信息论基础答案2

《信息论基础》答案

一、填空题（共15分，每空1分） 1、若一连续消息通过某放大器，该放大器输出的最大瞬时电压为b ，最小瞬时电压为a 。若消息从放大器中输出，则该信源的绝对熵是 无穷大 ；其能在每个自由度熵的最大熵是 ()log b-a 。

2、高斯白噪声信道是指 信道噪声服从正态分布，且功率谱为常数 。

3、若连续信源的平均功率为5 W ，则最大熵为12log10π ⋅ e ，达到最大值的条件是 高斯信道 。

4、离散信源存在剩余度的原因是 信源有记忆（或输出符号之间存在相关性） 和 不等概 。

5、离散无记忆信源在进行无失真变长信源编码时，编码效率最大可以达到 1 。

6、离散无记忆信源在进行无失真变长信源编码时，码字长度是变化的。根据信源符号的统计特性，对概率大的符号用 短 码，对概率小的符号用 长 码，这样平均码长就可以降低，从而提高编码效率。

7、八进制信源的最小熵为 0 ，最大熵为 3 bit 。 8、一个事件发生概率为，则自信息量为 3 bit 。 9、在下面空格中选择填入数字符号“,,,=≥≤>”或“<” ()H XY = ()()+H Y H X Y ≤ ()()+H Y H X

二、判断题（正确打√，错误打×）（共5分，每小题1分）

1) 离散无记忆等概信源的剩余度为0。

（ √ ）

2) 离散无记忆信源N 次扩展源的熵是原信息熵的N 倍 （ √ ） 3) 互信息可正、可负、可为零。

（ √ ）

4) 信源的真正功率P 永远不会大于熵功率P ，即P P ≤

（ × ）

5) 信道容量与信源输出符号的概率分布有关。

（ × ）

三、（5分）已知信源的概率密度函数()p x 如下图所示，求信源的相对熵

0.5

()()()4

2

log 1h x p x p x dx

bit =-=⎰自由度

四、（15分）设一个离散无记忆信源的概率空间为

()120.50.5X a a P x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦ 它们通过干扰信道，信道输出端的接收信号集为[]12=,Y b b ，已知信道出书概率如下图所示。

1

x 2

x 1

y 2

y 0.98

试计算：

（1） 信源X 中事件1x 的自信息量；（3分） （2） 信源X 的信息熵；（3分） （3） 共熵()H XY ;（3分） （4） 噪声熵()H Y X ；（3分）

（5） 收到信息Y 后获得的关于信源X 的平均信息量。（3分） （1）()11I x bit =

（2）11,1/22H bit ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

符号

（3）()()0.490.4 1.432H XY H ==，

0.01，0.1, （4）()()()0.432H X Y H XY H X =-=

（5）

()()()()

()(),,10.59,0.4110.977 1.432

0.545

I X Y H X H Y H X Y H H XY =+-=+-=+-=

五、（10分）一个平均功率受限的连续信道，信道带宽为10MHz ，信道噪声为高斯白噪声。

（1）已知信道上的信号与噪声的平均功率比值为63，计算该信道的信道蓉量。

（2）如果信道带宽降为2MHz ，要达到相同的信道容量，信道上的信号与噪声的平均功率比值应为多少

2log 1S C B N ⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

（1）()6721010log 163610/C bit s =⨯⨯+=⨯

（2）309212110C

B S

N

=-=-=

六、（10分）已知信源共7个符号信息，其概率空间为

()12345670.20.20.20.10.10.10.1S s s s s s s s P S ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦ （1） 试用霍夫曼编码法编成二进制变长码。（7分） （2） 计算信源熵，平均码长和编码效率。（9分） （1）

1s 2s 3s 4s 5s 6

s 7s 0.2

0.20.2

0.10.1

0.1

0.1

1

1

1

1

1

1

0.4

0.6

0.2

0.2

0.4

0.1

123456700010011

100101110

111

s s s s s s s =======（7分）

（2）

分）

（3分）

七、（10分）设给定两随机变量1X 和2X ，它们的联合概率密度为

()()

22122

12121,2x x p x x e x x π

-+=

-∞<<+∞

求随机变量12Y X X =+的概率密度函数，并计算变量Y 的熵()h Y 。 已知()12p x x 得 (

)12

1x p x -=

(

)2

2

2x p x -=

（2分）

则()()()1212p x x p x p x = （2分） 所以1x 和2x 独立，所以y 为高斯分布 因为 12y x x =+ 所以 ()()0,2E Y D Y == （2分）

所以 (

)2

4

y

p y -=

（2分）

()()

0.2,0.2,0.2,0.1,0.1,0.1,0.1,2.72

H S H ==__

0.220.83 2.8L =⨯+⨯=码元/信源符号()__0.97H S L η==