《二元一次方程组》案例分析

《二元一次方程组》案例分析

情景实录：

片段一：创设情境

教师：观察右图，你知道笼子里的鸡和兔

各有多少只（学生摇摇头）那么，老师

给你们一些提示.（多媒体展示问题）

今有鸡兔同笼，

上有三十五头，

下有九十四足，

问鸡兔各几何 ；

教师：请语文课代表把这一题的意思翻译一下.

学生：有一群鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数鸡头和兔头共35个，从下面看鸡脚和兔脚共94只，问鸡和兔各是多少

教师：根据实际问题列方程的关键是找相等关系，你能找到相等关系吗 学生（异口同声）：能.

学生：鸡的只数+兔的只数=35.

教师：还有吗

学生（异口同声）：鸡的只数×2+兔的只数×4=94.

教师：有几个未知数，如何设未知数

学生1：有两个未知数，分别是鸡的只数和兔的只数.可以设鸡x 只、兔y 只. 教师：根据题意，可以得到什么方程可以将相等关系中的未知量，换成x 、y.

《

学生2：x+y=35；

2x+4y=94.

评析：回顾两个二元一次方程的列出过程，学生按照教师设计好的程序，先找相等关系，再设未知数，最后列方程.整个过程没有停顿，十分流畅，列方程的目的顺利达成，为下一环节引出课题做好准备.反思这个过程，学生被教师“牵”着，完成了列方程的任务，不知学生的收获有多少是否获取了解决问题的经验

片段二：引出课题，生成概念

教师（板书这两个方程）：x 、y 表示什么意义

学生（异口同声）：x 表示鸡的只数，y 表示兔的只数.

教师：鸡的只数x 和兔的只数y 必须同时满足这两个方程，把这两个方程合起来，可以得到方程组.（用大括号把两个方程括起来）像这样，含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组.（板书课题：二元一次方程组并用多媒体展示二元一次方程组的定义.）

议一议：

1、填空：含有 的 组成的方程组叫做二元一次方程组.

2、根据定义，判断下列方程组是不是二元一次方程组.

^

（1） (2) (3) (4) {1n -2m 32m n ==+{62y -x 3z y ==+{1x 52y x ==+{3n m 5

n m 2=+=+

学生3：含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组.

教师：第2题中第一个方程组是二元一次方程组吗

学生（异口同声）：是.

教师：第二个方程组是二元一次方程组吗

学生（异口同声）：不是.

教师：二元一次方程组是指含两个未知数且由两个一次方程组成的方程组.第二个方程组中未知数有两个x、y，且都是一次方程，所以是二元一次方程组.第三个方程组是二元一次方程组吗

学生（异口同声）：不是.

·

教师：第四个方程组是二元一次方程组吗

学生（异口同声）：不是.

评析：获取概念的主要方式是概念的形成和概念的同化.概念的形成需要对大量的例子进行归纳和概括，得出一类事物的共同本质属性，这是一个发现学习的过程.概念的同化是学生利用原有的知识来理解新概念，是一个接受学习的过程.本节课从具体情境出发，仅仅得到一个二元一次方程组，如果用探究的方式，引导学生归纳二元一次方程组的本质属性，进而得出二元一次方程组的概念，不仅不能帮助学生理解二元一次方程组的概念，反而会冲淡主题，重点不突出.（有

一位教师要求学生观察{359442=+=+y x y x，归纳二元一次方程组的特征.结果学生的回答不得要领，对议一议中的第2题中的第二个方程组作出了错误的判断.）直接抛出这个描述性的定义，同时进行变式训练，帮助学生初步形成二元一次方程组的概念.

片段三：例题赏析

【例题】足球的表面由32块黑色的五边形和白色六边形皮块围成，黑、白皮块数的比为3︰5.设黑色的皮块数为x，白色的皮块数为y. 列出关于x、y的二元一次方程组.

教师：利用方程解决实际问题，关键在于找相等关系.你能从哪一句话中找到相等关系

学生4：第一句.

教师：用等号写成……

学生（异口同声）：白色的皮块数+黑色的皮块数=32.

教师：还有一个呢

~

学生4：第二句.

教师：用等号写成……

学生4：……

教师：“黑色的皮块数与白色的皮块数的比是3︰5”

可以写成：黑色的皮块数︰白色的皮块数=3︰5 .

根据比例的性质“内项之积等于外项之积”可得……

学生（异口同声）：黑色的皮块数×5=白色的皮块数×3.

教师：根据题意，可得……

学生（异口同声）： .

-

（教师板书解题过程）

评析：教师及时发现学生的不足，帮助学生将比例式转化为等积式，让每个学生都有解决问题的必需的知识.

片段四：练习反馈

试一试：根据实际问题的意义列出方程组.

(1)红圆珠笔每支元,蓝圆珠笔每支元,两种圆珠笔共买了15支,共花了19元,两种圆珠笔各买多少支

(2)在一场篮球比赛中,不计罚球得分,小林共得28分,已知他投中的两分球比三分球多4个,他投中两分球,三分球各多少个

（学生积极练习，教师巡视辅导）

评析：问题的难度与例题相当，学生大约用了十分钟左右完成练习.据课后统计发现，全班只有几个学生出现错误.

根据实际问题的意义建立方程组模型既是初中数学教学的重点，也是难点,很多学生害怕做这一类问题.从以上四个片段来看，这位教师成功地消除了学生恐惧心理，学生参与学习的积极性较高，教学目标基本达成.究其原因有以下几点：一、本节课设置的情境在学生的身边随时可见，鸡、兔、笔、足球等学生都很熟悉。尤其是“足球”问题，大多数学生都踢过足球，可没人留意足球上黑、白皮块各有几块.有了这些鲜活的素材，学生探索的积极性被调动了起来.二、能在建模关键处设问且梯度小、易解决，指向明确. 根据实际问题的意义建立方程组模型，关键在于找相等关系. 这位教师每提出一个问题，都能引导学生从文字中读取信息，找到相等关系，帮助学生将实际问题转化为数学问题.

)

一些值得商榷的地方.其一、正确处理“牵”与“引”的关系. 课下与几个学生交流，大家发言踊跃，争先恐后.从交流中了解到，在小学已经见过“鸡兔同笼”问题，大多数学生都会解答这个问题.比如：

学生5：假设笼子里都是鸡，那么共有70只脚，少了24只脚。每只鸡比兔少2只脚，所以兔的只数为24÷2=12（只），鸡的只数为35-12=23（只）.

学生6：假设鸡和兔都用一半的脚着地（做了个金鸡独立的动作，得意之情溢于言表），那么鸡和兔的脚数之和是47.兔的只数为47-35=12（只），鸡的只数为23只.

学生7：还可以列一元一次方程解决这个问题……

对学生的发展而言，解决问题活动的价值不仅仅是获得具体问题的结论，它的意义更多的是让学生从解决问题的过程中体会到解决问题可以有不同的策略，每个人可以根据自己对问题的理解，提出自己解决问题的基本策略。在教学活动中，应该给与学生足够的思考时间，有自由表达自己解决问题思路的宽松氛围，有与同伴交流的机会……对于“鸡兔同笼”问题，学生已经具备解决它的能力，如果教师改变思路，把选择解决问题的方法的机会交给学生，不把学生的思维限制在列二元一次方程上，让学生独立思考，彼此交流.给学生一个展示自我，获得体验成功的机会.当学生解决问题的情绪高涨时，适时提问：“如果设鸡x 只、兔y 只，根据题意你能列出哪几个方程”经过前一段时间的交流，学生能轻松地{3253=+=x y y

x