小学数学竞赛(二)一种有趣的快速验算法——九余数
除以9的余数规律
除以9的余数规律在数学中，除法是一种非常基本且常见的运算方式。
而除以9的余数规律，是一种特殊的规律，它与数的位数、数位之和以及数的排列顺序有关。
本文将详细介绍除以9的余数规律，并通过具体例子来加深理解。
1. 个位数规律我们来看一下个位数除以9的余数规律。
任何个位数除以9，其余数都等于这个数本身。
例如，1除以9的余数是1，2除以9的余数是2，以此类推。
这是因为个位数本身就是除数9的倍数加上余数。
2. 两位数规律接下来，我们来探讨两位数除以9的余数规律。
对于任意两位数ab，其中a和b分别代表十位数和个位数。
可以将两位数ab表示为10a+b。
当10a+b除以9时，根据除法的性质，可以将10a和b分别除以9，即(a+b)除以9。
因此，两位数除以9的余数等于十位数和个位数之和除以9的余数。
举个例子来说明，假设我们要求56除以9的余数。
根据上述规律，可以将56表示为10*5+6，即50+6。
然后，我们将50和6分别除以9，得到5和6除以9的余数。
由于5除以9的余数是5，6除以9的余数是6，所以56除以9的余数就是5+6=11除以9的余数，即2。
因此，56除以9的余数是2。
3. 三位数及以上规律对于三位数及以上的数，除以9的余数规律同样适用。
我们可以将这类数表示为100a+10b+c，其中a、b和c分别代表百位数、十位数和个位数。
这样，当100a+10b+c除以9时，可以将100a、10b 和c分别除以9，即(a+b+c)除以9。
因此，三位数及以上的数除以9的余数等于各位数字之和除以9的余数。
例如，我们要求256除以9的余数。
将256表示为100*2+10*5+6，即200+50+6。
然后，我们将200、50和6分别除以9，得到2、5和6除以9的余数。
因此，256除以9的余数等于2+5+6=13除以9的余数，即4。
所以，256除以9的余数是4。
通过以上的例子，我们可以总结出除以9的余数规律：任意数除以9的余数等于各位数字之和除以9的余数。
2024年数学竞赛试题
2024年数学竞赛试题一、趣味数字部分1. 小明发现一个神奇的数字规律。
如果一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个数最小是多少呢？（提示：这可是古代就有的趣味数学问题哦，就像在数字的迷宫里找宝藏一样。
）2. 有一个四位数，它的各位数字之和是18，且千位数字是个位数字的2倍，百位数字比十位数字多1，这个四位数可能是多少呢？（想象你是一个数字侦探，要根据这些线索找出这个神秘的四位数。
）二、几何趣题1. 一个三角形的三条边分别为5厘米、12厘米和13厘米，现在以这个三角形的三条边为边长向外分别作三个正方形。
请问这三个正方形面积之和是多少平方厘米？（这个三角形可是很特别的哦，它就像一把神秘的钥匙，能打开计算正方形面积之和的大门。
）2. 有一个圆柱形容器，底面半径是5厘米，高是10厘米。
现在容器里装了一半的水，把一个底面半径是3厘米、高是8厘米的圆锥体完全浸入水中，水面会上升多少厘米呢？（就像圆锥体在水里做了一场有趣的“潜水表演”，让我们看看水面会因为它发生怎样的变化。
）三、生活中的数学1. 小王去超市买东西，他买了3袋薯片，每袋价格是5元；2瓶饮料，每瓶价格是4元；还买了1个蛋糕，价格是15元。
他给了收银员50元，收银员应该找给他多少钱呢？（这就像我们平时去购物一样，要算清楚自己的花费和找零哦。
）2. 学校组织植树活动，计划在一条长100米的小路两旁种树，每隔5米种一棵（两端都种）。
一共需要种多少棵树呢？（想象一下，我们要在这条小路上种上一排排绿色的小卫士。
）四、逻辑挑战1. 有A、B、C、D四个同学，他们分别来自不同的城市：北京、上海、广州和深圳。
A同学说：“我不是来自北京和上海。
”B同学说：“我不是来自广州。
”C同学说：“我不是来自深圳。
”D同学说：“我来自北京。
”那么，A、B、C三个同学分别来自哪里呢？（这就像是一场有趣的猜谜游戏，根据同学们的话来找出他们的家乡。
）2. 在一个神秘的岛上，住着两种人：诚实的人和说谎的人。
三年级上册教材(数学特色校本)
目录：1 有趣的九余数验算法（数与代数数学文化）2 和倍问题（一）（综合应用数形结合）3 差倍问题（一）（综合应用数形结合）4 趣味24点5 归一问题（一）（综合应用数形结合）6 归总问题（一）（综合应用数形结合）7 巧求周长（图形与几何数学转化思想）8 趣味24点1. 有趣的九余数验算法什么是九余数？九余数：一个数除以9所得的余数，叫做这个数的九余数。
利用九余数进行验算的方法叫九余数验算法，也叫“弃九”验算法。
求一个数的九余数：求出一个数的各位数字之和，如果一个数各位数字之和是两位数，再求两位数的两个数字之和，直到各位数字之和是一位数为止。
如果求出的和是9，则九余数为0，如果和不是9而是其它数，这个数就是九余数。
例1：计算并验算。
7284＋634＝验算：……7+2+8+4＝21＝2+1＝3……6+3+4＝13＝1+3＝4……7+9+1+8＝25＝2+5＝73+4＝7，所以计算可能正确。
例2：验算5326－4178＝1148，计算对吗？验算：5326－4178＝1148九余数 7 － 2 ＝ 5，等号两边九余数相同，说明计算可能正确。
及时巩固练习1：验算2483＋727＝3210，计算对吗？练习2：验算9768－452＝9316，对吗？2. 和倍问题（一）已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做和倍问题。
要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。
解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出1倍数，再求出几倍数。
数量关系可以这样表示：两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数）两数和－小数=大数例1：学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？提示：将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。
小学奥数竞赛专题之同余问题
小学奥数竞赛专题之同余问题关于小学奥数竞赛专题之同余问题[专题介绍]：同余问题中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近400名学生。
有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。
因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。
研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多较为复杂的问题。
[分析]1、两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类：1，3，5，7，9，……（奇数）0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类：0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：0（mod6）：0，6，12，18，24，……1（mod6）：1，7，13，19，25，……2（mod6）：2，8，14，20，26，……3（mod6）：3，9，15，21，27，……4（mod6）：4，10，16，22，29，……5（mod6）：5，11，17，23，29，……[经典例题]例1：求437×309×1993被7除的余数。
奥数巧方法之弃九法
奥数巧方法之弃九法奥数我们知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。
利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。
例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。
但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。
有没有更简便的方法呢？因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。
这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。
一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。
利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。
例1 求多位数7645821369815436715除以9的余数。
分析与解：利用弃九法，将和为9的数依次划掉。
只剩下7，6，1，5四个数，这时口算一下即可。
口算知，7，6，5的和是9的倍数，又可划掉，只剩下1。
所以这个多位数除以9余1。
例2 将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？分析与解：首先想到的能是利用高斯求和法，因为一个数与它的各个数位上的数字之和除以9的余数相同，所以题中这个数各个数位上的数字之和，与1＋2＋…＋100除以9的余数相同。
很容易得出和是5050。
因为5050的数字和为5＋0＋5＋0=10，利用弃九法，弃去一个9余1，故5050除以9余1。
因此题中的数除以9余1。
现再讲一种方法。
因为这个数太大，全部写出来很麻烦，在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数，所以要配合适当的分析。
任意数除以9的余数规律
任意数除以9的余数规律嘿，大家好！今天咱们聊聊一个很有意思的话题，就是任意数除以9的余数规律。
听起来有点高大上，其实挺简单的，咱们轻松聊聊，肯定让你觉得有意思。
说到9，大家可能会想起小学数学，心里那个“九”字，可能都觉得有点熟悉吧。
没错，9就像是个魔法数字，今天我就带你们一起探探它的奥秘。
想象一下，咱们有个数字，随便哪个，咱们先从一位数开始，比如说7。
把7除以9，结果就是7，这没什么好说的，对吧？但如果我们再试试12，那就是12除以9，结果是1，余数是3。
你看，9好像就是个筛子，把这些数字一筛，余下的就是它们和9的关系。
这种关系可不止于此哦。
就拿个三位数来说，假如是123，大家看看，123除以9，结果是13，余数是6。
哎，注意到了吗？其实这和各位数字的和有关！123的每一位加起来，1加2加3，结果就是6，正好就是余数。
再来个大一点的，23456。
嘿嘿，这数字可不少，咱们把它的各个数字加起来，2加3加4加5加6，得20。
然后，20再除以9，结果是2，余数是2。
再想想，这个余数又回到23456上面，真的是挺有意思的。
只要你把任意数的各位数字相加，然后再对9取余，基本上就是这个数对9的余数了，真是个小妙招。
不光是加法，乘法也有些小技巧。
比如说，你把一个数字乘以9，这个结果的各位数字也能给你一些有趣的发现。
比如说，9乘以7，结果是63，这63的数字加起来6加3，等于9，嘿，这样你就又能回到9的世界里。
真是个循环的游戏呢！如果你把它扩展一下，乘以任意数字，结果也是这样的规律。
就好像你在玩一个无形的数字接龙，永远都能回到起点。
在生活中，数字到处都是，购物、做账、玩游戏，总是需要用到。
这个余数的规律，不仅仅是个数学题，更像是生活中的一个小伙伴。
比如说，你去超市，买东西花了多少钱，最后发现还要找零，这个时候，你就可以用这个余数的小技巧，来算算你实际花了多少。
心里一亮，原来这点小事也能用得上。
讲到这里，大家可能会想，哎，数学这么神奇，那我平时做的那些事情能不能也用上？当然可以！随便想想，买彩票、排队、甚至是做饭的时候，都是要用到这些数字的。
小学奥数之余数问题
小学奥数之余数问题【求余数】例2 9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。
（《现代小学数学》邀请赛试题）讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。
9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。
7×3=21，21÷9=2……3。
所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。
例3 在1、2、3、4、……、1993、1994这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出_______个。
（1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：可将1、2、3、……、1994这1994个数，分别除以26。
然后，按所得的余数分类。
要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。
但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。
这样的数有1994÷26=76（个）……余18（个）。
但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。
所以，最多能选出77个。
【同余问题】例1 一个整数，除300、262、205，得到相同的余数（余数不为0）。
这个整数是_____。
（全国第一届“华杯赛”初赛试题）讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。
因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。
不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。
例2 小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。
那么该题的余数是多少？（1989年上海市小学数学竞赛试题）讲析：被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。
又因为113÷6的余数是5，所以该题的余数也是5。
四年级、一、弃九验算法
十四、弃九验算法在多位数的加、减、乘、除计算中，有些同学可能为计算上的错误而烦恼。
下面就给大家介绍一种验算的好方法，叫做“弃九验算法”。
▲求53、87、1654、8552976的九余数。
在应用“弃九验算法”前，先要学会求一个数除以9的余数。
请看下题。
(1)求53和87的九余数。
用除法竖式可求得：53÷9＝5 (8)用弃九法可求得：53中十位上5加上个位上就是53÷9的余数。
用除法竖式可求得：87÷9＝9……63得到8，8用弃九法求得：87中“8+7＝15”，和是两位数15，再分别加一次，1+5＝6，6就是87÷9的余数。
(2)用弃九法求1654、8552976的九余数1654中1+6+5+4＝16，和是两位数，1+6＝7，那么1654÷9的余数是7。
8552976中8+5+5+2+9+7+6＝42，和是两位数，再作一次加法4+2＝6，那么8552976÷9的余数是6。
求8552976的九余数还有一种更简便的方法，在8552976中，因为9是9的1倍，2+7的和也是9的倍数，可以先划去，剩下的8、5、5、6，而8+5+5＝18，18是9的倍数，可以先划去，最后剩下6，所以这个数的九余数是6。
即8552976--9的余数是6做一做：1．求以下几个数的九余数。
①87 ②48732 ⑧4567432189▲用“弃九法”验算下面加法的计算结果75292+1596=7653975292的九余数+1596的九余数=76539的九余数思考方法：解：75292+1596= 765397 + 3 310 31= 3加数的九余数和不等于和的九余数，原计算肯定是错误的。
▲用弃九法验算下面减法的计算结果。
3899432--28917=3870515思考方法：3899432的九余数一28917九余数=3870515的九余数解：3899432—28917=38705152 - 0 22 = 2被减数的九余数—减数的九余数=差的九余数，原计算肯定是对的。
二年级奥数：趣味数学一,余数问题
二年级奥数：趣味数学一，余数问题同学们在平时的练习中会发现，有些题目和我们的生活紧密联系，非常有趣味性，但是又没有什么固定的模式去解答，总是一不小心就掉进了出题人的陷阱，要想解答这些题目，就需要发挥我们的聪明才智，有时还要打破常规去想。
在我们解答这些带有迷惑性的题目时，一定要认真读题，领会题目的真实意思，再经过充分的分析和思考，运用自己的聪明才智巧妙地解决问题。
下面我就通过一些典型的例题来打开大家的思路，希望对大家日后的学习带来帮助。
例题1碰到例1这类可能性的问题，我们一定要认真读题，抓住重点，仔细思考题目出现的一些关键字或者词语的深层意思。
例题2这题还是比较简单的，也许同学们会说我很容易就可以知道答案了，但是如果题目中的数字变大了的时候呢？所以我们要先列举一些情况，从中来找到规律。
例题3此类问题非常具有迷惑性，初一看会觉得，这题还有解吗？30个小时后谁知道天气会怎样？但是如果你能够联系我们的生活实际，考虑到晚上不会有太阳出现的情况，那么就会非常容易了。
还要注意时间前面说的是下午，不要弄错。
例题4例题5我相信大家都觉得例5非常的简单，但是以往老师的学生出错的，都是写的10。
说明没有很好的审题，粗心会导致将20号也算了进去。
因此在我们平时学习和练习过程中，开始没有思路的时候要反复读题，将已知条件在草稿本上先列出来，这样比已知条件藏在题目中更容易找到思路。
余数的除法，在有余数的除法里，余数要比除数小。
利用有余数的除法里的余数，可以解决许多有趣的实际问题，就看你会不会巧妙地应用了。
要解决除数最小，余数最大的问题，最主要是掌握除数和余数的关系，余数必须比数数小，即除数必须比余数大，掌握了这一点才能找到正确答案。
下面我就通过几个典型的例子来讲解一下这类问题。
例题1时刻要记住，余数要比除数小，首先列出可能的结果，然后再根据题目的意思，找出合适的答案。
要确定最小的除数，就是比余数大1的数。
要确定最大的余数，只要比除数小1即可。
快速去九验算法讲解及原理
例6.判断以下运算的结果是否正确：
（1）20922÷6=3487 （2）11904÷124=96 （3）19778÷341=58 （4）229026÷931=246
如果等号两端不相等，那么计 算结果一定不正确。如果等号两端 相等，为什么说“原结果通常正 确”？
补充说明下列情况需注意：
(1)答案中多写或少写0； (2)答案中数字的顺序写颠倒； (3)你所写错的数正好也边九余数相同，说明计算通常正 确。
例4．验算 27168－9768－8452＝8948，对吗？
验算：27168－9768－8452＝8948
九余数 6 － 3 － 1 ＝2
等号两边去九数相同，说明计算通常正确。
做一做： 用去九法验算下面计算结果
(1)2487+89321=92808
（1）87 =8+7=15 =1+5 =6 （2）1566 =18 =1+8 =9 =0 （3）48732=483=15 =6 （4）4567432189 =4
求去九数的方法： (1)各位数字的和（2）逢九不加
利用去九数进行验算的方法叫“快速 去九”验算法。
例1 验算 7284＋634＝ 7918
快速去九验算法
Beijing No.9 Middle School
求21和58的去九数：
21 =12 =3 21 =1+2 =3
58 69 4 =4
58 =5+8 =13 =1+3 =4
做一做：
求以下几个数的去九数 （1）87 （2）1566 （3）48732 （4）4567432189
(2)4008+54399＝58407
(3)54987—6329＝48658
第五讲余数问题-小学数学四年级上册-竞赛试题及答案-人教版---
第五讲余数问题小学数学四年级上册竞赛试题及答案人教版基础班练习五1．（四中小升初选拔试题）被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
分析：法1：通过对题意的理解我们可以得到：被除数=除数×商+余数=除数×33+52；又有被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数；所以除数×33+52=2058-除数；则除数=（2058-52）÷34=59，被除数=2058-59=1999。
法2：此题也可以按这个思路来解：从被除数中减掉余数52后，被除数就是除数的33倍了，所以可以得到：2143-33-52-52=（33+1）×除数，求得除数=59，被除数=33×59+52=1999。
转化成整数倍问题后，可以帮助理解相关的性质。
2.（美国长岛小学数学竞赛）写出所有的除109后余数为4的两位数。
分析：还是把带有余数的问题转化成整除性的问题，也就是要找出能整除（109-4）的所有的两位数。
进一步，要找出能整除105的两位数，很简单的方法就是把105分解质因数，从所得到的质因子中去凑两位数。
109－4=105=3×5×7。
因此这样的两位数是：15；35；21。
3．有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。
分析：这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据性质2，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。
101-45=56，101-59=42，59-45=14，（56，42，14）=14，14的约数有1，2，7，14，所以这个数可能为2，7，14。
4．数11…1（2007个1），被13除余多少？分析：根据整除性质知：13能整除111111，而2007÷6后余3，所以答案为7。
逢九运算验算法
逢九运算验算法
我们在计算较大数据的四则运算时，结果是否正确，用老的检验方法，麻烦又费时。
如果学会“逢九运算验算法”，用口算就能很快完成，既简单还大幅度节约了时间。
尤其三、四年级的小学生，在对多位数乘除法结果验算时，实用效率极高。
逢九运输验算法利用一个数被9除所得余数的性质，对四则运算的结果进行检验的一种方法，叫“逢九运算验算法”。
一个数除以9的余数叫弃九数。
如84÷9=9，3，84的逢九数是3；81÷9=9，0，81的逢九数是0（有时以9做逢九数）。
在具体验算时，逢九数用0还是9，需要灵活掌握。
逢九数的求法
把一个数的每位数字加起来，一直加到结果是一位数为止（如果是9，再减9是0），这个数称为原数的“逢9数”。
例如求849的逢九数：8+4+9=21，
继续2+1=3，
则849的逢九数是3。
在操作中，可以把数值为9的数字或相加得9的几个数字直接免加，然后将剩下来的数字相加既得到原数的逢9数。
如求849的逢九数：不用加9，
直接8+4=12，继续1+2=3
即可得849的逢九数是3。
【培优奥数专题】五年级下册数学-关于9的数论特点(解析版)
【培优奥数专题】五年级下册数学-关于9的数论特点（解析版）一、知识点1、9的倍数的特征一个数的各个数位上的数字之和是９的倍数，则这个数就是９的倍数。
2、9的余数的特性一个数除以９的余数等于它的各个数位上的数字之和除以９的余数。
3、弃九法将和为９或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字之和求除以9的余数的方法应用计算一个数除以９的余数检验四则运算的正确性4、进位和借位加法进位的数字和变化无进位时，各个加数的数字之和的和等于和的数字之和有进位时，每进位一次，和的数字之和就比各个加数的数字之和减少９减法借位的数字和变化无借位时，被减数与减数的数字之和的差等于差的数字之和有借位时，每借位一次，差的数字之和就比被减数与减数的数字之和的差多9二、学习目标1.我能够了解数字求和法在9的整除特征与9的特性求余中的应用。
2.我能够掌握弃九法，并能用弃九法求算式除以9的余数。
3.我能够掌握乱切法，并能用乱切法求多位数除以9的余数。
4.我能够运用加减法的进位与借位解决数字和的变化规律问题。
三、课前练习1.判断下列各数能否被9整除。
【解答】1＋8＋7＋6＋2＝24，24不能被9整除，故18762不能被9整除。
4＋7＋5＋3＋2＋6＝27，27能被9整除，故475326能被9整除。
6＋3＋5＋4＋7＋1＋1＝27，27能被9整除，故能被9整除。
4＋9＋8＋6＋5＋5＋7＋6＝50，50不能被9整除，故不能被9整除。
2.求下列各数除以9的余数。
【解答】6＋4＋2＋5＋1＋7＝25，25除以9的余数为7，故642517除以9的余数为7。
1＋0＋9＋6＋8＋2＋3＝29，29除以9的余数为2，故除以9的余数为2。
1＋9＋9＋6＋2＋0＋1＋7＝35，35除以9的余数为8，故除以9的余数为8。
1＋2＋3＋2＋3＋4＋3＋4＋5＝27，27除以9的余数为0，故除以9的余数为0。
四、典型例题思路点拨两个因数的九余数相乘，所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。
三年级上册教材(数学特色校本)
目录：1 有趣的九余数验算法（数与代数数学文化）2 和倍问题（一）（综合应用数形结合）3 差倍问题（一）（综合应用数形结合）4 趣味24点5 归一问题（一）（综合应用数形结合）6 归总问题（一）（综合应用数形结合）7 巧求周长（图形与几何数学转化思想）8 趣味24点1. 有趣的九余数验算法什么是九余数？九余数：一个数除以9所得的余数，叫做这个数的九余数。
利用九余数进行验算的方法叫九余数验算法，也叫“弃九”验算法。
求一个数的九余数：求出一个数的各位数字之和，如果一个数各位数字之和是两位数，再求两位数的两个数字之和，直到各位数字之和是一位数为止。
如果求出的和是9，则九余数为0，如果和不是9而是其它数，这个数就是九余数。
例1：计算并验算。
7284＋634＝验算：……7+2+8+4＝21＝2+1＝3……6+3+4＝13＝1+3＝4……7+9+1+8＝25＝2+5＝73+4＝7，所以计算可能正确。
例2：验算5326－4178＝1148，计算对吗？验算：5326－4178＝1148九余数 7 － 2 ＝ 5，等号两边九余数相同，说明计算可能正确。
及时巩固练习1：验算2483＋727＝3210，计算对吗？练习2：验算9768－452＝9316，对吗？2. 和倍问题（一）已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做和倍问题。
要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。
解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出1倍数，再求出几倍数。
数量关系可以这样表示：两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数）小数×倍数=大数（几倍数）两数和－小数=大数例1：学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？提示：将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。
五年级奥数-神奇的数字9(学生版)
神奇的数字91、最大的1位数字是，9是完全平方数2、9是帝王之数，帝王的尊严为，代表公权的礼器为，“普天之下，莫非王土”的土地称为。
3、9是阳之极，9是的倍数，三为阳数，因而9就成了阳数的极限，谓之“重阳”，这就是九九重阳的由来。
4、将任意一个三位自然数的各位数字打乱重排得到一个新的自然数，新数与旧数的差全是倍数5、将一个数字中的各个位数相加，所得的若能被9整除，则该数也能被9整除。
6、将一个数字中的各个位数相加（和若为多位数，再将和的各个位数相加，直至得到一个一位数），所得数即为该数除以9后的。
7、将一个数中的各位数相加所得的和，与原数相减，其差为（即被9 整除）。
8、将一个数字反向后与原数，所得差为9的倍数。
9、将两数的9余数，若与答案的9余数，则计算正确。
10、将两数的9余数，若与答案的9余数，则计算正确。
11、将两数的9余数，若与答案的9余数，则计算正确。
12、一个数a 与它的 b 除以9 的余数相同13、加法数字谜的一个规律：竖式中加数总共进了几位，和的数字和就比加数的数字和一、数字9的整除性二、数字9的余数求法三、数字9的灵活使用例1：下列数字能被9整除的是（）A．19 B.118 c.117 d.236例2：下列自然数除以9的余数最大的是（）A．186 B.423 C.118 D.234例3把0.4747…化成分数例4某三位数是9的倍数,且在300到400之间,它的百位数字与个位数字之和是例5等式386A5961=（3*（2066+A））（3*（2066+A）），其中字母“A”代表1到9中的一个数字，求A代表的是哪个数字？例6：观察9=（101-1） 99=（102-1） 999=（103-1）（104-1）÷10000÷9A1、求7123021 除以9 的余数为（）A、1B、3C、5D、72、求1234567除以9的余数为（）A、1B、3C、5D、73、下列各式余数为3的是（）A、1234÷9B、2345÷9C、4567÷9D、6789÷94、计算9×115、请直接写出下列各式的余数（1）91919111÷9 （2）1238765÷9 （3）8763451÷9 （4） 87623419÷9 （5）7826012÷9 （6） 79124231÷9B1、把0.33…化成分数为2、下列各式的余数分别为（1）23478÷9 （2）82378÷9（3）829876÷9 （4）938167÷93、验证下列各式的差除以9的余数与0的关系（1）54321-12345 （2）62351-15326（3）92751-15729 （4）74924-42947（5）32-23 （6）83279-972384、判断下列各式计算是否正确（1）123+789＝912 （2）342+167=5085、快速计算（1）9×8×10 （2）26×27×28（3）3×8+26 （4）2+8+64C1、求7813×1768除以9 的余数为2、求100100除以9 的余数为3、将1～2013 写成一排：1234……20122013，求这个数除以9 的余数.4、检验此式是否正确：135987984＋981252341＝11172413255、将数字1~ 9 填入下面竖式，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字．若“H”= 4，那么四位数GHIH等于．A B C＋D E F＝G H I H1、111118932初以9的余数为（）A、1B、6C、3D、02、判断下列各式计算是否正确（1）183726+2936=186661 （2）9178367+102683=92810503、请直接写出下列各式的余数（1）8763451÷9 （2） 87623419÷94、下列除式余数最大的是（）A、２３÷３B、５４４３÷９C、３３６÷３D、２２４５÷２5、把0.325656…化成分数为6、判断正误（1）789÷9余5 （）（2）19267+8916的和除以9余4 （）（3）888+222能被9整除（）（4）431+28910余3 （）1、把0.4777…化成分数为A、42/91B、43/90C、43/89D、41/902、请直接写出下列各式的余数（1）7826012÷9 （2） 79124231÷93、快速判断下列各式计算是否正确（1）34987+10467=45454 （2）8167234+23012=82002464、快速判断下列各式计算是否正确（1）89-123＝666（2）123×456＝56088（3）54756÷235＝233 (1)5、计算（1）456+789 （2）123+456（3）258+369回答两加数的数字和和与和的数字和差多少，并找出规律6、把0.52323……化成分数7、神奇的数字“1”和“9”．（不计算，写出各题的积）（1）1×9=______．（2）11×99=______．（3）111×999=______．（4）1111×9999=______．（5）11111×99999=______．（6）111111×999999=______．8、快速计算314159×9＝。
二年级下册奥数-有趣的余数
二年级下册奥数——《有趣的余数》知识点:1、有余数的除法.如 28÷8=2……4 这个算术表示把28个物体平均分成8份,每份是3个物体，还余下4个物体，不够每份再分1个；也可以表示把28个物体，每8个一份,只能分成3份,还余下4个物体，不够再分一份。
这余下的4就是余数。
2、余数与除数。
在有余数的除法里，余数要比除数小。
例题14,除数最小是多少?试一试1：÷余数可以是几，最大的余数是多少？例题2：按照规律继续画下去,第22个图应该画什么？试一试2：看一堆围棋,按“三黑三白”的顺序排列起来（如下图）。
想一想，第27个棋子是白子还是黑子?第42个呢？例3:有24个橘子,最少拿走几个，就能使得7个小朋友分的一样多？每个小朋友分几个?试一试3；小丽带领6个小朋友为学校做50朵花,平均每人做几朵?小丽要多做几朵才能完成任务？例4：小红说：“今天是星期三."同学们，你知道再过20天是星期几吗？试一试4：昨天是7号,今天是星期五,27号是星期几？课堂练习1、÷ = ……4，除数最小是多少？2、李老师把1—30号卡片一次发给小东、小力、小青、小云、小平五个小朋友，问第18张卡片应发给哪个小朋友？最后那张卡片应发给哪个小朋友?3、为庆祝六一儿童节，学校按“红、黄、蓝、绿”的顺序插彩旗，一共插了38面旗。
你知道其中红、黄、蓝、绿棋子各有多少面吗？……4、有一列数：1，3,2,1，3,2，1,3，2，1，3,2,……，你知道第19个数是几?这19个数相加的和是多少?5、小云练习朗诵，她把“我爱你老师”这句话反复朗诵训练，第43个字应说到哪个字呢？。
计算技巧之验算
计算技巧之验算
九余数验算的证明
假设有一个三位数，百 位为X，十位为Y，个位为Z
则这个数为 100X 10Y Z它的各位数之和为 X Y Z 100x 10 y z (99 1) x (9 1) y z 99x x 9 y y z 9(11x y ) ( x y z ) 由上式不妨设 A B C A 9q1 R1 B 9q2 R2 C 9q 3 R3
例如：47×61 47的九余数为4+7=11，1+1=2 61的九余数为6+1=7 2867的九余数为2+8+6+7=23，2+3=5 被乘数的九余数乘以乘数的九余数 2×7=14，14-5=9，为9的倍数 可知这个运算正确
计算技巧之验算
应用 验算 346744
712×487=346644
141264 436×324=131264
计算技巧之验算
那什么叫九余数呢，简单的来说，九余数就 是这个数各个位数之和。如果大于9再继续 各个位数相加，直到得出个位，这是就是 九余数弃9后的数 如123456789的九余数就是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45， 45弃九后为4+5=9 所以123456789的九余数为45，428
小学数学竞赛：余数性质(二).学生版解题技巧 培优 易错 难
1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9法，并运用其解题一、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a 与b 的乘积除以c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a 与b 除以m 的余数相同，那么n a 与n b 除以m 的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++= 1234除以9的余数为1 1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
九余数定理
九余数定理九余数定理是数论中的一个重要定理，它在解决数的除法问题中起到了关键作用。
九余数定理表明，一个整数除以9所得的余数，与该整数的各位数字之和对9取余数是相等的。
为了更好地理解九余数定理，我们可以通过一个例子来说明。
假设我们要计算123456789除以9的余数。
根据九余数定理，我们可以将这个数的各位数字相加，即1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
然后，我们再将这个和45除以9，得到的余数就是我们所要求的结果。
为了更深入地理解九余数定理，我们可以通过推导来证明它的正确性。
假设一个整数n可以表示为n=a*10^m+b，其中a表示n除以10^m的商，b表示n除以10^m的余数。
根据除法的定义，我们可以得到n=10^ma+b。
再根据九余数定理的定义，我们可以得到n对9取余数等于(a+b)对9取余数。
此外，我们还可以推导出(a+b)对9取余数等于a对9取余数加上b对9取余数。
因此，我们可以得出结论：一个整数n除以9所得的余数，与该整数的各位数字之和对9取余数是相等的。
九余数定理在数论中有着广泛的应用。
首先，它可以帮助我们判断一个数是否能被9整除。
根据九余数定理，一个数能被9整除的充分必要条件是，该数的各位数字之和能被9整除。
其次，它可以帮助我们进行数字校验。
例如，银行卡号、身份证号等重要信息的最后一位通常是校验位，它的作用就是通过九余数定理来验证前面数字的准确性。
此外，九余数定理还可以用于解决一些数论问题，如判断两个数是否互质、确定一个数的约数个数等。
在日常生活中，九余数定理也有一些应用。
例如，我们可以利用九余数定理来判断一个数的可被3整除性。
根据九余数定理，一个数能被3整除的充分必要条件是，该数的各位数字之和能被3整除。
同样地，我们还可以利用九余数定理来判断一个数的可被6整除性、可被15整除性等。
九余数定理是数论中的一个重要定理，它在解决数的除法问题和数字校验等方面发挥着重要作用。
通过九余数定理，我们可以得到一个整数除以9所得的余数与该整数的各位数字之和对9取余数是相等的。
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经检验，计算没有发现错误。
(5)加、减、乘混合运算的检验。先求得各数的九余数，按原运算顺序运算，所得结果的九余数，与原计算结果的九余数相等，则可以认为原计算没有错。
例如
(6)验算除法。对于能整除的除法，要根据“被除数=除数×商”来检验。如果计算正确，那么商和除数的九余数的积的九余数，必须等于被除数的九余数。
(1)验算加法时，如果计算正确，各加数的九余数和的九余数，应当等于和的九余数。
例2
经检验，各加数九余数和的九余数，不等于和的九余数，可以肯定这一计算错了。事实上，正确的得数应该是181919，它的九余数是2。
(2)验算减法。验算减法，可把被减数的九余数减去减数的九余数(当被减数的九余数小于减数的九余数时，要加上9再减)如果计算正确，所得的差应当等于差的九余数。
或者把减数的九余数加上差的九余数(当所得和大于9时要减去9)等于被减数的九余数时，同样可以认为原计算没有错；否则，就一定错了。
例1
或者
例2ห้องสมุดไป่ตู้
(3)验算乘法乘法计算如果正确，各因数九余数的积的九余数，应当等于积的九余数。
检验结果，各因数的九余数积的九余数，不等于积的九余数。计算一定错了。事实上，正确的得数是116508，它的九余数是3。
在有余数的除法中，被除数=除数×商+余数。如果除数和商的九余数的积加上余数，所得和的九余数等于被除数的九余数，则可以认为原计算没有错。
从上面的介绍和验算的例题可见，九余数法确是一种比较好的快速验算方法：第一，求一个数的九余数很方便；第二，求出一个数的九余数，要联系到这个数每一个数位上的数字。一般说来，计算中有了错误，能够迅速发现。但是，九余数法并不是万无一失的，它的主要缺点就是对一个数中两个不同数字位置调错，零的个数增多、或减少，求得的九余数却是一样的，请注意
(二)一种有趣的快速验算法——九余数
九余数的特征与求法：
用9作除数，去除一个数，所得余数，叫九余数。根据“能被9整除的数的特征”，求一个数的九余数是很方便的，只要把这个数各位上数字加起来就是了。如果所得的和小于9，那么它就是这个数的九余数。如1142∶1+1+4＋2＝8，8就是1142的九余数。如果一个数各位数字的和大于9时，就把这个和各位上的数字继续相加，直到和是一位数，这个数就是原数的九余数；当一个数各位数字的和是9的倍数时，那么这个数就是9的倍数，能被9整除，它的九余数就是零。
例如：9358∶9＋3＋5＋8＝25—→2＋5＝7
∴7是9358的九余数。
13059∶1＋3＋0＋5＋9＝18
∵18是9的倍数
∴13059能被9整除，余数是0
求一个较大的多位数的九余数，还可以先把这个数中的数字9，以及相加等于9的倍数的几个数字都划去，然后把留下的数字加起来，若得到的和是一个小于9的数，则这个数就是原数的九余数；若相加的和仍大于9，再求出这个和的九余数就是了。这样求一个数的九余数就更加简便了。
经检验，计算没有发现错误。
两个或若干个数相乘，如果其中一个乘数是9的倍数，它的九余数是零，那末无论其他乘数的九余数是多少，各乘数的九余数积的九余数一定是零，所以不必再求其他各乘数的九余数了，只要看一看等号右边求得的积的九余数是不是零，就可立即作出判断。
(4)验算乘方。乘方就是几个相同因数的积，用九余数法验算，与验算乘法的道理相同。如果计算正确，某数的几次乘方的九余数，应当等于这个数的九余数相同次数乘方的九余数。
例如：
原数的九余数
注意：实际验算时，对于要划掉的数字，可以不必划出来，通过口算直接弃去，只记下原数的九余数就是了。
九余数法
一道计算题，如果原来的计算是正确的，那么等号两边的九余数是相同的；如果等号两边的九余数不相同，那就说明计算一定有错误。
应用九余数来检验加、减、乘、除的运算结果是否正确的方法，叫做九余数法，又叫弃九验算法。