东北师大附属中学高三一轮导学案：直线与圆锥曲线位置关系【A】
北师大版2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第8讲直线与圆锥曲线的位置关系学案含解析
第8讲直线与圆锥曲线的位置关系基础知识整合1．直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或消去x)得到关于x(或关于y)的一元二次方程．如联立后得到以下方程：Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)，Δ＝B2－4AC．若Δ<0，则直线与圆锥曲线01没有公共点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线02有且只有一个公共点；若Δ>0，则直线与圆锥曲线03有两个不同的公共点．2．弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题．直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程．当Δ>0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|＝04x1－x22＋y1－y22＝051＋k2|x1－x2|＝061＋k2·x1＋x22－4x1x2.再利用根与系数的关系得出x1＋x2，x1x2的值，代入上式计算即可．3．直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．(2)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．解决直线与圆锥曲线关系问题的一般方法(1)解决焦点弦(过圆锥曲线焦点的弦)的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义．(2)已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法．(3)圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解．(4)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y ≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：圆锥曲线方程直线斜率椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)k ＝－b 2x 0a 2y 0双曲线：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)k ＝b 2x 0a 2y 0 抛物线：y 2＝2px (p >0)k ＝p y 01．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．若过原点的直线l 与双曲线x 24－y 23＝1有两个不同交点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，＋∞ 答案 B解析 因为x 24－y 23＝1，其两条渐近线的斜率分别为k 1＝－32，k 2＝32，要使过原点的直线l 与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线l 的斜率的取值范围应是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，0. 3．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2B ．2 3C ．303 D ．362答案 C解析 设以(1,1)为中点的弦的两端点为(x 1，y 1)(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，∴(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴弦所在直线方程为x ＋2y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋2y 2＝4，可得弦长为303. 4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2答案 C解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以过焦点且斜率为－1的直线方程为y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程，整理得x 2－3px ＋p 24＝0，由AB 中点的横坐标为3，得3p ＝6，解得p ＝2，故抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1.5．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 D解析 根据题意，过点(－2,0)且斜率为23的直线方程为y ＝23(x ＋2)，与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋2，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－6y ＋8＝0，解得M (1,2)，N (4,4)，又F (1,0)，所以FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)，从而可以求得FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8，故选D ．6．在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．答案22解析 设P (x ，y )(x ≥1)，因为直线x －y ＋1＝0平行于渐近线x －y ＝0，所以c 的最大值为直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0之间距离，为12＝22. 核心考向突破考向一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．关于直线与圆锥曲线的位置关系的两类问题一是判断位置关系；二是依据位置关系确定参数的范围．这两类问题在解决方法上是一致的，都是将直线与圆锥曲线方程联立，利用判别式及根与系数的关系求解．此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．[即时训练] 1.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，所以c ＝1.将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得1b2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1.② 综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2.所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 考向二 弦长问题例2 已知平面上一动点P 到定点F (3，0)的距离与它到直线x ＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求△MON面积的最大值．解 (1)设P (x ，y )，则x －32＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －433＝32， 化简得x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，得Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0， 化简，得m 2<4k 2＋1，①x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，∴4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2， ∴(4k 2－5)·4m 2－14k 2＋1＋4km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0， 化简，得m 2＋k 2＝54，②|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 264k 2m 24k 2＋12－4·4m 2－44k 2＋1＝1＋k 2 －16m 2＋64k 2＋164k 2＋12＝1＋k 2420k 2－14k 2＋12， ∵原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，∴S △MON ＝12|MN |·d ＝125－4k 220k 2－14k 2＋12. 设4k 2＋1＝t ，由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54，所以65<t ≤6，16≤1t <56，S △MON ＝126－t 5t －6t2＝12－36＋36t －5t2t 2＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋19≤1， 所以当1t ＝12，即k ＝±12时，△MON 的面积取最大值，最大值为1.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后整体代入弦长公式求解．注意：两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．[即时训练] 2.(2019·湖北四地七校联考)已知F 1，F 2分别为椭圆Ω：x 24＋y 2b2＝1(b ＞0)的左、右焦点．(1)当b ＝1时，若P 是椭圆Ω上一点，且P 位于第一象限，PF 1→·PF 2→＝－54，求点P 的坐标；(2)当椭圆的焦距为2时，若直线l ：y ＝12x ＋m 与椭圆Ω相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，试求△AOB 的面积．解 (1)当b ＝1时，x 24＋y 2＝1，则F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设P (x ，y )(x ，y ＞0)， 则PF 1→＝(－3－x ，－y )，PF 2→＝(3－x ，－y )， 又PF 1→·PF 2→＝－54，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－3＝－54，x24＋y 2＝1，x ，y ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)由题意知，c ＝1，则椭圆方程为x 24＋y 23＝1，联立直线与椭圆方程得，⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝12x ＋m⇒x2＋mx ＋m 2－3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－3，3x 1x 2＋4y 1y 2＝3x 1x 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋m ＝4x 1x 2＋2m (x 1＋x 2)＋4m 2＝6(m 2－2)＝0，解得m 2＝2满足Δ＞0， 则|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·m 2－4m 2－3， 于是S △AOB ＝12|AB |d＝121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·m 2－4m 2－3·|m |1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3.考向三 中点弦问题例3 (2019·石家庄一模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0,2)到焦点F 的距离|PF |＝2x 0.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 引圆M ：(x －3)2＋y 2＝r 2(0<r ≤2)的两条切线PA ，PB ，切线PA ，PB 与抛物线C 的另一交点分别为A ，B ，线段AB 中点的横坐标记为t ，求t 的取值范围．解 (1)由抛物线的定义，得|PF |＝x 0＋p2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝x 0＋p2，2px 0＝4，p >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，x 0＝1，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由题意知，过P 引圆(x －3)2＋y 2＝r 2(0<r ≤2)的切线，斜率存在且不为0，设切线PA 的方程为y ＝k 1(x －1)＋2，则圆心M (3,0)到切线PA 的距离d ＝|2k 1＋2|k 21＋1＝r ，整理，得(r 2－4)k 21－8k 1＋r 2－4＝0.设切线PB 的方程为y ＝k 2(x －1)＋2， 同理可得(r 2－4)k 22－8k 2＋r 2－4＝0.所以k 1，k 2是方程(r 2－4)k 2－8k ＋r 2－4＝0的两根，k 1＋k 2＝8r 2－4，k 1k 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1＋2，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＋8＝0， 由根与系数的关系知，2y 1＝8－4k 1k 1，所以y 1＝4－2k 1k 1＝4k 1－2＝4k 2－2，同理可得y 2＝4k 1－2.t ＝x 1＋x 22＝y 21＋y 228＝4k 2－22＋4k 1－228＝2(k 21＋k 22)－2(k 1＋k 2)＋1 ＝2(k 1＋k 2)2－2(k 1＋k 2)－3， 设λ＝k 1＋k 2，则λ＝8r 2－4∈[－4，－2)， 所以t ＝2λ2－2λ－3，其图象的对称轴为λ＝12>－2，所以9<t ≤37.处理中点弦问题常用的求解方法提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．[即时训练] 3.(2019·郑州二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线l 0：y ＝x ＋22相切，点A 为圆C 1上一动点，AN ⊥x 轴于点N ，且动点M 满足OM →＋AM →＝ON →，设动点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)设P ，Q 是曲线C 上两动点，线段PQ 的中点为T ，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－14，求|OT |的取值范围．解 (1)设动点M (x ，y )，A (x 0，y 0)，由于AN ⊥x 轴于点N ，∴N (x 0,0)． 又圆C 1：x 2＋y 2＝r 2(r >0)与直线l 0：y ＝x ＋22， 即x －y ＋22＝0相切，∴r ＝|22|2＝2，∴圆C 1：x 2＋y 2＝4.由OM →＋AM →＝ON →，得(x ，y )＋(x －x 0，y －y 0)＝(x 0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 0＝x 0，2y －y 0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y ，又点A 为圆C 1上一动点，∴x 2＋4y 2＝4， ∴曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当直线PQ 的斜率不存在时，可取直线OP 的方程为y ＝12x ，不妨取点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则Q ⎝⎛⎭⎪⎫2，－22，T (2，0)， ∴|OT |＝ 2.当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.∵k 1k 2＝－14，∴4y 1y 2＋x 1x 2＝0.∴4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＋x 1x 2＝(4k 2＋1)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4m 2－4－32k 2m 21＋4k2＋4m 2＝0，化简得2m 2＝1＋4k 2，∴m 2≥12.Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＝16(4k 2＋1－m 2)＝16m 2>0，设T (x ′0，y ′0)，则x ′0＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2＝－2k m， y ′0＝kx ′0＋m ＝12m.∴|OT |2＝x ′2＋y ′20＝4k 2m 2＋14m 2＝2－34m 2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2，∴|OT |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2.综上，|OT |的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2.1．(2020·云南昆明摸底)已知动点M (x ，y )满足：x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2＝2 2.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设过点N (－1,0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C (点C 与点B 不重合)．证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．解 (1)由已知，动点M 到点P (－1,0)，Q (1,0)的距离之和为22，且|PQ |<22，所以动点M 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，所以b ＝1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 1，－y 1)， 由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.又直线BC 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)， 即y ＝y 2＋y 1x 2－x 1x －x 1y 2＋x 2y 1x 2－x 1， 令y ＝0，得x ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝2kx 1x 2＋k x 1＋x 2k x 1＋x 2＋2k＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝4k 2－41＋2k 2－4k21＋2k 2－4k21＋2k 2＋2＝－2， 所以直线BC 恒过定点D (－2,0)．2．(2019·四川成都七中模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点是(3，0)，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若|AM |＝2|MB |，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，－12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，整理得4a 4－19a 2＋12＝0，又a 2＝3＋b 2>3，故a 2＝4，所以b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由|AM |＝2|MB |，得y 1＝－2y 2.①由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x 得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－2tmt 2＋4，② y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.③由①②得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－4tm t 2＋4，y 2＝2tmt 2＋4，代入③，得m 2－4t 2＋4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2tm t 2＋42，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2.原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t2，又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|m |1＋t2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4t 2＋4＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1，消去t 得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，经检验满足题意，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫±233，0，d 2＝47，所以在Rt △OMN中，|MN |＝43－47＝42121. 答题启示解析几何的综合问题，常常涉及到直线与曲线相交，当两个交点坐标未知时，用“设而不求”避免求交点，从而简化计算．常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．而当其中一个交点坐标是已知的或除根与系数的关系外，还有坐标等量关系．则常用到“设而要求”．对点训练1．(2019·太原一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2.A ，B是其左、右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且△PF 1F 2的周长为6，若△PF 1F 2面积的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点F 2且斜率不为0的直线交椭圆C 于M ，N 两个不同点，证明：直线AM 与BN 的交点在一条定直线上．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2c ＝6，12×2bc ＝3，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明：由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，F 2(1,0)， 设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y23＝1，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0，∴y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，∴my 1y 2＝32(y 1＋y 2)，直线AM 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BN 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，令y 1x 1＋2(x ＋2)＝y 2x 2－2(x －2)， ∴x ＋2x －2＝y 2x 1＋2y 1x 2－2＝my 1y 2＋3y 2my 1y 2－y 1＝3，∴x ＝4， ∴直线AM 与BN 的交点在直线x ＝4上．2．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12t －19.从而－12t －19＝52，解得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2， 故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1.故|AB |＝4133.1、在最软入的时候，你会想起谁。
高三数学北师大版总复习学案：学案54 直线与圆锥曲线的位置关系
学案54直线与圆锥曲线的位置关系导学目标: 1.了解圆锥曲线的简单应用。
2.理解数形结合的思想．自主梳理1．直线与椭圆的位置关系的判定方法(1)将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ〉0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________;若Δ〈0，则直线与椭圆________．（2)直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立消去y（或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0。
①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ〈0时,直线与双曲线________．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．（3)直线与抛物线位置关系的判定方法将直线方程与抛物线方程联立,消去y(或x），得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①当a≠0，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时,直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程(1）AB是椭圆错误!＋错误!＝1 （a>b〉0）的一条弦，M（x0，y0）是AB的中点，则k AB＝________，k AB·k OM＝__________。
点差法求弦的斜率的步骤是：①将端点坐标代入方程：错误!＋错误!＝1，错误!＋错误!＝1.②两等式对应相减：错误!－错误!＋错误!－错误!＝0。
③分解因式整理:k AB＝错误!＝－错误!＝－错误!。
（2）运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线错误!－错误!＝1的弦，中点M(x0，y0），则k AB＝__________________.已知抛物线y2＝2px (p〉0）的弦AB的中点M（x0，y0）,则k AB＝____________。
3．弦长公式直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线C：F（x，y）＝0交于A(x1,y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝错误!｜x1－x2｜＝错误!错误!或｜AB|＝错误!|y1－y2｜＝错误!·错误!.自我检测1．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为错误!的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K,则△AKF的面积是( ）A．4 B．3错误!C．4错误!D．82．（2011·中山调研)与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是（）A．（1,0） B.错误!C．(－1,0) D.错误!3．(2011·许昌模拟)已知曲线错误!＋错误!＝1和直线ax＋by＋1＝0 （a、b为非零实数)，在同一坐标系中，它们的图形可能是( ）4．(2011·杭州模拟)过点错误!的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则错误!·错误!的值为（)A．－错误!B．－错误!C．－4 D．无法确定探究点一直线与圆锥曲线的位置关系例1k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点？变式迁移1 已知抛物线C的方程为x2＝错误!y，过A（0,－1）,B （t,3）两点的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是( ）A．(－∞，－1)∪(1，＋∞）B.错误!∪错误!C．(－∞,－2错误!)∪(2错误!，＋∞)D．(－∞，－错误!)∪(错误!，＋∞)探究点二圆锥曲线中的弦长问题例2如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆错误!＋y2＝1交于A、B两点，记△AOB的面积为S。
高考数学(理科)一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学习型教学案
高考数学（理科）一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案54 直线与圆锥曲线的位置关系导学目标：1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想．自主梳理．直线与椭圆的位置关系的判定方法将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，若Δ>0，则直线与椭圆________；若Δ＝0，则直线与椭圆________；若Δ<0，则直线与椭圆________．直线与双曲线的位置关系的判定方法将直线方程与双曲线方程联立消去y，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线________；当Δ＝0时，直线与双曲线________；当Δ<0时，直线与双曲线________．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有________交点．直线与抛物线位置关系的判定方法将直线方程与抛物线方程联立，消去y，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0.①当a≠0，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴________，只有________交点．2．已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1的一条弦，m是AB的中点，则kAB＝________，kAB•kom＝__________.点差法求弦的斜率的步骤是：①将端点坐标代入方程：x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1.②两等式对应相减：x21a2－x22a2＋y21b2－y22b2＝0.③分解因式整理：kAB＝y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2＝－b2x0a2y0.运用类比的手法可以推出：已知AB是双曲线x2a2－y2b2＝1的弦，中点m，则kAB＝__________________.已知抛物线y2＝2px的弦AB的中点m，则kAB＝____________.3．弦长公式直线l：y＝kx＋b与圆锥曲线c：F＝0交于A，B两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2•y1＋y22－4y1y2.自我检测．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，Ak⊥l，垂足为k，则△AkF的面积是A．4B．33c．43D．82．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是A．B.116，0c．D.0，－1163．已知曲线x2a＋y2b＝1和直线ax＋by＋1＝0，在同一坐标系中，它们的图形可能是4．过点0，－12的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B 两点，o为坐标原点，则oA→•oB→的值为A．－12B．－14c．－4D．无法确定探究点一直线与圆锥曲线的位置关系例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？变式迁移1 已知抛物线c的方程为x2＝12y，过A，B 两点的直线与抛物线c没有公共点，则实数t的取值范围是A．∪B.－∞，－22∪22，＋∞c．∪D．∪探究点二圆锥曲线中的弦长问题例2 如图所示，直线y＝kx＋b与椭圆x24＋y2＝1交于A、B两点，记△AoB的面积为S.求在k＝0,0<b<1的条件下，S的最大值；当|AB|＝2，S＝1时，求直线AB的方程．变式迁移2 已知椭圆的两焦点为F1，F2，离心率e＝32.求椭圆的标准方程；设直线l：y＝x＋m，若l与椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．探究点三求参数的范围问题例3 直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，直线l过点P和线段AB的中点m，求l在y 轴上的截距b的取值范围．变式迁移3 在平面直角坐标系xoy中，经过点且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围；设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量oP→＋oQ→与AB→共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．函数思想的应用例已知椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆c的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆c的两个交点由上至下依次为A，B.当l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆c的方程及离心率；求|FA||AP|的最大值．【答题模板】解双曲线的渐近线为y＝±bax，两渐近线夹角为60°，又ba<1，∴∠Pox＝30°，∴ba＝tan30°＝33，∴a＝3b.又a2＋b2＝22，∴3b2＋b2＝4，[2分]∴b2＝1，a2＝3，∴椭圆c的方程为x23＋y2＝1，∴离心率e＝a2－b2a＝63.[4分]由已知，l：y＝ab与y＝bax联立，解方程组得Pa2c，abc.[6分]设|FA||AP|＝λ，则FA→＝λAP→，∵F，设A，则＝λa2c－x0，abc－y0，∴x0＝c＋λ•a2c1＋λ，y0＝λ•abc1＋λ.即Ac＋λ•a2c1＋λ，λ•abc1＋λ.[8分] 将A点坐标代入椭圆方程，得2＋λ2a4＝2a2c2，等式两边同除以a4，2＋λ2＝e22，e∈，[10分]∴λ2＝e4－e2e2－2＝－2－e2＋22－e2＋3≤－22－e2•22－e2＋3＝3－22＝2，∴当2－e2＝2，即e2＝2－2时，λ有最大值2－1，即|FA||AP|的最大值为2－1.[12分]【突破思维障碍】最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、相交的几何意义解决．【易错点剖析】不能把|FA||AP|转化成向量问题，使得运算繁琐造成错误，由λ2＝e4－e2e2－2不会求最值或忽视e2－2<0这个隐含条件．．直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一，也是高考的热点，这类问题往往与函数、不等式、三角、向量等知识综合、交汇考查，而且对综合能力的考查显见其中．因此解决此类问题需要有较广的知识面及较强的解决问题的能力．2．从题目类型上多见于与弦的中点、弦长、弦所在直线的斜率等有关的最值问题、参数范围问题．基本思路就是直线方程与圆锥曲线方程联立消元得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，由韦达定理得x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.然后再把要研究的问题转化为用x1＋x2和x1x2去表示．最后，用函数、不等式等知识加以解决．需要注意的就是要注意对隐含条件的挖掘，比如判别式Δ≥0，圆锥曲线中有关量的固有范围等．一、选择题．F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1的两个焦点，P是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线2．若双曲线x29－y24＝1的渐近线上的点A与双曲线的右焦点F的距离最小，抛物线y2＝2px通过点A，则p的值为A.92B．2c.21313D.13133．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是A．2B．3c.115D.37164．已知直线y＝k与抛物线c：y2＝8x相交于A、B两点，F为c的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于A.13B.23c.23D.2235．斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A、B 两点，则|AB|的最大值为A．2B.455c.4105D.8105二、填空题6．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆x25＋y2t ＝1恒有公共点，则t的范围是______________．7．P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，m、N分别是圆2＋y2＝4和2＋y2＝1上的点，则|Pm|－|PN|的最大值为________．8．已知抛物线c：y2＝2px的准线为l，过m且斜率为3的直线与l相交于点A，与c的一个交点为B，若Am→＝mB→，则p＝________.三、解答题9．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，求|AB|的长．0．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程；设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为，点Q在线段AB的垂直平分线上，且QA→•QB →＝4，求y0的值．11．P是双曲线E：x2a2－y2b2＝1上一点，m，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线Pm，PN的斜率之积为15.求双曲线的离心率；过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B 两点，o为坐标原点，c为双曲线上一点，满足oc→＝λoA →＋oB→，求λ的值．学案54 直线与圆锥曲线的位置关系自主梳理．相交相切相离①相交相切相离②一个②平行一个 2.－b2x0a2y0－b2a2b2x0a2y0 py0自我检测．c 2.c 3.c 4.B课堂活动区例1 解题导引用直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．解由y＝kx＋2，2x2＋3y2＝6，得2x2＋32＝6，即x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24＝72k2－48.当Δ＝72k2－48>0，即k>63或k<－63时，直线和曲线有两个公共点；当Δ＝72k2－48＝0，即k＝63或k＝－63时，直线和曲线有一个公共点；当Δ＝72k2－48<0，即－63<k<63时，直线和曲线没有公共点．变式迁移1 D [直线AB的方程为y＝4tx－1，与抛物线方程x2＝12y联立得x2－2tx＋12＝0，由于直线AB与抛物线c没有公共点，所以Δ＝4t2－2<0，解得t>2或t<－2.]例2 解题导引本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．“设而不求”是解决直线与圆锥曲线交点问题的基本方法．当所求弦为焦点弦时，可结合圆锥曲线的定义求解．解设点A的坐标为，点B的坐标为，由x24＋y2＝1，解得x1,2＝±21－b2，所以S＝12b|x1－x2|＝2b1－b2≤b2＋1－b2＝1.当且仅当b＝22时，S取到最大值1.由y＝kx＋bx24＋y2＝1得x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝16．①|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2•164k2－b2＋14k2＋1＝2.②又因为o到AB的距离d＝|b|1＋k2＝2S|AB|＝1，所以b2＝k2＋1.③将③代入②并整理，得4k4－4k2＋1＝0，解得k2＝12，b2＝32，代入①式检查，Δ>0.故直线AB的方程是：y＝22x＋62或y＝22x－62或y＝－22x＋62或y＝－22x－62.变式迁移2 解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，则c＝3，ca＝32.∴a＝2，b＝1.∴所求椭圆方程为x24＋y2＝1.由y＝x＋m，x24＋y2＝1，消去y得关于x的方程：5x2＋8mx＋4＝0，则Δ＝64m2－80>0，解得m2<5.设P，Q，则x1＋x2＝－85m，x1x2＝4m2－15，y1－y2＝x1－x2，∴|PQ|＝x1－x22＋y1－y22＝2x1－x22＝2－85m2－165m2－1＝2，解得m2＝158，满足，∴m＝±304.例3 解题导引直线与圆锥曲线的位置关系从代数的角度来看，就是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组有无解的问题，结合判别式Δ研究，利用设而不求与整体代入等技巧与方法，从而延伸出一些复杂的参数范围的研究．解由y＝kx＋1x2－y2＝1得x2＋2kx＋2＝0.设A，B，则Δ＝4k2＋81－k2>0x1＋x2＝2k1－k2<0x1x2＝－21－k2>0，∴1<k<2.设m，由x0＝x1＋x22＝k1－k2y0＝y1＋y22＝11－k2，设l与y轴的交点为Q，则由P，mk1－k2，11－k2，Q三点共线得b＝2－2k2＋k＋2，设f＝－2k2＋k＋2，则f在上单调递减，∴f∈，∴b∈∪．变式迁移3 解由已知条件，直线l的方程为y＝kx ＋2，代入椭圆方程得x22＋2＝1，整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2>0，解得k<－22或k>22.即k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.设P，Q，则oP→＋oQ→＝，由方程①，x1＋x2＝－42k1＋2k2.②又y1＋y2＝k＋22.③而A，B，AB→＝．所以oP→＋oQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2，将②③代入上式，解得k＝22.由知k<－22或k>22，故没有符合题意的常数k.课后练习区．A 2.c 3.A 4.D 5.c6．[1,5) 7.5 8.29．解设直线AB的方程为y＝x＋b，由y＝－x2＋3，y＝x＋b，消去y得x2＋x＋b－3＝0，∴x1＋x2＝－1.于是AB的中点m，且Δ＝1－4>0，即b<134.又m在直线x＋y＝0上，∴b＝1符合．∴x2＋x－2＝0.由弦长公式可得|AB|＝1＋12－12－4×－2＝32.0．解由e＝ca＝32，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，得a＝2b.由题意可知12×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组a＝2b，ab＝2，得a＝2，b＝1.所以椭圆的方程为x24＋y2＝1.由可知A，且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k．于是A，B两点的坐标满足方程组y＝kx＋2，x24＋y2＝1.由方程组消去y并整理，得x2＋16k2x＋＝0.由根与系数的关系，得－2x1＝16k2－41＋4k2，所以x1＝2－8k21＋4k2，从而y1＝4k1＋4k2.设线段AB的中点为m，则m的坐标为．以下分两种情况讨论：①当k＝0时，点B的坐标是，线段AB的垂直平分线为y轴，于是QA→＝，QB→＝．由QA→•QB→＝4，得y0＝±22.②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为y－2k1＋4k2＝－1k．令x＝0，解得y0＝－6k1＋4k2.由QA→＝，QB→＝，QA→•QB→＝－2x1－y0＝－22－8k21＋4k2＋6k1＋4k2＝416k4＋15k2－11＋4k22＝4，整理得7k2＝2，故k＝±147.所以y0＝±2145.综上，y0＝±22或y0＝±2145.1．解由点P在双曲线x2a2－y2b2＝1上，有x20a2－y20b2＝1.由题意有y0x0－a•y0x0＋a＝15，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝ca＝305.联立x2－5y2＝5b2，y＝x－c，得4x2－10cx＋35b2＝0.设A，B，则x1＋x2＝5c2，x1x2＝35b24.①设oc→＝，oc→＝λoA→＋oB→，即x3＝λx1＋x2，y3＝λy1＋y2.又c为双曲线上一点，即x23－5y23＝5b2，有2－52＝5b2.化简得λ2＋＋2λ＝5b2.②又A，B在双曲线上，所以x21－5y21＝5b2，x22－5y22＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5＝－4x1x2＋5c－5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.。
高考数学一轮复习第八章第1课时直线与圆锥曲线的位置关系学案理含解析北师大版
高考数学一轮复习第八章平面解析几何：第九节 圆锥曲线的综合问题命题分析预测学科核心素养直线与圆锥曲线的综合应用问题（特别是一些经典问题，如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题）一直是高考热点问题．常常与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解答题形式出现，难度较大．本节通过圆锥曲线的综合应用考查数学运算、逻辑推理等核心素养．第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系授课提示：对应学生用书第191页 知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）＝0，消去y （或消去x ）得到一个关于变量x （或变量y ）的一元二次方程，即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F （x ，y ）＝0.消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0． （1）当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．（2）当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． • 温馨提醒 •1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k （x －1）＋1恒过定点（1，1）．又点（1，1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交． 答案：A2．过点（0，1）作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：过（0，1）与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过（0，1）与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点． 答案：C3．（易错题）直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A知识点二 弦长公式设斜率为k （k ≠0）的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2Ｗ．1．（2021·张掖市高三诊断）过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝（ ）A ．133B ．143C ．5D ．163解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB |＝p ＋x 1＋x 2．∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163．答案：D2．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M （1，1）为中点的弦所在直线方程是_________． 解析：设过M （1，1）点的方程为y ＝kx ＋b ，则有k ＋b ＝1，即b ＝1－k ，即y ＝kx ＋（1－k ），联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋（1－k ），则有（1＋2k 2）x 2＋（4k －4k 2）x ＋（2k 2－4k －2）＝0，所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，故b ＝32，所以y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0． 答案：x ＋2y －3＝0授课提示：对应学生用书第192页题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断1．若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝x 有一个公共点，则实数k 的值为（ ） A ．18B ．0C ．18或0D ．8或0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝x 得ky 2－y ＋2＝0，若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，则y ＝2，若k ≠0，则Δ＝1－8k ＝0，∴k ＝18，综上可知k ＝0或18．答案：C2．已知直线y ＝kx ＋t 与圆x 2＋（y ＋1）2＝1相切且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是（ ） A ．（－∞，－3）∪（0，＋∞） B ．（－∞，－2）∪（0，＋∞） C ．（－3，0）D ．（－2，0） 解析：因为直线与圆相切，所以|t ＋1|1＋k 2＝1，即k 2＝t 2＋2t ．将直线方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是Δ＝16k 2＋16t ＝16（t 2＋2t ）＋16t ＞0，解得t ＞0或t ＜－3． 答案：A3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ） A ．⎝⎛⎭⎫－153，153 B ．⎝⎛⎭⎫0，153 C ．⎝⎛⎭⎫－153，0 D ．⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得（1－k 2）x 2－4kx －10＝0．设直线与双曲线右支交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4（1－k 2）×（－10）＞0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2＞0，x 1x 2＝－101－k 2＞0，解得－153＜k ＜－1，即k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－153，－1． 答案：D直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 代数法 即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y （或x ）得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标 几何法 即画出直线与圆锥曲线的图像，根据图像判断公共点个数题型二 直线与圆锥曲线位置关系的基本应用直线与圆锥曲线的位置关系的基本应用多涉及弦长与面积问题、中点弦问题等． [例1] （2021·贵阳摸底）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为22，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，椭圆C 的焦点F 1到双曲线x 22－y 2＝1的渐近线的距离为33．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝kx ＋m （k ＜0）与椭圆C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆经过点F 2，且原点O 到直线l 的距离为255，求直线l 的方程． [解析] （1）∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为22，∴c a ＝22．又双曲线x 22－y 2＝1的其中一条渐近线方程为x －2y ＝0，椭圆C 的焦点F 1（－c ，0），∴|－c |1＋2＝33，解得c ＝1， ∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1．（2）由（1）知F 2（1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由原点O 到直线l ：y ＝kx ＋m （k ＜0）的距离为255，得|m |1＋k 2＝255，即m 2＝45（1＋k 2）．①将y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1，得（1＋2k 2）x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∴Δ＝16k 2m 2－4（1＋2k 2）（2m 2－2）＝8（2k 2－m 2＋1）＞0， x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2．又以线段AB 为直径的圆经过点F 2，∴F 2A →·F 2B →＝0， 即（x 1－1）（x 2－1）＋y 1y 2＝0，∴（x 1－1）（x 2－1）＋（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）＝0， 即（1＋k 2）x 1x 2＋（km －1）（x 1＋x 2）＋m 2＋1＝0， ∴（1＋k 2）·2m 2－21＋2k 2＋（km －1）·－4km1＋2k2＋m 2＋1＝0， 化简得3m 2＋4km －1＝0．②由①②，得11m 4－10m 2－1＝0，∴m 2＝1．又k ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，k ＝－12，满足Δ＝8（2k 2－m 2＋1）＞0．∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋1．求解弦长的常用方法（1）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解． （2）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x （或y ）的一元二次方程，利用根与系数的关系得到（x 1－x 2）2，（y 1－y 2）2，代入弦长公式． （3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． 考法（二） 中点弦问题[例2] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦，直线y ＝kx （k ＞0）经过弦AB 的中点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线AB 的斜率为k 1，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：k 1k 为定值．[解析] （1）由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．（2）证明：设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由于A ，B 为椭圆C 上的点，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）3， 所以k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3（x 1＋x 2）4（y 1＋y 2）＝－3x 04y 0．又k ＝y 0x 0，故k 1k ＝－34，为定值．1．“点差法”的四步骤处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：2．“点差法”的常见结论设AB 为圆锥曲线的弦，点P 为弦AB 的中点：（1）椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）中的中点弦问题：k AB ·k OP ＝－b 2a2；（2）双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）中的中点弦问题：k AB ·k OP ＝b 2a2；（3）抛物线y 2＝2px （p ＞0）中的中点弦问题：k AB ＝py 0（y 0为中点P 的纵坐标）．[题组突破]1．（2021·衡阳模拟）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线与C 交于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为2，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为（ ） A ．22 B ． 2 C ．2D ．4解析：法一：设直线AB 的方程为x ＝ty ＋1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x 消去x 得y 2－4ty －4＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1·y 2＝－4.由y M ＝y 1＋y 22＝2t ＝2，得t ＝1，∴S △AOB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22． 法二：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1，从而直线AB 的方程为y ＝x －1，由抛物线定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋2＝y 1＋y 2＋4＝8， 而点O 到直线AB 的距离d ＝12＝22， 从而S △AOB ＝12|AB |d ＝22．答案：A2．（2021·石家庄摸底）已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝_________． 解析：如图，由题意知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0．∵M 为EF 的中点， ∴点M 的横坐标为p4．设直线EF 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ， 得k 2x 2－（k 2p ＋2p ）x ＋k 2p 24＝0． 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝k 2p ＋2pk 2，x 1x 2＝p 24，∵x 1＝p4，∴x 2＝p ．当x ＝p 时，y 2＝2p 2，∴N （p ，±2p ）． ∵|NF |2＝⎝⎛⎭⎫p －p 22＋（±2p ）2，∴144＝p 24＋2p 2，∴p 2＝64，∵p ＞0，∴p ＝8．答案：83．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0），过点P （3，6）的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点N （12，15），则双曲线C 的离心率为_________．解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由AB 的中点为N （12，15），得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＝（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝4b 25a 2． 因为直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，所以4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，所以双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝32． 答案：32直线与圆锥曲线位置关系中的核心素养数学运算——在研究位置关系中应用数学运算是得到数学结果的重要手段．在该部分主要表现为理解运算对象——直线和圆锥曲线方程构成的方程组的运算，通过探究运算思路、选择运算过程，得到与位置关系相关的结论．[例] 已知椭圆r ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），且离心率为12，三角形ABC的三个顶点都在椭圆r 上．设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，且k 1，k 2，k 3均不为0．O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1，则1k 1＋1k 2＋1k 3＝（ ）A ．－43B ．－3C ．－1813D ．－32[解析] 因为椭圆r ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），且离心率为12，且a 2＝b 2＋c 2，所以可求得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （s 1，t 1），E （s 2，t 2），M （s 3，t 3）， 因为A ，B 在椭圆上，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34×x 1＋x 2y 1＋y 2＝－34×s 1t 1，即1k 1＝－4t 13s 1， 同理可得1k 2＝－4t 23s 2，1k 3＝－4t 33s 3，所以1k 1＋1k 2＋1k 3＝－43⎝⎛⎭⎫t 1s 1＋t 2s 2＋t 3s 3， 因为直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1， 所以1k 1＋1k 2＋1k 3＝－43×1＝－43．[答案] A该题考查了直线和圆锥曲线中的中点弦问题以及直线斜率的求解，还考查了数学运算核心素养．根据题意——中点的提示，可选用点差法利用中点坐标表示弦所在直线的斜率，从而起到简化计算流程的效果．由此可见，数学运算也要根据具体的要求和情景选择适宜的运算方法，避免烦琐的计算过程，提高自己的数学素养．[对点训练]已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率为52，A ，B 是双曲线上关于原点对称的两点，M 是双曲线上异于A ，B 的动点，直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1∈[1，2]，则k 2的取值范围为（ ） A ．⎣⎡⎦⎤18，14 B ．⎣⎡⎦⎤14，12 C ．⎣⎡⎦⎤－14，－18 D ．⎣⎡⎦⎤－12，－14 解析：设A （x 1，y 1），M （x ，y ），则B （－x 1，－y 1）．因为A ，M 均在双曲线上，所以x 21a 2－y 21b 2＝1，① x 2a 2－y 2b 2＝1，② 所以x 21－x 2a 2＝y 21－y 2b 2，即y 2－y 21x 2－x 21＝b 2a 2．因为双曲线的离心率e ＝c a ＝52，所以a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，所以k 1·k 2＝y 1－y x 1－x ·－y 1－y －x 1－x ＝y 2－y 21x 2－x 21＝b2a 2＝14，所以k 2＝14k 1，因为k 1∈[1，2]，所以k 2∈⎣⎡⎦⎤18，14． 答案：A。
【创新设计】高三数学一轮复习第8知识块第9讲直线与圆锥曲线的位置关系课件北师大版
∵x1≠x2，∴
∴直线AB的方程为：
∴直线AB过定点(2p,0).
求直线被二次曲线截得的弦长，通常是将直线与二次曲线方程联立，得到 关于x(或y)的一元二次方程，然后利用根与系数的关系及弦长公式求解．
【例2】椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y＝1相交于A、B两点，若|AB|＝2 ，且
AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为 ，求实数a、b的值．
得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x
＋4
－12＝0.
设E(xE，yE)，F(xF，yF)．因为点A
在椭圆上，所以xE＝
，yE＝kxE＋ －k. 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得xF＝
yF＝－kxF＋ ＋k.
所以直线EF的斜率
即直线EF的斜率为定值，其值为
变式1：A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上的两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)．求证： (1)A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；
2．弦长公式
设直线与圆锥曲线相交于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
(1)|P1P2|＝
；
(2)当直线方程写成y＝kx＋b(k∈R)形式时，其弦长用x1，x2表示为：
用y1，y2表示为：
1．直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆
恒有公共点，则m的取值范围
是( )
A．[1,5)∪(5，＋∞)
B．(0,5)
证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
思维点拨：设出直线AE的方程，与椭圆方程联立，设出E、F点的坐标，结
合点A在椭圆，由根与系数的关系求出E、F，再利用斜率公式可求kEF为定 值．
解：(1)由题意，c＝1，可设椭圆方程为 因为A在椭圆上，所以 解得b2＝3，b2＝ (舍去)． 所以椭圆方程为
《直线与圆锥曲线位置关系》导学案
直线与圆锥曲线的位置关系【学习目标】知识与技能：了解直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力问题1.平面内直线和圆锥曲线有几种位置关系？问题2.该如何判断直线与圆锥曲线的位置关系呢？将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线________；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线________；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线________．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是________；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是________．问题3.若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于AB两点,如何求弦长AB？1.求交点坐标法2.韦达定理法3 . 点差法(中点)技巧传播2.直线方程y=k(x+2) 与x=my-2的区别和联系。
1．若直线l 过点（0，1），则它与椭圆12422=+y x 的位置关系是___________．2．过点（0，1）且与抛物线x y 42=仅有一个公共点的直线有_______条．3．过点（0，1）且与双曲线221x y -=只有一个公共点的直线共有______条．典型例题例：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F ，(1)求过点F 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长AB.(2)判断点P(1,1)与椭圆的位置关系,并求以P 为中点椭圆的弦AB 所在的直线方程.小试身手（2018全国）已知抛物线C ：y2=4x 的焦点为F,过点（-2，0）且斜率为23的直线与C 交于M 、N 两点，则 FM FN ∙=（ ） A .5 B.6 C.7 D.8考点预测：预计期末对本考点考查的可能性非常大.本考点主要考查化归思想和运算转化能力，既可以以小题形式考查，也可能应用在解答题中.分值为4~14分备考建议：直线方程与圆锥曲线位置关系关键涉及到两种方程的联立，运算量较大，只有多琢磨多练习方可保证运算的准确性。
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直线与圆锥曲线的位置关系(教案)A一、知识梳理：1.直线与圆锥曲线位置关系问题转化为研究方程组的实数解的问题或利用数形结合方法解决.几何角度: 直线与圆锥曲线位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,.仅有一个公共点及有两个相异公共点.代数角度: 直线与圆锥曲线位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组办法来研究,设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线C的方程为F(x,y)=0,联立方程组错误！未找到引用源。
,消去y (或消去x)得到一个关于变量x的一元二次方程:ax2 +bx+x=0 (1)当错误！未找到引用源。
0时,则有下表中的结论(方程的判别式错误！未找到引用源。
2-4ac)(2)当错误！未找到引用源。
0时,得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线相交,且只有一个交点,此时若C为双曲线,则直线与双曲线的渐近线平行,若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴平行或重合,因此直线与抛物线,直线与双曲线有一个公共点是直线与抛物线,双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.2.常用方法及公式(1).把研究直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为研究方程组的实数解的问题;(2).当根不易求解时一般用韦达定理建立参数与根的关系,同时要注意用判别式检验根存在性;(3).能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得弦长的有关问题.弦长公式:设A(x1,y1),B(,y2),则|AB|=错误！未找到引用源。
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(方程是x 的方程); |AB|=错误！未找到引用源。
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(方程是y的方程),当直线斜率不存在时,可求出交点坐标,直线计算弦长,另外,过焦点的弦长还可根据定义求解.(4).处理弦的中点问题时,用点差法较为方便,能直接体现弦的斜率和中点的坐标之间的关系,但不易验证根的存在.二、题型探究探究一：直线与圆锥曲线的交点个数问题例1:直线y=kx+1与双曲线错误！未找到引用源。
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的右支有两个不同的公共点,求实数k的取值范围.探究二:弦长问题例2: 已知直线y=kx+b与椭圆错误！未找到引用源。
交于A,B两点,记错误！未找到引用源。
的面积为S,(1)在k=0,错误！未找到引用源。
的条件下,求S的最大值.(2).当|AB|=2,S=1时,求直线AB的方程.探究三:有关弦的中点问题例3:已知椭圆错误！未找到引用源。
的左焦点为F,O为坐标原点.设过F的直线交椭圆于A,B两点,且线段AB的中点在直线x+y=0上,求直线AB方程及|AB|.三、 方法提升：1、直线与圆锥曲线的公共点问题，实际上是研究由它们的方程组成的方程组的实数解的问题，此时要注意分类讨论与数形结合的思想方法；2、关于直线与圆锥曲线的相交弦问题则结合韦达定理采用设而不求的办法；3、合理引入参数表示点的坐标，减少变量。
四、反思感悟五、课时作业一、选择题（每小题6分，共42分）1.如果椭圆93622y x =1的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0 答案：D解析：由点在直线上排除B 、C ，若为A ，则直线与椭圆相交的弦不被点（4，2）平分，故选D.2.方程y=ax+b 和a 2x 2+y 2=b 2(a>b>1)在同一坐标系中的图形可能是（ ）答案：C解析：∵a>0,b>0,∴直线y=ax+b 过一、三象限且在y 轴上的截距为正，排除B 、D ，又直线过点（0,b ），（-a b ,0）,∴b>|-ab|. 3.设A 为双曲线91622y x -=1的右支上一动点，F 为该双曲线的右焦点，连AF 交双曲线于B ，过B 作直线BC 垂直于双曲线的右准线，垂足为C ，则直线AC 必过定点（ ） A.（1041，0） B.（518，0） C.（4，0） D.（522，0）答案：A解析：（特殊法）设A （5,49）,则B （5,-49）,C(516,-49).故k AC =255165)49(49=---，直线AC 为y-49=25(x-5),即：10x-4y-41=0，与x 轴交点为（1041，0），排除B 、C 、D ，选A.4.对于抛物线C ：y 2=4x ，我们称满足y 02<4x 0的点M （x 0,y 0）在抛物线的内部，若点M （x 0,y 0）在抛物线的内部，则直线l:y 0y=2(x+x 0)与C （ ）A.恰有一个公共点B.恰有两个公共点C.没有公共点D.可能有一个公共点也可能有两个公共点 答案：C解析：联立方程组⎩⎨⎧+==).(2,4002x x y y x y 消去x,得y 2-2y 0y+4x 0=0,Δ=4y 02-16x 0=4(y 02-4x 0),∵M （x 0,y 0）在抛物线内，∴y 02<4x 0.∴Δ<0,∴无公共点. 5.抛物线y 2=2px 与直线ax+y-4=0交于两点A 、B ，其中点A 的坐标是（1，2）.若抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于( )A.5B.6C.35D.7 答案：D解析：由点A 在抛物线和直线上知p=2,a=2,故抛物线为y 2=4x,直线为2x+y-4=0,可联立解得B(4,-4),F(1,0),故|AF|+|BF|=2+5=7.6.过点M （-2，0）的直线m 与椭圆22x +y 2=1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k ≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( ) A.2 B.-2 C.21 D.-21 答案：D解析：将y=k 1(x+2)代入x 2+2y 2=2中有：（1+2k 12）x 2+8k 12x+8k 12-2=0. 故P （-2112121212,214k k k k ++）.∴k 2=-121k ,k 1·k 2=-21.7.过抛物线y 2=ax(a>0)的焦点F 作一条直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则mnnm +等于( ) A.2a B.4a C.a 21 D.a4 答案：D解析：(特殊法)令AB ⊥x 轴，则x a =x b =4a ,∴m=n=|y a |=amn n m a 4,2=+. 二、填空题（每小题5分，共15分）8.设P 1、P 2是抛物线x 2=y 的一条弦，如果P 1P 2的垂直平分线的方程为y=-x+3，那么弦P 1P 2所在的直线方程是____________________.答案：y=x+2解析：设P 1（x 1,y 1），P 2(x 2,y 2),显然21P P k =1,则P 1P 2所在直线方程为y=x+b,由⎩⎨⎧+==.,2b x y y x 有x 2-x-b=0,于是x 1+x 2=1,则P 1P 2的中点是P （2,22121y y x x ++）, P 1P 2所在直线方程又可为y-221y y +=x-221x x +.①又点P 在直线y=-x+3上,即222121x x y y +-=++3.②当②代入①得y=x-(x 1+x 2)+3=x+2.9.直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆my x 225+=1总有公共点，则m 的取值范围是_________.答案：［1，5）解析：由焦点在x 轴上，故0<m<5,又数形结合知m ≥1，故1≤m<5. 10.如果实数b 不论取何值，直线y=kx+b 与双曲线x 2-2y 2=1总有公共点,那么k 的取值范围是_____________. 答案：-22<k<22 解析：将y=kx+b 代入x 2-2y 2=1,得（1-2k 2）x 2-4kbx-2b 2-1=0.(*) 当1-2k 2=0即k=±22时，4kbx+2b 2+1=0不能使任意b ∈R 都有解. ∴1-2k 2≠0.∵方程（*）对b ∈R 恒有解，∴Δ≥0，即16k 2b 2+4(1-2k 2)(2b 2-1)≥0恒成立，即8k 2≤8b 2+4恒成立，∴8k 2≤4,∴k 2≤21. 又k 2≠21，∴k 2<21,∴-22<k<22.实际上，画个图，可推出答案.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.已知椭圆C:2222by a x +=1(a>b>0),直线l 1:b y a x -=1被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆C 的右焦点且斜率为3的直线l 2被椭圆C 截得的弦长是椭圆长轴长的52，求椭圆C 的方程. 解析：由l 1被C截得的弦长为22,得a 2+b 2=8,①设l 2：y=3(x-c)，代入C 的方程化简得（b 2+3a 2）x 2-6a 2cx+a 2(3c 2-b 2)=0,∴x 1+x 2=22236a b c a +,x 1x 2=222223)3(ab bc a +-.∴|x 1-x 2|=22221221344)(a b ab x x x x +=-+,由弦长公式得543431222aab ab =+∙+, 即a 2=3b 2, ②联立①②得a 2=6,b 2=2.故C 的方程为2622y x +=1. 12.已知双曲线C:2222by a x -=1（a>0,b>0）,B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴的正半轴，且满足||、||、||成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P.（1）求证：·=·；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点D 、E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.解析：（1）l:y=-b a (x-c),∴⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=,),(x a b y c x ba y P(c abc a ,2). 由||、||、||成等比数列得A （ca 2,0）,∴=(0,-c ab ), =(c a 2,c ab ), =(-c b 2,cab). ∴·=·.（2）⎪⎩⎪⎨⎧=---=,),(222222b a y a x b c x ba y ∴b 2x 2-24b a (x-c)2=a 2b 2.即(b 2-24b a )x 2+224b a cx-(224bc a +a 2b 2)=0,∴Δ>0恒成立.∴x 1·x 2=24222224)(ba b b a b c a -+-<0.∴b 4>a 4,即b 2>a 2.∴c 2-a 2>a 2⇒e>2. 13.已知点P （2,1）在双曲线2222by a x -=1，且它和双曲线一个焦点F 的距离是1，（1）求双曲线的方程；（2）过点F 的直线l ，交双曲线于A 、B 两点，若弦长|AB|不超过4，求l 的倾斜角范围. 解析：（1）设焦点F （c,0），由题意得（2-c ）2+1=1,∴c=2,则点F 的坐标为（2,0），∴a 2+b 2=2. ①又∵P （2,1）在双曲线上，∴2212b a -=1. ②由①②得a 2=1或a 2=4（舍去），∴b 2=1.从而双曲线方程为x 2-y 2=1. (2)①当直线l 斜率存在时，设l:y=k(x-2)代入双曲线方程得：（1-k 2）x 2+22k 2x-2k 2-1=0.|AB|2=(1+k 2)［(x 1+x 2)2-4x 1x 2］=2222)1()1(4k k -+≤42. 即-2≤1122-+k k ≤2,解得k 2≤31或k 2≥3.∴-33≤k ≤33或k ≤-3或k ≥3.∴0≤α≤6π或3π≤α<2π,2π<α≤32π或65π≤α<π. ②当直线l 的斜率不存在时,容易验证也满足题意.此时倾斜角为2π. ∴l 的倾斜角的范围是［0,6π］∪［3π,32π］∪［65π,π］. 14.(2010江苏南京一模，22)已知直线x+2y+m=0(m ∈R )与抛物线C ：y 2=x 相交于不同的两点A ，B ，（1）求实数m 的取值范围；（2）在抛物线C 上是否存在一个定点P ，对（1）中任意的m 的值，都有直线PA 与PB 的斜率互为相反数？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由. 解析：（1）∵抛物线与直线有两个不同的交点，∵⎩⎨⎧=++=02,2m y x x y 有两个不同的解，即方程y 2+2y+m=0有两个不同的解， ∴Δ=4-4m>0,即m<1.(2)设A （y 12,y 1）,(y 22,y 2),P(y 02,y 0), 由k AB =21121222121-=+=--y y y y y y ,得y 1+y 2=-2,k PA =102120101y y y y y y +=--, k PB =202220201y y y y y y +=--，假设在抛物线上存在定点P 使得直线PA 与PB 的斜率互为相反数，即：201011y y y y +-=+,即：2y 0=-(y 1+y 2)=2,得y 0=1. ∴存在定点P （1，1）使得直线PA 与PB 的斜率互为相反数.。