复变函数课后部分习题解答

（1）(3-i)

5

解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°]

(3-i)5

=25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)]

=25(-3/2-i/2) =-163-16i

（2）（1+i ）6

解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2

tan θ=x y =1

Θx>0,y>0

∴θ属于第一象限角

∴θ=4

π ∴1+i=2（cos

4π+isin 4

π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 46π） =8（0-i ）

=-8i

1.2求下式的值 (3)61-

因为

-1=（cos π+sin π）

所以

61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).

习题一

1.2（4）求(1-i)3

1的值。

解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31

=62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12)

18(-k

∏)]

(k=0,1,2)

1.3求方程3z +8=0的所有根。

解：所求方程的根就是w=38-

因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2

其中ρ=3r=38=2

即

w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i

1

w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-2

2

w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i

3

习题二

1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。

(1) Im(z)>0

解：设z=x+iy

因为Im(z)>0，即，y>0

而)

∈

x

-∞

(∞

,

所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。

由所确定的区域可知，不存在某一个正数M，使得确定区域的每个点z满足M

z<，所以该区域是无界的。

在该区域D任意作一条简单闭曲线，该曲线的部总是属于D区域，所以区域D为单连通区域。

综上所述，该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域，是无界的单连通区域。

描出下列不等式的区域或闭区域，并指出它是有界还是无界的，单连通的还是多连通的。

1.5（2）

解：该不等式的区域如图所示：

y

1 5 x

圆+=4的外部（不包括圆周），无界的，为开的多连通区域

1.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的

0

由直线X=0与X=1所围成的带形区域，不包括两直线在，是无界的、开的单连通区域。

1.5描述下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：

（4）

3 2≤≤z

解：32≤≤z 即9422≤+≤y x 为由圆周422=+y x 与

922=+y x 所围成的环形闭区域（包括圆周），是有界多连通闭区域。

如图：

已知映射w=z 3， 求

（1） 点z 1=i ，z 2=1+i ，z 3=3+i ，在w 平面上的像。

解：z=r ei θ，则w=z 3r 3

。于是 ⑴ Z 1=i=e 2π

i ,

z2=1+i=()=

Z3=+i=2（+i）=2()=经映射后在w平面上的像分别是

W1==-i,

W2==（-+i）=-2+i2，

W3==8i

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3.5计算下列各题

（1）=

=-((zcosz)z=1 -(zcosz)z=0 - dz ) =cos1-sin1

注：因输入法问题。故特设定z的共轭负数为z*,除号为/ 1.7：设f（z）=1/z2 (z/z*－z*/z) (z≠0)

当z→0时，极限不存在

解法一：首先假设z＝r e iθ

则有：(z/z*－z*/z)

＝r2 ( e-2 iθ- e2 iθ )/ r2

＝-2isin2θ

可见是随θ发生变化而变化的变量

所以根据极限必须为常数可知

当z→0时，极限不存在

是以此题得证。

解法二：首先假设z＝x+iy

则(z/z*－z*/z)

＝(z*2－z2 )/x2 ＋y2

＝-4ixy/ x2 ＋y2

所以可见，当z→0时，

即当x→0, y→0时

因为有lim (x→0, y→0)xy/ x2 ＋y2极限不存在

所以当z→0时，

f（z）=1/z2 (z/z*－z*/z)的极限不存在

是以此题得证。

2.1 利用导数定义推出：

（1） (z n )、=nz n-1(n 为正整数)；

解 0

lim →∆z z z z z n n ∆-∆+)( = 0lim →∆z z

z z c z z c z z c z c n

n n n n n n n n n ∆-∆++∆+∆+--Λ222110 =0

lim →∆z (nz 1-n +c 2n z 2-n z ∆+...+c n

n 1-∆n z ) =nz 1-n