一元二次方程的起源和应用
2020初中数学一元二次方程知识点汇总 中考备考数学
面对高三数学大量的知识点，好多的同学都不知道应该从哪里复习。
下面就为大家分享高三数学第一轮复习函数知识点汇总，供参考。
一元二次方程是初中数学的重要内容，是中考的热点，它是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。
学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。
应该说，一元二次方程是本书的重点内容。
一、目标与要求1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单题目。
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程，掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用熟练掌握以上知识解决问题。
二、重点1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。
2.判定一个数是否是方程的根;3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。
4.运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领会降次──转化的数学思想。
5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.三、难点1.一元二次方程配方法解题。
2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。
3.用公式法解一元二次方程时的讨论。
4.通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。
5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区别。
6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。
四、知识点A、定义和特点1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：ax的平方+bx+c=0(a≠0)，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax的平方+叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。
一元二次方程的起源和应用
一元二次方程的起源与应用一年七班 唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
二、 起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。
但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。
把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。
阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。
我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
三、一元二次方程的广泛应用例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？（1）3522=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+xx ；（8）522=+y x 注意点：①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数．例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
一元二次方程
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程叫做一元二次方程（英文名：quadratic equation of one unknown）。
一元二次方程的标准形式（即所有一元二次方程经整理都能得到的形式）是ax^2+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。
求根公式：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
1方程定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程(quadratic equation of one variable 或a single-variable quadratic equation)。
一元二次方程有三个特点：(1)有且只含有一个未知数；(2)且未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
(两边都是整式）要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。
若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
里面要有等号，且分母里不含未知数。
b^2-4ac求解任何一元二次方程，都可以直接用求根公式x=(-b±√b^2-4ac)/2a。
其中是根的判别式。
也可以用其他特殊方法求根。
2方程形式2.1一般式y=ax²+bx+c（a、b、c是实数，a≠0）配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a两根式a(x-x1)(x-x2)=0公式法x=(-b±√b^2-4ac)/2a求根公式2.2十字相乘法x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）3解法3.1分解因式法因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
如1.解方程：x²+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)²=0解得：x1= x2=-12.解方程x（x+1）-2（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0即x-2=0 或x+1=0∴x1=2，x2=-13.解方程x²-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴x1=-2，x2= 23.2十字相乘法公式：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+2b+a-b- 2=ab+a+b²-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)公式法（可解全部一元二次方程）求根公式首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b²-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b²-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b²-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a来求得方程的根配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x²+2x－3=0解：把常数项移项得：x²+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x²+2x+1=4因式分解得：（x+1)²=4解得：x1=-3,x2=1用配方法的小口诀：二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当开方法（可解部分一元二次方程）如：x²-24=1解：x²=25x=±5∴x1=5 x2=-5均值代换法（可解部分一元二次方程）ax²+bx+c=0同时除以a，得到x²+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。
数学的起源与早期发展101109
古代巴比伦的数学
泥版楔形文
普林顿322
普林顿322实际上是一张表格，由4列15行六十进制数字组 成：第二、三列是具有整数边长的直角三角形的斜边和直角边 长（互素），第四列是直角边所对的角的正割平方，角度以约1 度的间距从45度减至31度。（2，9，13，15行有笔误）
十进位值制记数法的特点和意义
特点：一是逢十进一；二是每个数码既有其自身的绝对值，
又有其所在位数的十进制值。
意义：与世界其他古老民族的记数法比较：古埃及的数字
系统没有位值制，但如要记稍大一点的数目就相当繁难。古 美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位；古巴比伦人 也知道位值制，但用的是60进位。20进位至少需要19个数 码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁 复，远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位值制 来得简捷方便。 数学是自然科学的基础，十进位值制在数学发展过程中 有着至关重要的作用。这种记数法的奇妙在于用有限的符号 可以表示无穷无尽的数，简捷、明快，方便运算。没有它， 算术上的任何进步都是不可能的。
• 算具计数阶段 为不丢失零散的匹配工具（小石子、 果核、贝壳），人们把它们串在细绳或 小树枝上或放在罐里，或绳结、书契， 这样计算工具得到升级。 拉丁文calculi（计算）原意是石 子，汉字“算”指细木枝。
• 数码计数阶段
– 时间：公元前5000年左右 – 原因：书契推广，记帐需要 – 意义：记数系统的出现使数与数之间的计 算成为可能 – 几种古老文明的早期记数系统
古代巴比伦的数学
苏美尔计数泥版(文达, 1982)
其年代当在公元前1600年以前
• 楔形文字 • 在发掘出 来的50万 块泥板中， 约有300多 块是数学泥 板，其中记 载有数字表 和数学问题。
数学史概论复习题及参考答案
十、阿波罗尼奥斯最重要的数学成就是什么？
一、希腊数学一般是指什么时期，活动于 什么地方的数学家创造的数学？P32
答：希腊数学一般指从公元前600年至公元 600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、 马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚 细亚以及非州北部的数学家们创造的数学。
答：1．古埃及的象形数字〔公元前3400年 左右〕：十进制数系
2．巴比伦楔〔xie〕形数字〔公元前2400年 左右〕：六十进制数系
3．中国甲骨文数字〔公元前1600年左右〕： 十进制数系
4．希腊阿提卡数字〔公元前500年左右〕： 十进制数系
5．中国筹算数码数字〔公元前500年左右〕： 十进制数系
6．印度婆罗门数字〔公元前300年左右〕： 十进制数系
7．玛雅数字〔？〕：二十进制数系
二、 “河谷文明〞指的是什么？P16
答：历史学家往往把兴起于埃及。美索不大 米亚、中国和印度等地域的古代文明称为 “河谷文明〞。
三、 关于古埃及数学的知识主要依据哪两 部纸草书？P17,纸草书中问题绝大局部都是 实用性质，但有个别例外，请举例。P23
答：古埃及数学的知识主要依据莱茵德纸草 书和莫斯科纸草书两部纸草书。
3、在17世纪，笛卡儿(1596—1650) 认为： “但凡以研究顺序(order)和度量(measure)为 目的的科学都与数学有关〞。
4、19世纪恩格斯这样来论述数学：“纯数学 的对象是现实世界的空间形式与数量关系〞。 根据恩格斯的论述，数学可以定义为：“数 学是研究现实世界的空间形式与数量关系的 科学。〞
4、现代数学时期(1820年一现在) (1)现代数学酝酿时期(1820’一1870) (2)现代数学形成时期(1870—1940’) (3)现代数学繁荣时期(当代数学时期,1950
数学的发展历史
开创写下了不可磨灭的一章
阿基米德的墓碑上刻的图
此后是千余年的停滞
• 随着希腊科学的终结,在欧洲出现了科学萧条,数学 发展的中心移到了印度、中亚细亚和阿拉伯国 家．在这些地方从5世纪到15世纪的一千年中间, 数学主要由于计算的需要而发展．印度人发明了 现代记数法 后来传到阿拉伯,从发掘出的材料看, 中国是使用十进制最早的国家 ,引进了负数．
的大小关系,平行线理论,三角形和多角形等积 面积相等 的条件,第一卷最 后两个命题是 毕达哥拉斯定理的正逆定理；
第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、 13命题相当于余弦定理。
第三卷：本卷阐述圆,弦,切线,割线,圆心角,圆周角的一些定理。 第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质； 第五卷：讨论比例理论,多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为 是"最重要的数学杰作之一" 第六卷：讲相似多边形理论,并以此阐述了比例的性质。 第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十 卷是篇幅最大的一卷,主要讨论无理量 与给定的量不可通约的量 ,其中第 一命题是极限思想的雏形。 第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容.
学的内容,年代可以追溯到公元前2000年,其中甚至有“整勾 股数”及二次方程求解的记录。
莱茵德纸草书 1650 B.C.
莫斯科纸草书 vh(a2 abb2)
3
古巴比伦的“记事泥板”中关于 “整勾股数”的记载”
约公元前1000年
马其顿,1988年
20世纪在两河流域有约50万块泥版文 书出土,其中300多块与数学有关
秦九韶的《数书九章》 卷一“大衍总数术”
“贾宪三角”, 也称“杨辉三角”
一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用
一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。
一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
一元二次方程的解法包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
一元二次方程的应用非常广泛，包括解决实际问题、数学建模、物理问题等。
例如，在解决几何问题时，常常需要用到一元二次方程来求解面积、周长等。
在解决代数问题时，一元二次方程也是非常重要的工具，例如求解线性方程组的解、求解不等式等。
在解决物理问题时，一元二次方程也经常被用来描述物理现象，例如求解物体的运动轨迹、求解电路中的电流等。
总之，一元二次方程是数学中非常重要的概念之一，它不仅在数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有非常重要的意义。
数学的起源和发展
一般认为，从远古到现在，数学经历了五个历史阶段：数学萌芽时期(公元6世纪以前)初等数学时期(从公元前5世纪到公元17世纪)变量数学时期(17世纪上半叶-19世纪20年代)近代数学时期(19世纪20年代-20世纪40年代)现代数学时期(20世纪40年代以来)一、数学萌芽时期(公元6世纪以前)在人类历史上，这是原始社会和奴隶社会的初期。
这个时期数学的成就以巴比伦、埃及和中国的数学为代表。
古巴比伦是位于幼发拉底河和底格里斯河两河流域的一个文明古国。
巴比伦王国形成于约公元前19世纪，从出土的古巴比伦的泥板上的楔形文字中发现，古巴比伦人具有算术和代数方面的知识，建立了60进位制的记数系统，掌握了自然数的四则运算，广泛使用了分数，能进行平方、立方和简单的开平方、开立方运算。
他们迈出了代数的第一步，能用一些特别的术语和符号代表未知数，能解特殊的几种一元一次、二元一次方程和一元二次方程，甚至某些三次、四次(可化为二次的)和个别指数方程，并且能够把它们应用于天文学和商业等实际问题中去。
几何方面掌握了简单平面图形的面积和简单立体体积的计算方法。
二、初等数学时期(从公元前5世纪到公元17世纪)在人类历史上，这是发达的奴隶社会和整个封建社会时期。
这个时期外国数学发展的中心先在古希腊，后在印度和阿拉伯国家，之后又转到西欧诸国。
这时期的中国数学独立发展，在许多方面居世界领先地位。
在数学内容上，2世纪以前是几何优先发展阶段，2世纪以后是代数优先发展阶段。
如果说古希腊的几何证明的较突出，则中国和印度的代数计算可与其媲美。
这个时期的数学发生了本质的变化，数学(主要是几何学)由具体的、实用阶段发展到抽象的、理论阶段；从以实验和观察为依据的经验学科过渡到演绎的科学，并形成了自己的体系，初等几何、算术、初等代数和三角学都已成为独立的学科。
这个时期的研究内容是常量和不变的图形，因此又称为常量数学。
从公元前6世纪到公元前3世纪是希腊数学的古典时期。
古代方程知识点归纳总结
一、古代方程的起源古代方程指的是在古代数学发展的过程中，人们对方程问题的思考和研究。
古代方程的起源可以追溯到古希腊和古埃及等古代文明。
在那个时期，人们对代数方程的理论和方法尚未建立，但已经出现许多解方程的具体问题和方法。
比如在古代，人们已经对一元一次方程和一元二次方程有所了解，并提出了具体的解法。
二、古代方程的代表人物及其成就在古代，出现了一些著名的数学家，他们在解方程方面都有很高的成就。
比如古埃及的阿赫米德曾提出了用切线法求解圆的问题，在这个问题中，他使用了一种近似的方法来解决方程。
在古希腊，毕达哥拉斯和柏拉图等人的著作中也包含了对一次方程和二次方程的解法。
古印度的数学家雅典娜吠陀曾提出了求解二次方程的通解公式，被认为是世界上最早提出通解公式的数学家之一。
三、古代方程的发展与演变在古代，人们对方程的解法逐渐得到了总结和系统化。
比如在古希腊，欧几里德在其著作《几何原本》中详细阐述了一元一次方程的解法，并提出了如何用代数方法解决几何问题的思路。
在印度，数学家布拉马古普塔则提出了一元二次方程的解法，并提出了不一定是正数的解也可以使用。
在古代，人们对方程的解法不断总结和完善，从而为代数学的发展奠定了基础。
四、古代方程的基本类型及其解法古代方程的类型主要包括一元一次方程、一元二次方程和一元高次方程。
这些方程的解法在古代已经有了相对成熟的方法。
比如在一元一次方程中，可以使用“移项异号取相等”来解决。
在一元二次方程中，可以使用“配方法”、“毕达哥拉斯法”等来解决。
在古代，人们对一元高次方程的解法也进行了尝试，但并未得到很好的结论。
五、古代方程的应用古代方程的应用主要体现在几何问题和商业问题中。
比如在几何问题中，人们可以利用方程来求解某几何图形的未知参数；在商业问题中，人们可以利用方程来求解经济问题、生产问题等。
在古代，人们对方程的应用已经相当广泛，可以说方程是古代数学的一个核心内容。
六、古代方程与现代代数方程的联系与差异古代方程和现代代数方程之间有着一定的联系与差异。
近世代数发展简史
近世代数发展简史引言概述：近世代数是数学中一个重要的分支，它的发展可以追溯到16世纪。
近世代数的发展不仅对数学本身产生了深远的影响，也在其他科学领域中发挥了重要作用。
本文将介绍近世代数的发展历程，分为五个部份，分别是：1. 代数基础的奠定；2. 方程论的发展；3. 群论的兴起；4. 环论的发展；5. 近世代数的应用。
一、代数基础的奠定：1.1 古希腊代数的起源：古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得等人奠定了代数的基础，提出了平方数和立方数的概念，并研究了它们的性质。
1.2 文艺复兴时期的代数发展：文艺复兴时期，数学家卡尔丹诺和维埃塔等人开始研究代数方程，并提出了求解一元二次方程的方法。
1.3 笛卡尔的坐标系：17世纪，笛卡尔引入了坐标系的概念，将代数问题转化为几何问题，为代数的发展开辟了新的道路。
二、方程论的发展：2.1 代数方程的分类：18世纪，数学家拉格朗日将代数方程分为代数方程和超越方程，并研究了它们的性质和解法。
2.2 高次方程的解法：19世纪初，数学家阿贝尔和伽罗瓦等人独立地证明了五次及以上的代数方程无法用根式解出，这一结果被称为“阿贝尔-伽罗瓦定理”。
2.3 线性代数的发展：19世纪，数学家凯莱和哈密尔顿等人提出了线性代数的概念，研究了线性方程组和线性变换等内容。
三、群论的兴起：3.1 群的定义与性质：19世纪，数学家狄利克雷和凯莱等人提出了群的定义，并研究了群的性质，如封闭性、结合律和逆元等。
3.2 群论的应用：群论不仅在代数中有广泛应用，还在物理学、化学和密码学等领域中发挥了重要作用。
3.3 群论的扩展：20世纪，数学家冯·诺伊曼和埃米·诺特等人进一步发展了群论，提出了正规子群、商群和群同态等概念。
四、环论的发展：4.1 环的定义与性质：20世纪初，数学家费罗和诺特等人提出了环的定义，并研究了环的性质，如加法和乘法的封闭性、结合律和分配律等。
4.2 环论的应用：环论在代数几何、代数编码和数论等领域中有广泛应用，为解决实际问题提供了有力的工具。
一元二次方程的起源和发展小报
有了古老的算术以后，越来越多的问题摆在了数学家面前。
为了寻找较为普遍的方法来解决在算术里积累的大量数量问题，古老的算术就必须进行改进和发展。
在这个缓慢的过程中，便产生了古典代数学的萌芽，因此，算术和代数没有截然分开的时间。
代数最初是用文字表述的，大约在公元前2000年，巴比伦算术已经演化出一些用文字表述的代数解题方法。
他们既能用相当于代入一般公式的方法，又能用配方法来解二次方程，还讨论过某些三次方程和双二次方程。
方程问题是古典代数的主要内容，除了巴比伦，在古代的中国、印度、阿拉伯等国家对方程的认识也都有着悠久的历史。
秦汉时期，天文历法有了较大的发展，为了编制历法，当时的中国数学家就已经知道了一些方程的解法。
约公元50年成书的《九章算术》，是中国流传至今最古老的一部数学专著。
在这本书中已经使用了“方程”这个名词，并且出现了解一元一次方程和一元二次方程等许多代数问题。
之后，东汉末年至三国时代的赵爽研究了二次方程的求根问题；他还研究了根与系数的关系，得到了和一元二次方程的求根公式以及“韦达定理”相似的结果。
南北朝时期的数学家张邱建在《张邱建算经》一书中给出了一个用文字写出的方程。
在以后的各个朝代中，中国数学家对方程的研究都有过重要成就，例如唐朝王孝通、张遂，北宋时期的贾宪、刘益，南宋时期的秦九韶等，他们对方程的解法或有所改进，或有所创新。
但是，如何去表示一个方程却一直是很困难的，因为用字母代替未知数，用符号表示代数式这种方法自创立至今也不过400年的历史。
在这之前都是用文字叙述的，为了简明地列出方程，古人们想了许多改进办法。
公元11、12世纪，中国产生了“天元术”，13世纪数学家李冶将其整理、简化。
李冶的天元术中，先“立天元为一某某”就是设未知数，然后根据问题的条件列出天元式。
在未知量的一次项旁边记一“元”字，在常数项旁记一“太”字，并按高次幂在上低次幂在排列，还可两个天元式相减进行“同数相消”。
天元术已有现代列方程记法的雏型，现代学史家称它为半符号代数。
九章算术数学智慧古代算术的经典著作
九章算术数学智慧古代算术的经典著作九章算术是中国古代数学的一部经典著作，起源于约公元前3世纪的中国战国时期。
这部著作共分九章，每章都包含了各种与算术相关的问题和解决方法。
九章算术被视为古代数学的重要里程碑，对中国数学和世界数学的发展做出了巨大贡献。
本文将回顾九章算术的历史背景、内容特点以及对数学的影响。
一、历史背景九章算术的起源可以追溯到战国时期，当时中国正处于分裂混乱的时期。
为了提高军事和经济能力，战国时期的国君开始重视数学的学习与发展。
这种需求促使了九章算术这一经典著作的诞生。
据传，这部著作是由中国古代数学家张丘建主编，并得到了各国学者的共同参与和修订。
二、内容特点九章算术的内容非常广泛，包含了各种与算术相关的问题、计算方法和解决技巧。
其中，最具代表性的章节有《方程》、《术数》、《量程》等。
以下是对这些章节的简要描述：1. 《方程》章节：主要探讨了一元二次方程、二元一次方程以及高次方程的解法。
这一章节通过举例和描述算法给出了解决方程的具体步骤。
2. 《术数》章节：介绍了基本的算术运算，包括加法、减法、乘法和除法。
这一章节对于数学初学者来说是非常重要的基础知识。
3. 《量程》章节：主要讨论了长度、面积、体积等量的计算方法。
这些计算方法在古代的土地测量、建筑设计等领域起到了重要的作用。
九章算术的内容具有很强的实用性和操作性，非常适合应用于实际问题的解决。
不仅如此，九章算术还涉及了其他数学领域，如代数、数论等，为后续数学的发展奠定了坚实的基础。
三、对数学的影响九章算术是中国古代数学发展的重要里程碑，对后世的数学发展产生了深远的影响。
具体表现在以下几个方面：1. 数学教育的启示：九章算术为中国古代的数学教育提供了范本。
其中的问题和计算方法可以被用作数学教学中的具体例子，帮助学生理解和掌握数学的基本概念和技巧。
2. 算法的提炼：九章算术中的计算方法和解题技巧为后来的数学家提供了宝贵的经验和启示。
许多算法思想和计算技巧可以追溯到九章算术的内容。
方程式的起源
方程式的起源1. 引言方程式是数学中的重要概念，它描述了数学对象之间的关系。
无论在自然科学、工程技术还是社会科学中，方程式都扮演着至关重要的角色。
本文将探讨方程式的起源，从古代文明到现代数学，以及方程式在不同领域的应用。
2. 古代数学与方程式2.1 古埃及与古巴比伦早在公元前2000年左右，古埃及人和古巴比伦人就开始研究代数问题。
他们使用简单的算术方法来解决线性和二次方程。
例如，在古埃及时期，人们使用了一种称为“重复平方法”的方法来解决二次方程。
2.2 印度与阿拉伯印度和阿拉伯也有着悠久的数学传统。
在公元7世纪至12世纪期间，印度和阿拉伯数学家发展出了一种称为“代数”的方法来解决方程式。
这种方法使用字母符号表示未知量，并通过运算规则推导出解。
3. 文艺复兴与代数符号3.1 文艺复兴时期的数学革命文艺复兴时期，欧洲的数学开始迎来了一次革命。
代数学开始发展，并引入了代数符号来表示方程式中的未知量和运算符号。
法国数学家弗朗索瓦·维埃特在16世纪末提出了一种新的记号系统，其中使用字母来表示未知量，并使用指数来表示幂。
3.2 笛卡尔坐标系与解析几何17世纪，法国哲学家和数学家笛卡尔提出了坐标系的概念，并将代数与几何相结合，创立了解析几何学。
这一创新使得方程式可以通过图形的方式进行可视化，并通过解析方法求解。
4. 方程式在物理学中的应用方程式在物理学中扮演着重要角色。
牛顿的运动定律、爱因斯坦的相对论、量子力学等领域都需要通过方程式来描述自然现象。
例如，著名的爱因斯坦质能方程E=mc^2揭示了质量与能量之间的等价关系。
5. 方程式在工程技术中的应用工程技术领域也广泛使用方程式来解决问题。
从建筑设计到电路分析，各种工程问题都可以通过建立适当的方程式来求解。
例如，电子工程师使用欧姆定律（V=IR）来计算电流、电压和电阻之间的关系。
6. 方程式在经济学中的应用经济学家使用方程式来研究经济现象，并进行经济预测和政策制定。
一元二次方程的起源和发展
一元二次方程的起源和发展
一元二次方程的起源可以追溯到公元前300年左右，古希腊数
学家毕达哥拉斯和欧几里得对这一概念进行了初步探讨。
然而，一
元二次方程的真正发展始于印度数学家布拉马古普塔在公元7世纪
的著作《布拉马古普塔数学》中。
布拉马古普塔对一元二次方程的
解法做出了重要贡献，他提出了用平方完成的方法来解决这类方程，并且给出了解一元二次方程的通用公式。
在此基础上，波斯数学家阿尔-哈拉茲米在9世纪进一步发展了
一元二次方程的解法。
他提出了一种称为“完全方程”的方法，通
过这种方法，他能够解决各种类型的一元二次方程，并且给出了一
种用图形表示方程解的方法。
在欧洲文艺复兴时期，一元二次方程的研究得到了进一步的发展。
意大利数学家卢卡·帕西奥利在16世纪提出了一元二次方程的
解法，并且开发了一种新的符号表示法，这种表示法后来被广泛应
用于代数学的发展中。
到了17世纪，法国数学家笛卡尔和费马对一元二次方程的研究
成果进行了总结和系统化，他们提出了一种新的方法来解决一元二
次方程，并且将这一方法推广到更高阶的多项式方程中。
随着数学理论的不断发展，一元二次方程的应用领域也在不断扩大。
从物理学到工程学，一元二次方程都有着广泛的应用，成为了解决现实问题的重要工具。
总的来说，一元二次方程的起源和发展是一个源远流长的历史过程，数学家们通过不懈的努力和探索，逐渐完善了一元二次方程的解法，并且将其应用于各个领域，为人类社会的发展做出了重要贡献。
一元二次方程的起源和应用
一元二次方程的起源与应用一年七班 唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
二、 起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。
但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。
把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。
阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。
我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
三、一元二次方程的广泛应用例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？（1）3522=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+xx ；（8）522=+y x 注意点：①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数．例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
former以前的
代数中的若干问题代数的出现及发展一萌芽和发展代数学的基本特征是解方程，即对未知数进行运算。
代数学的起源可以追溯到巴比伦的泥板和埃及的草书。
在巴比伦的泥板中不仅有一次方程问题，而且还有二次方程和二元二次方程联立的问题。
由于当时没有复数的概念，所以巴比伦只取正根。
在埃及人阿梅斯的草书中也有一次和二次方程的问题，他们对代数问题的解法都是用语言来叙述，使得解题过程很繁琐，在数学史上称为文字代数。
代数与算术的区别除了一个是对未知数进行运算，另一个是对已知数进行运算外，主要的区别还在于代数中数的概念已由算术中的正有理数扩大到负数、无理数乃至实数。
而中国和印度则在相当早的时期就有了负数的概念，其几何问题大多化归为代数问题解决，为代数学的发展做出了重要的贡献。
负数在西方得到承认则是近代数学时期的事。
代数学从数学中开始分化起于罗马时期，定型于阿拉伯时期，而完成于16世纪，中间经过了一千余年的演变。
欧洲在罗马帝国时期，数学思想有了很大的转变。
曾被希腊人几何化了的代数开始从几何中分化，为以后代数学的发展奠定了基础。
这一分化主要体现在尼克马修、丢番图和花拉子模等人的工作中。
代表罗马帝国时期数学特点和代数发展高峰的是丢番图，有人称他为代数学的鼻祖。
他对数学的贡献主要有两个：一个是关于代数不定方程的整数解的研究，由此奠定了今天数学中的丢番图分析。
二是在代数中采用成套的符号是丢番图的重要贡献。
二符号的产生符号在数学中的重要性是显然的，在一定意义上说，没有优越的符号就不可能有近代和现代数学。
系统采用了数学的符号的代数的产生构成了近代数学的一个开端。
在符号代数的形成过程中，韦达做出了重要的贡献。
韦达对数学的两个主要贡献：一是用元音字母表示未知数，辅音字母表示已知数，后者意义很大，说明人们对数量关系认识的提高。
二是韦达第一次把代数与算术作了明确的区分：代数是关于类或形式的计算技术，算术则是关于具体数字的计算技术。
韦达在研究方程问题的过程中创立符号代数，他系统地利用字母来表示方程中的量：用辅音字母B、C、D等表示已知量，用元音字母A等表示未知量，用Aquadratus表示A2，Acubus表示A3。
一元二次方程的发展小记 小报
一元二次方程的发展小记小报一元二次方程的起源一元二次方程的起源可以追溯到古巴比伦时代，约公元前2000年。
在古巴比伦泥板上发现的数学文本中，出现了最早形式的一元二次方程。
这些方程主要用于解决实际问题，例如计算面积和体积。
希腊数学家的贡献公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出了二次方程的几何解法。
欧几里得利用几何图形来表示二次项和常数项，然后运用相似三角形和勾股定理来求解方程。
印度数学家的影响公元5世纪，印度数学家婆罗摩笈多发展了一套系统的方法来求解一元二次方程。
他提出了“开平方完成平方”的技巧，即通过向方程两边添加一个适当的平方数来消除二次项。
婆罗摩笈多的方法对后来的数学家产生了深远的影响。
阿拉伯数学家的改进公元8世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的《代数学》中对一元二次方程的研究做出了重大贡献。
花拉子米首次提出了用代数符号来表示未知数和系数，并给出了一种标准的形式来化简和求解二次方程。
欧洲数学家的复兴12世纪，一元二次方程的知识通过翻译阿拉伯数学家的著作而传入欧洲。
欧洲数学家开始研究二次方程的求根公式，并发展出了新的解法方法。
文艺复兴时期的突破16世纪的文艺复兴时期，意大利数学家卡尔达诺和费拉里相继发现了三次方程和四次方程的求根公式。
这为一元二次方程的研究奠定了新的基础。
现代数学中的应用在现代数学中，一元二次方程仍然是一个重要的概念。
它广泛应用于物理学、工程、金融和其他领域。
例如，在一维运动中，物体的位移方程就是一个二次方程。
一元二次方程的未来随着数学的发展，一元二次方程的研究仍在不断深入。
数学家们正在探索新的方法来求解二次方程，并将其应用到更广泛的问题中。
一无二次方发展史及数学家的贡献
一元二次方程的发展史可以追溯到古希腊时期，但真正得到发展和广泛应用的是在17世纪以后。
以下是一元二次方程发展史的主要阶段及其数学家的贡献：1. 起源与早期发展：古希腊时期是数学发展的重要阶段，阿波罗尼奥斯等数学家在这一时期对一元二次方程进行了研究，提出了判别式Δ的概念，奠定了后续一元二次方程理论的基础。
2. 中世纪时期：在中世纪时期，一元二次方程的研究逐渐被其他数学问题所掩盖，但仍然有一些数学家对其进行了研究。
例如，费马、帕斯卡和笛卡尔等对一元二次方程的解法进行了探索，提出了多种解法，如配方法、直接开方法等。
这些解法在后续的数学发展中得到了广泛应用。
3. 近代发展：随着代数学的发展，一元二次方程的研究逐渐得到了更多的关注。
例如，费马、笛卡尔、牛顿、莱布尼茨等数学家对一元二次方程的解法进行了深入的研究，提出了多种新的解法，如公式法等。
同时，他们还对一元二次方程的应用进行了研究，如几何学、物理学等领域的应用。
在一元二次方程的发展史上，数学家的贡献不可忽视。
例如，费马、笛卡尔、牛顿和莱布尼茨等数学家对一元二次方程的解法进行了深入的研究，提出了多种新的解法，如公式法等。
这些解法在后续的数学发展中得到了广泛应用，并成为代数学中的基本方法之一。
此外，他们还对一元二次方程的应用进行了研究，如几何学、物理学等领域的应用。
这些应用推动了数学的发展，同时也促进了人们对一元二次方程的理解和应用。
此外，还有一些其他数学家也对一元二次方程的发展做出了重要贡献。
例如，在19世纪末和20世纪初，高斯等人对一元二次方程的数值解法进行了研究，提出了多种数值解法，如二分法等。
这些数值解法在解决实际问题中发挥了重要作用。
总之，一元二次方程的发展史是一段充满探索和创新的历程。
数学家们通过不断的研究和探索，提出了多种新的解法和数值解法，并推动了代数学和其他领域的发展。
这些贡献不仅对数学本身具有重要意义，也对人类文明的发展产生了深远的影响。
中国古代方程发展史
中国古代方程发展史一、概述方程是数学中重要的概念之一，它描述了数学关系中的未知量和已知量之间的关系。
在中国古代，方程的发展经历了漫长的历史进程，从最早的线性方程到高次方程，不断取得了重要的成果。
本文将从古代方程的起源开始，逐步介绍中国古代方程发展史。
二、古代方程的起源古代方程的起源可以追溯到商代的牛酒问题。
据《商书·牛酒》记载，商王问禹：“今有牛十二只，饮之一月，酒一斗；牛饮之一年，酒几斗？”禹回答说：“一年之中，共有三百六十五天，而牛每天饮酒一斗，所以一年共需酒三百六十五斗。
”这个问题可以用方程表示为12x + 30 = 365，其中x表示牛的数量。
这是中国古代方程的最早形式。
三、古代方程的发展1. 算筹法在古代，方程的解法主要采用算筹法。
算筹法是一种将方程转化为等价的算筹问题进行求解的方法。
其中最著名的例子是《九章算术》中的“方程作法”。
通过列方程和运用算术运算规则，将方程转化为等价的算筹问题，再通过逐次逼近求解的方法得到方程的解。
这种方法在古代被广泛应用，为后来的方程解法奠定了基础。
2. 高次方程的研究在汉代，数学家刘徽开始研究高次方程。
他在《九章算术》中提出了求解一元二次方程的方法，并给出了一些具体的例子。
此后，一元高次方程的研究逐渐深入，到了唐代，数学家陈子昂在《数书九章》中进一步推广了刘徽的方法，给出了求解一元三次方程和四次方程的方法。
3. 平方根的引入随着对高次方程研究的深入，中国古代数学家开始引入负数和平方根的概念。
在宋代，数学家秦九韶在《数学九章》中提出了求解一元四次方程的方法，其中就涉及了平方根的运算。
这标志着中国古代方程研究的一个重要进展。
4. 三角方程的研究除了一元高次方程，中国古代还研究了一些特殊的方程，如三角方程。
在宋代，数学家杨辉在《详解九章算法》中详细介绍了三角方程的解法，包括求解正弦方程、余弦方程和正切方程等。
这些方程的解法为后来的三角学研究奠定了基础。
七年级上册数学一元二次方程
七年级上册数学一元二次方程
七年级上册通常不包括一元二次方程的学习内容，这一部分通常在高中数学课程中进行讲解。
不过，我可以简单介绍一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程是一个具有如下形式的方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b 和 c 是实数常数，且 a ≠0。
其中，x 表示未知数，而a、b 和 c 分别表示方程的系数。
一元二次方程的解可以通过使用求根公式来求得，该公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)
这个公式中的±表示可以取正负两个值，即方程可能有两个解、一个解或无解，具体取决于b^2 - 4ac 的值。
解一元二次方程的过程主要包括以下几个步骤：
1. 将方程化为标准形式ax^2 + bx + c = 0。
2. 根据求根公式计算出x 的值，注意判断b^2 - 4ac 的值确定解的情况。
3. 如果方程有解，则将解带入原方程验证。
希望这些简单的介绍对你有所帮助。
如果你需要更详细的讲解或有其他数学问题，欢迎继续提问。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程的起源与应用一年七班唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
二、起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。
但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数。
把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。
阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。
我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
三、一元二次方程的广泛应用x例1：下列关于的方程，哪些是一元二次方程？；（1）（2）；（3）；（4）；22222（5）；（6）；（7）（8）；x注意点：①二次项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③是整式方程；④只含有一个未知数．22例1:当k 时，关于x的方程是一元二次方程。
m例2：方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。
2例3：若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。
mn2例4：若方程nx+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是（） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 2（一）、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左2边是一个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，叫ax xa做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项。
bxb c2例1：方程的一次项系数是，常数项是。
2例2：（2012•洪山区模拟）若将一元二次方程化成一般形式20(0)后，一次项和常数项分别是；22例3：一元二次方程化为一般式后为，试求的值的算术平方根？（二）、方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
（简而言之：将该方程的解，代入原方程可以得到一个等式）2例1：（2013•牡丹江）若关于x的一元二次方程为（a≠0）的解是，则的值是。
22例2：（2012•鄂尔多斯）若是方程的一个解，则的值为（）A．3 B．-3 C．9 D．-9 例3：关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。
2例4：已知方程的一根是2，则k为，另一根是。
（三）解一元二次方程的解法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法2①直接开方法：对于，等形式均适用直接开方法例1、解方程： =0;例2、若，则x 的值为 。
下列方程无解的是（ ）A. B. C. D. ②配方法：在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
2例1：试用配方法说明的值恒大于0。
例2：已知x 、y 为实数，求代数式的最小值。
y 22，x 、y 例3：已知为实数，求的值。
x 2例4：若，则t 的最大值为 ，最小值为 。
③公式法： 2条件： 且 2, 且2a 322例1：（1） （2）；； （3）因式分解法：或十字相乘法：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， 如， ，例1：的根为（ ）122522例2：方程的解为（ ） ，x ，x ，x ，x A. B. C. D.2例3：解方程：例4：已知,且,则的值为 例5:选择适当方法解下列方程：⑴⑵⑶.2⑷⑸四、专项训练：（一）整体思想：整体思想方法是指用“全局”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑例1：若，则4x+y= 。
222222例2：。
则例3：若，则x+y=422例4：若，，则x+y= 。
22例5：已知的值为2，则= 2例6：（苏州市）若，求的值？（二）降次的思想：通过变形，把高次项逐步转化为一次式或常数,从而达到降次的目的32例1：解方程例2：如果，那么代数式的值。
a例3：已知是一元二次方程的一根，求的值。
例4：解方程组（三）当一元二次方程的解为“1”或“-1”时2对于一元二次方程的一般形式（），如果有一个根为1，则；如果有一个根为-1，则；反之也成立；巧求方程的解：① ②例1：已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为。
例2：方程的一个根为（） A B 1 C D （四）判别式“”的应用判别式：根据一元二次方程的系数，判断该方程是否有实数根 522例1：（2013•珠海）一元二次方程：①，②．下列说法正确的是（）A．①②都有实数解 B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解2x例2：若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围k是。
例3：（2013•潍坊）已知关于x的方程，下列说法正确的是（）A．当=0时，方程无解k B．当=1时，方程有一个实数解k C．当=-1时，方程有两个相等的实数解k D．当≠0时，方程总有两个不相等的实数解．例4：（2013•六盘水）已知关于的一元二次方程有两个不相x等的实数根，则的取值范围是。
k例5：关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( ) A. B.C. D. 且例6：已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
例7：为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解（五）韦达定理： 6法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
2对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
bc1212aa注意：切记盲目用韦达定理，而忽视了例1：（2013•雅安）已知是一元二次方程的两根，则的值x1212是（）A．0 B．2 C．-2 D．4 22例2：（2013•天门）已知α，β是一元二次方程的两根，那么α+αβ+β的值为（）A．-1 B．9 C．23 D．27 2例3：已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，那么这个直角三角形的斜边长是（）36A. B.3 C.6 D. 2例4：（2013•泸州）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（）xx12A．5 B．-5 C．1 D．-1 22例5：已知，，，求ab22例6：若，，则的值为。
ba42例7：已知是方程的两个根，那么 . ,（六）应用题 7类型一：单循环赛制（注意区别双循环赛）例1：（2013•东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数有多少？例2：（2011•黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定45条直线．则n的值为例3：（襄樊市改编）如图，锐角的内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同的射线，可得6个锐角；画3条不同的射线，可得10个锐角；…；照此规律，画多少条射线可以得到66个角？类型二：几何中的一元二次方程例1：（2009•庆阳）如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样2宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米，则修建的路宽应为例2：（2011•台湾）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某21两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方公分，则此方格纸的面积为多4少平方公分？（） A．11 B．12 C．13 D．14 8例3：（2013•衢州）如图在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．类型三：薄利多销的商家例1：（2013•泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？例2：（2012•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？类型四：增长率的问题例1：（2012•钦州）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入， 92009年投入6000万元，2011年投入8640万元．（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．例2：（2013•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？例3：（2013•巴中）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率？巩固练习（二）21.（2012•洪山区模拟）若将一元二次方程化成一般形式20(0)后，一次项和常数项分别是；222.一元二次方程化为一般式后为，试求的值的算术平方根？ 3.（2013•牡丹江）若关于x的一元二次方程为（a≠0）的解是，则的值是。
224.（2012•鄂尔多斯）若是方程的一个解，则的值为（）a A．3 B．-3 C．9 D．-9 25.（苏州市）若，求的值？ 106.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。