八年级数学上册小专题五构造全等三角形的方法技巧选做练习新版新人教版Word版

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人教版八年级上册数学全等三角形单元练习(Word版含答案)

人教版八年级上册数学全等三角形单元练习（Word 版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标为_____________．【答案】5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，求出OA 即可；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，求出OP 即可；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，根据勾股定理求出OC 即可．【详解】有三种情况：①以O 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于D ，则OA ＝OD ＝22125+=；∴D （0，5）；②以A 为圆心，以OA 为半径画弧交y 轴于P ，OP ＝2×y A =4，∴P （0，4）；③作OA 的垂直平分线交y 轴于C ，则AC ＝OC ，由勾股定理得：OC ＝AC ＝()2212OC +-，∴OC ＝54， ∴C （0，54）；故答案为：5(0,5),(0,4),0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．2．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为___________．【答案】4【解析】【分析】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED，∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．【详解】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=140°，∴∠DBC=∠DCB=20°，∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，同理可得∠NCD=90°，∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，在△BDM和△CDE中，BM CEMBD ECDBD CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△BDM≌△CDE（SAS），∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，∴∠MDE=∠BDC=140°，∵∠MDN=70°，∴∠EDN=70°=∠MDN，在△MDN和△EDN中，MD EDMDN EDNDN DN⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=EN=CN+CE，∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．3．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.【答案】6； 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．【详解】解：如图，∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=3，∴A 2B 1=3，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1，以此类推：a 2019=22018a 1=3×22018故答案是：6；3×22018．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1…进而发现规律是解题关键．4．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=︒时，11n n n A A B --∠=__________．【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．【详解】解：∵在1ABA ∆中，70A ∠=︒，1AB A B =∴170BA A A ∠==︒∠∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ∆的外角∴12111211703522B A A A B A BA A ︒∠=∠===︒∠ 同理可得，2321217017.542B A A BA A ︒∠===︒∠，343131708.7582B A A BA A ︒∠===︒∠ ∴111702n n n n A A B ---︒∠=．故答案为：1702n -︒ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键．5．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，D 是线段AB 上一个动点，把ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A '处，当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，ADC ∠的大小为________．【答案】112.5︒或67.5︒【解析】当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，有两种情况，一是当A D BC '时，二是当A D AC '时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．【详解】如图1，当点D 在线段AB 上，且A DBC '时，45A DB B '∠=∠=︒， 45180ADC A DC '∴∠+∠-=︒︒，解得112.5A DC ADC '∠=∠=︒.图1如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒，解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.图2【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．6．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 为BC 中点，E 为AC 边上一动点，连接DE ，以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ∆，连接BF ，则BF 的最小值为______.【答案】3【分析】由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG，利用△BDF≌△GDE，转换BF=GE，然后即可求得其最小值.【详解】以BD为边作等边三角形BDG，连接GE，如图所示：∵等边三角形BDG，等边三角形DEF∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD，即∠BDF=∠GDE∴△BDF≌△GDE（SAS）∴BF=GE当GE⊥AC时，GE有最小值，如图所示GE′，作DH⊥GE′∴BF=GE=CD+12DG=2+1=3故答案为：3.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F ＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．【答案】2【分析】连接BE ，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明∠CBE ＝∠F ，进一步说明BE ＝EF ，，然后再根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半即可.【详解】解：如图：连接BE∵AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于F ，∴AE ＝BE ，∠A +∠AED ＝90°，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴∠F +∠CEF ＝90°，∵∠AED ＝∠FEC ，∴∠A ＝∠F ＝30°，∴∠ABE ＝∠A ＝30°，∠ABC ＝90°﹣∠A ＝60°，∴∠CBE ＝∠ABC ﹣∠ABE ＝30°，∴∠CBE ＝∠F ，∴BE ＝EF ，在Rt △BED 中，BE ＝2DE ＝2×1＝2，∴EF ＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键.8．如图，在ABC ∆和DBC ∆中，40A ∠=，2AB AC ==，140BDC ∠=，BD CD =，以点D 为顶点作70MDN ∠=，两边分别交,AB AC 于点,M N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为_______.【答案】4【解析】【分析】延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．【详解】延长AB至F，使BF=CN，连接DF．∵BD=CD，且∠BDC=140°，∴∠BCD=∠DBC=20°．∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠DBA=∠DCA=90°．在Rt△BDF和Rt△CND中，∵BF=CN，∠DBA=∠DCA，DB=DC，∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN．∵∠MDN=70°，∴∠BDM+∠CDN=70°，∴∠BDM+∠BDF=70°，∴∠FDM=70°=∠MDN．∵DF=DN，∠FDM=∠MDN，DM=DM，∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF，∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4．故答案为：4．【点睛】本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键．9．已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,∠ABC的平分线BF交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当EDC=30 ，CF=43，则DH=______．【答案】2 3【解析】连接AF.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF.在△ABF和△CBF中，AB BCABF CBF BF BF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF≌△CBF，∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°.∵AH⊥CD，∴AH=12AF=12CF=23.∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=2 3 .故答案为2 3 .点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.10．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，F是AC上一个动点，则EF+BF的最小值是________ .【答案】33【解析】试题解析：∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，∴点B、D关于AC对称，连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，∵E为AB的中点，∠DAB=60°，∴DE⊥AB，∴ED=22-=22AD AE63-=33，∴EF+BF的最小值为33．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．所以可知选项①③④正确．【详解】∵AB⊥AC．∴∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝90°∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，∴2∠FBC+2∠FCB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝45°∴∠BFC＝135°故④正确．∵AG∥BC，∴∠BAG＝∠ABC∵∠ABC＝2∠ABF∴∠BAG＝2∠ABF 故①正确．∵AB⊥AC，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵AG⊥BG，∴∠ABG+∠GAB＝90°∵∠BAG＝∠ABC，∴∠ABG＝∠ACB 故③正确．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．12．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A 36B33C．6 D．3【答案】D【解析】分析：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，3∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．详解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，3∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=1233OH=3 2 ,∴CD=2CH=3．故选D．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．13．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°【答案】B【解析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH．∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°．∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°．∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．故选B．14．如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE、BD 相交于点O，AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N，连接 MN、OC，则下列所给的结论中：①AE＝BD；②CM＝CN；③MN∥AB；④∠AOB＝120º；⑤OC 平分∠AOB．其中结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】由题意易证：△ACE≅△DCB，进而可得AE＝BD；由△ACE≅△DCB，可得∠CAE=∠CDB，从而△ACM ≅△DCN，可得：CM＝CN；易证△MCN是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE，即MN∥AB；由∠CAE=∠CDB，∠AMC=∠DMO，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB＝120º；作CG⊥AE，CH⊥BD，易证CG=CH，即：OC 平分∠AOB．【详解】∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠ACE=∠DCB=120°，∴△ACE≅△DCB(SAS)∴AE＝BD，∴①正确；∵△ACE≅△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC，在△ACM 和△DCN中，∵60CAE CDBAC DCACD DCE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ACM ≅△DCN（ASA）,∴CM＝CN，∴②正确；∵CM＝CN，∠DCE=60°，∴△MCN是等边三角形，∴∠MNC=60°，∴∠MNC=∠BCE ，∴MN∥AB，∴③正确；∵△ACE≅△DCB，∴∠CAE=∠CDB，∵∠AMC=∠DMO，∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO，即：∠ACM=∠DOM=60°，∴∠AOB＝120º，∴④正确；作CG⊥AE，CH⊥BD，垂足分别为点G，点H，如图，在△ACG和△DCH中，∵90?AMC DHCCAE CDBAC DC∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACG≅△DCH（AAS），∴CG=CH，∴OC 平分∠AOB，∴⑤正确.故选D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键.15．如图，等腰ABC∆中，AB AC=，120BAC∠=，AD BC⊥于点D，点P是BA 延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP OC=.下列结论：①30APO DCO∠+∠=；②APO DCO∠=∠；③OPC∆是等边三角形；④AB AO AP=+.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.【详解】连接OB ，∵AB AC =，AD ⊥BC ，∴AD 是BC 垂直平分线，∴OB OC OP ==，∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，∵AB=AC ，∠BAC =120∘∴30ABC ACB ∠=∠=︒∴30ABO DBO ∠+∠=︒，∴30APO DCO ∠+∠=．故①②正确；∵OBP ∆中，180BOP OPB OBP ∠=︒-∠-∠，BOC ∆中，180BOC OBC OCB ∠=︒-∠-∠，∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB ∠=︒-∠-∠=∠+∠+∠+∠，∵OPB OBP ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，∴260POC ABD ∠=∠=︒，∵PO OC ，∴OPC ∆是等边三角形，故③正确；在AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，则AOQ ∆为等边三角形，则120BQO PAO ∠=∠=︒，在BQO ∆和PAO ∆中，BQO PAO QBO APO OB OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴BQO PAO AAS ∆∆≌（），∴PA BQ =，∵AB BQ AQ =+，∴AB AO AP =+，故④正确.故选：D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证BQO PAO ∆∆≌是解题的关键．16．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，E 为线段AD 上一点，过E 点的线段FG 交CD 的延长线于G 点，交AC 于F 点，且EG ＝AE ，分别延长CE ，BG 交于点H ，若EH 平分∠AEG ，HD 平分∠CHG 则下列说法：①∠GDH ＝45°；②GD ＝ED ；③EF ＝2DM ；④CG ＝2DE +AE ，正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】首先证明△AEC≌△GEC（SAS），推出CA=CG，∠A=∠CGE=45°，推出DE=DG，故②正确；再证明△EDC≌△GDB，推出∠CED=∠BGD，ED=GD，由三角形外角的性质得出∠HDG=∠HDE，进而得出∠GDH=∠EDH=45°，即可判断①正确；通过证明△EDC和△EMD是等腰直角三角形，得到ED MD，再通过证明△EFC≌△EDC，得到EF=ED，从而可判断③错误；由CG=CD+DG，CD=AD，ED=GD，变形即可判断④正确．【详解】∵AC=BC，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD⊥AB，CD=AD=DB，∠A=∠CBD=45°．∵EH平分∠AEG，∴∠AEH=∠GEH．∵∠AEH+∠AEC=180°，∠GEH+∠CEG=180°，∴∠AEC=∠CEG．∵AE=GE，EC=EC，∴△AEC≌△GEC（SAS），∴CA=CG，∠A=∠CGE=45°．∵∠EDG=90°，∴∠DEG=∠DGE=45°，∴DE=DG，∠AEF=∠DEG=∠A=45°，故②正确；∵DE=DG，∠CDE=∠BDG=90°，DC=DB，∴△EDC≌△GDB（SAS），∴∠CED=∠BGD，ED=GD．∵HD平分∠CHG，∴∠GHD=∠EHD．∵∠CED=∠EHD+∠HDE，∠BGD=∠GHD+∠HDG，∴∠HDG=∠HDE．∵∠EDG=∠ADC=90°，∴∠GDH=∠EDH=45°，故①正确；∵∠EDC=90°，ED=GD，∴△EDC是等腰直角三角形，∴∠DEG=45°．∵∠GDH=45°，∴∠EDH=45°，∴△EMD是等腰直角三角形，∴ED MD．∵∠AEF=∠DEG=∠A=45°，∴∠AFE=∠CFG=90°．∵∠EDC =90°，∴∠EFC =∠EDC =90°．∵EH 平分∠AEG ，∴∠AEH =∠GEH ．∵∠FEC =∠GEH ，∠DEC =∠AEH ，∴∠FEC =∠DEC ．∵EC =EC ，∴△EFC ≌△EDC ，∴EF =ED ，∴EF =2MD ．故③错误；∵CG =CD +DG =AD +ED =AE +ED +ED ，∴CG =2DE +AE ，故④正确．故选B ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．17．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.【详解】①正确，理由如下：∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确；②正确，理由如下：由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC =180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确；③错误，理由如下：∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知，AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CB E,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形，故③错误；④正确，理由如下：如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确；故答案为：B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.18．如果三角形有一个内角为120°，且过某一顶点的直线能将该三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是( )A ．15°B ．40C ．15°或20°D ．15°或40°【答案】C【解析】【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°，且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，运用分类思想和三角形内角和定理，即可得到该三角形其余两个内角的度数．【详解】如图1，当∠A=120°，AD=AC ，DB=DC 时，∠ADC=∠ACD=30°，∠DBC=∠DCB=15°，所以，∠DBC=15°，∠ACB=30°+15°=45°；故∠ABC=60°，∠C=80°；如图2，当∠BAC=120°，可以以A为顶点作∠BAD=20°，则∠DAC=100°，∵△APB，△APC都是等腰三角形；∴∠ABD=20°，∠ADC=∠ACD=40°，如图3，当∠BAC=120°，以A为顶点作∠BAD=80°，则∠DAC=40°，∵△APB，△APC都是等腰三角形，∴∠ABD=20°，∠ADC=100°，∠ACD=40°．故选C．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．19．如图，O是正三角形ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+33；⑤S△AOC+S△AOB=6+934．其中正确的结论是（）A．①②③⑤B．①③④C．②③④⑤D．①②⑤【答案】A试题解析：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③正确；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12×3×4+34×42=6+43，故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=123293，故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．20．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为( )A．1 B．1+3C．2+3D．3【答案】B【解析】【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，推出AM=MM’可得MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，共线时最短；由于点E 也为动点，可得当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE的值.【详解】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM=MM’，∴MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE=4+33，∴MA+MD+ME的最小值为4+33．故选B．【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．。

完整word版全等三角形专题：构造全等三角形方法总结

专题：构造全等三角形利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。

EFAEADFABCADBE 1，在△于点中，＝是中线，，且交．1、如图A BFAC试说明线段相等的理由．与BGADADADGDG由于是中线，于是可延长，连结到＝，使，则简析E F GBDACDCDBDACDGBDADGDADCGDB＝在△）和△中，，所以△＝，，∠≌△＝∠（，SAS CB AFEEFCADACGBCADGAE，所以∠所以＝，，∠＝＝∠＝∠，而D BFBFGBFGGBFBGACAFE，所以∠，所以＝∠．又∠，所以＝∠＝＝说明要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个G图1三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形．利用三角形的角平分线来构造全等三角形法一：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

在AB上截取AE=AC，连结DE。

（可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。

）法二：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。

延长AC到F，使AF=AB，连结DF。

(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。

)法三：在△ABC中，AD平分∠BAC。

作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N。

(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形)1 戴氏教育集团努力+勤奋+信心=成功）DM=DN（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证2、已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180°DF。

F，使BF=BC，连结，连结DE。

法二：延长BA到BE法一：证明：在BC上截取，使BE=AB ABC的角平分线（已知）∵BD是∠∵BD是∠ABC的角平分线（已知）2（角平分线定义）∴∠1=∠∴∠1=∠2（角平分线定义）和△BCD中在△BFD 在△ABD和△EBD中BF=BC（已知）（已知）∵AB=EB∠2（已证）∠1= ∠1=∠2（已证）BD=BD（公共边）BD=BD（公共边）S.A.S）∴△BFD≌△BCD（∴△ABD≌△EBD（S.A.S）C（全等三角形的对应角相等∴∠F＝∠（全等三角形的对应角相等）∴∠A＝∠3 DF=DC（全等三角形的对应边相等）AD=DE（全等三角形的对应边相等）（已证）AD=CD（已知），DF=DC ∵（已证）（已知），AD=DE ∵AD=CD ∴DF=AD（等量代换）∴DE=DC（等量代换）4=∠F（等边对等角）∴∠4=∴∠∠C（等边对等角）＝∠C（已证）∵∠F ∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义），C（等量代换）∴∠4=∠∠A＝∠3（已证）180°（平角定义）∠3+ ∠4＝∵＝∴∠A+ ∠C180°（等量代换）180°C＝（等量代换）∴∠A+ ∠的延长线于N。

人教版八年级上册数学解题技巧专题归纳可修改全文

类型三：在三角板或直尺中求角度把一块直尺与一块三角板按如图放置,若∠1＝45°,则∠2的度数为( D) A.115° B.120° C.145° D.135°
1
3
2
类型四：与平行线结合
如图,直线BD∥EF,AE与BD交于点C,若∠ABC＝30°,∠BAC＝75°,则∠CEF的
大小为( )
D
A
A. 60°
解：AC＝CE，理由如下：
BC＝DE，
E
∵AB⊥BD，ED⊥BD
∠B＝∠D
A
∴∠B＝∠D＝90°
AB＝CD
B
CD
在△ABC和△CDE中 ∴△ABC≌△CDE
∴AC＝CE.
已知，如图，EF分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F 点，若AB＝CD，AF＝CE，BD交AC于M点，
A D 证明：
21 F5
6
E
3
4
B
C
在AB上截取线段AF＝AD， ∵∠1＝∠2
AE＝AE ∴△ADE≌△AFE(SAS) ∴∠D=∠5
∵AD∥BC
而∠5＋∠6＝180°， ∴∠6＝∠C 又∵∠3＝∠4 BE＝BE ∴△BCE≌△BFE(AAS) ∴BF＝BC
∴∠D＋∠C＝180°
∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB.
类型一：动点变化已知：AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，点C为BD上一动点且满足
BC＝DE，AB＝CD.试猜想线段AC与CE的数量关系，并证明你的结论.
E A
B
CD
类型一：动点变化
已知：AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，点C为BD上一动点且满足 BC＝DE，AB＝CD试猜想线段AC与CE的数量关系，并证明你的结论.

新人教版八年级上册数学2.2方法训练构造全等三角形的六种常用方法优质课件

∴∠ADC＝∠G，CD＝BG. ∵点D为BC的中点，∴CD＝BD. ∴BD＝BG. ∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°， ∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°. ∴∠DBF＝∠GBF.
第八页，共二十页。
在△BDF和△BGF中， BD＝BG， ∠DBF＝∠GBF， BF＝BF， ∴△BDF≌△BGF(SAS)． ∴∠BDF＝∠G. ∴∠ADC＝∠BDF.
(1)∠3＋∠4＝180°；【】本题实际上用到翻折法，作辅助线相当于把△OCM沿 OC翻折到△OCE.
第二页，共二十页。
证明：如图，过点C作CE⊥OB，交OB的延长线于点E. ∵CE⊥OE，CM⊥OA，∴∠E＝∠CMO＝90°. 在△OCE和△OCM中， ∠ ∠1E＝＝∠∠2C，MO， OC＝OC，
证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G，
∴∠CBG＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°.
∴∠1＋∠ACF＝90°. ∴∠1＝∠2.
在△ACD和△CBG中，
∠ AC1＝＝C∠B2，， ∠ACD＝∠CBG，
第七页，共二十页。
∴△ACD≌△CBG(ASA)．
第十九页，共二十页。
∵∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠ADP.
第五页，共二十页。
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证∠ADC＝∠BDF.
【】本题利用补形法构造出△CBG，证明全等后，通过∠G来寻找∠ADC与∠BDF的相等关系．
第六页，共二十页。
第三页，共二十页。
∴△OCE≌△OCM(AAS)． ∴CE＝CM. 又∵CB＝CA，∴Rt△BCE≌Rt△ACM(HL)． ∴∠3＝∠CBE. ∴∠3＋∠4＝∠CBE＋∠4＝180°.

人教版八年级上册构造全等三角形的方法(例题+练习)

【构造全等三角形的方法】一、倍长中线法（利用中点、中线构造）例1、如图，△ABC中，AD是中线，AB=4，AC=6。

练习：1、如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，延长BE交AC于F，AF=EF。

求证：AC=BE2、如图，△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF△AD交CA的延长线于F，交AB于点G，若BG=CF，求证：AD是△ABC的角平分线。

二、利用角平分线例1、已知：△1=△2，△3=△4。

求证：AP平分△BAC例2、BE是角平分线，AD垂直BE于D，求证：△2=△1+△C例3、已知在△ ABC中，△B=2△C，△A的平分线AD交BC边于点D．求证：AC=AB+BD．练习：1、如图，已知△1=△2，P是BN上的一点，PF△BC于F，PA=PC.求证：△PCB+△BAP=180°2、如图，已知△BAC=90°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，且CE△BD交BD的延长线于点E。

求证：BD=2CE三、截长补短法（通常用来证明线段和差相等）例1、如图（1）已知：正方形ABCD中，△BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=AC．例2、AB//CD，BE,CE是角平分线，求证：BC=AB+CD练习：1、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是△BAC的平分线，M是AD上任意一点。

求证：MB-MC＜AB-AC2、如图，△ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且△APB=△ABC.（1）如图1，若△BAC=60°，点P恰巧在△ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若△BAC=60°，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明。

四、旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形例1、如图，正方形ABCD中，DE=3，BF=1，△EAF=45°，求证：EF=BF+DE．练习：如图所示，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为五、平行线法（平移法）例1、如图，△ABC中，AB＝AC。

人教版数学八年级上册：证明三角形全等的解题思路 (附参考答案)

证明三角形全等的解题思路思路一：找边边相等呈现的方式：①公共边(包括全部公共和部分公共)；②中点．类型1已知两边对应相等，找第三边相等1．如图，已知AB＝DE，AD＝EC，D是BC的中点，求证：△ABD≌△EDC.类型2已知两角对应相等，找夹边相等2．如图，∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠DBC，求证：△ABD≌△CDB.类型3已知两角对应相等，找其中一角的对边相等3．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF 的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？类型4已知直角三角形的直角边(或斜边)相等，找斜边(或直角边)相等4．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DF，BE＝CF.求证：△ABC≌△DFE.思路二：找角角相等呈现的方式：①公共角；②对顶角；③角平分线；④垂直；⑤平行．类型5已知两边对应相等，找夹角相等5．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.求证：△ABC≌△ADE.6．如图，已知AD＝AE，AB＝AC，求证：△ABE≌△ACD.7．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD.类型6已知一边一角对应相等，找另一角相等8．如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE，求证：△ABC≌△DAE.9．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：(1)△ADO≌△AEO；(2)△BDO≌△CEO.参考答案专题1 证明三角形全等的解题思路1．证明：∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△ABD 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝ED ，AD ＝EC ，BD ＝DC ，∴△ABD ≌△EDC(SSS )．2．证明：在△ABD 和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠CDB ，BD ＝DB ，∠ADB ＝∠CBD ，∴△ABD ≌△CDB(ASA )． 3．解：全等．理由：∵两三角形纸板完全相同，∴BC ＝BF ，AB ＝BD ，∠A ＝∠D. ∴AB －BF ＝BD －BC ，即AF ＝DC.在△AOF 和△DOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠AOF ＝∠DOC ，AF ＝DC ，∴△AOF ≌△DOC(AAS )． 4．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF.在Rt △ABC 和Rt △DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，BC ＝FE ， ∴Rt △ABC ≌Rt △DFE(HL )．5．证明：∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC. ∴∠BAC ＝∠DAE.在△ABC 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ， ∴△ABC ≌△ADE(SAS )．6．证明：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，∠A ＝∠A ，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△ACD(SAS )．7．证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD.在△ACD 和△EBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝BD ，∠ADC ＝∠EDB ，DA ＝DE ，∴△ACD ≌△EBD(SAS )． 8．证明：∵DE ∥AB ，∴∠CAB ＝∠EDA.在△ABC 和△DAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAB ＝∠EDA ，AB ＝DA ，∠B ＝∠DAE ，∴△ABC ≌△DAE(ASA )． 9．证明：(1)∵AO 平分∠BAC ，∴∠DAO ＝∠EAO.∵∠BDC ＝∠CEB ＝90°， ∴∠ADO ＝∠AEO.在△ADO 和△AEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADO ＝∠AEO ，∠DAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△ADO ≌△AEO(AAS )． (2)∵△ADO ≌△AEO ， ∴DO ＝EO.在△BDO 和△CEO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BDO ＝∠CEO ，DO ＝EO ，∠DOB ＝∠EOC ， ∴△BDO ≌△CEO(ASA )．。

部编版人教初中数学八年级上册《证明三角形全等的基本思路小专题同步练习(含答案)》最新精品

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（最新精品小专题同步练习）小专题(三) 证明三角形全等的基本思路类型1 已知两边对应相等方法1 寻找第三边对应相等，用“SSS”1．把四根木条做成如图所示的四边形ABCD，其中AB＝AD，CB＝CD，有人说它可以当成一个平分角的仪器，请你说明其中的道理．方法2 寻找夹角对应相等，用“SAS”2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.求证：BC＝DE.类型2 已知两角对应相等方法1 寻找夹边对应相等，用“ASA”3．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC 于F.求证：AE＝DF.方法2 寻找任一对应角的对边对应相等，用“AAS”4．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？类型3 已知一边一角对应相等方法1 有一边和该边的对角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝BC，CE⊥BD于点E.求证：AD＝BE.方法2 有一边和该边的邻角对应相等，寻找夹该角的另一边对应相等，用“SAS”6．如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C，求证：OA＝OD.方法3 有一边和该边的邻角对应相等，寻找另一角对应相等，用“AAS”或“ASA”7．(北京中考)已知：如图，D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE.求证：BC＝AE.。

2020秋人教版数学八年级上册解题技巧专题：构造全等三角形解决有关问题

∵在△AEF 和△AGF 中，
∠AFE＝∠AFG，
AF＝AF，
∠EAF ∠GAF，
∴△AEF≌△AGF(ASA)．
∴AE＝AG. ∴AE＋CD＝AG＋CG＝AC.
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∴△CEF≌△CED(SAS)． ∴EF＝ED. ∵AE＝AF＋EF， ∴AE＝AB＋DE.
4．如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠BAC、∠ACB 的平分线 AD、CE 交于点 F，试猜想 AE、CD、AC 三条线段之间的数量关系，并加以证明．解：AE＋CD＝AC. 证明如下：在 CA 上取点 G 使得 CG＝CD，连接 FG，如图所示．
2020秋季学期数学·八年级上·RJ
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思路分析：如图，延长中线AM到D，使DM＝AM，连接BD，利用“SAS”可证得△ACM≌△DBM.
1．如图，在△ABC 中，D 为 BC 的中点． (1)求证：AB＋AC＞2AD； (1)证明：如图，延长 AD 至 E，使 DE＝AD. ∵D 为 BC 的中点， ∴DB＝CD. 在△ADC 和△EDB 中，
ED EC， ∵∠DEF ∠CEG，
FE EG，
∴△DEF≌△CEG. ∴DF＝GC，∠DFE＝∠G. ∵DF∥AB， ∴∠DFE＝∠BAE. ∵DF＝AC， ∴GC＝AC. 过点 C 作△ACG 的中线 CM，则 AM＝GM. ∵CM＝CM，
∴△ACM≌△GCM(SSS)． ∴∠G＝∠CAE. ∴∠BAE＝∠CAE，即 AE 平分∠BAC.
∵∠AFC＝180°－ 1 (∠BAC＋∠ACB)＝180°－ 1

人教版八年级上册三角形与全等三角形专题探究(无答案)(2021年整理)

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专题(一）三角形高线与角平分线的夹角探究方法点津·根据三角形的内角和定理及外角性质，还有角平分线、高的性质，可以发现从三角形的一个顶点出发的高与角平分线的夹角与另两个内角之间有一个不变的数量关系,呈现如下：图1－S－1典题精练·1．如图1－S－2，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝70°,∠C＝30°。

（1）求∠BAE的度数．（2）求∠DAE的度数．(3)探究:小明认为若将条件“∠B＝70°，∠C＝30°"改成“∠B－∠C＝40°”，也能得出∠DAE的度数，小明的想法正确吗？若正确，请你写出求解过程；若不正确,请说明理由．图1－S－22．如图1－S－3①，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B ＝β（α＞β)．（1)若∠BAC＝70°，∠B＝40°，求∠DCE的度数；(2）已知∠BAC＝α，∠B＝β（α＞β），则∠DCE＝________（用含α，β的式子表示);(3）若将△ABC换成钝角三角形，如图1－S－3②，其他条件不变，试用含α,β的式子表示∠DCE的度数，并说明理由；图1－S－3（4）如图1－S－3③，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA延长线于点E，且α－β＝30°，则∠DCE＝________°(直接写出结果）．3．如图1－S－4,在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC，垂足为D,AE平分∠BAC.已知∠B＝65°，∠DAE＝20°，则∠C＝________°.图1－S－44.如图1－S－5，在△ABC中，∠A＝38°，∠B＝70°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB,DP ⊥CE于点P，则∠CDP的度数为________．图1－S－55．（1)感知:如图1－S－6①,在△ABC中,AD平分∠BAC，AE⊥BC,∠B＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；(2）探究：如图1－S－6②，在△ABC中，若把（1)中的“AE⊥BC"变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”,其他条件不变，求∠DFE的度数；（3）拓展：如图1－S－6③,若把（1）中的△ABC变成四边形ABEC，把“AE⊥BC”变成EA平分∠BEC，其他条件不变,猜测∠DAE的度数是否变化，请证明你的结论．图1－S－6专题（二) 三角形内、外角的平分线的夹角探究类型一三角形两内角的平分线的夹角根据三角形内角和定理与角平分线的性质，可以发现三角形两内角的平分线相交所得到的钝角与第三个角有一个不变的等量关系：图2－S－11．如图2－S－2所示，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动,△AOB的角平分线AC与BD相交于点P，随着点A，B的位置的变化，∠APB的大小是否变化?若保持不变,请说明理由；若发生变化，请求出变化的范围．图2－S－22．已知在△ABC中,∠A＝50°。

(完整word版)初中八上全等三角形证明方法归纳经典全

【第1部分全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

概念深入理解：(1 )形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。

(外观长的像)(2 )经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

(位置变化) 2、全等三角形的表示方法：若厶ABC和厶A' B'是全等的，记作“△ ABC A' B'”C'其中，“也”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。

(1)全等三角形的对应角相等、对应边相等。

(2)全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。

(3)全等三角形周长，面积相等。

4、寻找对应元素的方法(1 )根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

(2)根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：（深入理解）①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）⑤斜边，直角边（HL）注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA ;㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

人教版八年级数学上小专题(三) 构造全等三角形的方法技巧

初中数学试卷灿若寒星整理制作小专题(三) 构造全等三角形的方法技巧方法一：利用补形构造全等三角形1AD.1.已知：如图，在△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE，求证：BE=2方法二：利用“截长补短”法构造全等三角形2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系,并说明理由.(想一想,你会几种)方法3.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD，CE交于点O,试判断BE,CD,BC的数量关系,并加以.证明.5.(德州中考)问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系.(1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG=BE.连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是；(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由.方法三：利用“倍长中线法”构造全等三角形6.已知,△ABC 中,AB=4 cm,BC=6 cm,BD 是AC 边上的中线,求BD 的取值范围.7.已知：如图,AD,AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线,且BA=BD.求证：AE=21AC.8.如图，AB=AE,AB ⊥AE ，AD=AC ，AD ⊥AC,点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM.参考答案1.图略，延长AC 、BE 交于点F ，∵∠ACB=90°,BE ⊥AE,∴∠CAD+∠CDA=90°,∠EDB+∠EBD=90°.∵∠CDA=∠EDB,∴∠CAD=∠EBD ，即∠CAD=∠CBF.在△ADC 和△BFC 中，∠CAD=∠CBF,AC=BC,∠ACD=∠BCF,∴△ADC ≌△BFC.∴AD=BF.在△AEF 和△AEB 中，∠FAE=∠BAE,AE=AE,∠AEF=∠AEB,∴△AEF ≌△AEB.∴BE=EF,即BE=21BF.∴BE=21AD. 2.AB=AC+CD.理由如下：方法1：在AB 上截取AE=AC,连接DE.易证△AED ≌△ACD(SAS),∴ED=CD,∠AED=∠C.∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠C=∠AED=∠B+∠EDB.又∵∠C=2∠B,∴∠B=∠EDB.∴BE=DE.∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.方法2：延长AC 到点F,使CF=CD,连接DF.∵CF=CD,∴∠CDF=∠F.∵∠ACB=∠CDF+∠F ，∴∠ACB=2∠F.又∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠F.∴△ABD ≌△AFD(AAS).∴AB=AF.∴AB=AF=AC+CF=AC+CD.3.证明：在BC 上截取BF=BE,连接OF.∵BD 平分∠ABC,∴∠EBO=∠FBO.∴△EBO ≌△FBO.∴∠EOB=∠FOB.∵∠A=60°,BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-21∠ABC-21∠ACB=180°-21(180°-∠A)=120°.∴∠EOB=∠DOC=60°.∴∠BOF=60°,∠FOC=∠DOC=60°.∵CE 平分∠DCB,∴∠DCO=∠FCO.∴△DCO ≌△FCO.∴CD=CF.∴BC=BF+CF=BE+CD.4.AB=AD+BC.理由：作EF ⊥AB 于F,连接BE.∵AE 平分∠BAD,DC ⊥AD,EF ⊥AB,∴EF=DE.∵DE=CE,∴EC=EF.∴Rt △BFE ≌Rt △BCE(HL).∴BF=BC.同理可证：AF=AD.∴AD+BC=AF+BF=AB,即AB=AD+BC.5.(1)EF=BE+DF(2)EF=BE+DF 仍然成立.证明：图略，延长FD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG.在△ABE 和△ADG 中，DG=BE,∠B=∠ADG,AB=AD,∴△ABE ≌△ADG(SAS).∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG.∵∠EAF=21∠BAD ，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF.∴∠EAF=∠GAF.在△AEF 和△GAF 中，AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF,∴△AEF ≌△GAF(SAS).∴EF=FG.∵FG=DG+DF=BE+DF ，∴EF=BE+DF.6.图略,延长BD 至E,使DE=BD.连接CE.∵BD 是AC 边上的中线,∴AD=CD.∵∠BDA=∠CDE,∴△BDA ≌△EDC(SAS).∴CE=AB.在△CBE 中,BC-CE<BE<BC+CE,∴2 cm<2BD<10 cm.∴1 cm<BD<5 cm.7.证明：延长AE 至F,使EF=AE ，连接DF.∵AE 是△ABD 的中线,∴BE=DE.∵∠AEB=∠FED,∴△ABE ≌△FDE.∴∠B=∠BDF,AB=DF.∵BA=BD,∴∠BAD=∠BDA,BD=DF.∵∠ADF=∠BDA+∠BDF ，∠ADC=∠BAD+∠B ，∴∠ADF=∠ADC.∵AD 是△ABC 的中线,∴BD=CD.∴DF=CD.∴△ADF ≌△ADC(SAS).∴AC=AF=2AE,即AE=21AC. 8.延长AM 至N ，使MN=AM ，连接BN ，易证△AMC ≌△NMB(SAS),∴AC=BN,∠C=∠NBM ，∠ABN=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.再证△ABN ≌△EAD(SAS).∴DE=NA.又AM=MN ，∴DE=2AM.。

八年级数学上册第十二章全等三角形专题五构造全等三角形常用的辅助线作业课件新版新人教版

－AC＜AE＜CE＋AC，即 6－2＜2AD＜6＋2，∴4＜2AD＜8，∴2＜AD＜4.
2．如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，已知AC＝BF，∠DAC＝35°，∠EBC＝40°，求∠C的度数．
解：如图，延长 AD 到点 M，使得 DM＝AD，连接 BM.∵AD 是△ABC
(2)证明：如图，在 AB 上截取 AF＝AC，连接 EF，在△ACE 和△AFE 中，
A∠CC＝AEA＝F，∠FAE， ∴ △ ACE ≌ △ AFE(SAS).∴CE ＝ FE ， ∠ CEA ＝ AE＝AE，
∠FEA.∵∠CEA＋∠DEB＝90°，∠FEA＋∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB.
类型二：利用角平分线截长补短构造全等方法技巧：因角平分线已具备全等三个条件中的两个(角等、公共边等) 条件，故在角的两边截取相等的线段构造SAS全等三角形．
5．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．
(1)求∠AEB的度数； (2)求证：CE＝DE.
解：(1)∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠ABD＝180°.∵AE 平分∠CAB，BE 平分∠DBA，∴∠EAB＝12 ∠CAB，∠EBA＝12 ∠ABD.∴∠EAB＋∠EBA ＝90°，∴∠AEB＝90°.
解：已知：如图，在△ABC与△A1B1C1中，AB＝A1B1，AC＝A1C1， AM和A1M1分别为中线，AM＝A1M.求证：△ABC≌△A1B1C1.
证明：如图，延长 AM 至点 D ，使 AM ＝ MD ，延长 A1M1 至点 D1 ，使 A1M1 ＝ M1D1 ，连接 DC ， D1C1 ，分别证明 △ ABM≌△DCM ， △ A1B1M1≌△D1C1M1 ，得 AB ＝ CD ， A1B1 ＝ C1D1 ， ∠ BAM ＝ ∠ D ， ∠B1A1M1＝∠D1，再证△ACD≌△A1C1D1，得∠1＝∠2，从而∠BAC＝ ∠B1A1C1，再用SAS证△ABC≌△A1B1C1.

《新新练案系列》人教版初二数学(上册)《第十二章全等三角形证明三角形全等常作的辅助线》方法技巧

《新新练案系列》人教版初二数学（上册）《第十二章全等三角形证明三角形全等常作的辅助线》方法技巧在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法〔〝SSS 〞〝SAS 〞〝ASA 〞〝AAS 〞〝HL 〞〕中，至少有一组相等的边，因此在运用时要养成先找边的习气。

假设找到了一组对应边，再找第二组条件，假定又找到一组对应边那么再找这两边的夹角用〝SAS 〞或再找第三组对应边用〝SSS 〞；假定找到一组角那么需找另一组角〔能够用〝ASA 〞或〝AAS 〞〕或夹这个角的另一组对应边用〝SAS 〞；假定是判定两个直角三角形全等那么优先思索〝HL 〞.上述结论可归结为：搞清了全等三角形的证题思绪后，还要留意一些较难的证明效果，只需结构适宜的全等三角形，把条件相对集中起来，再停止等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种罕见的结构方法，供同窗们参考．1．截长补短法例1 如图，：在正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E . 求证：AB +BE =AC ．解法1:〔补短法或补全法〕延伸AB 至F 使AF =AC ，由△AEF ≌△AEC ，∴∠F =∠ACE =45°，∴BF =BE ，∴AB +BE =AB +BF =AF =AC ．解法2:〔截长法或联系法〕在AC 上截取AG =AB ，由 △ABE ≌△AGE ，∴EG =BE , ∠AGE =∠ABE . ∵∠ACE =45°, ∴CG =EG ,∴AB +BE =AG +CG =AC ．2．平行线法〔或平移法〕假定题设中含有中点可以过中点作平行线或中位线，对直角三角形,有时可作出斜边上的中线．例2 在△ABC 中，∠BAC =60°，∠C =40°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ，求证：AB +BP =BQ +AQ ．证明：如图，过O 作OD ∥BC 交AB 于D ，∴∠ADO =∠ABC =180°－60°－40°=80°.∵∠AQO =∠C +∠QBC =80°，∴∠ADO =∠AQO.∵∠DAO =∠QAO ，OA =OA ，∴△ADO ≌△AQO ，∴OD=OQ ，AD=AQ .∵OD ∥BP ，∴∠PBO =∠DOB .∵∠PBO =∠DBO ，∴∠DBO =∠DOB ，∴BD=OD .∵∠BPO =∠P AC +∠PCA =30°+40°=70°，∠BOP =∠BAO +∠ABO =30°+40°=70°，∴BP=BO.∴AB+BP =AD +DB +BP =AQ+OQ+BO=AQ+BQ ．3．旋转法对标题中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法结构全等三角形。

新人教版八年级数学上册第2讲第2课时方法训练构造全等三角形的六种常用方法

人教版八年级上
期末提分练案
第2讲全等三角形的判定和性质
第2课时方法训练
构造全等三角形的六种常用方法
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期末提分练案 1．如图，在四边形 OACB 中，CM⊥OA 于点 M，∠1＝∠2，
CA＝CB.求证： (1)∠3＋∠4＝180°；证明：如图，过点 C 作 CE⊥OB，交 OB 的延长线于点 E. ∵CE⊥OE，CM⊥OA， ∴∠E＝∠CMO＝90°.
期末提分练案 5．如图，∠AOB＝90°，OM 平分∠AOB，直角三角板的顶点 P
在射线 OM 上移动，两直角边分别与 OA，OB 相交于点 C， D，问 PC 与 PD 相等吗？试说明理由．
【点拨】本题中没有全等三角形，通过作垂线构造三角形，证明三角形全等，问题得解．
期末提分练案
解：PC＝PD.理由如下：如图，过点 P 分别作 PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为点 E，F. ∵OM 平分∠AOB，∴PE＝PF. ∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°. ∴∠EPF＝90°，即∠EPC＋∠CPF＝90°. 又∵∠CPD＝90°，∴∠CPF＋∠FPD＝90°.
期末提分练案 2．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，
点 D 为 BC 的中点，CE⊥AD 于点 E，其延长线交 AB 于点 F，连接 DF.求证∠ADC＝∠BDF.
【点拨】本题利用补形法构造出△CBG，证明全等后，通过∠G 来寻找∠ADC 与∠BDF 的相等关系．
期末提分练案 3．如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于点 E，交 AD 于点

八年级数学上册小专题五构造全等三角形的方法技巧选做练习新版新人教版

小专题 ( 五)构造全等三角形的方法技巧( 本专题部分习题有难度，请依据实质状况选做)方法 1利用补形构造全等三角形11．已知：如图，在△ ABC 中，∠ BCA＝ 90°， AC＝BC， AE均分∠ BAC， BE⊥AE，求证： BE＝ AD.2方法 2利用“截长补短法”构造全等三角形2．如图，在△ ABC 中， AD 均分∠ BAC，∠ C＝ 2∠ B，试判断AB，AC，CD三者之间的数目关系，并说明原由．( 想一想，你会几种方法)3．如图，在△ ABC 中，∠ A＝ 60°， BD， CE分别均分∠ ABC 和∠ ACB， BD，CE交于点 O，试判断 BE， CD， BC的数目关系，并加以证明．4．如图， AD∥ BC， DC⊥AD， AE均分∠ BAD， E 是 DC的中点．问：AD，BC， AB之间有何关系？并说明原由．5.( 德州中考 ) 问题背景：如图 1：在四边形 ABCD中，AB＝ AD，∠ BAD＝ 120°，∠ B＝∠ ADC＝ 90° .E ，F 分别是 BC，CD上的点．且∠ EAF ＝ 60° . 研究图中线段 BE， EF， FD 之间的数目关系．(1)小王同学研究此问题的方法是，延长FD 到点 G. 使 DG＝ BE. 连接 AG，先证明△ ABE≌△ AD G，再证明△AEF≌△ AGF，可得出结论，他的结论应是________________ ；1(2)如图 2，若在四边形 ABCD中， AB＝ AD，∠ B＋∠ D＝ 180° .E ， F 分别是 BC，CD上的点，且∠ EAF＝2∠BAD，上述结论能否依旧成立，并说明原由．6．已知△ ABC 中， AB＝ 4 cm， BC＝ 6 cm，BD是 AC边上的中线，求BD的取值范围．17．已知：如图，AD，AE 分别是△ ABC 和△ ABD的中线，且BA＝ BD.求证： AE＝ AC.28．如图， AB＝ AE， AB⊥ AE， AD＝ AC， AD⊥AC，点 M为 BC的中点，求证：DE＝2AM.小专题 ( 五 )构造全等三角形的方法技巧1．延长 AC、 BE交于点 F，∵∠ ACB＝ 90°， BE⊥AE，∴∠ CAD＋∠ CDA＝ 90°，∠ EDB＋∠ EBD＝ 90° .∵∠ CDA＝∠ EDB，∴∠ CAD＝∠ EBD，即∠ CAD＝∠ CBF.∠CAD＝∠ CBF，在△ ADC和△ BFC中，AC＝ BC，∠ACD＝∠ BCF，∴△ ADC≌△ BFC.∴ AD＝ BF.∠F AE＝∠ BAE，在△ AEF 和△ AEB中，AE＝ AE，∠AEF＝∠ AEB，1∴△ AEF≌△ AEB.∴ BE＝ EF，即 BE＝ BF.21∴BE＝2AD.＝ AC＋ CD.原由以下：方法1：在 AB上截取 AE＝AC，连接 DE. 易证△ AED≌△ ACD( SAS)，∴ ED＝ CD，∠ AED＝∠ C.∵∠ AED＝∠ B＋∠ EDB，∴∠ C＝∠ AED＝∠ B＋∠ EDB.又∵∠ C＝2∠B，∴∠ B＝∠ EDB.∴BE＝ DE.∴AB＝ AE＋BE＝ AC＋DE＝ AC＋CD.方法 2：延长 AC到点 F，使 CF＝ CD，连接 DF.∵CF＝ CD，∴∠ CDF＝∠ F.∵∠ ACB＝∠ CDF＋∠ F，∴∠ACB＝2∠F.又∵∠ ACB＝2∠B，∴∠B＝∠ F.又∵∠ BAD＝∠ FAD， AD＝ AD，∴△ ABD≌△ AFD(AAS)．∴AB＝AF.∴AB＝ AF＝ AC＋ CF＝ AC＋ CD.3.证明：在 BC上截取 BF＝ BE，连接 OF.∵BD均分∠ ABC，∴∠ EBO＝∠ FBO.∴△ EBO≌△ FBO.∴∠ EOB＝∠ FOB.∵∠ A＝ 60°， BD， CE分别均分∠ ABC 和∠ ACB，111∴∠ BOC＝ 180°－∠ OBC－∠ OCB＝ 180°－2∠ ABC－2∠ ACB＝ 180°－2(180 °－∠ A)＝ 120° .∴∠ EOB＝∠ DOC＝ 60° .∴∠ BOF＝ 60°，∠ FOC＝∠ DOC＝ 60° .∵CE均分∠DCB，∴∠ DCO＝∠ FCO.∴△ DCO≌△ FCO.∴CD＝CF.∴BC＝ BF＋ CF＝ BE＋ CD.＝ AD＋ BC.原由：作EF⊥AB 于 F，连接 BE.∵AE 均分∠ BAD， DC⊥ AD， EF⊥AB，∴ EF＝ DE.∵DE＝ CE，∴ EC＝ EF.∴ Rt △ BFE≌ Rt △ BCE(HL)．∴ BF＝ BC. 同理可证： AF＝ AD.∴AD＋ BC＝AF＋ BF＝AB，即 AB＝ AD＋ BC.5.(1)EF ＝ BE＋ DF (2)EF ＝ BE＋ DF 依旧成立．证明：延长FD到 G，使 DG＝ BE，连接 AG，∵∠ B＋∠ ADC＝ 180°，∠ ADC＋∠ ADG＝ 180°，BE＝ DG，∴∠ B＝∠ ADG在.△ ABE 和△ ADG中，∠ B＝∠ ADG，AB＝ AD，∴△ ABE≌△ ADG(SAS)．∴ AE＝ AG，∠ BAE＝∠ DAG.1∵∠ EAF＝2∠ BAD，∴∠ GAF＝∠ DAG＋∠ DAF＝∠ BAE＋∠ DAF＝∠ BAD－∠ EAF＝∠ EAF.∴∠ EAF＝∠ GAF.AE＝ AG，在△ AEF 和△ AGF中，∠ EAF＝∠ GAF，AF＝ AF，∴△ AEF≌△ AGF(SAS)．∴ EF＝ FG.∵FG＝ DG＋DF＝ BE＋DF，∴ EF＝BE＋ DF.6. 延长 BD至 E，使 DE＝ BD.连接 CE.∵BD是 AC边上的中线，∴AD＝CD.∵∠ BDA＝∠ EDC，∴△ BDA≌△ EDC(SAS)．∴ CE＝ AB.在△ CBE中， BC－ CE<BE<BC＋CE，∴ 2 cm<2BD<10 cm. ∴ 1 cm<BD<5 cm.7.证明：延长 AE至 F，使 EF＝ AE，连接 DF.∵AE 是△ ABD的中线，∴ BE＝DE.∵∠ AEB＝∠ FED，∴△ABE≌△ FDE.∴∠ B＝∠ BDF， AB＝DF.∵BA＝ BD，∴∠ BAD＝∠ BDA， BD＝ DF.∵∠ ADF＝∠ BDA＋∠ BDF，∠ ADC＝∠ BAD＋∠ B，∴∠ADF＝∠ ADC.∵AD是△ ABC的中线，∴ BD＝CD.∴DF＝ CD.1∴△ ADF≌△ ADC( SAS)．∴ AC＝ AF＝ 2AE，即 AE＝2AC.8.延长 AM至 N，使 MN＝ AM，连接 BN，∵点 M为 BC的中点，∴ BM＝CM.又∵∠ BMN＝∠ CMA，∴△AMC≌△ NMB(SAS)．∴AC＝ BN，∠ C＝∠ NBM，∠ ABN＝∠ ABC＋∠ C＝ 180°－∠ BAC＝∠ EAD.又∵ BN＝ AC＝ AD， AB＝ EA，∴△ ABN≌△ EAD(SAS)．∴ DE＝ NA.又 AM＝ MN，∴ DE＝ 2AM.。

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小专题(五) 构造全等三角形的方法技巧
(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)
方法1 利用补形构造全等三角形
1．已知：如图，在△ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 平分∠BAC，B E⊥AE，求证：BE ＝1
2
AD.
方法2 利用“截长补短法”构造全等三角形
2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠C ＝2∠B ，试判断AB ，AC ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法)
3．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠AB C 和∠ACB，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明．
4．如图，AD ∥BC ，DC ⊥AD，AE 平分∠BAD，E 是DC 的中点．问：AD ，BC ，AB 之间有何关系？并说明理由．
5.(德州中考)问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG ＝BE.连接AG ，先证明△ABE≌△A DG ，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________________；
(2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D＝180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF＝1
2∠BAD ，
上述结论是否仍然成立，并说明理由．
方法3 利用“倍长中线法”构造全等三角形
6．已知△ABC中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围．
7．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD.求证：AE＝1
2 AC.
8．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.
小专题(五) 构造全等三角形的方法技巧1．延长AC、BE交于点F，∵∠ACB＝90°，BE⊥AE，
∴∠CAD ＋∠CDA＝90°，∠EDB ＋∠EBD＝90°. ∵∠CDA ＝∠EDB，
∴∠CAD ＝∠EBD，即∠CAD＝∠CBF. 在△ADC 和△BFC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠CAD＝∠CBF ，AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCF，
∴△ADC ≌△BFC.∴AD ＝BF.
在△AEF 和△AEB 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠FAE＝∠BAE，AE ＝AE ，∠AEF ＝∠AEB，
∴△AEF ≌△AEB.∴BE ＝EF ，即BE ＝1
2BF.
∴BE ＝1
2
AD.
2.AB ＝AC ＋CD.
理由如下：方法1：在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE .易证△AED≌△ACD(SAS)，∴ED ＝CD ，∠AED ＝∠C.
∵∠AED ＝∠B＋∠EDB，∴∠C ＝∠AED＝∠B＋∠EDB. 又∵∠C＝2∠B，
∴∠B ＝∠EDB.∴BE＝DE.
∴AB＝AE ＋BE ＝AC ＋DE ＝AC ＋CD.
方法2：延长AC 到点F ，使CF ＝CD ，连接DF. ∵CF ＝CD ，∴∠CDF ＝∠F.
∵∠ACB＝∠CDF＋∠F，∴∠ACB ＝2∠F. 又∵∠ACB＝2∠B，∴∠B ＝∠F. 又∵∠BAD＝∠FAD，AD ＝AD ， ∴△ABD ≌△AFD(AAS)．
∴AB＝AF.∴AB＝AF ＝AC ＋CF ＝AC ＋CD. 3.证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF. ∵BD 平分∠A BC ， ∴∠EBO ＝∠FBO. ∴△EBO≌△FBO. ∴∠EOB ＝∠FOB.
∵∠A＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB，
∴∠BOC ＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－1
2(180°－∠A)＝120°.
∴∠EOB ＝∠DOC＝60°.
∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝∠DOC＝60°. ∵CE 平分∠DCB， ∴∠DCO ＝∠FCO.
∴△DCO≌△FCO.
∴CD＝CF.∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.
4.AB ＝AD ＋BC.理由：作EF⊥AB 于F ，连接BE. ∵AE 平分∠BAD，DC ⊥AD ，EF ⊥AB ， ∴EF ＝DE.
∵DE＝CE ，∴EC ＝EF.
∴Rt △BFE ≌Rt △BCE(HL)．∴BF＝BC .同理可证：AF ＝AD.
∴AD＋BC ＝AF ＋BF ＝AB ，即AB ＝AD ＋BC.
5.(1)EF ＝BE ＋DF (2)EF ＝BE ＋DF 仍然成立．证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， ∵∠B ＋∠ADC＝180°，∠ADC ＋∠ADG＝180°， ∴∠B ＝∠ADG.在△ABE 和△ADG 中，⎩⎪⎨⎪
⎧BE ＝DG ，∠B ＝∠ADG，AB ＝AD ，
∴△ABE ≌△ADG(SAS)．∴AE＝AG ，∠BAE ＝∠DAG. ∵∠EAF＝1
2
∠BAD ，
∴∠GAF ＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.∴∠EAF＝∠GAF. 在△AEF 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF，AF ＝AF ，
∴△AEF ≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG.
∵FG＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF. 6.延长BD 至E ，使DE ＝BD.连接CE. ∵BD 是AC 边上的中线，∴AD ＝CD.
∵∠BDA ＝∠EDC，∴△BDA ≌△EDC(SAS)．∴CE＝AB.
在△CBE 中，BC －CE<BE<BC ＋CE ，∴2 cm<2BD<10 cm.∴1 cm<BD<5 cm. 7.证明：延长AE 至F ，使EF ＝AE ，连接DF. ∵AE 是△ABD 的中线，∴BE ＝DE.
∵∠AEB＝∠FED，∴△ABE ≌△FDE.∴∠B ＝∠BDF，AB ＝DF. ∵BA＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA，BD ＝DF.
∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC ＝∠BAD＋∠B，∴∠ADF ＝∠ADC. ∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD.∴DF＝CD.
∴△ADF≌△ADC(SAS)．∴AC＝AF ＝2AE ，即AE ＝1
2
AC.
8.延长AM 至N ，使MN ＝AM ，连接BN ， ∵点M 为BC 的中点，∴BM ＝CM.
又∵∠BMN＝∠CMA，∴△AMC ≌△NMB(SAS)．
∴AC＝BN ，∠C ＝∠NBM，∠ABN ＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD. 又∵BN＝AC ＝AD ，AB ＝EA ，∴△ABN ≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA. 又AM ＝MN ，∴DE ＝2AM.
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。