福建省福州市八县(市)一中2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题

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2020-2021学年福建省福州市四校联考高一上学期半期(期中)考试数学试题(解析版)

2020-2021学年福建省福州市四校联考高一上学期半期（期中）考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,4,4,5U A B ===，则()U A B ⋂=（）． A ．{3} B ．{1，3}C ．{3，4}D ．{1，3，4}【答案】B【分析】先求出集合B 的补集，再求()U AB【详解】解：因为{}1,2,3,4,5U =，{}4,5B =，所以{}1,2,3UB =，因为{}1,3,4A =，所以{}()1,3U AB =，故选：B.2．命题“R x ∀∈，21x >”的否定是（） A ．R x ∃∈，21x ≤ B ．R x ∃∈，21x < C ．R x ∀∈，21x < D ．R x ∀∈，21x ≤【答案】A【分析】利用全称命题的否定是特称命题解答即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，需改变量词且否定结论，所以，命题“R x ∀∈，21x >”的否定是“R x ∃∈，21x ≤”.故选A【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 3．设a ∈R ，则“a > 0"是“a 2 > 0”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义判断即可【详解】解：当0a >时，20a >，当20a >时，0a <或0a >，所以“a > 0"是“a 2 > 0”的充分不必要条件，故选：A4．我们把含有限个元素的集合A 叫做有限集，用card()A 表示有限集合A 中元素的个数.例如，{,,}A x y z =，则card()=3A .若非空集合,M N 满足card()M =card()N ，且M N ⊆，则下列说法错误．．的是（） A ．M N M ⋃= B ．M N N =C ．M N N ⋃=D ．M N ⋂=∅【答案】D【分析】根据()()card M card N =，且M N ⊆即可得出M N ，从而看出选项D 不正确．【详解】根据()()card M card N =，且M N ⊆得，M N ；MN M ∴=，MN N =，MN N =正确，显然MN =∅不正确，因为M ，N 不一定是空集．故选D ．【点睛】本题主要考查有限集的定义，集合元素个数的定义，列举法的定义． 5．设0<x <12，则x (1-2x )的最大值为（） A ．19B ．29C ．18D ．14【答案】C【分析】由于2121x x +-=为常数，且120x ->，所以利用基本不等式求x (1-2x )的最大值即可【详解】解：因为0<x <12，所以120x ->，所以2112121(12)2(12)2228x x x x x x +-⎛⎫-=⋅-≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当212x x =-，即14x =时取等号，所以(12)x x -的最大值为18，故选：C6．下面各组函数中表示同个函数的是（）A ．()f x x =，()g x=2B ．()f x x =，()g x =C ．()211x f x x -=-，()1g x x =+D ．()xf x x =，()1010x g x x ≥⎧=⎨-<⎩，，【答案】B【分析】当函数的定义域和对应关系分别相同时，才是同一函数，所以逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，()f x x =的定义域为R ，而()g x=2的定义域为[0,)+∞，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；对于B ，两个函数的定义域都为R ，定义域相同，()()g x x f x ===，所以这两个函数是同一函数；对于C ， ()211x f x x -=-的定义域为{}1x x ≠，而()1g x x =+的定义域是R ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数；对于D ，()xf x x =的定义域为{}0x x ≠，而()1010x g x x ≥⎧=⎨-<⎩，，的定义域是R ，两函数的定义域不相同，所以不是同一函数，故选：B.7．已知231,0()21,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩，若()(1)8f a f +-=，则实数a 的值为（） A ．2- B ．2 C ．2±D ．3±【答案】C【分析】先根据题意求得()=7f a ，再利用分段函数函数值讨论求解自变量即得结果. 【详解】依题意，(1)=1f -，由()(1)8f a f +-=得()=7f a ，若0a >，则()=3+1=7f a a ，故=2>0a ，符合题意；若0a <，则2()=21=7f a a -，故24a =，故=2<0a -，符合题意. 故选：C.8．1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【答案】C【分析】先利用13y x =的单调性比较a ，c 的大小，再利用1()3xy =比较b ，c 的大小可得.【详解】先比较a ，c 的大小关系，由13y x =在R 上是增函数可得：a c >，先比较b ，c 的大小关系，由1()3xy =在R 上是减函数可得：b c <，综上可得：a c b >>，故选：C.【点睛】比较数的大小时，我们要找到它们的共性，合理利用对应函数的单调性是解决此类问题的关键.9．已知(), ()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=（）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】C【分析】利用奇偶性及赋值法即可得到结果. 【详解】由题意得：(1)(1)1f g ---=，又因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以(1)(1)(1)(1)1f g f g ---=+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用，属于基础试题． 10．若不等式2220mx mx +-<对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围为（） A ．(2,0)- B ．(2,0]-C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞【答案】B【分析】分类讨论m 与0的关系，0m =时恒成立，0m ≠时，只需二次函数图象开口向下且与x 轴无交点，进而求解. 【详解】①0m =时，20-<恒成立；②0m <，△2(2)80m m =+<，解得20m -<< 综上，20m -<，故选B ．【点睛】考查分类讨论的思想，数形结合，不等式恒成立与二次函数图象的关系. 11．某容器如图所示，现从容器顶部将水匀速注入其中，注满为止.记容器内水面的高度h 随时间t 变化的函数为()h f t =，则()h f t =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据容器的特点分析水面高度的变化情况得解.【详解】由图知，容器两头小，中间大，在水流速度一定的情况下，水面高度h 在达到容器体积12前应该是逐渐变慢；达到容器体积12后，逐渐加快. 故选D【点睛】考查识图能力，水面高度h 在达到容器体积12前应该是逐渐变慢；达到容器体积12后，逐渐加快，是解决本题的关键点． 12．定义函数[]x 为不大于x 的最大整数，对于函数()[]f x x x =-，有以下四个结论：①(2019.67)0.67f =；②在每一个区间[,1)k k +,k Z ∈上,()f x 都是增函数；③1155f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④()y f x =的定义域是R ,值域是[0,1).其中正确的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据函数的新定义，以及作出函数的图象，结合图象，即可求解，得到答案. 【详解】对于①中，(2019.67)2019.67[2019.67]2019.6720190.67f =-=-=，所以是正确的；对于②中，结合图象，可得在每一个区间[,1)k k +,k Z ∈上,()f x 都是增函数是正确的；对于③中，由11411()(1)()55555f f -=---=>= ，所以是错误的；对于④中，结合图象，可得函数()y f x =的定义域是R ,值域是[0,1)，所以是正确的. 故选C.【点睛】本题主要考查了函数新定义问题，以及函数的性质的应用，其中解答中正确把握函数的新定义，以及作出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.二、填空题13．若函数32()(1)f x x b x x =+-+是定义在[2,1]a a -上的奇函数，则a b +=______.【答案】0【分析】先根据奇函数的定义域求出a 的值，再利用奇函数的定义求出b 的值即得解. 【详解】因为函数是奇函数，所以其定义域关于原点对称，所以2+1=01a a a -∴=-，.由题得3232()(1)(1)f x x b x x x b x x -=-+--=---- 所以22(1)0b x -=对于定义域内的每一个值都成立，所以10,1b b -=∴=. 所以a b +=0. 故答案为0【点睛】本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，3(2)xf x =-，则(1)f -=_______.【答案】﹣1【分析】利用偶函数的性质，求出f （1）的值，然后求出f （﹣1）即可．【详解】因为函数是偶函数，所以f （﹣1）＝f （1），又当0x >时，()23xf x =-，则f （1）＝21﹣3＝﹣1， ∴f （﹣1）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，函数的值的求法，考查计算能力．15．设p ：x <2，q ：x <a ．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是____________．【答案】(,2)-∞【分析】由必要不充分条件的定义直接求解即可【详解】解：设p ：x <2，q ：x <a ．若p 是q 的必要不充分条件，所以2a <，所以实数a 的取值范围为(,2)-∞，故答案为：(,2)-∞16．设奇函数()f x 在()0,∞+上为增函数，且()20f =，则不等式()()f x f x x--<的解集为______. 【答案】()()2,00,2-【分析】由函数()f x 为奇函数，可得不等式即()20f x x<，即x 和()f x 异号，故有()00x f x >⎧⎨<⎩，或()00x f x <⎧⎨>⎩；再结合函数()f x 的单调性示意图可得x 的范围. 【详解】由函数()f x 为奇函数，可得不等式即()20f x x<，即x 和()f x 异号，故有()00x f x >⎧⎨<⎩，或()0x f x <⎧⎨>⎩. 再由()20f =，可得()20f -=，由函数()f x 在()0,∞+上为增函数，可得函数()f x在(),0-∞上也为增函数，画出函数单调性示意图：结合函数()f x 的单调性示意图可得20x -<<或02x <<. 故答案为：()()2,00,2-【点睛】函数奇偶性与单调性结合问题，可画出函数取值的示意图，判断正负，本题属于中等题型.三、解答题17．计算：（1）0220.254361822772-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知：11223a a-+=，求12222a a a a --+++-【答案】（1）4，（2）15【分析】（1）把根式化为分数指数幂，然后利用分数指数幂运算性质求解即可；（2）对11223a a -+=两边平方化简求出1a a -+，再平方可求出22a a -+的值，从而可求出结果【详解】解：（1）原式23132344122(3)2=-⨯+-1294=-+-4=（2）由11223a a -+=，得1112229a a a a --++=，得17a a -+=，所以212249a a a a --+⋅+=，所以2247a a -+=，所以122272912472455a a a a --+++===+-- 18．已知集合22162xA ⎧⎫⎪⎪=<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}3221B x a x a =-<<+．（1）当a =0时，求A ∩B ；（2）若A ∩B =∅．求实数a 的取值范围．【答案】（1）112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，（2）34a ≤-或2a ≥ 【分析】（1）先求出集合A ，再求两集合的交集；（2）当B =∅时，有3221a a -≥+，当B ≠∅时，32211212a a a -<+⎧⎪⎨+≤-⎪⎩或3221324a a a -<+⎧⎨-≥⎩，从而可求出实数a 的取值范围【详解】解：（1）当0a =时，{}21B x x =-<<，由2162x <≤得，142222x -<≤，解得142x -<≤，所以1|42A x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭, 所以112AB x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，（2）①当B =∅时，满足A ∩B =∅，此时3221a a -≥+，解得3a ≥； ②当B ≠∅时，因为A ∩B =∅，所以32211212a a a -<+⎧⎪⎨+≤-⎪⎩或3221324a a a -<+⎧⎨-≥⎩，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，34a ≤-或2a ≥19．已知函数()21ax f x bx+=，且()13f =，()922f =.（1）求,a b 的值，写出()f x 的解析式；（2）判断()f x 在区间[)1+∞，上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 【答案】（1）221a 2b 1x f x x+===，，（）；（2）f （x ）在[1，+∞）上单调增函数，证明见解析.【分析】（1）根据待定系数法求出a ，b 的值，求出函数的解析式即可；（2）根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可．【详解】（1）由()()13922f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒1341922a b a b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩⇒21a b =⎧⎨=⎩；则f （x ）221x x+=；（2）证明：任设l ≤x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）2212122121x x x x ++=-=（x 1﹣x 2）•121221x x x x -，∵x 1＜x 2∴x 1＜x 2＜0，又∵x 1≥1，x 2≥1∴x 1﹣x 2＜0，x 1x 2≥1，2x 1x 2≥2≥1，即2x 1x 2﹣1＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）故f （x ）在[1，+∞）上单调增函数．【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式，考查根据定义证明函数的单调性问题，是一道中档题．20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2a =，1b =；（2）13k <-.【分析】（1）根据()00f =，可得1b =，再由()()11f f =--即可求解.（2）判断()f x 在R 上为减函数，结合函数为奇函数可得2222t t t k ->-+，从而可得对一切t ∈R 有2320t t k -->，由∆<0即可求解. 【详解】（1）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，即102ba-+=+，解得1b =.从而有121()2x x fx a+-+=+. 又由()()11f f =--，知1121241a a-+-+=-++，解得2a =. 经检验，当121()22x x f x +-+=+时，()()f x f x -=-，满足题意. （2）由（1）知12111()22221x x x f x +-+==-+++，由上式易知()f x 在R 上为减函数，又因为()f x 是奇函数，从而不等式()()22220f t t f t k -+-< 等价于()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+.因为()f x 是R 上的减函数，由上式推得2222t t t k ->-+.即对一切t ∈R 有2320t t k -->，从而4120k ∆=+<，解得13k <-.21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴.现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为x 米，如图所示.（1）将两个养殖池的总面积y 表示x 为的函数，并写出定义域；（2）当温室的边长x 取何值时，总面积y 最大？最大值是多少？【答案】（1）1500(3)(5)y x x=--，定义域为{|3300}x x <<；（2）当温室的边长x 为30米时，总面积y 取最大值为1215平方米．【分析】（1）依题意得温室的另一边长为1500x 米．求出养殖池的总面积1500(3)(5)y x x=--，然后求解函数的定义域即可．（2）15004500(3)(5)1515(5)y x x x x=--=-+，利用基本不等式求解函数的最值即可．【详解】（1）依题意得温室的另一边长为1500x 米．因此养殖池的总面积1500(3)(5)y x x=--，因为30x ->，150050x->，所以3300x <<．所以定义域为{|3300}x x <<．（2）15004500(3)(5)1515(5)y x x x x=--=-+1515-151********=-=，当且仅当45005x x=，即30x =时上式等号成立，当温室的边长x 为30米时，总面积y 取最大值为1215平方米．【点睛】本题考查实际问题的解决方法，函数思想的应用，基本不等式求解函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．22．已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点(0,3)，且不等式20ax bx c ++≤的解集为{|13}x x ≤≤.（1）求()f x 的解析式；（2）若()()(24)g x f x t x =--在区间[1,2]-上有最小值2，求实数t 的值；（3）设2()4h x mx x m =-+，若当[1,2]x ∈-时，函数()y h x =的图象恒在()y f x =图象的上方，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 2()43f x x x =-+；(2) 1t =或1t =-；(3) 3m >.【分析】（1）通过(0)3f =，求出3c =，利用1和3是方程20ax bx c ++=的两根，结合韦达定理，求解函数的解析式．（2）2()()(24)23g x f x t x x tx =--=-+，[1x ∈-，2]．对称轴为x t =，分当1t -时、当12t -<<时、当2t 时情况讨论函数的单调性求解函数的最值即可．（3）当[1x ∈-，2]时，()()0h x f x ->恒成立．推出2231x m x +>+，[1x ∈-，2]．构造函数通过换元法以及函数的单调性求解函数的最值，转化求解实数m 的取值范围．【详解】（1）由(0)3f =，得3c =，又1和3是方程20ax bx c ++=的两根，所以3c a =，4b a-=．解得1a =，4b =-，因此2()43f x x x =-+．（2）2()()(24)23g x f x t x x tx =--=-+，[1x ∈-，2]．对称轴为x t =，分情况讨论：当1t -时，()g x 在[1-，2]上为增函数，()(1)242min g x g t =-=+=，解得1t =-，符合题意；当12t -<<时，()g x 在[1-，]t 上为减函数，()g x 在[t ，2]上为增函数，2()()32min g x g t t ==-+=，解得1t =±，其中1t =-舍去；当2t 时，()g x 在[1-，2]上为减函数，()min g x g =（2）742t =-=，解得54t =，不符合题意．综上可得，1t =或1t =-．（3）由题意，当[1x ∈-，2]时，()()0h x f x ->恒成立．即2231x m x +>+，[1x ∈-，2]．设2231x y x +=+，[1x ∈-，2]，则max m y >．令2x t =，于是上述函数转化为32111t y t t +==+++，因为[1x ∈-，2]，所以[0t ∈，4]，又211y t =++在[0，4]上单调递减，所以当0t =时，3max y =，于是实数m 的取值范围是3m >．【点睛】本题考查函数与方程的应用，构造法的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，分类讨论思想的应用，是难题．。

福建省福州市八县市一中2020_2021学年高二数学上学期期中联考试题

福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二数学上学期期中联考试题考试时间：11月12日完卷时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（） A. 32人 B. 56人 C. 104人 D. 112人2. 袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立．．．．．．的两事件是（）A. 至少有一个白球；全部都是红球B. 至少有一个白球；至少有一个红球C. 恰有一个白球；恰有一个红球D. 恰有一个白球；全部都是红球3. 阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ,2F 在x 轴上，椭圆C 的面积为23π，且离心率为12，则C 的标准方程为（） A. 22143x y += B. 22112x y += C. 22134x y +=D.221163x y += 4. 在区间]21,21[-上任取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为( ) A ．12 B ．2 C ．23D ．22 5. 永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为( )A.25B.35C.235D.2556. 已知双曲线C ：22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，斜率为1的直线l 与双曲线C 交于不同的,A B 两点，且线段AB 的中点为P (2,4)，则双曲线的渐近线方程为（）A.2y x =±B. 12y x =± C. 2y x =± D. 2y x =±7. 第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行.某电视台在19日至24日六天中共有7场直播（如下表所示），张三打算选取其中的三场观看.则观看的任意两场直播中间至少间隔一天（如第一场19日观看直播则20日不能观看直播）的概率是（）日期 19日 20日21日22日23日 24日时间全天全天上午下午全天全天全天内容飞行比赛击剑射击游泳篮球定向越野障碍跑A ．358 B ．356 C ．71 D ．354 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,F F ，,P Q 分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且2=60QF P ∠︒，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于( )A ．4B ．2 3C ．2D ．3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分.） 9.某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（）A.甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分.B.甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散．C.甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数.D.甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数. 10.下列说法中错误．．的是（） A.“8m =”是“椭圆2214x y m +=的离心率为22”的充要条件B.设,x y ∈R ，命题“若220x y +≠，则0xy ≠”是真命题；C.“42k -<<”是“方程2214+2x y k k+=-表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D.命题“若3x =，则2430x x -+=”的否命题是真命题 11. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如右表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为ˆ 6.3 6.8yx =+,下列说法正确的是（）A. 看不清的数据★的值为34B. 回归直线ˆ 6.3 6.8yx =+必经过样本点（4，★） C.回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨 D.据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨12. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，抛物线245y x =的准线过双曲线的左焦点，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．双曲线C 的方程为2214x y -= C ．1k 2k 为定值14D ．存在点P ，使得1k ＋2k ＝2 第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：01,02,03,,112，已知抽取的印张中最小的两个编号为05,13，则抽取的印张中最大的编号为_______．14. 已知命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+≤”是真命题，则a 的取值范围为____________.15.如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为____________米.16. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交x 23 4 5 6y 19 25 ★ 38 44点为K ，点A （2,4），过点F 的动直线l 与抛物线交于,M N 不同的两点，点M 在y 轴上的射影为点B ，设直线KM KN ,的斜率分别为1k 和2k .则MA MB +的最小值为_____________，12k k +的值为_____________.（第一空3分，第二空2分）四、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知命题p ：对于任意x R ∈，不等式()244210x m x --+>恒成立．命题q ：实数m 满足的方程221(0)2m x m a ay a +=>--表示双曲线；（1）当2a =时，若“p 或q ”为真，求实数m 的取值范围.（2）若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知双曲线C，点()在双曲线上，且抛物线22y px =（0p >）的焦点F 与双曲线的一个焦点重合. （1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F 作一条直线l 交抛物线于A ，B 两点，当直线lAB 的长度.19．（本小题满分12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x 元和销售量y 支之间的数据如下表所示：（1）根据表格中的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量×单支售价—日销售量×单支进价）最大，在（1）的前提下应该如何定价？（其中：回归直线方程a bx y+=ˆ,1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，5167i ii x y==∑，52116.6i i x ==∑）20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左右焦点分别为12F F ,，焦距为2，且经过点Q 212-（，）.直线l 过右焦点且不平行于坐标轴，l 与椭圆C 有两个不同的交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）点P 在椭圆C 上，求12PF PF ⋅的取值范围；（2）证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；21．（本小题满分12分）为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A 等级，排名等级占比7%，分数区间是83-100；B 等级，排名等级占比33%，分数区间是71-82；C 等级，排名等级占比40%，分数区间是59-70；D 等级，排名等级占比15%，分数区间是41-58；E 等级，排名等级占比5%，分数区间是30-40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中 a 的值；（2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C 等级及以上（含C 等级）？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40,50) 和[50,60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取 2 人进行调查分析，求这 2 人中至少一人原始成绩在[40,50)内的概率.22．（本小题满分12分）如图所示，已知圆16)1(:221=++y x F 上有一动点Q ，点2F 的坐标为)0,1(，四边形R F QF 21为平行四边形，线段R F 1的垂直平分线交R F 2于点P ，设点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点2F 的直线l 与曲线C 有两个不同的交点,A B ，问是否存在实数λ，使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由.2020-2021学年第一学期八县（市）一中期中联考高二数学参考答案一、单项选择题（每小题5分，共40分）1-5：C D A D B 6-8:C B A 二、多项选择题（每小题5分，共20分）9.AC 10.ABD 11.AD 12.BCD 三、填空题（每小题5分，共20分）13、109 14、1][3,)-∞-⋃+∞（， 15、9625(可写成3.84) 16、1，0三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、解：（1）若命题p 为真命题，则216(2)160m ∆=--<，解得 13m <<…1分当2a =时，命题q ：24m << ……………………………………………………2分因为 p 或q 为真，所以p 真或q 真 …………………………………………………3分所以：13m <<或24m <<得：14m << ………………………………………5分（2）若命题q 为真命题，则2a m a <<……………………………………………6分因为⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，所以q 是p 的充分不必要条件………………7分所以：123a a ≥⎧⎨≤⎩得：312a ≤≤ ………………………………………………………9分经检验符合，所以a 的取值范围为：3[1,]2………………………………………10分18、解：（1）设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），由题设c a =1分所以b a =①，又点()在双曲线上，所以221211a b -=② ………………2分由①②解得29a =，23b = …………………………………………………………3分故双曲线标准方程为22193x y -=；…………………………………………………4分设双曲线的焦距为2c ，因为22212c a b =+=，得c =，做题破万卷，下笔如有神所以抛物线焦点为()F，即2pp =⇒=………………………5分所以抛物线的标准方程为2y = ………………………………………………6分（2）设直线y x =-交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y ，联立2y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得23360x -+= …………………………………8分则120043360∆=-⨯⨯>故12x x +=.由抛物线定义知12p AF x =+，22pBF x =+……………………………………10分所以12AB x x p =++=+=……………………………………12分 19、解：（1）因为1(1.4 1.6 1.82 2.2) 1.85x =++++=……………………………1分 1(1311763)85y =++++= …………………………………………………………2分所以51522215675 1.88==12.516.65 1.85i ii ii x y x yb xx ==--⨯⨯=--⨯-∑∑ …………………………………4分则8(12.5) 1.830.5a y bx =-=--⨯=………………………………………………5分所以，回归直线方程为ˆ12.530.5yx =-+ …………………………………………6分（2）当18y =时，1812.530.5x =-+，得1x = …………………………………8分假设日利润为)L x （，则：)(0.56)(30.512.5)L x x x =--（，0.56 2.44x <<…10分当=1.5x 元时，有max)L x （。

2020-2021福州市高中必修一数学上期中试题附答案

2020-2021福州市高中必修一数学上期中试题附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 3．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．2B ．4C ．6D ．84．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③5．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，6．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（） A ．a c b >> B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(4,)+∞10．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____14．已知函数()32f x x x =+，若()()2330f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.16．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 17．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为．18．函数6()12log f x x =-的定义域为__________．19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 22．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.23．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m ，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？ 24．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}．（1）若p=12，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围． 25．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.26．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N 天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-.考点：集合的运算3．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =得2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．C解析：C 【解析】【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．5．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.6．C解析：C 【解析】【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.7．C解析：C 【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．8．C解析：C 【解析】【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.9．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.10．C解析：C 【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．B解析：B 【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．12．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则解析：()(),40,-∞-+∞U【解析】【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围．【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>，解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ，故答案为()(),40,-∞-+∞U ；【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．14．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内解析：(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内15．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 16．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+ 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.17．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值18．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：(0,6⎤⎦ 【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：06x ≤<，故函数()f x 的定义域为：(0,6⎤⎦．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R.(6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 19．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3【解析】令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3 三、解答题21．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ （2）1439t +< 【解析】【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；（2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果. 【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+ 当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈， ,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -=当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当232x ππ+=时，4sin 42π= 要使()12t f x -=有两个根，则12342t -≤<，得1439t +≤< 即实数t 的取值范围是1439t +<【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤），则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+，函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=，103m ∴>，故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.23．当底面的长宽分别为3m ，4m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元【解析】设房屋地面的长为米，房屋总造价为元.24．（1）722x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）3 4.2p p ><-或【解析】【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ，分B 为空集和不为空集两种情况即可.【详解】（1）当时，B={x |0≤x ≤}， ∴A∩B={x |2＜x ≤}；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ；当时，令2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；当时，应满足解得；即综上，实数p 的取值范围．【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．25．（1）{}11x x -<<（2）函数()f x 为奇函数，证明见解析（3）{}01x x <<【解析】【分析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得出答案。

第四关以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题-(原卷版)

压轴填空题第四关以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一几何体在变化过程中体积的最值问题典例1．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E BCD -体积的取值范围是___________.【来源】山东省菏泽市2021-2022学年高三上学期期末数学试题【举一反三】如果一个棱锥底面为正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥称为正棱锥.已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为1的球，则当此正四棱锥的体积最大时，其高为_____类型二几何体的外接球或者内切球问题典例2．已知正三棱锥S ABC -的底面边长为32P ，Q ，R 分别是棱SA ，AB ，AC 的中点，若PQR 是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【来源】陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题【举一反三】已知菱形ABCD 中，对角线23BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC 33= ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________. 【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题类型三立体几何与函数的结合典例3. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______． ①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②M 的面积最大值为334； ③M 的周长为定值．【来源】江西省九江市2022届高三第一次高考模拟统一考试数学（理）试题【举一反三】如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．【来源】百校联盟2020-2021学年高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题类型四立体几何中的轨迹问题典例4. 已知P 为正方体1111ABCD A B C D -表面上的一动点，且满足2,2PA PB AB ==，则动点P 运动轨迹的周长为__________.【来源】福建省莆田市2022届高三第一次教学质量检测数学试题【举一反三】在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，棱1BB ，11B C 的中点分别为E ，F ，点P 在平面11BCC B 内，作PQ ⊥平面1ACD ，垂足为Q ．当点P 在1EFB △内（包含边界）运动时，点Q 的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【来源】浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末教学质量检测数学试题【精选名校模拟】1．已知在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为___________. 【来源】江苏省南通市2020-2021高三下学期一模试卷2．已知二面角PAB C 的大小为120°，且90PAB ABC ∠=∠=︒，AB AP =，6AB BC +=.若点P 、A 、B 、C 都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.【来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中数学试题3．四面体A BCD -中，AB BC ⊥，CD BC ⊥，2BC =，且异面直线AB 和CD 所成的角为60︒，若四面体ABCD 的外接球半径为5，则四面体A BCD -的体积的最大值为_________. 【来源】浙江省宁波市镇海中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题4．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且43,4,26,62AB AD EH EF ====，点E 到平面ABCD 距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【来源】江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期12月阶段性调研测试数学试题5．已知正三棱柱111ABC A B C -的外接球表面积为40π，则正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和的最大值为______．【来源】河南省中原名校2020-2021学年高三第一学期数学理科质量考评二6．已知体积为72的长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，且13BC BB =，点M 是线段BC 的中点，点N 在矩形11DCC D 内运动（含边界），且满足AND CNM ∠=∠，则点N 的轨迹的长度为______. 【来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）文科数学试卷7．矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中BD 的长度在710,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【来源】江苏省无锡市江阴市青阳中学2020-2021学年高三上学期1月阶段检测数学试题8．如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，BC =2，AB =CD =23，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_________.【来源】山东省新高考2020-2021学年高三上学期联考数学试题9．已知三棱锥P ABC -外接球的表面积为100π，PB ⊥平面ABC ，8PB =，120BAC ∠=︒，则三棱锥体积的最大值为________.【来源】江苏省徐州市三校联考2020-2021学年高三上学期期末数学试题10．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且内接于球O ，若此三棱柱111ABC A B C -的高为2，体积是1，则球O 的半径的最小值为___________.【来源】广西普通高中2021届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学（理）试题11．如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，P 为棱11A D 的中点，且6PA AB ==，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为______.【来源】2021年届国著名重点中学新高考冲刺数学试题（7）12．如图所示，在三棱锥B ACD -中，3ABC ABD DBC π∠=∠=∠=，3AB =，2BC BD ==，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为______.【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（理）试题13．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，23PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考数学试题14．已知A ，B ，C ，D 205的球体表面上四点，若4AB =，2AC =，23BC =且三棱维A BCD -的体积为23CD 长度的最大值为________．【来源】福建省四地市2022届高三第一次质量检测数学试题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB ⊥AD ，22CD AD AB ===，3PA =，若动点Q 在PAD △内及边上运动，使得CQD BQA ∠=∠，则三棱锥Q ABC -的体积最大值为______.【来源】八省市2021届高三新高考统一适应性考试江苏省无锡市天一中学考前热身模拟数学试题16．已知正三棱锥A BCD -的底面是边长为23其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F 、M 、N 三点，则FMN 的周长为______．【来源】湖南省常德市2021-2022学年高三上学期期末数学试题17．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【来源】山东省威海市2021-2022学年高三上学期期末数学试题18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱1BB ，1CC ，1DD 交于点E ，F ，G ，记四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为2S .给出下面四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S +的最大值为2； ③12S S 的最大值为14；④四边形AEFG 6则其中所有正确结论的序号是___________.【来源】北京西城区2022届高三上学期期末数学试题196，在该圆柱内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a 的最大值为__________．【来源】河南省郑州市2021-2022学年高三上学期高中毕业班第一次质量预测数学（文）试题20．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.【来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题21．体积为8的四棱锥P ABCD -的底面是边长为22底面ABCD 的中心为1O ，四棱锥P ABCD -的外接球球心O 到底面ABCD 的距离为1，则点P 的轨迹长度为_______________________．22．如图，在ABC 中，2BC AC =，120ACB ∠=︒，CD 是ACB ∠的角平分线，沿CD 将ACD △折起到A CD'△的位置，使得平面A CD '⊥平面BCD ．若63A B '=，则三棱锥A BCD '-外接球的表面积是________．【来源】河南省2021-2022学年高三下学期开学考试数学理科试题23．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．【来源】辽宁省营口市2021-2022学年高三上学期期末数学试题24．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点，F 是1CC 上的动点，则三棱锥A DEF -外接球表面积的最小值为_______.【来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题25．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11,B C CD 上的动点(包含端点)，则下列说法正确的是___________．①当M 为棱11B C 的中点时，则在棱CD 上存在点N 使得MN AC ⊥；②当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行；③当M ，N 分别为棱11,B C CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形； ④直线MN 与平面ABCD 2；⑤若正方体的棱长为2，点1D 到平面1A MN 2．【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期1月阶段性考试理科数学试题11。

2020-2021学年福州市八县(市)一中高二上学期期中数学试卷及答案解析

2020-2021学年福州市八县（市）一中高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.一个单位有职工120人，其中有业务员100人，管理人员20人，要从中抽取一个容量为12的样本，用分层抽样的方法抽取样本，则在12人的样本中应抽取管理人员人数为()A. 12B. 10C. 2D. 62.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A. 至少有一个白球；至少有一个红球B. 至少有一个白球；红、黑球各一个C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球D. 至少有一个白球；都是白球3.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为√74，面积为12π，则椭圆C的方程为()A. x23+y24=1 B. x29+y216=1 C. x24+y23=1 D. x216+y29=14.在区间[−√2,√2]中随机取一个实数k，则事件“直线y=kx与圆(x−3)2+y2=1相交”发生的概率为()A. 12B. 14C. 16D. 185.如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为()A. 25B. 35C. 2√35D. 2√556.已知斜率为k=1的直线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A、B两点，若A、B的中点为M(1,3)，则双曲线的渐近线方程为()A. x±√3y=0B. √3x±y=0C. x±2y=0D. 2x±y=07.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位，运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地服务，要求每个人都要被派出去服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙不在同一组的概率是()A. 110B. 710C. 310D. 9108.椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线Ω：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)焦点相同，F焦点，曲线Γ与Ω在第一象限，第三象限的交点分别为A、B，且∠AFB=2π3，则当这两条曲线的离心率之积最小时，双曲线有一条渐近线的方程是()A. x−2y=0B. 2x−y=0C. x−√2y=0D. √2x+y=0二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.28.甲、乙两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是()A. 甲、乙两人的各科成绩的平均分相同B. 甲成绩的中位数是83，乙成绩的中位数是85C. 甲各科成绩比乙各科成绩稳定D. 甲成绩的众数是89，乙成绩的众数是8710.若a，b，c为实数，下列说法正确的是A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a<b<0，则a2>ab>b2C. “关于x的不等式ax2+bx+c≥0恒成立”的充要条件是“a>0，b2−4ac≤0”D. “a<1”是“关于x的方程x2+x+a=0有两个异号的实根”的必要不充分条件11.根据如下样本数据：x345678y 4.0 2.5−0.50.5−2.0−3.0得到了回归方程ŷ=b̂x+â，则()A. â>0B. b̂>0C. b̂<0D. â<012.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24−y212=1，则()A. 实轴为2B. 渐近线为y=±√3xC. 离心率为2D. 一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某印刷厂的工人师傅为了了解96个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对96个印张进行编号为：01，02，03，…，96，已知抽取的印张中最小的两个编号为07，15，则抽取的印张中最大的两个编号为________．14.命题“∃x∈R，使x2−ax+1<0”是真命题，则a的取值范围是______．15.下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽____米．16.抛物线y2=4x的焦点为F，过点(0,3)的直线与抛物线交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点D，若|AF|+|BF|=6，则点D的横坐标为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：“直线x +y −m =0与圆(x −1)2+y 2=1相交”；命题q ：“方程mx 2−2x +1=0有实数解”.若“p ∨q ”为真，“￢q ”为真，求实数m 的取值范围．18. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，其焦点F 与双曲线x 2−y 23=1的右焦点重合。

福建省福州市八县(市)协作校2022-2023学年高一上学期期中语文试题 Word版含解析

C.知明而行无过矣积善成德，而神明自得
D.其闻道也固先乎吾吾未见其明也
【答案】D
【解析】
【详解】本题考查学生理解文言虚词在文中的意义和用法的能力。
A.介词，相当于“向”；介词，表比较。句意：君子的资质秉性跟一般人没什么不同，（只是君子）善于借助外物罢了。/靛青是从蓝草里提取的，可是比蓝草的颜色更深。
A.“说”是一种议论文的文体，可以先叙后议，也可夹叙夹议。“说”，古义为陈述和解说，因而对这类文题，可按“解说……的道理”来理解。
B.发表于1982年的短篇小说《哦，香雪》是铁凝的成名作。此后，她的作品开始关注女性生存话题，在大背景中展现人物成长与情感历程。
C.荀子，名况，字卿，战国末期赵国人。先秦法家学派的代表人物之一，李斯和韩非都是他的学生。
【答案】C
【解析】
【详解】本题考查学生理解文言实词在文中的意义和用法的能力。
A.“韵”，指气质、性格、情趣、韵味等。句意：少小时就没有随俗气韵。
B.“学者”，古指求学的人。句意：古代求学的人必定有老师。
D.“厌”，通“餍”，满足。句意：大海不弃涓流才见壮阔。
故选C。
4.下列各项词类活用与例句相同的一项是（）
A.判断句，“……者，……”表判断。句意：老师，是用来传授道、教授学业、解释疑难问题的。
B.定语后置句，正常语序为“千里马”。句意：（日行）千里的马。
C.被动句，“于”，介词，表被动。句意：不受时俗的拘束。
D.宾语前置句，正常语序为“吾与谁归”。句意：如果没有这种人，我同谁一路呢。
故选B。
7.下列有关文学常识的说法不正确的一项是（）
例句：假舟楫者，非能水也。
A.君子博学而日参省乎己B.上食埃土
C.孔子师郯子、苌弘、师襄、老聃D.方其破荆州，下江陵

2020-2021学年第一学期高一数学期中考试联考试卷福建省

2020-2021学年高一第一学期期中数学（时间: 120分钟，满分: 150 分）一.选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1.已如集合M={-1，1，3， 5}， N=(-2，1，2，3，5} 则M ∩N=（）A. {-1，1，3}B.{1，2，5)C.{1，3, 5}D. ∅2.已知幂函数y= f(x)的图像过(36, 6),则此幂函数的解析式是（） A.31x y = B. 3x y = C.21x y = D. 2x y = 3.函数112)(2--=x x x f 的定义城为（） A.),21[+∞ B. (1+∞) C. )∞(1,+)21(-1, ⋃ D. )∞,1)U(1,+21[4.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A.0>1+2x +x R,∈x 2∀B.所有菱形的4条边都相等C.若2x 为偶数，则x ∈ND.π是无理数5.设x ∈R ，则“|x-3|<1"是“x>2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知x ，Y 都是正数，xy=1,则yx 41+的最小值为( ) A.3 B. 4 C. 5 D.67. 定义在R 上的偶函数f(x)满足:对任意的2121),,0[,x x x x ≠+∞∈,有0)]()()[(1212<--x f x f x x ，则（）A. f(3)<f(-2)<f(1)B. f(1)<f(-2)<f(3)C. f(3)<f(1)<f(-2)D. f(-2)<f(1)<f(3)8.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2)，且当x ∈[-2,0) 时，491)(++=x x x f ，若对任意的m ∈[m ，+∞)，都有31≤f(x)，则m 的取值范围为（） ),511.[+∞-A ),310.[+∞-B ),25.[+∞-C ),411.[+∞-D 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分，)9.若集合A={x|x 2-3x=0,则有（）A. 0⊆AB.{3}∈AC. {0,3}⊆AD.A ⊆{y|y<4}10.下列各组的数表示不同函数的是（） A.f （x ）=2x ，g （x ）=|x|11)(,1)(.)()(,)(.)(,1)(.2220--=+=====x x x g x x f D x x g x x f C x x g x f B11.若非零实数a ，b 满足a<b ，则下列不等式不一定成立的是（） A.1<b a B.2≥+b a a b C.2211baab < D.b b a a +<+22 12.对x ∈R, [x] 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列结论中正确的是（）A. 任意x ∈R, x<[x]+1B. y=[x]，x ∈R 的图像关于原点对称C.函数y=x-[x]，(x ∈R)，y 的取值范围为[0,1)D. 任意x,y ∈R, [x]+[y]≤[x+y]恒成立三填空愿(每小题5分，共20分)13. 命题“21)21(,100≥>∃x x ”的否定是： ; 14.已知函数⎩⎨⎧>-<+0,40x 4,x =f(x)x x 则f[f(-3)]的值： ;15.若函数f （x ）=a ax x ++2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是： ;16.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收人的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少2.5t 万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收人每年不少于900万元，求实数t 的取值范围 ;四.解答题:本大题共6小题，共70分。

2020-2021学年福州市八县(市)一中高二上学期期中数学试卷及答案解析

2020-2021学年福建省福州市八县(市)一中高二上学期期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年福建省福州市八县（市）一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（）A．32人B．56人C．104人D．112人2．（5分）袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（）A．至少有一个白球；全部都是红球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；恰有一个红球D．恰有一个白球；全部都是红球3．（5分）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．4．（5分）在区间上任取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P（2，4），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．7．（5分）第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行．某电视台在19日至24日六天中共有7场直播（如表所示），张三打算选取其中的三场观看．则观看的任意两场直播中间至少间隔一天（如第一场19日观看直播则20日不能观看直播）的概率是（）日期19日20日21日22日23日24日时间全天全天上午下午全天全天全天内容飞行比赛击剑射击游泳篮球定向越野障碍跑A．B．C．D．8．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（）A．4B．2C．2D．3二、多项选择题（共4小题）9．（5分）某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（）A．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分B．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散C．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数D．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数10．（5分）下列说法中错误的是（）A．“m＝8”是“椭圆+＝1的离心率为”的充要条件B．设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，则xy≠0”是真命题C．“﹣4＜k＜2”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D．命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是真命题11．（5分）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（）x23456y1925★3844A．看不清的数据★的值为34B．回归直线必经过样本点（4，★）C．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨D．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的方程为C．k1k2为定值D．存在点P，使得k1+k2＝2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：01，02，03，…，112，已知抽取的印张中最小的两个编号为05，13，则抽取的印张中最大的编号为．14．（5分）已知命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1≤0”是真命题，则a的取值范围为．15．（5分）某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是．16．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A（2，4），过点F的动直线l与抛物线交于M，N不同的两点，点M在y轴上的射影为点B，设直线KM，KN的斜率分别为k1和k2.则|MA|+|MB|的最小值为，k1+k2的值为．四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：对于任意x∈R，不等式4x2﹣4（m﹣2）x+1＞0恒成立．命题q：实数m满足的方程表示双曲线；（1）当a＝2时，若“p或q”为真，求实数m的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合．（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段AB的长度．19．（12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如表所示：星期12345单支售价x（元） 1.4 1.6 1.82 2.2销售量y（支）1311763（1）根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量×单支售价﹣日销售量×单支进价）最大，在（1）的前提下应该如何定价？（其中：回归直线方程，，，）20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，且经过点Q．直线l过右焦点且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为M．（1）点P在椭圆C上，求的取值范围；（2）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；21．（12分）为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A等级，排名等级占比7%，分数区间是83﹣100；B等级，排名等级占比33%，分数区间是71﹣82；C等级，排名等级占比40%，分数区间是59﹣70；D等级，排名等级占比15%，分数区间是41﹣58；E等级，排名等级占比5%，分数区间是30﹣40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值；（2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50）和[50，60）内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中至少一人原始成绩在[40，50）内的概率．22．（12分）如图所示，已知圆上有一动点Q，点F2的坐标为（1，0），四边形QF1F2R为平行四边形，线段F1R的垂直平分线交F2R于点P，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F2的直线l与曲线C有两个不同的交点A，B，问是否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（）A．32人B．56人C．104人D．112人解：设该单位的职工中业务员有x人，∵业务员和管理人员构成的职工160人，抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，∴＝，∴x＝104，故选：C．2．（5分）袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（）A．至少有一个白球；全部都是红球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；恰有一个红球D．恰有一个白球；全部都是红球解：袋内装有8个红球、2个白球，从中任取2个，对于A，至少有一个白球和全部都是红球是对立事件，故A错误；对于B，至少有一个白球和至少有一个红球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；对于C，恰有一个白球；恰有一个红球同时发生，不是互斥事件，故C错误；对于D，恰有一个白球和全部都是红球，不能同时发生，是互斥而不对立事件，故D正确．故选：D．3．（5分）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C的面积为，且离心率为，则C的标准方程为（）A．B．C．D．解：由题意可得＝，＝ab，即ab＝2，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为：，故选：A．4．（5分）在区间上任取一个数k，使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为（）A．B．C．D．解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0）圆心到直线y＝k（x+3）的距离为，要使直线y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交，则＜1，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣，]上随机取一个数k，使y＝k（x+3）与圆x2+y2＝1相交的概率为＝．故选：D．5．（5分）永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知2a＝25.5，2b＝20.4，则c＝＝＝，所以椭圆的离心率为：e＝＝＝，故选：B．6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P（2，4），则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为P（2，4），则，，两式作差可得：，∴＝＝1，则＝1，得，∴．则双曲线C的渐近线方程是y＝±x，故选：C．7．（5分）第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行．某电视台在19日至24日六天中共有7场直播（如表所示），张三打算选取其中的三场观看．则观看的任意两场直播中间至少间隔一天（如第一场19日观看直播则20日不能观看直播）的概率是（）日期19日20日21日22日23日24日时间全天全天上午下午全天全天全天内容飞行比赛击剑射击游泳篮球定向越野障碍跑A．B．C．D．解：根据题意，一共7场比赛，从中任选3场，有C73＝35种情况，若观看的任意两场直播中间至少间隔一天，分2种情况讨论：若在21日观看直播，则21号有2种选法，第一场必须在19日，第三场可以在23日或24日，有2×2＝4种选法，若不在21日观看直播，第一场在19日或20日，第二场、第三场必须为22日和24日，有2种选法，则符合题意的选法有4+2＝6种，故其概率P＝，故选：B．8．（5分）已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P，Q分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且∠QF2P＝60°，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则等于（）A．4B．2C．2D．3解：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，P在双曲线的右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，可得|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，设|F1F2|＝2c，∠QF2P＝60°，∠F1PF2＝120°，在△PF1F2中由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos 120°，化简得3a12+a22＝4c2，该式可化为：，结合e1＝，e2＝，∴则＝4．故选：A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分.）9．（5分）某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（）A．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分B．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散C．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数D．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数解：由茎叶图可知，甲组数据集中在60分以上，而乙组数据比较分散，可知甲组的平均分数高于乙组，故A正确，B错误；甲组的中位数为77，乙组中位数为64，故C正确；甲组的众数为79，乙组众数为64，故D错误；故选：AC．10．（5分）下列说法中错误的是（）A．“m＝8”是“椭圆+＝1的离心率为”的充要条件B．设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，则xy≠0”是真命题C．“﹣4＜k＜2”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D．命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是真命题解：“椭圆+＝1的离心率为”，可得＝或，所以m＝8或m＝2，所以A不正确；设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，不妨x＝1，y＝0，但是xy＝0”，所以设x，y∈R，命题“若x2+y2≠0，则xy≠0”是假命题，所以B不正确；“﹣4＜k＜2”推不出“方程表示的曲线为椭圆”，反之成立，所以“﹣4＜k＜2”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件，所以C正确；命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣4x+3≠0，不正确，因为x＝1时，x2﹣4x+3＝0，所以命题“若x＝3，则x2﹣4x+3＝0”的否命题是假命题，所以D不正确；故选：ABD．11．（5分）某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为，下列说法正确的是（）x23456y1925★3844A．看不清的数据★的值为34B．回归直线必经过样本点（4，★）C．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨D．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨解：设看不清的数字为a，计算＝×（2+3+4+5+6）＝4，＝×（19+25+a+38+44）＝，代入回归直线方程中，得＝6.3×4+6.8，解得a＝34，所以＝32；所以看不清的数据★的值为34，A正确；又回归直线过样本点（4，32），所以B错误；回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗预测增加6.3吨，所以C错误；x＝7时，＝6.3×7+6.8＝50.9，所以据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨，D正确．故选：AD．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，A，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为y＝±2xB．双曲线C的方程为C．k1k2为定值D．存在点P，使得k1+k2＝2解：∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，∴e＝，，渐近线方程为y＝，故A错误；又c＝，则a＝2，b2＝1，则双曲线方程为，故B正确；∵A（﹣2，0），B（2，0），设P（x，y），则＝，故C 正确；＝，∵点P在第一象限，渐近线方程为y＝，∴0＜k OP＜，则＞2，∴k1+k2＞1，即存在点P，使得k1+k2＝2，故D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：01，02，03，…，112，已知抽取的印张中最小的两个编号为05，13，则抽取的印张中最大的编号为109．解：已知抽取的最小的两个编号为05，13．则样本间隔为13﹣5＝8，则抽样样本数为112÷8＝14个，则抽取的学生中最大的编号5+8×13＝109，故答案为：109．14．（5分）已知命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1≤0”是真命题，则a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．解：命题“∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1≤0”是真命题，则△＝（a﹣1）2﹣4≥0，整理得a2﹣2a﹣3≥0，解得a≥3或a≤﹣1．故a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．15．（5分）某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是 3.84米．解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），∵过定点B（10，﹣4），代入x2＝﹣2py，得p＝．∴x2＝﹣25y．当x＝2时，y＝，∴最长支柱长为4﹣|y|＝4﹣＝3.84（m），故答案为：3.84米．16．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A（2，4），过点F的动直线l与抛物线交于M，N不同的两点，点M在y轴上的射影为点B，设直线KM，KN的斜率分别为k1和k2.则|MA|+|MB|的最小值为﹣1，k1+k2的值为0．解：如图，抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，K（﹣1，0），设M在准线上的射影为H，由抛物线的定义可得|MF|＝|MH|＝|MB|+1，即|MB|＝|MF|﹣1，则|MA|+|MB|＝|MA|+|MF|﹣1≥|AF|﹣1＝﹣1＝﹣1，当A，M，F三点共线时取得最小值﹣1；设过F的直线方程为x＝my+1，与抛物线y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设M，N的纵坐标分别为y1，y2，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则k1+k2＝+＝＝0，故答案为：﹣1，0．四、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知命题p：对于任意x∈R，不等式4x2﹣4（m﹣2）x+1＞0恒成立．命题q：实数m满足的方程表示双曲线；（1）当a＝2时，若“p或q”为真，求实数m的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．解：（1）若命题p为真命题，则Δ＝16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3…（1分）当a＝2时，命题q：2＜m＜4……………………………………………………（2分）因为p或q为真，所以p真或q真…………………………………………………（3分）所以：1＜m＜3或2＜m＜4得：1＜m＜4………………………………………（5分）（2）若命题q为真命题，则a＜m＜2a……………………………………………（6分）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件………………（7分）所以：得：………………………………………………………（9分）经检验符合，所以a的取值范围为：………………………………………（10分）18．（12分）已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的一个焦点重合．（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段AB的长度．解：（1）设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），由题设所以①，又点在双曲线上，所以②由①②解得a2＝9，b2＝3，故双曲线标准方程为；设双曲线的焦距为2c，因为c2＝a2+b2＝12，得，所以抛物线焦点为，即，所以抛物线的标准方程为．（2）设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），联立得即，故，由抛物线定义知，，所以．19．（12分）小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x元和销售量y支之间的数据如表所示：星期12345单支售价x（元） 1.4 1.6 1.82 2.2销售量y（支）1311763（1）根据表格中的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润（日销售量×单支售价﹣日销售量×单支进价）最大，在（1）的前提下应该如何定价？（其中：回归直线方程，，，）解：（1）因为，，所以＝＝，则＝8﹣（﹣12.5）×1.8＝30.5．所以，回归直线方程为．（2）当y＝18时，18＝﹣12.5x+30.5，得x＝1，假设日利润为L（x），则：L（x）＝（x﹣0.56）（30.5﹣12.5x），0.56＜x＜2.44，当x＝1.5元时，有L（x）max．答：单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，且经过点Q．直线l过右焦点且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个不同的交点A，B，线段AB的中点为M．（1）点P在椭圆C上，求的取值范围；（2）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；解：（1）因为焦距2c＝2，则c＝1，所以左焦点F1（﹣1，0），右焦点F2（1，0），则2a＝|QF1|+|QF2|＝＝2，所以，所以a2＝2，b2＝1，所以椭圆方程为．设点P（x，y），则＝（﹣1﹣x，﹣y）•（1﹣x，﹣y）＝x2﹣1+y2＝＝．因为，所以的取值范围为：[0，1]．（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），联立消去y得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，其中：2k2+1＞0，Δ＞0，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），M为线段AB的中点，则x1+x2＝，所以＝，y M＝k（x M﹣1）＝，所以＝，所以k OM×k l＝为定值．21．（12分）为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A等级，排名等级占比7%，分数区间是83﹣100；B等级，排名等级占比33%，分数区间是71﹣82；C等级，排名等级占比40%，分数区间是59﹣70；D等级，排名等级占比15%，分数区间是41﹣58；E等级，排名等级占比5%，分数区间是30﹣40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值；（2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50）和[50，60）内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中至少一人原始成绩在[40，50）内的概率．解：（1）由题意（0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，所以a＝0.030．（2）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为7%+33%+40%＝80%，假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，则有：（0.010+0.015+0.015+0.03）×10+（x﹣80）×0.025＝0.8，所以x＝84（分），故原始分不少于84分才能达到赋分后的C等级及以上．（3）由题知评分在[40，50）和[50，60）内的频率分别为0.1 和0.15，则抽取的 5 人中，评分在[40，50）内的有 2 人，评分在[50，60）的有 3 人，记评分在[50，60）内的 3 位学生为a，b，c，评分在[40，50）内的 2 位学生为D，E，则从5 人中任选 2 人的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，D），（a，E），（b，c），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E）共10 种，其中，这2 人中至少一人评分在[40，50）内可能结果为：（a，D），（a，E），（b，D），（b，E），（c，D），（c，E），（D，E），共7 种，所以这2 人中至少一人评分在[40，50）的概率为：P＝．22．（12分）如图所示，已知圆上有一动点Q，点F2的坐标为（1，0），四边形QF1F2R为平行四边形，线段F1R的垂直平分线交F2R于点P，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F2的直线l与曲线C有两个不同的交点A，B，问是否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（1）|PF1|+|PF2|＝|PR|+|PF2|＝|RF2|＝|QF1|＝4＞|F1F2|；所以点P的轨迹C是以F1F2为焦点，以4为长轴长的椭圆所以2a＝4得a＝2，半焦距c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝13，轨迹C的方程为：，经检验，轨迹C的方程为：（y≠0）．（2）显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my+1，由消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1y2＝，不妨设y1＞0，y2＜0，＝＝，同理＝，所以＝＝＝＝＝＝，即，所以存在实数使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立．。

福建省福州市2022-2021学年高一数学上学期期中联考试题(含解析)

福建省福州市2020-2021学年高一上学期期中联考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求。

1.集合A＝{1，3}，B＝{x|2≤x≤5，x∈Z}，则A∩B＝（）A. {1}B. {3}C. {1，3}D. {2，3，4，5}【答案】B【解析】【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【详解】集合A＝{1，3}，B＝{x|2≤x≤5，x∈Z}＝{2，3，4，5}，则A∩B＝{3}．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.下列函数中哪个与函数y＝x相等（）A. y ＝（）2 B. y C. y D. y【答案】C【解析】【分析】可看出y＝x的定义域为R，通过求定义域可得出选项A，B的两函数的定义域和y＝x的定义域都不相同，从而判断A，B都错误．而通过化简选项D的函数解析式，可得出D的解析式和y＝x不同，从而判断D也错误，只能选C．【详解】y＝x的定义域为R；A .的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，与y＝x不相等；B.的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不相等；C.的定义域为R，且解析式相同，与y＝x相等；D.，解析式不同，不相等．故选：C．【点睛】本题考查函数的定义，判断两函数是否相等的方法：定义域和解析式是否都相同．3.若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是减函数，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得f（2）＝f（﹣2），结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，f（x）为偶函数，则f（2）＝f（﹣2），又由函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是减函数，则f（﹣1）＜f（）＜f（﹣2），即f（﹣1）＜f（）＜f（2），故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用奇偶性分析函数值的关系，属于基础题．4.三个数a＝0.312，b＝log20.31，c＝20.31之间大小关系为（）A. a＜c＜bB. a＜b＜cC. b＜a＜cD. b＜c＜a 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【详解】∵0＜0.312＜0.310＝1，log20.31＜log21＝0，20.31＞20＝1，∴b＜a＜c．【点睛】熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键．5.若2x＝3，则x等于（）A. log32B. lg2﹣lg3C.D.【答案】D【解析】【分析】化指数式为对数式，再由换底公式得答案．【详解】由2x＝3，得x．故选：D．【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查换底公式的应用，是基础题．6.函数f（x）的零点所在的大致区间（）A. （0，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理，验证所给的区间的两个端点处的函数值是同号还是异号即可．【详解】∵函数f（x），在x＞0时，是连续函数且为增函数，f（1）＝1﹣2＝﹣1＜0，f（2）＝e﹣1＞0，∴函数的零点在（1，2）上，故选：B．【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，考查了函数单调性的应用，属于基础题．7.设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则集合B的子集个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】由题意知1是方程x2﹣4x+m＝0的实数根，求出m的值和集合B，即知集合B的子集个数．【详解】集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}，若A∩B＝{1}，则1是方程x2﹣4x+m＝0的实数根，∴m＝4﹣1＝3，∴集合B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{x|x＝1或x＝3}＝{1，3}，∴集合B的子集有22＝4（个）．故选：D．【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．8.若f（x），则f（x）的定义域为（）A. （）B. （）C. （）D. （）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【详解】由，得x且x≠1．∴f（x）的定义域为（）∪（1，+∞）．故选：D．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．9.函数y的图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性，单调性再带入特殊点即可选出答案．【详解】函数y是奇函数，排除B，C；当x时，x2﹣1＜0，∴y0，图象在x轴的下方．排除D；故选：A．【点睛】本题考查了函数图象的识别，利用函数的性质及特殊函数值进行排除是解决此类问题的常见方法，是基础题．10.某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：x 1.99 2.8 4 5.1 8y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00现有如下4个模拟函数：①y＝0.6x﹣0.2；②y＝x2﹣55x+8；③y＝log2x；④y＝2x﹣3.02．请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反应这些数据的规律，应选（）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C【解析】【分析】根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律．【详解】根据表中数据，画出图象如下：通过图象可看出，y＝log2x能比较近似的反应这些数据的规律．故选：C．【点睛】本题考查画函数图象的方法：列表，描点，连线，熟悉对数函数、指数函数、一次函数和二次函数的图象是关键．11.已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣6在[2，8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A. （4，16）B. [4，16]C. [16，+∞）D. （﹣∞，4]∪[16，+∞）【答案】D【解析】【分析】根据题意，求出二次函数f（x）的对称轴，结合二次函数的性质可得2或8，解可得k 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）＝x2﹣kx﹣6的对称轴为x，若f（x）在[2，8]上是单调函数，必有2或8，解可得：k≤4或k≥16，即k的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）；故选：D．【点睛】本题考查二次函数单调性的性质，注意二次函数的性质，属于基础题．12.已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）＝f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．给出下列四个结论：①f（0）＝0；②f（x）为偶函数；③f（x）为R上减函数；④f（x）为R上增函数．其中正确的结论是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【解析】【分析】根据题意，令y＝x＝0计算f（0）的值，判断①正确；令y＝﹣x，得出f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）是奇函数，判断②错误；根据x＞0，f（x）＜0，x＝0时f（x）＝0，x＜0时，f（x）＞0，判断f（x）为R上的减函数，③正确，④错误．【详解】对于①，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，①正确；对于②，令y＝﹣x，则f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）是奇函数，②错误；对于③，当x＞0，f（x）＜0，令＜，f（）﹣f（）＝f（﹣）＜0，∴f（）＜f（），∴f（x）为R上的减函数，③正确；对于④，f（x）为R上增函数，④错误．综上，其中正确的结论是①③．故选：A．【点睛】本题考查了抽象函数的性质与应用问题，要注意抽象函数的性质证明要紧扣定义，是基础题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，）则f（3）＝__________【答案】【解析】【分析】求出幂函数的解析式，然后求解f （3）的值．【详解】因为幂函数y ＝f （x ）的图象经过点（2，），所以幂函数的解析式为：f （x ），则f （3）．故答案为：．【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．14.已知集合A ＝{x |2x +1＜0}，B ＝{x |2x ≤1}，则A ∪B ＝__________ 【答案】【解析】【分析】可求出A ，B ，然后进行并集的运算即可．【详解】，B ＝{x |x ≤0}； ∴A ∪B ＝{x |x ≤0}．故答案为：（【点睛】本题考查描述法的定义，考查了指数函数的单调性的应用及并集的运算，属于基础题．15.已知函数f （x ），则______________.【答案】【解析】【分析】先利用分段函数及对数运算求出f （），再由指数的运算求出．【详解】∵函数f （x ），∴f（）2，∴f（﹣2）＝2﹣2．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数性质的合理运用．16.若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x恒有f（x）+f（﹣x）＝0，②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有0，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中①f（x）；②f（x）；③f（x）；④f（x），能被称为“理想函数”的有_______________（填相应的序号）．【答案】③④【解析】【分析】由题意可得f（x）为定义域上的奇函数和减函数，可得f（x）为“理想函数”，对四个函数，分别考虑其奇偶性和单调性，即可得到正确结论．【详解】由题意可得f（x）为定义域上的奇函数和减函数，可得f（x）为“理想函数”，由①f（x）为{x|x≠0}的奇函数，在x＞0，x＜0函数递减，不为“理想函数”；由②f（x），可得f（﹣x）＝f（x），即f（x）为偶函数，不为“理想函数”；由③f（x）（﹣1＜x＜1），f（﹣x）+f（x）＝log2log2log21＝0，可得f（x）为﹣1＜x＜1的奇函数，且0＜x＜1时，f（x）＝log2（1）递减，即有f（x）在（﹣1，1）递减，为“理想函数”；对于④f（x），即f（x）＝﹣x|x|，可得f（x）为R上的奇函数，且为减函数，故④为“理想函数”．故答案为：③④．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.化简求值（1）；（2）lg lg25+ln．【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）利用指数运算性质即可得出．（2）利用对数运算性质即可得出．【详解】（1）原式3＝2+3﹣2＝3．（2）原式2．【点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.已知集合A＝{x|1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆B，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∪B＝{x|1＜x＜10},（∁R A）∩B＝{x|6≤x＜10} ；（2）.【解析】【分析】（1）进行并集、交集和补集的运算即可；（2）根据C⊆B，可讨论C是否为空集：C＝∅时，5﹣a≥a；C≠∅时，，这样即可得出实数a的取值范围．【详解】（1）∵A＝{x|1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜10}，A∪B＝{x|1＜x＜10}，∁R A＝{x|x≤1，或x≥6}；∴（∁R A）∩B＝{x|6≤x＜10}；（2）∵C⊆B；①C＝∅时，5﹣a≥a；∴；②C≠∅时，则；解得；综上得，a≤3；∴a的取值范围是（﹣∞，3]．【点睛】本题考查描述法的定义，交集、并集和补集的运算，以及子集的定义，考查了分类讨论思想，属于基础题．19.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）＝x2+2x．现已画出函数f （x）在y轴左侧的图象如图所示，（1）画出函数f（x），x∈R剩余部分的图象，并根据图象写出函数f（x），x∈R的单调区间；（只写答案）（2）求函数f（x），x∈R的解析式．【答案】（1）图象见解析；递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；增区间为（﹣1，1）；（2）f（x）．【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质结合函数f（x）在y轴左侧的图象，即可补充函数图象，据此写出函数的单调区间即可得答案；（2）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＞0时，则﹣x＜0，由函数的解析式可得f（﹣x），结合奇函数的性质可得f（x）的解析式，综合即可得答案．【详解】（1）根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则其图象如图：其递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞）；增区间为（﹣1，1）；（2）根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，满足f（x）＝x2+2x；当x＞0时，则﹣x＜0，则f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x，综上：f（x）．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，关键是补充函数的图象，属于基础题．20.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5（A+1）进行奖励．记奖金y（单位：万元），销售利润x（单位：万元）（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型；（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元．【答案】（1）见解析；（2）老张的销售利润是34万元.【解析】（1）直接由题意列出分段函数解析式；（2）由y＝5.6，可知x＞10，代入第二段函数解析式求解．【详解】（1）由题意得；（2）由x∈（0，10]，0.16x≤1.6，而y＝5.6，∴x＞10．因此1.6+2log5（x﹣9）＝5.6，解得x＝34（万元）．∴老张的销售利润是34万元．【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，考查了分段函数的求值问题，是基础的计算题．21.已知二次函数f（x）＝x2+bx+c有两个零点1和﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x），试判断函数g（x）在区间（﹣1，1）上的单调性并用定义证明；（3）由（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上，若实数t满足g（t﹣1）﹣g（﹣t）＞0，求t的取值范围．【答案】（1）f（x）＝x2﹣1；（2）见解析；（3）（0，）.【解析】【分析】（1）由题意可得﹣1和1是方程x2+bx+c＝0的两根，运用韦达定理可得b，c，进而得到函数f（x）的解析式；（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上是减函数．运用单调性的定义，注意取值、作差和变形、定符号以及下结论等；（3）由题意结合（2）的单调性可得﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解不等式即可得到所求范围．【详解】（1）由题意得﹣1和1是方程x2+bx+c＝0的两根，所以﹣1+1＝﹣b，﹣1×1＝c，解得b＝0，c＝﹣1，所以f（x）＝x2﹣1；（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上是减函数．证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜1，则g（x1）﹣g（x2），∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，可得g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），则函数g（x）在区间（﹣1，1）上是减函数；（3）函数g（x）在区间（﹣1，1）上，若实数t满足g（t﹣1）﹣g（﹣t）＞0，即有g（t﹣1）＞g（﹣t），又由（2）函数g（x）在区间（﹣1，1）上是递减函数，可得﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，解得0＜t．则实数t的取值范围为（0，）．【点睛】本题考查函数的零点的定义和单调性的判断和证明，考查了单调性的应用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．22.已知奇函数f（x）＝a（a为常数）．（1）求a的值；（2）若函数g（x）＝|（2x+1）f（x）|﹣k有2个零点，求实数k的取值范围；（3）若x∈[﹣2，﹣1]时，不等式f（x）恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）k∈（0，1）；（3）[4，+∞）.【解析】【分析】（1）由f（x）为R上的奇函数可得f（0）＝0，解方程可得a；（2）由题意可得方程|2x﹣1|﹣k＝0有2个解，即k＝|2x﹣1|有2个解，即函数y＝k和y＝|2x﹣1|的图象有2个交点，画出图象即可得到所求范围；（3）由题意可得m≥2﹣x x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，由g（x）＝2﹣x在R上单调递减，即可得到所求范围．【详解】（1）f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，可得f（x）＝1，由f（﹣x）+f（x）0，即f（x）为R上的奇函数，故a＝1；（2）函数g（x）＝|（2x+1）f（x）|﹣k有2个零点⇔方程|2x﹣1|﹣k＝0有2个解，即k＝|2x﹣1|有2个解，即函数y＝k和y＝|2x﹣1|的图象有2个交点，由图象得k∈（0，1）；（3）x∈[﹣2，﹣1]时，f（x），即1，即m≥2﹣x在x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，由g（x）＝2﹣x在R上单调递减，x∈[﹣2，﹣1]时，g（x）的最大值为g（﹣2）＝4，则m≥4，即m的取值范围是[4，+∞）．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性、以及函数零点个数、函数恒成立问题解法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．。

福建省福州市八县(市)一中2021届高三上学期期中联考数学试题 Word版含答案

2020-2021学年度第一学期八县（市）一中期中试卷高中三年数学科试卷命题学校：永泰一中命题教师：审核教师：考试日期：11月12日完卷时间：120分钟满分：150 分一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A ={x ∈Z |x 2−5x −6≤0}， B ={x |2<2x <128}，则A ∩B =（） A ．{x |1<x ≤6}B ．{2,3,4,5,6}C ．{x |1≤x ≤6}D ．{−1,0,1,2,3,4,5,6}2．已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数”，q ：“a >−2”，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果f (3)=−1，则不等式f (x −1)+1≥0的解集为（） A ． (−∞，2]B ．[2，+∞)C ．[−2，4]D ．[1，4]4．右图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（）A ．直线AB 与直线CD 平行 B ．直线AB 与直线CD 相交C ．直线AB 与直线CD 异面且垂直D ．直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°5．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若S 2=1，S 4=5，则S 7=（）． A ．S 7=10 B ．S 7=23 C ．S 7=623D ．S 7=12736．已知m >0，n >0，m +4n =2，则4m+1n的最小值为（）A ．36B ．16C ．8D ．47．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数()y f x =的图象（） A ．关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线x =π4对称D ．关于直线x =−π4对称8．已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为（）A ．(,2021)-∞-B ．(2021,2020)--C ．(2021,0)-D ．(2020,0)-二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（）A ．3||5z =B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限10．已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（）A ． AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； B ．四边形ABCD 为平行四边形；C ．AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； D ． |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√8511．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 222sin a a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（）A ．tan 2C =B ．4A π=C ．2b =D ．∆ABC 的面积为612．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1AC 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1AP 与平面111ABC 所成的角的正切值为5B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且113PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1AP 与AB 所成角都不可能是30° 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若10cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2−3n −1，则n a =__________．15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC ，PA =PB =AB =AC =2√3，120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________ .16．函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln xf x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

福建省福州市第一中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题

【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析；（2） .
20.已知函数（，）的图像是由的图像向右平移个单位得到的.
（1）若的最小正周期为，求的与轴距离最近的对称轴方程；
（2）若在上仅有一个零点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2） .
21.如图，在扇形中，半径，圆心角，A是半径上的动点，矩形内接于扇形，且 .
（2）在（1）的情况下，令，，若存在使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）选①②③，；（2） .
福州一中2020—2021学年第一学期第二学段模块考试
高一数学（必修一）模块试卷
一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题5分，共40分）
1.将300°化为弧度是（）
A. B. C. D.
【答案】D
2.已知，，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
3. ，则（）
【答案】C
7.已知锐角的终边上一点，则锐角＝（）
A. B. C. D.
【答案】C
8.将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为，则（）
A.满足题目条件的实数有且只有一个
B.满足题目条件的实数有且只有一个
C. 在上单调递增
D. 的取值范围是
【答案】ACD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．

2021届福建省福州市八县(市)一中高三上学期期中联考数学试题(教师版含解析)

2020-2021学年度第一学期八县(市)一中期中试卷高中三年数学科试卷一､选择题(每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}{}2|560|22128xA x Z x xB x =∈--≤=<<，，则A B =( )A. {}|16x x <≤B. {}23456，，，， C. {}|16x x ≤≤ D. {}10123456-，，，，，，，【答案】B 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再求两集合的交集即可【详解】解：由2560x x --≤得16x -≤≤，由于x ∈Z ，所以{}{}2|5601,0,1,2,3,4,5,6A x Z x x =∈--≤-=，由22128x <<，得17x <<，所以{}{}|2212817xB x x x =<<=<< 所以A B ={}23456，，，，，故选：B2. 已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数”，q ：“2a >-”，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求出命题p 对应的a 的取值范围，利用集合的包含关系即可判断. 【详解】由函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数，因为221y x ax =++的对称轴为x a =-，开口向上，所有1a -≤，即1a ≥-，{}1a a ≥- {}2x a >-，∴p 是q 的充分不必要条件.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； (2)若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； (3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．3. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为( )A. ](2-∞，B. [)2，+∞C. []24-，D. []14，【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f (3)1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-(3)(|1|)f x f ⇒-(3)|1|3x ⇒-，解之可得24x -，故不等式的解集为[2-，4]．故选：C ．【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.4. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中( )A. 直线AB 与直线CD 平行B. 直线AB 与直线CD 相交C. 直线AB 与直线CD 异面垂直D. 直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°【答案】D 【解析】【分析】首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线AB 与直线CD 为异面直线，再求异面直线所成角即可得到答案.【详解】正方体的展开图的立体图形如图所示：由图知：直线AB 与直线CD 为异面直线，故A ，B 错误；连接CE ，DE ，因为//AB CE ，所以DCE ∠或其补角为异面直线AB 与CD 所成角. 又因为DCE 为等边三角形，所以60DCE ∠=.所以直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°，故C 错误，D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题.5. 记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =( ). A. 710S = B. 723S =C. 7623S =D. 71273S =【答案】D 【解析】【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和．【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，771(12)1273123S -∴==-．故选：D ．6. 已知0042m n m n >>+=，，，则41m n+的最小值为( ) A. 36 B. 16C. 8D. 4【答案】C 【解析】【分析】巧用“1”拼凑()41141=42m n m n m n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，应用基本不等式即得结果. 【详解】0042m n m n >>+=，，，()411411=4=82126m n m n m n m m n n ⎛⎫⎛⎫∴+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=82⎛≥+ ⎝，当且仅当16=n m m n 时即11,4m n ==时等号成立，故41m n+的最小值为8. 故选：C.7. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω，||2ϕπ<)，其图像相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图像向左平移316π个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数()y f x =的图像( ) A. 关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于直线4x π=对称D. 关于直线4πx =-对称【答案】A 【解析】根据函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为4π，可求得()f x 的周期T ，进而可求得ω的值，根据平移后图像关于原点对称，利用正弦函数图像与性质，即可求得ϕ的值，分别求得()f x 的对称中心、对称轴的表达式，逐一分析选项，即可得答案.【详解】因为函数()f x 图像相邻两条对称轴之间的距离为4π，所以24T π=，即2T π=，所以24Tπω==，即()sin(4)f x x ϕ=+，将函数()y f x =的图像向左平移316π个单位后，得到函数3sin[4()]16y x πϕ=++的图像，且其关于原点对称，所以3416k πϕπ⨯+=()k ∈Z ，又||2ϕπ<，令k =1，解得4πϕ=，即()sin(4)4f x x π=+，令4,()4x k k Z ππ+=∈，解得,()416k x k Z ππ=-∈，即对称中心为(,0)416k ππ- 令k =0，则一个对称中心为,016π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故A 正确，B 错误；令4,()42x k k Z πππ+=+∈，解得,()416k x k Z ππ=+∈，即对称轴为,()416k x k Z ππ=+∈，故C 、D 错误，故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，解题的关键在于，根据两对称轴间距离，分析图像，可求得ω的值，再根据平移后图像，求得ϕ的值，再求解即可；易错点为平移后解析式为3sin[4()]16y x πϕ=++，注意平移要对x 进行加减，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.8. 已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为( )A. (,2021)-∞-B. (2021,2020)--C. (2021,0)-D. (2020,0)-【答案】B【分析】由题可得当(,0)x ∈-∞时，()2()0xf x f x '->，进而构造函数2()()f x g x x=，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g +<-，利用()g x 的单调性，可求出不等式的解集．【详解】解：构造2()()(0)f x g x x x =<，则243()2()()2()()x f x x f x xf x f x g x x x ''⋅-⋅-'==，因为()2()0xf x f x '->，则()0g x '<∴函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，∵不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，且()2(1)(1)(1)1f g f --==--，等价于()()()()()2220201120201f x f g x +-<=-+-，即为(2020)(1)g x g +<-，所以2020120200x x +>-⎧⎨+<⎩，解得20212020x -<<-．故选：B【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造函数2()()f x g x x=是解决本题的关键，属于中档题．二､多选题(每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9. 已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则( ) A. 3||5z =B. 12i5z +=-C. 复数z 的实部为1-D. 复数z 对应复平面上的点在第二象限【答案】BD 【解析】【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以5z ==，故A 错误；1255z i =--，故B 正确；复数z 的实部为15- ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 10. 已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是( ) A. AB AC ⊥；B. 四边形ABCD 为平行四边形；C. AC 与BD 夹角的余弦值为145； D. 85AB AC +=【答案】BD 【解析】【分析】求出向量,,,AB AC DC BD 坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断. 【详解】由(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，所以()2,3AB =-，()7,1AC =，()2,3DC =-， ()3,7BD =, 对于A ，143110AB AC ⋅=-=≠，故A 错误；对于B ，由()2,3AB =-，()2,3DC =-，则AB DC =，即AB 与DC 平行且相等，故B 正确；对于C ，cos ,14550AC BD AC BD AC BD⋅===，故C 错误；对于D ，()||9,2AB AC +=-=D 正确；故选：BD【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题. 11. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，若222sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是( )A. tan 2C =B. 4A π=C. b =D.ABC 的面积为6【答案】ABD 【解析】【分析】利用余弦定理，结合题意，可求得tan C的值，根据cos sin a B b A c +=，利用正弦定理边化角，可求得A∠的值，利用正弦定理及面积公式，可求得b 的值及ABC 的面积，即可得答案. 【详解】因为222sin a b c ab C +-=，所以222sin sin cos 222a b c ab C C C ab ab +-===，所以sin tan 2cos CC C==，故A 正确；因为cos sin a B b A c +=，利用正弦定理可得sin cos sin sin sin A B B A C +=，因为()C A B π=-+，所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+，所以sin cos sin si sin()sin cos cos sin n A A B B A B A B A B ++==+，即sin sin cos sin B A A B = 因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以tan 1A =，又(0,)A π∈，所以4A π=，故B 正确；因为tan 2C =，(0,)C π∈所以sin 55C C ==所以sin sin()sin cos cos sin 252510B AC A C A C =+=+=+=，因为sin sin a b A B=，所以31010sin1032 sin2a BbA⨯===，故C错误；1125sin10326225△==⨯⨯⨯=ABCS ab C，故D正确；故选：ABD【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积的求法，解题的关键在于灵活应用正余弦定理及面积公式，考查计算化简的能力，属中档题.12. 已知直三棱柱111ABC A B C-中，AB BC⊥，1AB BC BB==，D是AC的中点，O为1A C的中点.点P是1BC上的动点，则下列说法正确的是()A. 当点P运动到1BC中点时，直线1A P与平面111A B C5B. 无论点P在1BC上怎么运动，都有11A P OB⊥C. 当点P运动到1BC中点时，才有1A P与1OB相交于一点，记为Q，且113PQQA=D. 无论点P在1BC上怎么运动，直线1A P与AB所成角都不可能是30°【答案】ABD【解析】【分析】构造线面角1PA E∠，由已知线段的等量关系求1tanEPPA EAE∠=的值即可判断A的正误；利用线面垂直的性质，可证明11A P OB⊥即可知B的正误；由中位线的性质有112PQQA=可知C的正误；由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误【详解】直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示即有EP ⊥面111A B C∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：1tan EPPA E AE∠= ∵112EP BB =，22111152AE A B B E BB =+= ∴15tan 5PA E ∠=，故A 正确选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥，又1111A B B C B =∴1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面11A B C ，故11BC OB ⊥同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=∴1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线∴Q 为中位线的交点 ∴根据中位线的性质有：112PQ QA =，故C 错误选项D 中，由于11//A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角：11B A P ∠结合下图分析知：点P 在1BC 上运动时当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45°当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小为23arctan302>=︒ ∴11B A P ∠不可能是30°，故D 正确故选：ABD【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小三､填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.若cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=________．【答案】45-【解析】【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果．【详解】解：若cos()4πθ-= 则214sin 2cos(2)2cos ()12124105ππθθθ=-=--=⨯-=-，故答案为：45-．【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．14. 已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =--，则n a =__________.【答案】31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，，【解析】【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解即可【详解】解：当1n =时，111313a S ==--=-，当2n ≥时，22131[(1)3(1)1]24n n n S n n n n a n S --=-------==-，当 1n =时，1242a -=-≠，所以31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，，，故答案为：31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，， 15. 在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC，PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【答案】52π【解析】【分析】如图，过点A 在面PAB 内作AQ AB ⊥交PAB △的外接圆于点Q ，平面PAB 垂直平面ABC ，两平面的交线为AB ，利用正弦定理和勾股定理，构造出Rt QHA ，然后，利用勾股定理得出2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，进而求解可得【详解】如图，过点A 在面PAB 内作AQ AB ⊥交PAB △的外接圆于点Q ，平面PAB 垂直平面ABC ，两平面的交线为AB ，AQ AB ⊥，AQ ⊂面PAB ，AQ ∴⊥面ABC ，PAB △的外接圆直径为234QB ==，222QA QB AB ∴=-=，而2h QA ==， ABC 中，23AB AC ==120BAC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，设底面ABC 的外接圆半径为r ，则243sin AB r BCA==∠R ，则有2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，球的表面积为2452S R ππ==故答案为：52π【点睛】关键点睛：解题关键在于，构造直角三角形Rt QHA ，利用勾股定理得出2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，进而求解16. 函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln x f x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间()1,+∞上的单调性与极值，由题意可知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，数形结合可知关于t 的二次方程2240t mt m -+=有两个大于e 的实根，利用二次方程根的分布可得出关于m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】当1x >时，()ln x f x x=，()2ln 1ln x f x x -'=. 当1x e <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当x e >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，函数()y f x =在x e =处取得极小值()f e e =，又()()11f x f x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，令()t f x =，作出函数()t f x =的图象如下图所示：由于关于x 的方程()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则关于t 的二次方程2240t mt m -+=有两个大于e 的实数根，由二次方程根的分布可得224160240m m m e e me m ⎧∆=->⎪>⎨⎪-+>⎩，解得()2422e m e <<-. 综上所述，实数m 的取值范围是()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭.故答案为：()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查利用方程根的个数求参数，考查了导数的应用以及一元二次方程根的分布，考查数形结合思想的应用，属于较难题.四､解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且233n n S a +=(1)求{}n a 的通项公式；(2)设3311log log n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)3n n a =；(2)1n n T n =+. 【解析】【分析】(1)利用1n n n a S S -=-可得{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，即可求出通项公式；(2)利用裂项相消法可求.【详解】解：(1)1n =时，11233S a +=，11a S =，13a ∴=，2n ≥时，因为()312n n S a =-，所以()11312n n S a --=-. 相减得()132n n n a a a -=-，所以13n n a a -=. 所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以1133n n n a a -=⋅=，即{}n a 通项公式为3n n a =.(2)由(1)可得()33111log log 1n n n b a a n n +==+111n n =-+. 所以12111111......12231n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：(1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；(2)对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；(3)对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.18. 在①()3cos cos cos sin C a B b A c C +=，②sin sin 2A B a c A +=，③()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答. 已知ABC 的角A ，B ，C 对边分别为,,a b c ，3c =，而且___________.(1)求C ∠；(2)求ABC 周长的范围.【答案】条件选择见解析；(1)3π；(2)(2333⎤⎦，. 【解析】【分析】 (1)选①：由条件结合正弦定理可得()3cosCsin A B sinCsinC +=，即3tanC =，得出答案.选②：由条件结合诱导公式、正弦定理和二倍角公式可得122C sin =，从而得出答案. 选③：由条件结合正弦定理可得222a b c ab +-=，再根据余弦定理可得答案.(2)由(1)结合余弦定理可得223a b ab +-=,利用均值不等式可得周长的最大值，再利用三角形中两边之和大于第三边可得出答案.【详解】解：(1)选①：由正弦定理得()3cosC sinAcosB sinBcosA sinCsinC +=()3cosCsin A B sinCsinC +=因为0sinC tanC ≠∴=，因为()03C C ππ∈∴=，，选②：由正弦定理得2CsinAsin sinCsinA π-=，因为02222c C C sinA cos sinC sin cos ≠∴==，因为02C cos ≠，所以122C sin =，因为()03C C ππ∈∴=，，选③：因为()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=，所以()()2222a b a b a b c -+-=，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，因为0C π<<，所以3C π=； (2)由(1)可知：3C π=，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，所以()()223334a b a b ab ++-=≤，所以a b +≤a b =时等号成立，所以a b c ++≤ABC 周长的最大值为又因为a b c +>=ABC 周长的取值范围为(【点睛】关键点睛：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题的关键是利用正弦定理进行边化角，第(2)问中结合(1)的结果，利用余弦定理得到223a b ab +-=，先配方再利用均值不等式()()223334a b a b ab ++-=≤求出+a b 的范围，最后三角形中两边之和大于第三边得到三角形周长的范围，属于中档题.19. 已知如图①，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒且2AB =，E 为AD 的中点，将ABE △沿BE 折起使2AD =，得到如图②所示的四棱锥A BCDE -.(1)求证：平面ABE ⊥平面ABC ；(2)若P 为AC 的中点，求二面角P BD A --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)17. 【解析】【分析】(1)利用题中所给的条件证明AE ED ⊥，BE DE ⊥，因为//BC DE ，所以BC BE ⊥，BC AE ⊥，即可证明BC ⊥平面ABE ，进一步可得面面垂直；(2)先证明AE ⊥平面BCDE ，以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBD 的一个法向量m ，平面BDA 的一个法向量n ，利用向量的夹角公式即可求解【详解】解：(1)在图①中，连接BD ，如图所示：因为四边形ABCD 为菱形，60A ∠=︒，所以ABD △是等边三角形.因为E 为AD 的中点，所以BE AE ⊥，BE DE ⊥.又2AD AB ==，所以1AE DE ==.在图②中，2AD =222AE ED AD +=，即AE ED ⊥.因为//BC DE ，所以BC BE ⊥，BC AE ⊥.又BE AE E =，AE ，BE ⊂平面ABE .所以BC ⊥平面ABE .又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABE ⊥平面ABC .(2)由(1)知，AE DE ⊥，AE BE ⊥.因为BE DE E ⋂=，BE ，DE ⊂平面BCDE .所以AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0E ，()0,0,1A ，)3,0,0B ，()3,2,0C ，()0,1,0D . 因为P 为AC 的中点，所以3122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以31,1,22PB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，31,0,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PBD 的一个法向量为(),,m x y z =，由00PB m PD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得31023102x y z x z ⎧--=⎪⎨⎪-=⎪⎩. 令3z =，得1x =-，3y =-(133m =-，. 设平面BDA 的一个法向量为()111n x y z =，，.因为()31BA =-，，，()011AD =-，，由00BA n AD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得1111300x z y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令11x =，3z =3y =(133n =，，则1cos ,777m nm n m n ⋅===-⨯⨯，所以二面角P BD A --的余弦值为17. 【点睛】思路点睛：证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义，(不常用)(2)利用面面垂直的判定定理；(3)利用性质：//αβ，βγαγ⊥⇒⊥.20. 如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.(1)若6πθ=，求观光通道l 的长度；(2)用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值；【答案】(1)观光通道长(2362km +；(2)当3πθ=时，观光通道长l 的最大值为5km . 【解析】【分析】(1)由6πθ=，得6OCD ODC π∠=∠=，然后在OCD ，OCB ，OAD △利用余弦定理求出,,CD BC AD的长，从而可得结果；(2)作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin 22BE OB θθ==，则有2sin 2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而24sin 2cos 2l θθ=++，然后利用三角函数的性质可得结果【详解】(1)因为6πθ=，所以6OCD ODC π∠=∠=在OCD 中，利用余弦定理可得，2211211cos 33CD π=+-⨯⨯⨯=，所以3CD =同理62232BC AD -==-= 所以观光通道长2362l km =++-(2)作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sinsin 22BE OB θθ==，则有2sin 2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而有：22124sin 2cos 4sin 4sin 44sin 522222l θθθθθ⎛⎫=++=-++=--+ ⎪⎝⎭ 因为02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以当3πθ=时，l 取最大值5，即观光通道长l 的最大值为5km .【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，解题的关键是把,,CD BC AD 用含θ的式子表示，然后利用三角恒等变换公式转化为同角的三角函数求解，解题时要注意θ的取值范围21. 已知函数()ax f x xe =的极值为1e-. (1)求a 的值并求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)已知函数()()0mx lnx g x e m m=->，存在()0x ∈+∞，，使得()0g x ≤成立，求m 得最大值. 【答案】(1)1a =，切线方程为：2y ex e =-；(2)最大值为1e . 【解析】【分析】(1)利用切线方程的公式求解即可(2)将问题转化为mx me lnx ≤，经过放缩得mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=，转化成()()f mx f lnx ≤，再利用导数判断()f x 的最值情况，进而可求得最终答案【详解】解：(1)()f x 定义域为R因为()()1ax f x e ax ='+若0a =则()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意，舍去若0a ≠则令()0f x '=得1x a =-所以11f a e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭解得1a = 经检验，1a =符合题意.因为切线斜率()()11112f e e =+='又因为()1f e =所以切点为()1e ，所以切线方程为：()21y e x e =-+即切线方程：2y ex e =-(2)因为存在()0x ∈+∞，，使得()0g x ≤成立则mx lnx e m≤ 即mx me lnx ≤即mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=即mx lnx mxe lnxe ≤即()()f mx f lnx ≤(*)由(1)得()()1x f x e x '=+所以()f x 在区间()1-∞-，上单调递减，在区间()1，-+∞上单调递增因为00mx m x me lnx >>≤，，所以0lnx >，所以1x >即0mx >且0lnx >所以存在()1x ∈+∞，使得()()f mx f lnx ≤ 所以存在()1x ∈+∞，使得mx lnx ≤即()1lnx m x x≤∈+∞，令()lnx s x x=所以()max m s x ⎡⎤≤⎣⎦ 因为()210lnx s x x '-==得x e = 所以()s x 在区间()1e ，上单调递增，在区间()e +∞，单调递减所以()s x 的最大值为()1s e e =所以1m e≤又因为0m >，所以10m e <≤ 所以m 的最大值为1e 【点睛】关键点睛：解题的关键在于放缩得mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=，把问题转化为()()f mx f lnx ≤，考查学生的转化化归和放缩的运用，属于难题22. 已知函数()()()2ln 1002x f x ax a x x -=+->≥+，. (1)当12a =时，讨论函数()y f x =的单调性； (2)若不等式()1f x ≥在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围；(3)证明：()()*11111ln 1357212n n N n ++++<+∈+. 【答案】(1)在区间()02，上单调递减；在区间()2+∞，上单调递增；(2)[1，)+∞；(3)证明见解析. 【解析】【分析】(1)求出()f x 的导数，根据导数的正负即可判断单调性；(2)求出()f x 的导数，根据a 的范围讨论单调性，求出()f x 的最小值，满足()min 1f x ≥即可求出a 的取值范围；(3)由(2)可知当1a =时，不等式()1f x >在(0,)x ∈+∞时恒成立，可得11[ln(1)ln ]122k k k <+-+，即可得证. 【详解】解：(1)当12a =时，()()()221142122212x f x x x x -'=⋅-=+++，当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以()y f x =在区间()0,2上单调递减；在区间()2,+∞上单调递增；(2)()2224441(2)(1)(2)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++，当1a ≥时，()0f x '≥，∴函数()y f x =在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时，由()0f x '>可得x >∴函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在⎡⎢⎣上单调递减； ①当1a ≥时，函数()y f x =在[)0+∞，上单调递增， ()()01f x f ∴≥=，即不等式()1f x ≥，在[)0x ∈+∞，时恒成立，②当01a <<时，函数在0⎡⎢⎣上单调递减，存在00x ⎡∈⎢⎣使得()()001f x f <=，所以不合题意，舍去. 综上可知实数a 的取值范围为[)1,+∞；(3)由(2)得当1a =时，不等式()1f x >在(0,)x ∈+∞时恒成立，即2ln(1)2x x x +>+，12ln(1)12k k ∴+>+，*()k N ∈. 即11[ln(1)ln ]122k k k <+-+， ∴11(ln 2ln1)32<-，11(ln3ln 2)52<-，11(ln 4ln3)72<-，11[ln(1)ln ]212n n n ⋯<+-+，将上述式子相加可得()()()111111ln 1ln1ln 13572122n n n ++++<+-=++ 原不等式得证. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，一般按如下规则转化，(1)对于[],x a b ∀∈，都有()f x m ≥恒成立，则()min f x m ≥；(2)对于[],x a b ∀∈，都有()f x m ≤恒成立，则()max f x m ≤.。

福建省福州市八县(市、区)一中2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题含答案

2022—2023学年度第一学期八县(市、区)一中期中联考高中三年数学科试卷命题学校：长乐一中命题教师：高三集备组审核教师：考试时间：11月9日完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若z ＝1+i ，则 |i z +3| ＝（） A ．54B ．24C ．52D ．222．设全集为R ，集合A ＝{y |y ＝2x ，x ＜1}，B ＝{x |y ＝x 2－1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |－1＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜1}C ．φD ．{x |0＜x ＜2} 3．已知f （x ）＝e x ，若a ＞0，b ＞0，且f （a ）•f （2b ）＝e 3，则ba 21+的最小值为（） A ．2 B ．3 C ．29D ．54．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，那么下列命题正确的是（） A ．如果α∥β，m ∥α，l ∥β，那么l ∥m B ．如果l ∥α，m ⊂α，且l ，m 共面，那么l ∥mC ．如果α⊥β，l ⊥α，那么l ∥βD ．如果l ⊥m ，l ⊥α，那么m ∥α 5．已知角θ的大小如图所示，则θθ2cos 2sin 1+＝（）A ．﹣35 B ．35C ．﹣4D ．46．2022年10月16日中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开，这是全党全国各族人民在全面建设社会主义现代化新征程的一次盛会，其中《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长a 1，a 2，a 3，a 4，a 5 （单位：cm ）成等差数列，对应的宽为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5（单位：cm ）且每种规格的党旗长与宽之比都相等．已知a 1＝288，a 5＝96，b 1＝192，则b 3＝（）A ．160B ．128C ．96D ．647．已知向量b a ,满足a＝5，b ＝6，b a •＝﹣6，则cos ＜b ，b a +＞＝（）A ．﹣75 B ．﹣3519 C ．3519 D ．75 8．已知实数y x ,满足333x ex-=，2ln 5+=ye y （其中e 是自然对数的底数），则=y x 3（）A ．5eB ．4e C ．3e D ．2e4πθyP (-1,4)x二、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得2分） 9．已知函数f （x ）＝sin （2x +φ）（0＜φ＜π）的图像关于点)0,32(π中心对称，则（） A ．f （x ）在区间），（1250π单调递减B ．f （x ）在区间)1211,12(ππ-内有两个极值点C ．直线x ＝67π是曲线y ＝f （x ）的对称轴 D ．函数f （x ）的图像向右平移6π个单位长度可以到到函数g （x ）＝sin （2x +3π）10．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+f （x +2）＝2 ，若f （x ）的图象关于点（1，1）对称，f （0）＝0，则（）A ．f （2）＝4B ．f （x ）的图象关于直线x ＝2对称C ．f （x ）＝f （x +4）D ．f （2k ）＝1211．如图，已知正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为1，P 为正方形底面ABCD 内一动点，则下列结论正确的有( )A ．三棱锥1B -11A D P 的体积为定值 B ．存在点P ，使得11D P AD ⊥C ．若11D P B D ⊥，则P 点在正方形底面ABCD 内的运动轨迹是线段ACD ．若点P 是AD 的中点，点Q 是1BB 的中点，过P ，Q 作平面α垂直于平面11ACC A ，则平面α截正方体111ABCD A B C D -的截面周长为3212．已知函数f （x ）＝e x ln （1+x ），则以下判断正确的是（） A ．函数y ＝f （x ）的零点是（0，0） B ．不等式f （x ）>0的解集是（0，+∞）． C ．设g （x ）＝f ′（x ），则g （x ）在[0，+∞）上不是单调函数 D ．对任意的s ，t ∈（0，+∞），都有f （s +t ）＞f （s ）+f （t ）．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设a ，b ∈R ，写出一个使a ＜b 和ba 11<同时成立的充分条件，可以是． 14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝4，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则CP MP •的最小值为．16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥,2AC =，14AA =，6AB =，点E ,F 分别是AA 1，AB 上的动点，那么11C E EF FB ++的长度最小值是，此时三棱锥11B C EF -外接球的表面积为 .四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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