船舶结构力学：第八章杆及板的稳定性

例1:确定两端自由支持压杆（图8-3）的临界压力Te 和相应的失稳形状。
T
T
x
B
l
图8-3
y
§8－2 单跨压杆稳定性
解:在图示坐标系下，边界条件为
x 0, x l, v v 0
将式(8-2)代入这四个边界条件，得：
c0 c2 0
及
c1kl c3 sinkl 0
c3k 2 sinkl 0
§8－2 单跨压杆稳定性
由式(8-2)得到CD压杆的相应于Te的失稳形状；
v
c2
1
tg
x l
cos
x
l
1
tg
sin
x
l
式中，α=kl=2.2036。注意，图8-4a中AB杆的 挠曲线不等于CD杆的失稳形状，它是悬臂梁端点受 集中载荷的挠曲线。
由上述两例可知：用解析法确定单跨压杆的欧拉 力时，有以下几个步骤：
对于单跨压杆的稳定性，将在材料力学的基础上作 更全面的介绍。
§8－1 概述
稳定平衡 中性平衡 失稳或屈曲 临界压力
§8－1 概述
稳定平衡 中性平衡 失稳或屈曲 临界压力
§8－2 单跨压杆稳定性
确定结构临界载荷的方法很多，其中最基本和最重 要的是解析法和能量法。
1.解析法
通过直接求解结构的中性平衡微分方程确定结构临 界载荷。
§8－2 单跨压杆稳定性
（1）确定代求问题的位移边界条件
（2）将式（8-2）代入到边界条件中，得出关于
积分常数的齐次方程组；
（3）令其系数行列式等于零；
（4）展开行列式，得到压杆稳定性方程式；
（5）求解最小正根rmin，得到欧拉力.
rmin l
Te EI
T
rm2in EI l2
(8-5)
对于各种边界条件下的等截面单跨压杆，其欧拉 力都可用上述方法求得，并在有关手册中查到。 表8－1给出几种固定情况的等截面单跨压杆的欧拉 力。
图8-2
研究结构的稳定性就是要求出结构的临界压力或临 界载荷。在一般情况下，当载荷达到最小临界值时， 结构已不能正常工作，故从实用的角度来说，最重要 的就是要求出临界载荷。在研究结构的稳定性时，可 先假定所研究的结构处于中性平衡状态，对于压杆来 说，就是具有微小弯曲的平衡状态，满足此条件的最 小载荷即为临界载荷
§8－1 概述
船体结构中有不少受压杆件，除了一些明显受压的 支柱外，还有沿纵向布置的骨架和被纵横骨架支持的 矩形板格。这是因为整个船体在波浪上发生弯曲时， 纵向骨架和矩形板格都会受到拉力或压力，在受压的 情况下都可能发生失稳。现在船舶建造规范都规定： 必须校核船体板格的局部曲曲问题。根据船舶结构实 际情况，甲板骨架和甲板板格失稳的可能性比船底大 的多。因此本章主要研究杆系和板格的稳定性。
kl n
n 1,2,3,...
代入（8-3）式。
T
n 2
l2
EI
n 1,2,3,...
§8－2 单跨压杆稳定性
最小临界压力： Te
2 EI
l2
kl n
由式（a）
c1 0, c3 0
欧拉力 (8-4)
杆失稳形状为
v
c3
sin
x
l
对于某些杆系结构，如图8-4所示，可将其中某
一杆件取出，而以弹性支座或弹性固定端代替其余部
§8－2 单跨压杆稳定性
2.能量法（李慈法）
在比较复杂的情况下，用上述解析法确定压杆的 欧拉力常常遇到困难。在这些情况下，常采用便于 计算的能量法来求欧拉力的近似值
中性平衡状态除了用微分方程来描述外，还可用 位能驻值原理：
V U 0
(8-6)
来描述。不过，此时总位能的驻值不是最小值，而 是中性值（2＝0），这将在例题中加以说明。
c2 coskl c3 sinkl 0
1 0 D 1 0
0 1 kl AEIk 3 0
1 0 0
c oskl
0 1
0 0
s in kl
§8－2 单跨压杆稳定性
展开后，整理得稳定性方程式；
tgkl kl AEIk 3 kl 1 kl3
3
40
30
20
Kl=2.2036
10
0
-10
-20
图8-6
-30
-40
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
§8－2 单跨压杆稳定性
由式(8-3)求得临界压力；
Te
4.8559 EI l2
0.492 2 EI
l2
将
tgkl kl AEIk 3 kl 1 kl3
3
代入式(b)
c0 c2, c1 c2 tgkl, c3 c2 tgkl
第八章 杆及板的稳定性
Stability of Column and Plate
§8－1 概述
稳定平衡 中性平衡 失稳或屈曲 临界压力
T
T
(a)
(b)
图8-1
§8－1 概述
稳定平衡 中性平衡 失稳或屈曲 临界压力
§8－1 概述
其它结构也存在稳定性现象
图8-2
§8－1 概述
其它结构也存在稳定性现象
分对它的作用，同时由其余部分求出弹性支座或弹性
固定端柔性系数，然后再按单跨压杆来求临界压力。
§8－2 单跨压杆稳定性
图8-4
例2:试求（图8-4a）所示结构临界压力Te以及相应 的失稳形状。
§8－2 单跨压杆稳定性
解:取出结构中受压杆CD，它是下端刚性固定，上端 弹性支持的压杆（图8-5）。确定弹性支座的柔性系 数时,需在结构的其余部分DBA的B点沿水平方向加 上单位力，求出AB杆端B点的水平位移，其值就是 柔性系数A。查弯曲要素表，得： x
对于等截面压杆，可以通过等截面直梁的复杂弯曲
微分方程得到：
EIv IV Tv q
(8-1)
通解为：
百度文库
v A1 A2 x A3chkx A4shkx (8-2)
§8－2 单跨压杆稳定性
k T
(8-3)
EI
对c0、c1、c2、c3—积分常数。将式(8-2)代入压杆两 端的边界条件即可求出压杆的临界压力。
A l3 3EI
在图8-5所示坐标系下，边界条件为
x 0,v v 0
x l, v AEIv Tv, v 0
y
图8-5
§8－2 单跨压杆稳定性
将式（8－2）代入上述边界条件，注意式(8-3)，
简化后得齐次方程组；
c0 c2 0
c1 c3 0
c0 c1 kl AEIk 3 0
相应于压杆的直线平衡
c1 c3 0
位置，不是具有微弯曲 的中性平衡位置。
我们需要的是齐次方程组的非零解。
§8－2 单跨压杆稳定性
齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵
行列式的值等于零。
kl sinkl
D 0
k2 sinkl 0
展开行列式，得到压杆的稳定性方程。
k3l sinkl 0,sinkl 0