高二数学9月月考试题理(2)

合集下载

四川省凉山州宁南中学2022-2023学年高二下学期第二次月考理科数学试题

【详解】解：∵ A = {x 1 < x < 2}， B = {x 1 £ x £ 2} ，
∴ A Ç B = {x 1 < x < 2} ，
故选：D． 2．C 【分析】由复数运算法则可得 z 代数形式，后可得其虚部.
【详解】
z
=
3 + 2i 1+ i
=
(3 + 2i)(1- i) (1+ i)(1- i)
=
5
2
i
=
5 2
-
1 2
i
，则
z
的虚部是
-
1 2
.
故选：C 3．B
【分析】根据点 P ( x, y) 在椭圆上得
x2 a2
+
y2 b2
= 1，且 -a
£
x
£ a ，再利用两点距离求得
PF1
=
c a
x + a ，从而可确定
PF1
a, c 的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率
e
=
c a
的值.
【详解】设椭圆的半焦距为 c ，若椭圆上一点 P ( x,
为圆柱下底面圆
O
的直径，C
是下底面圆周上一点，已知
ÐAOC
=
π 3
，
OA
=
2
，圆柱的高为
5．若点
D
在圆柱表面上运动，且满足
uuur BC
×
uuur CD
=
0
，则点
D
的轨
迹所围成图形的面积为________．
试卷第31 页，共33 页
16．已知函数 f ( x) = aln2x +1- x (a Î R) 有且仅有一条切线经过点 (0, 0) .若"x Î[1, +¥) ， f ( x) + mlnx £ 0 恒成立，则实数 m 的最大值是______.

上海市2022高二数学上学期9月月考试题(含解析)

（1）若，，，求力、的大小；
（2）若，求与 .（用反三角函数表示）
【答案】（1），；（2）， .
【解析】
【分析】
（1）根据受力平衡可知三个力的和为零向量，根据及力的夹角，即可求得、的大小。
（2）根据边长的比值，可知由三个力的大小构成的三角形为直角三角形。根据三角函数，即可表示出与的值。
【详解】因为关于的方程在区间上有三个解，且函数的最小正周期为，再由三角函数的对称性可知：方程在区间上的解的最小值与最大值分别为和；
又它们的和为，所以中间的解为，
所以有，即，故，
又，所以或 .
故答案为或
【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.
由，，三点共线可得
即 ,所以
又因为
所以
即
当时， ,此时
当与 (或 )点重合时,此时 ,此时
所以
由基本不等式 ,可得
当或时,
当x=1且y=1时，x+y=2，xy=1，则
即
【点睛】本题考查了平面向量基本定理、向量共线基本定理的综合应用，注意向量线性运算的转化，属于中档题。
二、选择题
13.已知函数的图象是由函数的图象经过如下变换得到：先将的图象向右平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，则函数的图象的一条对称轴方程为（）
综上, 实数的取值范围为 .
【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质的简单应用,注意端点处的值是否可以取到,属于中档题.
11.设，若关于的方程在区间上有三个解，且它们的和为，则 ________
【答案】或

北京市广渠门中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题)(含答案)

2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一､选择题（每小题4分，共40分）1.（4分）已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是（）A.B.C.D.2.（4分）直线同时要经过第一､二､四象限，则，，应满足（）A.， B.，C.，D.，3.（4分）已知，若，，共面，则等于（）A.B.3C.D.94.（4分）若关于，的方程组无解，则（）A.2C.15.（4分）如图底面为平行四边形的四棱锥，，若，则（）A.1B.2C.D.6.（4分）“”是“直线与直线互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.（4分）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（）A.B. C. D.l (3,2)--(1,2)l (2,1)--(1,0)-(0,1)(2,1)0ax by c ++=a b c 0ab >0bc <0ab <0bc >0ab >0bc >0ab <0bc <(2,1,3),(1,2,3),(7,6,)a b c λ=-=-=a b c λ3-9-x y 4210()210x y a x ay ++=⎧∈⎨++=⎩R a =P ABCD -2EC PE =DE xAB y A z AP C +=+x y z ++=13532m =1:(3)10l m x my -++=2:(1)20l mx m y +--=l sin 20x y θ--=l α[]0,ππ,π42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦8.（4分）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离.当､变化时，的最大值为（）A.1B.2C.3D.49.（4分）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（）D.10.（4分）“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”有两个底面边长为2，高为）A.B.点的坐标为C.，，，四点共面D.直线与直线二､填空题（每小题5分，共30分）11.（5分）已知，且，则__________.d (cos ,sin )P θθ20x my --=θm d A BCD -AB BC AC DB DC ====ABC BCD E BC EF AD ∥ADB ABF 66GE =C (2,2,-O E F A CE DG (2,1,3),(4,2,)a b x =-=- a b ∥x =12.（5分）过点且平行于直线的直线方程为__________.13.（5分）若，，则以为邻边的平行四边形面积为__________.14.（5分）已知，则向量在上的投影向量坐标为__________.15.（5分）若直线经过点，则直线在轴和轴的截距之和的最小值是__________.16.（5分）在正三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法中，正确的有__________.（请填入所有正确说法的序号）①当时，的周长为定值；②当时，三棱锥的体积为定值；③当时，有且仅有一个点，使得；④当时，有且仅有一个点，使得平面.三､解答题（共50分）17.（12分）已知的顶点分别为，，.（1）求边的中线所在直线的方程；（2）求边的垂直平分线的方程.18.（12分）在平行六面体中，，，.（1）求的长；（2）求到直线的距离；(1,3)-23x y -+(2,3,1)a =-(2,1,3)b =-,a b(2,1,3),(2,2,6),(3,3,6)A B C -AC AB:1(0,0)x yl a b a b+=>>(1,2)l x y 111ABC A B C -11AB AA ==P 1BP BC BB λμ=+[0,1],[0,1]λμ∈∈1λ=1AB P 1μ=1P A BC -12λ=P 1A P BP ⊥12μ=P 1A B ⊥1AB P ABC (2,4)A (7,1)B -(6,1)C -BC AD BC DE 1111ABCD A B C D -12AB AA ==1AD =1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒1BD 1A BC（3）动点在线段上运动，求的最小值.19.（12分）如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，.（1）求证：；（2）若底面，且，直线与平面所成角为.（i ）确定点的位置，并说明理由；（ii ）求线段的长.20.（14分）设正整数，集合，对应集合A 中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时.若的子集满足：当且仅当时，，则称为A 的完美子集.（1）当时，已知集合，分别判断这两个集合是否为A 的完美子集，并说明理由；（2）当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；（3）已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为A 的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.P 1CD AP CP ⋅AMDE B C AM MD P ABCDE -F PE ABF PD PC G H AB FG ∥PA ⊥ABCDE PA AE =BC ABF 6πF PH 3n ≥(){}12,,,,,1,2,,n k A aa x x x x k n ==∈=R ∣()12,,n a x x x =⋯()12,,nb y y y =⋯λ(1,2,,)k k x y k n == ()()112212;,,;,,n n n a b a b x y x y x y a x x x λλλλ=+=++⋯+=⋯A {}123,,B a a a =1230λλλ===()1122330,0,,0a a a λλλ++= B 3n =12{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},{(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)}B B ==3n =()()(){}2,,1,,2,1,,1,2B m m m m m m m m m =---B A m {}123,,B a a a A =⊆()()12,,1,2,3i i i in a x x x i =⋯=1232ii i i i x x x x >++1,2,3i =B2024-2025学年北京市东城区广渠门中学高二（上）月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析一､选择题（每小题4分，共40分）1.D【解答】解：由直线的两点式方程，得直线的方程为，即，将各个选项中的坐标代入直线方程，可知点都在直线上，点不在直线上.故选：D.2.【答案】A【解答】解：由于直线同时要经过第一､二､四象限，故斜率小于0，在轴上的截距大于0，故，故，故选：A.3.【答案】C【解答】解：，共面，设，则，，解得，解得.故选：C.4.【答案】C【解答】解：关于的方程组无解，直线与直线平行，l ()()()()232213y x ----=----10x y -+=()()()2,1,1,0,0,1---l ()2,1l 0ax by c ++=y 00a b c b⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩0,0ab bc ><()()()2,1,3,1,2,3,7,6,a b c λ=-=-=,,a b c∴a mb nc =+ ()()2,1,37,26,3m n m n m n λ-=-+++7226133m n m n m n λ-+=⎧⎪∴+=⎨⎪+=-⎩11,44m n =-=9λ=- ,x y ()4210210x y a x ay ++=⎧∈⎨++=⎩R ∴4210x y ++=210x ay ++=，解得.故选：C.5.【答案】A【解答】解：由题意，，又因为，所以，所以.故选：A.6.【答案】A【解答】解：由题意两条直线垂直时，则，即，解得或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.7.【答案】C【解答】解：当时，则直线的斜率不存在，这时直线的倾斜角为，当时，则直线的斜率，当时，则，这时直线的倾斜角为，当，则，这时直线的倾斜角为，综上所述：直线的倾斜角的范围为.故选：C.8.【答案】C21421a ∴=≠1a =DE DC CA AE AB AC AP PE=++=-++()1133AB AC AP PC AB AC AP AC AP =-++=-++- 2233AB AC AP =-+DE x AB y AC z AP =++221,,33x y z ==-=1x y z ++=()()310m m m m -+-=2240m m -=0m =2m =2m =()1:310l m x my -++=()2:120l mx m y +--=sin 0θ=π2sin 0θ≠1sin k θ=0sin 1θ<…[)1,k ∞∈+ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭1sin 0θ-<…(],1k ∞∈--π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解答】解：由题意当时，.的最大值为3.故选：C.9.【答案】B【解答】解：如图，连接，因为为中点，所以，又平面底面，平面底面平面，所以平面，故两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由，可得，则，设平面的一个法向量为，则有，令，得，则，设平面的一个法向量为，则有，令，得，d ∴()sin 1θα-=-max 13d =d ∴,AE DE ,AB BC AC DB DC E ====BC ,AE BC DE BC ⊥⊥ABC ⊥BCD ABC ⋂,BCD BC AE =⊂ABC AE ⊥BCD ,,ED EB EA E 2AB =EF ∥AD ()()(,,0,1,0,A DB F (()0,1,,,AB AD AF ===ABD (),,m x y z =m AB y m AD ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =1y z ==()m = ABF (),,n a b c = 0n AB b n AF ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩1c =0,a b ==()n =则则平面与平面故选：B.10.【答案】C【解答】解：由题意正方形的对角线，则，则，故A 错误；因为，则，故错误；对于，则，所以，又为三个向量的公共起点，所以四点共面，故C 正确；由，得，则，则所以直线与直线，故D 错误.故选：C.二､填空题（每小题5分，共30分）11.【答案】见试题解答内容【解答】解：因为，且，所以存在实数使得即cos ,m n m n m n ⋅<>===ADB ABF ABCD BD =((2,2,,0,G E GE ==12GA =⨯=(2,2,C -B ((,0,4,,C A F (((0,4,,0,,0,OA OE OF ===2OA OF =O ,,,O E F A DE =(D -((,3,1,CE DG ==-cos ,CE DG <>==CE DG ()()2,1,3,4,2,a b x =-=- a∥b λa b λ=24123x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得.故答案为.12.【答案】见试题解答内容【解答】解：设要求的直线方程为：，把点（）代入上述方程可得：，解得.要求的直线方程为：，故答案为：.13.【答案】见试题解答内容【解答】解：设向量的夹角为，，，由同角三角函数的关系，得，以为邻边的平行四边形面积为，故答案为：14.【答案】.【解答】解：因为，所以，所以，所以向量在上的投影向量坐标为.故答案为：.15.【解答】解：直线经过点，6x =-6-20x y m -+=1,3-1230m --⨯+=7m =∴270x y -+=270x y -+=,a bθ()()2,3,1,2,1,3a b =-=-2cos 7a ba bθ⋅∴===-⋅ sin θ==∴,a b sin S a b θ=⋅== 110,,22⎛⎫-⎪⎝⎭()()()2,1,3,2,2,6,3,3,6A B C -()()1,2,3,0,3,3AC AB ==-693AC AB ⋅=-+=AC AB110,,22AC AB AB ABAB ⋅⎛⎫⋅==- ⎪⎝⎭ 110,,22⎛⎫-⎪⎝⎭():10,0x yl a b a b+=>>()1,2121a b∴+=，当且仅当时上式等号成立.直线在轴，轴上的截距之和的最小值为.故答案为：.16.【解答】解：由题意得：，所以为正方形内一点，①当时，，即，所以在线段上，所以周长为，如图1所示，当点在处时，，故①错误；②如图2，当时，即，即，所以在上，，因为平面平面，所以点到平面距离不变，即不变，故②正确；③当时，即，如图3，为中点，为的中点，是上一动点，易知当时，点与点重合时，由于为等边三角形，为中点，所以，又，所以平面，因为平面，则，当时，点与点重合时，可证明出平面，而平面，则，即，故③错误；④，当时，即，如图4所示，为的中点，为的中点，则为上一动点，易知，若平面，只需即可，()12233b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=+++ ⎪⎝⎭…b =∴xy 3+3+][1,0,1,0,1BP BC BB λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦P 11BCC B 1λ=1BP BC BB μ=+[]1,0,1CP BB μμ=∈ P 1CC 1AB P 11AB AP B P ++P 12,P P 111122B P AP B P AP +≠+1μ=1BP BC BB λ=+[]1,0,1B P BC λλ=∈ P 11B C 13P AIBC AIBC V S h -=⋅⋅ 11B C ∥11,BC B C ⊄1,A BC BC ⊂⊂1A BC P 1A BC h 12λ=112BP BC BB μ=+ M 11B C N BC P MN 0μ=P N ABC N BC AN BC ⊥11,AA BC AA AN A ⊥⋂=BN ⊥ANMA 1A P ⊂1ANMA 1BP A P ⊥1μ=P M 1A M ⊥11BCC B BM ⊂11BCC B 1A M BM ⊥1A P BP ⊥12μ=112BP BC BB λ=+ D 1BB E 1CC P DE 1AB AB ⊥1A B ⊥1AB P 11A B B P ⊥取的中点，连接，又因为平面，所以，若，只需平面，即即可，如图5，易知当且仅当点与点重合时，故只有一个点符合要求，使得平面，故④正确.故答案为：②④.11B C F 1,A F BF 1A F ⊥11BCC B 1AF PB ⊥11A B PB ⊥1B P ⊥1A FB 1B P FB ⊥P E 1B P FB ⊥P 1A B ⊥1AB P三､解答题（共50分）17.【答案】（1）；（2）.【解答】解：（1）设中点的坐标为，则，边的中线过点两点，所在直线方程为，即；（2）的斜率，的垂直平分线的斜率，直线的方程为，即.18.【答案】（1（2）2；（3）.【解答】解：（1），因为，所以8340x y --=264130x y --=BC D ()00,x y 0076111,0222x y --+====BC AD ()12,4,,02A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭AD ∴40101222y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-8340x y --=BC 1127613k --==-+BC ∴DE 1132k =∴DE 131022y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭264130x y --=14-1112,1,60AB AA AD BAD BAA DAA ∠∠∠====== 111BD BA AD DD AB AD AA =++=-++ 1BD ==而，，，所以，即；（2）因为，所以，所以，在中，，所以，即，又因为，所以平面，而平面，所以，即为到直线的距离，而，所以三角形为等边三角形，即，即到直线的距离为（3）设则1||||cos 602112AB AD AB AD ︒⋅=⋅=⨯⨯= 111||cos 602222AB AA AB AA ︒⋅=⋅=⨯⨯= 111||cos 601212AD AA AD AA ︒⋅=⋅=⨯⨯= 1BD == 1BD 11cos60212AD AA ==⨯= 1,A D AD AD ⊥∥BC 1A D BC ⊥ABD BD ===222AD BD AB +=BD BC ⊥1A D BD D ⋂=BC ⊥1A BD 1A B ⊂1A BD 1A B BC ⊥1A B 1A BC 112,60AA AB A AB ∠===1AA B 12A B =1A BC 2;1,CP CD λ= ()()()1111AP CP PA PC PC CB BA PC D C AD AB D C A B AD AB A B λλλλ⋅=⋅=++⋅=--⋅=--⋅，当时，这时的最小值为.19.【答案】（1）证明见解答；（2）（1）F 为中点；（2）2.【解答】（1）证明：在正方形中，，又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，则；（2）解：（1）当为中点时，有直线与平面所成角为，证明如下：由平面，可得建立空间直角坐标系，如图所示：()()111AB AA AD AB AA λλλ⎡⎤=---⋅-⎣⎦ ()()22111111AB AB AA AA AB AA AD AB AD AA λλλλλ⎡⎤=---⋅-⋅+-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦ ()()22111221cos602cos60cos60AB AA AD AB AD AA λλλλ⎡⎤=-⨯--⋅+⨯-⋅+⋅⎣⎦()()11141212241212222λλλλ⎡⎤=---⨯⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯⎢⎥⎣⎦242λλ=-211444λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭14λ=AP CP ⋅14-PE AMDE AB ∥DE AB ∉,PDE DE ⊂PDE AB ∥PDE AB ⊂ABFG ABFG ⋂PDE FG =AB ∥FG F PE BC ABF π6PA ⊥ABCDE ,,PA AB PA AE ⊥⊥A xyz -则，又为中点，则，设平面的一个法向量为，则有，即，令，则，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，故当为中点时，直线与平面所成角的大小为.（2）设点的坐标为，因为点在棱上，所以可设，即，所以，因为是平面的法向量，所以，即，解得，故，则，所以.20.【答案】（1）是的完美子集，不是完美子集；()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,0,2A B C P F PE ()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1F BC AB AF === ABF (),,n x y z =00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y z =⎧⎨+=⎩1z =1y =-ABF ()0,1,1n =- BC ABF α||1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=<>=== F PE BC ABF π6H (),,u v w H PC ()01PH PC λλ=<< ()(),,22,1,2u v w λ-=-2,,22u v w λλλ===-()0,1,1n =-ABFGH 0n AH ⋅= ()()0,1,12,,220λλλ-⋅-=23λ=422,,333H ⎛⎫ ⎪⎝⎭424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2PH ==1B A 2B（3）是的完美子集.【解答】解（1）设，即，所以是完美子集，设，，可得解得：所以不是完美子集；（2）因为集合不是的完美子集，所以存在，使得，即，由集合的互异性可得：且且，所以且，所以，可得，所以，即，所以，所以或，当时，，解得：，所以存在使得，当时，因为，所以，不符合题意，B A ()1122330,0,0a a a λλλ++=1230λλλ===1B 112233(0,0a a a λλλ++=0)1231231232402350,3460λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1232,3,1λλλ==-=2B ()()(){}2,,1,,2,1,,1,2B m m m m m m m m m =---A ()()123,,0,0,0λλλ≠()1122330,0,0a a a λλλ++=()()()123123123202101120m m m m m m m m m λλλλλλλλλ⎧++=⎪++-=⎨⎪-+-+=⎩2m m ≠1m m ≠-12m m -≠0m ≠1m ≠-12320λλλ++=()()312122,,0,0λλλλλ=--≠()()()()()12121212212011220m m m m m m λλλλλλλλ⎧++---=⎪⎨-+-+--=⎪⎩()()()()12122103110m m m m λλλλ⎧-+++=⎪⎨--+--=⎪⎩()1410m λ-+=14m =10λ=14m =123123123202303320λλλλλλλλλ++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩12357,3λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩123573λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩()1122330,0,0a a a λλλ++=10λ=1m ≠-230,0λλ==（3）一定是的完美子集，假设存在不全为0的实数满足，不妨设，则，否则与假设矛盾，由，可得，所以.即矛盾，所以假设不成立，所以，所以，所以一定是的完美子集.B A 123λλλ､､()1122330,0,0a a a λλλ++=123λλλ……10λ≠1112213310x x x λλλ++=3211213111x x x λλλλ=--32112131213111x x x x x λλλλ++……111121312x x x x >++11112131x x x x >++10λ=230λλ==B A。

北京市海淀区2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题(含解析)

一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.已知，则（）i 1i z=-z =A.0B.1D.22.如图，在平行六面体中，（）1111ABCD A B C D -1AB AD AA --=A.B. C. D.1AC 1AC 1D B 1DB 3.已知，则的坐标为（）()()2,3,1,6,5,3A B ---ABA.B.C.D.()8,8,4--()8,8,4-()8,8,4-()8,8,4--4.如图，已知正方体的棱长为（）ABCD A B C D '-'''1,AA DB ⋅=''A.1D.1-5.设分别是平面的法向量，其中，若，则（12,n n,αβ()()121,,2,,2,1n y n x =-=- α∥βx y +=）A. B. C.3 D.92-72-726.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数1l()0,0,1u =2l()1v =-1l 2l 为（）A.B.C.D.30601201507.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，则“”是“”的（）n αa l a n ⊥l ∥αA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与,,,O A B C a OA OB OC =++ b OA OB OC =+- 不能构成空间基底的向量是（）,a bA. B. C. D.或OA OB OC OA OB9.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点，且关于轴的对称点为点，Oxyz ()2,1,1A Oxz B y C 则两点间的距离为（）,B CB.C.10.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则和ABCD ,M N ,BC ADAM 夹角的余弦值为（）CN A. C. D.231323-二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.已知向量，则与共线的单位向量为__________.()2,3,1a =- a 12.已知向量且，则__________，__________.()()2,0,1,,2,1a b m =-=-a b ⊥ m =a b += 13.已知直线经过两点，则点到直线的距离为__________.l ()()1,0,1,2,0,0A B ()2,1,4P l 14.在空间直角坐标系中，已知.则与的夹角的Oxyz ()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2AB AC AD ===CD CB余弦值为__________；在的投影向量__________.CD CB a = 15.以下关于空间向量的说法：①若非零向量满足，则,,a b c a ∥,b b ∥c a ∥c ②任意向量满足,,a b c ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ ③若为空间向量的一组基底，且，则四点共面{},,OA OB OC221333OD OA OB OC=+- ,,,A B C D ④已知向量，若，则为钝角()()1,1,,3,,9a x b x ==-310x <,a b <>其中正确命题的序号是__________.三､解答题（共4道大题，共60分）16.如图，在正方体中，为线段的中点.1111ABCD A B C D -2,AB E =11B C（1）求证：；11AA D E ⊥（2）求平面的法向量；1D BE （3）求点到平面的距离.1A 1D BE 17.如图，正三棱柱的底面边长为2，高为为的中点，为的中点.111ABC A B C -4,D 1CC E 11A B（1）求证：平面；1C E ∥1A BD （2）求直线与平面所成角的正弦值.BC 1A BD18.如图，在平行六面体中，，1111ABCD A B C D -14,2,60AB AD AA BAD ∠====与相交于点，设.1145,BAA DAA AC ∠∠==BD O 1,,AB a AD b AA c ===（1）试用基底表示向量；{},,a b c1OA （2）求的长；1OA （3）求直线与直线所成角.1OA BC19.如图，四棱锥倍，为侧棱上的点.S ABCD -P SD（1）求证：；AC SD ⊥（2）若平面，求平面与平面的夹角大小；SD ⊥PAC PAC ACD （3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；SC E BE ∥PAC :SE EC 若不存在，试说明理由.参考答案一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.【答案】C【分析】利用复数的乘法求出，再求出复数的模.z【详解】依题意，，则()i 1i 1iz =-=--z ==故选：C 2.【答案】C【分析】利用向量的加减法法则计算即可.【详解】1111AB AD AA DB AA DB DD D B --=-=-= 故选：C 3.【答案】B【分析】利用空间向量坐标运算即可.【详解】因为，()()2,3,1,6,5,3A B ---所以()8,8,4AB =-故选：B.4.【答案】A【分析】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】因为，DB DB BB AB AD BB AB AD AA '=+=-+'''=-+且，0,0AA AB AA AD ''⋅=⋅= 所以.()21AA DB AA AB AD AA AA AB AA AD AA '''''''⋅=⋅-+=⋅-⋅+= 故选：A.5.【答案】D【分析】本题根据图形关系得到，得到，解出即可.1n ∥1n 1221y x -==-,x y 【详解】，且分别是平面的法向量，则，α ∥β12,n n ,αβ1n ∥1n 则有，故，则.1221y x -==-1,42x y =-=72x y +=故选：D.6.【答案】B【分析】根据空间向量夹角公式，代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.cos ,u v u v u v⋅<>=⋅【详解】直线方向向量，1l ()0,0,1u= 直线方向向量，2l()1v =-，1cos ,2u v u v u v ⋅<>===-⋅所以两向量夹角为，120直线和所成角为，∴1l 2l 60故选：B.7.【答案】B【分析】根据线面平行的性质及其法向量和方向向量的关系判断即可.【详解】为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，n αal 若，则或，充分性不成立，a n ⊥ l α⊂l ∥α若，则，必要性成立，l ∥αa n ⊥所以“”是“”的必要不充分条件.a n ⊥ l ∥α故选：B.8.【答案】C【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出.【详解】，()()()111222OC a b OA OB OC OA OB OC=-=++-+- 与不能构成空间基底；OC ∴ a b､故选：C.9.【答案】D【分析】先求得的坐标，再用两点的距离公式求解,B C 【详解】因为点在坐标平面内的射影为点，()2,1,1A Oxz B 所以，()2,0,1B 因为点关于轴的对称点为点，()2,1,1A y C 所以，()2,1,1C --所以BC ==故选：D 10.【答案】A【分析】根据正四面体性质取的中点为，即可知即为异面直线和的夹角的平面角，BN P AMP ∠AM CN 计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接，取的中点为，连接，如下图所示：BN BN P ,AP MP由正四面体的棱长为1可得AM CN BN ===又分别是的中点，所以，且,M P ,BC BN MP ∥CN 12MP CN ==所以即为异面直线和的夹角的平面角，AMP∠AM CN 又易知，且，所以BN AN ⊥12PN BN ==AP ===因此，2cos 3AMP ∠==即和夹角的余弦值为.AM CN 23故选：A二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.【答案】或⎛⎝【分析】求出，再根据求解即可.aa a± 【详解】因为向量，所以()2,3,1a =-a==所以，aa ±==±所以与共线的单位向量为或.a⎛ ⎝故答案为：或.⎛ ⎝12.【答案】（1）（21##0.52【分析】利用空间向量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解.【详解】因为，()()2,0,1,,2,1a b m =-=-当时，所以，a b ⊥210m -=所以；12m =因为，()12,0,1,,2,12a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，5,2,02a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 所以.a b +==故答案为：.1213.【答案】3【分析】根据坐标求出，然后得到，最后用勾股定理求即可得到点到cos ,,AP AB AP<>AP 'PP 'P 直线的距离.l 【详解】如图，过点作于点P PP AB'⊥P '由题意得，，()()1,1,3,1,0,1,cos ,AP AB AP AB==-<>==，所以.AP ==cos ,3AP AP AP AB PP =⋅<='='>= 故答案为：3.14.【答案】①②12()1,1,0-【分析】先根据空间向量的坐标运算求出与的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计CD CB算公式即可求出结果.【详解】因为，()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2AB AC AD ===所以，()()0,2,2,2,2,0CD AD AC CB AB AC =-=-=-=-所以，1cos ,2CD CB CD CB CD CB ⋅<>===在的投影向量为.CD CB()cos ,1,1,0CB CD CD CB CB<>=-故答案为：.()1;1,1,02-15.【答案】①③【分析】根据向量共线定理可判断①；由向量数量积的运算律可判断②；根据可判断1133AD AB CB=+③；当时可判断④.3x =-【详解】对于①，因为是非零向量，且满足，故存在实数使得，,,a b c a ∥,b b ∥c ,λμa b λ= ，故，所以，故①正确；b c μ= a c λμ= a ∥c 对于②，因为不一定共线且向量的数量积为实数，所以不一定成立，故②不正确；,a c ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 对于③，若为空间向量的一组基底，所以三点不共线，{},,OA OB OC,,A B C ，且，221333OD OA OB OC =+- ()()1211133333OD OA OA OB OC OB OA OB OC-=-+-=-+- 所以，则四点共面，所以③正确；1133AD AB CB=+ ,,,A B C D 对于④，当时，反向共线，有为，所以④不正确.3x =-,a b 3,,b a a b =- 180故答案为：①③.三､解答题（共4道大题，共60分）16.【答案】（1）证明见解析；（2），答案不唯一；()2,1,1-（3.【分析】（1）根据线面垂直的性质，即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，利用向量法即可求得结果；（3）根据（2）中所求平面的法向量，求得在平面法向量上的投影向量的长度即可.11A D 【小问1详解】因为是正方体，故可得面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥1111A B C D又面，故可得.1D E ⊂1111A B C D 11AA D E ⊥【小问2详解】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示：D 则可得：，()()()()110,0,2,2,2,0,1,2,2,2,0,2D B E A ()()()1111,2,0,1,0,2,2,0,0D E BE A D ==-=-设平面的法向量为，1D BE (),,m x y z =则，即，取，可得，100m D E m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y x z +=⎧⎨-+=⎩2x =1,1y z =-=故平面的一个法向量为.1D BE ()2,1,1-【小问3详解】设点到平面的距离为，1A 1D BE d 则.11A D m d m ⋅===故点到平面.1A 1D BE17.【答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）由已知建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面1C E 1A BD 平行的向量判定方法求解即可；（2）根据线面角的向量求解公式求解即可.【小问1详解】如图以A 为坐标原点，以所在直线为轴，轴，在平面内做与垂直的直线为轴1,AC AA y z ABC AC x 建立空间直角坐标系，())()()()1110,2,4,,0,2,2,,4,0,0,4,0,2,02C B D E A C ⎫⎪⎪⎭所以113 ,0,4),(2)2C E A B BD ⎫=-=-=⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，1A BD (),,n x y z = 所以，即，100n A B n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4020y z y z ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩令，x =1,1z y ==即为平面的一个法向量，)n = 1A BD 所以，1310102C E n ⎛⎫⋅=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又因为平面，1C E ⊄1A BD 所以平面；1C E ∥1A BD 【小问2详解】由（1）知，()),BC n == 设直线与平面所成角为，BC 1A BD θ所以，sin cos ,BC θ= 所以直线与平面.BC 1A BD 18.【答案】（1）11122OA a b c =--+（2（3）π2【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；（2）由（1）可知，然后利用数量积求模长即可；11122OA a b c =--+ （3）利用空间向量线线角的向量法求解即可.【小问1详解】()111111111;22222OA OA AA AB AD AA AB AD AA a b c =+=-++=--+=--+ 【小问2详解】，1114,2,60,45AB AD AA BAD BAA DAA ∠∠∠====== 所以，1cos604242a b a b ⋅==⨯⨯=，cos4524b c b c ⋅==⨯=，cos4548a c a c ⋅==⨯= 由（1）知，11122OA a b c =--+ 所以，22222111111322442OA a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=--+=+++⋅-⋅-⋅= ⎪⎝⎭ 所以1OA = 【小问3详解】，BC AD b == ，21111102222OA BC a b c b a b b b c ⎛⎫⋅=--+⋅=-⋅-+⋅= ⎪⎝⎭ ，111cos ,0OA BC OA BC OA BC ⋅==所以与所成角为，1OA BC π2所以直线与直线所成角为.1OA BC π219.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.30 :2:1SE EC =【分析】（1）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，BD AC BD O SO ⊥ABCD O 分别为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量与，结合数量积即可,,OB OC OS x y z OC SD 证明；AC SD ⊥（2）分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；PAC ACD （3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面的一个法BE ∥PAC BE PAC 向量，即可求解.【详解】（1）证明：连接，设交于，由题意知平面.以为坐标原点，BD AC BD O SO ⊥ABCD O ，分别为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系如图.OB ,OC OSx y z O xyz -设底面边长为，则高.aSO =于是,,0,0,,0S D C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,0,,0,OC SD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故，从而.0OC SD ⋅= OC SD ⊥AC SD ⊥（2）由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量PAC DS ⎫=⎪⎪⎭ DAC ，设所求角为，则平面与平面的夹角为.OS a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭θcos OS DS OS DS θ⋅==∴⋅ PAC DAC 30（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，SC E BE ∥PAC DS PAC 且.,0,DS a CS a ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭ 设，则CE tCS = BE BC CE BC tCS=+=+ 而，()1t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭103BE DS t ⋅=⇔= 即当时:2:1SE EC =，而不在平面内，故平面.BE DS ⊥ BE PAC BE ∥PAC。

上海民办南模中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

3π 2
，则
tan
a
=
；
3．已知
r a
=
(
m
+
1,
-3)
,
r b
=
(1,
m
-1)
，且
r a
+
r b
与
r a
-
r b
垂直，则实数
m
=
.
4．若数列{an} 的前 n 项和为 Sn = -2n2 + 3n +1，则 an =
.
5．设方程 x2 - 2x + m = 0 的两个根为a, b ，且| a - b |= 2 ，则实数 m 的值是 .
9．将函数 f (x) = sin x 的图象向右平移 π 个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标 6
缩短为原来的
1 2
倍，纵坐标不变，得到函数
y
=
g
(
x)
的图象，则
g
(
x)
的单调递减区间
试卷第11 页，共33 页
为
.
10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：
1,1, 2,3,5,8,13, 21,LL .该数列的特点如下：前两个数都是 1，从第三个数起，每一个数
f
(a
)
=
sin
æçèa
-
π3ö 2 ÷ø
cosπæçèt2anπ+
a
ö ÷ø
tanπ(s-ianπ- ) (-a
-
( )
-a) .
(1)化简 f (a ) ；
(2)若
cosπæçè
a
-

山东省济宁市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题含答案

济宁市高二年级第一学期九月模块测试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下事件是随机事件的是（）A.标准大气压下，水加热到100C ，必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为,a b的矩形，其面积为abD.实系数一元一次方程必有一实根【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概念判断即可【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为,a b的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．2.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品【答案】B【解析】【详解】试题分析：事件A 不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A 的对立事件为至多一件次品．故B 正确．考点：对立事件．3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A.12B.14C.13D.16【答案】B 【解析】【分析】列举出所有的可能事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】两名同学分3本不同的书，记为,,a b c ，基本事件有(0，3)，(1a ，2)，(1b ，2)，(1c ，2)，(2，1a )，(2，1b )，(2，1c )，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p ＝28＝14.故选:B4.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件A B +发生的概率为（）A.13B.12C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】由互斥事件的概率可知(()(1())P A B P A P B +=+-，从而得解.【详解】由已知得：1()3P A =，2()3P B =，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B 表示“出现5点或6点”故事件A 与事件B 互斥，122()()(1())(1)333P A B P A P B ∴+=+-=+-=故选：C5.直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B = （）A.a b c+-r r r B.a b c-+r r r C.a b c -++D.a b c-+- 【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．6.已知空间向量0a b c ++=，2a = ，3b = ，4c = ，则cos ,a b = （）A.12B.13C.12-D.14【答案】D 【解析】【分析】设,,AB a BC b CA c ===，在ABC V 中由余弦定理求解.【详解】空间向量0a b c ++= ，2a = ，3b = ，4c =，则,,a b c三向量可能构成三角形的三边.如图，设,,AB a BC b CA c === 2a = ，则ABC V 中，||2,||3,||4AB BC CA === 2a =，222||||cos ,cos 2AB BC CA a b ABC AB BC+-∴=-∠=-⨯⨯ 491612234+-=-=⨯⨯.故选：D7.端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.5960 B.35 C.12 D.160【答案】B【解析】【分析】这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率.【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，∴这段时间内至少1人回老家过节的概率为：1113 11113455 p⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（）A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.【详解】因为抛硬币出现正面朝上的概率为12，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为5150≈3.33%.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在平行六面体ABCD A B C D -''''中，若AB 所在直线的方向向量为(2,1,3)-，则C D ''所在直线的方向向量可能为（）A.(2,1,3)B.(2,1,3)--C.(4,2,6)-D.(4,2,6)-【答案】BC 【解析】【分析】由已知可得//AB C D ''，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项.【详解】由已知可得//AB C D ''，故它们的方向向量共线，对于B 选项，(2,1,3)(2,1,3)--=--，满足题意；对于C 选项，(4,2,6)2(2,1,3)-=-，满足题意；由于A 、D 选项不满足题意．故选：BC.10.下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于0070与合格率为0070均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解.【详解】根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，对于A ，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件；对于B ，统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；对于C ，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件；对于D ，检查某种产品，合格率高于0070与合格率为0070,为互斥事件；故选：ACD.11.已知点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，且12OP OA mOB nOC =+-（m ，n R ∈），则m ，n 的值可能为（）A.1m =，12n =- B.12m =，1n = C.12m =-，1n =- D.32m =，1n =【答案】CD 【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为点P 为三棱锥O ABC -的底面ABC 所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()AP y AC z AB AO OP y AO OC z AO OB =+⇒+=+++ ，化简得：(1)OP y z OA yOC zOB =--++，显然有11y z y z --++=，而12OP OA mOB nOC =+- ，所以有11122m n m n +-=⇒-=，当1m =，12n =-时，32m n -=，所以选项A 不可能；当12m =，1n =时，12m n -=-，所以选项B 不可能；当12m =-，1n =-时，12m n -=，所以选项C 可能；当32m =，1n =时，12m n -=，所以选项D 可能，故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．【答案】34【解析】【详解】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条这一事件共有4种，而不能构成三角形的情形为2,3,5.所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是P ＝34.13.已知事件A ，B ，C 两两互斥，且()0.3P A =，()0.6P B =，()0.2P C =，则()P A B C ⋃⋃=______．【答案】0.9##910【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解【详解】由题意得()1()0.4P B P B =-=，则()()()()0.9P A P P A B C B P C ⋃⋃=++=．故答案为：0.914.在长方体1111ABCD A B C D -中，122AB AA AD ===，以D 为原点，DA ，DC ，1DD方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC =______，若点P 为线段AB 的中点，则P 到平面11A BC 距离为______．【答案】①.(1,2,2)-②.6【解析】【分析】第一空，根据向量的坐标运算可得答案；第二空，求出平面11A BC 的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可得解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为122AB AA AD ===，则(1,0,0)A ，1(0,2,2)C ，1(1,0,2)A ，(1,2,0)B ，(1,1,0)P ，所以1(1,2,2)AC =- ，11(1,2,0)A C =- ，1(0,2,2)A B =- ，(0,1,0)PB =，设平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z = ，则11100A B n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则2,1x z ==，故(2,1,1)n =，则P 到平面11A BC距离为66n PB d n⋅== .故答案为：(1,2,2)-；66.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知2,3a b == ，且a b ⊥ 求2a b a b +⋅（）（-）（2）已知a b a b +=- ，求a b⋅ 【答案】（1）1-（2）0【解析】【分析】（1）由已知，利用向量数量积运算，结合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由a b a b +=-，两边平方，展开运算即可.【详解】（1）因为2,3a b == ，且a b ⊥ ，所以22222222031a b a b a a b b +⋅+⋅-=⨯+-=- （）（-）=.（2）因为a b a b +=- ，则22a b a b +=- ，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，化简得22a b a b ⋅=-⋅ ，所以0a b ⋅=.16.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）5 21【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=5 21．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．17.甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得；（2）由题意，甲获得这次比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可.【小问1详解】用i A 表示事件“第i 局甲胜”，j B 表示事件“第j 局乙胜”（,3,4,5i j =），设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则3434A A A B B =+，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A 与事件34B B 互斥.所以()()()()()()()()343434343434P A P A A B B P A A P B B P A P A P B P B =+=+=+0.60.60.40.40.52=⨯+⨯=．故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.【小问2详解】记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而34345345B A A B A A A B A =++，由于各局比赛结果相互独立，且事件34A A ，345B A A ，345A B A 两两互斥，所以()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648P B =⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.18.如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，ABAF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ；(2)AM ⊥平面BDF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD ＝N ，连结NE.则N 22,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E(0，0，1)，220)，M 22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM.∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE.(2)由(1)知AM ＝22,,122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，∵2，0，0)，22，1)，∴DF ＝(02，1)，∴AM ·DF＝0，∴AM ⊥DF.同理AM ⊥BF.又DF∩BF ＝F ，∴AM ⊥平面BDF.19.在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，E 为线段CD 中点．（1）求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值；（2）在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）存在，12AP =【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设AB a =，写出点的坐标，求出110B E AD ⋅= ，得到异面直线夹角余弦值为0；（2）设()00,0,P z ，求出平面1B AE 的一个法向量1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据0DP n ⋅= 得到方程，求出12z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.【小问1详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，设AB a =，则()()()11,0,1,,1,0,0,0,0,0,1,12a B a E A D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()()()11,1,0,0,1,1,1,0,1,10,0,00,1,122a a B E a AD ⎛⎫⎛⎫=-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则()11,1,10,1,11102a B E AD ⎛⎫⋅=--⋅=-= ⎪⎝⎭，故直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值为0；【小问2详解】存在满足要求的点P ，理由如下：设棱1AA 上存在点()00,0,P z ，使得//DP 平面1B AE ，0,1,0，则()00,1,DP z =- ，设平面1B AE 的一个法向量为(),,n x y z =，则()()()1,,,0,10,,,1,0022n AB x y z a ax z a a n AE x y z x y ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎩，取1x =得,2a y z a =-=-，故1,,2a n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，要使//DP 平面1B AE ，则n DP ⊥，即()00,1,1,,02a DP n z a ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭ ，所以002a az -=，解得012z =，故存在点P ，使得//DP 平面1B AE ，此时12AP =.。

高二数学下学期第二次月考试题理含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。

高二数学(理)下学期第二次月考试题(含答案)

上学期第二次月考高二数学卷（理）考试时间：120分钟满分：150一、选择题（每小题5分，共12题）1、已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则N M C U ⋂)( = （）A ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e2、 5()a x x +（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（）A ．-1B ．12 C ．1 D ．23、某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（）A. 24种B. 36种C. 38种D. 108种4、计算888281808242C C C C ++++ ＝（）A 、62B 、82C 、83 D 、63 5、一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( ) A.23 B.512 C.59 D.796、已知△ABC 的重心为P ，若实数λ满足：AB AC AP λ+=，则λ的值为A ．2B ．23C ．3D ．67、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种8、35(1(1+的展开式中x 的系数是（A ）4- （B ）2- （C ）2 （D ）49、某体育彩票规定: 从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B. 1052元C. 2100元D. 2102元10、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（）A.2524C C ⋅ B.443424C C C ++ C.2524C C + D.054415342524C C C C C C ⋅+⋅+⋅11、已知,)(为偶函数x f x x f x x f x f 2)(,02),2()2(=≤≤--=+时当，若*,(),n n N a f n ∈=则2011a = ( )A ．1B ．21C ． 14D ．1812、如图，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（）A ．10B ．13C ．12D ．15二、填空题（每小题5分，共4小题）13、已知(1-2x)n的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第_____________项.14、乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_.15、同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是_____________ (结果要求写成既约分数）.16、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有_______种不同的涂色方案。

安徽省肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(理)试题含答案

安徽省肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）试题含答案2020—2021学年度第一学期高二第二次考试数学（理）试题 ★祝考试顺利★注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第I 卷(选择题60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

） 1.若直线l 与直线1,7y x ==分别交于点,P Q ，且线段PQ 的中点坐标为()1,1-，则直线l 的斜率为（）A. 13 B 。

13- C 。

32- D.232。

直线l 经过()2,1A ， 11,2B m m⎛⎫+-⎪⎝⎭两点()0m >，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（）A. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.0,,42πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭3。

直线2130x my m -+-=,当m变化时,所有直线都过定点( ）A. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B 。

1,32⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ D 。

1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭4。

下列说法的正确的是（）A ．经过定点()P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x ay b+=1表示D 经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121来表示5。

已知直线1l :70x my ++=和2l ：()2320m x y m -++=互相平行,则实数m = （）A. 1m =-或 3 B 。

东莞外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题(解析版)

2024-2025学年第一学期东莞外国语学校高三段考一命题人：夏俊东审题人：龚建兵一、单选题（每题5分，共40分）1. 设集合{}24Ax x=≥，{}2B x x a =<，若A B A = ，则a 的取值范围是（）A. (],4−∞−B. (],1−∞−C. [)1,+∞D. [)4,+∞【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次不等式再根据集合间的关系求参．【详解】(][),22,A ∞∞=−−∪+，,2a B ∞=−；由A B A = 可以推出B A ⊆，所以22a≤−， a 的取值范围是(,4⎤-∞-⎦．故选：A.2. 命题“N m ∃∈，N ”的否定是（） A. N m ∀∈N B. N m ∀∉N C N m ∃∈N D. N m ∀∈N【答案】D 【解析】【分析】利用命题否定的定义求解即可. 【详解】由命题否定的定义得命题“N m ∃∈，N ”的否定是N m ∀∈N ，故D 正确.故选：D3. 某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，若样本中有女员工39人，男员工21人，女员工的平均体重为50kg ，标准差为6，男员工的平均体重为70kg ，标准差为4．则所抽取的所有员工的体重的方差为（） A. 29B. 120C. 100D. 112.【答案】B 【解析】【分析】求出样本平均数，再根据分层抽样方差计算公式求出样本的方差. 【详解】依题意，样本中所有员工的体重的平均值为392150705739213921×+×=++，则样本中所有员工的体重的方差222223921[6(5057)][4(7057)]12039213921s =×+−+×+−=++. 故选：B4. 二项式5212x x +−展开式中，含2x 项的系数为（）A. 20B. 20−C. 60−D. 80【答案】A 【解析】【分析】利用展开式的意义可求含2x 项的系数.【详解】5212x x +−表示5个因式212x x +−的乘积，要得到含2x 项，需有1个因式取2x ，其余的4个因式都取2−，系数为()415C 2−，或者需有2个因式取2x 项，需有2个因式取1x，其余的1个因式都取2−，系数为()22532C C −，故含2x 项的系数为()()42215352C C C 220−+−=．故选：A.5. 函数()f x ax x =，经过点(1,1)−，则关于x 的不等式2(3)(40)f x f x +−<解集为（） A. (,1)(4,)−∞−+∞ B. (1,4)− C. (,4)(1,)∞∞−−∪+ D. (4,1)−【答案】B 【解析】【分析】根据图象经过点(1,1)−得到解析式，再判断函数单调性及奇偶性，由此求解不等式即可. 【详解】由函数()f x ax x =的图象经过点(1,1)−，得1a =−，则ff (xx )=−xx |xx |=�xx 2,xx ≤0−xx 2,xx >0，所以函数()f x 在(,0]−∞上单调递减，在(0,+∞)上单调递减，所以()f x 在R 上单调递减，又()||||()f x x x x x f x −=−==−，即函数()f x 是奇函数，不等式2223)))(3)(40()(4(4f x f x f x f x f x +−=<⇔<−−−，则243x x −<，即2340x x −−<，解得14x −<<，所以原不等式的解集为(1,4)−. 故选：B.6. 若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()2,12f x f x f −==，则()()()1230f f f +++=（） A. 2 B. 0C. 60D. 62【答案】A 【解析】【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出()()()()12340f f f f +++=即可得解. 【详解】由题意()()()()22f x f x f x f x −==−−=−−，所以()f x 的周期为4，且()f x 关于直线1x =对称，而()()()())()()()()()12340112200f f f f f f f f f f +++=++−+===，所以()()()()()()()()()123029*********f f f f f f f f f +++=+=+=+=+= . 故选：A.7. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（）A. 96种B. 64种C. 32种D. 16种【答案】B 【解析】【分析】分3步完成，每步中用排列求出排法数，再利用分步计数原理即可求出结果. 【详解】根据题意，分3步进行，第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有222A 4=种排法；第二步，排第一步中剩余的一组数，共有1142A A 8=种排法；第三步，排数字5和6，共有22A 2=种排法；由分步计数原理知，共有不同的排法种数为48264××=. 故选：B.8. 已知实数x ，y ，满足2ln e ln 2x y y y x =−，则y 的最小值为（）A. eB.e2C.2eD.【答案】A 【解析】【分析】化简变形后可设()e t f t t =，知其在(1,)+∞上单调递增，若()(ln 2)2f xy f x =，则22e x xy =，对2e 2xy x=求导可得到极值点也是最值点，故可得结果.【详解】由已知有2ln ln 2e x y y y x +=，即2ln 2e x y xy =，即ln 22ln 2e 2e xy x xy x ⋅=，因为20x >，令()e t f t t =，0t >，()()1e 0t f t t +′=>易知()f t 在(0,)+∞上单调递增，因()(ln 2)2f xy f x =，所以ln 22xy x =，故22e xxy =，即2e 2xy x=. 所以22(21)e 2x x y x −′=，令22(21)e 02xx y x−′==，可得12x =，又因22(21)e 2x x y x−′=在10,2上小于零，故y 在10,2 单调递减， 22(21)e 2x x y x−′=在1,2∞ + 上大于零，故y 在1,2∞ + 单调递增，故当时12x =，y 取极小值也是最小值为e. 故选：A二、多选题（每题6分，共18分，部分选对得部分分，错选得0分）9. 已知正数x ，y 满足21x y +=，则下列说法正确的是（）A. xy 的最大值为18B. 224x y +的最小值为12C.的最大值为D.13x y+的最小值为7+【答案】ABD 【解析】【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.【详解】对于A ：∵0x >，0y >，21x y +=. ∴222112224+ ⋅≤==x y x y ，18xy ≤. 当且仅当221x y x y =+=，即12x =，14y =，取“=”，∴A 正确；对于B ：2224(2)414x y x y xy xy +=+−=−，由（1）知18xy ≤，∴142xy −≥−. ∴2211414122x y xy +=−≥−=.∴B 正确；对于C ：22112112=++=+≤++=+=x y x y .≤，∴C 错误；对于D ：()132******** ++=+++=++≥+y x y xx y x y x y x y 当且仅当23y xx y =，即222321y x x y = +=，取“=”，∴D 正确. 故选：ABD.10. 从某加工厂生产的产品中抽取200件作为样本，将它们进行某项质量指标值测量，并把测量结果x 用频率分布直方图进行统计（如图）.若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则关于该样本的下列统计量的叙述正确的是（）A. 指标值在区间[)205,215的产品约有48件B. 指标值的平均数的估计值是200C. 指标值的第60百分位数是200D. 指标值的方差估计值是150 【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的频率分布直方图，利用各组的频率结合频数及百分位数的意义计算判断AC ；利用频率分布直方图求估算平均数、方差的方法计算判断BD 作答.【详解】指标值[)205,215x ∈的样本频率是100.0240.24×=，指标值在区间[205,215)的产品约有2000.2448×=件，A 正确；1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =×+×+×+×+×+×+×=， 2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02150s =−×+−×+−×+×+×+×+×=，BD 正确；由直方图得，从第一组至第七组的频率依次是0.02，0.09，0.22，0.33，0.24，0.08，0.02，所以指标值的第60百分位数m 在[)195,205内，()()1950.0330.60.020.090.22m −×=−++，解得203.18m ≈，C 错误.故选：ABD11. 已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，()g x 的导函数为()g x ′，且()()5f x g x ′+=，()()155f x g x −′−−=，若()g x 为偶函数，则下列说法正确的是（）A. ()05f =B.()2024110120n f n ==∑C. 若存在0x 使()f x 在()00,x 上单调递增，在()02x ,上单调递减，则()g x 的极小值点为()4Z k k ∈D. 若()f x 为偶函数，则满足题意的()f x 唯一，满足题意的()g x 不唯一【答案】ABD 【解析】【分析】代入求得()05f =判断A ；利用函数的周期判断B ；利用已知条件和函数的周期性判断C ；根据函数的奇偶性结合已知条件求出()5f x =，()0g x ′=判断D .【详解】对A ，因为()g x 为偶函数，所以()g x ′是奇函数，所以()00g ′=，又()()5f x g x ′+=，所以()()()00505f g f ′+=⇒=，故A 对；对B ，由()()5f x g x ′+=，()()155f x g x −′−−=，得()()45f x g x ′−−=，所以()()410f x f x −+=，所以()()1310f f +=，()()245f f ==，又()()()()554f x g x g x f x ′′=−=+−=+，所以()f x 是周期为4的函数，()g x ′也是周期为4的函数，所以()()()()12320242050610120f f f f ++++=×= ，故B 对；对C ，()f x 在()00,x 上严格增，在()02x ,上严格减，由()()410f x f x −+=，()y f x =的图象关于()2,5对称且()25f =，由A 可得()05f =，故()f x 在[)00,x 上严格增，在(]0,2x 上严格减，可知()f x 在[)02,4x −严格递减，在(]04,4x −严格递增，又()f x 的周期为4，所以()f x 在(]0,0x −严格递增，所以()g x ′在(]0,0x −严格递减，在[)00,x 严格递减，又()00g ′=，所以0是()g x 的极大值点，()g x ′是周期为4的函数，所以则()g x 的极大值点为()4Z k k ∈，故C 错；对D ，若()f x 为偶函数，由于()g x ′是奇函数，()()5f x g x ′+=，则()()5f x g x +′−−=，即()()5f x g x −′=，所以()5f x =，()0g x ′=，所以()f x 唯一，()g x 不唯一，故D 对. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题关键是充分利用导数与函数单调性和极值的关系，并结合函数的奇偶性和周期性分析.三、填空题（每题5分，共15分）12. 已知随机变量X 服从正态分布()31N ,，且()240.6827P X ≤≤=，则()4P X >=______.(精确到小数点后第五位) 【答案】0.15865 【解析】【分析】根据正态分布对称性结合题意求解即可.【详解】由于X 服从正态分布()31N ,，所以正态曲线的对称轴为直线3x =，所以()()42P X P X >=<，故()()12440.158652P X P X −≤≤>==．故答案为：0.15865.13. 已知()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()222xxf x −=+，当0x <时，()22x x f x m n −=⋅+⋅，则m n +=________【答案】5− 【解析】【分析】根据奇函数可求得0x <的解析式，从而可求得4m =−，1n =−，进而可得答案. 【详解】令0x <，则0x −>，所以()222xx f x −+−+．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x −=−，所以()222422xx x x f x +−−=−−=−×−，所以4m =−，1n =−，所以5m n +=−. 故答案为：5−14. 设a ∈R ，对任意实数x ，用ff (xx )表示22,35x x ax a −−+−中的较小者．若函数()f x 至少有3个零点，则a 的取值范围为______.的的【答案】10a ≥ 【解析】【分析】设()235g x x ax a =−+−，()2h x x =−，分析可知函数()g x 至少有一个零点，可得出0∆≥，求出a 的取值范围，然后对实数a 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a 的不等式，综合可求得实数a 的取值范围. 【详解】设()235g x x ax a =−+−，()2h x x =−，由20x −=可得2x =±.要使得函数()f x 至少有3个零点，则函数()g x 至少有一个零点，则212200a a ∆=−+≥，解得2a ≤或10a ≥.①当2a =时，()221g x x x =−+，作出函数()g x 、()h x 的图象如下图所示：此时函数()f x 只有两个零点，不合乎题意；②当2a <时，设函数()g x 的两个零点分别为1x 、()212x x x <，要使得函数()f x 至少有3个零点，则22x ≤−，所以，()2224550ag a <− −=+−≥，解得a ∈∅； ③当10a =时，()21025g x x x =−+，作出函数()g x 、()h x 的图象如下图所示：由图可知，函数()f x 的零点个数为3，合乎题意；④当10a >时，设函数()g x 的两个零点分别为3x 、()434x x x <，要使得函数()f x 至少有3个零点，则32x ≥，可得()222450a g a > =+−≥，解得4a >，此时10a > 综上所述，实数a 的取值范围是[)10,+∞. 故答案为：[)10,+∞.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题15. 已知函数()ln af x x x=−．（1）当1a =−时，求()f x 的极值；（2）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；【答案】（1）极小值1，无极大值（2）1a e≤− 【解析】【分析】（1）利用求导判断函数单调性，即可求得极值；（2）由()0f x ≥恒成立，转化为ln a x x ≤恒成立，继而结合求导得出()ln g x x x =的最小值即可. 【小问1详解】当1a =−时，()1ln f x x x=+，定义域为(0,+∞)，则()22111x f x x x x=′−=−，当01x <<时，ff ′(xx )<0，当1x >时，ff ′(xx )>0，则()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以()f x 有极小值()11f =，无极大值. 【小问2详解】.因为()0f x ≥恒成立，得0x ∀>，ln a x x ≤，令()ln g x x x =，0x >，则()1ln g x x =′+，当10e x <<，()0g x ′<，当1ex >时，()0g x ′>，即函数()g x 在10,e上递减，在()e,∞+上递增，因此()min 11e e g x g ==−，则1a e ≤−，所以a 的取值范围为1a e≤−.16. 随着中国科技的迅猛发展和进步，中国民用无人机行业技术实力和国际竞争力不断提升，市场规模持续增长.为了适应市场需求，我国某无人机制造公司研发了一种新型民用无人机，为测试其性能，对其飞行距离与核心零件损坏数进行了统计，数据如下：飞行距离x （千千米） 56 63 71 79 90 102 110 117 核心零件损坏数y （个） 617390105119136149163（1）据关系建立y 关于x 的回归模型 ˆˆˆybx a =+求y 关于x 的回归方程（ˆb 精确到0.1，ˆa 精确到1）. （2）为了检验核心零件报废是否与保养有关，该公司进行第二次测试，从所有同型号民用无人机中随机选取100台进行等距离测试，对其中60台进行测试前核心零件保养，测试结束后，有20台无人机核心零件报废，其中保养过的占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为核心零件的报废与保养有关保养未保养合计报废20未报废合计60100附：回归方程 ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘原理估计公式 121()()ˆ()nii i nii xx y y b xx ==−−=−∑∑，()()()()()22,,.ˆˆn ad bc ay bx K n a b c d a b c d a c b d −=−==+++++++20()P K k ≥0. 250. 10. 050.025 0. 01 0. 0010k1.3232.7063.841 5.0246.635 10.828参考数据：8821186,112,82743,62680i ii i i x y x y x ======∑∑【答案】（1）1.626ˆy x =−；（2）表格见解析，核心零件是否报废与是否保养有关. 【解析】【分析】（1）根据给定数据，利用最小二乘法求出回归直线方程. （2）完善22×，求出2K 的观测值并与临界值比对即可得解. 【小问1详解】依题意，881188222211ˆ6()()8827438861121.62680886()8i i i ii i i ii i x x y y x y xybx x x x ====−−−−××==≈−×−−∑∑∑∑， ˆ112 1.68626ˆay bx =−=−×≈−，所以y 关于 x 的线性回归方程为1.626ˆy x =−. 【小问2详解】依题意，报废机核心零件中保养过的有2030%6×=台，未保养的有20614−=台，则22×列联表如下：保养未保养合计报废 6 14 20 未报废542680合计 60 40 100零假设0H ：核心零件是否报废与保养无关，则22100(6261454)9.375 6.63520406080K ××−×==>×××，根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为核心零件报废与是否保养有关，此推断的错误概率不大于0.01.17. 甲､乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢的概率为23，若乙开球，则本局甲赢的概率为13，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第1局由甲开球.（1）求第3局甲开球的概率；（2）设前4局中，甲开球的次数为X ，求X 的分布列及期望. 【答案】（1）59（2）分布列见解析，()7427E x = 【解析】【分析】（1）设第i 局甲胜为事件i A ，则第3局甲开球为事件1212A A A A +，结合条件概率公式计算即可. （2）由X 的取值，根据对应的事件，求相应的概率，得分布列，由公式求解期望. 【小问1详解】设第i 局甲胜为事件i A ，则第i 局乙胜为事件i A ，其中1,2,3,i = 则“第3局甲开球”为事件2A ，()()()()()()()212121211212211533339P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⋅+⋅=. 【小问2详解】依题意1,2,3,4X =，()()1231224133327P X P A A A ===⋅⋅=，()()()()1231231232121111217233333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， ()()()()1231231232212111128333333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， ()()1232228433327P X P A A A ===⋅⋅=，X ∴的分布列为则()47887412342727272827E x =×+×+×+×=. 18. 已知函数1()e ln ln x f x a x a −−+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）21e −（2）[1,)+∞ 【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点()()1,1f 切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）方法一：利用导数研究函数()f x 的单调性，当a =1时，由()10f ′=得()()11minf x f ==,符合题意；当a >1时，可证1()(1)0f f a′′<，从而()f x ′存在零点00x >，使得0101()0x f x ae x −′=−=，得到min ()f x ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得()1f x ≥恒成立；当01a <<时，研究()1f .即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围.【详解】（1）()ln 1x f x e x =−+ ，1()xf x e x′∴=−，(1)1k f e ′∴==−. (1)1f e =+ ，∴切点坐标(1,1+e ),∴函数()f x 在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x −−=−−,即()12y e x =−+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e −−, ∴所求三角形面积为1222||=211e e −××−−．（2）［方法一］：通性通法 1()ln ln x f x ae x a −−+ ,11()x f x ae x−′∴=−，且0a >. 为设()()g x f x =′,则121()0,x g x ae x −′=+> ∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x ′在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，(1)0f ′=,∴()()11minf x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e −<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a−′′∴=−−<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x −′=−=，且当0(0,)x x ∈时()0f x ′<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x ′>，011x ae x −∴=，00ln 1ln a x x ∴+−=−，因此01min 00()()ln ln x f x f x aex a −==−+001ln 1ln 2ln 12ln 1a x a a a x =++−+≥−++>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞). ［方法二］【最优解】：同构由()1f x ≥得1e ln ln 1x a x a −−+≥，即ln 1ln 1ln a x e a x x x +−++−≥+，而ln ln ln x x x e x +=+，所以ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+．令()m h m e m =+，则()10m hm e +′=>，所以()h m 在R 上单调递增．由ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，可知(ln 1)(ln )h a x h x +−≥，所以ln 1ln a x x +−≥，所以max ln (ln 1)a x x ≥−+．令()ln 1F x x x =−+，则11()1xF x x x−′=−=．所以当(0,1)x ∈时，()0,()F x F x ′>单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x ′<单调递减．所以max[()](1)0F x F ==，则ln 0a ≥，即1a ≥．所以a 的取值范围为1a ≥．［方法三］：换元同构由题意知0,0a x >>，令1x ae t −=，所以ln 1ln a x t +−=，所以ln ln 1a t x =−+．于是1()ln ln ln ln 1x f x ae x a t x t x −=−+=−+−+．由于()1,ln ln 11ln ln f x t x t x t t x x ≥−+−+≥⇔+≥+，而ln y x x =+在(0,)x ∈+∞时为增函数，故t x ≥，即1x ae x −≥，分离参数后有1x x a e−≥．令1()x x g x e −=，所以1112222(1)()x x x x x e xe e x g x e e−−−−−−−==′．当01x <<时，()0,()g x g x >′单调递增；当1x >时，()0,()g x g x <′单调递减．所以当1x =时，1()x x g x e−=取得最大值为(1)1g =．所以1a ≥．［方法四］：因为定义域为(0,)+∞，且()1f x ≥，所以(1)1f ≥，即ln 1a a +≥．令()ln S a a a =+，则1()10S a a=′+>，所以()S a 在区间(0,)+∞内单调递增．因为(1)1S =，所以1a ≥时，有()(1)S a S ≥，即ln 1a a +≥．下面证明当1a ≥时，()1f x ≥恒成立．令1()ln ln x T a ae x a −−+，只需证当1a ≥时，()1T a ≥恒成立．因为11()0x T a ea−=+>′，所以()T a 在区间[1,)+∞内单调递增，则1min [()](1)ln x T a T e x −==−．因此要证明1a ≥时，()1T a ≥恒成立，只需证明1min [()]ln 1x T a e x −=−≥即可．由1,ln 1x e x x x ≥+≤−，得1,ln 1x e x x x −≥−≥−．上面两个不等式两边相加可得1ln 1x e x −−≥，故1a ≥时，()1f x ≥恒成立．当01a <<时，因为(1)ln 1f a a =+<，显然不满足()1f x ≥恒成立．所以a 的取值范围为1a ≥．【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数()f x 的单调性，求出其最小值，由min 0f ≥即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法二：利用同构思想将原不等式化成ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，再根据函数()m h m e m =+的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法三：通过先换元，令1x ae t −=，再同构，可将原不等式化成ln ln t t x x +≥+，再根据函数ln y x x =+的单调性以及分离参数法求出；方法四：由特殊到一般，利用(1)1f ≥可得a 的取值范围，再进行充分性证明即可．19. 无穷数列1a ，2a ，…，n a ，…的定义如下：如果n 是偶数，就对n 尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是n a ﹔如果n 是奇数，就对31n +尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是n a ．（1）写出这个数列的前7项；（2）如果n a m =且m a n =，求m ，n 的值；（3）记()n a f n =，*n ∈N ，求一个正整数n ，满足()()()()()()2024fn f n f f n f f f n <<<<个．【答案】（1）11a =，21a =，35a =，41a =，51a =，63a =，711a =；（2）1m n ==；（3）202521n k −（答案不唯一，满足()*212025,,m n k m m k =−≥∈N 即可）【解析】【分析】（1）根据数列{aa nn }的定义，逐一求解；（2）根据数列{aa nn }的定义，分1n =和1n >分别求解；（3）根据数列{aa nn }的定义，写出()f n 的值，即可求解. 【小问1详解】根据题意，()1311221a ×+÷÷，2221a =÷=，()333125a =×+÷=，44221a =÷÷=，()4535121a =×+÷=，6623a =÷=，()7371211a =×+÷=．【小问2详解】由已知，m ，n 均为奇数，不妨设m n ≤．当1n =时，因为11a =，所以1m =，故1m n ==；当1n >时，因为314n n m +<≤，而n 为奇数，n a m =，所以312n m +=．又m 为奇数，m a n =，所以存在*k ∈N ，使得312km n +=为奇数．所以()33195231122k n n n m ++=+=+=．而95462n n n +<<，所以426k n n n <<，即426k <<，*k ∈N ，无解．所以1m n ==．【小问3详解】显然，n 不能为偶数，否则()2nf n n ≤<，不满足()n f n <．所以，n 为正奇数．又()111f a ==，所以3n ≥．设41n k =+或41n k =−，*k ∈N ．当41n k =+时，()()341131414k f n k k n ++==+<+=，不满足()n f n <；当41n k =−时，()()341161412k f n k k n −+==−>−=，即()n f n <．所以，取202521nk −，*k ∈N 时，()()()()2025202420242202332113321132132122k k k f f n k −+×−+=×−<==×−()()()()20223202322023332113212k f f f n k ×−+<<==×−()()()()2023220242024332113212k f f f n k ×−+<==×−即()()()()()()2024fn f n f f n f f f n <<<< 个．【点睛】关键点点睛：第（3）问中，发现当41n k =−时，满足()n f n <，从而设202521nk −，*k∈N，验证满足条件.。

实验中学高二数学下学期第二次月考试题理含解析

10. 6把椅子摆成一排,3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）
A. 144B。120C. 72D. 24
【答案】D
【解析】
试题分析：先排三个空位,形成4个间隔，然后插入3个同学，故有种
考点：排列、组合及简单计数问题
11。若随机变量，则最大时，的值为（ )
A. 1或2B. 2或3C. 3或4D。 5
【答案】D
【解析】
【分析】
由，两边取对数得,化简得，构造函数，然后作图可求得答案。
【详解】由，两边取对数得, ，然后化简得，
设 ,然后可以画出的图像，如图，
明显地,当，且时，只有阴影部分内的取值能成立，此时，和的取值在阴影部分，即，从图像观察可得，的最大值是 ,没有最小值，但是 ,综上，的范围为
【点睛】本题考查了根据函数过点和公切线求参数,求公切线，意在考查学生的计算能力和转化能力。
20。“石头、剪刀、布"是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是:用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布;两个玩家同时出示各自手势次记为次游戏，“石头”胜“剪刀”,“剪刀"胜“布”，“布”胜“石头"；双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的。
4。从集合｛0，1，2，3，4，5,6｝中任取两个互不相等的数，组成复数，其中虚数有（）
A。 30个B. 42个C. 36个D。 35个
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵a，b互不相等且为虚数，
∴所有b只能从{1，2,3，4,5，6}中选一个有6种，
a从剩余的6个选一个有6种，
∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36(个）．

云南省玉溪市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷含答案

2024—2025学年度上学期高二年级一调考试数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知1sin 12M x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，πππ,,0,462N ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A.π,06⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.π,04⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C.ππ,0,62⎧⎫-⎨⎩⎭ D.ππ,,046⎧⎫--⎨⎬⎩⎭2.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = ，11A D b = ，1A A c =，则下列向量中与1D M相等的向量为（）A.1122a b c-++ B.1122a b c ++C.1122a b c -+D.1122a b c--+ 3.若函数()f x 在[2,)+∞上单调递减且对任意R x ∈满足(1)(3)f x f x +=-，则不等式(32)(4)f x f ->的解集是（）A.2,(2,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.(2,)+∞ D.2,23⎛⎫⎪⎝⎭4.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥底面ABCD ，6PA =，点G 在侧棱PB 上，且满足2PG GB =，则异面直线PC 和DG 的距离为（）A.14B.15C.7 D.775.空间中有三点(0,0,0)A ，(1,,2)B m ，(1,2,1)C --，且(1,1,1)n =-为平面ABC 的一个法向量，则以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为（）A.32B.2C.3D.6.在矩形ABCD 中，2AB =，AD =，沿对角线AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B AC D --，当点B 与点D 之间的距离为3时，cos θ=（）A.13B.16 C.13-D.16-7.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AA ，11A D 的中点，M 是DB 靠近点B 的四等分点，P 在正方体内部或表面，()0DP EF MF ⋅+= ，则||DP的最大值是（）A.1D.28.已知点A ，B ，C ，D ，P ，Q 都在同一个球而上，ABCD 为正方形，若直线PQ 经过球心，且PQ ⊥平面ABCD .则异而直线PA ，QB 所成的角的聂小值为（）A.60°B.45°C.30°D.15°二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.已知(0,1,1)a = ，(0,0,1)b =- ，则a 在b 上的投影向量为110,,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.若两个不同平面α，β的法向量分別是u ，v，且(2,0,4)u = ，(4,0,8)v =-- ，则//αβC.若233555OG OA OB OC =++，则A ，B ，C ，G 四点共面D.若向量p mx ny kz =++ ，（x ，y ，z 都是不共线的非零向量）则称p在基底{},,x y z 下的坐标为(,,)m n k ，若p 在单位正交基底{,,}a b c 下的坐标为(1,2,3)，则p 在基底{,,}a b a b c -+ 下的坐标为13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭10.如图所示是一个以AB 为直径，点S 为圆心的半圆，其半径为4，F 为线段AS 的中点，其中C 、D 、E 是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成上一个以S 为顶点的圆锥的侧面，则关于此圆锥，下列说法不正确的是（）A.CEF △为正三角形B.SA ⊥平面CEFC.//SD 平面CEFD.点D 到平面CEF 的距离为311.如图，点P 是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则（）A.当点P 在侧面11BB C C 上时，四棱锥11P AA D D -的体积为定值B.存在这样的点P ，使得1111222AP AB AD AA =++C.当直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为π42+D.当33AP =时，点P 的轨迹长度为53π3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数z 满足383i z z +=+，则||z =___________.13.空间内四点(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，13,22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D 可以构成正四面体，则AD = ___________.14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AD =，点E ，F 分别为11A B ，1BB 的中点，则平面1EFD 截正方体所得截面面积为___________，动点P 满足1AP xAB y AD z AA =++ ，且122x y z ++=，则当||AP取得取小值时二面角1A AD P --的余弦值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且MA 和NF 的长度保持相等，记(0MA NF αα==<<.（1）求MN 的长；（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值.16.（本小题满分15分）如图，已知多面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，侧棱1BB ⊥底面ABCD ，且1111244CC AA BB DD === .（1）证明：1A C BD ⊥；（2）若AC =11BB =，120ABC ︒∠=，求直线BC 与平面111B C D 所成的角的正弦值.17.（本小题满分15分）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AA AB ==，M 为棱1DD 的中点.（1）若P 是线段BM 上的动点，试探究：11A M A P ⋅是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由；（2）过1A M 作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围.18.（本小题满分17分）如图，三棱台111ABC A B C -，AB BC ⊥，1AC BB ⊥，平面11ABB A ⊥平面ABC ，6AB =，4BC =，12BB =，1AC 与1A C 相交于点D ，2AE EB =，且//DE 平面11BCC B .（1）求三棱锥111C A B C -的体积；（2）平面:11A B C 与平面ABC 所成角为α，1CC 与平面11A B C 所成角为β，求αβ+的值.19.（本小题满分17分）如图1，在平行四边形ABCD 中，24AB BC ==，60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点，将ADE △沿AE 折起，连接BD 与CD ，得到的四棱锥如图2.图1图2（1）当BD 为何值时，平面ADE ⊥平面ABCE ？（2）设(01)BF BD λλ=≤≤，当BE DE ⊥时，是否存在实数λ，使得直线AF 与平面ABCE 所成角的正弦值为10？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；（3）当三棱锥B CDE -的体积最大时，求三棱锥D ABE -的内切球的半径.月考卷参考答案一、选接题1.C 【解析】将πππ,,0,462N ⎧⎫=--⎨⎩⎭中的元表依次代入1sin 12x -≤≤验证，只有π6-，0，π2满足1sin 12x -≤≤，所以ππ,0,62M N ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭ .故选C.2.C 【解析】因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11()22DM DB DA DC ==+=()111112A D AB -+，所以()111111111111111222D M D D DM A A A D A B A B A D A A =+=+-+=-+ 1122a b c =-+，故选C.3.D 【解祈】因为(1)(3)f x f x +=-，所以()f x 的对称轴为2x =，()f x 在(2,)+∞单调递减，则()f x 在(,2)-∞单调递增，又因为(32)(4)f x f ->，由对称性可得|322||42|x --<-，所以|34|2x -<，2342x -<-<，223x <<.故选D.4.A 【解析】如图，以点A 为原点，AB ，AD ，AP分别作为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(3,0,0)B ，(3,3,0)C ，(0,3,0)D ，(0,0,6)P ，(1,0,4)G .所以(1,3,4)DG =- ，(3,3,6)PC =-，(3,0,0)DC = ，设(,,)n x y z = 为直线PC 和DG 的公垂线的方向向量，则有3403360n DC x y z n PC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，可取(1,3,2)n = ，所以异面直线PC 和DG的距离为||||14DC n n ⋅==.故选A.5.D 【解析】平面ABC 的一个法向量为(1,1,1)n =-，则(1,1,1)(1,,2)0n AB m ⋅=-⋅= ，解得1m =-，故(1,1,2)B -，(1,1,2)AB =- ，(1,2,1)AC =--，则1cos 2||||AB ACA AB AC ⋅===⋅，则sin 2A ==，则平行四边形面积为11||||sin 22222AB AC A ⋅⨯=⨯=.故选D.6.B 【解析】分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，垂足为E ，F ，则,EB FD θ=〈〉.由2AB =，AD =可得4AC =，所以AD DCEB FD AC⋅===，1AE CF ==，2EF =.因为BD BE EF FD =++ ，则()222222||2BD BD BE EF FD BE EF FD BE FD ==++=+++⋅，即9343π)θ=+++-，故1cos 6θ=.故选B.7.B 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设(,,)P x y z ，则(0,0,0)D ，11.0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0.12F ⎛⎫⎪⎝⎭，33,,044M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,0,22EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，13,,144MF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，则333,,442EF MF ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ ，因为()0DP EF MF ⋅+=，又(,,)DP x y z = ，所以3330442x y z --+=，即2x yz +=，所以2222222||2x y DP x y z x y +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，又01x ≤≤，01y ≤≤，所以22221111322x y x y ++⎛⎫⎛⎫++≤++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当1x y ==，此时1z =时，等号成立，所以||DP 的最故选B.8.A 【解析】设球的半径为(0)R R >，记ABCD 中心为O ，因为ABCD 为正方形，直线PQ 经过球心，且PQ ⊥平西ABCD .所以PQ 过点O 且PQ 的中点为球心，设球心为G ，以O 为原点，OB 、OC 、OP 分别为x ，y ，z 轴正半轴，建立空间直角坐标系O xyz -，设(0)OA OB OC OD r r ====>，(0,0,)G t ()R t R -<<，则(0,,0)A r -，(,0,0)B r ，(0,0,)P R t +，(0,0,)Q R t -，所以(0,,)PA r R t =--- ，(,0,)QB r t R =- ，所以22()()PA QB t R t R R t ⋅=-+-=- ，所以22||()PA r R t =++ 22||()QB r R t =+- 又222OG OB R +=，即222t r R +=.所以222222cos ,||||()()PA QBPA QB PA QB r R t r R t ⋅〈〉==⋅++⨯+-22222212222R t R R R R R t-==≤=-，当且仅当0t =时等号成立，设直线PA ，QB 所成的角为α则1cos |cos ,|2PA QB α=〈〉≤ ，又090α︒≤≤︒，所以min 60a =︒.故选A.二、选择题9.BD 【解析】对于A ，由于(0,1,1)a = ，(0,0,1)b =- ，则a 在b的投影向量为||cos ,2(0,0,1)(0,0,1)||2b a a b b 〈〉⋅=⨯-= ，故A 错误；对于B ：若两个不同平面α，β的法向量分别是u ，v ，且(2,0,4)u = ，(4,0,8)v =-- ，2u v -=，则//αβ，故B 正确；对于C ：由于2331555++≠，对于233555OG OA OB OC =++ ，故A ，B ，C ，G 四点不共面，故C 错误；对于D ：p 在单位正交基底{,,}a b c下的坐标为（1，2，3），即23(1,2,3)p a b c =++= ，所以p 在基底{,,a b a b c -+〉 下满足(1,2,3)()()()()x a b y a b zc x y a y x b zc =-+++=++-+(,,)x y y x z =+-，故1x y +=，2y x -=，3z =，解得12x =-，32y =，3z =，则p 在基底{,,}a b a b c -+ 下的坐标为13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭，故D 正确.故选BD.10.ABD 【解析】选项A，该半圆围成的圆锥，如图所示，设四棱底面半径为r ，则2π4πr =，2r ∴=，4CE ∴=，F 为AS 的中点，O 为AD 的中点，//FO SD ∴，且122FO CE ==，90CFE ︒∴∠=，CEF △为等腰直角三角形，选项A 错误；选项B ，若SA ⊥平面CEF ，则90AFO ∠=︒，直角AOF △中，2AO OF AF ===，60AFO ︒∴∠=，选项B 错误；选项C ，//FO SD ，FO ⊂平面EFC ，//SD ∴平面EFC ，选项C 正确；选项D ，CE AD ⊥ ，CE SO ⊥，CE ∴⊥平面SAD ，∴平面CEF ⊥平面SAD ，D ∴到直线FO 的距离即为D 到平面CEF 的距离，又//FO SD ，D ∴到直线FO 的距离等于O 到直线SD，选项D 错误，故选ABD.11.ACD 【解析】略【解析】略13.136,263⎛± ⎝⎭【解析】由已知正四西体ABCD 的棱长为1，所以D 的竖坐标为正四面体的高，ABC △的外接圆半径为112sin 603︒⨯=，所以正四面体的高为3=，而横坐标，纵坐标即底面三角形ABC 的重心坐标，1011232D x ++==，003236D y ++==，所以1,,263D ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为136,263⎛±⎝⎭.[只写对一个不给分]14.18；5【解析】略四、解答题15.解：（1）由题意可知，直线BC 、BE 、BA 两两垂直，以B 原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,0,2)C ，(2,2,0)F ，(0,2,0)E ，因为MA NF α==，所以222M ⎛-⎝，2222N ⎛⎫--⎪⎝⎭.所以2||224MN αα=-+.（2）22||224(2)2MN ααα=-+=-+2α=时，||MN 最小.此时，M ，N 为AC 、BF 的中点，则(1,0,1)M ，(1,1,0)N ，取MN 的中点G ，连接AG ，BG ，则111,,22G ⎛⎫⎪⎝⎭，因为AM AN =，BM BN =，所以AG MN ⊥，BG MN ⊥.所以AGB ∠是平面MNA 与平面MNB 的夹角或其补角，因为111,,22GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，111,,22GB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ .所以1cos 3||||GA GB GA GB GA GB ⋅〈⋅〉==-⋅，所以平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值是13.16.解：（1）因为1124AA BB =，所以11//BB AA ，又因为1BB ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ，又因为BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，又因为1AC AA A = ，AC ，1AA ⊂平面1AA C ，所以BD ⊥平面1AA C ，又因为1A C 平面1AA C ，所以1BD A C ⊥.（2）设AC 交BD 于O ，以O 为原点，以OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作11//OO AA 为z 轴建立空间直角坐标系，由图可知1(1,0,1)B ，1(1,0,1)D -，13,4)C ，(1,0,0)B ，3,0)C .，则11(2,0,0)D B = ，11(3,3)B C =- ，设平面111B C D 的一个法向量为(,,)n x y z =，则111100n D B n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即20330x x z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令1z =-，则3,1)n =- ，(3,0)BC =- ，所以33cos ,224||||n BC n BC n BC ⋅〈〉===⨯⋅ .设直线BC 与平面111B C D 所成角为α，则3sin |cos |4a n BC =〈⋅〉= ，因此直线BC 与平面111B C D 所成角的正弦值为34.17.略18.（1）略（2）由题意及（1）得，以B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，1BB 为x ，y ，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，(6,0,0)A ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)B ，()13,0,2A ，1(0,2,2)C ，则11(3,0,0)B A = ，1(0,4,2)B C =- ，1)(0,2,2CC =- ，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)n x y z =，由11130420n B A x n B C y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1y =，则(0,1,2)n = ，平面ABC 的一个法向量为1(0,0,2)BB = ，所以11cos 5||n BB a n BB ⋅===⋅，11sin 10||n CC n CC β⋅===⋅ .又因为α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 5α=，cos 10β=.cos()cos cos sin sin 1051052αβαβαβ+=-=⨯=，又(0,π)αβ+∈，所以π4αβ+=.19.略。

哈尔滨市延寿县第二中学2020_2021学年高二数学9月月考试题

黑龙江省哈尔滨市延寿县第二中学2020-2021学年高二数学9月月考试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1．下面对算法描述正确的一项是（)A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一个问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同2．图示程序的功能是()错误!A．求1×2×3×4×…×10 000的值B．求2×4×6×8×…×10 000的值C．求3×5×7×9×…×10 001的值D．求满足1×3×5×…×n＞10 000的最小正整数n3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图,若输入的a,b分别为14，18，则输出的a＝(）A．0 B．2C．4 D．144．用秦九韶算法求多项式f（x）＝208＋9x2＋6x4＋x6当x ＝－4时的值时，v2的值为()A．－4 B．1C．17 D．225．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i＝i＋1 B．i＝i＋2C．i＝i＋3 D．i＝i＋46．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民，对其该天的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本7．2012年6月16日“神舟”九号载人飞船顺利发射升空，某校开展了“观‘神九’飞天燃爱国激情”系列主题教育活动．该学校高一年级有学生300人,高二年级有学生300人，高三年级有学生400人，通过分层抽样从中抽取40人调查“神舟”九号载人飞船的发射对自己学习态度的影响，则高三年级抽取的人数比高一年级抽取的人数多(）A．5 B．4C．3 D．28．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001，002，…，800,利用随机数表法抽取样本，从第7行第1个数8开始,依次向右，再到下一行，继续从左到右．请问选出的第七袋牛奶的标号是()(为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行）1622779439495443548217379323788735209643 84263491648442175331572455068877047447672176335025 8392120676630163783916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342 99660279545760863244094727965449174609629052847727 0802734328A．425 B．506C．704 D．7449。

广东省广州市番禺中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

高二数学9月月考试题一、单选题（每小题5分）1.已知，则（）A. B.C.D.2.函数）A. B. C. D.3.函数是（）A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数4.若函数是定义在上的奇函数，，，则（）A.2B.0C.60D.625.已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（）A. B. C. D.6.在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（）A. B.C. D.7.在空间直角坐标系中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）A B. C.或 D.与斜交8.已知向量，，且平面，平面，若平面与平面的夹角的余弦的值为（）A.或 B.或1 C.或2D.二、多选题（每小题6分）9.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角2i z =+izz =+3i 4-1i 4-3i4+1i 4+y =[3,4)(,3]-∞[3,)+∞(,4]-∞2π2cos 14y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ2π2()f x R (2)()f x f x -=(1)2f =(1)(2)(30)f f f ++⋅⋅⋅+=(3,4,0)a =(3,1,4)b =- b a (3,4,0)--34,,055⎛⎫--⎪⎝⎭314,,555⎛⎫--⎪⎝⎭(3,1,4)--P ABC -A PBC H M 34AM AH = PM =131444PA PB PC -+111444PA PB PC ++111424PA PB PC -+113444PA PB PC -+l (1,2,1)a =-α(2,3,4)n =//l αl α⊥l α⊂//l αl α(1,2,1)m =- (,1,)n t t =- m ⊥ αn ⊥βαβt 121-151-12-A BCD -ABD BCD 1n 2n 12π,3n n =的大小可能为（）A. B. C.D.10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考|卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（）A.均值为101 B.极差为9C.方差为8D.第60百分位数为10111.已知空间中三点，，，则（）A.与是共线向量B.与向量方向相同的单位向量坐标是C.与D.在三、填空题（每小题5分）12.已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，则_______.13.已知向量，，，若，，共面，则_______.14已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求.（2）若，求的周长.16（本题15分）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.（1）求与的值；（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”A BD C --π6π32π35π6(0,1,0)A (2,2,0)B (1,3,1)C -AB AC AB ⎫⎪⎪⎭AB BC BC AB ()f x R 0x >2()22xxf x -=+0x <()22x x f x m n -=⋅+⋅m n +=(2,3,4)a x = (0,1,2)b = (1,0,0)c =a b c x =(2,,1)a t =--(2,1,1)b = a b t ABC △A B C a b c sin 2A A +=A 2a =sin sin 2C c B =ABC △m 13n 12434m n >m n社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.17.（本题15分）如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.（1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面；（2）若，求六面体的体积.18.（本题17分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg ），将全部数据按区间，，，分成5组，得到图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.19（本题17分）（2022年新高考天津数学高考真题）直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点.A B C D E F F ∈EDC ABCD ED ⊥ABCD BF FE =FEB ⊥EDB M EB A C F M 24ED AB ==EFABCD [50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]a 85%[70,90]kg [80,90]111ABC A B C -12AA AB AC ===AC AB ⊥D 11A B E 1AA F CD（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.//EF ABC BE 1CC D 1ACD 1CC D高二数学9月月考试题参考答案一、单选题（每小题5分共40分）1.A2.A3.A4.A【详解】由题意，所以的周期为4，且关于直线对称，而，所以.5.B【详解】因为空间向量，，所以，，，则在上的投影向量坐标是：.6.B【详解】在正四面体中，因为平面，所以是的中心，连接，则，所以.7.C【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，所以或.8.B【详解】因为，所以，，，因为平面，平面，若平面与平面，，解得或1.二、多选题（每小题6分共18分）9.BC【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，二面角的大小可能为或.10.ABD【详解】A选项，均值为，A正确；(2)()()(2)f x f x f x f x-==--=--()f x()f x1x=(1)(2)(3)(4)(0)(1)(1)(2)(2)(0)0f f f f f f f f f f+++=++-+===(1)(2)(30)(29)(30)(1)(2)(0)(1)022f f f f f f f f f++⋅⋅⋅+=+=+=+=+=(3,4,0)a=(3,1,4)b=-9405a b⋅=-++=-5a==b==ba 5134(3,4,0),,05555a b aa a⋅-⎛⎫⋅=⨯=--⎪⎝⎭P ABC-AH⊥PBC H PBC△PH()()211323PH PB PC PB PC=⨯+=+()33334444PM PA AM PA AH PA PH PA PA PH PA=+=+=+-=+-()3331311144434444PA PH PA PA PB PC PA PA PB PC=+-=+⨯+-=++a n⋅=a n⊥lα⊂//lαl(1,2,1)a=-α(2,3,4)n=(2,3,4)(1,2,1)2640a n⋅=⋅-=-+=a n⊥lα⊂//lα(1,2,1)m=-(,1,)n t t=-22m n t⋅=+m=n=m⊥αn⊥βαβ=25610t t-+=15t=∴A BD C--π3π2ππ33-=9798991001011031041061018+++++++=B 选项，极差为，B 正确；C 选项，方差为，C 错；D 选项，因为，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，即101.11.BD 【详解】由已知，，，，因此与不共线，A 错；，所以与向量，B 正确；，，，C 错；在上的投影是，D 正确.三、填空题（每小题5分共15分）12.【详解】令，则，所以.因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，，所以.13.【详解】由题意得，存在，使得，即，故解得，.14.【详解】由，得，解得，又，得，解得，所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且.四、解答题（五个大题共77分）15.（本题13分）【解析】（1）由可得，即，由于，故，解得.（2）由题设条件和正弦定理，106979-=222(97101)(98101)(106101)169410492517882-+-+⋅⋅⋅+-+++++++==60%8 4.8⨯=(2,1,0)AB = (1,2,1)AC =- (3,1,1)BC =-1221-≠AB AC AB = AB ⎫=⎪⎪⎭6105AB BC ⋅=-++=- BC = cos ,AB BC AB BC AB BC⋅〈〉===BC AB BC AB AB⋅==5-0x <0x ->2()22xx f x -+-=+()f x R ()()f x f x -=-2()22422xx x x f x +--=--=-⨯-4m =-1n =-5m n +=-23m n a mb nc =+ (2,3,4)(0,1,2)(1,0,0)x m n =+2342nx m m=⎧⎪=⎨⎪=⎩2m =23x =(,1)(1,5)-∞-- 0a b ⋅<(2)2(1)10t -⨯++-⨯<5t <//a b 21211t --==1t =-a b t 5t <1t ≠-67=+sin 2A A +=1sin 12A A +=πsin 13A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4π(0,π),333A A ⎛⎫∈⇒+∈ ⎪⎝⎭ππ32A +=π6A =sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=又，，则，进而，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，，故的周长为.16.（本题15分）【详解】（1）依题，解得.（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，获得本选修课学分分数不低于4分为事件A ，则；；.故.17.（本题15分）【详解】（1）连接，由四边形是正方形，故，又平面，平面，故，由，，平面，故平面，又为棱的中点，，故，又平面平面，平面平面，平面，故平面，故，所以，，，四点共面；（2）设与交于点，连接，则，又平面，平面，则平面，又因为六面体，则平面平面，又平面，故，则四边形为矩形，则，且平面，又，故，则.18（本题17分）【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，由，解得.B (0,π)C ∈sin sin 0B C ≠cos B =π4B =7π12C A B π=--=sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=sin sin sin a b c A B C ==2ππ7πsin sin sin 6412b c==b =c =+ABC △2++78=+11324131(1)1(1)34mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩1214m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩i X ()4121123412P X =⨯⨯=()5111123424P X =⨯⨯=()6111123424P X =⨯⨯=1111()1224246P A =++=78+AC ABCD AC DB ⊥ED ⊥ABCD AC ⊂ABCD ED AC ⊥DE BD D = DE BD ⊂EDB AC ⊥EDB M EB BF FE =FM EB ⊥FEB ⊥EDB FEB EDB EB =FM ⊂EFB FM ⊥EDB //FM AC A C F M AC BD O OM //OM DE OM ⊂ACFM DE ⊂/ACFM //DE ACFM EFABCD CDEF ACFM CF =DE ⊂CDEF //DE CF OCFM 1CF =CF ⊥ABCD BF FE =122CF DE ==11204422333EFABCD E ABCD B EFC V V V --=+=⨯⨯+⨯⨯=557=++[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]10a 10a 10100.20.40.31a a ++++=0.005a =则样本落在，，，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，该苹果日销售量的平均值为：.（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.依题意，日销售量不超过90kg 的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为.所以，每天应该进95kg 苹果.（3）由日销售量为，的频率分别为0.2，0.4知，抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，，来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，，，，任意抽取2个苹果，有，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售中的有6个基本事件，由古典概型可得.19.（本题17分）【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.[50,60)[60,70)⋅⋅⋅[90,100]5060607070808090901000.050.050.20.40.383.5(kg)22222+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=85%85%10.03100.7-⨯=85%[90,100]85%0.850.7901095(kg)10.7-+⨯=-[70,80)[80,90][70,80)1a 2a [80,90]1b 2b 3b 4b ()12,a a ()11,a b ()12,a b ()13,a b ()14,a b ()21,a b ()22,a b ()23,a b ()24,a b ()12,b b ()13,b b ()14,b b ()23,b b ()24,b b ()34,b b [80,90]62155P ==557++111ABC A B C -1AA ⊥111A B C AC AB ⊥1111A C A B ⊥1A 1A A 11A B 11A C x y z (2,0,0)A (2,2,0)B (2,0,2)C 1(0,0,0)A 1(0,2,0)B 1(0,0,2)C (0,1,0)D (1,0,0)E 11,,12F ⎛⎫⎪⎝⎭10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC (1,0,0)m =0EF m ⋅= EF m ⊥ EF ⊂/ ABC //EF ABC（2），，，设平面的法向量为，则，取，可得，.因此，直线与平面夹角的正弦值为.（3），，设平面的法向量为，则，取，可得，则因此，平面与平面.1(2,0,0)C C = 1(0,1,2)C D =- (1,2,0)EB =1CC D ()111,,u x y z = 111112020u C C x u C D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 12y =(0,2,1)u =4cos ,5EB u EB u EB u ⋅==⋅BE 1CC D 451(2,0,2)AC = 1(0,1,0)A D =1ACD ()222,,v x y z = 122122200v A C x z v A D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 21x =(1,0,1)v =-cos ,u v u v u v ⋅〈〉===⋅ 1ACD 1CC D。

天津市耀华中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析

天津市耀华中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P 中函数的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D102．已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-3．函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为（）4．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（）A ．13 B ．23C ．1D ．2 5．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（）A ．124+B ．124- C. 34 D ．0 6．已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （） A ．6B ．3C ．38D ．34 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）7．设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（） A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 8．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

ABC D9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（）A ．2B ．3 C.1 D ．410．已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- .则几何体的体积为（）34意在考查学生空间想象能力和计算能） ,m m γ=,//m βα⊥,γαβ⊥⊥二、填空题（本大题共分.把答案填写在横线上）a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________．((2))f g = ， [()]f g x 的值域为．. 15．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球表面积是_________.16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元.三、解答题（本大共6小题，共70分。