高一数学教案：苏教版高一数学三角函数的周期性1
苏教版高中数学必修第一册7.3.1三角函数的周期性【授课课件】
7.3.1 三角函数的周期性
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
01
必备知识·情境导学探新知
知识点1 知识点2
7.3.1 三角函数的周期性
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函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件 中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求 解.
7.3.1 三角函数的周期性
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[跟进训练]
2．若函数 f(x)是以 4 为周期的奇函数，且 f(3)＝6，则 f(1)＋f(6) ＝________．
－1 [∵f(x)是以π2为周期的奇函数，
∴f
－56π＝－f
5π
6
7.3.1 三角函数的周期性
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＝－f π－π6＝－f －π6 ＝f π6＝f π2－π3＝－f π3， 又∵f π3＝1，∴f －56π＝－f π3＝－1．]
7.3.1 三角函数的周期性
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[母题探究] 1．(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余 不变，求 f 53π的值．
7.3.1 三角函数的周期性
苏教版数学高一必修4学案三角函数的周期性
1.3.1三角函数的周期性学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.理解函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x都是周期函数，都存在最小正周期.3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期．知识点一周期函数思考单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．梳理(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个____________T，使得定义域内的每一个x值，都满足________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个____________，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．知识点二正弦函数、余弦函数、正切函数的周期思考6π是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？梳理(1)正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(2)正切函数的周期正切函数是周期函数，最小正周期是π.(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω>0)的周期T ＝2πω.类型一 求三角函数的周期例1 求下列函数的周期：(1)y ＝3sin(π2x ＋π6)； (2)y ＝2cos(－x 2＋π4)； (3)y ＝|sin x |.反思与感悟 求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法．(2)公式法：对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，有T ＝2π|ω|. (3)观察法(图象法)．跟踪训练1 (1)函数y ＝3cos(12x －π6)的最小正周期为________． (2)y ＝2cos(ωx ＋π6)的最小正周期为π，则ω＝________. 类型二 利用周期求函数值例2 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值．反思与感悟 (1)利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z )的函数值转化为x 的函数值．(2)利用函数性质，将所求转化为可求的x 的函数值，从而可解决求值问题．跟踪训练2 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值．类型三 函数周期性的综合应用例3 设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，求f (7)的值．引申探究将例3中的条件f (x ＋2)＝－f (x )改为：f (x )的图象关于x ＝1对称，其余条件不变，求f (7)的值．反思与感悟 (1)解答此类题目的关键是利用化归思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．(2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质． 跟踪训练3 设函数f (x )(x ∈R )是以2为周期的函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝(x －1)2.(1)求f (3)；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．1．下列说法中，正确的是________．(填序号)①因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是函数y ＝sin x 的一个周期；②因为tan(2π＋x )＝tan x ，所以2π是函数y ＝tan x 的最小正周期；③因为当x ＝π4时，等式sin(π2＋x )＝sin x 成立，所以π2是函数y ＝sin x 的一个周期； ④因为cos(x ＋π3)≠cos x ，所以π3不是函数y ＝cos x 的一个周期． 2．函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(ω>0)的周期为π4，则ω＝________. 3．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的最小正周期为________． 4．求下列函数的最小正周期．(1)f (x )＝cos(－2x －π3)； (2)y ＝4sin(ax ＋π6)(a ≠0)．1．函数周期性的理解：(1)对于“f (x ＋T )＝f (x )”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x ，x ＋T 仍在定义域内且等式成立．(2)周期函数的周期不是惟一的，如果T 是函数f (x )的周期，那么kT (k ∈Z ，k ≠0)也一定是函数的周期．(3)并不是所有周期函数都有最小正周期．如常数函数f (x )＝C 没有最小正周期．2．求三角函数的周期，通常有三种方法：(1)定义法．(2)公式法：对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|. (3)观察法(图象法)．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.答案精析问题导学知识点一思考 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x )＝sin x ，cos(2π＋x )＝cos x ．故正弦函数和余弦函数也具有周期性．梳理 (1)非零的常数 f (x ＋T )＝f (x )(2)最小的正数知识点二思考 是的．由sin(6π＋x )＝sin x 恒成立，根据周期函数的定义，可知6π是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．题型探究例1 解 (1)T ＝2πω＝2ππ2＝4. (2)y ＝2cos(－x 2＋π4)＝2cos(x 2－π4)， ∴T ＝2π12＝4π. (3)由y ＝sin x 的周期为2π，可猜想y ＝|sin x |的周期应为π.验证：∵|sin(x ＋π)|＝|－sin x |＝|sin x |，∴由周期函数的定义知y ＝|sin x |的周期是π.跟踪训练1 (1)4π (2)±2例2 解 ∵f (x )是以π2为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－f ⎝⎛⎭⎫5π6＝－f ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－f ⎝⎛⎭⎫－π6＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝f (π2－π3)＝－f (π3)， 又∵f (π3)＝1， ∴f (－5π6)＝－f (π3)＝－1. 跟踪训练2 32例3 解 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f(x)的周期为4.又f(x)是奇函数，∴f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝－f(1)．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，∴f(7)＝－f(1)＝－1.引申探究解函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．又函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，从而得f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.跟踪训练3(1)0(2)(x－3)2当堂训练1．④ 2.8 3.π 4.(1)π(2) 2π|a|。
高一数学教案：三角函数的周期性
高一数学教案：三角函数的周期性鉴于大家对十分关注，小编在此为大家搜集整理了此文高一数学教案：三角函数的周期性，供大家参考!本文题目：高一数学教案：三角函数的周期性一、学习目标与自我评估1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期3 会用代数方法求等函数的周期4 理解周期性的几何意义二、学习重点与难点周期函数的概念，周期的求解。
三、学法指导1、是周期函数是指对定义域中所有都有，即应是恒等式。
2、周期函数一定会有周期，但不一定存在最小正周期。
四、学习活动与意义建构五、重点与难点探究例1、若钟摆的高度与时间之间的函数关系如图所示(1)求该函数的周期;(2)求时钟摆的高度。
例2、求下列函数的周期。
(1) (2)总结：(1)函数 (其中均为常数，且的周期T= 。
(2)函数 (其中均为常数，且的周期T= 。
例3、求证：的周期为。
例4、(1)研究和函数的图象，分析其周期性。
(2)求证：的周期为 (其中均为常数，且总结：函数 (其中均为常数，且的周期T= 。
例5、(1)求的周期。
(2)已知满足，求证：是周期函数课后思考：能否利用单位圆作函数的图象。
六、作业：七、自主体验与运用1、函数的周期为 ( )A、 B、 C、 D、2、函数的最小正周期是 ( )A、 B、 C、 D、3、函数的最小正周期是 ( )A、 B、 C、 D、4、函数的周期是 ( )A、 B、 C、 D、5、设是定义域为R,最小正周期为的函数，若，则的值等于 ()A、1B、C、0D、6、函数的最小正周期是，则7、已知函数的最小正周期不大于2，则正整数的最小值是8、求函数的最小正周期为T，且，则正整数的最大值是9、已知函数是周期为6的奇函数，且则10、若函数，则11、用周期的定义分析的周期。
12、已知函数，如果使的周期在内，求正整数的值13、一机械振动中，某质子离开平衡位置的位移与时间之间的函数关系如图所示：(1) 求该函数的周期;(2) 求时，该质点离开平衡位置的位移。
三角函数的周期性+课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
即
1
1
π T
π
2sin2x＋6＋2 ＝2sin2x＋6对任意的
即
T
2sinu＋2 ＝2sin
1 π
u，其中 u＝ x＋ .
2 6
T
∵y＝2sin u 的周期为 2π，∴ ＝2π，
2
∴T＝4π，
1
π
∴f(x)＝2sin2x＋6的周期为
4π.
x 均成立.
所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2－x)＝－sin(2－x)＋x－2＝sin(x－2)＋x－2.
答案
sin(x－2)＋x－2
课堂小结：
1.周期函数的概念
2.最小正周期的概念和求法：公式法和定义法
3.三角函数的最小正周期
π
3
＝f673π＋ ＝f ＝f－ ＝f ＝sin ＝
，
3
3 3 3 3
3 2
所以
2
f
020π 2 021π
3
3
＋f
＝
3 3 2 ＋ 2 ＝ 3.
规律方法
当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内
的函数值的变化情况，再给予推广求值.
5π
f 3 ＝(
【迁移1】
(变换条件)若将例3中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，
结果如何？
解
5π
5π
2π
2π
π
π
π
高中高一数学教案：三角函数的周期性
高中高一数学教案：三角函数的周期性一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1.了解三角函数的概念以及周期性的定义和判断方法；2.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的周期性特征及其图像；3.实现对于具体函数的周期的计算。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括：1.三角函数的概念；2.三角函数的周期性特征；3.三角函数的具体例子及其周期的计算。
三、教学重点和难点教学重点：1.正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的周期性特征；2.对于具体函数的周期的计算方法。
教学难点：如何深入理解三角函数的周期性特征，如何应用三角函数的周期性进行具体函数的周期计算。
四、教学过程1. 引入新知识1.1 教师可以先设计一道有关周期性的问题，在引导学生认识周期性的基础上，向学生提出三角函数的周期性概念。
例如：某个人在上楼梯时，每走三层就会重复一次，这是什么现象？1.2 引导学生认识正弦函数和余弦函数的图像，并说明正弦函数和余弦函数的周期都为 $2\\pi$。
并可以通过以下图片简单地说明：正弦函数的图像：$$ y = f(x) = \\sin x $$余弦函数的图像：$$ y = f(x) = \\cos x $$2. 深入讲解2.1 正切函数的图像引导学生认识正切函数的图像，以及其周期性特征，由于正切函数没有周期性，因此需要通过讲解正切函数的图像和特性来说明：正切函数的图像：$$ y = f(x) = \\tan x $$2.2 三角函数的具体例子及其周期的计算引导学生通过给定的具体函数来求其周期，例如：$$ y = f(x) = 2\\sin \\frac{3}{4} x $$可以通过以下步骤计算：•当 $3x/4=\\pi$ 时，$y = 2 \\sin \\pi = 0$；•当 $3x/4=2\\pi$ 时，$y = 2 \\sin 2\\pi = 0$；•当 $3x/4=3\\pi$ 时，$y = 2 \\sin 3\\pi = 0$；•当 $3x/4=4\\pi$ 时，$y = 2 \\sin 4\\pi = 0$；•…从上面的计算结果可以看出，$\\sin(3x/4)$ 以 $2\\pi/3$ 为周期，因此可以通过以下公式得出周期：$$ T = \\frac{2\\pi}{3} $$五、教学评价本节课主要考察学生对于三角函数周期性的理解以及其应用能力。
苏教版数学高一苏教版必修4学案1.3.1三角函数的周期性
课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例1】 求下列三角函数的周期.（1）y=sin(x+3π);（2）y=3sin(2x +5π). 思路分析：运用周期函数的定义即可.解：（1）令z=x+3π,而sin(2π+z)=sinz, 即f(2π+z)=f(z),f ［(2π+x)+ 3π］=f(x+3π). ∴周期T=2π.(2)令z=2x +5π, 则f(x)=3sinz=3sin(z+2π) =3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x ) =f(x+4π).∴T=4π.温馨提示理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x 满足f(x+T)=f(x),而非某一个x 值.也可用公式T=ωπ2求周期.2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为π;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为2π. 思路分析：观察特征，运用定义.证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x), ∴y=cos2x+sin2x 的周期是π. (2)f(x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), ∴y=|sinx|+|cosx|的周期是2π. 温馨提示“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.思路分析：运用定义进行证明.证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T ，则sin|x+T|=sin|x|(x ∈R ).(1)当T≥2π时， 令x=2π,得sin|2π+T| =sin|2π|⇒sin(2π+T)=sin 2π⇒cosT=1; 令x=-2π,得sin|-2π+T|=sin|-2π| ⇒sin(-2π+T)=sin 2π ⇒-cosT=1⇒cosT=-1.由此得1=-1,这一矛盾说明T≥2π不可能. (2)当T≤-2π时, 令x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|⇒sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但-T≥2π,由(1)知这是不可能的.(3)当-2π＜T ＜2π时, 令x=0得,sin|T|=sin|0|⇒sinT=0⇒T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.温馨提示进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(421π+x ). 解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(421π+x )=2sin(421π+x +2π)＝2sin ［21(x+4π)+4π］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.变式提升1定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为（ ）A.21-B.21 C.23- D.23 解析：由题意:f(35π)=f(-35π)=f(-35π+2π)=f(3π)=sin 3π=23. 答案：D类题演练2设f(x)是定义在R 上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x ∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.解：当x ∈［-3,-2］时，-x ∈［２，3］.∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又∵f(x)是以2为周期的周期函数，当x ∈［1,2］时，-3≤x -4≤-2,∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).变式提升2定义在R 上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x ∈(-2,2)时，f(x)=x 2+1，则x ∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x ∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x 2+8x+17.答案：x 2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数.（1）y=x 3;(2)y=sinx 2.证明：（1）因为y=x 3在x ∈R 上单调，设y 取到值a,方程x 3=a 不可能有两个不同的根，因此y=x 3不是周期函数.（2）设函数y=sinx 2是周期函数，周期为T ，那么对所有的x ∈R ，sin(x+T)2=sinx 2.由x 的任意性，T=0，所以函数y 不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f （x)=1(x ∈R )是周期函数，但没有最小正周期.证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x ∈R 恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x 2+4. ①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.①证明：∵f(x)定义域为R 且f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).则f(x)的一个周期为2,且2n(n ∈Z ,n≠0)都是y=f(x)的周期.②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1，因此，0≤2-x≤1,由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4,∵f(x)的周期为2，且为偶函数，∴f(2-x)=f(-x)=f(x).∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)2+4.。
高一数学三角函数的周期性 教案
高一数学三角函数的周期性教学目标:了解周期函数的概念，会判断简单函数的周期性，并会求简单三角函数的周期； 教学重点:(1)周期函数的定义；(2)正弦、余弦函数、正切函数的周期性； 教学难点:周期函数的概念. 教学过程: 一.问题情境问题1.日出日落、寒去春来、花开花落等等，自然界有许多“按一定规律周而复始”的现象，这一现象称为周期现象；问题2.由()x x sin 2sin =+π、()x x cos 2cos =+π，每当角增加(或减少)π2，所得角的终边与原来角的终边相同，两角的正弦值相等，余弦值也相同，可知道正弦函数、余弦函数的函数值变化呈现周期现象.二.数学建构1.周期性:呈现周期现象的性质称为周期性2.周期函数的定义:对于函数()x f ，如果存在一个不为零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.3.定义说明:①周期函数()x f ，是对于定义域内的每一个x 都满足()()x f T x f =+成立.如:对于个别x 值满足或不满足()()x f T x f =+,都不能说T 是()x f 的周期；②等式()()x f T x f =+中非零常数T 是周期,是自变量x 加上的常数,如()()x f T x f 22=+,则T 就不是()x f 的周期，而应写成()()x f T x f T x f 2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+，2T 是()x f 的周期； ③对于周期函数()x f ，它的周期不止一个，如果在它所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()x f 的最小正周期，今后无特别说明的话，函数的周期都是指最小正周期；④正弦函数R x x y ∈=,sin ，余弦函数R x x y ∈=,cos ，都是周期函数，()02≠∈k Z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2；4.思考:正切函数2,tan ππ+≠=k x x y 是不是周期函数？如果是，最小正周期是多少？如果不是，说明理由.三.数学应用例1.若钟摆的高度()mm h 与时间()s t 之间的函数关系如图所示. (1) 求该函数的周期； (2) 求s t 10=时钟摆的高度；例2.求下列函数的周期:(1)()x x f 2cos = (2)()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx x g注:由例2发现:函数的周期与自变量x 的系数有关.一般地，o 1函数()ϕω+=x A y sin 或()ϕω+=x A y cos （其中ϕω,,A 为常数， R x A ∈≠≠,0,0ω）的周期为ωπ2=T ；o2若函数()x f y =的周期为T ，则函数()ϕω+=x Af y 的周期为ωT（其中ϕω,,A 为常数，R x A ∈≠≠,0,0ω）.例3.已知()0,4sin >⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωx y 的最小正周期为32π，则=ω ； 例4.已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=43sin 2πx k x f ,如果使()x f 的周期在⎪⎭⎫ ⎝⎛43,32内,求正整数k 的值.例5.(1)已知()()x f x f -=+1，求证:()x f 是周期函数，并求出它的最小正周期； (2)已知()()x f x f 12-=+，求证:()x f 是周期函数，并求出它的最小正周期. 四.练习1.写出下列函数的周期:(1)x y 3sin =； (2)3cosx y =； (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛+=34cos πx y ；(4)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421sin 3πx y ； (5)()x y -=π31cos 2.2.若0≠a ，则()π+=ax y sin 的最小正周期是（ ） A.aπB.a πC. a π2D. a π23.若⎪⎭⎫⎝⎛-=x y ωπ3cos 2的最小正周期是π4，则=ω ()0>ω. 五.小结1.周期性、周期函数；2.正弦、余弦函数的周期性. 六.作业1.27P 练习4 ；2.45P 习题1.3/ 1 ；3.设()x f 是R 上的奇函数，且()()x f x f -=+2，当10≤≤x 时，()x x f =，求()5.7f ；4.定义在R 上的函数()x f 既是偶函数又是周期函数，若()x f 的最小正周期是π，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()x x f sin =，求⎪⎭⎫⎝⎛35πf ；5.课课练1918P P - 第9课时。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性教案苏教版
1．3.1 三角函数的周期性整体设计教学分析三角函数的周期性是在学习了三角函数的概念之后研究的，教材中，为学习三角函数的图象和性质提供了问题背景，因此，教学时要充分运用这些问题背景以突出本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题．周期函数的定义是教学中的一个难点．在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“自变量每增加或减少一个值，函数值就重复出现”等，逐步抽象出函数周期性的定义．教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期以及周期函数．因为在本节中，我们讨论的主题是三角函数的周期性，这一点更重要，在教学中不要对一般的周期函数作过多的讨论．三角函数的最小正周期是指三角函数所有周期中的最小正数．对于正弦函数、余弦函数的最小正周期是2π的结论，可以组织学生通过观察三角函数线的变化进行验证，进而通过本节“链接”中的内容了解其证明过程．不论是周期，还是最小正周期，都是对自变量x 而言的，是自变量x 的改变量．这一点正是解决例2的根据．教学时根据学生的实际，可以组织学生仿照例2推导出函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的周期为2πω这一结论． 三维目标1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物，并通过本节的学习，使学生进一步了解从特殊到一般的认识世界的科学方法，提高认识世界的能力和思维层次，为今后认识世界和探索世界打下坚实的基础．重点难点教学重点：周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法．教学难点：周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．思路2.取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x＋2kπ)＝sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的．要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生在理解周期性的基础上，进而理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念．推进新课新知探究周期函数的定义由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π时，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sinx，cos(2π＋x)＝cosx.正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性．若记f(x)＝sinx，则对于任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)．这又启发我们思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？教师在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述．例如：对于函数f(x)，自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，k∈Z.这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2k π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有：f(－x)＝－f(x)，那么f(x)叫做奇函数；f(－x)＝f(x)，那么f(x)叫做偶函数；f(x ＋T)＝f(x)，其中T 是非零常数，那么函数f(x)叫做周期函数．从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．正弦函数是周期函数，2k π(k∈Z 且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.由诱导公式易知，2π是正弦函数的一个周期，下面用反证法证明2π是它的最小正周期．假设0<T<2π，且T 是正弦函数的周期，则对任意实数x ，都有sin(x ＋T)＝sinx 成立．令x ＝0，得sinT ＝0，又0<T<2π，故T ＝π，从而对任意实数x ，都有sin(x ＋π)＝sinx 成立，与sin(π2＋π)≠sin π2矛盾，故正弦函数没有比2π小的正周期． 由此可知，2π是正弦函数的最小正周期．学生一时可能难于理解周期的代数刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举一些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f(x)＝c(c 为常数，x∈R )是周期函数，所有非零实数T 都是它的周期．同时应特别强调：(1)对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x 有f(x＋T)＝f(x)，那么T 就不是f(x)的周期．例如，分别取x 1＝2k π＋π4(k∈Z )，x 2＝π6，则由sin(2k π＋π4＋π2)＝sin(2k π＋π4)，sin(π6＋π2)≠sin π6，可知π2不是正弦函数的周期．又如sin(30°＋120°)＝sin30°，但不是对所有x 都有f(x ＋120°)＝f(x)，所以120°不是f(x)的周期．(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不惟一，例如2π，4π，6π，8π，…都是它的周期，有无穷多个，即2k π(k∈Z ，k≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T 是函数f(x)的周期，那么对于任意的k∈Z，k≠0，kT也是函数f(x)的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．(4)正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．对问题②，教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如：若T是f(x)的周期，那么2T、3T、…呢？怎样求？实际上，由于T是f(x)的周期，那么2T、3T、…也是它的周期．因为f(x＋2T)＝f(x＋T＋T)＝f(x＋T)＝f(x)．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．示例应用例1见课本本节例1.例2判断函数f(x)＝2sin2x＋|cosx|，x∈R的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少？活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f(x＋T)＝f(x)成立的T的值．学生可能会很容易找出4π、2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，充分让学生自己讨论解决．解：因为f(x＋π)＝2sin2(x＋π)＋|cos(x＋π)|＝2sin2x＋|cosx|＝f(x)，所以原函数是周期函数，最小正周期是π.点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多加小心了．虽然将4π，2π带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f(x)中的x 以x ＋π代替后看看函数值变不变．为此需将π，π2等都代入试一试．实际上，f(x)＝2sin 2x ＋|cosx|，x∈R 中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系．因而π肯定是原函数的一个周期．知能训练课本本节练习1～4.作业1．课本习题1.3 1.2．预习正弦函数、余弦函数的图象．设计感想1．本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后有些题不管怎么做都难受．通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度．2．本节设计的特点是从形(单位圆)到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法．3．根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．备课资料一、关于周期函数与函数的周期周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论．下面对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，进行一些简单的扩展说明，以吸引有兴趣的学生对周期函数作进一步的探讨．1．性质：(1)若T(T≠0)是函数f(x)的周期，则－T 也是f(x)的周期．〔因f[x ＋(T －T)]＝f[x ＋(－T)]＝f(x)〕因而周期函数必定有正周期．(2)若T(T≠0)是f(x)的周期，则nT(n 为任意非零整数)也是f(x)的周期．(3)若T 1与T 2都是f(x)的周期，则T 1±T 2也是f(x)的周期．〔因f[x ＋(T 1±T 2)]＝f(x ＋T 1)＝f(x)〕(4)如果f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周期T 一定是T*的正整数倍．(5)周期函数f(x)的定义域M 必定是双方无界的集合，但M 并非必定是(－∞，＋∞)．2．周期函数的判定(1)若f(x)是在数集M 上以T*为最小正周期的周期函数，则kf(x)＋c(k≠0)和1分别是数集M 和数集{x|f(x)≠0}上的以T*为最小正周期的周期函数．(2)设f(u)是定义在数集M 上的函数，u ＝g(x)是数集M 1上的周期函数，且当x∈M 1时，g(x)∈M，则复合函数f[g(x)]是M 1上的周期函数．(3)设f 1(x)、f 2(x)都是集合M 上的周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，若T 1T 2∈Q ，则它们的和、差与积也是M 上的周期函数，T 1与T 2的公倍数为它们的周期．例如：f(x)＝sinx －2cos2x ＋sin4x 是以2π、π、π2的最小公倍数2π为周期的周期函数．3．非周期函数的判定(1)若f(x)的定义域有界，则f(x)不是周期函数．例如：f(x)＝cosx(x≤10)不是周期函数．(2)一般用反证法证明．例如：可证f(x)＝sinx 2是非周期函数；f(x)＝ax ＋b(a≠0)是非周期函数．(3)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T 在关系式f(x ＋T)＝f(x)中是与x 无关的，故讨论时可通过解关于T 的方程f(x ＋T)－f(x)＝0，若能解出与x 无关的非零常数T ，便可断定函数f(x)是周期函数，若这样的T 不存在，则f(x)为非周期函数．4．求周期函数的周期关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手．本节涉及的求周期的方法可概括为定义法、公式法，其他还有转化法、最小公倍数法、图象法等．二、备用习题1．求下列函数的周期：①y＝cos2x ；②y＝sin 23x ；③y＝12sin(14x －π3)；④y＝|sin 12x|. 2．已知函数y ＝2cos(π3－ωx)的周期是4π，求ω. 3．已知函数f(x)＝3sin(kx 5＋3)(k≠0)的最小正周期不大于1，则最小正整数k 的值为( )A ．33B ．32C ．31D ．304．下列函数中不是周期函数的是( )A ．y ＝－8πB ．y ＝|cosx|C ．y ＝1|sinx|D ．y ＝sin|x| 5．求证：y ＝cos2x ＋sin2x 的周期为π.6．求函数y ＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．参考答案：1.①π；②3π；③8π；④2π.2．ω＝±12. 3.B 4.D 5．证明：f(x ＋π)＝cos2(x ＋π)＋sin2(x ＋π)＝cos(2π＋2x)＋sin(2π＋2x)＝cos2x ＋sin2x ＝f(x)，∴y＝cos2x ＋sin2x 的周期是π.(一般不要求证明是最小正周期)6．解：函数y ＝|sinx|＋|cosx|的图象如图1所示，由图可知：函数的最小正周期为T ＝π2.图1。
高中数学 1.3.1 三角函数的周期性教案 苏教版必修4(1)
1．3.1 三角函数的周期性(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解周期现象在现实中是广泛存在的；(2)理解周期函数的概念；(3)能熟练地求正、余弦函数的周期；(4)能利用周期函数定义进行简单运用．2．过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；发现并归纳出正弦函数、余弦函数的周期性及求法；根据周期性的定义，再在实践中加以应用．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，树立学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．●重点难点重点：求函数的周期、利用周期求函数值．难点：对定义的理解及定义的简单应用．(教师用书独具)●教学建议1．教材通过对正弦线变化规律的分析以及诱导公式(一)反映的函数值关系，给出周期函数的定义，并通过具体函数——正弦函数说明周期不止一个，且给出了正弦函数、余弦函数的最小正周期；通过“探究与发现”，引导学生推导出函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的周期公式．2．关于周期函数定义的导入的教学建议教师在教学过程中多举些具有周期变化规律的实例，提高学生的学习兴趣，增强数学的应用意识．关于周期函数定义的教学，建议教师在教学过程中，讲清：(1)T为不为零的常数．(2)f(x＋T)＝f(x)是关于x的恒等式．(3)不是所有的周期函数都有最小正周期．3．关于函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期的教学建议教师在教学中重视公式T＝2π|ω|的推导过程，及时训练，加强学生对公式的理解和记忆．●教学流程创设问题情境，引入周期函数的定义，并探究如何用周期性定义证明一个函数是周期函数的方法.⇒引导学生探究正、余弦函数的周期性，理解函数y＝A sinωx＋φ和函数y ＝A cosωx＋φ的周期求法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求三角函数周期的方法.⇒通过例2及其互动探究，归纳总结解决判断证明函数是周期函数的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握关于函数周期性综合应用问题的解决方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解周期函数的定义．(难点)2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．3．会求函数y ＝sin(ωx ＋φ)和y ＝cos(ωx ＋φ)的周期．(重点)周期函数的定义【问题导思】单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．【提示】 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x )＝sin x ，cos(2π＋x )＝cos x ．故正弦函数和余弦函数也具有周期性．(1)周期函数的定义一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)最小正周期对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期.正、余弦函数的周期 【问题导思】4π是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期吗？【提示】 是的．由sin(4π＋x )＝sin x 恒成立，根据周期函数的定义，可知4π是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．(1)正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝2πω.求三角函数的周期求下列函数的周期：(1)y ＝3sin(π2x ＋π6)；(2)y ＝2cos(－x 2＋π4)；(3)y ＝|sin x |. 【思路探究】 利用公式法或定义法求解即可．若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期．【自主解答】 (1)T ＝2πω＝2ππ2＝4.(2)y ＝2cos(－x 2＋π4)＝2cos(x 2－π4)，∴T ＝2π12＝4π.(3)由y ＝sin x 的周期为2π，可猜想y ＝|sin x |的周期应为π.验证：∵|sin(x ＋π)|＝|－sin x |＝|sin x |，∴由周期函数的定义知y ＝|sin x |的周期是π.求三角函数的周期，通常有三种方法： (1)定义法．(2)公式法．对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，有T ＝2π|ω|.(3)观察法(图象法)．求下列函数的周期：(1)y ＝3cos(12x －π6)；(2)y ＝2cos(2x －π6)＋sin(2x ＋π4)．【解】 (1)y ＝3cos(12x －π6)中ω＝12，故T ＝4π.(2)y 1＝2cos(2x －π6)中，ω＝2，故周期T ＝π，y 2＝sin(2x ＋π4)中，ω＝2，故周期T＝π，故y ＝2cos(2x －π6)＋sin(2x ＋π4)的周期为π.函数周期性的判断 设函数y ＝f (x )，x ∈R ，若函数y ＝f (x )为偶函数并且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，求证：函数y ＝f (x )为周期函数．【思路探究】 要证函数y ＝f (x )是周期函数，就是要找到一个常数T (T ≠0)，使得对于任意实数x ，都有f (x ＋T )＝f (x )，可根据y ＝f (x )的奇偶性与对称性推导证明．【自主解答】 由y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称得f (2a －x )＝f (x )，∴f (2a ＋x )＝f (－x )．∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (2a ＋x )＝f (x )，∴f (x )是以2a 为周期的函数．1．判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数T 满足f (x ＋T )＝f (x )对定义域中一切x 都成立．2．若函数f (x )对定义域内的一切实数x 满足f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x，则f (x )都是周期函数，且2a 为它的一个周期，这里a 为非零常数．将本例中的条件改为“若函数y ＝f (x )为奇函数并且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称”，求证：f (x )为周期函数．【证明】 若f (x )为奇函数，则图象关于原点对称， ∴f (－x )＝－f (x )．由图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称得 f (2a －x )＝f (x )，∴f (2a ＋x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴f (4a ＋x )＝－f (2a ＋x )＝f (x )， ∴函数f (x )是以4a 为周期的函数．函数周期性的综合应用设f (x )是以1为一个周期的函数，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，求f (72)的值．【思路探究】 T ＝1→f 72＝f 72－1×4＝f －12→－12∈－1，0及fx ＝2x ＋1→f72＝f －12＝0 【自主解答】 f (x )是以1为一个周期的函数， ∴k ∈Z (k ≠0)也是f (x )的周期．∴f (x －k )＝f (x )，故f (72)＝f (72－4)，从而f (72)＝f (－12)．又当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，所以 f (72)＝f (－12)＝2×(－12)＋1＝0.1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．2．如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．设函数f (x )(x ∈R )是以2为周期的函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝(x －1)2. (1)求f (3)；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式.【解】 (1)∵函数f (x )(x ∈R )是以2为周期的函数，且x ∈[ 0,2]时，f (x )＝(x －1)2，∴f (3)＝f (3－2)＝f (1)＝(1－1)2＝0. (2)∵f (x )的周期为2，∴当x ∈[2,4]时有f (x )＝f (x －2)， 又∵x －2∈[0,2]，∴f (x －2)＝(x －2－1)2＝(x －3)2，∴f (x )＝(x －3)2.即x ∈[2,4]时，f (x )＝(x －3)2.函数周期性概念理解不透彻致误判断函数y ＝cos 4x ，x ∈[－π，π]是否为最小正周期为π2的周期函数，若不是，请说明理由．【错解】 记f (x )＝cos 4x ，设T 为f (x )的周期，则f (x ＋T )＝f (x )，即cos 4x ＝cos 4(x ＋T )对任意实数x 都成立，也就是cos(μ＋4T )＝cos μ对任意实数μ都成立，其中μ＝4x ，由于y ＝cos μ的最小正周期为2π，令4T ＝2π，得T ＝π2，故函数y ＝cos 4x ，x ∈[－π，π]是最小正周期为π2的周期函数．【错因分析】 导致错误的原因在于没有注意条件x ∈[－π，π]的限制，∵x ＝π时，x ＋T ∉[－π，π]，不符合周期函数的定义，即忽略了f (x )＝f (x ＋T )对任意x 都成立．【防范措施】 要判断一个函数是否为周期函数，①要看定义域I ，对任意x ∈I ，有x ＋T ∈I ；②对任意x ∈I ，有f (x )＝f (x ＋T )．要说明一个函数不是周期函数或者不是以T 为周期的周期函数，只需要举一反例即可．【正解】 由周期函数的定义可知，对定义域内的每一个x 值，有f (x ＋T )＝f (x )，故x ＋T 也应在定义域内，但是当x ＝π时，x ＋π2＝3π2∉[－π，π]，故函数y ＝cos 4x ，x∈[－π，π]不是周期函数．1．函数周期性的理解：(1)对于“f (x ＋T )＝f (x )”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x ，x ＋T 仍在定义域内且等式成立．(2)周期函数的周期不是惟一的，如果T 是函数f (x )的周期，那么kT (k ∈Z ，k ≠0)也一定是函数的周期．(3)并不是所有周期函数都有最小正周期．如常数函数f (x )＝C 没有最小正周期． 2．求三角函数的周期，通常有三种方法． (1)定义法；(2)公式法，对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|；(3)观察法(图象法)． 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.1．下列说法中，正确的是________①因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是函数y ＝sin x 的一个周期； ②因为tan(2π＋x )＝tan x ，所以2π是函数y ＝tan x 的最小正周期；③因为当x ＝π4时，等式sin(π2＋x )＝sin x 成立，所以π2是函数y ＝sin x 的一个周期；④因为cos(x ＋π3)≠cos x ，所以π3不是函数y ＝cos x 的一个周期．【解析】 根据周期函数的定义容易知道①③均是错误的，同时④是正确的；对于②，我们只能得出2π是函数y ＝tan x 的一个周期，但不是最小正周期．【答案】 ④2．函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(ω＞0)的周期为π4，则ω＝________.【解析】 由2πω＝π4，得ω＝8.【答案】 8 3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且当2＜x ≤6时，f (x )＝3－x ，则f (1)＝________.【解析】 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (1)＝f (1＋4)＝f (5)，又当2＜x ≤6时，f (x )＝3－x ，∴f (5)＝3－5＝－2，∴f (1)＝－2.【答案】 －24．求下列函数的最小正周期：(1)y ＝－2cos(－12x －1)；(2)y ＝3sin(π6＋3x )；(3)y ＝4sin(ax ＋π6)(a ≠0)．【解】 (1)原函数可化为y ＝－2cos(12x ＋1)．∵ω＝12，∴T ＝2π12＝4π.(2)∵ω＝3，∴T ＝2π3.(3)当a >0时，T ＝2πa，当a <0时，y ＝－4sin(－ax －π6)，T ＝2π－a .综上可知T ＝2π|a |.一、填空题1．函数y ＝3sin(π6－32x )的周期是________．【解析】 T ＝2π|－32|＝4π3.【答案】 4π32．下列各图形是定义在R 上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的有________．(填序号)图1－3－1【解析】 根据周期函数图象特征可知图①②③都是周期函数；图④为一个偶函数图象，不是周期函数．【答案】 ①②③3．函数y ＝2cos(π3－ωx )(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________.【解析】 由周期公式可知4π＝2π|ω|⇒|ω|＝12，由ω＜0，可知ω＝－12.【答案】 －124．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________．【解析】 f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.【答案】325．已知定义在R 上的函数f (x )是以2为周期的奇函数，则方程f (x )＝0在[－2,2]上至少有________个实数根．【解析】 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又∵函数f (x )以2为周期， ∴f (2)＝f (－2)＝f (0)＝0，且{ f －1＝－f 1f －1＝f 1， 解得f (－1)＝f (1)＝0，故方程f (x )＝0在[－2,2]上至少有5个实数根． 【答案】 56．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝1f x，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x ，则f (7.5)＝________.【解析】 ∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1fx ＋2＝f (x )， ∴T ＝4，∴f (7.5)＝f (4×2－0.5) ＝f (－0.5)＝f (0.5)＝1.【答案】 17．已知函数f (x )＝2sin(kx ＋π6)的最小正周期T ∈(1,3)，则正整数k 的取值集合是________．【解析】 由题意得1＜2πk ＜3⇒⎩⎨⎧ 2πk ＞1，2πk ＜3⇒⎩⎨⎧k ＜2π，k ＞2π3，即2π3＜k ＜2π. ∵k ∈N *，∴k ＝3,4,5,6. 【答案】 {3,4,5,6}8．设函数f (x )(x ∈R )是以π为最小正周期的周期函数，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ；当x ∈[π2，π)时，f (x )＝cos x ，则f (113π)＝________.【解析】 ∵T ＝π，x ∈[π2，π)时，f (x )＝cos x .∴f (113π)＝f (3π＋2π3)＝f (2π3)＝cos 2π3＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.【答案】 －12二、解答题9．已知函数y ＝5sin(k 3x ＋π3)．(1)若函数的周期为3π，求k 的值；(2)若函数的周期不大于1，求自然数k 的最小值．【解】 (1)∵函数y ＝5sin(k 3x ＋π3)的周期T ＝2π|k3|＝3π，∴|k |＝2，∴k ＝±2.(2)∵T ≤1，∴2π|k 3|≤1，即|k |≥6π≈18.85， 又k 为自然数， ∴k 的最小值为19.10．已知f (x )是周期为T (T ＞0)的周期函数，则f (2x ＋1)是否为周期函数，若是，请求出其周期．【解】 ∵f (x )＝f (x ＋T )，∴f (2x ＋1)＝f (2x ＋1＋T )＝f [2(x ＋T2)＋1]．∴周期为T2，∴f (2x ＋1)是周期为T2的周期函数．11．设f (x )是定义在R 上以6为周期的函数，f (x )在[0,3]内单调递增，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，试比较f (1.5)，f (3.5)，f (6.5)的大小．【解】 如图，∵f (x )是定义在R 上以6为周期的函数，∴f (6.5)＝f (0.5)，又∵y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，∴f (3.5)＝f (2.5)，利用f (x )在[0,3]内单调递增可知，f (0.5)＜f (1.5)＜f (2.5)， 即f (6.5)＜f (1.5)＜f (3.5)．(教师用书独具)若函数f (n )＝sinn π6(n ∈Z )，求f (97)＋f(98)＋f (99)＋…＋f(102)的值． 【思路探究】 直接求和较难，可以判断f (n )的周期性，利用周期函数在一个周期内函数值的变化情况求解．【自主解答】 由题意得sin n π6＝sin(n π6＋2π)＝sin[n ＋12π6](n ∈Z )，∴f (n )＝f (n ＋12)，∵97＝12×8＋1,98＝12×8＋2，…，102＝12×8＋6， ∴f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＋sin 5π6＋sin 6π6＝12＋32＋1＋32＋12＋0＝2＋ 3.当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究函数在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值．已知f (n )＝sin n π4，n ∈N *，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)的值为________．【解析】 ∵f (n )＝sin n π4，n ∈N *，∴T ＝2ππ4＝8， 又f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝sin π4＋sin π2＋…＋sin 2π＝0，且100＝12×8＋4，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝12[f (1)＋f (2)＋…＋f (8)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝sin π4＋sin π2＋sin 3π4＋sin π＝2＋1.【答案】2＋1。
高中高一数学教案：三角函数的周期性
高中高一数学教案：三角函数的周期性教学目标：1. 理解三角函数的周期性概念；2. 掌握正弦函数和余弦函数的周期；3. 掌握正切函数的周期。
教学重点：1. 正弦函数和余弦函数的周期；2. 正切函数的周期。
教学准备：1. 幻灯片或黑板；2. 教材、课本。
教学过程：Step 1：引入三角函数的周期性（5分钟）1. 引导学生绘制一个完整的正弦函数图像，并观察图像的特点。
2. 提示学生正弦函数图像是否具有重复的模式。
3. 引导学生思考正弦函数的周期性概念。
Step 2：正弦函数和余弦函数的周期（15分钟）1. 将幻灯片或黑板上的正弦函数图像展示给学生。
2. 引导学生观察并分析正弦函数的周期。
3. 解释正弦函数的周期为2π。
4. 将同样的步骤应用于余弦函数，解释余弦函数的周期也为2π。
Step 3：正切函数的周期（10分钟）1. 将幻灯片或黑板上的正切函数图像展示给学生。
2. 引导学生观察并分析正切函数的周期。
3. 解释正切函数的周期为π。
Step 4：总结（5分钟）1. 对三角函数的周期性进行总结，重点强调正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
2. 鼓励学生自己思考和总结其他三角函数的周期。
Step 5：练习与讨论（15分钟）1. 给学生几个练习题，让他们通过计算来确定其他三角函数的周期。
2. 引导学生通过讨论来解决不确定问题，营造积极的课堂氛围。
3. 对学生的答题过程进行指导和纠正，确保他们对三角函数的周期具有清晰的认识。
Step 6：作业布置（5分钟）1. 布置相关的练习题作为课后作业，巩固学生对三角函数周期的理解和应用。
教学反思：本节课主要讲解了三角函数的周期性，强调了正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π，并通过练习和讨论巩固了学生的学习成果。
教案设计了多种教学方法，如引导学生观察和分析，讨论和指导等，以激发学生的学习兴趣和积极性，提高教学效果。
苏教版高中数学必修4《三角函数的周期性》参考教案1
1.3.1 三角函数的周期性一、课题：三角函数的周期性二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；2.会求正、余弦函数的最小正周期。
三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。
四、教学过程：（一）引入：1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：自变量x 2π- 32π- π- 2π- 0 2π π 32π 2π 函数值sin x0 1 0 1- 0 1 0 1- 0正弦函数()sin f x x =性质如下：文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
（二）新课讲解：1．周期函数的定义对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．– – π 2π 2π- 2π 5π π- 2π- π- O x y 1 1-时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。
【思考】（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+） 2．最小正周期的定义对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。
高一数学教案：苏教版高一数学三角函数的周期性
课题：三角函数的周期性教学目标：1 •使学生理解函数周期性的概念。
2 •使学生掌握简单三角函数的周期的求法.3 •培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。
教学重点：函数周期性的概念.教学难点：周期函数与最小正周期的意义。
课时安排：一课时授课类型：新授课教学过程与设计：一、问题情境：1、引入：通过前面三角函数线的学习，我们知道每当角增加或减少2k.时，所得角的终边与原来角的终边相同，因而两角的正弦函数值也相同，正弦函数的这种性质叫周期性.不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，这就是今天研究的课题：函数的周期性.2、问题：那么如何用数学语言来刻画函数的周期性呢？二、建构数学(一)、周期函数定义1、我们先看函数周期性的定义.定义对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，f (x・T)二f (x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期•2、需要注意的几点：①T是非零常数。
②任意x • D，都有x D , T = 0，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件。
③任取D，就是取遍D中的每一个x，可见周期性是函数在定义域上的整体性质。
理解定义时，要抓住每一个x都满足f (x +T) = f (x),成立才行周期也可推进，若T是y=f(x)的周期，那么2T也是y=f(x)的周期•这是因为f (2T x) = f[T (T x)] = f (t x) = f (x)，若T 是y 二f (x)的周期，k Z 且k = 0, 则kT也是f(x)的周期.即2是函数y =sin x和y = cos x的周期，那么2k二(k ：=Z且k =0)也是y =sin x和y = cosx 的周期.3：： 3 二如: sin(4/sin(4),sin q ?)"(?,J[ TE JI JI 、但sin( )=sin , 不是y = sinx的周期.6 2 6 2(二)、最小正周期的概念.对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.例如函数y = Sin X的周期中，2n , —2n , 4 n , — 4 n ,…，存在最小正数2 n ,那么，2 n就是y = sin x的最小正周期.函数y =COSX的最小正周期也是2n，今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期，不是每个周期函数都有最小正周期.例1 •求下列函数的最小正周期T.(1) f (x) = 3sin x(2) f (x) = sin 2x(3) f (x)二2sin(— x )2 4解：(1) f (x)二3sin x 二 3sin( x 2二)=f (x 2二) T = 2二(2)f(x) =sin2x =sin(2x 2~ ) = sin2(x：〔愿)=f(x：〔愿)•••函数的最小正周期为n .1 笄 1 仃 1 -TT(3)f(x) =2si n( x ) =2si n( x 2二)=2s in [—(x4二) ] = f(x 4二)2 4 2 4 2 4•函数的最小正周期为 4 n .2冗总结一般规律：y=Asin(^x + ®), y = Acos(tjx的最小正周期是G I令z z：x，「，由y r Asinz,z・R的周期是2-，i,z 2 ―贝H z 亠 2 二 _ ■，x J' j 亠 2 二 _ - x 亠1 00丿2 气2"~[因而自变量x只要并且至少要增加到x •，即T =co co例2 .求证：(1) y = cos2x sin 2x的周期为n ；(2) y =| sinx | | cosx |的周期为一.2证明：(1) f (x 亠‘)=cos2(x 亠■) sin 2(x 亠‘)=cos(2 ‘ 亠2x) - sin(2 ‘ 亠2x)=cos2x sin 2x = f (x) . y = cos2x sin 2x的周期是二(2) f (x ' ) =|si n(x ' )| 亠|cos(x ' )=|cosx|、|—s in x|=|s in x | 亠| cosx |= f (x)2 2 2JT• y sin x| • | cosx | 的周期是？.总结：(1) 一般函数周期的定义(2) y = Asin(，x ), y 二Acos(，x )周期求法课堂教学设计说明函数周期性概念的教学是本节课的重点•概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视. 也不能因其难而回避. 概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻•因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入布置作业：练习2,习题1.3 1。
高中数学 1_3_1 三角函数的周期性教案 苏教版
2．练习.
（1）第25页练习1，判断说法正误；
（2）第26页练习2，求函数的周期性；
（3）第26页练习3，三角函数周期性的简单应用；
（4）设 是定义在R 上，以2为周期的函数，当 时， .
①求 时， 的表达式；
②求 及 的值．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．周期函数的概念，最小正周期；
课题
1.3.1三角函数的周期性
课型
新授
教学目标：
1.从实例感知周期现象，理解周期函数的概念；
2.能熟练求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用；
3.使学生对周期现象有一个初 步认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心.
教学重 点：周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法 ．
教学难点：周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单应用.
教学 过程
备课札记
一、问题情境
1．情境：取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象.
2.问题：我们已经知道，三角函数是刻画周期现象的数学模学生活动
3．最小正周期的概念，三角函数 的最小正周期；
4．函数 及 ( 为常数，且 )的周期（掌握公式）.
5．2π是正弦函数的最小正周期的简单证明介绍．
四、数 学运用
1．例题.
例1若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图 所示：
( 1)求该函数的周期；
(2)求t＝10s 时钟摆的高度．
例2求下列函数的周期:
2．三角函数的周期公式.
教学反思：
1．在图形上让 学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式 又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的.
高一数学苏教版必修4教学案第1章8三角函数的周期性
江苏省泰兴中学高一数学教学案()
必修三角函数的周期性
班级姓名
目标要求
．了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见函数的周期性；
．会求一些简单的三角函数的周期.
重点难点
重点：三角函数的周期性；
难点：周期函数的概念
教学过程：
一、问题情境
问题：、（）终边相同的角的变化有“周而复始”的变化规律吗？
（）物理中的圆周运动的规律如何呢？
、用三角函数线研究正弦、余弦函数值：
每当角增加（或减少），所得角的终边与原来角的终边相同，故Array两角的正弦、余弦函数值也分别相同，即有：
；.
这种性质我们就称之为周期性.
二、数学建构
、周期函数的概念：一般地，对于函数，如果存在一个非零的常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做，
非零常数叫做这个函数的.
说明：（）必须是常数，且不为零；
（）对周期函数来说必须对定义域内的任意都成立.
、最小正周期的概念：
、（）一个周期函数的周期有个.
（）试举出没有最小正周期的周期函数：.
练习：()时，是否成立？呢?
()
如果（）中的等式不成立，能否说不是正弦函数的一个周期？如果（）中的等式成立，能否说是正弦函数的一个周期？为什么？ 三、典例剖析
例 若钟摆的高度与时间之间的函数关系如图所示，()求该函数的周期； ()求
时钟摆的高度．
例 求下列函数的周期. （）
（） （） ()若函数的最小正周期为，求正数的值.
1。
苏教版必修第一册731三角函数的周期性课件_1
学习目标
1.理解周期函数，最 小正周期的定义.
2. 会 求 正 、 余 弦 函 数 和正切函数的周期.
3.能够判断实际问题中 的周期.
导语
生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的 自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟， 一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到 光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习. 我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知 道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数 的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质.
反思感悟
根据函数关系对应的图象，首先确定函数的周期，然后再利用周 期解决问题.
跟踪训练2 已知弹簧振子对平衡位置的位移x(单 位：cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如 图所示. (1)求该函数的周期；
由图象可知，该函数的周期为4 s.
(2)求t＝10.5 s时弹簧振子对平衡位置的位移.
设位移与时间的函数关系为x＝f(t)， 由T＝4， 所以f(10.5)＝f＋2×4)＝f(2.5)＝－8(cm). 故t＝10.5 s时弹簧振子相对平衡位置的位移为－8 cm.
问题2 把这个性质推广到函数的一般形式，应如何描述呢？ 提示 对于函数f(x)，若存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)对定义域内的 任意x都成立，那么f(x)为周期函数.
知识梳理
1.函数的周期性 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个 非零的常数T ，使得对于任意 的x∈A，都有x＋T∈A，并且 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫作周期函 数. 非零常数T 叫作这个函数的周期. 2.最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那 么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期.
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第十一课时三角函数的周期性
教学目标：
掌握函数的周期性，会求简单函数的最小正周期，掌握正弦函数、余弦函数的周期及求法；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点教学重点：
正、余弦函数的周期
教学难点：
函数的周期性
教学过程：
由单位圆中的三角函数线可知，正、余弦函数值的变化呈现出周期现象，每当角增加(或
减少)2 n,所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正、余弦函数值也分别相同•即有：
sin (2 n + x)= sinx, cos ( 2n+ x)= cosx,
正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性
一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+ T) = f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
由此可知，2n , 4 n,…，一2n，- 4n,…2k n (k € Z且0)都是这两个函数的周期. 对于一个周期函
数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期.
根据上述定义，可知：
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k n (k€ Z且k M0)都是它的周期，最小正周期是2n .
以后如果不加特别说明，函数的周期一般都是指最小正周期
正切函数是周期函数，且周期T= n
课本P26例1、例2
一般地，函数y= Asin( w x+「)及y= Acos(w x+ :)(其中A、3、「为常数，且A M 0,
3> 0)的周期T = ，函数y = Ata n(w x+ :)的周期T=—w w
周期函数应注意以下几点：
1. 式子f(x+ T) = f(x)对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x,式子都成立.而不能
是“一个X”或“某些个X”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行
了.
n 5 n n 5 n n
例如：由于sin(齐+~6 ) = sin長，即sin(x+ — )= sinx.该式中x取时等式成立，能否断定6是
sinx的周期呢？不能，因对于其他一些x值该式不一定成立.如x= n时，sin(x+曽) M sinx.
［例］函数y= cosx(x M 0)是周期函数吗？
解：不是，举反例，当T= 2n 时，令x=—2n,则有COS(x+ 2 n )= cos(—2n + 2 n ) = COS0 =1,但x= 0,不属于题设的定义域，则x不能取—2n ,故y= cosx(x M 0)不是周期函数.
2. 式子f(x+ T) = f(T)是对“ x”而言.
x x x
例如，由cos( 3 + 2k n )= cos§ (k€ Z)，是否可以说cos3的周期为2k n呢？不能！因为
x x+ 6k n x+ 6k n x x .
cos( 3 + 2k n )= cos 3 ，即cos 3 = COS3 (k€ Z)，所以COS3 的周期是6k n，而不是2k n (k€ Z).
3. 一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期•例如，f(x)= a(常数)，显然任何一个正
数T都是f(x)的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f(x) = a无最小正周期.
4. 设T是f(x)(x€ R)的周期，那么kT(k€ Z,且k^ 0)也一定是f(x)的周期，定义规定了T 为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T的取值范围，只要求不为零，不要误认为
T 一定是n的倍数.
有许多周期函数的周期中是不含“n”的，如下面几例：
2 n
［例1 ］函数y= sin n x的周期是T= 一 = 2.
［例2］函数y= tan2n x的周期是T =
［例3］若对于函数y= f(x)定义域内的任何x的值，都有f(x+ 1) = f(x)成立，则由周期函数的定义可知，函数y= f(x)是周期函数，且T= 1是其周期.
［例4］设f(x)定义在R上，并且对任意的x,有f(x+ 2) = f(x+ 3) —f(x+ 4). 求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期.
证明:T f(x+ 2) = f(x+ 3) —f(x + 4) f(x+ 3) = f(x+
4) —f(x+ 5)
① + ②得：f(x + 2) = —f(x+ 5)
由③得：f(x+ 5) = —f(x+ 8)
• f(x+ 2) = f(x+ 8)
即f(x) = f(x+ 6)
• f(x)为周期函数，一个周期为 6.
5•周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数f(x)(如y= log2x, y=| x |, y= 2x, y= x2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y= x2(x€ R)在其定义域R内限制在(一1, 1］,然后将y= x2( —1<x< 1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f(x) = (x—2k)2(2k—1v x< 2k+ 1), k€ Z,如图：
［例］已知f(x)=| x |, x€ (—1, 1:,求定义在R上的一个周期为2的函数g(x)，使x € (—
1 , 1］时，g(x)= f(x).
解：由g(x)的周期性可画出g(x)的图象•如图：
7t
①
②
③
④
对于任意的x € R , x ••• g(x) = g(x — 2n)= f(x — 2n)=| x — 2n |,
x -2n,2n c x W2n +1 —x
+2n,2n — 1 c x 兰2n
评述：(1)要判定f(x)是周期函数，自变量 x 必须取遍定义域内的每一个值
•
(2)周期函数是高考中的热点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用 自如• 课堂练习：
课本P 27练习1〜4 课时小结：
要初步掌握三角函数的周期性 • 课后作业：
课本P 45习题 1
］内，贝y x — 2n € (— 1, 1:.
即g(x)=』。