2-2导数及其应用知识点总结
人教版高中数学选修2-2知识点汇总
人教版高中数学必修2-2知识点第一章导数及其应用一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像，我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.基本初等函数的导数公式：若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；若()f x x α=，则1()f x x αα-'=；若()sin f x x =，则()cos f x x'=若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；若()x f x a =，则()ln x f x a a'=若()x f x e =，则()xf x e '=若()log x a f x =，则1()ln f x x a '=若()ln f x x =，则1()f x x '=2.导数的运算法则[()()]()()f xg x f x g x '''±=±[()()]()()()()f xg x f x g x f x g x '''∙=∙+∙2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=3.复合函数求导()y f u =和()u g x =，称则y 可以表示成为x 的函数，即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；求函数()y f x =的极值的方法是：如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值；3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系；求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识，求函数的最大(小)值，从而解决实际问题第二章推理与证明1.归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用复习优质
3.利用导数研究函数的极值和最值
1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3) 检 验 f′(x) ＝ 0 的 根 的 两 侧 f′(x) 的 符 号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．
(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1， ∴直线 l 的方程为 3 y＝(3x2 ＋ 1)( x － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 又∵直线 l 过点(0,0)， 3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16， 3 整理得，x0＝－8， ∴x0＝－2.
解之得，x0＝－2， 3 ∴y0＝(－2) ＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x， 切点坐标为(－2， －26)． x (3)∵切线与直线 y＝－ ＋3 垂直， 4 ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0， y0)，则 f′ (x0)＝ 3x2 0＋ 1＝ 4， ∴ x0＝ ± 1， x0＝1 x0＝－1， ∴ 或 y0＝－ 14 y0＝－ 18. 即切点为 (1，－ 14)或 (－ 1，－ 18)． 切线方程为 y＝4(x－ 1)－14 或 y＝ 4(x＋ 1)－18. 即 y＝4x－ 18 或 y＝4x－ 14.
例 3： 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx， 在区间(－2,1) 2 内，当 x＝－1 时取极小值，当 x＝ 时取极大值． 3 (1)求函数 y＝f(x)在 x＝－2 时的对应点的切线方程； (2)求函数 y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
人教a版数学【选修2-2】第1章《导数及其应用》归纳总结课件
3 1 ∴x1＝2是极小值点，x2＝2是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号， 结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，∴Δ＝ 4a2－4a＝4a(a－1)≤0， ∵a＞0，知0＜a≤1. ∴a的取值范围为(0,1]．
1 2 5．(2014· 成都质量检测)已知函数f(x)＝－2x ＋2x－aex. (1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程； (2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．
故函数g(x)在x＝3处取得极小值，亦即最小值， 1 1 即g(x)min＝－e3，所以a≤－e3， 1 即实数a的取值范围是(－∞，－e3]．
典例探究学案
1 2 [解析] (1)当a＝1时，f(x)＝－2x ＋2x－ex， 1 2 3 则f(1)＝－2×1 ＋2×1－e＝2－e， f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e， 3 故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－( 2 －e)＝(1－e)(x 1 －1)，即y＝(1－e)x＋2.
ex· 1＋ax2－2ax [解析] 对f(x)求导得f′(x)＝ .① 1＋ax22 4 (1)当a＝3时，令f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0， 3 1 解得x1＝2，x2＝2.
结合①，可知 x f ′( x ) f ( x) 1 (－∞，2) ＋ 1 2 0 极大值 1 3 (2，2) － 3 2 0 极小值 3 (2，＋∞) ＋
1.(2014· 黄山模拟)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝ ( ) A．e2 ln2 C． 2 B．e D．ln2
[答案] B [解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1， 由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，解得x0＝e.
高中数学选修2-2最全知识点汇总
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 内
(1)如果 ，那么函数 在这个区间单调递增；(2)如果 ，那么函数 在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数 的极值的方法是:（1）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极大值（2）如果在 附近的左侧 ,右侧 ,那么 是极小值;
3.导函数：当x变化时， 便是x的一个函数，我们称它为 的导函数. 的导函数有时也记作 ,即
二.导数的计算
基本初等函数的导数公式:
1若 (c为常数)，则 ；2若 ,则 ;
3若 ,则 4若 ,则 ;
5若 ,则 6若 ,则
7若 ,则 8若 ,则
导数的运算法则
1. 2.
3.
复合函数求导 和 ,称则 可以表示成为 的函数,即 为一个复合函数
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
(1)找出两类事物的相似性或一致性;
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
(3)一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
2,几个重要的结论
(1) (2) (3)若 为虚数,则
3.单位i的一些固定结论：
（1） （2） （3） （2）
(4)一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.
考点二演绎推理(俗称三段论)
高中数学选修2-1、2-2知识点小结
选修2-1、2-2知识点选修2-1第一章 常用逻辑用语 1. 命题及其关系① 四种命题相互间关系： ② 逆否命题同真同假 2. 充分条件与必要条件p 是q 的充要条件：p q ⇔p 是q 的充分不必要条件：,p q q p ⇒¿ p 是q 的必要不充分条件：,q p p q ⇒¿ p 是q 的既充分不必要条件：,p q q p 靠3. 逻辑联结词 “或”“且”“非”4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化. 例：“a=1”是“0,21ax x x∀>+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第二章 圆锥曲线与方程 1.2. “回归定义” 是一种重要的解题策略。
如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。
3. 直线与圆锥曲线的位置关系（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；②点差法 （主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：12122100212,2,22x x y y y yx y k x x ++-===-） （2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）① 直线具有斜率k ，两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y1212AB x y =-==- ② 直线斜率不存在,则12AB y y =-.（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结高中数学人教版选修2-2导数及其应用学问点总结数学选修2-2导数及其应用学问点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的转变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxex xylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinx dxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特殊地：Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特殊地："2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特殊地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数f"(x)②令f"(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f"(x)8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在a,b 上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
2014年人教A版选修2-2课件 第一章小结(导数及其应用)
本章内容
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 变化率与导数 导数的计算 导数在研究函数中的应用 生活中的优化问题举例 定积分的概念 微积分基本定理 定积分的简单应用 第一章 小结
知识要点 例题选讲
复习参考题 自我检测题
1. 平均变化率与瞬时变化率 (1) 平均变化率: f f ( x2 ) f ( x1 ) | BC | . x x2 x1 | AB | (2) 瞬时变化率:
4. 基本初等函数的导数公式 (1) 若 f(x)c, 则 f (x)0; (2) 若 f(x)xn (nQ*), 则 f (x)nxn1; (3) 若 f(x)sin x, 则 f (x)cos x; (4) 若 f(x)cos x, 则 f (x) sin x; (5) 若 f(x)ax, 则 f (x)ax lna; (6) 若 f(x)ex, 则 f (x)ex; (7) 若 f(x)logax, 则 f (x) 1 ; x ln a (8) 若 f(x)lnx, 则 f (x) 1 . x
b a f ( x)dx F (b) F (a).
为了方便, 常把 F(b)F(a) 记成 F ( x)|b a, 即
b b a f ( x)dx F ( x)|a F (b) F (a).
(牛顿-莱布尼兹公式)
14. 定积分的性质
(1)
选修2-2第一章导数及其应用归纳整合
边梯形面积的区别．
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解读高考
专题一 应用导数解决与切线相关的问题 根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可 以应用导数解决一些与切线相关的问题．
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【例 1】 设函数 f(x)＝4x2－ln x＋2，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程． 1 解 f′(x)＝8x－ x. 所以在点(1，f(1))处切线的斜率 k＝f′(1)＝7， 又 f(1)＝4＋2＝6， 所以切点的坐标为(1,6)， 所以切线的方程为 y－6＝7(x－1)，即 y＝7x－1.
(2)求函数最值的步骤
一般地，求函数y ＝f(x) 在[a ，b] 上最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
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解读高考
7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数 关系)，如果函数在区间内只有一个点x0，使f′(x0)＝0，则f(x0)是 函数的最值．
为增(或减)函数的充分条件．
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5．利用导数研究函数的极值要注意 (1) 极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言 的．
(2) 连续函数f(x) 在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能
没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函 数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小． (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零 的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点
3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.4知识点总结含同步练习题及答案
1 1 1 25 ． + +⋯+ < n+1 n+2 2n 36
即
2n 1 1 1 1 n + +⋯+ <∫ dx = ln x| 2 n = ln 2n − ln n = ln 2， n+1 n+2 2n x n
因为ln 2 ≈ 0.6931 ， 25 ≈ 0.6944 ，所以ln 2 < 25 ．所以
3 1
π 2 dx；（3）∫ 0 2 (sin x − cos x)dx． x
∫
(1 + x + x2 ) = ∫
3 1
1 2 3 1 x | 1 + x3 | 3 1 2 3 1 1 = (3 − 1) + (3 2 − 1 2 ) + (3 3 − 1 3 ) 2 3 44 = . 3 = x| 3 1 +
∑ f (ξi )Δx = ∑
i =1 i =1 n n
b−a f (ξi )， n
当 n → ∞ 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分（definite integral），记作 ∫ ab f (x)dx，即
∫
b a
f (x)dx = lim ∑
∫
b a
f (x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a).
例题： 利用定积分定义计算： （1）∫ 1 (1 + x)dx；（2）∫ 0 xdx． 解：（1）因为 f (x) = 1 + x 在区间 [1, 2] 上连续，将区间 [1, 2] 分成 n 等份，则每个区间的
人教版高中数学选修2-2知识点汇总
人教版高中数学必修2-2知识点第一章导数及其应用一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像，我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3.导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数.()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1.基本初等函数的导数公式：若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=；若()f x x α=，则1()f x x αα-'=；若()sin f x x =，则()cos f x x'=若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；若()x f x a =，则()ln x f x a a'=若()x f x e =，则()xf x e '=若()log x a f x =，则1()ln f x x a '=若()ln f x x =，则1()f x x '=2.导数的运算法则[()()]()()f xg x f x g x '''±=±[()()]()()()()f xg x f x g x f x g x '''∙=∙+∙2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''∙-∙'=3.复合函数求导()y f u =和()u g x =，称则y 可以表示成为x 的函数，即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况；求函数()y f x =的极值的方法是：如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值；如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值；3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系；求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题利用导数的知识，求函数的最大(小)值，从而解决实际问题第二章推理与证明1.归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
2-2导数应用6
四、练习 1、函数 f ( x ) = ax3 + ( a – 1 )x2 + 48( b – 3 )x + b 的 图象关于原点中心对称，则 f ( x) ( ) A．在[–4 3 ，4 3 ]上为增函数 B． 在[–4 3 ，4 3 ]上非单调 C． 在[4 3 ，+∞)上为增函数, 在 (– ∞, –4 3 ]为减函数 D． 在 (– ∞, –4 3 ]为增函数，在[4 3 ，+∞)上也为增函数,
例4求函数y f ( x) x3 2 x 2 5在区间 2,2上的
最大值与最小值 .
例5如图所示, 一边长为48cm的正方形铁皮 四角各截去 , 一个大小相同的正方形然后折起, 可以做成一个无盖 , 长方本容器所得容器的容积 (单位 : cm3 )是关于截去 . V 的小正方形的边长 (单位 : cm)的函数. x (1)随着x的变化, 容积V是如何变化的? (2)截去的小正方形的边长 为多少时, 容器的容积最大? 最大容积是多少?
2、 y=xlnx 在区间（0，1）上是（ 函数 A.单调增函数
）
B. 在（0，
1 1 ）上是减函数，在（ ,1）上是增函数 e e
C. 单调减函数 D.在（0,
1 1 ）上是增函数，在（ ,1)上是减函数 e e
3 课本 P67 练习 1 四、作业 p69、2、4
教 学 反 思
备课组长签字：
课题 三维 目标 重点 难点 教法 教具
导数在实际问题中的应用（2）
第 6 课时
（1） 理解函数最值的概念、 最值与极值的关系。 （2） 掌握用导数的方法求函数的最值。 （3） 通过建立函数模型，掌握用求导的方法解决实际生活中的一些最优化问题。
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
人教版数学高二人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》章末小结
章末小结知识点一导数的概念与几何意义求曲线的切线的方法求曲线的切线分两种情况(1)求点P(x0，y0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k ＝y′|x＝x0.(2)求过点P(x1，y1)的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点(x0，y0)，求出切线斜率k＝y′|x＝x0，利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．已知函数y＝x3－x，求函数图象(1)在点(1，0)处的切线方程；(2)过点(1，0)的切线方程．解析：(1)函数y＝x3－x的图象在点(1，0)处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，所以函数的图象在点(1，0)处的切线方程为y＝2x－2.(2)设函数y＝x3－x图象上切点的坐标为P(x0，x30－x0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x20－1，切线方程为y－(x30－x0)＝(3x20－1)(x－x0)，由于切线经过点(1，0)，所以0－(x30－x0)＝(3x20－1)(1－x0)，整理，得2x 30－3x 20＋1＝0，即2(x 30－1)－3(x 20－1)＝0，所以2(x 0－1)(x 20＋x 0＋1)－3(x 0＋1)(x 0－1)＝0， 所以(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0， 解得x 0＝1或x 0＝－12.所以P (1，0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，38，所以切线方程为y ＝2x －2或y ＝－14x ＋14.知识点二 导数与函数的单调性 求函数f (x )的单调区间的方法步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)计算函数f (x )的导数f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，得到函数f (x )的递增区间；解不等式f ′(x )<0，得到函数f (x )的递减区间．提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．(2014·高考大纲卷)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在区间(1，2)是增函数，求a 的取值范围． 解析：(1)因为函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x ， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3.令f ′(x )＝0，即3ax 2＋6x ＋3＝0，则Δ＝36(1－a )。
选修2-2 导数及其应用 复习
绵阳市开元中学高2013级高二（下）数学期末复习 选修2—2 第一章 导数及其应用题卷设计：绵阳市开元中学 王小凤老师 学生姓名一．知识归纳1．函数的平均变化率x ∆=∆y ()()()()()f x x f x f x x f x x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2．导数定义 函数的瞬时变化率()()()()()00lim limx x f x x f x f x x f x x x xx ∆→∆→+∆-+∆-==+∆-∆ 注1：当x∆∆y存在极限时，极限值叫做瞬时变化率，并把这个变化率叫做导数，即：()()()lim'x f x x f x f x x∆→+∆-=∆或记作'x y注2：函数的瞬时变化率可以看作是物体运动的瞬时速度。
（导数的物理意义）（1）利用导数定义把具有特殊形式的极限值转化为导数值，求解计算； （2）求以曲线上()()00,x f x 为切点的切线的斜率，即()0'k f x =；（3）求函数的单调区间：()'0f x >⇒()f x 增，()'0f x <⇒()f x 减，间断的导数为零的点不影响函数的单调性；（注意定义域限制条件）（4）求函数的极值：导函数的变号零点为函数的极值点，先增后减极大，先减后增极小，解答的过程需要画表格；求函数的最值：连续函数在闭区间上一定有最大、最小值，最值取在区间端点或极值点处，解答的过程需要画表格；二．考点训练考点一. 导数的概念及其意义1．已知函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，且),(0b a x ∈，则=--+→hh x f h x f h )()(lim000( )A ．)('0x fB ．)('20x fC ．)('20x f -D ．0 2．设)(x f 在0x x =处可导，且1)()3(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ，则)(0x f '等于（ ）A ．1B ．0C ．3D ．31 3．某质点的运动方程是2)12(--=t t S ，则在t=1s 时的瞬时速度为（ ） A ．－1 B ．－3 C ．7 D ．134．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为（ ） A ．（3，9） B ．（－3，9） C ．（49,23） D ．（49,23-）5．曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为（ ） A ．20x y --= B ． 20x y +-= C ．450x y +-=D ．450x y --=6．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 ( )A ． )32[ππ，B ．]322(ππ，C ． ),32[)2,0[πππ D ． ),65[)2,0[πππ 7．曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2B ．24eC ．22eD ．2e8． 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是_________________; 考点二. 导数计算9．下列求导运算正确的是（ ）A ．(x +211)1x x +=' B ．(log 2x )'=2ln 1x C ．(3x )'=3x log 3e D ．(x 2cos x )'=－2x sin x10．函数()22)(x x f π=的导数是（ ）A ．x x f π4)(='B ．x x f 24)(π='C ．x x f 28)(π=' D ． x x f π16)(='11．设xx y sin 12-=，则='y （ ）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xxx x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．xx x x sin )1(sin 22---12．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 13．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 ( ) A ．0 B ．4- C ．2- D ．214．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．32考点三. 导数应用（一）判断函数单调性（求单调区间）15．函数xex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）A ．[]0,1-B ．[]8,2C ．[]2,1D ．[]2,0 16．函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间是（ ）A ．)2,(-∞B ．(0,3)C ．(1,4)D ．),2(+∞ 17．函数x x y ln =的单调递减区间是（ ） A ．（1-e ，+∞）B ．（－∞，1-e ）C ．（0，1-e ） D ．（e ，+∞）18．下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是（ ） A ．x y 2sin =B ．xxe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(19．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的是（ ）A ．①、②B ．①、③C ．③、④D ．①、④20．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）21．右图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，'()f x 为函数()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ⋅<的解集为__________________．22．方程0109623=-+-x x x 的实根个数是 ( ) A ． 3 B ． 2 C ． 1 D ．023．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A.(0)(2)2(1)f f f +<B.(0)(2)2(1)f f f +≤C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>24．函数()f x 是(0,)+∞上的可导函数，且'()2f x x >，则对于0a b >>，必有（ ）A ．22()()f a f b a b ->- B ．22()()f a f b a b -<-C ．22()()f a f b a b -=- D ．()()f a f b -与22a b -关系不能确定25．已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++．讨论函数()f x 的单调性．26．已知函数)4,1()(23M bx ax x f 的图象经过点+=，曲线在点M 处的切线恰好与直线09=+y x 垂直．若函数m m m x f 求上单调递增在区间,]1,[)(+的取值范围．考点四. 导数应用（二）极值与最值的求解27．0'()f x =0是可导函数()x f y =在点0x x =处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ． 充要条件 D ．非充分非必要条件 28．函数()x f 的定义域为区间()b a ,，导函数()x f'在()b a ,内的图如图所示，则函数()x f 在()b a ,内的极小值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 29．函数32)1()2()(-+=x x x f 的极大值点是（ ）A ．2=xB ．1=xC ．1-=xD ．2-=x30．已知函数bx ax x x f --=23)(的图象与x 轴切于点（1，0），则)(x f 的极值为（ ）A ．极大值274，极小值0 B ．极大值0，极小值274 C ．极小值－274，极大值0D ．极大值－274，极小值031．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．不确定32．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(-D ．)21,21(- 33．函数a ax x y +-=23在)1,0(内有极小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,3)B ． )3,(-∞C ． ),0(+∞D ． )23,0(34．已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 ( )A ．21<<-aB ．63<<-aC ．3-<a 或6>aD ．1-<a 或2>a35．函数5123223+--=x x x y 在]3,0[上的最大值和最小值依次是( )A ．15,12-B ．15,5-C ． 4,5-D ．15,4--36．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe三．综合应用37．已知函数()32()3(36)+124f x x ax a x a a R =++--∈ (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），求a 的取值范围.38．设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值.(Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点.39．已知函数2()2ln .f x x x a x =++(Ⅰ)若函数()(0,1)f x 在区间上是单调函数，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当t ≥1时，不等式(21)2()3f t f t -≥-恒成立，求实数a 的取值范围．40．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值-3-c ，其中a,b,c 为常数。
[高二数学]数学选修2-2-导数及其应用
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三、函数的单调性与导数 1.导数与函数单调性 函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导，如果f′(x)＞0，则 y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，则y=f(x)在 这个区间内单调递减.
2.讨论函数单调性应注意的问题 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的 定义域，解决问题的过程只能在定义域内通过讨论导数的符号 来判断函数的单调区间. (2)一般利用使导数等于零的点来分函数的单调区间. (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么 这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和” 字隔开.
二、导数的计算
1.基本初等函数的导数公式
(1)(c)′=0，(c为常数).
(2)(xα)′=αxα-1(α∈Q*).
(3)(sinx)′=cosx.
(4)(cosx)′=-sinx.
(5)(ax)′=axlna(a>0且a≠1).
(6)(ex)′=ex.
(7)(logax)′=
1 x ln a
(a>0且a≠1).
(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在 该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件 (例如，f(x)=x3). (5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常数函数. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义 在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思 想. (7)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有 f′(x)＞0，则f(x)在该区间上仍为增函数.
七、微积分基本定理
定理内容
符号表示
作用
如果f(x)是区间［a,b］上 的连续函数，并且 F′(x)=f(x)，那么
高中数学苏教版选修2-2第一章1.4导数在实际生活的应用课件
解题回顾
1.本题求解电功率的最大值问题用了导数法，
可见数学是物理研究的工具和手段.
2.解题中，出现多个字母时，要认清哪个是变量，
哪个是常量.
例4 强度分别为, 的两个点光源，间的
距离为，试问：在连结两光源的线段上，
何处照度最小？试就 = , = , = 时回
答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光
当0 < < 1000时，′ < 0 ；当 > 1000时，′ > 0 .
所以，当 = 1000时， 取得极小值，也是最小值，
也就是此时边际成本最低.
（2）由 = 100 − 0.01得收益函数 = (100 − 0.01)，
则利润函数 = −
例2 某种圆柱形饮料罐的容积一定，
如何确定它的高与底半径，才能使它
的用料最省？
解 设圆柱的高为，底半径为，
则表面积S=2 + .
又圆柱体积 = （定值），则 =
，故
= ∙
+
=
+
> .
′
由 = − + = ， 解 得
后用导数法求目标函数的最值，最后回
到实际问题.
例题解析
例3 在如图所示的电路中，已知电源的内
阻为，电动势为.当外电阻为多大时，
才能使电功率最大？最大电功率是多少？
2
解 电功率 = ，其中 =
则 =
2
+
′ =
2
′
=
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数学选修2-2推理与证明知识点必记
13.归纳推理的定义是什么？
答：从个别事实．．．．中推演出一般性．．．
的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
归纳推理是由部分到整体．．，由个别到一般．．
的推理。
14.归纳推理的思维过程是什么？
答：大致如图：
15.归纳推理的特点有哪些？
答： ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义是什么？
答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。
类比推理是由特殊．．到特殊．．
的推理。
17.类比推理的思维过程是什么？
答：
18.演绎推理的定义是什么？
答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
演绎推理是由一般．．到特殊．．
的推理。
19．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论
20.“三段论”可以表示为什么？
答： ①大前题：M 是P ②小前提：S 是M ③结论：S 是P 。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？
答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。
直接证明包括综合法和分析法。
22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
23.什么是分析法？
答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证A ，只要证B ，B 应是A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
24什么是间接证明？
观察、比较 联想、类推 推测新的结论 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？
答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确．．．
，即所求证命题正确。
26常见的“结论词”与“反义词”有哪些？
原结论词 反义词 原结论词
反义词 至少有一个
一个也没有 对所有的x 都成立 存在x 使不成立 至多有一个
至少有两个 对任意x 不成立 存在x 使成立 至少有n 个
至多有n-1个 p 或q p ⌝且q ⌝ 至多有n 个 至少有n+1个 p 且q p ⌝或q ⌝ 27.反证法的思维方法是什么？答：正难则反．．．．
28.如何归缪矛盾？
答：（1）与已知条件．．．．矛盾；（2）与已有公理、定理、定义．．．．．．．．．．矛盾； （3）自相．．矛盾．
29．数学归纳法（只能证明与正整数．．．
有关的数学命题）的步骤是什么？ 答：(1)证明：当n 取第一个值．．．．
()00n n N *∈时命题成立； (2)假设当n=k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1．．．．．
时命题也成立. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确
注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
数学选修2-2数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么？
答：形如a+bi ．．．．
的数叫做复数，其中i 叫虚数单位，a 叫实部， b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
规定：a bi c di +=+⇔a=c ．．．且．b=d ．．．
，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。
31．数集的关系有哪些？答：0000b Z a b a =⎧⎪≠⎧⎨⎪≠⎨⎪=⎪⎩⎩
实数 ()复数一般虚数()虚数 ()纯虚数()
32.复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.什么是复平面？
答：根据复数相等的定义，任何一个复数bi a z +=，都可以由一个有序实数对),(b a 唯一确定。
由于有序实数对),(b a 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。
这个建立了直角坐标
系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
34.如何求复数的模(绝对值)？
答：与复数z 对应的向量OZ 的模r 叫做复数bi a z +=的模(也叫绝对值)记作bi a z +或。
由模的定义可知：22b a bi a z +=+=
35.复数的加、减法运算及几何意义是什么？
答：①复数的加、减法法则：12z a bi c di =+=+与z ，则12()z z a c b d i ±=±+±。
注：复数的加、减法运算也可以按向量．．
的加、减法来进行。
②复数的乘法法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++。
③复数的除法法则：2222
()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d c d ++-+-==+++-++ 其中c di -叫做实数化因子
36.什么是共轭复数？
答：两复数a bi a bi +-与互为共轭复数，当0b ≠时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
)9(设231i +-=ω是1的立方虚根，则012=++ωω，1,,332313===+++n n n ωωωωω。