样本空间、随机事件

实例1 如：掷一枚骰子一次的试验E.
解： 用i表示落地时朝上的点数
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
实例2 如：抛掷两枚硬币，落地时朝上的情况的试验E.
解： 用 x, y表示落地时朝上的结果
{正，正, 正，反，反，正，反，反}.
用1表示硬币“正面朝上”， 用0表示硬币“反面朝上”,
{1，1, 1，0，0，1，0，0}.
反思 感悟
解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律， 才能确定随机事件的含义.
1.下列事件是必然事件的是 A.从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签 B.函数y＝logax(a>0且a≠1)为增函数
√C.平行于同一条直线的两条直线平行
反思 感悟
对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后，确定随机事件中 含有哪些样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求.
三、随机事件的含义
例3 在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，试用 集合表示出下列随机事件： （1）第二次掷出的点数为3；
解 (1)设事件A表示“第二次掷出的点数为3”，
因此，该试验的样本空间为Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.
延伸探究 本例(2)中“任取两件”改为连续取两次，且每次取出后又放回，此时样本空间又是 什么？ 解 如图，
所以样本空间为Ω4＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2， b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)， (b2，b2)}.
知识点三 随机事件、必然事件与不可能事件
1.一般地，随机试验中的 每个随机事件 都可以用这个试验的样本空间的 子集 来 表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为 随机事件 ，简称 事件 ，并 把只包含 一个样本点 的事件称为 基本事件 .当且仅当A中某个样本点出现时， 称为 事件A发生 .
2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生， 所以Ω总会发生，我们称Ω为 必然事件 .
解 设锤子为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳， j表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)， (w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}. 因为事件A表示随机事件“甲乙平局”， 则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)， ∴事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}. 事件B表示“甲赢得游戏”， 则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)， ∴事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}. 因为事件C表示“乙不输”，则满足要求的样本点共有6个， (w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)， ∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}.
所以A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；
(2)2次掷出的点数之和为6； 解 设事件B表示“2次掷出的点数之和为6”
事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)} (3)两次掷出的点数之差的绝对值为2.
解 事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性（也称随机性). 或者说，出现哪个结果“凭机 会而定”. 3.但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 .
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的.
问题 什么是随机试验?
知识点一 随机试验
我们把对随机现象的 实现 和对它的 观察 称为 随机试验 ，简 称 试验 ，常用字母 E 表示. 具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下 重复 进行； (2)试验的所有可能结果是 明确可知的 ，并且 不止一个 ； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现 哪一个结果.
2.集合A＝{2,3}，B＝{1,2,4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有
基本事件的个数为
A.8
B.9
C.12
√D.11
解析 从A，B中各任意取一个数，可构成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43，共11个.
在具体问题的研究中 , 描
述随机现象的第一步就是建立样 本空间.
一、样本空间的求法
例1 写出下列试验的样本空间： (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；
解 该试验的样本空间Ω1＝{3,4,5，…，18}.
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的 结果； 解 该试验，所有可能的结果如图所示，
实例 “太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
确定性现象 随机现象
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观
察正反两面出现的情况”. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 “抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
知识点二 样本空间
我们把随机试验E的每个可能的 基本结果 称为 样本点 ，全体样本 点的集合称为试验E的 样本空间 ，一般地，用Ω表示样本空间，用 ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn， 则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为 有限样本空间 .
可以用数学方法描述和研究随机现象
当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时，称 事件Ａ发生．
特别地： 基本事件 由一个样本点组成的单点集
“出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”.
必然事件 随机试验中必然发生的事件． 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件.
不可能事件 随机试验中不可能发生的事件. 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色 的情况. 解 如图，
用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1,1,1)， (1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)， (2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)， (3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}.
第一枚
1
0
第二枚
1 0
树状图
1
0
实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.
记 N 正品, D 次品.
则 { NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DDN, DND, DDD }.
实例4 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.
{t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .
∅ 3.空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为
.
不可能事件
二、随机事件的表示
例2 试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况. 设事件A表示随机事件“甲乙平局”； 事件B表示随机事件“甲赢得游戏”； 事件C表示随机事件“乙不输”. 试用集合表示事件A，B，C.
3.30作业解析
系统抽样
统 计
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概率(或然率或几率) —— 随机事件出现的 可能性的度量—— 其起源与博弈问题有关.概率 论是一门研究客观世界随机现象数量规律的数学 分支学科.
1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件
例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 可设 A = “点数不大于4”,
B = “点数为奇数” 等等.
2) 随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样
本空间的子集就是随机事件. 样本空间 作为自身最大的子集包含所有的样
本点（基本事件），表示必然事件．
空集 不含任何样本点表示不可能事件．
如在掷骰子试验E2中， 观察掷出的点数 .
基本事件
事件 （相对于观察目的 不 可再分解的事件）
复合事件
事件 Ai =“掷出i点” i =1,2,3,4,5,6
（两个或一些基本事件并在
一起，就 构成一个复合事件）
事件 B=“掷出奇数点”
结果有可能为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” ，“6”.
实例3 “一只灯泡的寿命” 可长可短.
实例4 “从一批含有正品 其结果可能为:
和次品的产品中任意抽取 一个产品”.
正品 、次品.
实例5 “过马路现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
反思 感悟
写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法 (1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况， 但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏. (2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较 多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用 坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏. (3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及 两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.