浙江省杭州市高一上学期期中数学试卷(理科)
浙江省杭州二中高一数学上学期期中试题【会员独享】.doc
杭州二中第一学期高一年级期中考试数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分， 满分100 分，考试时间 90 分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答卷．．相应空格中） 1. 满足{}1,1{1,0,1}A-=-的集合A 共有（ ）A.2个B. 4个C. 8个D. 16个2. 三个数20.520.5,log 0.5,2a b c ===之间的大小关系是 （ ） A ．a c b << B. b c a << C. b a c << D. a b c <<3. 下列函数中是偶函数的是 ( ) A .3y x=-B.]3,3(,22-∈+=x x yC.x y 2log =D.2-=x y 4. 已知⎩⎨⎧>-<+=0404)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为（ ）A ．－2B ．2C ．－3D ．35. 已知函数()833-+=x x f x，用二分法求方程()33801,3x x x +-=∈在内近似解的过程中，取区间中点02x =，那么下一个有根区间为 ( ) A ．（1,2） B ．（2,3） C ．（1,2）或（2,3）都可以 D ．不能确定6. 函数y =）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞ C ．(,1]-∞ D ．2(,1]37. 已知()f x 为R 上奇函数，当0x ≥时,2()2f x x x =+，则当0x <时，()f x =( ).A.22x x - B. 22x x -+ C. 22x x + D. 22x x -- 8. 甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度1v 与2v （1v ＜2v ）.甲前一半的路程使用速度1v ，后一半的路程使用速度2v ；乙前一半的时间使用速度1v ，后一半时间使用速度2v .关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析（其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程，C 是AB 的中点），则其中可能正确的图示分析为 （ ）A .（1） B. （2） C.（3） D . （4） 9. 已知函数(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩满足:对任意实数21,x x ,当12x x <时,总有12()()0f x f x ->,那么实数a 的取值范围是 （ ）A ． [11,)73B ． 1(0,)3C ．11(,)73D ．[1,1)710. 定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -．已知函数||2x y =的定义域为[],a b ，值域为[]1,2，记区间[],a b 的最大长度为m , 最小长度为n ．则函数)2()(n x m x g x +-=的零点个数是 （ ）A ．1B ．2C ．0D ．3二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分 ．把答案填在答卷中相应横线上） 11.函数2y =的值域是 ▲ . 12. 已知集合{}{222,,M y y x x x R N x y ==-++∈==，那么集合MN为 ▲ .13. 设函数2 0()() 0.x x f x g x x ⎧<=⎨>⎩，，， ，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是 ▲ .14. 方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的范围是 ▲ .15. 已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是 ▲ .16. 定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如，121*=，则函数2()(1)f x x x =*-的最大值为▲ . 17. 下列说法：①函数()212log 23y x x =--的单调增区间是(),1-∞；②若函数()y f x =定义域为R 且满足()()11f x f x -=+，则它的图象关于y 轴对称；③函数()()1||xf x x R x =∈+的值域为(1,1)-；④函数2|3|y x =-的图象和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值可能是0,2,3,4；⑤若函数2()25(1)f x x ax a =-+>在[]1,3x ∈上有零点，则实数a 的取值范围是,3].其中正确的序号是 ▲ .杭州二中第一学期高一年级期中考试数学答题卷 一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11. . 12. . 13. . 14. .15. . 16. . 17. .三、解答题（本大题共4小题，共39分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 18. ( 本小题满分8分）(Ⅰ) 计算：2213log lg14812lg1)27100-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（Ⅱ）已知11223x x -+=，求22123x x x x --+-+-的值.19. （本小题满分8分）若集合2{|log (2)2,01}a A x x x a a =--<>≠且，（Ⅰ）若2=a ，求集合A ；（Ⅱ）若3A ∈，求实数a 的取值范围．20. （本小题满分11分）已知函数4()nf x x x=-，且(4)3f =. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）判断()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若在区间[1,3]上，不等式()221f x x m >++恒成立，试确定实数m 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知幂函数(2)(1)(),k k f x xk Z -+=∈，且()f x 在()0,+∞上单调递增.（Ⅰ）求实数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；（II ）若()2()43F x f x x =-+在区间[2,1]a a +上不单调．．．，求实数a 的取值范围； （III ）试判断是否存在正数q ，使函数()1()(21)g x qf x q x =-+-在区间[1,2]-上的值域为17[4,]8-. 若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由.杭州二中第一学期高一年级期中考试数学答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11. [02]，. 12. []3,2- . 13. 14-. 14. 5[2,)2.15. 12{|}33x x <<. 16. 32. 17. ③ ④ ⑤.三、解答题（本大题共4小题，共39分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）18. ( 本小题满分8分）(Ⅰ) 2213log lg1481192lg1)2132710044-⎛⎫-++=--+=- ⎪⎝⎭（Ⅱ）已知11223x x -+=，求22123x x x x --+-+-的值. 解：∵11223x x-+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=， ∴2212472453734x x x x --+--==+--19.（本小题满分8分）若集合2{|log (2)2,01}a A x x x a a =--<>≠且，（Ⅰ）若2=a ，求集合A ；（Ⅱ）若3A ∈，求实数a 的取值范围．解:（Ⅰ）若2=a ，22log (2)2x x --<，则2024x x <--<得21x -<<-或 23x <<所以{|2123}A x x x =-<<-<<或（Ⅱ）因为3A ∈，所以2log (332)2a --<，log 42a <，当1a >时，24a >，2a ∴>；当01a <<时，24a <，∴01a << 所以实数a 的取值范围是(0,1)(2,)+∞. 本小题满分11分）已知函数4()nf x x x=-，且(4)3f =. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）判断()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若在区间[1,3]上，不等式()221f x x m >++恒成立，试确定实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）由(4)3f =得： 1n =()(),00,-∞+∞∴函数()f x 在()(),00,-∞+∞上为奇函数。
浙江省杭州中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题含解析
浙江省杭州2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷（答案在最后）一、单项题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={1，3，4，5}B ={2，4，6，8}则A B ⋃=（）A.{1，2，3，4，5，6，7，8}B.{1，2，3，4，6，8}C.{1，2，3，4，5，6，8}D.{4}【答案】C 【解析】【分析】根据并集的知识求得正确答案.【详解】根据并集的知识可知{}1,2,3,4,5,6,8A B ⋃=.故选：C2.设x ∈R ，则“3x <”是“2x x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必条件【答案】B 【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，结合充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】333x x <⇔-<<，()22,10x x x x x x <-=-<，解得01x <<，所以“3x <”是“2x x <”的必要不充分条件.故选：B3.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A.1y x=B.3y x =- C.2y x = D.2y x =+【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的性质分别对各个选项分析判断即可.【详解】对于A ，1y x=为奇函数，在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，而在定义域内不是减函数，所以A 不合题意；对于B ，3y x =-为奇函数，在定义域R 上为减函数，所以B 符合题意；对于C ，2y x =为偶函数，所以C 不合题意；对于D ，由于2y x =+为非奇非偶函数，所以D 不合题意，故选：B.4.设0.80.10.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b【答案】D 【解析】【分析】结合指数函数、对数函数的性质确定正确答案.【详解】0.83b =，3x y =在R 上递增，所以0.10.8133<<，即1a b <<.0.7log y x =在()0,∞+上递减，所以0.70.7log 0.8log 0.71<=，所以c<a<b .故选：D5.若m +n ＝1（m ＞0，n ＞0），则11m n+的最小值为（）A.4B.6C.9D.12【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，利用基本不等式即可求解．【详解】因为m +n ＝1（m ＞0，n ＞0），则112224m n m n n m m n m n m n+++=+=++≥+=，当且仅当12m n ==时取等号．故选：A ．6.设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()f x =sgn x x 的图象大致是A.B.C.D.【答案】C 【解析】【详解】函数f （x ）=|x|sgnx=,00,0,0x x x x x >⎧⎪=⎨⎪<⎩=x ，故函数f （x ）=|x|sgnx 的图象为y=x 所在的直线，故答案为C ．7.设函数()f x ＝x 2﹣2x +2，若()f x ≥tx 对任意的实数x ≥1恒成立，则实数t 的取值范围是（）A.2,2⎡⎤--⎣⎦B.()2,--+∞C.(,2⎤-∞⎦D.(],1-∞【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为22t x x ≤+-在[)1,+∞上恒成立，结合对勾函数的性质求出22y x x=+-的最小值即可．【详解】因为()f x ≥tx 对任意的实数x ≥1恒成立，所以x 2﹣2x +2≥tx 对任意的实数x ≥1恒成立，等价于22t x x≤+-在[)1,+∞上恒成立，由对勾函数的性质可知22y x x=+-在x =处取最小值为2-，所以2t ≤-，所以实数t 的取值范围是(,2⎤-∞⎦．故选：C .8.已知()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 3f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，则函数()12f x y x=-的零点为（）A.12B.13C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】先根据()f x 单调，结合已知条件求出()f x 的解析式，然后再进一步研究函数()12f x y x=-的零点．【详解】解：因为()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，且对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 3f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，故可设存在唯一的实数()0,C ∞∈+，使得()3f C =，则设()2log f x x C -=，所以()2log f x x C =+，所以()2log 3f C C C =+=，则2log 3C C =-，由于函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，函数3y x =-在()0,∞+上单调递减，又2log 2132==-，所以2C =，故()()22log 2log 4f x x x =+=再令()120f x x-=，()0,x ∈+∞，得：140x x -=，解得12x =±（负值舍去）．则函数()12f x y x=-的零点为12.故选：A ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分9.下列各组函数为同一个函数的是（）A.()f x x =，()2x g x x=B.()1f x =，()()01g x x =-C.()2f xx=，()()2xg x =D.()2164t f t t -=-，()4g t t =+()4t ≠【答案】CD 【解析】【分析】逐项判断即可，A 项定义域不同；B 项定义域不同；CD 项化简后三要素相同；【详解】对于A ：()f x x =的定义域为R ，()2x g x x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数，故A 错误；对于B ：()1f x =的定义域为R ，()()01g x x =-的定义域为()(),11,-∞+∞ ，因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数，故B 错误；对于C ：()2f xx=的定义域为()0,∞+，()()2xg x =的定义域为()0,∞+，()21f x x==，()()21xg x ==，所以这两个函数是同一函数，故C 正确；对于D ：()2164t f t t -=-的定义域为()(),44,-∞⋃+∞，()4g t t =+()4t ≠的定义域为()(),44,-∞⋃+∞，()21644t f t t t -==+-，所以这两个函数是同一函数，故D 正确；故选：CD.10.下列说法正确的有（）A.命题“R x ∀∈，x 2+x +1＞0”的否定为“2R,10x x x ∃∈++≤”B.函数f （x ）＝log a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点（1，1）C.已知函数f （x ）＝|x |+2，则f （x ）的图象关于直线x ＝2对称D.373log 7log 4log 4=【答案】AB 【解析】【分析】由全称量词命题的否定可判断A ；利用函数平移的即可判断BC ；由换底公式可可判断D 【详解】对于A 选项：“∀x ∈R ，x 2+x +1＞0”的否定为“∃x ∈R ．x 2+x +1≤0”，故A 正确；对于B 选项：由函数对数函数y ＝log a x （a ＞0且a ≠1）恒过（1，0），所以f （x ）＝log a x +1恒过（1，1），故B 正确；对于C 选项：由函数y ＝|x |图像关于x ＝0对称，所以f （x ）＝|x |+2，关于x ＝0对称，故C 错误；对于D 选项：由换底公式373log 4log 4log 7=，故D 错误；故选：AB ．11.若0,0a b >>，则下列不等式中，恒成立的是（）A.2b a a b+≥ B.a 3+b 3≥a 2b +b 2aC.2a b+≤D.136【答案】ABD 【解析】【分析】由已知结合基本不等式及相关结论，不等式的性质及对勾函数单调性分别检验各选项即可判断．【详解】对A ：当a ＞0，b ＞0时，2b aa b+≥，当且仅当a ＝b 时取等号，A 正确；对B ：a 3+b 3﹣a 2b ﹣ab 2＝a 2（a ﹣b ）+b 2（b ﹣a ）＝（a ﹣b ）2（a +b ）≥0，故a 3+b 3≥a 2b +b 2a ，B 正确；对C ：()()222222202444a b a b a b a b ab +-++--==≥2a b +≥，C 错误；对D：令32t ==，又1y t t =+在[)1,+∞上单调递增，且当32t =时，136y =，故136y ≥，D 正确．下证()1f x x x=+在()1,+∞上单调递增：在()1,+∞上任取12x x <，则()()()12121212121111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+-=-- ⎪⎝⎭，因为121x x <<，故121210,10x x x x --，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()1f x x x=+在()1,+∞上单调递增.故选：ABD ．12.已知函数()(),f x g x 是定义在R 上的函数，其中f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （x ）+g （x ）＝ax 2﹣x ，若对于任意121x x >>，都有()()12124g x g x x x ->-，则实数a 可以为（）A.3B.2C.1D.0【答案】AB 【解析】【分析】由已知结合函数的奇偶性可求()g x ，由函数的单调性定义分析可得，令()()4h x g x x =-，判断出()h x 在()1,+∞上单调递增，结合二次函数的性质分析可得a 的取值范围．【详解】根据题意，f （x ）+g （x ）＝ax 2﹣x ，则f （﹣x ）+g （﹣x ）＝ax 2+x ，两式相加可得f （x ）+f （﹣x ）+g （x ）+g （﹣x ）＝2ax 2，又由f （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以2g （x ）＝2ax 2，即g （x ）＝ax 2，若对于任意121x x >>，都有()()12124g x g x x x ->-，变形可得()()112212440g x x g x x x x ---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦>-，令()()244h x g x x ax x =-=-，则h （x ）在区间()1,+∞上单调递增，若a ＝0，则h （x ）＝﹣4x 在()1,+∞上单调递减，不满足题意；若0a ≠，则h （x ）＝ax 2﹣4x 是对称轴为2x a=的二次函数，若h （x ）在区间()1,+∞上单调递增，只需021a a>⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得2a ≥，所以a 的取值范围为[)2,+∞，则a 可以取值3，2.故选：AB三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()()lg 2f x x =-定义域为_________．【答案】()2,+∞【解析】【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】依题意21020x x -≥⎧⎨->⎩，解得2x >，所以()f x 的定义域为()2,+∞.故答案为：()2,+∞14.已知函数()()2,32,3x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()4f =_____．【答案】4【解析】【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.【详解】由于()()2,32,3x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()()()2442224f f f =-===.故答案为：415.若幂函数()()233mf x m m x =--⋅在()0,∞+上为增函数，则实数m =_____．【答案】4【解析】【分析】结合幂函数的定义以及单调性求得m 的值.【详解】()f x 是幂函数，所以22331,340m m m m --=--=，解得4m =或1m =-.当4m =时，()4f x x =，在()0,∞+上递增，符合题意.当1m =-时，()1f x x=，在()0,∞+上递减，不符合题意.综上所述，m 的值为4.故答案为：416.在函数y ＝3x 图象上有A （x 1，t ），B （x 2，t +3），C （x 3，t +6）（其中t ≥3）三点，则△ABC 的面积S （t ）的最大值为________．【答案】333log 22-．【解析】【分析】先利用对数式，求出x 1，x 2，x 3，然后即可将△ABC 的面积表示成()213332S x x x =-+的形式，代入x 1，x 2，x 3，求其最大值即可．【详解】根据题意，函数y ＝3x 图象上有A （x 1，t ），B （x 2，t +3），C （x 3，t +6）（其中t ≥3）三点，所以3123,33,63xx x t t t =+=+=，即x 1＝log 3t ，x 2＝log 3（t +3），x 3＝log 3（t +6），()ABC AFC BDC AEB BDFD S S S S S =-++ ()()()()()313221322131113633332222x x x x x x x x x x x ⎡⎤=⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-+⨯-=-+⎢⎥⎣⎦即()()333113log 3log log 622S t t t ⎡⎤=+--+⎢⎥⎣⎦3333log 3log 3logS ==,∵t≥3，∴33log S =∴t ＝3时，max 3333log 3log 22S ==-．故答案为：333log 22-．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{}()(){}1,2,|10A B x x x a =-=+-=．（1）若3a =，求A B ⋂；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值集合．【答案】（1）{}1-（2）{}1,2-【解析】【分析】（1）根据交集的知识求得正确答案.（2）根据A B A ⋃=对a 进行分类讨论，从而求得a 的取值范围.【小问1详解】依题意{}1,2A =-，当3a =时，()(){}{}|1301,3B x x x =+-==-，所以{}1A B ⋂=-.【小问2详解】由()()10x x a +-=解得11x =-，2x a =，若1a =-，则{}1B =-，A B A ⋃=，符合题意.若1a ≠-，由于A B A ⋃=，所以2a =.综上所述，实数a 的取值集合为{}1,2-.18.计算下列各式的值．（1）113420.02716log 8---；（2）3ln 252lg 4lg e 8++．【答案】（1）53-（2）9【解析】【分析】（1）利用指数运算公式和对数运算公式，即可解出；（2）利用对数运算公式，即可解出．【小问1详解】原式()()113433421050.32log 22333-⎡⎤=--=--=-⎣⎦；【小问2详解】原式32ln 25lg 4lge 8=++5lg16lg 88=++5lg 1688⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭lg1089=+=.19.已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，并且满足()()()(),12f x y f x f y f +=+=．（1）求()0f 的值；（2）判断函数()f x 的奇偶性；（3）若()()236f x f x +-<，求x 的取值范围．【答案】（1）0；（2）奇函数；（3）(),0-∞.【解析】【分析】（1）令x ＝y ＝0，即可得答案；（2）令y ＝-x ，结合(1)的结论即可判断；（3）由题意可得()()12,36f f ==，则原不等式等价于()()33f x f +<，由()f x 是定义在R 上的增函数求解即可．【小问1详解】令x ＝y ＝0，得()()()000f f f =+，解得()00f =.【小问2详解】因为函数()f x 的定义域为R ，令y ＝-x ，则有()()()0f f x f x =+-，即()()0f x f x +-=，∴函数()f x 为奇函数，∴()f x 为奇函数；【小问3详解】因为()12f ＝，所以()()()()21111224f f f f +++＝＝＝＝，又因为()()()()32121246f f f f +++＝＝＝＝，即由()()236f x f x +-<，则()()()233f x f x f +-<，即()()()()23333f x x f f x f +-<⇔+<，又因为()f x 为增函数，所以33x +<，解得0x <，故x 的取值范围为(),0∞-．20.近年来，人们对能源危机、气候危机有了更加清醒的认识，各国对新型节能环保产品的需求急剧扩大，同时，对新型节能环保产品的研发投入产量增加．杭州某企业为响应国家号召，研发出一款新型节能环保产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一万台该产品需另投入450万元．设该企业一年内生产该产品x （0＜x ≤50）万台且能全部售完，根据市场调研，该产品投入市场的数量越多，每台产品的售价将适当降低．已知每万台产品的销售收入为()I x 万元，满足：()26102,020********440,2050x x I x x x x -<≤⎧⎪=⎨+-<≤⎪⎩．（1）写出年利润()P x （单位：万元）关于年产量x （单位：万台）的函数关系式；（利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本）（2）当年产量为多少万台时，该企业的获利最大？此时的最大利润为多少？【答案】（1）()22160180,0209000102870,2050x x x P x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩；（2）当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元．【解析】【分析】（1）由已知条件，根据利润＝销售收入﹣固定研发成本﹣产品生产成本即可建立年利润()P x （单位：万元）关于年产量x （单位：万台）的函数关系式；（2）根据（1）所得分段函数()P x ，分别求出各段的最大值，比较大小即可得答案．【小问1详解】当0＜x ≤20时，()P x ＝x ()I x ﹣（180+450x ）＝610x ﹣2x 2﹣180﹣450x ＝﹣2x 2+160x ﹣180，当20＜x ≤50时，()()()900090001804504403050180450102870P x xI x x x x x x x=-+=+---=--+所以，()22160180,0209000102870,2050x x x P x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+<≤⎪⎩.【小问2详解】当0＜x ≤20时，()P x ＝﹣2x 2+160x ﹣180＝﹣2（x ﹣40）2+3020，则函数()P x 在（0,20]上单调递增，故当x ＝20时，()P x 取得最大值，且最大值为2220；当20＜x ≤50时，()90009000102870102870P x x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭287060028702270≤-=-+=，当且仅当900010x x=，即x ＝30（负值舍去）时等号成立，此时()P x 取得最大值，且最大值为2270，因为2270＞2220，所以，当年产量为30万台时，该企业的获利最大，且此时的最大利润为2270万元．21.已知函数()e e xxf x k -=+为奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若对任意的x 2∈[]1,2，存在x 1∈[),t +∞，使()21e x tf x -≤成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1-；（2）()ln 1e ,2+⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）根据()00f ＝求解即可；（2）求得()y f x =和e x ty -=在对应区间上的最小值，根据其大小关系，再解不等式即可.【小问1详解】因为x ∈R ，()f x 为奇函数，所以()010f k +＝＝，所以1k -＝，()e exxf x -=-，经检验，满足题意，故1k =-.【小问2详解】因为任意的x 2∈[]1,2，存在x 1∈[),t +∞，使()21e x tf x -≤成立，所以()f x 在[t ,+∞)上的最小值小于或等于()ex tg x -＝在[1,2]的最小值，易知()f x ＝e x ﹣e ﹣x 在R 上为增函数，所以()f x 在[t ,+∞)上也为增函数，所以()f x 的最小值为f (t )＝e t ﹣e ﹣t ，令m ＝|x ﹣t |，当t ≤1时，m ＝|x ﹣t |在x ＝1处取小值为1﹣t ，所以()g x 的最小值为e 1﹣t ，所以e t ﹣e ﹣t ≤e 1﹣t ，即(e t )2≤1+e ，所以()()ln 1e 2ln 1e 2t t +≤+⇒≤，所以()ln 1e 2t +≤；当1＜t ＜2时，m ＝|x ﹣t |在x ＝t 处取小值为0，所以()g x 的最小值为e 0＝1，e t ﹣e ﹣t ≤1，即()21e 1e e 10e tt t t -≤⇔--≤，令k ＝e t ，k ＞0，则k 2﹣k ﹣1≤0，解得1502k +<≤，即102t e +<≤，解得1ln 2t ≤＜ln e ＝1，与t ＞1矛盾，故舍去；当t ≥2时，m ＝|x ﹣t |在x ＝2处取小值为t ﹣2，所以()g x 的最小值为e t ﹣2，e t ﹣e ﹣t ≤e t ﹣2，即22e e e 1t≤-，所以()222e lg 2lg e 1e 1t ≤=---与t ≥2矛盾，故舍去．综上所述，t 的范围为：()ln 1e ,2+⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．下证()f x ＝e x ﹣e ﹣x 在R 上为增函数：在R 上任取12x x <，则()()()12121212121e e ee e e 1exxx x x x x x f x f x --+⎛⎫-=--+=-⨯+ ⎪⎝⎭，又当12x x <时，12e e 0x x -<，12110ex x ++>，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()f x ＝e x ﹣e ﹣x 在R 上为增函数.22.已知函数()f x ＝x 2+bx +c （1≤b ≤2），记集合A ＝{x |()f x ＝x }，B ＝{x |()()f f x ＝x }．（1）若b ＝1，c ＝1-，求集合A 与B ；（2）若集合A ＝{x 1，x 2}，B ＝{x 1，x 2，x 3，x 4}并且34x x -≤恒成立，求c 的取值范围．【答案】（1）A ＝{﹣1，1}，B ＝{﹣1，1}；（2）5,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【解析】【分析】（1）由二次方程的解法可得集合A ；由因式分解可得集合B ；（2）将()()ff x ＝x 展开，并运用二次函数的零点式，结合韦达定理，可得x 1+x 2＝1﹣b ，x 1x 2＝c ，x 3+x4＝﹣1﹣b ，x 3x 4＝c +1+b ，再由不等式恒成立思想解不等式可得所求取值范围．【小问1详解】当b ＝1，c ＝﹣1时，()f x ＝x 2+x ﹣1，()f x ＝x 2+x ﹣1＝x ，可得x 2﹣1＝0，解得x ＝1或x ＝﹣1，所以A ＝{﹣1，1}；()()f f x ＝x ，故可得（x 2+x ﹣1）2+（x 2+x ﹣1）﹣1＝x ，化简得x 4+2x 3﹣2x ﹣1＝0，即（x 2﹣1）（x +1）2＝0，可得（x ﹣1）（x +1）3＝0，解得x ＝1或x ＝﹣1，所以B ＝{﹣1，1}；【小问2详解】()f x ﹣x ＝x 2+（b ﹣1）x +c ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2），()()f f x ﹣x ＝()()f f x ﹣()f x +()f x ﹣x ＝（f （x ）﹣x 1）（f （x ）﹣x 2）+（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＝（f （x ）﹣x +x ﹣x 1）（f （x ）﹣x +x ﹣x 2）+（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2+1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 1+1）+（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）[（x ﹣x 2+1）（x ﹣x 1+1）+1]，而x 1+x 2＝1﹣b ，x 1x 2＝c ，所以x 3+x 4＝x 1+x 2﹣2＝1﹣b ﹣2＝﹣1﹣b ，x 3x 4＝x 1x 2+2﹣（x 1+x 2）＝c +1+b ，所以34||x x ==≤-恒成立，可得（1+b ）2﹣4（1+b +c ）＞0，且（1+b ）2﹣4（1+b +c ）≤2恒成立，由1≤b ≤2，可得2≤1+b ≤3，则g （b ）＝（1+b ）2﹣4（1+b ）的值域为[﹣4,﹣3]，所以4c ＜﹣4且4c +2≥﹣3，解得514c -≤<-，即c 的取值范围是5,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．。
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高一上学期期中考试数学试题 PDF
一2020-2021学年浙江杭州高级中学高一上学期期中数学试卷二三四【答案】B【解析】{{}{}{}{}{},,33=131,3,.010,1,3,0,1,0.1,1,3,1,1,1,03A B A B A m m m A B A B A m m m m A B A B A m A B m m B ⋃=∴⊆∴===⋃======⋃====== 或若，则，满足若解得或，若则满足若则显然不成立综上或故选【答案】A【解析】故选A【答案】C【解析】一2020-2021学年浙江杭州高级中学高一上学期期中数学试卷【答案】B【解析】两个函数为同一函数的要求为定义域和对应法则均相同；选项A 、C 、D 均定义域不同导致函数不同，B 则定义域和对应法则均相同。
故选B【答案】D【解析】()()()()()()321,312,1125,212f x f x x f x f x xf x f x x D +-=-∴-+=--=-=- 联立方程得，得故选【答案】D【解析】故选D 【答案】ABD【解析】故选ABDN M N M N ＭNN M NM N MN M N M N M M 二【答案】CD【解析】24,416A M M ∈=∉对于选项，但，所以不满足24,416M M ∈=∉对于B选项，但，所以不满足()221,-1,111,C M M M ∈∈=-=∈对于选项，且故满足21,11D M M ∈=∈对于选项，且，故满足故选CD【答案】AC 【解析】【答案】AD【解析】故选AD 【答案】79【解析】B故B 错误C故C 错误D故D正确三()()()211,9991879x f x x x f f -=--∴=-== 代入，【答案】[]01，【解析】()[][][]()[]1,3211,3,0,1210,1f x x x f x x +∈∈+∈ 的定义域为解得即的定义域为【答案】3【解析】故答案为3【答案】311---222⎛⎫⎡⎫∞⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，，【解析】()2223322,322311-0-00222=m 3322230223,233221312211,22y x x y x f x x y x x y x m y x x y x m =+-=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=+⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭=+-=+⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭在坐标系中作出的图像得到三个零点，，，，，因为函数为分段函数，以为界，且有两个零点①段有个零点，段有个零点此时②段有个零点，段有个零点此时311222m ⎛⎫⎡⎫∈-∞⋃- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭综上所述，，-，四【答案】（1）min 64,416xy x y ===此时（2）min 18,212x y x y +===此时【解析】【答案】()7113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()12,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）（2）【答案】(1)(]2,3-(2)13a ≥【解析】()()()()()(]{}21112211022120230232022,3=23x x x x x x x x x x x x x A x x -≤+-⇒-≤+--+⇒≤+-⇒≤+⇒-+≤≠-⇒∈--<≤且所以集合()(){}()()()()()222110,2311110010110101,113,313ax a x B A x x x A x B B Aax a x ax x a B x B A a y ax x B A a B x a B A a a a +--≤=-<≤∈∈⇒+--=-+≤=≥-⇒<=-+⇒>-≤≤⇒∴≤≥≥ 不等式的解集为且是的必要条件，即①当时，解集为不满足，故不满足②当时，二次函数开口向下，小于等于的解集取两边不满足，故不满足③当时，解集为即综上所述，【答案】（1）（2）【解析】（1）（2）【答案】4441555f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（），且是回旋点()()()()()()()22221,112,11,11111x a a x a a a f f x x a a x a a x a a ⎧-<<-+⎪-⎪=⎨⎪--+≤≤⎪-⎩=-++回旋点为【解析】()()()12,0121,1221,1241242555542242555545x x a f x x x f f f f ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-<≤⎪⎩⎛⎫=⋅=≠ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时此时满足回旋点定义，故是回旋点由（1）。
杭州市高一上学期期中考试数学试卷
高一年级数学学科试卷一、 选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共计 48 分. 每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 设集合}1|{>∈=x R x A ，则()A.A ⊆2B.A ∈}2{C.A ∈2D.A ∉2 2. 2.设函数x x f 2log )(=，则其定义域为 () A ．)1,0(B ．),2[+∞C ．),0(+∞D ．[1, +∞)3. 设全集U 是实数集R ,3|{},2|||{≥=>=x x N x x M 或1<x }都是 U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A ．}2|{<x x B ．}22|{≤≤-x x C ．}21|{≤<x x D ．}12|{<≤-x x4. 给定下列函数，其中在区间)1,0(上单调递增的函数是()A.2x y -=B.|2|2x x y -=C.1)21(+=x yD.xx y 1+=5. 列函数中，与函数x y =相同的函数是 ( )A.xx y 2= B.x e y ln = C.2x y = D.x y 2log 2=6.设函数⎩⎨⎧>-≤-=2),2(2,1)(2x x f x x x f ，则))2((f f 的值为（ ）A.0B.3C.1-D.27.函数xx y 21-=的图像是（ ）8. 设11011020172016++=a ，11011020182017++=b ，11011020192018++=c ，则c b a ,,的大小关系（ ）A ．a > c > bB ．b > c > aC ．a > b > cD ．c > b > a9. 函数)3lg()(2x x x f -=的单调递减区间为（ ）A ．),23(+∞B ．)23,(-∞ C ．),3()0,(+∞-∞Y D ．)0,(-∞10.函数)(log )(bx x f a =的图像如图，其中b a ,是常数，下列结论正确是（ ）A ．1,10><<b aB ．10,1<<>b aC ．1,1>>b aD ．10,10<<<<b a11.下列函数中，值域是),0(+∞的是（ ）A ．xy -=13 B ．13-=xy C ．3217-=x y D ．)3(log 2-=x y 12.存在函数)(x f 满足，对于任意的R x ∈都有（ ）A ．|1|)1(2-=-x x fB ．|1|)1(2+=-x x fC ．|1|)2(2-=-x x x fD ．|1|)1(2-=+x x f二、 填空题 (本大题共 5 小题，每空 4 分，共计 20 分)113.已知1)1(2+-=+x x f ，则=)3(f ________14.已知函数⎩⎨⎧≥+<=0,10,)(2x x x x x f ，若2)(=m f ，则实数m 的值为_______15. 若函数)(x f 满足)()(x f x f -=-，并且当0>x 时，32)(2+-=x x x f ，则当0<x 时，=)(x f ________16. 已知函数x x y 22+=在闭区间],[b a 上的值域为]3,1[-，则b a ·的最大值为______17. 已知0,0≥≥y x ，且1=+y x ，则函数)22(log ),(22y x xy x y x f +++=的最大值为______三、解答题（本大题共3个小题，共计32分）18. 已知全集R U =，集合}2|{-==x y x A ，}2|{a x a x B -<<=（1）当1-=a 时，求集合A C B U I（2）若集合A B A =Y ，求实数a 的取值范围19. 已知函数)(,)14(log )(2R k kx x f x ∈++=是偶函数（1）求k 的值（2）求不等式x x f -≥3)(成立时x 的取值范围20. 已知函数xa x f 1)(-=)0,0(>>x a（1）判断函数)(x f 的单调性并利用函数单调性定义加以证明（2）若)(x f 在]3,31[上的值域是]3,31[，求a 的值（3）当),0(,+∞∈n m 时，若)(x f 在],[n m 上的值域是],[n m )(n m <，求实数a 的取值范围。
浙江省杭州高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
6．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种
方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次
加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ）
A．பைடு நூலகம்方案
B．乙方案
C．一样
D．无法确定
7．已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 在 , 0 上单调递减，定义在 R 上的偶函数 g(x) 在
, 0 上单调递增，且 f 1 g 1 0 ，则满足 f (x)g(x) 0 的 x 的取值范围是（ ）
A． , 1 U 1,0
B． 0,1 1,
C． 1, 0 1,
D． , 1 1,1
试卷第 1页，共 4页
8．已知函数 f (x) 2x2 1, g(x) ax, x R ，用 M x 表示 f x, g x 中的较大者，记为
七、应用题 19．老李是当地有名的养鱼技术能手，准备承包一个渔场，并签订合同，经过测算研究， 预测第一年鱼重量增长率 200% ，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半， 但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只 要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为 8 个单位，经科技人 员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为 4.5 个单位，含氧量 y 与年份 x 的函数 模型为 y ka x (k 0，0 a 1) ，当含氧量少于 81 个单位，鱼虽然依然生长，但会损失 5%
15．已知函数 f x ax2 2 a x 1， g x x ，若对于任意实数 x， f x 与 g x 至
少有一个为正数，则实数 a 的取值范围是
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杭州市数学高一上学期理数期中考试试卷(II)卷
杭州市数学高一上学期理数期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·桂林模拟) 设集合为全集，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·吉林月考) 设，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一上·滁州月考) 设偶函数的定义域为，且，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高三上·长春期中) 已知a= ，b= ，c= 则（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . a＞c＞bD . c＞a＞b5. （2分）关于x的方程ex－1－|kx|=0（其中e=2.71828…是自然对数的底数）的有三个不同实根，则k 的取值范围是A . {-2，0，2}B . （1，+∞）C . {k|k>e}D . {k|k2＞1}6. （2分）若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·上饶期中) 幂函数的图象过点（2，），则它的单调递增区间是（）A . （0，+∞）B . [0，+∞）C . （﹣∞，0）D . （﹣∞，+∞）8. （2分）已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间单调递增．若实数a满足,则a的取值范围是（）A .B . (0,2]C . [1,2]D .9. （2分） (2019高一上·赣榆期中) 方程的解为，若，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·庄河期末) 定义运算：，则函数的图象大致为（）A .B .C .D .11. （2分）已知f(x)在R上是减函数，则满足＞f(1)的实数x的取值范围是（）．A . (－∞，1)B . (2，＋∞)C . (－∞，1)∪(2，＋∞)D . (1，2)12. （2分）若的图像是中心对称图形,则（）A . 4B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·丰台期中) 已知函数，则f（f（﹣1））=________．14. （1分） (2019高一上·汤原月考) 已知，，计算： ________.15. （1分） (2017高一上·青浦期末) 若函数f（x）= ，则f（）=________．16. （1分）若f（x）=x2+（a2﹣1）x+6是偶函数，则a=________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一上·葫芦岛月考) 设集合 .（1）求；（2）用列举法表示集合，并求 .18. （10分） (2016高一上·包头期中) 求lg ﹣lg25+ln +21+log23的值．19. （10分） (2018高一上·汉中期中) 设函数是定义域为R的奇函数．（1）求值；（2）若，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围；（3）若，且在上的最小值为，求的值.20. （10分） (2019高一上·永嘉月考) 已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性并加以证明;（3）若在上恒成立，求实数的范围.21. （10分） (2016高一上·襄阳期中) 已知函数f（x）=xln（x+ ）（a＞0）为偶函数．（1）求a的值；（2）求g（x）=ax2+2x+1在区间[﹣6，3]上的值域．22. （10分）(2020·海南模拟) 已知函数 .（1）当时，求函数的值域.（2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2022-2023学年浙江省杭州十四中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省杭州十四中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多远进、错选均不得分1．设集合M ＝{0，3，5}，N ＝{1，4，5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{5}B ．{0，3}C ．{0，1，3，4，5}D ．{0，1，3，4}2．已知点（m ，8）在幂函数f （x ）＝（m ﹣1）x n 的图象上，则n ﹣m＝（ ） A ．19B ．18C ．8D ．93．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若1x ＜1，则x ＞1”为假命题B ．“x ＝﹣1”是“x 2﹣5x ﹣6＝0”的必要不充分条件C ．命“若实数x 满足x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1或x ＝2”为假命题D ．命题“∃x 0∈R ，使得x 02+x 0+1＜0”的否定是：“∃x ∈R ，均有x 2+x +1≥0”4．关于x 的不等式﹣x 2+4ax ﹣3a 2≥0（a ＞0）的解集为[x 1，x 2]，则x 1+x 2+3ax 1x 2的最小值是（ ）A ．4B ．2√6C ．2D ．2√635．函数f （x ）=x 22|x|−4的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知a ＝（35）25，b ＝（25）35，c ＝（25）25，则（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a7．已知函数f(x)=x +1x −2，g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a ﹣1，设α∈{x |f （x ）＝0}，β∈{x |g （x ）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，2]B ．（﹣∞，0]∪[2，+∞）C ．[﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．已知函数f （1﹣x ）＝x +1a−x ．若对于任意1＜x 1＜x 2＜2，都有f(x 1)一f(x 2)x 1−x 2＜−1，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B ．[0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，9．已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）有3个单调区间 B ．当x ＞0时，f （x ）＝x （x ﹣1）C ．不等式f （x ）＜0的解集是（﹣1，1）D ．函数f （x ）有最小值−1410．已知a ，b ，c ∈R ，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若|a ﹣1|＞|b ﹣1|，则（a ﹣1）2＞（b ﹣1）2 B ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2C ．若a ＞b ＞c ＞0，则ab ＞a+c b+cD ．若a ＞0，b ＞0，a +b ＞4，ab ＞4，则a ＞2，b ＞211．已知集合A 中含有6个元素，全集U ＝A ∪B 中共有12个元素，（∁U A ）∪（∁U B ）中有m 个元素，已知m ≥8，则集合B 中元素个数可得为（ ） A ．2B ．6C ．8D ．1212．形如f （x ）＝x +ax （a ＞0）的函数，我们称之为“对勾函数”．“对勾函数”具有如下性质：该函数在（0，√a ）上单调递减，在（√a ，+∞）上单调递增．已知函数f （x ）＝x +ax（a ＞0）在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a 的值可以是（ ） A ．4B ．12C ．6﹣2√2D ．6+4√2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．求值：log 416+1612= ．14．设函数f(x)={1，0≤x ＜1，2f(x −1)，x ≥1，，则f （4）＝ ．15．如图，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a 升水，tmin 后剩余的水量y 1＝ae ﹣nt，那么桶2中的水量就是y 2＝a ﹣ae﹣nt．假设经过5min ，桶1和桶2中的水量相等，再经过mmin ，桶1中的水只有a 8升，则m 的值为 ．16．已知正实数a ，b 满足b ﹣ab ＝1，则1a +2b 的最小值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |x−2x+1＜0}，B ＝{x |2﹣m ＜x ＜m +1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知f （x ）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，f （﹣1）＝2，当x ∈[﹣2，0]时的解析式为f （x ）=a 4x +b 2x （a ，b ∈R ）．（1）写出f （x ）在[0，2]上的解析式； （2）求f （x ）在[0，2]上的最值．19．（12分）已知幂函数f(x)=(m 2−2m +2)x 5k−2k 2（k ∈Z ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ），求x 的取值范围； （3）若实数a ，b （a ，b ∈R +）满足2a +3b ＝7m ，求3a+1+2b+1的最小值．20．（12分）已知函数f(x)=(a+1)x−3x−1． （1）当a ＞0时，解关于x 的不等式f （x ）＜1；（2）不等式f （x ）＜x ﹣a 对任意x ＞1恒成立，求a 的取值范围．21．（12分）某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为am 的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点A ，B 分别在这两墙角线上，现有三种方案： 方案甲：如图1，围成区域为三角形AOB ； 方案乙：如图2，围成区域为矩形OACB ；方案丙：如图3，围成区域为梯形OACB，且∠OAC＝60°．①在方案乙、丙中，设AC＝xm，分别用x表示围成区域的面积S2（m2），S3（m2）；②为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由．22．（12分）已知f（x）＝x2+x+a2+a，g（x）＝x2﹣x+a2﹣a，且函数f（x）和g（x）的定义域均为R，用M（x）表示f（x），g（x）的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，（1）若a＝1，试写出M（x）的解析式，并求M（x）的最小值；（2）若函数M（x）的最小值为3，试求实数a的值．2022-2023学年浙江省杭州十四中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多远进、错选均不得分1．设集合M ＝{0，3，5}，N ＝{1，4，5}，则M ∩N ＝（ ） A ．{5}B ．{0，3}C ．{0，1，3，4，5}D ．{0，1，3，4}解：∵M ＝{0，3，5}，N ＝{1，4，5}， ∴两集合M 、N 只有一个公共元素：5， ∴M ∩N ＝{5}， 故选：A ．2．已知点（m ，8）在幂函数f （x ）＝（m ﹣1）x n 的图象上，则n ﹣m＝（ ） A ．19B ．18C ．8D ．9解：由幂函数的定义可知，m ﹣1＝1，∴m ＝2， ∴点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 上， ∴2n ＝8，∴n ＝3， ∴n﹣m＝3﹣2=19，故选：A ．3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若1x ＜1，则x ＞1”为假命题B ．“x ＝﹣1”是“x 2﹣5x ﹣6＝0”的必要不充分条件C ．命“若实数x 满足x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1或x ＝2”为假命题D ．命题“∃x 0∈R ，使得x 02+x 0+1＜0”的否定是：“∃x ∈R ，均有x 2+x +1≥0” 解：对于A 选项，1x −1=1−x x，当，得x ＞1或x ＜0，所以，命题为假命题，A 对；对于B 选项，解方程x 2﹣5x 一6＝0可得x ＝﹣1或x ＝6， 所以，“x ＝﹣1“是“x 2﹣5x ﹣6＝0“的充分不必要条件，B 错；对于C 选项，解方程x 2一3x 十2＝0，可得x ＝1或x ＝2，所以，命题为真命题，C 错； 对于D 选项，命题“∃x 0∈R ，使得x 02+x 0+1＜0”的否定是：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0，D 错． 故选：A ．4．关于x 的不等式﹣x 2+4ax ﹣3a 2≥0（a ＞0）的解集为[x 1，x 2]，则x 1+x 2+3ax 1x 2的最小值是（ ）A ．4B ．2√6C ．2D ．2√63解：∵﹣x 2+4ax ﹣3a 2＝﹣（x ﹣a ）（x ﹣3a ）≥0， ∴a ≤x ≤3a ， ∴x 1＝a ，x 2＝3a ，∴x 1+x 2+3a x 1x 2=4a +3a 3a 2=4a +1a ≥2√4a ⋅1a =4，当且仅当4a =1a ，即a =12时，等号成立． 故选：A ． 5．函数f （x ）=x 22|x|−4的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：因为函数f （x ）=x 22|x|−4的定义域为{x |x ≠±2}，f （﹣x ）=(−x)22|−x|−4=x 22|x|−4=f （x ），所以f （x ）是偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，B ；当x ∈（0，2）时，1＜2x＜4，f （x ）=x 22x −4＜0，当x ∈（2，+∞）时，f （x ）=x 22x −4＞0，排除C ．故选：D ． 6．已知a ＝（35）25，b ＝（25）35，c ＝（25）25，则（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解：∵y =(25)x 为减函数， ∴b ＜c ， 又∵y =x 25在（0，+∞）为增函数，∴a ＞c ，∴b ＜c ＜a ， 故选：D ．7．已知函数f(x)=x +1x −2，g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a ﹣1，设α∈{x |f （x ）＝0}，β∈{x |g （x ）＝0}，若存在α，β，使得|α﹣β|≤1，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，2] B ．（﹣∞，0]∪[2，+∞）C ．[﹣1，1]D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：函数f(x)=x +1x −2，令f （x ）＝0，即x +1x −2=0，解得x ＝1， 又α∈{x |f （x ）＝0}， 则α＝1，因为存在α，β，使得|α﹣β|≤1， 则|1﹣β|≤1，解得0≤β≤2，又g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a ﹣1，β∈{x |g （x ）＝0}， 所以x 2﹣ax ﹣a ﹣1＝0在[0，2]上有解， 即a =x 2−1x+1=x −1在[0，2]上有解， 因为x ﹣1∈[﹣1，1]， 所以a ∈[﹣1，1]，则实数a 的取值范围是[﹣1，1]． 故选：C ．8．已知函数f （1﹣x ）＝x +1a−x ．若对于任意1＜x 1＜x 2＜2，都有f(x 1)一f(x 2)x 1−x 2＜−1，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B ．[0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）解：根据题意，已知函数f （1﹣x ）＝x +1a−x， 设t ＝1﹣x ，则x ＝1﹣t ，有f （t ）＝（1﹣t ）+1t−1+a ，故f （x ）＝1﹣x +1x−1+a ， 又由1＜x 1＜x 2＜2，都有f(x 1)一f(x 2)x 1−x 2＜−1，即f （x 1）﹣f （x 2）＞﹣（x 1﹣x 2），变形可得f （x 1）+x 1＞f （x 2）+x 2，设g （x ）＝f （x ）+x ＝1+1x−1+a ，则g （x ）在区间（1，2）上为减函数，必有1﹣a ≥2或1﹣a ≤1，解可得a ≤﹣1或a ≥0，即a 的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）； 故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，9．已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）有3个单调区间 B ．当x ＞0时，f （x ）＝x （x ﹣1）C ．不等式f （x ）＜0的解集是（﹣1，1）D ．函数f （x ）有最小值−14解：当x ＞0时，﹣x ＜0，因为x ≤0时，f （x ）＝x （x +1），所以f （﹣x ）＝﹣x （﹣x 十1）， 又因为y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以x ＞0时，f （x ）＝﹣x （﹣x +1）＝x 2﹣x ，B 正确； 即f （x ）={x 2−x(x ＞0)x 2+x(x ≤0)，其函数图象如图所示，对A ，由图知，函数f （x ）有4个单调区间，故A 错误，对C ，由图知，不等式f （x ）＜0的解集是（一1，0）∪（0，1），C 错误；对D ，由图知，当x =−12或x =12时，f （x ）的函数值都是−14，取得最小值．D 正确． 故选：BD ．10．已知a ，b ，c ∈R ，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若|a ﹣1|＞|b ﹣1|，则（a ﹣1）2＞（b ﹣1）2 B ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2C ．若a ＞b ＞c ＞0，则ab ＞a+c b+cD ．若a ＞0，b ＞0，a +b ＞4，ab ＞4，则a ＞2，b ＞2解：若|a ﹣1|＞|b ﹣1|，则（a ﹣1）2＞（b ﹣1）2，显然成立，故A 正确； 若a ＞b ，c ＝0，则ac 2＝bc 2，故B 错误；a b −a+cb+c=c(a−b)b(b+c)，由a＞b＞c＞0，可得a﹣b＞0，b+c＞0，所以ab−a+cb+c=c(a−b)b(b+c)＞0，即ab＞a+cb+c，故C正确；取a＝1，b＝8，满足a＞0，b＞0，a+b＞4，ab＞4，但a＜2，故D错误．故选：AC．11．已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，（∁U A）∪（∁U B）中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可得为（）A．2B．6C．8D．12解：∵（∁U A）∪（∁U B）＝（∁U（A∩B）有m个元素，又全集U＝A∪B中共有12个元素，∴A∩B中元素个数为12﹣m，设集合B中元素个数为x，则x+6﹣（12﹣m）＝12，得m＝18﹣x，又m≥8，∴18﹣x≥8，∴x≤10，又A∪B中共有12个元素，∴x≥6，∴6≤x≤10故选：BC．12．形如f（x）＝x+ax（a＞0）的函数，我们称之为“对勾函数”．“对勾函数”具有如下性质：该函数在（0，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增．已知函数f（x）＝x+ax（a＞0）在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a的值可以是（）A．4B．12C．6﹣2√2D．6+4√2解：由对勾函数的性质可得f（x）在（0，√a）上单调递减，在（√a，+∞）上单调递增．①当√a≤2，即0＜a≤4时，f（x）在[2，4]上单调递增，f（x）max﹣f（x）min＝f（4）﹣f（2）＝4+a4−2−a2=2−a4=1，解得a＝4；②当√a≥4，即a≥16时，f（x）在[2，4]上单调递减，f（x）max﹣f（x）min＝f（2）﹣f（4）＝2+a2−4−a4=a4−2＝1，解得a＝12（舍去）；③当2＜√a＜4，即4＜a＜16，f（x）在[2，√a）上单调递减，在（√a，4]上单调递增，f（x）min＝f（√a）＝2√a，f（x）max＝f（2）或f（4）；（1）当f（x）max＝f（2）时，f（x）max﹣f（x）min＝f（2）﹣f（√a）＝2+a2−2√a=1，解得√a=2+√2或√a=2−√2（舍去），则a＝6+4√2，经验证，符合题意．（2）当f（x）max＝f（4）时，f（x）max﹣f（x）min＝f（4）﹣f（√a）＝4+a−2√a=1，解得√a =6或√a =2，即a ＝36（舍去）或a ＝4（舍去）． 综上，a 的值为4或6+4√2． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．求值：log 416+1612= 6 ． 解：原式=log 442+(42)12=2+4＝6．故答案为：6． 14．设函数f(x)={1，0≤x ＜1，2f(x −1)，x ≥1，，则f （4）＝ 16 ．解：由题可知f （4）＝2f （3）＝4f （2）＝8f （1）＝16f （0）＝16． 故答案为：16．15．如图，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a 升水，tmin 后剩余的水量y 1＝ae ﹣nt，那么桶2中的水量就是y 2＝a ﹣ae﹣nt．假设经过5min ，桶1和桶2中的水量相等，再经过mmin ，桶1中的水只有a 8升，则m 的值为 10 ．解：由题意得，ae﹣5n＝a ﹣ae﹣5n，则 e−n=(12)15．因为再经过 mmin ，桶 1 中 的水只有 a8升，所以 ae −n(5+m)=a 8，即e −n(5+m)=(12)3， 又e −n =(12)15，所以 (12)5+m5=(12)3，所以5+m 5=3，解得 m ＝10．故答案为：10．16．已知正实数a ，b 满足b ﹣ab ＝1，则1a +2b 的最小值是 3+2√2 ．解：∵正实数a ，b 满足b ﹣ab ＝1，∴b =11−a＞0， ∴0＜a ＜1， 则1a +2b =1a +21−a =a+1−a a +2(a+1−a)1−a =3+1−a a +2a1−a≥3+2√2， 当且仅当1−a a=2a1−a即a =√2−1，b ＝1+√22时取等号，故答案为：3+2√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |x−2x+1＜0}，B ＝{x |2﹣m ＜x ＜m +1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围． 解：A ＝{x |x−2x+1＜0}＝{x |﹣1＜x ＜2}．（1）当m ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜3}，A ∩B ＝{x |0＜x ＜2}； （2）若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ．当B ＝∅时，2﹣m ≥m +1，即m ≤12，此时B ⊆A ； 当B ≠∅时，2﹣m ＜m +1，即m ＞12，要使B ⊆A ，则{2−m ≥−1m +1≤2，解得m ≤1，又m ＞12，则12＜m ≤1，综上，m ≤1，故实数m 的取值范围为：（﹣∞，1]．18．（12分）已知f （x ）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，f （﹣1）＝2，当x ∈[﹣2，0]时的解析式为f （x ）=a 4x +b2x （a ，b ∈R ）．（1）写出f （x ）在[0，2]上的解析式； （2）求f （x ）在[0，2]上的最值．解：（1）因为f （x ）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，所以f （0）＝0，即a +b ＝0， 由f （﹣1）＝2，得4a +2b ＝2，得a ＝1，b ＝﹣1，则当x ∈[﹣2，0]时的解析式为f （x ）=14x −12x ． 设x ∈[0，2]，则﹣x ∈[﹣2，0]，∴f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（14−x−12−x）＝2x ﹣4x ，即当x ∈[0，2]时，f（x ）＝2x ﹣4x ．（2）f （x ）＝2x ﹣4x ＝﹣（2x −12）2+14，其中2x ∈[1，4]， ∴当2x ＝1，即x ＝0时，f （x ）的最大值为0， 当2x ＝4，即x ＝2时，f （x ）的最小值为﹣12．19．（12分）已知幂函数f(x)=(m 2−2m +2)x 5k−2k 2（k ∈Z ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ），求x 的取值范围； （3）若实数a ，b （a ，b ∈R +）满足2a +3b ＝7m ，求3a+1+2b+1的最小值．解：（1）∵幂函数f(x)=(m 2−2m +2)x 5k−2k 2（k ∈Z ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增， ∴m 2﹣2m +2＝1，且5k ﹣2k 2 为正偶数， ∴m ＝1，k ＝2，故f （x ）＝x 2．（2）∵f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ），∴|2x ﹣1|＜|2﹣x |，∴4x 2﹣4x +1＜x 2﹣4x +4， 即3x 2＜3，求得﹣1＜x ＜1．（3）若实数a ，b （a ，b ∈R +）满足2a +3b ＝7m ＝7， ∴2（a +1）+3（b +1）＝12，即 112[2（a +1）+3（b +1）]＝1，则3a+1+2b+1=112[2（a +1）+3（b +1）]•（3a+1+2b+1）=112（6+4•a+1b+1+9•b+1a+1+6）＝1+112（4•a+1b+1+9•b+1a+1）≥1+112×2√4⋅a+1b+1⋅9⋅b+1a+1=1+112×2×6=2，当且仅当 4•a+1b+1=9•b+1a+1时，即2a ＝3b +1时，等号成立，故3a+1+2b+1的最小值为2．20．（12分）已知函数f(x)=(a+1)x−3x−1． （1）当a ＞0时，解关于x 的不等式f （x ）＜1；（2）不等式f （x ）＜x ﹣a 对任意x ＞1恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）由f （x ）＜1，得(a+1)x−3x−1＜1，进而得ax−2x−1＜0，∴（ax ﹣2）（x ﹣1）＜0，（x ﹣1）（ax ﹣2）＜0， 当a ＞0时，转化为（x ﹣1）（x −2a）＜0，①当0＜a ＜2时，解得1＜x ＜2a ，故不等式的解集为（1，2a），②当a ＞2时，解得2a＜x ＜1，故不等式的解集为（2a，1），③当a ＝2时，即（x ﹣1）2＜0，无解，故不等式的解集为空集． 综上所述：当0＜a ＜2时，不等式的解集为（1，2a ），当a ＞2时，不等式的解集为（2a，1），当a ＝2时，不等式的解集为空集．（2）（3）f （x ）＜x ﹣a 对任意x ＞1恒成立， ∴(a+1)x−3x−1＜x ﹣a 对任意x ＞1恒成立，∴（a +1）x ﹣3＜（x ﹣1）（x ﹣a ）， ∴x 2﹣2（a +1）x +a +3＞0，当Δ＝4（a +1）2﹣4（a +3）＜0，解得﹣2＜a ＜1，恒成立， 当△≥0时，即a ≤﹣2或a ≥1时， ∴{f(1)＞0a +1≤1， 解得a ≤0， 即a ≤﹣2，综上所述：a 的取值范围为（﹣∞，1）．21．（12分）某农户利用墙角线互相垂直的两面墙，将一块可折叠的长为am 的篱笆墙围成一个鸡圈，篱笆的两个端点A ，B 分别在这两墙角线上，现有三种方案：方案甲：如图1，围成区域为三角形AOB ； 方案乙：如图2，围成区域为矩形OACB ；方案丙：如图3，围成区域为梯形OACB ，且∠OAC ＝60°．①在方案乙、丙中，设AC ＝xm ，分别用x 表示围成区域的面积S 2（m 2），S 3（m 2）； ②为使围成鸡圈面积最大，该农户应该选择哪一种方案，并说明理由．解：①对于方案乙：由图2得AC ＝xm ，则BC ＝a ﹣x （m ），∴S 2＝AC •BC ＝（a ﹣x ）x ＝﹣x 2+ax ＝﹣（x −a 2）2+a 24，x ∈（0，a ），对于方案丙：由图3得AC ＝xm ，则BC ＝a ﹣x （m ），则OA ＝a ﹣x +12x =a −12x （m ），OB =√32xm ，∴S 3=(BC+OA)⋅OB 2=(a−x+a−12x)⋅√32x 2=−3√38x 2+√32ax =−3√38（x −2a3）2+√36a 2，x ∈（0，a ）；②由①得S 2＝﹣（x −a2）2+a 24，x ∈（0，a ），S 3=−3√38（x −2a3）2+√36a 2，x ∈（0，a ）， 在方案乙中，当x =a 2时，S 2max =a 24，即方案乙围成鸡圈最大面积为a 24，在方案丙中，当x =2a 3时，S 3max =√36a 2，即方案丙围成鸡圈最大面积为√36a 2，在方案甲中，设OA ＝x ，OB ＝y ，记围成区域的面积为S 1，则S 1=12xy ，x 2+y 2＝a 2，由基本不等式得S 1=12xy ≤12•x 2+y22=a 24，当且仅当x ＝y =√22a 时等号成立，即方案甲围成鸡圈最大面积为a 24，∵a 24=a 24＜√36a 2， ∴为使围成鸡圈面积最大，农户应选择方案丙的设计．22．（12分）已知f （x ）＝x 2+x +a 2+a ，g （x ）＝x 2﹣x +a 2﹣a ，且函数f （x ）和g （x ）的定义域均为R ，用M （x ）表示f （x ），g （x ）的较大者，记为M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}， （1）若a ＝1，试写出M （x ）的解析式，并求M （x ）的最小值； （2）若函数M （x ）的最小值为3，试求实数a 的值．解：∵f （x ）﹣g （x ）＝x 2+x +a 2+a ﹣（x 2﹣x +a 2﹣a ）＝2（x +a ）， ∴当x ≥﹣a 时，f （x ）≥g （x ），当x ＜﹣a 时，f （x ）＜g （x ）， 故M （x ）＝max {f （x ），g （x ）}={f(x)，x ≥−a g(x)，x ＜−a，（1）当a ＝1时，M （x ）={x 2+x +2，x ≥−1x 2−x ，x ＜−1，当x ≥﹣1时，M （x ）min ＝f （−12）=74，当x ＜﹣1时，M （x ）＝g （x ）＞g （﹣1）＝2， 故M （x ）min =74，（2）函数f （x ）和g （x ）的对称轴分别为x =−12、x =12， ①当﹣a ≤−12，即a ≥12时，M （x ）在（﹣∞，−12）上单调递减，在（−12，+∞）上单调递增， 故M （x ）min ＝f （−12）＝3，即a 2+a −134=0，解得a =√14−12或a =−1+√142（舍去）， ②当−12＜−a ≤12，即−12≤a ＜12时，M （x ）在（﹣∞，﹣a ）上单调递减，在（﹣a ，+∞）上单调递增， 故M （x ）min ＝f （﹣a ）＝3，即2a 2＝3，解得a ＝±√62（舍去）， ③当﹣a ＞12，即a ＜−12时，M （x ）在（﹣∞，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增，故M （x ）min ＝g （12）＝3，即a 2﹣a −134=0，解得a =−√14−12或a =1+√142（舍去）， 综上所述，a ＝±√14−12．。
2023-2024学年浙江省杭州高一上学期期中数学质量检测模拟试题1(含答案)
2023-2024学年浙江省杭州高一上册期中数学试题一、单选题1．已知集合{|2 1}A x x =-<≤，{2,1,0}B =--，则A B = （）A ．{2,1,0,1}--B ．{1,0,1}-C ．{1,0}-D ．{}2,1,0---【正确答案】C【分析】利用交集定义直接求解．【详解】因为集合{|21}A x x =-<≤，{2,1,0}B =--，2A -∉，1A -∈，0A ∈，所以{1,0}A B ⋂=-．故选：C ．2．设集合{}|2A x Q x =∈>-，则（）A ．A ∅∈B AC ． πA∉D ．{A⊆【正确答案】C【分析】利用集合、元素的概念、关系进行判断.【详解】因为集合{}|2A x Q x =∈>-，对于A ，A ∅⊆，故A 错误；对于B A ，故B 错误；对于C ，因为π是无理数，所以 πA ∉，故C 正确；对于D ，因为是无理数，所以{不是A 的子集，故D 错误.故选：C.3．已知全集为N ，集合{}2,5A =，{}2,3,4B =，则图中阴影部分所表示的集合是（）A ．{}5B ．{}3,4C ．{}2D ．{}2,3,4,5【正确答案】B【分析】根据图形可得，阴影部分表示的集合为()N A B ⋂ð，求出即可.【详解】根据图形可得，阴影部分表示的集合为()N A B ⋂ð，{}2,5A =，{2,3,4}B =(){}3,4N A B ∴⋂=ð.故选：B.4．下列各组函数表示相同函数的是（）A ．()f x =()2g x =B ．()=1f x 和()0g x x=C ．()f x x =和,0,(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩D ．()1f x x =+和()211x g x x -=-【正确答案】C【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可.【详解】对于A 中，函数()f x =R ，函数2()g x =的定义域为[0,)+∞，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；对于B 中，函数()1f x =的定义域为R ，函数0()g x x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩与,0(),0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数；对于D 中，函数()1f x x =+的定义域为R ，函数21()1x g x x -=-的定义域为{|1}x x ≠，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.故选：C 5．函数0()(2)f x x =++的定义域为（）A ．(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．(,2)(2,2)-∞-- C ．(,2)-∞-D ．(,2)-∞【正确答案】B【分析】根据给定的函数，直接列出不等式组求解作答.【详解】函数0()(2)f x x =++有意义，则有2020x x ->⎧⎨+≠⎩，解得2x <且2x ≠-，所以函数0()(2)f x x =++的定义域为(,2)(2,2)-∞-- .故选：B 6．不等式的3303xx-≥+解集为（）A ．(3,1]-B ．[3,1]-C ．(,3)[1,)-∞-+∞ D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞【正确答案】A【分析】分式不等式转化为一元二次不等式，并注意分母不等于0.【详解】不等式3303xx -≥+等价于(33)(3)0,30,x x x -+≥⎧⎨+≠⎩即(1)(3)0,30,x x x -+≤⎧⎨+≠⎩所以31x <≤-，所以原不等式的解集为(3,1]-.故选:A.7．已知函数()2,12,1x x f x x x +<-⎧=⎨-+≥-⎩，则92f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．52-B ．12-C ．52D ．132【正确答案】B【分析】根据分段函数的定义域分别代入求值.【详解】由题意可得：9952222f ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭∴955122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B.8．已知()f x 是一次函数，2(2)3(1)5f f -=，()()2011f f --=-，则()f x =（）A ．32x +B ．32x -C ．23x +D ．23x -【正确答案】D【分析】设出函数()f x 的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.【详解】依题意，设(),0f x kx b k =+≠，则有2(2)3()52()1k b k b b k b +-+=⎧⎨--+=-⎩，解得2,3k b ==-，所以()23f x x =-.故选：D9．已知()22143f x x +=+，则()f x =（）．A ．224x x -+B ．22x x+C ．221x x --D ．223x x ++【正确答案】A【分析】利用配凑法直接得出函数的解析式.【详解】因为()()()222143212214f x x x x +=+=+-++，所以()224f x x x =-+．故选：A10．函数()2f x x x =-的单调递减区间是（）A ．[1,2]B ．[1,0]-C ．(0,2]D ．[2,)+∞【正确答案】A【分析】根据给定的函数，借助二次函数分段讨论其单调性作答.【详解】当2x ≤时，2()2f x x x =-+，则函数()f x 在(,1]-∞上单调递增，在[1,2]上单调递减，当2x >时，2()2f x x x =-，则函数()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以函数()2f x x x =-的单调递减区间是[1,2].故选：A11．函数y ）A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,∞+D ．(],3-∞-【正确答案】D【分析】先求出函数(,3]-∞-的定义域，再利用复合函数的单调性，结合幂函数与二次函数的单调性即可得解.【详解】由题意，得230x x +≥，解得3x ≤-或0x ≥，所以函数y (,3][0,)-∞-+∞ ，令23t x x =+，则23t x x =+开口向上，对称轴为32x =-，所以23t x x =+在(,3]-∞-上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，而y =在[0,)+∞上单调递增，所以函数y (,3]-∞-.故选：D.12．若06x <<，则26x x -有（）A ．最小值3B ．最大值3C ．最小值9D ．最大值9【正确答案】D【分析】根据二次函数的性质进行求解即可.【详解】令22(3)69y x x x =---+=，对称轴为3x =，开口向下，因为06x <<，所以当3x =时，26x x -有最大值9，没有最小值，故选：D13．若函数()y f x =的值域是[]1,3-，则函数()()321g x f x =-+的值域为（）A ．[]3,5-B ．[]1,7-C ．[]5,3-D ．[]2,6【正确答案】A【分析】由()113f x -≤+≤可推导得到()g x 的范围，即为所求值域.【详解】()y f x = 的值域为[]1,3-，()113f x ∴-≤+≤，()33215f x ∴-≤-+≤，即()g x 的值域为[]3,5-.故选：A.14．3y x =+）A ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【正确答案】D【分析】先求得x 的范围，再由单调性求值域．【详解】解：因为3y x =+120x -≥，12x ∴≤，即函数的定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，又3y x =+1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦时单调递增，所以当12x =时，函数取得最大值为72，所以值域是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：D.15．已知函数()21,=,2x c f x xx x c x ⎧-<⎪⎨⎪-≤≤⎩，若()f x 值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数c 的范围是（）A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,-+∞【正确答案】A【分析】由函数的解析式确定区间端点处函数值，结合函数图象，数形结合，确定参数的范围，即得答案.【详解】当=2x 时，()()221112422,244f f x x x x ⎛⎫=-==-=--≥- ⎪⎝⎭，()f x 值域为1,2,4⎡⎤-∴⎢⎥⎣⎦当x c <时，由()12f x x =-=，得12x =-，此时12c ≤-，由()22f x x x =-=，得220x x --=，得=2x 或=1x -，此时112c -≤≤-，综上112c -≤≤-，即实数c 的取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选：A 二、多选题16．设集合{}1,3M =，{}30,R N x ax a =+=∈且M N N ⋂=，则实数a 可以是（）A ．1-B ．1C ．3-D ．0【正确答案】ACD【分析】由M N N ⋂=，可得N M ⊆，对集合N 分类讨论可得结果.【详解】{}1,3M =，因为M N N ⋂=，所以N M ⊆，因为{}30,R N x ax a =+=∈，所以当0a =时，N =∅，满足N M ⊆，当1a =-时，{}3N =，满足N M ⊆，当3a =-时，{}1N =，满足N M ⊆，故选：ACD.17．下列命题，其中正确的命题是（）A ．函数221y x x =++在()0,∞+上是增函数B ．函数11y x =-在()(),11,-∞+∞ 上是减函数C ．函数y =[)2,+∞D ．已知()f x 在R 上是增函数，若0a b +>，则有()()()()f a f b f a f b +>-+-【正确答案】AD【分析】根据函数的定义域及单调性分别判断各选项.【详解】A 选项：221y x x =++对称轴为14x =-，函数的单调递增区间为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，又()10,,4⎡⎫+∞⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，所以函数在()0,∞+上是增函数，A 选项正确；B 选项：函数11y x =-在(),1-∞和()1,+∞上单调递减，B 选项错误；C 选项：y =[]1,5-，且函数254y x x =+-的对称轴为2x =，所以函数y =的单调递减区间为[]2,5，C 选项错误；D 选项：()f x 在R 上是增函数，若0a b +>，则a b >-，b a >-，所以()()f a f b >-，()()f b f a >-，则()()()()f a f b f a f b +>-+-，D 选项正确；故选：AD.18．设函数()21,21,ax x af x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【正确答案】ABC【分析】根据函数解析式，分0a >、0a =、a<0三种情况讨论，当a<0时根据二次函数的性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可；【详解】解：因为()21,21,ax x af x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，若0a >，当x a <时()1f x ax =-在(),a -∞上单调递增，当x →-∞时()f x →-∞，此时函数不存在最小值；若0a =，则()21,01,0x f x x x -<⎧=⎨+≥⎩，此时()min 1f x =-，符合题意；若a<0，当x a <时()1f x ax =-在(),a -∞上单调递减，当x a ≥时()221f x x ax =-+，二次函数221y x ax =-+对称轴为x a =，开口向上，此时()f x 在[),a +∞上单调递增，要使函数()f x 存在最小值，只需222121a a a a <⎧⎨-≥-+⎩，解得1a ≤-，综上可得(]{},10a ∈-∞- .故选：ABC 三、填空题19．已知集合{}22,2A a a a =++，若3A ∈，则实数a 的值为___________.【正确答案】32-/ 1.5-【分析】依题意可得23a +=或223a a +=，求出a 的值，再代入检验即可.【详解】解：因为{}22,2A a a a =++且3A ∈，所以23a +=或223a a +=，解得1a =或32a =-，当1a =时2232a a a ++==，此时不满足集合元素的互异性，故舍去；当32a =-时，1,32⎧⎫=⎨⎬⎩⎭A 符合题意；故32-20．函数()f x 的定义域为____________________．【正确答案】1(,0)(0,]3-∞ 【分析】只需解不等式组1300x x -≥⎧⎨≠⎩即可.【详解】()f x x=，1300x x -≥⎧∴⎨≠⎩，解得13x ≤，且0x ≠.所以函数()f x 的定义域为1(,0)(0,]3-∞ .故答案为.1(,0)(0,]3-∞ 四、双空题21．已知函数()2f x x x x =-+，则()f x 的单调增区间为______；若[]2,1x ∈-则()f x 最小值为______．【正确答案】[]1,1-1-【分析】先通过奇函数的定义判断函数为奇函数，再利用奇函数及二次函数的单调性求解单调区间，利用函数的单调性求最值即可.【详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x x x x f x -=-=-，所以函数()f x 为奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-+，由二次函数性质得函数()f x 在区间[]0,1单调递增，在[1,2]上单调递减.由奇函数在对称区间的单调性一致得，函数()f x 在[]1,0-上单调递增，且()00f =，所以()f x 的单调增区间为[]1,1-，同样根据奇函数的对称性可得函数()f x 在[]2,1--上单调递减，所以在[-2,1]上()f x 的最小值为(1)112(1)1f -=⨯+⨯-=-.故[]1,1-；1-.五、填空题22．对于任意实数x ，不等式()()222240a x a x ----≥无解，则实数a 的取值范围是___________.【正确答案】22a -<≤【分析】这是含参的不等式问题，通过对二次项系数进行讨论以及利用一元二次函数、∆进行求解处理.【详解】当20a -=时，即2a =，则40->，无解，所以2a =；当20a -≠时，即2a ≠，要使不等式()()222240a x a x ----≥无解，则220[2(2)]4(2)(4)0a a a -<⎧⎨∆=-----<⎩，解得22a -<<；综上，22a -<≤.故答案为.22a -<≤六、解答题23．已知集合{}34A x x =-≤<，{}211B x m x m =-≤≤+．(1)当1m =时，求出R A C B ⋂；(2)若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1){|31x x -≤<或}24x <<(2)1m ≥-【分析】（1）先求出B ,再求出R A B ð得解；（2）对集合B 分两种情况讨论，解不等式即得解.【详解】（1）（1）当1m =时，{}|12B x x =≤≤,所以R B ð={|1x x <或}2x >，所以()R A B ⋂ð={|31x x -≤<或}24x <<.（2）（2）由A B A B A ⋃=⇒⊆.①当B 为空集时，121,2m m m +<-∴>成立.②当B 不是空集时，B A ⊆ ，12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩，12m ∴-≤≤综上①②，1m ≥-.24．已知函数2y ax x a b =---．(1)若20ax x a b ---<的解集为()1,2-，求a ，b 的值.(2)若0a >，求解不等式210ax x a --+<.【正确答案】(1)1a b ==(2)当102a <<时，210ax x a --+<的解集为1(1,1)a-+；当12a =时，210ax x a --+<的解集为φ；当12a >时，210ax x a --+<的解集为1(1,1)a-+.【分析】（1）由已知得方程20ax x a b ---=的两个实根分别为1-，2，且0a >，直接将根代入即可得出答案；（2）分类讨论结合判别式即可求解.【详解】（1）20ax x a b ---< 的解集为()1,2-，∴方程20ax x a b ---=的两个实根分别为1-，2，且0a >，则10420a a b a a b +--=⎧⎨---=⎩，解得.11a b =⎧⎨=⎩（2）210ax x a --+<中，当0a >时，则()()2141210a a a ∆=--+=-≥，210ax x a --+<化为()()110ax a x +--<，若11a a -->时，即102a <<，解得111x a<<-+，若11a a --=时，即12a =，无解，若11a a --<时，即12a >，解得111x a-+<<；综上，当102a <<时，210ax x a --+<的解集为1(1,1)a -+；当12a =时，210ax x a --+<的解集为φ；当12a >时，210ax x a --+<的解集为1(1,1)a-+.25．已知二次函数()2f x ax bx c =++，且满足()02f =，()()121f x f x x +-=+．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【正确答案】(1)()22f x x =+(2)()222,0 2,2046,2t tg t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩【分析】（1）根据已知条件可建立关于a ，b ，c 的方程，解出a ，b ，c 即可求得函数解析式；（2）结合已知区间与对称轴的位置关系进行分类讨论即可求解．【详解】（1）由()02f =，得2c =由()()121f x f x x +-=+，得()()()221121a x b x c ax bx c x ++++-++=+，即221ax b a x ++=+所以221a b a =⎧⎨+=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩因此()22f x x =+．（2）因为()22f x x =+的图象是以直线0x =为对称轴，且开口向上的抛物线，当0t ≥时，()22f x x =+在[],2t t +上单调递增，则()()2min 2f x f t t ==+；当20t +≤，即2t ≤-时，()22f x x =+在[],2t t +上单调递减，则()()()22min 22246f x f t t t t =+=++=++；当02t t <<+，即20t -<<时，()()min 02f x f ==，综上()222,0 2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩。
2023-2024学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{﹣1，0，1}2．已知函数f （2x +1）＝x 2+1，则f （3）＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．63．“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)5．若函数f （x ）是R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A ．f （﹣3）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣3）＞f （1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣3）D ．f （1）＞f （﹣3）＞f （0）6．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−235，+∞)B ．(−235，1)C ．（1，+∞）D ．(−∞，−235)7．已知m +e m ＝e ，n +5n ＝e ，则下列选项正确的是（ ） A ．0＜m ＜n ＜1B ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜n ＜eD ．1＜n ＜m ＜e8．设函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ，对于任意m ，n ∈D ，若所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 最大值为14B ．4x 2+y 2的最小值为12C ．x （x +y ）最大值为14D ．1x+1y最小值为3+2√210．已知a ＞0，函数f （x ）＝x a ﹣a x （x ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设函数f(x)=10x10x +1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[f(x)−12]的函数值可能是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．212．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如√(x −a)2+(y −b)2的代数式，可以转化为平面上点M （x ，y ）与N （a ，b ）的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|，下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象是轴对称图形B ．y ＝f （x ）的值域是[0，4]C ．f （x ）先减小后增大D ．方程f(f(x))=√13−√5有且仅有一个解三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数，则实数m 的值为 ．14．已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则实数a 的取值范围是 ．15．f(x)=log 24x ⋅log 14x 2，x ∈[12，4]的最大值为 ．16．已知函数f （x ）＝x 2+mx +n （m ，n ∈R ），记集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若A ＝B ≠∅，则实数m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣ax +a 2﹣19＝0}，B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}． （1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若∅⫋（A ∩B ）且A ∩C ＝∅，求实数a 的值． 18．（12分）计算：（1）(14)−12√(4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3⋅b−3)12；（2）log √39+12lg25+lg2−log 49×log 38+2log 23+ln √e ． 19．（12分）已知函数f(x)=2x −12x ． （1）用定义法证明：f （x ）在R 上单调递增；（2）若对任意x ∈[﹣1，1]，不等式f （3x 2+1）+f （k ﹣x 2）≥0恒成立，求实数k 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0有解，求m 的取值范围．21．（12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一．在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR 智能巴士．某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ，经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜1060，10≤t ≤20，其中t ∈N ．（1）求p （5），并说明p （5）的实际意义； （2）若该路公交车每分钟的净收益y =6p(t)+24t−10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．22．（12分）已知函数f(x)=|tx 2−5x+4tx|，其中常数t ＞0．（1）若函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，求t 的取值范围；（2）当t ＝1时，是否存在实数a 和b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且此时f （x ）的取值范围是[ma ，mb ]．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{﹣1，0}C ．{0，1}D ．{﹣1，0，1}解：A ＝{x |﹣2＜x ＜1}，B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{﹣1，0}． 故选：B ．2．已知函数f （2x +1）＝x 2+1，则f （3）＝（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6解：因为f （2x +1）＝x 2+1， 令t =2x +1，x =t−12，f(t)=(t−12)2+1， 即f(x)=(x−12)2+1，所以f （3）＝2． 故选：B ．3．“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若x 2+y 2＝0，则x ＝0，y ＝0，所以可得xy ＝0， 即由“x 2+y 2＝0”可以推出“xy ＝0”，若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0，得不到x 2+y 2＝0，例如x ＝0，y ＝2， 即由“xy ＝0”推不出“x 2+y 2＝0”，所以“x 2+y 2＝0”是“xy ＝0”的充分不必要条件． 故选：A ．4．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)解：函数f （x ）的定义域为（0，1），令0＜2x ﹣1＜1，解得12＜x ＜1． 故选：D ．5．若函数f （x ）是R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ） A ．f （﹣3）＞f （0）＞f （1） B ．f （﹣3）＞f （1）＞f （0） C ．f （1）＞f （0）＞f （﹣3）D ．f （1）＞f （﹣3）＞f （0）解：根据题意，函数f （x ）为R 上的偶函数，则f （﹣3）＝f （3）， 又由函数在[0，+∞）上是增函数，f （0）＜f （1）＜f （3）， 则有f （﹣3）＞f （1）＞f （0）． 故选：B ．6．若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−235，+∞) B ．(−235，1) C ．（1，+∞） D ．(−∞，−235) 解：令函数f （x ）＝x 2+ax ﹣2，若关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上无解， 则{f(1)≤0f(5)≤0，即{a −1≤052+5a −2≤0，解得a ≤−235．所以使得关于x 的不等式x 2+ax ﹣2＞0在区间[1，5]上有解的a 的范围是（−235，+∞）． 故选：A ．7．已知m +e m ＝e ，n +5n ＝e ，则下列选项正确的是（ ） A ．0＜m ＜n ＜1B ．0＜n ＜m ＜1C ．1＜m ＜n ＜eD ．1＜n ＜m ＜e解：构造函数f （x ）＝x +e x ，g （x ）＝x +5x ，f （m ）＝m +e m ＝e ，g （n ）＝n +5n ＝e ， 易知函数f （x ），g （x ）为增函数．函数f （x ），g （x ）与函数y ＝e 的图象，如下图所示： 由图可知，0＜n ＜m ．又f （1）＝1+e ＞f （m ），g （1）＝1+5＞g （n ）， 所以m ＜1，n ＜1． 综上，0＜n ＜m ＜1． 故选：B ．8．设函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ，对于任意m ，n ∈D ，若所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣4解：函数f(x)=√ax 2−2ax(a ＜0)的定义域为D ＝{x |ax 2﹣2ax ≥0}＝{x |0≤x ≤2}， 因为对于任意m ，n ∈D ，所有点P （m ，f （n ））构成一个正方形区域， 所以正方形的边长为2， 又因为f （0）＝f （2）＝0， 所以函数f （x ）的最大值为2， 即ax （x ﹣2）的最大值为4，所以x ＝1时，f （1）=√a ⋅(−1)=2，解得a ＝﹣4． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知x ，y 是正数，且2x +y ＝1，下列叙述正确的是（ ） A ．2xy 最大值为14B ．4x 2+y 2的最小值为12C ．x （x +y ）最大值为14D ．1x+1y最小值为3+2√2解：因为x ，y 是正数，且2x +y ＝1， 所以2xy ≤(2x+y 2)2=14，当且仅当2x ＝y =12时取等号，A 正确； 4x 2+y 2＝（2x +y ）2﹣4xy ＝1﹣4xy ≥1−12=12，当且仅当2x ＝y =12时取等号，此时4x 2+y 2取得最小值12，B 正确； x （x +y ）≤(x+x+y 2)2=14，当且仅当x ＝x +y ，即y ＝0时取等号，根据题意显然y ＝0不成立，即等号不能取得，x （x +y ）没有最大值，C 错误；1x+1y=2x+y x+2x+y y =3+yx+2xy ≥3+2√2，当且仅当y x =2x y且2x +y ＝1，即x ＝1−√22，y =√2−1时取等号，此时1x+1y取得最小值3+2√2，D 正确．故选：ABD ．10．已知a ＞0，函数f （x ）＝x a ﹣a x （x ＞0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：当0＜a ＜1时，函数y ＝x a 在（0，+∞）上单调递增，函数y ＝a x 在（0，+∞）上单调递减， 因此函数f （x ）＝x a ﹣a x 在（0，+∞）上单调递增，而f （0）＝﹣1，f （a ）＝0，函数图象为曲线，A 可能；当a ＝1时，函数f （x ）＝x ﹣1在（0，+∞）上的图象是不含端点（0，﹣1）的射线，B 可能； 当a ＞1时，取a ＝2，有f （2）＝f （4）＝0，即函数f （x ）＝x 2﹣2x ，x ＞0图象与x 轴有两个公共点， 又x ∈（0，+∞），随着x 的无限增大，函数y ＝a x 呈爆炸式增长，其增长速度比y ＝x a 的大，因此存在正数x 0，当x ＞x 0时，x 02＜a x 0恒成立，即f （x ）＜0，C 可能，D 不可能．故选：ABC ．11．设函数f(x)=10x10x +1，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[f(x)−12]的函数值可能是（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．2解：因为0＜10x ，则110x+1＞1，所以函数f(x)=10x10x +1=11+110x的值域是（0，1），则f(x)−12的范围是(−12，12)，于是y =[f(x)−12]的函数值可能是﹣1或0． 故选：AB ．12．著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如√(x −a)2+(y −b)2的代数式，可以转化为平面上点M （x ，y ）与N （a ，b ）的距离加以考虑．结合综上观点，对于函数f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|，下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象是轴对称图形B ．y ＝f （x ）的值域是[0，4]C ．f （x ）先减小后增大D ．方程f(f(x))=√13−√5有且仅有一个解解：f(x)=|√x 2+2x +5−√x 2−6x +13|=|√(x +1)2+22−√(x −3)2+22|． 此函数即为x 轴上的点P （x ，0）到A （﹣1，2）与B （3，2）两点距离之差的绝对值， 故其图象关于x ＝1轴对称，A 正确；当x ＝1时，函数最小值为0，当x 趋近于无限大时，函数值无限接近4，其值域为[0，4），故B 错误； 由f （x ）＝||P A |﹣|PB ||，可得当x ∈（1，+∞）时，|P A |﹣|PB |随x 的增大而增大，故当f （x ）在（1，+∞）上为增函数， 由A 可得f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，故C 正确；令t ＝f （x ），当t ＝0或2时，f(t)=√13−√5，当f （x ）＝0时，x ＝1； 当f （x ）＝2时，由图象可知，f （x ）有两个实根，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数，则实数m 的值为 ﹣1或2 ． 解：要使函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 是幂函数， 则 m 2﹣m ﹣1＝1 解得：m ＝﹣1或2． 故答案为：﹣1或2．14．已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则实数a 的取值范围是 [13，23） ．解：根据题意，已知f(x)={(3a −2)x +3a ，x ＜1log a x ，x ≥1是减函数，则有{3a −2＜00＜a ＜1(3a −2)+3a ≥0，解可得13≤a ＜23，即a 的取值范围为[13，23）．故答案为：[13，23）．15．f(x)=log 24x ⋅log 14x2，x ∈[12，4]的最大值为 98．解：当12≤x ≤4时，f （x ）＝log 24x •lo g 14x 2=（2+log 2x ）（−12log 2x +12），令t ＝log 2x ，﹣1≤t ≤2，则原函数可化为g （t ）=−12（2+t ）（t ﹣1）=−12（t 2+t ﹣2）， 根据二次函数的性质可知，当t =−12时，函数取得最大值98．故答案为：98．16．已知函数f （x ）＝x 2+mx +n （m ，n ∈R ），记集合A ＝{x |f （x ）≤0}，B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若A ＝B ≠∅，则实数m 的取值范围是 [﹣4，0] ． 解：因为A ＝B ≠∅，所以m 2﹣4n ≥0， 设x 2+mx +n ＝0的两个根为x 1，x 2（设x 1≤x 2），x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝n ，A ＝{x |f （x ）≤0}＝{x |x 1≤x ≤x 2}，由f （f （x ）+2）≤0，得x 1≤f （x ）+2≤x 2，即x 1﹣2≤f （x ）≤x 2﹣2， 由于A ＝B ，则x 2﹣2＝0，且x 1−2≤4n−m 24（二次函数最小值）， x 2﹣2＝0⇒x 2＝2，因此有x 1+2＝﹣m ，2x 1＝n ，所以n ＝﹣2m ﹣4， 代入m 2﹣4n ≥0，得m 2+8m +16≥0，此式恒成立，代入x 1−2≤4n−m 24，得−m −4≤−8m−16−m 24，解得﹣4≤m ≤0， 所以m 的取值范围为[﹣4，0]． 故答案为：[﹣4，0]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设集合A ＝{x |x 2﹣ax +a 2﹣19＝0}，B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}． （1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若∅⫋（A ∩B ）且A ∩C ＝∅，求实数a 的值．解：（1）由题可得B ＝{x |x 2﹣5x +6＝0}＝{2，3}，由A ∩B ＝A ∪B ，得A ＝B ． 从而2，3是方程x 2﹣ax +a 2﹣19＝0的两个根，即{2+3=a 2×3=a 2−19，解得a ＝5．（2）因为B ＝{2，3}，C ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＝0}＝{﹣1，3}． 因为∅⫋（A ∩B ），所以A ∩B ≠∅，又A ∩C ＝∅，所以2∈A ， 即4﹣2a +a 2﹣19＝0，a 2﹣2a ﹣15＝0，解得a ＝5或a ＝﹣3． 当a ＝5时，A ＝{2，3}，则A ∩C ≠∅，不符合题意；当a ＝﹣3时，A ＝{﹣5，2}，则∅⫋A ∩B ＝{2}且A ∩C ＝∅，故a ＝﹣3符合题意， 综上，实数a 的值为﹣3． 18．（12分）计算：（1）(14)−12√(4ab−1)3(0.1)−1⋅(a 3⋅b−3)12； （2）log √39+12lg25+lg2−log 49×log 38+2log 23+ln √e ． 解：（1）原式=412×432a 32b −3210⋅a 32⋅b −32=2×810×1=85；（2）原式=log 31232+lg 5+lg 2﹣log 23×3log 32+3+lne 12=4+1﹣3+3+12=112．19．（12分）已知函数f(x)=2x −12x ． （1）用定义法证明：f （x ）在R 上单调递增；（2）若对任意x ∈[﹣1，1]，不等式f （3x 2+1）+f （k ﹣x 2）≥0恒成立，求实数k 的取值范围． 证明：（1）设任意两个实数x 1，x 2满足x 1＜x 2， 则f(x 1)−f(x 2)=2x 1−12x 1−2x 2+12x 2=(2x 1−2x 2)(1+12x 1⋅2x 2)， ∵x 1＜x 2，∴2x 1＜2x 2，1+12x 1⋅2x 2＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）， 所以f （x ）在R 上为单调递增；解：（2）原不等式化为f （3x 2+1）⩾﹣f （k ﹣x 2）， ∵f （﹣x ）＝2﹣x ﹣2x ＝﹣f （x ），∴f （x ）是奇函数，∴不等式化为f （3x 2+1）⩾f （x 2﹣k ）， 又f （x ）是增函数，所以3x 2+1⩾x 2﹣k ， ∴问题转化为∀x ∈[﹣1，1]，2x 2+1⩾﹣k 恒成立， ∴k ⩾﹣1，则实数k 的取值范围为[﹣1，+∞）．20．（12分）已知函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． （1）求k 的值；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0有解，求m 的取值范围． 解：（1）由函数f （x ）＝log 4（4x +1）+kx （x ∈R ）是偶函数． 可知f （x ）＝f （﹣x ）∴log 4（4x +1）+kx ＝log 4（4﹣x +1）﹣kx （（2分）即log 44x+14−x +1=−2kx∴log 44x ＝﹣2kx （4分）∴x ＝﹣2kx 对x ∈R 恒成立．（6分）∴k =−12．（7分）（2）由m =f(x)=log 4(4x +1)−12x ，∴m =log 44x +12x =log 4(2x +12x )．（9分）∵2x +12x ≥2（11分） ∴m ≥12（13分）故要使方程f （x ）﹣m ＝0有解，m 的取值范围：m ≥12．（14分）21．（12分）“智能”是本届杭州亚运会的办赛理念之一．在亚运村里，时常能看到一辆极具科技感的小巴车出现在主干道上，车内没有司机，也没有方向盘，这就是无人驾驶AR 智能巴士．某地在亚运会后也采购了一批无人驾驶巴士作为公交车，公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t ≤20，t ∈N ，经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜1060，10≤t ≤20，其中t ∈N ．（1）求p （5），并说明p （5）的实际意义；（2）若该路公交车每分钟的净收益y =6p(t)+24t −10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．解：（1）p （5）＝60﹣（5﹣10）2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）∵y =6p(t)+24t−10， ∴当5≤t ＜10时，y =360−6(t−10)2+24t −10=110−(6t +216t)， 任取5≤t 1＜t 2≤6，则y 1−y 2=[110−(6t 1+216t 1)]−[110− (6t 2+216t 2)]=6(t 2−t 1)+216t 2−216t 1=6(t 2−t 1)+ 216(t 1−t 2)t 1t 2=6(t 2−t 1)(t 1t 2−36)t 1t 2，∵5≤t 1＜t 2≤6，∴t 2﹣t 1＞0，25＜t 1t 2＜36，∴y 1﹣y 2＜0，∴函数y =110−(6t +216t )在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间[6，10）上单调递减， ∴当t ＝6时，y 取得最大值38；当10≤t ≤20时，y =6×60+24t −10=384t −10， 该函数在区间[10，20]上单调递减，则当t ＝10时，y 取得最大值28.4，综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．22．（12分）已知函数f(x)=|tx 2−5x+4t x|，其中常数t ＞0． （1）若函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，求t 的取值范围；（2）当t ＝1时，是否存在实数a 和b ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上单调，且此时f （x ）的取值范围是[ma ，mb ]．若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）根据题意，由f(x)=|tx 2−5x+4t x |，得f(x)=|t(x +4x)−5|， 设ℎ(x)=t(x +4x )，由于t ＞0，则h （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调且h （x ）≥4t ，要使函数f （x ）分别在区间（0，2），（2，+∞）上单调，只需4t ﹣5≥0，解可得t ≥54；所以t 的取值范围为[54，+∞）； （2）根据题意，当t ＝1时，f （x ）＝|x 2−5x+4x |＝|x +4x−5|， 其草图如图：易得f （x ）在（0，1）、（1，2）、（2，4）、（4，+∞）均为单调函数．分4种情况处理：①当[a ，b ]⊆（0，1]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理，得（a ﹣b ）（a +b ﹣5）＝0． ∵a ，b ∈（0，1]，∴上式不成立，即a ，b 无解，m ∈∅；②当[a ，b ]⊆（1，2]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递增，则{f(a)=ma f(b)=mb ，即m =−4a 2+5a −1，在a ∈（1，2]有两个不等实根， 令1a =t ∈[12，1)，则−4a 2+5a −1=φ(t)=−4(t −58)2+916，作φ（t ）在[12，1)的图像可知，12≤m ＜916；③当[a ，b ]⊆（2，4]时，f （x ）在[a ，b ]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理，得（a ﹣b ）（a +b ﹣5）＝0， ∴a +b =5∴b =5−a ＞a ∴2＜a ＜52，由−a −4a +5=mb ，得m =5−a−4a 5−a =1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254， 则m 关于a 的函数是单调的，而m =5−a−4a 5−a应有两个不同的解，∴此种情况无解； ④当[a ，b ]⊆[4，+∞）时，同（I ）可以解得m ∈∅，综上，m 的取值范围为[12，916)．。
浙江省杭州十四中高一上学期期中试题数学.pdf
第 3 课时 探究型实验 所谓探究型实验，就是首先对某种物理现象提出问题，然 后依据一定的方法选择实验器材、确定实验方案，最后对得到 的实验数据或现象进行正确的处理，从而得到正确的结论．这 类试题综合考查了学生观察实验、设计实验、分析归纳等实验 能力，难度较大． 探究型实验题的复习应以典型探究型实验为例，从科学探 究要素出发，培养学生猜想、设计和进行实验、分析论证等方 面的能力． 题型 1 探究平面镜成像时像与物的关系 【例 1】(2012 年莱芜)某同学在“探究平面镜成像的特点” 的实验中，取两段等长的蜡烛 A 和B，点燃玻璃板前的蜡烛 A， 观察玻璃板后的像，如图 4－3－1 所示． 图 4－3－1 (1)平面镜成像的原理是________________． (2)点燃蜡烛 A，小心地移动蜡烛 B，直到与蜡烛 A 的像完 全重合为止，这样做既确定了像的位置又验证了____________． (3)移去蜡烛 B，并在其原所在位置上放一光屏，则光屏 ______(填“能”或“不能”)承接到蜡烛 A 的烛焰的像． (4)做完实验后，某同学总结了一些关于平面镜成像的知 识，其中不准确的是( ) A．将蜡烛向玻璃板靠近，像的大小不变 B．将蜡烛和像所在的位置用直线连接，连线跟玻璃板垂 直 C．当蜡烛与玻璃板的距离为 10 cm 时，像和物相距 20 cm D．将玻璃板换成平面镜，成像更清晰，更有利于进行成 像特点的探究 思维点拨：平面镜成虚像，光屏上无法接收到． 答案：(1)光的反射 (2)像与物大小相同 (3)不能 (4)D 题型 2 探究导体消耗的电功率与导体的电阻的关系 【例 2】(2011 年济宁)电流做功跟电压、电流和通电时间三 个因素都有关．李明同学要通过实验探究电功与电压的关系， 他选用的器材如图 4－3－2 所示．其中甲、乙两容器完全相同，电阻丝 R1 的阻值大于电阻丝 R2 的阻值． 图 4－3－2 (1)请你用笔画线代替导线，帮他把实验电路连接完整．(2)他在该实验中选用两根阻值不同的电阻丝，其目的是 ______________________________________________．(3) 在 这 个 实 验 中 ， 李 明 是 通 过 观 察 比 较________ ______________________来比较电流做功多少的．电流通过电 阻丝________(填“R1”或“R2”)做的功多． (4) 由 这 个 实 验 可 以 得 到 的 结 论 是 ：___________________________________________________________________________________________________________. 思维点拨：电流做功跟电压、电流和通电时间三个因素都 有关，要探究电功跟电压的关系，必须控制电流和通电时间相 同，所以两个电阻要串联．电流做功的多少不能直接测量出来， 但可以利用转换法知道电功的多少，如可从温度计示数的变化 来知道电功的多少． 答案：(1)如图 44 所示． (2)使 R1、 R2 两端的电压不同 (3)温度计示数的变化 R1 (4)在电流、通电时间一定时，电压越高，电流做的功越多 图 44 题型 3 探究电磁铁的磁性强弱跟哪些因素有关 【例 3】如图4－3－3 所示，是某学习小组同学设计的“研 究影响通电螺线管磁性强弱的因素”的实验电路图，下表是该 组同学所做实验的记录． 图 4－3－3 (1) 增 大 通 电 螺 线 管 的 电 流 ，滑动变阻器的滑片应向 ________(填“左”或 “右”)移动． (2)同学们发现无铁芯组实验中没有吸引起大头针，那么通 电螺线管到底有没有磁性呢？他们通过其他方法验证了这几次 都是有磁性的．他们采用的方法可能是大头针换成 ________. 通电螺线管 中有无铁芯 无铁芯 有铁芯 线圈匝数 50匝 50匝 实验次数 1 2 3 4 5 6 电流/A 0.8 1.2 1.5 0.8 1.2 1.5 吸引大头针的 最多数目/枚 0 0 0 3 5 8 (3)在与同学们交流讨论时，另一组的同学提出一个新问 题：“当线圈中的电流和匝数一定时，通电螺线管的磁性强弱 是否还与线圈内的铁芯大小(粗细)有关？”现有大小不同的两 根铁芯，请根据你的猜想并利用本题电路，写出你验证猜想的 简要操作方案： 思维点拨：没有放入铁芯的通电螺线管，磁性很弱，无法 吸起大头针，但可以使小磁针偏转．在研究通电螺线管的磁性 强弱是否还与线圈内的铁芯大小(粗细)有关时，一定要控制电 流的大小和线圈的匝数相同． 答案：(1)左 (2)小磁针(或细铁屑) (3)按本题电路图接好电路，调节滑动变阻器的滑片于一定 的位置，首先放入大的铁芯，观察被吸引的数目，记录数据； 再放入小的铁芯，观察被吸引的数目，记录数据，两者进行比 较． 题型 4 探究动能的大小跟哪些因素有关 【例 4】图 4－3－4 所示的是“探究动能的大小与哪些因 素有关”的实验装置． 图 4－3－4 (1)实验中通过观察__________________的大小，来判断小球动能的大小． (2)实验中为了研究动能大小与质量的关系，需要控制小球 撞击时的速度不变，具体的控制方法是__________________. (3)质量和速度谁对动能的影响较大呢？小文所在的物理 兴趣小组借助速度传感器和其他仪器得出了两组数据如表一和 表二所示． 表一(钢球撞击时的速度为 v＝8 cm/s) 序号 钢球质量m/g 木块滑行距离s/cm 1 100 10 2 200 20 3 300 30 表二(钢球质量为 m＝100 g) 分析这两组数据可以得出：________对物体的动能影响较 大．依据是______________________________________. 序号 钢球撞击速度v/(cm·s－1) 木块滑行距离s/cm 1 8 10 2 16 40 3 24 90 思维点拨：木块滑行的距离越大，说明钢球的动能越大． 动能的大小跟质量和速度有关，分析表一数据可以知道，动能 的大小跟物体的质量成正比；分析表二数据可以知道，动能的 大小跟物体的速度的平方成正比． 答案：(1)木块滑行的距离 (2)让小球从同一高度自由滚下 (3)速度 质量每增加一倍，动能变为原来的 2 倍，速度每 增加一倍，动能变为原来的 4 倍 题型 5 探究液体压强的特点 【例 5】在探究液体压强的特点的实验中，进行了如图 4 －3－5 所示的操作： 图 4－3－5 (1)实验前，应调整 U 形管压强计，使左右两边玻璃管中的 液面________． (2)甲、乙两图是探究液体压强与________的关系．(3)要探究液体压强与盛液体的容器形状是否有关，应选 择：________两图进行对比，结论是：液体压强与盛液体的容 器形状________． (4)要探究液体压强与密度的关系，应选用________两个图 进行对比． (5)在图丙中，固定 U形管压强计金属盒的橡皮膜在盐水中 的深度，使金属盒处于：向上、向下、向左、向右等方位，这 是为了探究同一深度处，液体__________的压强大小关系． 思维点拨：在探究液体压强跟液体密度、深度和容器形状 是否有关时，要体现控制变量的思想． 答案：(1)相平 (2)深度 (3)丙丁 无关 (4)乙、丙 (5)各个方向上 题型 6通过实验理解比热容的概念 【例 6】同学们在做“比较水和沙子的吸热能力”实验的 场景如图 4－3－6 所示，他们说该实验有两种探究方法． 图 4－3－6 (1)实验方法一的设计如图中所示： ①在实验中，加热相同时间的目的是__________________ ___________________________________________________； ②请你指出该同学的设计思路和实验装置中的错误和不 足． (2)请你设计出第二种实验方法： ①写出该实验方法所需要的测量仪器__________________ ___________________________________________________； ②请写出设计思路． 思维点拨：水和沙子吸收的热量来源于酒精灯放出的热量， 吸收相同的热量，就需要加热相同的时间；实验时要采取控制 变量法保证水和沙子的质量和初温相同；水和沙子的温度用温 度计来测量． 答案：(1)①使水和沙子吸收相等的热量②错误是：没有控制水和沙子质量相等、初温相同． 不足是：没有测量水和沙子温度的仪器． (2)①天平、温度计(秒表) ②在两个相同的金属盒内，加入初温与质量均相同的水和 沙子，用酒精灯加热至相同末温，比较加热时间，就能比较它 们的吸热能力．。
浙江省杭州市2022年高一《数学》上学期期中试卷与参考答案
浙江省杭州市2022年高一《数学》上学期期中试卷与参考答案一、选择题I本大题共8题，每小题5分，共40分。
每小题列出的四个各选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。
1.已知集合，，则（ ）A.B.C. D.2.函数的定义域是（）A. B.C. D.3.命题“，”的否定是（ ）A.，B.，C.，D.，4.“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不完分也不必要条件{}23A x x =-<<{}1,2,3,4B =A B ⋂={}1,2{}2,3{}1,2,3{}2,3,4()f x ={}22x x -<<{}02x x <≤{}22x x -≤≤{}220x x x -≤≤≠且1x ∀>20x x ->1x ∃≤20x x -≤1x ∃>20x x -≤1x ∀>20x x -≤1x ∀≤20x x ->1x >11x<5.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.或6.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图像是（）A. B.C. D.7.若点在幂函数的图象上，则函数（）A. B.C. D.8.定义在上的函数满足，且当时，，若x ()2110m x mx m +-+-<∅m 1m <-m ≥m ≤m ≤m ≥()()()f x x a x b =--a b >()2x g x a b =+-(),81m ()()2n f x m x =-()g x =⎡⎣⎡⎣2⎤⎦[]2,3R ()f x ()()f x f x -=0x ≥()()()122202262x x f x x x x +⎧-≤≤⎪=⎨-+->⎪⎩对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）AB.C.D.二、选择题II本大题共4题，每小题5分，共20分。
9.已知为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）A.B.C.D.10.下列函数中，满足对任意，的是（ ）A.B.C.D.[]1,x m m ∈-()()2f x f x m -≤+m 231-2-,,a b c 0a b >>11a b <11a c b c<--2a ab >22ac bc >()12,1,x x ∞∈+()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦()31f x x =+()4f x x x=+()2(1)5f x x =---()4f x x =+11.下列命题为真命题的是（ ）A.若，则B.若C.若，则D.若，则12.已知函数，若，且，则的取值可能是（ ）A.B.C.D.三、填空题本大题共4题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年浙江省杭州市高一第一学期期中数学质量检测试题
2024-2025学年浙江省杭州市高一第一学期期中数学质量检测试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（ ）{1,2,3,4,5}U ={1,2,3}M ={2,3,4}N =()UM N = ðA. B. {5}{2,3}C. D. {1,4}{1,4,5}2. 下列说法正确的是（ ）A. ， B. “且”是“”的充R x ∀∈|1|1x +>2x >3y >5x y +>要条件C. ，D. “”是“”的必要不充分0x ∃>3x x=-20x x -=1x =条件3. 已知集合，则的值为（ ）{}21,,0,,b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭20242024ab +A. 0 B. 1C .D. 1或1-1-4. 设函数，则（ ）1()22x x f x =-()f x A. 是奇函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递(,)-∞+∞(,)-∞+∞减C. 是偶函数，且在上单调递增D. 是偶函数，且在上单调递(,)-∞+∞(,)-∞+∞减5. 下列函数中最小值为4的是（ ）A. B.224y x x =++4y x x=+C.D.2y 22x x-=+y =6. 函数的图象大致为（ ）262xy x -=+A. B.C.D.7. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则0a b >>22ac bc>a b >22a b>C. 若，则 D. 若，则0a b <<22a ab b>>a b <11a b >8. 若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足R ()f x (,0]-∞(2)0f =的的取值范围是（ ）(1)(2)0x f x --≥x A. B. [0,1][4,)+∞ (,2][2,)-∞-+∞ C .D. [0,1][2,)⋃+∞[0,1][2,4]二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.少选得部分分，错选得0分.9. 已知幂函数，则以下结论正确的是（ ）12()f x x =A. 的定义域为 B. 是减函数()f x [0,)+∞()f xC. 的值域为D. 是偶函数()f x [0,)+∞()f x 10. 已知集合，，则下列选项中正确的{}1,2,3,4,5A ={}(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈是（ ）A. 集合有32个子集B. A (2,1)B ∈C. 中所含元素的个数为10个D. B (2,3)B∈11. 下列说法正确的是（ ）A. 函数在定义域内是减函数1()f x x =B. 若，则函数的最大值为12x <4221y x x =+-3-C. 若不等式对一切实数恒成立，则23208kx kx +-<x 30k -<≤D. 若，，，则的最小值为20x >0y >3x y xy ++=x y +非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知的定义域为，则的定义域是__________.()f x [1,3]-()2f x 13.__________.3110.7535=64162---⎛⎫+++ ⎪⎝⎭14. 设的最大值为__________.0,0,22x y x y >>+=四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步器.15. 已知集合，.{}21A x x =-≤≤{}12B x x a =-<<（1）若，求，；1a =A B ⋂()UA B ð（2）若，求实数的取值范围.A B B = a 16. 已知()||(2)().(R)f x x a x x x a a =--+-∈（1）当时，求不等式的解集；1a =()0f x <（2）若在上为增函数，求的取值范围.()f x R a 17. 某工厂生产某种玩具车的固定成本为15000元，每生产一辆车需增加投入80元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：辆）满足函数：R x 21380(0500),()275000(500).x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（1）将利润（单位：元）表示为月产量（单位：辆）的函数；P x （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）18. （1）已知，，且，求的最小值；0a >0b >1ab =114a b a b +++（2）设，，若，求的最小值；0a >1b >2a b +=211ab +-（3）求函数的最大值.()f x =19. 已知定义在上的奇函数，且.R 2()1ax bf x x +=+13310f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x （2）判断在上的单调性，并证明你的结论；()f x [1,1]-（3）设，若，对，有()()()()21112g x x f x m x =++++-⎡⎤⎣⎦[]11,2x ∃∈[]21,1x ∀∈-成立，求实数的取值范围.()()122g x f x ≤m。
2023-2024学年浙江省杭州市高一上学期期中数学检测试题(含答案)
2023-2024学年浙江省杭州市高一上册期中数学检测试题一、单选题1．若正数x ，y 满足38x =，4y 81=，则x y +=（）A ．1B ．3C ．5D ．7【正确答案】C【分析】根据根式的性质求出x ，y ，即可得解.【详解】解：因为正数x ，y 满足38x =，4y 81=，所以2x =，3y ==，所以235x y +=+=；故选：C2．若集合{4},{31}M x N x x ==≥∣，则M N ⋂=（）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【正确答案】D【分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.【详解】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D3．不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件是（）A ．{3,4}x ∈B ．0x ≥C ．1x ≥D ．02x ≤≤【正确答案】A【分析】解指数不等式，根据选项是条件的充分不必要条件来判断即可.【详解】不等式34270x x +-+≥可以化简为：()228270,x x -⋅+≥解得27x ≥或21x ≤，则2log 7x ≥或0x ≤，所以满足条件则选项为A.故选：A4．已知2x >，则42x x +-的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【正确答案】D【分析】由于2x >，所以20x ->，构造基本不等式即可解决问题.【详解】2x > ，20x ∴->44(2)22622x x x x ∴+=-++≥=--，当且仅当422x x -=-，即=4x 时取等号，故选：D.5．下列结论正确的是（）A ．若ac bc >，则a b>B ．若22a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D <，则a b>【正确答案】C【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.【详解】A 选项，ac bc >，如()()()()2111-⨯->-⨯-，而21-<-，所以A 选项错误.B 选项，22a b >，如()2210->，而10-<，所以B 选项错误.C 选项，,0,0a b a b c >-><，则()0ac bc a b c -=-<，所以ac bc <，所以C 选项正确.D <<12<，所以D 选项错误.故选：C 6．函数()()2212xf x x x=-+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】分析函数()f x 的奇偶性，利用基本不等式结合排除法可得出合适的选项.【详解】()()2222112xxf x x x x==+-+，该函数的定义域为R ，()()()222211xxf x f x x x -=-=--+-+，则函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，当0x >时，()2220111x f x x x x <==++，当且仅当1x =时，等号成立，排除A 选项.故选：C.7．已知()f x 是定义域为(,)∞∞-+的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50【正确答案】C【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++ ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴= ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++== ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．8．已知函数()f x ､()g x 是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()22f x g x ax x +=-+，若对于任意1212x x <<<，都有()()12124g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A ．(][),10,-∞-⋃+∞B ．()0,∞+C ．[)1,-+∞D ．[)1,0-【正确答案】C【分析】由函数的奇偶性可得()()()(),f x f x g x g x -=--=，从而可求得函数()g x 的解析式，再根据()()12124g x g x x x ->--，可得()()112212440g x x g x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+⎣⎦⎣⎦>-，令()()2442h x g x x ax x =+=++，则函数()h x 在()1,2上递增，再根据函数的单调性分0a =和0a ≠结合二次函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=--=，又()()22f x g x ax x +=-+，则()()()()22f x g x f x g x ax x -+-=-+=++，两式相加可得()22g x ax =+，若对于任意1212x x <<<，都有()()12124g x g x x x ->--，可变形为()()112212440g x x g x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+⎣⎦⎣⎦>-，令()()2442h x g x x ax x =+=++，则函数()h x 在()1,2上递增，当0a =时，()42h x x =+在()1,2上递增，符合题意，当0a ≠时，则函数()242h x ax x =++为二次函数，对称轴为2x a=-，因为函数()h x 在()1,2上递增，所以021a a>⎧⎪⎨-≤⎪⎩或022a a <⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得0a >或10a -≤<，综上所述，[)1,a ∈-+∞.故选：C.二、多选题9．（多选）下列关系中，正确的是（）．A ．14+∈R BQC ．3-∈NDZ【正确答案】AB【分析】根据各数集的概念直接判断即可.【详解】14+∈R ，故A正确；Q ，故B 正确；N 为自然数集，所以3-∉N ，故C错误；Z ，故D 错误；故选：AB ．10．与不等式220x x -+>的解集相同的不等式有（）A ．220x x --<+B ．22320x x -+>C ．230x x -+≥D ．220x x +->【正确答案】ABC【分析】不等式220x x -+>的解集为R ，再求出各个选项的不等式的解，即得解.【详解】解：因为2(1)4270∆=--⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式220x x -+>的解集为R ，A.14(1)(2)70∆=-⨯--=-<，二次函数的图象开口朝下，所以220x x --<+的解集为R ；B.2(3)42270∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式22320x x -+>的解集为R ；C.2(1)413110∆=--⨯⨯=-<，二次函数的图象开口朝上，所以不等式230x x -+≥的解集为R ；D.220x x +->，所以(2)(1)0,1x x x +->∴>或<2x -，与已知不符.故选：ABC11．已知0,0a b >>，且4a b +=.则下列不等式恒成立的是（）A ．228a b +≥B 2≥C ．114ab ≥D ．111a b+≤【正确答案】AC【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】当1,3a b ==112,1a b<+>，所以BD 选项错误.A ，()22282a b a b++≥=，当且仅当2a b ==时，等号成立，A 正确.C ，2042a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，114ab ≥，当且仅当2a b ==时，等号成立，C 正确.故选：AC12．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数2()||af x x x =+（a R ∈）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】BCD【分析】由函数的性质按照0a =、0a >、a<0分类，结合函数图象的特征即可得解.【详解】函数2()||a f x x x =+的定义域为{}0x x ≠，且()()2()||a f x x f x x -=-+=-，所以该函数为偶函数，下面只讨论()0,x ∈+∞时的情况：2(),0a f x x xx =+>，当0a =时，2()f x x =，图象为B ；当0a >时，2222()x x x a a a f x x x =+=++≥=，图象为D ；若a<0时，函数2(),0a f x x xx =+>单调递增，图象为C ；所以函数的图象可能为BCD.故选：BCD.三、填空题13．函数1()f x x=+的定义域为________．【正确答案】(,0)(0,2]-∞ 【分析】根据题意列关于x 的不等式组即可求解.【详解】由题要使得()f x 有意义，则20x x -≥⎧⎨≠⎩，故2x ≤且0x ≠，从而()f x 的定义域为(,0)(0,2]-∞ ，故答案为.(,0)(0,2]-∞14．已知三个不等式：①0ab >，②c da b>，③bc ad >，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．【正确答案】3【分析】根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.【详解】由不等式性质，得000ab ab bc ad c d bc ada b ab>>⎧⎧⎪⎪⇒⇒>-⎨⎨>>⎪⎪⎩⎩；0ab c d bc ad a b >⎧⇒>⎨>⎩；00c dbc adab a b abbc adbc ad-⎧⎧>>⎪⎪⇒⇒>⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩．故可组成3个真命题．故3.15．已知,x y 为正实数，则162yxx x y ++的最小值为__________．【正确答案】6【分析】将原式变形为162y y x x ++，结合基本不等式即可求得最值.【详解】由题得162y x x x y+=+162y y x x++，设(0)y t t x=>，则1616()22282622f t t t t t =+=++-≥=-=++.当且仅当2t =时取等.所以162yxx x y ++的最小值为6.故616．函数()()21(2)12ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】根据函数单调性定义，即可求得实数a 的取值范围．【详解】因为函数()()21(2)12ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递减函数所以满足012242121a a a <⎧⎪⎪-≤⎨⎪⎪+-≤-+⎩解不等式组可得12a ≤-即1,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦所以选A本题考查了分段函数单调性的应用，根据函数单调性求参数的取值范围，属于中档题．四、解答题17．化简求值(1)计算下列式子的值：22.531050.008π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(2)若1004,1025a b ==，求2a b +的值．【正确答案】(1)52(2)2【分析】（1）根据分数指数幂的运算公式，化简求值；（2）根据指对互化，再根据对数运算法则，化简求值.【详解】（1）22.53150.008π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()1521523330.00810.00812⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭=-=--1313131515252--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦55522=-=（2）因为1004,1025a b ==，所以100log 4lg 2a ==，lg 252lg 5b ==，所以22lg 22lg 52lg102a b +=+==.18．设函数2()(2)3f x ax b x =+-+．(1)若不等式()0f x >的解集为()1,1-，求实数,a b 的值；(2)若()10f =，且∀x ∈R ，使()4f x <成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)32a b =-⎧⎨=⎩(2)()9,1--【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得；（2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.【详解】（1）由题意可知：方程()2230ax b x +-+=的两根是1-，1所以21103(1)11b a a-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩解得32a b =-⎧⎨=⎩（2）由()10f =得1b a =--∀x ∈R ，()4f x <成立，即使()2210ax b x +--<恒成立，又因为1b a =--，代入上式可得()2310ax a x -+-<恒成立．当0a =时，显然上式不恒成立；当0a ≠时，要使()2310ax a x -+-<恒成立所以()20Δ340a a a <⎧⎪⎨=++<⎪⎩，解得91a -<<-综上可知a 的取值范围是()9,1--．19．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且2210,040901945010000,40x ax x R x x x x ⎧+≤<⎪=⎨-+≥⎪⎩.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R =4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.(1)求2022年该企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式；(2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【正确答案】(1)2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元【分析】（1）由题意可知10x =时，R =4000，代入函数中可求出a ，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式，（2）分别当040x ≤<和40x ≥求出函数的最大值，比较即可得答案【详解】（1）由题意知，当10x =时，()21010104000R x a =⨯+=，所以a =300.当040x ≤<时，()229001030026010600260W x x x x x =-+-=-+-；当40x ≥时，22901945010000919010000900260x x x x W x x x -+-+-=--=.所以2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩，（2）当040x ≤<时，()210308740W x =--+，所以当30x =时，W 有最大值，最大值为8740；当40x ≥时，10000919091908990W x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=，即x =100时，W 有最大值，最大值为8990.因为87408990<，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.20．已知函数()()221x x af x a +=∈-R 为奇函数.(1)判断()f x 在()0,∞+上的单调性并用函数单调性的定义证明；(2)若存在1x ，()2210x x x >>，使得()f x 在[]12,x x 上的值域为2111,2121x x mm ++⎡⎤⎢⎥--⎣⎦，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)单调递减，证明见解析(2)()9,+∞【分析】（1）根据()f x 为奇函数，求出a ，然后利用单调性的定义法证明即可.（2）根据()f x 在()0,∞+上是减函数，得到1212121xx x m ++=--在()0,∞+上有两解，取()210xt t =->，化简得到()22520t m t +-+=在()0,∞+上有两解，最后利用数形结合即可求解.【详解】（1）()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为()221x x a f x +=-为奇函数，所以()()221221*********x x x x x x x x a a a a f x f x a --+++⋅+-+=+=+=-=----，所以1a =，()21212121x x x f x +==+--在()0,∞+上单调递减证明如下：任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，则21221x x >>，则()()()()()22111212222221121212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭因为1210x ->，2210x ->，21220x x ->，故()()()()()21121222202121x x x x f x f x --=>--，所以()()12f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上单调递减（2）由（1）知()f x 在()0,∞+上是减函数，所以()f x 在[]12,x x 上的值域为()()21,f x f x ⎡⎤⎣⎦，所以2221111121,212121,2121x x x x x x m m ++⎧+=⎪⎪--⎨+⎪=⎪--⎩所以1212121x x x m ++=--在()0,∞+上有两解所以()()()22121210x x x m ⨯-+--=在()0,∞+上有两解，令()210x t t =->，则关于t 的方程()()2120t t mt ++-=在()0,∞+上有两解，即()22520t m t +-+=在()0,∞+上有两解，所以()250,4Δ5160,m m -⎧>⎪⎨⎪=-->⎩解得9m >，所以实数m 的取值范围为()9,+∞.方法点睛：利用定义法进行证明函数单调性，一定要注意解题步骤：（1）设元；（2）作差；（3）化简；（4）判号；（5）结论，其中的判号这一步骤，尽可能化简成因式分解的形态进行判断.。
2022-2023学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩（∁U B ）＝（ ） A ．{1，4}B ．{1，5}C ．{4，5}D ．{1，4，5}2．命题“∃x ＞0，x 2＞x 3”的否定是（ ） A ．∀x ＞0，x 2≤x 3B ．∀x ≤0，x 2≤x 3C ．∃x ＞0，x 2≤x 3D ．∃x ≤0，x 2≤x 33．下列函数与f （x ）＝x +1是同一个函数的是（ ） A ．g(x)=x 2−1x−1 B ．g(x)=√x 33+1 C ．g(x)=(√x)2+1D ．g(x)=√x 2+14．若a ，b ∈R ，则“a 2+b 2≤8”是“ab ≤4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．“在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）A ．f(x)=1x 2+1 B ．f(x)=1|x−1|C ．f(x)=1x 2−1D ．f(x)=1||x|−1|6．已知函数f(x)=√ax 2−2x −5a +8对任意两个不相等的实数x 1，x 2∈[2，+∞），都有不等式f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．(0，12]C ．[12，4]D ．[12，+∞)7．设函数f(x)=a(3x −3−x)+2x 2−3bx+2x 2+1，若f （1）＝15，则f （﹣1）的值为（ ）A ．﹣9B ．﹣11C ．﹣13D ．﹣158．已知奇函数f （x ）在R 上单调递增，对∀a ∈[﹣2，2]，关于x 的不等式f(a)+f(x 2+ax+b)x＞0在x ∈[﹣2，0）∪（0，2]上有解，则实数b 的取值范围为（ ） A ．b ＞2或b ＜﹣1B ．b ＜﹣6或b ＞3C ．﹣1＜b ＜3D ．b ＜﹣2或b ＞3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省高一上学期期中数学试卷(理科)
浙江省高一上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合P={log2x4，3}，Q={x，y}，若P∩Q={2}，则P∪Q等于（）A . {2，3}B . {1，2，3}C . {1，﹣1，2，3}D . {2，3，x，y}2. （2分） (2016高三上·襄阳期中) 设函数f（x）=ln（2+x）+ln（2﹣x），则f（x）是（）A . 奇函数，且在（0，2）上是增函数B . 奇函数，且在（0，2）上是减函数C . 偶函数，且在（0，2）上是增函数D . 偶函数，且在（0，2）上是减函数3. （2分）(2018·安徽模拟) 函数在区间上的零点个数为（）A . 5B . 4C . 3D . 24. （2分）(2019·巢湖模拟) 函数的部分图象符合的是A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·河南期中) 在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间内，则下一步可断定该根所在的区间为（）A . （1.8，2）B . （1.5，2）C . （1，1.5）D . （1，1.2）6. （2分） (2016高一上·金华期中) 设，则使y=xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a值的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2016高二下·无为期中) 下列式子中成立的是（）A . log 4＜log 6B . （）0.3＞（）0.3C . （） 3.4＜（） 3.5D . log32＞log238. （2分） (2019高一上·兰州期中) 已知函数（是常数，且）在区间上有最大值3，最小值，则的值是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一上·揭阳期中) 已知f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值和最小值之和为12，则a的值为（）A . 3B . 4C . ﹣4D . ﹣4或310. （2分） (2019高三上·富平月考) 对于一个声强为为（单位：）的声波，其声强级（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强），设声强为时的声强级为70 ，声强为时的声强级为60 ，则是的（）倍A . 10B .C .D .11. （2分）“”是“函数在区间内单调递增”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分） (2018高二下·定远期末) 若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|0<y≤1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2019高一上·河南月考) 已知函数的定义域、值域都是，则 ________．14. （1分） (2019高一上·宾县月考) 的增区间是________.15. （2分） (2019高一下·温州期末) 已知，则 ________；的最小值为________.16. （1分）(2020·江苏模拟) 根据如图所示的伪代码，若输入的x的值为2，则输出的y的值为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高一上·南京期中) 若全集，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.18. （10分） (2016高一上·济南期中) 设定义在[﹣2，2]上的奇函数f（x）=x5+x3+b（1）求b值；（2）若f（x）在[0，2]上单调递增，且f（m）+f（m﹣1）＞0，求实数m的取值范围．19. （10分） (2015高三上·滨州期末) 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30，t∈N*）的旅游人数f（t）（单位：万人）近似地满足f（t）=4+ ，而人均日消费俄g（t）（单位：元）近似地满足g（t）= ．（1）试求所有游客在该城市旅游的日消费总额W（t）（单位：万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N*）的函数表达式；（2）求所有游客在该城市旅游的日消费总额的最小值．20. （5分） (2016高一上·武邑期中) 心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力，x表示讲授概念的时间（单位：min），可有以下的关系：f（x）=（Ⅰ）开讲后第5min与开讲后第20min比较，学生的接受能力何时更强一些？（Ⅱ）开讲后多少min学生的接受能力最强？能维持多少时间？（Ⅲ）若一个新数学概念需要55以上（包括55）的接受能力以及13min时间，那么老师能否在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念？21. （10分） (2016高一上·金华期中) 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图像的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．22. （10分）已知函数f（x）=x+ （a为非零实数）（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）当a=4时，①用定义证明f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；②写出f（x）在（﹣∞，0）的单调区间（不用加以证明）。
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浙江省杭州市高一上学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2018高一上·和平期中) 设全集 2，3，，，则等于
A .
B .
C . 4，5，
D . 2，3，4，5，
2. （2分） (2016高一上·宝安期中) 已知函数f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣ ]=2，则f（2016）=（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2018高一上·宁波期中) 设函数，则的表达式为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2020高三上·郑州月考) 函数在上的图象大致为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2019高二上·泊头月考) 若函数f(x)＝2x3－9x2＋12x－a恰好有两个不同的零点，则a可能的值为（）
A . 4
B . 6
C . 7
D . 8
6. （2分） (2016高一上·兴国期中) 函数y=（m2+2m﹣2）x 是幂函数，则m=（）
A . 1
B . ﹣3
C . ﹣3或1
D . 2
7. （2分） (2016高一上·西安期中) 设a=log2 ，b=30.01 ， c=ln ，则（）
A . c＜a＜b
B . a＜b＜c
C . a＜c＜b
D . b＜a＜c
8. （2分） (2019高一上·合肥月考) 函数的单调减区间为（）
B .
C .
D .
9. （2分） (2019高一上·集宁期中) 设，，，则、、的大小顺序为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）
A . a＜b＜c
B . c＜a＜b
C . a＜c＜b
D . c＜b＜a
11. （2分）函数满足对任意，都有，则a的取值范围（）
A .
B .
D .
12. （2分） (2019高二下·揭阳期末) 已知，，，（e为自然对数的底）则a，b，c的大小关系为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分） (2017高一上·昌平期末) 函数的定义域是________．
14. （1分）设f（x）= ，则f（）+f（）+…+f（）=________．
15. （1分） (2016高一上·高青期中) 已知函数f（x）=x2+4mx+n在区间[2，6]上是减函数，求实数m的取值范围________
16. （2分） (2016高一上·金华期中) 已知函数f（x）= 满足对任意x1≠x2 ，都有
＜0成立，则函数f（x）是单调________函数，a的取值范围是________．
三、解答题 (共6题；共65分)
17. （5分）已知集合A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2m+1＜x＜m}，全集为实数集R．
（1）若m=5，求A∪B，（∁RA）∩B；
（2）若A∩B=A，求m的取值范围．
18. （15分） (2017高一上·定远期中) 函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1 ，x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f（4）=1，f（x﹣1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．
19. （10分） (2020高一下·大丰期中) 如图，是半径为2，圆心角为的扇形，点A在弧上（异于点P，Q），过点A作，垂足分别为B，C，记，四边形的面积为S．
（1）求S关于的函数关系式；
（2）当为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．
20. （15分） (2019高一上·陕西期中) 已知函数 .
（1）画出图象并直接写出单调区间；
（2）证明：；
（3）不等式，对任意恒成立，求实数的取值范围.
21. （5分） (2019高一上·长春期中) 若关于的不等式对一切实数都成立，求实数的取值范围.
22. （15分） (2018高一上·慈溪期中) 已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并证明在上的单调性；
（3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、
考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共65分)
答案：17-1、考点：
解析：
答案：18-1、答案：18-2、
答案：18-3、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、答案：20-2、
答案：20-3、考点：
解析：
答案：21-1、考点：
解析：
答案：22-1、答案：22-2、
答案：22-3、考点：
解析：。