同济大学复变函数以往考题
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2009年B 卷
一、研究方程（10分）
方程1-=z e 在复数范围内是否有解？若有解，求出其所有的解。若无解，说明理由。
二、计算与证明（20分） 1. 已知22ln
),(y x y x u +=，x y y x v arctan ),(=。 1）证明：),(),()(y x iv y x u z f +=在复平面的第I,IV 象限（不包含y 轴）上解析。
2）对上述的
)(z f ，计算复积分⎰γz z f d )(，这里γ为由i -经1到i 的折线段。（8分） 2. 已知xy y x u =),(。问是否存在定义在全平面的函数),(y x v ，使得函数),(),()(y x iv y x u z f +=在复平面上解析？如存在求出一个满足条件的),(y x v ，如不存在，请说明理由。（5分）
三、 计算（20分） 已知函数z
z f sin 1)(=。 1. 求
)(z f 在1点的Taylor 级数（只需展开至平方项），并指出该级数的收敛半径。（7分） 2. 求)(z f 的一切孤立奇点，并判断其类型。（8分）
3. 复平面上的极限z z z sin lim
0→是否存在？若存在，求出该极限，若不存在，说明理由。 四、计算（20分）
1. 计算广义积分⎰+∞
++04
221d os x
x x x c α，这里α为非负常数。（10分） 2. 利用上题结论，计算42211
)(x x x f ++=的Fourier 变换。（10分）
五、利用积分变换法求解常微分方程定解问题（10分）
⎩⎨⎧===+0
)0(',0)0()()(''x x e t x t x t
六、研究保形映照（第1题15分，第2题5分，共20分）
设D 为圆域}2|1{|<-z 和}2|1{|<+z 的公共部分。
1. 构造D 到上半平面}0{Im >z 的可逆保形映照)(z f ，且满足0)0(',)0(>=f i f
2. 该映射在i ±点是否保形？说明理由。