湖北省三第一次诊断考试数学试卷及答案

湖北省八市2012届高三三月联考数学理试卷本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.★ 祝考试顺利 ★注意事项：１.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上． ２.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效． ３.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合2{|03},{|320,}A x x B x x x x Z ==-+∈≤≤≤，则A B 等于A ．(1,3)-B ．[1，2]C ．{}0,1,2D ．{}1,22．设,,l m n 表示不同的直线，αβγ，，表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且.m α⊥则l α⊥； ②若m ∥l ，且m ∥α.则l ∥α； ③若,,l m n αββγγα===，则l ∥m ∥n ； ④若,,,m l n αββγγα===且n ∥β,则l ∥m . 其中正确命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．如果数列1a ，21a a ，32a a ，…，1n n a a -，…是首项为1，公比为5a 等于 A ．32B ．64C ．-32D ．-644．下列命题中真命题的个数是①“2,0x R x x ∀∈->”的否定是“2,0x R x x ∃∈-<”； ②若|21|1x ->，则101x<<或10x<； ③*4,21x N x ∀∈+是奇数. A ．0B ．1C ．2D ．35．若实数x ，y 满足20,,,x y y x y x b -⎧⎪⎨⎪-+⎩≥≥≥且2z x y =+的最小值为4，则实数b 的值为A ．0B ．2C ．83D ．36．21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n 的值可以为 A ．3 B ．4C ．5D ．67．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是A ．32B ．3C ．3-D ．3-8．已知方程：22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦距为8的双曲线，则m 的值等于 A ．-30 B ．10 C ．-6或10 D ．-30或349．已知函数()x f x a x b =+-的零点0(,1)()x n n n Z ∈+∈，其中常数a ，b 满足23a =，32b =，则n 等于 A ．-1B ．-2C ．1D ．210．设{}(,)|02,02,,A a c a c a c R =<<<<∈，则任取(,)a c A ∈，关于x 的方程220ax x c ++=有实根的概率为 A ．1ln 22+ B ．1ln 22- C ．12ln 24+ D ．32ln 24-二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡中相应的位置)11．已知i 是虚数单位，计算2(2)34i i+-的结果是 ▲ .12．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 ▲ ．开始s =0，n =1 n ≤2012s =s +sin 3n πn = n +1输出s 结束否是第7题O 40 50 60 70 80 90 100 分数频率组距 第13第1413．如图：已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树 ▲ 米时，看A 、B 的视角最大．14．如图所示：有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． （1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3 号针最少需要移动的次数记为()f n ；则：（Ⅰ）(3)f = ▲ (Ⅱ) ()f n = ▲15．（考生注意：本题为选做题，请在下列两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第（1）题计分）（1）（《几何证明选讲》选做题）.如图：直角三角形ABC 中，∠B ＝90 o ，AB ＝4，以BC 为直径的圆交边AC 于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为 ▲ ．（2）(《坐标系与参数方程选讲》选做题).已知直线的极坐标方程 为2sin()4πρθ+=7(2,)4A π到这条直线的距离 为 ▲ ．三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如下图所示． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值． AC D第15题y1 12－－－0 2 3 4 5 6 7 x第16题17．（本题满分12分）形状如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，M 、N 分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，O 为圆心，图（3）是正六边形,点P 为其中心）各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏．（I ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少（II ）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件数与小球没有停在阴影部分的事件数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望．18．（本题满分12分）一个四棱椎的三视图如图所示： （I ）求证：PA ⊥BD ；（II ）在线段PD 上是否存在一点Q ，使二面角Q -AC -D 的平面角为30o 若存在，求DQ DP的值；若不存在，说明理由．19．（本题满分12分）如图:O 方程为224x y +=，点P 在圆上，点D 在x 轴上，点M 在DP 延长线上，O 交y 轴于点N ，//DP ON .且3.2DM DP =第18第17(1) ((（I ）求点M 的轨迹C 的方程；（II）设12(0,F F 、，若过F 1的直线交（I ）中曲线C 于A 、B 两点，求22F A F B 的取值范围．20．（本题满分13分）已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈． （I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2mg x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值21．（本题满分14分） 顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点0(1,1)A ，过点0A 作抛物线的切线交x 轴于点B 1，过点B 1作x 轴的垂线交抛物线于点A 1，过点A 1作抛物线的切线交x 轴于点B 2，…，过点(,)n n n A x y 作抛物线的切线交x 轴于点11(,0)n n B x ++． （I ）求数列{ x n }，{ y n }的通项公式()n N *∈；（II ）设11111n n n a x x +=++-，数列{ a n }的前n 项和为T n ．求证：122n T n >-； （III ）设21log n n b y =-，若对于任意正整数n ，不等式11(1)(1)b b ++…1(1)nb +≥a数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）二、填空题：（每小题5分，满35分）第2111．7242525i -+ 12．600 13．6 14．7（3分） 21n -（2分） 15．(1)30o2三、解答题:(本大题共6小题，共75分) 16．（I ）由图象，知A ＝2，2π8ω=, ∴π4ω=，得π()2sin()4f x x ϕ=+, (2)分当1x =时，有ππ142ϕ⨯+=, ∴π4ϕ=．…………………………………………………………………………4分 ∴ππ()2sin()44f x x =+． (6)分（II ）ππππ2sin()2sin[(2)]4444y x x =++++ππππ2sin()2cos()4444x x =+++……………………………………………8分ππsin()42x =+π4x =…………………………………………………………………10分∴max y =min y =- (12)分 17．（I ）“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件A 1、A 2、A 3，由题意知，A 1、A 2、A 3互相独立，且P (A 1)12=，P (A 2)14=，P (A 3)13=， …3分P (A 1A 2 A 3)= P (A 1) P (A 2) P (A 3)12=×14×13124=………………………………6分 （II ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3，则P (ξ=3)= P (A 1 A 2 A 3)+ P (123A A A )=P (A 1) P (A 2) P (A 3)+ P (1A )P (2A )P (3A )12=×14×13+ 12×34×23724=， P (ξ=1)=1－724=1724． …………………………………………………………8分ξ 13P1724 724数学期望E ξ=1×24+3×24=12． ………………………………………12分18．（I ）由三视图可知P -ABCD 为四棱锥，底面ABCD 为正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ， 连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ?． ……………………………………………3分因为BD ⊥AC ，BD ⊥PO ，所以BD ⊥平面PAC ， 即BD ⊥PA ．…………………………………………………………………………6分（II ）由三视图可知，BC ＝2，PA ＝22，假设存在这样的点Q ，因为AC ⊥OQ ，AC ⊥OD ，所以∠DOQ 为二面角Q -AC -D 的平面角， ……………………………………8分在△POD 中，PD ＝22，OD ＝2，则∠PDO ＝60o ，在△DQO 中，∠PDO ＝60o ，且∠QOD ＝30o ．所以DP ⊥OQ ． ……………10分所以OD ＝2，QD ＝2． 所以14DQ DP =． …………………………………………12分 19．（I ）设()00(,),,p x y M x y ，0000233322y yy y DM DP x x x x===⇒⇒==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩由于 ……………………………3分 代入22004x y +=得22149x y += …………………………………………5分（II ）①当直线AB 的斜率不存在时，显然224F A F B =-； ………………………………10OQ6分②当直线AB 的斜率存在时，不妨设AB的方程为：y kx =+2222(94)160149y kx k x x y ⎧=⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩由不妨设11122()()A x y B x y ，，，， 则：12122 1694x x x x k ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩2211221122(,5)(,5)(,25)(,25)F A F B x y x y x kx x kx =++=++212121212((25)(1)()20x x kx kx k x x x x =+++=++++…8分222222216(1)8096162002020494949494k k k k k k k -+---++=+=-+++++ ……10分22220020009940949k k k ∴+∴<+≤≤≤ 2216449F A F B -<≤ ……………………………………………………11分综上所述22F A F B 的范围是1644,9⎡⎤-⎢⎥⎣⎦………………………………………12分20．()(0)a f x a x x'=-> ……………………………………………………………1分（I ）当1a =时，11()1xf x xx-'=-=， ……………………………………2分令()0f x '>时，解得01x <<，所以()f x 在（0，1）上单调递增；………4分令()0f x '<时，解得1x >，所以()f x 在（1，+∞）上单调递减．…………6分（II ）因为函数()y f x =的图象在点（2，(2)f ）处的切线的倾斜角为45o ， 所以(2)1f '=．所以2a =-，2()2f x x -'=+． ………………………………………………7分322()[2]2m g x x x x=++- 32(2)22m x x x =++-，2()3(4)2g x x m x '=++-， ……………………………………………………9分因为任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2mg x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值， 所以只需(2)0,(3)0,g g '<⎧⎨'>⎩…………………………………………………………11分 解得3793m -<<-． ……………………………………………………………13分 21．（I ）由已知得抛物线方程为2,2y x y x '==． ………………………………………2分则设过点(,)n n n A x y 的切线为22()nn n y x x x x -=-． 令0,2n x y x ==，故12n n xx +=． 又01x =，所以12n n x =，14n n y =． ……………………………………………4分（II ）由（1）知1()2n n x =．所以11111221121211()1()22n n n n n n n a +++=+=++-+- 21121n n +-=++1121121n n ++-+-1121n=-++1+1121n +- 12(21n =--+1121n +-) ． (6)分由11212n n <+，1111212n n ++>-， 得121n -+1121n +-12n <-112n +． 所以n a 12(21n =--+1121n +-)12(2n >--112n +)．…………………………7分从而122231111111[2()][2()][2()]222222n n n n T a a a +=+++>--+--++--22311111112[()()]()]222222n n n +=--+-++-11112()2222n n n +=-->-，即n T >122n -．…………………………………………………………………9分（III ）由于14n ny =，故21n b n =+． 对任意正整数n，不等式12111(1)(1)(1)nbb b +++≥ 即a 12111(1)(1)(1)nb b b +++恒成立． 设()f n =12111(1)(1)(1)nb b b +++，………………………………10分则(1)f n +=1211111(1)(1)(1)(1)n n b b b b +++++． 故(1)()f n f n+=11(1)n b ++2423n n ++=523n + 1>所以(1)()f n f n +>，故()f n递增． (12)分则min 4()(1)3fn f === 故0a <．…………………………………………………………………14分。