定积分的计算64830
定积分的计算
§7.4 定积分的计算一 定积分计算的基本公式定理1 若函数)(x f 在],[b a 上连续，则()()x aG x f t dt =⎰在],[b a 上处处可导，且()()()x adG x f t dt f x dxΦ==⎰，],[b a x ∈。
说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了)(x f 的一个原函数。
因此，该定理也称之为微积分学基本定理。
且用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。
用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。
定理2 若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，则)(x f 在],[b a 上可积，且⎰-=baa Fb F dx x f )()()(这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为⎰-==b aba a Fb F x F dx x f )()()()(。
注：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如)(x f 只要在在],[b a 上可积即可。
例：计算下列定积分： 1）⎰ba ndx x （n 为整数）；2）3b adx x⎰（0<a<b ）；3）0cos xdx π⎰。
二 定积分的换元积分法定理3（定积分的换元积分法）若函数)(x f 在],[b a 上连续，作代换()x t ϕ=。
其中()t ϕ在],[βα上有连续导数()'t ϕ，当t αβ≤≤时，()a t b ϕ≤≤且()(),a b ϕαϕβ==，则⎰⎰⎰='=βεβαϕϕϕϕ)())(()())(()(t d t f dt t t f dx x f ba。
注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。
例：求dx x ⎰-121。
例：求⎰202cos sin πtdt t 。
定积分计算方法
定积分计算方法定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍定积分的计算方法，包括定积分的定义、基本性质和常见的计算技巧。
首先，我们来回顾一下定积分的定义。
对于函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b] f(x)dx。
其中，f(x)是被积函数，dx表示自变量x的微元，∫表示积分符号，[a, b]表示积分的区间。
定积分的几何意义是曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积。
接下来，我们将介绍定积分的基本性质。
定积分具有线性性质，即对于任意实数k，函数f(x)和g(x)，有以下性质成立：1. ∫[a, b] (kf(x) + g(x))dx = k∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx。
这意味着我们可以将定积分中的常数因子提出来，并且可以将多个函数的和分别积分后再相加。
此外，定积分还具有保号性质，即如果在区间[a, b]上，f(x)≥0，则有∫[a, b] f(x)dx ≥ 0。
这一性质在物理学中有着重要的应用，可以用来表示物体的质量、能量等。
在计算定积分时，我们常常会遇到一些常见的计算技巧。
其中，换元积分法是常用的一种技巧。
当被积函数较为复杂时，我们可以通过变量代换的方法，将原积分转化为一个更简单的积分，然后再进行计算。
另外，分部积分法也是常用的计算技巧之一。
分部积分法是定积分的一个重要计算技巧，它可以将一个复杂的积分转化为两个简单的积分的差，从而简化计算过程。
除此之外，定积分的计算还可以通过数值积分法进行。
数值积分法是利用数值计算的方法来逼近定积分的值，通过将积分区间进行等分，然后利用数值计算方法计算每个小区间上的函数值，最后将这些值相加得到定积分的近似值。
总之，定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
通过本文的介绍，我们对定积分的定义、基本性质和常见的计算技巧有了更深入的了解。
定积分基本计算公式
令 xa
a
F ( a ) ( a ) C ,
(a ) a f ( t )dt 0 F (a ) C ,
F ( x ) a f ( t )dt C ,
x
a
x
f ( t )dt F ( x ) F (a ),
令x b
a f ( x )dx F (b) F (a ).
0
b( x )
证:
F ( x)
0
a( x )
f (t )dt
a( x ) 0
0
b( x )
f ( t )dt
f ( t )dt ,
F ( x ) f b( x )b( x ) f a( x )a( x )
例1
e 求 lim cos x
x 0
例3
设 f ( x ) 在[0,1]上连续，且 f ( x ) 1.证明
2 x 0 f ( t )dt 1在[0,1]上只有一个解.
证 令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,
0 x
x
f ( x ) 1,
F ( x ) 2 f ( x ) 0,
y
x
f ( t )dt ,
由积分中值定理得
( x )
f ( )x,
f ( ), x
在x与x x之间.
lim lim f ( ) x 0 x x 0
( x ) f ( x ).
o
a
x x x b x
x 0, x
F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
定积分计算
∫
π
2 0
f (sin x)dx = ∫ 2 f (cos x)dx
0
π
∫
π
2 0
cos x dx sin x + cos x
π sin x cos x I = ∫2 dx = 2 0 1 + sin x + cos x ∫0 1 + sin x + cos x dx
π
1 2 sin x + cos x I= ∫ dx 2 0 1 + sin x + cos x 1 2 1 = − ∫ dx 4 2 0 (tan x + 1)2 cos 2 x 2 2
a
α
证明：因为 f∈C[a,b]，所以 f 在[a,b]上存在原函 证明 数 F，由 Newton-Leibniz 公式 b ∫ f ( x)dx =F(b)−F(a).
a
∫α
β
f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt = F (ϕ ( β )) − F (ϕ (α ))
注 1 定积分 ∫a f ( x)dx 本是一整体记号，它就表示 一个数，其中的 dx 并无独立的意义，但在实际运算 时，将 dx ．．．．． 微分，令 x=ϕ(t)，dx=ϕ′(t)dt， 形式上看作 且改变相应的积分上、下限，即得上述换元公式. 2° 在不定积分的换元法的中，需将换元后的原函 数在自变量 t 用反函数 t(x)代回；而在定积分的换 元法中，只需对换元后的原函数直接使用 NewtonLeibniz 公式即可.
利用 Newton-Leibniz 公式，得 b b ∫ u ′( x)v( x)dx + ∫ u ( x)v′( x)dx =∫ (u ′( x)v( x) + u ( x)v′( x))dx
定积分计算方法总结
摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法 (1)2.2 分段积分法 (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x k g x k g x ()+，若右端的积分会求，则应用法则1122()()b b baaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分()baf x dx ⎰，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解 利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+. 例2-2计算定积分21⎰.解 记J=21⎰=1⎰=3221x dx ⎰+21⎰再将第二项拆开得 J=3221x dx ⎰+3221(1)x dx -⎰+1221(1)x dx -⎰=522125x +52212(1)5x -+32212(1)3x -=52225+23. 2.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解 由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+.例2-4 计算定积分2(1)f x dx -⎰，其中1,011,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩.解 由于函数()f x 的分界点为0，所以，令1t x =-后，有2(1)f x dx -⎰=11()f t dt -⎰=0111x dx e -+⎰+1011dx x +⎰ =011x xe dx e ---+⎰+10ln(1)x +=01ln(1)xe ---++ln 2=ln(1)e +.2.3 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”） 例2-5[3]计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰ =2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tan tan 2424-+-.例2-6计算定积分241x dx x-+.解241x dx x -+=222111x dx xx -+=02211()1d x x x x -++=0211()1()2d x x x x-++-= 0011()()11()()d x d x x x x x x x ⎡⎤++⎢⎥-⎢⎢+-++⎣=15.2.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法． ① 三角替换例2-7[4] 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解 由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2t dt + =arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例2-8 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解 作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例2-9计算定积分1解11令1t x=得1=11-=1arcsin-=6π. 2.4 分部积分法定理 3-1[5]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bb b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成b audv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型： 表一（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出． （3）用分部积分法有时可导出()ba f x dx ⎰的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式． 例2-10[6]计算定积分2220sin x xdx π⎰.解 于21sin (1cos 2)2x x =-，所以2220sin x xdx π⎰=2201(1cos 2)2x x dx π-⎰=322211sin 264x x d x ππ-⎰ 连续使用分部积分得222sin x xdx π⎰=3222111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰ =3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰ =32201111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=3488ππ+.例2-11[7]计算定积分220sin x x e xdx π⎰．解 因为20sin x e xdx π⎰=20sin xxde π⎰=2sin xe xπ-20cos x xde π⎰=20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰ 所以2sin xe xdx π⎰=1220(sin cos )xe x x π- =21(1)2e π+ 于是 20cos x e xdx π⎰=cos xe x20π+20sin x e xdx π⎰=201(sin cos )2x e x x π+=21(1)2e π- 从而220s i n xx e x d x π⎰=2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dx π--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰ 201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdx π-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=2221(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=221(1)242e ππ-+. 例2-12[8]计算定积分0sin n x x dx π⎰，其中n 为正整数．解(21)2s i n k k x x d x ππ+⎰=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰作变量替换2t x k π=-得(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=0(2)sin t k tdt ππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdt πππ+⎰⎰=0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰=(41)k π+(22)(21)sin k k x xdx ππ++⎰=(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰作变量替换2t x k π=-得(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰=2(2)sin t k tdt πππ-+⎰=-22sin 2sin t tdt k tdt πππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+ 当n 为偶数时，sin n x x dx π⎰=12(21)(22)2(21)0(sin sin )nk k k k k x xdx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π 当n 为奇数时，sin n x x dx π⎰=32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x xdx x xdx x x dx ππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑ =324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π.2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4]形如(,)p q B =1110(1)p q x x dx ---⎰的含参变量积分称为Beta 函数，或第一类Euler 积分。
6.3 定积分的计算方法 课件 《高等数学》(高教版)
，所以
例1 计算下列定积分
解:
随堂练习
计算下列定积分
二、定积分的第二类换元积分法
设函数 在区间 上连续，函数
满足:
(1) 在上 具有连续的导数；
(2)
，且当 在 上变化时，函数
的值在
(3)函数 是函数
的一个原函数，则
上变化；
例1 计算下列定积分
解:(1)令
，则
(2)令
，则
，
.于是
，
.于是
(3)令
6.3 定积分的计算方法
一、定积分的第一类换元积分法
设函数
在[a,b]上连续，
，是
且
，则
的一个原函数，
或
注:(1)要换元一定要换限，原则是：上限换上限，下限换下限. (2)定积分的第一类换元积分法不必回代，只要把新变量 的上、下限分别 代入 ,然后相减.
例1 计算下列定积分
解:
令
，因为 时，
或
或
，且 时，
，则
，
.于是
随堂练习
计算下列定积分
三、定积分的分部积分法
设函数
和
在区间 上由连续的导数，则
注:选取 的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.
例1 计算下列定积分
解:
随堂练习
求下列定积分
例2 求下列定积分
解:(1)因为被积函数 所以
是奇函数，且积函数 以
令
，则
是偶函数，积分区间
是对称区间，所
，
.于是
四、专业应用案例
例 电能问题.在电力需求的电涌时期，消耗电能的速度 可以近似地表
示
.求前两个小时内消耗的总店能E.
解:由变化率求总改变量得
定积分及其计算方法
定积分及其计算方法定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一定区间上的面积的度量。
在应用中，定积分可以用于计算曲线下的面积、求解弧长、计算质量、求解物体的体积等等。
定积分的计算方法主要有三种：基本定理、换元法和分部积分法。
基本定理：如果一个函数在闭区间上连续，那么函数的一个原函数是连续的。
也就是说，在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的一个原函数F(x)，则有∫[a,b]f(x)dx=F(x)，[a,b]=F(b)-F(a)。
所以如果一个函数的原函数已知，那么定积分就可以通过原函数的值的计算来求解。
换元法：当被积函数的表达式比较复杂时，可以通过引入新的变量进行变换，使得积分变得更加简单。
这种方法被称为换元法。
换元法的思想是通过变量的替换，将原来的函数进行改写，以便更好地进行积分计算。
设新的变量为u=g(x)，则差分dx=g'(x)du。
原式∫f(x)dx可以变成∫f(g(u))g'(u)du。
如果新的变量u是原函数的一个简化形式，则积分会变得更加简单。
分部积分法：分部积分法是求解不定积分时的一个重要方法，也可以用于计算定积分。
它是利用求导和反求导的性质，将复杂的积分转化为简单的积分。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) -∫v(x)u'(x)dx。
分部积分法的思想就是将积分中的一个函数进行求导，同时将另一个函数进行反求导，以便将原积分转化为一个更加简单的积分。
除了上述三种方法外，还有一些其他的技巧和方法，如部分分式法、三角换元法、积分表等等。
这些方法都是根据具体的问题和函数的性质来选择的。
在实际应用中，定积分的计算方法还包括数值积分和多种积分公式。
数值积分是将函数的积分问题转化为数值计算问题，通过数值方法来近似求解积分值。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。
总之，定积分是微积分中的重要概念，可以用于计算函数在给定区间上的面积、求解曲线长度、计算质量、求解体积等等。
定积分的计算方法总结
定积分的计算方法总结定积分的计算方法总结总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它可以帮助我们总结以往思想，发扬成绩，是时候写一份总结了。
总结怎么写才能发挥它的作用呢？下面是小编为大家整理的定积分的计算方法总结，希望对大家有所帮助。
定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。
定理设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f （x）在区间[a，b]上可积。
3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f（x）≥0则∫abf（x）dx≥0。
推论如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x）则∫abf（x）dx≤∫abg （x）dx。
推论|∫abf（x）dx|≤∫ab|f（x）|dx。
性质设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b—a）≤∫abf（x）dx≤M（b—a），该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质（定积分中值定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf（x）dx=f（ξ）（b—a）。
4、关于广义积分设函数f（x）在区间[a，b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf（x）dx与∫cbf（x）dx都收敛，则定义∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf（x）dx发散。
定积分的应用1、求平面图形的'面积（曲线围成的面积）直角坐标系下（含参数与不含参数）极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2）旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线的方程）平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A（x）为截面面积）功、水压力、引力函数的平均值（平均值y=1/（b—a）*∫abf（x）dx）。
定积分的计算方法总结
定积分的计算方法总结定积分的计算方法总结总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它可以帮助我们总结以往思想，发扬成绩，是时候写一份总结了。
总结怎么写才能发挥它的作用呢？下面是小编为大家整理的定积分的计算方法总结，希望对大家有所帮助。
定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。
定理设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f （x）在区间[a，b]上可积。
3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f（x）≥0则∫abf（x）dx≥0。
推论如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x）则∫abf（x）dx≤∫abg （x）dx。
推论|∫abf（x）dx|≤∫ab|f（x）|dx。
性质设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b—a）≤∫abf（x）dx≤M（b—a），该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质（定积分中值定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf（x）dx=f（ξ）（b—a）。
4、关于广义积分设函数f（x）在区间[a，b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf（x）dx与∫cbf（x）dx都收敛，则定义∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf（x）dx发散。
定积分的应用1、求平面图形的'面积（曲线围成的面积）直角坐标系下（含参数与不含参数）极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2）旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线的方程）平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A（x）为截面面积）功、水压力、引力函数的平均值（平均值y=1/（b—a）*∫abf（x）dx）。
第3节 定积分的计算方法
例14 设 f ( x) x ln t dt ,其中x 0 ,求 f ( 1 ) f ( x) .
1 1t
x
解
f(1)
1 x
ln t
dt
x 1 1t
x ln u 1
x ln u
t 1 / u 1 1 1 / u ( u2 )du 1 u u2 du ,
1
x ln t
x ln t
解 令 3 x t ，x t 3 ，dx 3t 2dt ， x : 0 8, t : 0 2，
原式
2 3t 2
2 t2 11
dt 3
dt
01 t
0 1 t
2
1
30 (t 1 1 t )dt
3( 1 2
t2
t
ln | 1
t
|
)2 0
3ln 3 .
6
例6 计算 ln3 e x 1 dx . 0
解 令 ex 1 t ，e x 1 t 2 ，x ln(t 2 1) ，
dx
2t t2
1
dt
，x
:0
ln 3 ，
t
:
2 2，
原式
2 2t
2
1
2
t
t2
dt 1
2
2
(1
t
2
) dt 1
2(2 2) ln t 1 2 2(2 2) ln 1 ln
t1 2
3
2 1 2 1
(1 cos 2t)dt
0
20
1 sin2t /4 1 .
84
0 84
8
例8 求函数 y x2 在区间[1 , 3 ] 上的平均值.
1 x2
定积分的运算法则与公式
定积分的运算法则与公式定积分啊，这可是数学里挺重要的一块儿知识呢！咱先来说说定积分的运算法则。
定积分有个线性运算法则，就比如说，有两个函数 f(x) 和 g(x) ，还有常数 a 和 b ，那么∫[a 到b] [af(x) + bg(x)]dx = a∫[a 到b] f(x)dx + b∫[a 到 b] g(x)dx 。
这就好像是搭积木，每个函数都有自己的“分量”，加在一起就是总的“成果”。
还有个可加性法则，假如积分区间被分成了两部分，比如说从 a 到c 再从 c 到 b ，那么∫[a 到b] f(x)dx = ∫[a 到c] f(x)dx + ∫[c 到 b] f(x)dx 。
这就好比是你跑一段长路，分成几段来跑，总的路程还是不变的。
再来说说定积分的公式。
常见的比如∫[a 到 b] x^n dx = [(1/(n + 1)) * x^(n + 1)] [从 a 到 b] 。
我想起之前给学生们讲定积分的时候，有个学生特别迷糊，怎么都搞不明白。
我就给他举了个例子，咱们把定积分想象成计算一堆书叠起来的厚度。
每本书的厚度不一样，就像是不同的函数，但是通过定积分的法则和公式，就能算出这堆书总的厚度。
就拿计算一个简单的定积分∫[0 到 2] x^2 dx 来说吧。
根据公式，先求出原函数是 (1/3)x^3 ，然后把 2 和 0 分别代入，得到 (1/3) * 2^3 - (1/3) * 0^3 = 8/3 。
定积分在实际生活中的应用可不少呢！比如说计算不规则图形的面积。
假设咱们有一块形状奇怪的地，不好直接测量它的面积。
这时候就可以通过建立函数，然后用定积分来算算它的大小。
还有在物理学中，计算变力做功也会用到定积分。
力在不断变化，但是通过定积分就能把这一段过程中的总功给算出来。
总之，定积分的运算法则和公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习、多思考，就会发现它其实挺有用，也没有那么难啦！希望同学们都能把定积分这部分知识掌握好，在数学的海洋里畅游得更欢快！。
64定积分的计算方法
1
9
例7：计算定积分
解：原式=
例8 计算
x
1
0
xe dx
x 1 0 1 x 0
x
2 2 x sin x | xd sin x 解：原式=0 0 0 sin xdx 2 cos x |0 cos cos 0 1. 2 2 2 2 2 练习： 1， x sin xdx ;2, x ln xdx . 0 1
2019/2/15 微积分II 第六章定积分 10
1
1
1
0
xde xe | e dx e ex |1 0 1.
0
x cos xdx
e
2 2 1， x sin xdx 0 xd cos x 0
2 x cos x |02 2 cos xdx sin x |0 1 . 0 e 1 e 2 2, x ln xdx ln xdx 1 2 1 1 2 1 e 2 e x ln x |1 x d ln x 2 2 1 1 2 1 e e ln e xdx 2 2 1 1 2 1 2 e 1 2 1 2 e x |1 e (e 1) 2 4 2 4 1 2 (e 1).II 第六章定积分 2019/2/15 11 微积分 4
例 4: 当 f ( x ) 在[ a , a ]上连续,且有 ① f ( x ) 为偶函数,则 a f ( x )dx 20 f ( x )dx ；
a a
证
① f ( x ) 为偶函数，则 f ( t ) f ( t ),
0a f ( x )dx a f ( x )dx 0 f ( x )dx, 在 f ( x )dx 中令 x t , a a 0 0 a f ( x )dx a f ( t )dt 0 f ( t )dt ,
定积分的计算方法
证 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，则
∫ f ( x ) d x = F ( a ) − F (b ).
b a
根据复合函数的求导法则，有
d dF dx F [ϕ (t )] = ⋅ = f ( x)ϕ ′(t ) = f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt d x dt
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
W =∫
易
&
500ln 2
职0 业
Trade
2.4e −0.004t d t.
学 院
College
Hunan
Economic
Relations
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经济应用数学
2.4 500ln 2 −0.004t = ∫0 e d(−0.004t ) −0.004
= −600e −0.004t
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经济应用数学
案例2（石油总产量） 案例 （石油总产量）经济学家研究一口新井的 原油生产速度时， 原油生产速度时，建立了下列数学模型
R (t ) = 1 − 0.02t sin(2π t ),
求该油井开始3年内生产的石油总量 求该油井开始 年内生产的石油总量. 年内生产的石油总量 设开始3年内生产的石油总量为 年内生产的石油总量为W， 解 设开始 年内生产的石油总量为 ，则有
解得
t1 = 500ln 2(h).
毫伦琴/h， （2）因为可接受辐射水平的最大限度为 毫伦琴 ， ）因为可接受辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴 时的辐射水平为2.4毫伦琴 毫伦琴/h， 所以在 t = 0 时的辐射水平为 毫伦琴 ，即R0 = 2.4. 设泄露出去的放射物总量为W， 设泄露出去的放射物总量为 ，则有
定积分的计算及应用
定积分的计算及应用定积分，作为微积分中的重要概念之一，是对曲线下面积的求解方法。
在现实生活中，定积分有着广泛的应用，既可以用于求解几何图形的面积，也可以应用于物理学、经济学等领域。
本文将重点介绍定积分的计算方法及其应用。
一、定积分的定义定积分的定义是通过极限的概念来描述的。
对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以用极限进而表示为：∫(a到b) f(x) dx = lim(Δx→0) ∑[i=1到n] f(xi)Δx其中，Δx = (b-a)/n，xi是区间[a, b]上的任意一点。
二、定积分的计算方法1. 几何法利用几何图形的面积求解定积分是较为直观的方法。
例如，要计算y=f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以先将函数图像和x轴围成的区域分为若干个小矩形，然后计算每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加即可得到定积分的近似值。
2. 积分基本公式对于一些常见的函数，可以利用积分基本公式来求解定积分。
如常数函数的积分、幂函数的积分、三角函数的积分等。
这些基本公式能够简化定积分的计算过程，提高计算效率。
3. 换元法换元法也是定积分计算中常用的方法之一。
通过引入新的变量进行替换，将原函数转化为一个更易处理的形式，从而简化定积分的计算。
常见的换元法包括代换法和三角换元法。
4. 分部积分法对于乘积形式的函数，可以通过分部积分法将其转化为定积分的形式，从而进行求解。
分部积分法是一种利用导数和积分之间的关系来求解定积分的方法，通过反复应用可以将复杂的积分化简为简单的形式。
三、定积分的应用1. 几何应用定积分广泛应用于几何学中的面积计算。
通过对函数曲线与x轴之间的面积进行定积分，可以计算出曲线所围成的图形的面积，如矩形、三角形、梯形等。
同时，定积分也可以应用于求解平面图形的重心、离心率等相关问题。
2. 物理应用在物理学中，定积分被应用于求解物体的质量、速度、加速度等相关问题。
例如，根据质点的速度函数，可以通过定积分计算出质点在某段时间内的位移、位移函数的增量、加速度函数的平均值等。
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f[(u)](u)du
定积分的换元积分公式
注意：用 x(u )把原x来 换变 成u 量 新 时 ,
积分限也要换新 成变 相 u量 的 应积 于分 . 限
例1
求8 03
1 dx x 1
解 设3 xu, 则xu3, dx3u2d.u
当 x0 时 u ， 0 ； 当 x8 时 u ， 2 ，
8 03
第三讲 定积分的计算
• 内容提要
1. 定积分的换元积分法；
2.定积分的分部积分法 。
• 教学要求
熟练掌握定积分的换元积分和分部积分法 ；
一、定积分的换元法
设f(x)在 [a,b]上连,而 续 x(u)满足下列:条件
(1)x(u)在 [,]上单调且有零 连的 续导 并
(2)()a,()b
则
b
a
f
(x)dx
a
b
udv,
a
移项 abudvuvb aabvd.u
例 1 求01xexdx .
abudvuvb aabvd.u
解
1
0
xexdx
01xd(ex)
xex
|10
1
e
xdx
0
e ex |10
ee11
例 2
求1xarcxtad.n x 0
abudvuvb aabvd.u
解
1
1
xarctaxndx
1 dx x 1
2 1 3u2du
0u1
302uu21du
302(u2u11)1du302u1u11du
31u2uln|1u|23ln3
2
0
例2
求04
x2 dx 2x1
解 设2x1u,则x u2 1, dx ud. u 2
当 x0 时 u ， 1 ； 当 x4 时 u ， 3 ，
4
0
x2x21dx
则 xlnu(21),dx
2u
u2
du 1
当 x0 时 ,u0 . 当 x l2 n 时 ,u 1 .
ln2
0
ex
1dx
01uu22u1du
201u2u2
du 1
201(1u211)du2[uarctua]10n
2(1 )
4
例7设 f(x)在 [a,a]上连续且,试 为证 偶明 函
a
a
f(x)dx 2 f(x)dx
3
sin2 x|coxs |
3
0
si3n xsi5n xdx0sin2x|coxs|dx
02sin23 xcoxsdxsin23x(coxs)dx
3
02sin2xd(sixn)
23
sin2
xd(sinx)2 sinFra bibliotek5 2
x
2
2
2 sin
5 2
x
4
5
5
5
0
2
例6 求ln2 ex 1dx 0
解
设ex1u,
a
0
证：
a a
f
(x)dx
0af(x)d x0 af(x)dx
对 0af(x)d令 xxu， 则 dxd， u
x0 时 ,u0 ;x a 时 ,u a .
0
0
f (x)dx f(u)du
a
f(u)du
a
a
0
a
a
0 f(x)dx0 f(x)dx
a
f (x)dx
a
f (x)dx
a
a
f(x)dx2 f(x)dx
a f (x)dx a f(x)dx a f(x)dx 0
a
0
0
例8 计算
1 2 1 2
1 x5 dx. 1 x2
解
1
原式
2 1
2
1
1
dx 1 x2
2 1
2
偶函数
x5 dx 1 x2
奇函数
练习
1
2 2 0
1 1
x2
dx
1
2arcsinx02
3
计算下列定积分：
1. 33xx43s2ixn222x1dx0
a
0
0
0
练习 设f(x)在[a,a]上连续且为,奇函数
试证明
a
a
f(x)dx0
证：
a a
f (x)dx
0af(x)d x0 af(x)dx
对 0af(x)d令 xxu， 则 dxd， u
x0 时 ,u0 ;x a 时 ,u a .
0
a
f
(x)dxa0f(u)du0af(u)du
a
a
0 f(x)dx 0 f(x)dx
3
u2 1 2
2
udu
1u
1 3(u2 3)du 21
11u3
3
3u
71
23
1 3
例4 求 02x2 4x2dx
解 设x2siu n, 4x22cou,s 则 dx 2cousd, u
当 x0 时 u ， 0 ， 当x2时， u，
2
2x2
0
4x2dx0 2(2siu n )22co us 2co usdu
0
0
ex cos2x 2 2exd(co2sx)
0
0
e2 1 2 2ex sin2xdx 0
e2 1 2 2sin2xd(ex)
0
e2 1 2[(exsin2x)2 2exd(sin2x)]
0
0
所以
e22ex1co4s20x2edxxco2s1x(ed2x
1)
0
5
练习
求02 x2cosxdx
1arctxad(n x2)
0
20
12[x2arctxa|10n
1 x2 01 x2
dx]
1[ 24
01(111x2)dx]
1 [ 24
(xarcx t)a|1 0]n
1(1) 1
24 4 4 2
例 3 求2exco2sxd.x 0
abudvuvb aabvd.u
解 2excos2xdx 2co2sxd(ex)
abudvuvb aabvd.u
解 2 x2cosxdx 2x2d(sinx)
0
0
[x2six n]0 2022xsix ndx
2
2 2xd(coxs)
4
0
42[2xcox]s 0 220 2coxsdx
2
4
[2sinx]02
2
4
2
2
例 4 求016cosxdx .
402sin22udu4021c2o4sudu
202(1co4su)du2(02du 02co4u sd)u 2[0 2d u1 40 2co 4ud s(4u)]2[u02 14sin4u02]
例4 求2 co5sxsinxd.x 用换元积分法麻烦！ 0
解一 令 uco x ,sd usixnd , x
x
2.
4
dx0 1cosx
4
二、定积分的分部积分法
设函 uu 数 (x)及 vv(x)在 [a,b]上有连续
则有 abudvuvb aabvd.定u积分的分部积分公式
证明： uv u vu v,
b
b
(u)v d x(u vu v)dx
b
uvdx
b
uvdx
a
a
a
a
即 uvba
b
vdu
x 2
u0, x0 u1,
2 0
co5sxsinxdx 10u5du
u6 1 6
1. 6
0
解二 2 co5sxsinxd.x 2co5xs d(cox)s
0
0
[cos6 6
x]02
0
16
1 6
显然,解法二简单
例 5求 0 s3 ix n s5 ix n dx
解 si3n xsi5n x si3n x(1si2n x)