复变函数课后部分习题解答

（1）(3-i)5解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°](3-i)5=25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)]=25(-3/2-i/2) =-163-16i（2）（1+i ）6解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2tan θ=x y =1Θx>0,y>0∴θ属于第一象限角∴θ=4π ∴1+i=2（cos4π+isin 4π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 46π） =8（0-i ）=-8i1.2求下式的值 (3)61-因为-1=（cos π+sin π）所以61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).习题一1.2（4）求(1-i)31的值。

解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31=62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12)18(-k∏)](k=0,1,2)1.3求方程3z +8=0的所有根。

解：所求方程的根就是w=38-因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2其中ρ=3r=38=2即w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i1w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-22w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i3习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。

(1) Im(z)>0解：设z=x+iy因为Im(z)>0，即，y>0而)∈x-∞(∞,所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。

由所确定的区域可知，不存在某一个正数M，使得确定区域的每个点z满足Mz<，所以该区域是无界的。

在该区域D任意作一条简单闭曲线，该曲线的部总是属于D区域，所以区域D为单连通区域。

综上所述，该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域，是无界的单连通区域。

描出下列不等式的区域或闭区域，并指出它是有界还是无界的，单连通的还是多连通的。

1.5（2）解：该不等式的区域如图所示：y1 5 x圆+=4的外部（不包括圆周），无界的，为开的多连通区域1.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的0<Re(z)<1由直线X=0与X=1所围成的带形区域，不包括两直线在，是无界的、开的单连通区域。

1.5描述下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：（4）3 2≤≤z解：32≤≤z 即9422≤+≤y x 为由圆周422=+y x 与922=+y x 所围成的环形闭区域（包括圆周），是有界多连通闭区域。

如图：已知映射w=z 3， 求（1） 点z 1=i ，z 2=1+i ，z 3=3+i ，在w 平面上的像。

解：z=r ei θ，则w=z 3r 3。

于是 ⑴ Z 1=i=e 2πi ,z2=1+i=()=Z3=+i=2（+i）=2()=经映射后在w平面上的像分别是W1==-i,W2==（-+i）=-2+i2，W3==8i第47页3.5计算下列各题（1）==-((zcosz)z=1 -(zcosz)z=0 - dz ) =cos1-sin1注：因输入法问题。

故特设定z的共轭负数为z*,除号为/ 1.7：设f（z）=1/z2 (z/z*－z*/z) (z≠0)当z→0时，极限不存在解法一：首先假设z＝r e iθ则有：(z/z*－z*/z)＝r2 ( e-2 iθ- e2 iθ )/ r2＝-2isin2θ可见是随θ发生变化而变化的变量所以根据极限必须为常数可知当z→0时，极限不存在是以此题得证。

解法二：首先假设z＝x+iy则(z/z*－z*/z)＝(z*2－z2 )/x2 ＋y2＝-4ixy/ x2 ＋y2所以可见，当z→0时，即当x→0, y→0时因为有lim (x→0, y→0)xy/ x2 ＋y2极限不存在所以当z→0时，f（z）=1/z2 (z/z*－z*/z)的极限不存在是以此题得证。

2.1 利用导数定义推出：（1） (z n )、=nz n-1(n 为正整数)；解 0lim →∆z z z z z n n ∆-∆+)( = 0lim →∆z zz z c z z c z z c z c nn n n n n n n n n ∆-∆++∆+∆+--Λ222110 =0lim →∆z (nz 1-n +c 2n z 2-n z ∆+...+c nn 1-∆n z ) =nz 1-n2.1(2) ()ˊ=-= =-(2)f(x)=2x 3+3y 3i解：∵u=2x 3 ，v=3y 3 。

26x xu =∂∂ ,0=∂∂y u ,0=∂∂x v , 29y y v =∂∂ 上述4个偏导处处连续，但仅当2x 2=3y 2时C-R 方程成立。

因而函数只在直线x 2±y 3=0上可导，但是在复平面上不解析。

习题22.2的第一小题下列函数在何处可导？何处解析？()iy=2f-xz解：()xv y u yv x u yv xv yu x xu yv xu iy x z f ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-==-=100222在 z 平面上处处连续，且当且仅当2x = −1 时，u,v 才满足C-R 条件，故f (z) = u + i v = x -i y 仅在直线21-=x上可导，在z 平面上处处不解析。

7.6(2)：求下列函数的傅里叶变换：f(t)=costsint. 解：F()======2．2以下函数何处可导？何处解析？f （z ）=sinxchy+icosxshy解： u=sinxchy v=cosxshyxchy x u cos =∂∂ xchy y v cos =∂∂ xshy y u sin =∂∂ xshy xv sin -=∂∂ 可得y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂并且上述四个一阶偏导数均连续，所以f(z)在复平面处处可导，从而在复平面处处解析。

25页习题二2.3指出函数的解析性区域并求其导数(1) (z-1)5解：由题可知(z-1)5 处处解析其导数f’(z)=5(z-1)425页习题二2.3指出函数的解析性区域并求其导数（2）iz z 23+解：设()iz z z f 23+=，iy x z +=则()()()x y y x i y xy x y x f 2323,3223+-+--=令 xy y x v yxy x u 23233223--=--= 则 263322--=-=xy u y x u y x 223326y x v xy v y x -=+=又令 ''y x v u = ''x y v u -=即 22223333y x y x -=-()2626+-=--xy xy所以()z f 在复平面处处解析，即iz z 23+在复平面处处解析，其导数为i z 232+。

２．３题：指出下列函数的解析性区域，并求其导数；（３）ｆ（ｚ）＝解：令－１＝０得ｚ＝－１和ｚ＝１所以该函数除ｚ＝－１和ｚ＝１外在复平面上处处解析；该函数的导数为：＝－25页：习题二2.3指出下列函数的解析性区域，并求其倒数。

（4）. (c d中至少有一个不为0)解.当c=0时，函数在复平面处处解析；（）的倒数为；当c！=0时：函数除z=-外在复平面处处可导，处处解析；（）的倒数为=第二章2.4求下列函数的奇点；（1）解:因为：当z()=0;所以 z=0；=-1由Z=计m=-1=cos π+i sin π Z= =cos +i sin （n=0,1）当n=0时，z=i ；当n=1时，z=-i ；所以本题奇点分别为0；-i ; i ;2.4 求下列函数的奇点:(2) .)1()1(222++-z z z解:令原函数分母.,10)1(1)(z 22i z z ±-=⇒=++即:原函数在i z ±-=,1处不解析,故原函数的奇点为.,1i ±-2.10求Ln（-i），Ln（-3+4i）和他们的主值。

解：Ln（-i）=Ln|-i|+i（arg（-i）+2kπ）=i（- +2kπ）=iπ（2k- ），k=0，+1，+2，…ln（-i）=ln|-i| + i arg（-i）=-Ln（-3+4i）=ln|-3+4i| + i［arg（-3+4i）+2kπ］=ln5+i ［（π-arctan ）+2k π］=ln5-i ［（arctan -（2k+1）π）］，k=0，+1，+2，…ln （-3+4i ）=ln|-3+4i| + i arg(-3+4i)=ln5+i(π-arctan )习题2.1221π*-i e =e *2π*-i e =e *())2sin()2cos(ππi -=)(i e -*4)i 1 (π*+e =4e 4π**i e =4e ())4sin()4cos(ππi +*==4e *⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222i=244e *()i +*1i 3=3Ln i e *=()33ln iArg i e +*=πk e 2-*3ln e =()3ln sin 3ln cos 2i e k +*-π()i i +1=()i Ln i e +*1=()()()i iArg i lm i e +++*1|1|=()()π*412|1|ln +-+**k i i e e =()π*412+-k e ⎪⎭⎫⎝⎛+*22ln sin 22ln cos i习题三46页3.1沿下列路线计算积分：（1）自原点至3+i 的直线段；解：此直线的参数方程可写成：x=3t，y=t， 0t1，或z=3t+it，0t1，z=3t+it， =（3+i）.于是()()332223319331921i i dz z dz z dz z c c c +=-++=+=∴⎰⎰⎰()()()9331331331331333103-+=⋅-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=i i iy=书46页3.1沿下列路线计算积分dz z i⎰+302:(2)自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至.3i + 解:设iy x z +=,:1c 原点到3,[]3,0,0∈=x y ()();9313033022222111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡===++=⎰⎰⎰⎰x dx x dx x iy x d iy x dz z c c c 3:2c 到,3i +()0,3到(),1,3[],1,0,3∈=y x()()()()()dy iy i iy d iy iy x d iy x dz z c c 2102102233322⎰⎰⎰⎰+=++=++=3.2 试用积分⎰c dz zz的值，其中C 为正向圆周：2=z . 解：正向圆周2=z 的参数方程为：)20(2π≤≤=t e z it 由公式得：i dt i dt ie e e dz z z it it it c πππ422222020===⎰⎰⎰复变函数期中作业习题三3．4沿指定曲线的正向计算下列各积分: （1）解：由柯西积分公式得3.4 （4）, C:|z|=2解：因为 C：|z|=2，被积函数奇点z=3 所以 f（z）=在D解析所以=0习题三3.4（8）dz/ C:∣z∣=1解：取=0在C，f(z)在C解析所以，原式=f(z)dz/=(z)==i习题三 3.4（5） dz ，C 为包围Z=0的闭曲线。