(word完整版)高中函数典型例题.doc

§ 1.2.1

函数的概念

¤知识要点：

1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范 围 A 叫作定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 .

2. 设 a 、b 是两个实数，且 a

符号：“∞”读“无穷大”；“－∞” 读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大” . 则

{ x | x a} (a, ) ， { x | x a} [ a, ) ，{ x | x b} ( ,b) ， { x | x b} ( , b] ， R ( , ) .

3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则 . 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数 .

¤例题精讲：

【例 1】求下列函数的定义域： （1） y

1 ；（2） y

x 3 .

x 2

1

3

x 1 2

解：（1）由 x 2

1 0 ，解得 x 1 且 x 3 ， 所以原函数定义域为 ( , 3) U (

3, 1) U ( 1,

) .

（2）由

x 3 0

，解得 x

3 且 x 9 ，

3

x 1 2

所以原函数定义域为 [3,9) U (9, ) .

【例 2】已知函数 f (1

x ) x . 求：（1） f (2) 的值； （2） f ( x) 的表达式 解：（1）由

1

x 1 x

1

1

. 2 ，解得 x

，所以 f (2)

1 x

3

3

（2）设

1

x t ，解得 x 1 t

，所以 f (t ) 1 t

，即 f ( x)

1 x .

1 x

1 t 1 t

1 x

点评：此题解法中突出了换元法的思想 . 这类问题的函数式没有直接给出， 称

为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等 .

【例 3 】已 知函数 f (x)

x 2

1 x

2 , x

R . （ 1 ）求 f (x)

f ( 1

) 的值；（ 2 ） 计算：

x

f (1) f (2) f (3) f (4)

解：（1）由 f ( x)

f (1

)

f (1

) f ( 1

) .

2

3

4

2

1 1 x

x 2

f ( )

x 2

1 x

1

1

x 2

2

1 1 2

x

x

1.

1 x 2

1 x 2

1 x

2 （2）原式

f (1) ( f (2) f ( 1

)) ( f (3) 2

f (1 )) ( f (4)

f ( 1

))

1 3 7

3 4

2 2

点评：对规律的发现，能使我们实施巧算 .正确探索出前一问的结论，是解答

后一问的关键 .

§1.2.2函数的表示法

¤知识要点：

1.函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关

系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对

应关系，优点：不需计算就可看出函数值） .

2.分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.

3.一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那

么就称对应f : A B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“ f : A B ”.判别一个对应是否映射的关键： A 中任意， B 中唯一；对应法则 f .¤例题精讲：

【例 1】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角

各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写

出体积 V 以 x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为

_______．

解：盒子的高为 x，长、宽为a－2 x，所以体积为 V＝x( a－2 x)2.

又由 a－2x 0 ，解得 x a .

2 a

} .

所以，体积 V以 x 为自变量的函数式是V x(a－2x)2，定义域为 { x | 0 x

2

【例 3 x3 2x 2 x ( ,1) ，求 f [ f (0)]

2 】已知f ( x)=

x 3 x (1, )

x3

的值 .

∴ f (0)=

解：∵0 ( ,1) ，3 2 .

又∵

3

2 >1，

∴ f (32)=( 3 2 )3+(3 2 )-3=2+1=5，即f[f(0)]=5.

2 2 2

【例 3】画出下列函数的图象：

（1）

y | x 2 | ；（教材 P 练习题 3）

26

（2）y | x 1| | 2x 4 | .

解：（1）由绝对值的概念，有y | x 2 | x 2, x 2 .

2 x, x 2 所以，函数 y | x 2 |的图象如右图所示.

（2）y | x 1| | 2x 4 | 3 x 3, x 1

x 5, 2 x 1 ，3 x 3, x 2

所以，函数 y | x 1| | 2 x 4 | 的图象如右图所示.

点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.