1 ，则b b a +a a b 的值为()A.23B.-23C.-2D.-13【答案】B【分析】由题意可得a +1,b +1是方程x 2=3-3x 即x 2+3x -3=0的两个根，根据根与系数的关系可得a +1+b +1=-3，a +1 b +1 =-3，整理可得a +b =-5，ab =1，即得a <0，b <0，a 2+b 2=a +b 2-2ab =25-2=23，然后把所求的式子变形后整体代入即可求解.【详解】解：∵a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ，b +1 2=3-3b +1 ，∴a +1，b +1是方程x 2=3-3x 即x 2+3x -3=0的两个根，∴a +1+b +1=-3，a +1 b +1 =-3，整理，得a +b =-5，ab =1，∴a <0，b <0，a 2+b 2=a +b 2-2ab =25-2=23，∴b b a+a a b =-b a ab -a b ab =-b a -a b =-a 2+b 2ab =-23；故选：B .【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值，由题意得出a +b =-5，ab =1，是解题的关键．三、解答题25(2024·全国·八年级竞赛)若m 满足关系式2x +3y +4x +5y -m =x -2012+y +2012-x -y ，求m 的值．【答案】4024【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到x +y =2012是关键．根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得2x +3y +4x +5y -m =0，然后根据非负数的性质得到关于x 和y 的方程组，然后结合x +y =2012即可求得m 的值．【详解】解：由x -2012+y ≥02012-x -y ≥0 可得x +y =2012，∴x +y =20122x +3y =04x +5y -m =0 ∴m =4x +5y =2x +y +2x +3y =402426(2024·全国·八年级竞赛)设等腰三角形的腰为a ，底边为b ，底边上的高为h ．(1)如果a =6+3，b =6+43，求h ；(2)如果b =46+2，h =26-1，求a ．【答案】(1)32；(2)52．【分析】此题考查了等腰三角形的基本性质，学会在等腰三角形中构造直角三角形从而应用勾股定理来求解．(1)知道等腰三角形、底边利用等腰三角形高的特殊性质可构成直角三角形，再应用勾股定理求解h 值；(2)知道等腰三角底边和高，同理在等腰三角形中构造直角三角形，利用勾股定理来求a 值．【详解】(1)解：在等腰△ABC 中，由勾股定理知，∵a 2=12b 2+h 2，∴6+3 2=146+43 2+h 2，∴36+123+3=1436+483+48 +h 2，∴39+123=9+123+12+h 2，∴h 2=18，∴h =18=32．(2)解：同理在等腰△ABC 中，由勾股定理知,∵a 2=12b 2+h 2，∴a 2=12×46+22+26-1 2∴a 2=26+1 2+26-1 2∴a 2=50，∴a =52．27(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：(2x -1)2-(3x +2)(3x -2)+(5x -4)(x +2)，其中x =2．【答案】2x -3,22-3【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式及多项式乘多项式、整式的加减，熟练掌握并灵活运用它们是本题的关键．分别利用完全平方和、平方差公式、多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则计算即可．【详解】解：原式=4x 2-4x +1-9x 2+4+5x 2+6x -8，=2x -3当x =2时，原式=2x -3=22-3．28(2024·全国·八年级竞赛)已知：y =3x -15+15-3x +4，求2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -12y 的值．【答案】12【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x =5，进而得出y =4，再化简求值，代入即可得出答案．【详解】解：由3x -15≥0,15-3x ≥0，∴x =5，∴y =4，∴2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -12y =2x +y 2x +y -2x +y ÷2y -12y=2x+y-12y=2x+12y=12．29(2024·全国·八年级竞赛)已知a=4-15，求：(1)a-1a；(2)a5-6a4-16a3+7a2+23a-42008．【答案】(1)-6(2)1【分析】本题考查完全平方公式，无理数的估算：(1)先根据完全平方公式变形得出a+1a =8，求出a-1a2=6，再估算出0<4-15<1，即0<a<1，最后求出答案即可；(2)将式子变形，再将a2-8a+1=0代入，进而可得出答案．【详解】(1)解：a=4-15，∴a-42=15，∴a2-8a+1=0．∴a+1a=8，∴a-1a2=a+1a-2=8-2=6，∵3<15<4，∴-4<-15<-3，∴0<4-15<1，即0<a<1，∴a-1a<0，∴a-1a=-6．(2)解：∵a5-6a4-16a3+7a2+23a-4=a3a2-8a+1+2a2a2-8a+1-a a2-8a+1 -3a2-8a+1-1=0+0-0-0-1=-1，∴a5-6a4-16a3+7a2+23a-42008=-12008=1．30(2024·全国·八年级竞赛)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a-2+b2-10b+25=0．(1)求△ABC第三边c的取值范围；(2)求△ABC的周长l的取值范围；(3)若△ABC为等腰三角形，你能求出△ABC的周长吗？【答案】(1)3<c<7(2)10<l<14(3)12【分析】本题考查二次根式的非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系：(1)先根据非负性得出∴a=2,b=5，再根据三角形第三边的取值范围即可得出答案；(2)根据周长三边之和，即可得出答案；(3)当c=2时，可知不能构成三角形，当c=5时，求出三边之和即可．【详解】(1)解：a-2+(b-5)2=0，∴a=2,b=5，∵b-a<c<a+b，∴3<c<7．(2)l=a+b+c=7+c，∴10<l<14．(3)c=2时，三边长(2,2,5)不能构成三角形，舍去．∴c=5，l=2+5+5=12．。
人教版数学八年级培优竞赛 二次根式的性质与化简求值 专题课件
24 x 8 x 24 x 8 x
2
24 x
2
8x
24 x
8 x 16 又有
24 x 8 x 2 ，可得 24 x 8 x 8 ，将这两式相加可得 24 x 5 ，且
8 x 3 ，将 24 x 5 两边平方可解得 x 请你学习小明的方法，解下面的方程：
1，经检验 x
1是原方程的解.
（1）方程 x2 42 x2 10 16的解是
...
...
求满足 an bn cn 2019 3 2 1 的n可以取得的最小整数.
32
由 a1 ＋ b1 ＋ c1 ＝ 2 ＋ 2 3 ＋ 3 ＋2＋1＋ 2 2 ＝3（ 3 ＋ 2 ＋1），a 2 ＋ b2 ＋ c2 ＝9（ 3
＋
2 ＋1），… an ＋ bn ＋ cn ＝ 3（n
3＋
2 ＋1），而 an＋bn＋cn ≥2019×（
16.求代数式 x2 4 12 x 2 9 的最小值.
构造如图所示的图形，BD＝12，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝2，CD＝3，设 PB＝
x，则 AP＋CP＝ x2＋4 ＋ 12－x2＋9 ，当 A，P，C 三点在同一直线上时，上述式
子取最小值，作 AE⊥CD，在△AEC 中，最小值为 AC＝13.
（1）这列数，每 6 个数循环，故，第 50 个数是－1；（2）2018 个数中含有 336 个循环还余第 1，第 2 共 2 个数，而一个循环的和是 0，故从第 1 个数开始的前 2018 个数的和是 0；（3）因为一个循环的平方和为 12，而 520 中含有 43 个 12 且余下 4，并且前面 3 个数的平方和恰好是 4，43×6＋3＝261，共有 261 个数 的平方相加.
初二数学《二次根式》竞赛培优精选题(含解析)
二次根式竞赛培优题（含解析）一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．39940002．计算：=（）A．B．C．D．3．的结果是（）A．B．C．D．4．的值是（）A．B．C．1D．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共24小题）6.已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为．7．化简=．8．化简．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为．10．方程的解是x=11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=．12．计算：=（其中a＞0）13．的值为．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=．15．若n为整数，且是自然数，则n=．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：．20．计算﹣20062的结果是．21．设=．22．若，，则x6+y6的值是．23．当时，的值为．24．已知，，则k=．25．当1≤x≤2时，经化简等于．26．计算=．27．已知x=，那么+1的值是．28．化简：，得到．29．=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．二次根式竞赛培优题（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．3994000【分析】设1998=a，把被开方数变形后，利用多项式的乘法法则计算后，加上a2再减去a2，前三项结合提取a2，剩下的三项利用完全平方公式化简，接着三项合并后提取2a，整体再利用完全平方公式化简，从而得到被开方数为一个数的完全平方，利用化简公式=|a|及a大于0即可得到最后结果．【解答】解：设1998=a，则1997×1998×1999×2000+1=（a﹣1）a（a+1）（a+2）+1=a4+2a3+a2﹣a2﹣a2﹣2a+1=a2（a+1）2﹣2a（a+1）+1=[a（a+1）﹣1]2，所以==1998×1999﹣1=3994001．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，考查了换元的思想，本题的技巧性比较强，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点，同时注意利用凑项的方法构造满足公式的特征，以及注意二次根式的化简公式=|a|的运用．2．计算：=（）A．B．C．D．【分析】根据每个加数的特点，推出一般规律为，将所得式子化简，分别取n=1，2，3，…，40，寻找抵消规律，得出结论．【解答】解：∵=（）=（）=（）=（﹣）∴分别取n=1，2，3， (40)原式=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，观察式子的特点，得出一般规律，将一般规律化简代值，再观察抵消规律是解题的关键．3．的结果是（）A．B．C．D．【分析】把每个加数分母有理化，然后通分计算即可．【解答】解：=（）=．故选：D．【点评】主要考查二次根式的分母有理化．主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．4．的值是（）A．B．C．1D．【分析】认真观察式子的特点，总结规律，可发现，，，据此作答．【解答】解：由题意可知第k项是∴原式=（++=1﹣=1﹣=．故选：B．【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律答题．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6【分析】找到1000＜5×x2＜2000中符合x的整数值即可得出答案．【解答】解：由题意得：与=20，是同类二次根的被开方数一定为5，由此及题意可：1000＜5×x2＜2000，x可取15、16、17、18、19，共5个．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的知识，有一定难度，关键是根据同类二次根式的形式得出的同类二次根式应该满足．二．填空题（共24小题）6．已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为3998000．【分析】由等式可知=x1，=x2，…解得x1=x2=x3=…=x1999=2，由此代入求得数值即可．【解答】解：∵，∴=x1，=x2，…∴x1=x2=x3=…=x1999=2，∴x1+2x2+3x3+…+1999x1999=2×（1+2+3+ (1999)=2×（1999+1）×1999÷2=3998000．故答案为：3998000．【点评】此题考查二次根式的化简求值，解答此题的关键是找出对应关系，求出x1、x2、x3、…、x1999的值．7．化简=2011．【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质得到=，然后根据同样的方法由内到外依次化简即可得到答案．【解答】解：∵=，∴原式=======2011．故答案为2011．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了平方差公式．8．化简后2．【分析】由于===﹣1，其他根式也可以进行同样的化简，然后合并同类二次根式即可求解．【解答】解：=﹣1+﹣++++++=3﹣1=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式化简二次根式从而达到化简题目的目的．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为10．【分析】利用不等式≤，结合S1+S2+S3+…+S n ＞10，解不等式即可．【解答】解：∵S i表示第i个三角形的面积，由不等式≤n，得≤n=n，而S1+S2+S3+…+S n=，S1+S2+S3+…+S n＞10，∴n＞10，即n2（n+1）＞800，n为正整数，n的最小值为9．但n=9时，代入S1+S2+S3+…+S n＜10，不符合题意，故n=10．【点评】本题考查了二次根式的运用．利用均值不等式和不等式的传递性解题．10．方程的解是x=2011【分析】将各分式中的分母有理化，再通分，注意观察抵消规律．【解答】解：原方程化为：+++…+=，通分得=，解得x=2011．故答案为：2011．【点评】本题考查了二次根式的化简在解方程中的运用．关键是将各分式的分母有理化，寻找抵消规律．11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=﹣．【分析】首先将M式中各个分式进行分母有理化，再求出N式的值，代入代数式求值即可解答．【解答】解：将M分母有理化可得M=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣1．N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994=（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+┉+（1993﹣1994）=﹣1×997=﹣997，∴==﹣．故答案为﹣．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．12．计算：=4（其中a＞0）【分析】仔细观察会发现有以下规律：第1项加上第8项等于1，第2项加上第7项等于1，依此类推最后求得的结果4．【解答】解：第一项与最后一项相加得：+，=+，=，=1，同理可得：第二项与倒数第二项的和也是1；第三项与倒数第三项的和也是1；所以原式=1+1+1+1=4．故应填：4．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，同时也考查了学生的逻辑思维能力，是一道不错的规律型问题．13．的值为1998999.5．【分析】本题涉及数字大且数字之间有联系，可用换元法解题，设k=2000，将所求算式转化为关于k的算式，将被开方数配成完全平方式，开平方，再将k的值代入即可．【解答】解：设k=2000，原式=====，当k=2000时，原式=1998999.5．故本题答案为：1998999.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，当算式数字较大，并且数字之间有联系时，用换元法解题，可使运算简便．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=8．【分析】读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．【解答】解：∵，∴+，即1﹣，∴，解得k=8．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．15．若n为整数，且是自然数，则n=﹣14或﹣7或﹣2或5．【分析】设=p，再把等式两边同时乘以4，利用平方差公式把等式左边化为两个因式积的形式，列出关于p、n的方程组，求出n 的值即可．【解答】解：∵设=p（P为非负整数），则n2+9n+30=p2，∴4n2+36n+120=4p2，∴（2n+9）2+39=4p2，∴（2p+2n+9）（2p﹣2n﹣9）=39，∴或或或，解得或或或，∴n=﹣14或﹣7或﹣2或5．故答案为：﹣14或﹣7或﹣2或5．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意把原式化为两个因式积的形式是解答此题的关键．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为2012.5．【分析】根据新定理得f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1；f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1，由此得到f（）+f（）=1（n≥2的整数），所以原式=+．【解答】解：f（）=，∵f（）==，f（）=，则f（）+f（）=1，f（）==，f（）==，则f（）+f（）=1，∴f（）+f（）=1，∴=+=2012.5．故答案为2012.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了阅读理解能力．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．【分析】根号里面的式子大于等于0，从而可得≥0，﹣≥0，从而能得出u和v的值，继而可得出答案．【解答】解：由题意得：≥0，﹣≥0，从而=0，2u﹣v=0，u=v，又v=，∴u=，∴u2﹣uv+v2=．故答案为．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握根号里面的式子大于等于0这个知识点比较关键．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是或．【分析】由是正整数可得，a是含﹣2的代数式；再由是整数，可得化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，据此确定a的值．【解答】解：∵是正整数，∴a是含﹣2的代数式；∵是整数，∴化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，∴a=或．故答案为：或．【点评】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：答案不唯一；如（288，8，8），（48，24，8）．【分析】由于三个复合二次根式的和为1，则它们的被开方数为完全平方数，设任意一个复合二次根式的被开方数为（）2（x，y为正整数，x＞y），然后通过正整数的含义，得到x，y为两个相邻正整数，即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后是﹣1，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，第三个复合二次根式化简后必为，最后求的a，b，c的值．【解答】解：因为几个复合二次根式的和为1，则每个复合二次根式的被开方数一定为完全平方数．设==x+y﹣2，（x，y为正整数，x＞y），所以有=x+y，﹣=﹣2．∴a+1=（x+y）2，a=4xy，∴（x﹣y）2=1，即x﹣y=1．则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后为﹣1，而要消掉，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，要消掉，则第三个复合二次根式化简后必为．最后正好为﹣=1．所以=（﹣1）2=3﹣=3﹣，则a=8，同理得b=24，c=48．故得到一组正整数（a，b，c）为：8，24，48．故答案为8，24，48．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．20．计算﹣20062的结果是2005．【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化为完全平方的形式，再开平方，然后再来求值．【解答】解：∵2005×2006×2007×2008+1=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1=（20052+3×2005+1）2∴=20052+3×2005+1；∴﹣20062=20052+3×2005+1﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）+3×2005+1=2005；故答案为：2005．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值．解答此题的难点是化“2005×2006×2007×2008+1”为完全平方的形式，并开平方，然后再利用平方差公式求出20052﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）的值．21．设=．【分析】把已知条件的左边相乘得，这样出现了所求代数式，设=z，代入变形所得的等式，逐步变形，消去x、y，即可求得z．【解答】解：据条件式令=z，则（1）式化为：z+xy+=9，即有9﹣z=xy+，平方得，81﹣18z+z2=x2y2+（x2+1）（y2+4）+2xy（2），又由z2==x2（y2+4）+y2（x2+1）+2xy，代入（2）得，81﹣18z=4，所以．即=，故答案为：．【点评】此题考查二次根式的化简求值，难度较大，多次利用已知条件求解．22．若，，则x6+y6的值是40．【分析】根据题意可求出x2+y2，x2﹣y2，利用平方差公式可求得x4﹣y4，（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，由此可得答案．【解答】解：由题意得：x2+y2=2++2﹣=4，x2﹣y2=2+﹣（2﹣）=2，x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）=8，又（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6+x2y4+y2x4，∴可得：x6+y6=32﹣x2y2（x2+y2）=32+2×4=40．故答案为：40．【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，有一定难度，关键是熟练运用平方差及完全平方公式．23．当时，的值为．【分析】利用完全平方公式对代数式化简再把代入化简的结果计算即可．【解答】解：原式=﹣，∵，∴=2005，∴x＜，∴原式=﹣+x，=x，当时，原式=．故答案为．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值和二次根式的性质=a（a≥0）的应用．24．已知，，则k=﹣1．【分析】先从等式右边进行分母有理化，即原式=﹣2，然后依次循环即可求k的值．【解答】解：由原式可知=+2﹣4=﹣2，∴4+=+2，依此类推得：=+2，∴k=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分母有理化，那样会简便些．25．当1≤x≤2时，经化简等于2．【分析】先配成完全平方式，再根据二次根式的性质化简计算即可．【解答】解：∵1≤x≤2，∴=+=+1+1﹣=2．故答案为：2．【点评】考查了二次根式的性质，解题的关键是将根号内的式子配成完全平方式．26．计算=2010．【分析】因为=，=，=，…，可发现=1+=1+1﹣，=1+=1+﹣…，依此类推再把1+1﹣，1+﹣…相加可得问题答案．【解答】解：原式=++++…+，=1+1﹣+1+﹣+1+﹣+1+﹣…+1+﹣，=2010+（1﹣+﹣+﹣…+﹣），=2010+（1﹣），=2010．【点评】本题考查了二次根式的化简，在化简中注意有关数列的规律．27．已知x=，那么+1的值是2．【分析】先根据分母有理化得到x=﹣1，所以x+1=，然后将代数式化为含有（x+1）2的形式，把x+1的值代入求出代数式的值．【解答】解：∵x==﹣1，∴x+1=．原式=（3x3+10x2+5x+4）=[（3x3+6x2+3x）+3x2+（x2+2x+1）+3]=[3x（x+1）2+3x2+（x+1）2+3]=[3x•2+3x2+2+3]=[（3x2+6x+3）+2]=[3（x+1）2+2]=（3×2+2）=2．故答案是：2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，先根据分母有理化把x的值化简，得到x+1=，再把代数式化成含有x+1的形式，然后代入代数式可以求出代数式的值．28．化简：，得到1．【分析】将被开方数的分子、分母提公因式，约分，再开平方，约分即可．【解答】解：原式=（）1004=（）1004（）1004=1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，关键是将被开方数的分子、分母提公因式，约分．29．=﹣3．【分析】因为=，代入并通分计算即可．【解答】解：原式===﹣1﹣1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查二次根式的混合运算，关键是求=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）设n=1999，从而可将根号里面的数化为完全平方的形式，继而可得出答案．（2）分别将各二次根式配方可得出答案．（3）将分子及分母分别化简，然后运用提公因式的知识将分子及分母简化，继而得出答案．（4）设=a，=b，=c，从而可将原式化简，继而可得出答案．【解答】解：（1）设n=1999，则原式===n2+3n+1，故原式=20002+1999；（2）原式=+++++++=﹣1+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣，=﹣1，=3﹣1，=2；（3）原式=，=，=+，=﹣；（4）设=a，=b，=c，则原式=++，=，=0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，难度较大，注意换元法及完全平方知识的运用．。
初二数学二次根式竞赛习题及答案
二次根式竞赛习题1．31231131144++-++的值是（ ）（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2 2、已知82121=+-xx，则xx 12+=3．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（ ）（A ）3（B)31（C ）2（D ）35 4．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（ ）（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ． 5．若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是( )(A)1(B)3(C)5(D)7.6．若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.7．13333)919294(3-+-可以化简成( ) (A))12(333+ (B))12(333- (C)123- (D)123+ 8．若0<a<1，则a a a a +⨯+÷-+11)11(2122可化简为( )（A ）a a +-11 （B ）11+-a a （C ）21a - （D ）12-a 9．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为( ) （A ）1； （B ）-1； （C ）22001（D ）-2200110．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。
11．设正整数n m a ,,满足n m a -=-242，则这样的n m a ,,的取值（ ） （A ）有一组； （B ）有两组； （C ）多于二组； （D ）不存在 12。
15+=m ，那么mm 1+的整数部分是________。
(完整版)l二次根式竞赛专题
竞赛专题：二次根式的运算【例1】 已知，则= ． (重庆市竞赛题)【例2】 化简，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题)A ．B ．C ．D ．【例3】 (1)化简； (北京市竞赛题)(2)计算 (“希望杯”邀请赛试题)(3) 计算． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)【例4】 已知，求的值． (山东省竞赛题)【例5】计算：（1）；（2）2115141021-15-1410++++； 254245222+-----=x x x x y 22y x +22)1(111+++n n 1111+++n n 1111++-n n 1111+-+n n 1111+--n n 324324-++223810++1212--+-+a a a a 521332412---=----+c c b a b a c b a ++)23)(36(23346++++（3）；思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．1.若 ,u v 满足32v =，则22______u uv v -+= 2.1111x +=-的解是_____________. 3．计算：(1)（2）设(1)(2)(3)(4)x x x x x =++++则整式的值是（3）； (北京市数学竞赛题)（4）；4947474917557153351331++++++++Λ12002200120001999+⨯⨯⨯7221756215422133021120291227625223-+-+-+-+-+-+-+-4266777647511+++++4．(1)已知与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值；(2)设，，n 为自然数，如果成立，求n ．5.设x 、y 都是正整数，且使，求y 的最大值．(上海市竞赛题 )6．试将实数改写成三个正整数的算术根之和．(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)7.若有理数x 、y 、z 满足，则= ．8.正数m 、n 满足，则= ．(北京市竞赛题)139+139-n n n n x ++-+=11n n n n y -+++=1119932197222=++y xy x y x x =++-100116)71)(51(211+++)(2121z y x z y x ++=-+-+2)(yz x -34424=+--+n n m mn m 2002282++-+n m n m9. 已知a b a b ab +=-==则_____________10.设10982),36m a m m m m =≤≤++++-L 的值为________11、x =。
专题42 二次根式 初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷
专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0， 解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为 ．二、二次根式分母有理化【典例】已知x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，则x y +y x = ．【解答】解：把x 、y 进行分母有理化可得：x =√3+√2√3−√2=√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6， y =√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6， ∴x y +y x =x 2+y 2xy =√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．32√3+2√2−√3−2√2）A．√2B．−√2C．2D．﹣23．如果实数x，y满足（√x2+1+x）（√y2+1+y）＝1，那么x+y值为（）A．0B．﹣1C．1D．24．小明在解方程√24−x−√8−x=2时采用了下面的方法：由(√24−x−√8−x)(√24−x+√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有√24−x−√8−x=2，可得√24−x+√8−x=8，将这两式相加可得{√24−x=5√8−x=3，将√24−x=5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：（1）已知√22−a2−√10−a2=3√2，则√22−a2+√10−a2的值为．（2）解方程√4x2+6x−5+√4x2−2x−5=4x，得方程的解为．5．已知整数x、y满足：1＜x＜y＜100，且x√y+y√x−√2009x−√2009y+√2009xy=2009则：√x+y+10=．6．已知x=b−√b2−4122（b＞21），则x2﹣bx+103＝．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．10．若m满足关系√3x+5y−2−m+√2x+3y−m=√x−199+y⋅√199−x−y，试求m的值．11．已知x =√n+1−√n√n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0， 解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为 ．【解答】解：∵√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|+|b +4|+|b ﹣2|＝10，∵|a ﹣1|+|a ﹣5|≥4，|b +4|+|b ﹣2|≥6，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝4，|b +4|+|b ﹣2|＝6，∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，∴a2+b2的最大值为：52+（﹣4）2＝41．故答案为：41．二、二次根式分母有理化【典例】已知x=√3+√2√3−√2，y=√3−√2√3+√2，则xy+yx=．【解答】解：把x、y进行分母有理化可得：x=√3+√2√3−√2=(√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6，y=√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6，∴xy +yx=x2+y2xy=√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020【解答】解：∵x=√2020−√2019=√2020+√2019，∴x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020＝x5（x﹣2√2019）﹣x4+x2（x﹣2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020+√2019−2√2019）﹣x4+x2（√2020+√2019−2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020−√2019）﹣x4+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝x4[x（√2020−√2019）﹣1]+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝0+x（√2020+√2019）（√2019−√2020）+2x−√2020＝﹣x+2x−√2020＝x−√2020=√2019．故选：C．三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．【解答】解：∵√3+√5−√3−√5=√6+2√52−√6−2√52=√5+1√2√5−1√2=√2，∴a的小数部分=√2−1；∵√6+3√3−√6−3√3=√12+6√32−√12−6√32=√3+3√23−√3√2=√6，∴b的小数部分=√6−2，∴2b −1a=√6−2−√2−1=√6+2−√2−1=√6−√2+1．故答案为：√6−√2+1．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由两个已知等式可得，√a=35(c+3)，|b|=25(2−c)，而|b|≥0，所以c≤2．当c ＝2时，可得a ＝9，b ＝0，满足已知等式．所以c 可能取的最大值为2．故选：C ．2．化简√3+2√2√17+12√2−√3−2√2√17−12√2的结果是（ ） A ．√2 B ．−√2C ．2D ．﹣2 【解答】解：3+2√2=(√2+1)2，3−2√2=(√2−1)2；17+12√2=(3+2√2)2，17−12√2=(3−2√2)2，因此，原式=√3+2√2√3−2√2=√2+1√2−1=−2． 故选：D ．3．如果实数x ，y 满足（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，那么x +y 值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．2 【解答】解：∵（√x 2+1+x ）（√x 2+1−x ）＝x 2+1﹣x 2＝1，（√y 2+1+y ）（√y 2+1−y ）＝y 2+1﹣y 2＝1又∵（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，∴{√x 2+1−x =√y 2+1+y①√y 2+1−y =√x 2+1+x②， ①+②得：﹣x ﹣y ＝x +y ，∴2（x +y ）＝0，∴x +y ＝0．故选：A ．4．小明在解方程√24−x −√8−x =2时采用了下面的方法：由(√24−x −√8−x)(√24−x +√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x ）﹣（8﹣x ）＝16，又有√24−x −√8−x =2，可得√24−x +√8−x =8，将这两式相加可得{√24−x =5√8−x =3，将√24−x =5两边平方可解得x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： （1）已知√22−a 2−√10−a 2=3√2，则√22−a 2+√10−a 2的值为 ．（2）解方程√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，得方程的解为 ．【解答】解：（1）（√22−a 2+√10−a 2）（√22−a 2−√10−a 2）＝22﹣a 2﹣（10﹣a 2）＝12，∵√22−a 2−√10−a 2=3√2，∴√22−a 2+√10−a 2=2√2，故答案为：2√2；（2）（√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5）（√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5）＝（4x 2+6x ﹣5）﹣（4x 2﹣2x ﹣5）＝8x ，∵√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，∴√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5=2，将这两式相加可得√4x 2+6x −5=2x +1，解得x ＝3，经检验，x ＝3是原方程的解．∴原方程的解为：x ＝3，故答案为：x ＝3．5．已知整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 则：√x +y +10= ．【解答】解：∵x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 ∴√xy （√x +√y ）−√2009（√x +√y ）+√2009xy −√20092=0 （√x +√y +√2009）（√xy −√2009）＝0∵1＜x ＜y ＜100∴√xy −√2009=0∴xy ＝2009＝7×7×41＝49×41∵整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100∴x ＝41，y ＝49∴√x +y +10=√41+49+10=√100=10． 故本题答案为：10．6．已知x =b−√b 2−4122（b ＞21），则x 2﹣bx +103＝ ． 【解答】解：将x =b−√b 2−4122代入x 2﹣bx +103， x 2﹣bx +103＝（b−√b 2−4122）2﹣b •b−√b 2−4122+103 =b 2−2b √b 2−412+b 2−4124−b 2−2b √b 2−412+b 2−4124＝0，故答案为0．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．【解答】解：原式＝x2+2+1x2+6（x+1x）+5＝（x+1x）2+6（x+1x）+5＝（x+1x+1）（x+1x+5），∵x＝3+2√2，∴1x =3+2√2=3﹣2√2，∴x+1x=3+2√2+3﹣2√2=6．∴原式＝（6+1）×（6+5）＝77．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|【解答】解：（1）原式＝2√5（8√5−9√5+2√5）＝2√5×√5＝10；（2）原式=√3+1+3√3−1+1 9＝4√3+1 9；（3）∵a=√5+1，b=√5−1，∴a+b＝2√5，ab＝4，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×2√5＝8√5；（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．∴√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c＝﹣a．9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．【解答】解：∵x ﹣y ＝6，∴(√x +√y)(√x −√y)=6，∴√x +√y =√x−√y ， ∵√x 2−xy +√xy −y 2=√x •√x −y +√y •√x −y=√x −y （√x +√y ）＝9， ∴√6√x−√y =9， 即√x −√y =6√69， ∴√x 2−xy −√xy −y 2=√x −y （√x −√y ）=√6×6√69 ＝4．10．若m 满足关系√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =√x −199+y ⋅√199−x −y ，试求m 的值．【解答】解：根据题意得：{x −199+y ≥0199−x −y ≥0， 则x +y ﹣199＝0，即√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =0，则{x +y −199=03x +5y −2−m =02x +3y −m =0，解得{x =396y =−197m =201．故m ＝201．11．已知x =√n+1−√n √n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1 998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由． 【解答】解：不存在．∵x +y =√n+1−√n√n+1+√n √n+1+√n√n+1−√n =(√n +1−√n)2+(√n +1+√n)2＝n +1﹣2√n(n +1)+n +n +1+n +2√n(n +1)=4n +2．xy =√n+1−√n√n+1+√n •√n+1+√n=1．假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998．即19x2+36xy+19y2＝1998．19x2+19y2＝1962，（x2+y2）=1962 19．（x+y）2=196219+3819=200019.x+y=√200019=20√9519．由已知条件，得x+y＝2（2n+1）．∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，∴x+y=20√9519不为整数．∴不存在这样的自然数n．。
二次根式竞赛题
二次根式竞赛题二次根式是高中数学中的一个重要内容，也是竞赛题中常见的一类题型。
二次根式的概念很简单，就是指以根号形式表示的二次方程。
在解题过程中，我们需要运用一些基本的知识和技巧来化简和计算二次根式。
我们来了解一下二次根式的定义。
二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。
在二次根式中，我们常常需要进行一些运算，如加减、乘除、化简等。
下面我们将通过一些例子来说明这些运算的方法。
我们来看加减运算。
对于两个二次根式的加减，我们只需要将它们的根号内的数进行相应的运算，然后将符号带入即可。
例如，计算√5 + √3，我们将根号内的数5和3相加，得到√8，因此结果为√8。
又如，计算√7 - √2，我们将根号内的数7和2相减，得到√5，因此结果为√5。
在进行加减运算时，我们还需要注意是否存在相同根号内的数，如果存在，则需要合并根号内的数并进行相应的运算。
接下来，我们来看乘法运算。
对于两个二次根式的乘法，我们可以运用分配律的原则，将根号内的数进行相乘，然后将结果放在根号外。
例如，计算√2 *√3，我们将根号内的数2和3相乘，得到6，因此结果为√6。
又如，计算√5 * √5，我们将根号内的数5相乘，得到25，因此结果为√25，即5。
在进行乘法运算时，我们还需要注意是否存在相同根号内的数，如果存在，则可以合并根号内的数并进行相应的运算。
再来看除法运算。
对于两个二次根式的除法，我们可以运用有理化的方法，将分母中的根号去掉。
具体步骤如下：先将分子和分母的根号内的数相乘，然后将结果放在根号外；然后再将分子和分母的根号内的数进行相除。
例如，计算√6 / √2，我们先将分子和分母的根号内的数6和2相乘，得到12，因此结果为√12；然后再将分子和分母的根号内的数进行相除，即√12 / 2，得到2√3。
在进行除法运算时，我们还需要注意是否存在相同根号内的数，如果存在，则可以合并根号内的数并进行相应的运算。
我们来看一下化简二次根式的方法。
八年级数学竞赛题二次根式(含答案)
二次根式1．31231131144++-++的值是（ ）（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2 2、已知82121=+-xx，则xx 12+=3．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数围成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（ ）（A ）3（B)31（C ）2（D ）35 4．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（ ）（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．5．若01132=+-x x ,则44-+xx 的个位数字是( )(A)1(B)3(C)5(D)7.6．若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.7．13333)919294(3-+-可以化简成( ) (A))12(333+ (B))12(333- (C)123- (D)123+ 8．若0<a<1，则a a a a +⨯+÷-+11)11(2122可化简为( )（A ）a a +-11 （B ）11+-a a （C ）21a - （D ）12-a 9．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为( ) （A ）1； （B ）-1； （C ）22001（D ）-2200110．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。
11．设正整数n m a ,,满足n m a -=-242，则这样的n m a ,,的取值（ ） （A ）有一组； （B ）有两组； （C ）多于二组； （D ）不存在 12。
15+=m ，那么mm 1+的整数部分是________。
13．计算的值是( ) . (A) 1 (B) 5 (C) (D) 514．a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a+999b+1001c 的值是（ ）（A ）1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定15．已知a=2-1，b=22-6，c=6-2，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ） (A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a(D)c<a<b16.等于（ ）A.5-1 C.5 D.117．满足等式2003的正整数对()x y ，的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 计算2003++19．已知x 为非零实数，且1212x xa -+=，则 21x x +=______________。
苏科版数学八年级下册第12章《二次根式》(竞赛专题)
【答案】D.
1.若 ，则式子 等于( ).
A. B.5 C. D.
2.已知非零实数 、 满足 ，则 等于( ).
A.－1 B.0 C.1 D.2
3.设 是整数，则 的值为.
4.若 ，且 ，则 =.
5.已知 且 ，则 的值为( ).
A.1 B.2 C. D.
6.设 ，则代数式 的值为( ).
A.0 B.1 C.－1 D.2
第12章《二次根式》（竞赛专题）
【例1】设 、 、 是 的三边的长，化简 的结果是.
【解析】根据三角形三边关系，可知 ，则题中的算式可化简为
.
【答案】 .
【例2】已知实数 、 满足 ，
则 的值为( ).
A.－2008 B.2008 C.－1 D.1
【解析】 ，
，
，
由以上两式可得 .
所以 ，解得 ，
所以 .
或 .
7.如图，在四边形 中，
，则边 的长为( ).
(第7题)
A. B. C. D.
8.已知 ，求 的值.
9.已知 为实数，且 与 都是整数，求 的值.
参考答案
1.B
2. C
3. 1，4，5
4. 7,－7
5. B
6. C
时，
原式 .
9. 是正整数，
是含 的代数式.
是整数，
化简后为 的代数式 分母有理化后，是1或－1，
初二数学竞赛题二次根式(含)版
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯二次根式1 1 21．的值是〔〕 441 3 1 3 1 3〔A〕 1〔B〕－ 1〔C〕 2〔D〕－ 21 12x 12、 2 82x x ，那么x=3．设等式a(x a) a(y a) x a a y 在实数范围内建立，此中a，23x x，y 是两两不一样的实数，那么2x xyxy2y2y的值是〔〕〔A〕3〔B)13〔C〕2〔 D〕531 114．：(1991 1991 )n nx 〔n 是自然数〕．那么2 ( 2 nx 1 x ) ，的值是〔〕〔Ａ〕 11991 ；〔Ｂ〕1 n1991 ；〔Ｃ〕( 1) 1991 ；〔Ｄ〕( 1)n19911．5．假定x2 13x 1 0 ,那么x4 x 4 的个位数字是 ( )(A)1(B)3(C)5(D)7.1 6．假定x 0, 那么x2 4 1xx4x 的最大值是 __________.7．4 2 13 )13( 能够化简成 ( )3 3 39 9 9(A) 3 3(3 2 1) (B) 3 3(3 2 1) (C) 3 2 1 (D) 3 2 18．假定 0<a<1，那么a1 1 12 可化简为( )2 (1 )2a a 1 a〔A〕11 aa〔B〕aa11〔 C〕 2 21 a 〔D〕a 19．当1 1994x时，多项式23 1997 1994 )2001(4x x 的值为( )2001 〔 D〕-2〔A〕1；〔B〕-1 ；〔C〕220011⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 x10．α是方程0x 的根，那么54 42 13 2的值等于 ________。
2 ，那么这样的a, m,n 的取值〔〕 11．设正整数a,m, n 知足a 4 2 m n〔A〕有一组；〔B〕有两组；〔C〕多于二组；〔D〕不存在12。
(完整版)初二数学竞赛题-二次根式(含答案)
二次根式1．31231131144++-++的值是（ ）（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2 2、已知82121=+-xx，则xx 12+=3．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（ ）（A ）3（B)31（C ）2（D ）35 4．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（ ）（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．5．若01132=+-x x ,则44-+xx 的个位数字是( )(A)1(B)3(C)5(D)7.6．若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.7．13333)919294(3-+-可以化简成( ) (A))12(333+ (B))12(333- (C)123- (D)123+ 8．若0<a<1，则a a a a +⨯+÷-+11)11(2122可化简为( )（A ）a a +-11 （B ）11+-a a （C ）21a - （D ）12-a 9．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为( ) （A ）1； （B ）-1； （C ）22001（D ）-2200110．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。
11．设正整数n m a ,,满足n m a -=-242，则这样的n m a ,,的取值（ ） （A ）有一组； （B ）有两组； （C ）多于二组； （D ）不存在 12。
15+=m ，那么mm 1+的整数部分是________。
13．计算的值是( ) . (A) 1 (B) 5 (C)(D) 514．a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a+999b+1001c 的值是（ ）（A ）1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定15．已知a=2-1，b=22-6，c=6-2，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ） (A) a<b<c(B) b<a<c(C) c<b<a(D)c<a<b16.232217122--等于（ ）A.542- B.421 C.5 D.1 17．满足等式2003200320032003x y xy x y xy 的正整数对()x y ，的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 计算12233420032004+++++L .19．已知x 为非零实数，且1212x xa -+=，则 21x x +=______________。
二次根式竞赛题
竞赛训练题（一）二次根式1．31231131144++-++的值是（）（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－22、已知82121=+-x x ，则xx 12+= 3．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则（A ）a a +-11（B ）11+-a a （C ）21a -（D ）12-a 9．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为() （A ）1；（B ）-1；（C ）22001（D ）-22001 10．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。
11．设正整数n m a ,,满足n m a -=-242，则这样的n m a ,,的取值（）（A ）有一组；（B ）有两组；（C ）多于二组；（D ）不存在12。
15+=m ，那么mm 1+的整数部分是________。
13．计算的值是( ).????(A )1 (B )5 (C )(D )5 14．a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a +999b +1001c 的值是（）（A ） 1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定1516.17182003++19220A 2122A 、23A2003B2004 C2005D200624．已知a b ==的值为（） （A ）3（B ）4（C ）5（D ）625．设a 、b 、c 是△ABC 的三边的长，化简++的结果是.26方程组21133=-++y x26=+y x 的解是。
27．方程2x 2＋7x ＋21＝515722＋＋x x 的有所实根之和为 （ ） （A ）－11 （B ）－7 （C ）－211 （D ）－27 28．计算（13+）2005－2（13+）2004－2（13+）2003+2005=_________.29．函数的自变量x 的取值范围是_____。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
l二次根式竞赛专题 Prepared on 24 November 2020
竞赛专题：二次根式的运算
【例1】 已知2542
452
22+-----=
x
x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题) 【例2】 化简2
2
)
1(111++
+n n
，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题)
A ．1111++
+n n
B ．1111++-n n
C ．1111+-+n n
D ．1
111+--n n 【例3】 (1)化简324324-++； (北京市竞赛题) (2)计算223810++ (“希望杯”邀请赛试题)
(3) 计算1212--+-+a a a a ． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)
【例4】 已知52
1
332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++的值． (山东省竞赛题)
【例5】计算： （1）
)
23)(36(23346++++；
（2）21
15141021
-15-1410++++；
（3）
49
47474917
55715
33513
31++
+++
++
+ ；
思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口． 1.若 ,u v 满足223
43432
u v v u v u v u v --=++，则22______u uv v -+=
2.方程
1
11111
x x x -+
-=
-的解是_____________. 3．计算：(1)12002200120001999+⨯⨯⨯
（2）设(1)(2)(3)(4)x x x x x =++++则整式的值是 （3）
7221756215422133021120291227625223-+-+-+-+-+-+-+-； (北
京市数学竞赛题) （4）
42
66777647511+++++；
4．(1)已知139+与139-的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值； (2)设n
n n n x ++-+=
11，n
n n n y -+++=
11，n 为自然数，如果199********=++y xy x 成
立，求n ．
5.设x 、y 都是正整数，且使y x x =++-100116，求y 的最大值．(上海市竞赛题 )
6．试将实数)71)(51(211+++改写成三个正整数的算术根之和．
(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)
7.若有理数x 、y 、z 满足)(2
121z y x z y x ++=-+-+，则2)(yz x -= ． 8.正数m 、n 满足34424=+--+n n m mn m ，则
2002
282++-+n m n m = ．
(北京市竞赛题)
9. 已知a b a b ab +=
-=
=则_____________
10.设10982),36m a m m m m =≤≤++++-的值为
________
11、x =。
12.已知()
f x =()()()132009f f f +++的
值。
13.已知：333200220032004,0,x y z xyz ==>
=求111
x y z
++的值。