2.点的集合(1)
高中数学第1章预备知识1集合1-2集合的基本关系北师大版必修第一册
当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.
2-3 ≥ -5,
由已知 B⊆A,则
解得-1≤a≤4.
-2 ≤ 2,
又因为a<1,所以实数a的取值范围为[-1,1).
综上,实数a的取值范围为[-1,+∞).
变式探究(1)例4(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值
变式训练 3 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B= x
1
- <x≤2
2
,若 A=B,
则实数 a 的值为( C )
A.0
1
B.-2
C.2
D.5
解析 A={x|-1<ax≤4},若 A=B,则需 a>0,则
得 a=2.
1
4
1 1
4
A={x|- <x≤ },所以- =- ,且 =2,
2
A={x|x是四边形},B={x|x是平行四边形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}.
解 (1)A⫋B.(2)B⫋A.(3)A=B.
重难探究·能力素养全提升
探究点一
写出给定集合的子集
【例1】 (1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;
解 集合{a,b,c,d}所有的子集为:
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.理解集合之间包含与相等的含义.
课程标准
2.能识别给定集合的子集.
3.会判断两个集合间的基本关系.
基础落实·必备知识全过关
完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题
完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题高一数学必修第一章集合1.集合的概念集合是指一定范围内、确定的、可区别的事物，将其作为一个整体来看待，就叫做集合，简称集。
其中的各事物叫作集合的元素或简称元。
集合的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性。
确定性指元素是明确的，如世界上最高的山。
互异性指元素是不同的，如由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}。
无序性指元素的排列顺序不影响集合的本质，如{a,b,c}和{a,c,b}是同一个集合。
集合可以用大括号{…}表示，如{我校的篮球队员}、{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。
集合也可以用拉丁字母表示，如A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}。
集合的表示方法有列举法和描述法。
常用的数集及其记法有：非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。
2.集合间的关系集合间有包含关系和相等关系。
包含关系又称为“子集”，表示一个集合的所有元素都属于另一个集合。
如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。
如果A和B是同一集合，则称A是B的子集，记作A⊆B。
反之，如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含于集合A，则记作A⊈B或B⊈A。
相等关系表示两个集合的元素完全相同，记作A=B。
真子集是指如果A⊆B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）。
如果XXX且B⊆C，则A⊆C。
如果XXX且B⊆A，则A=B。
空集是不含任何元素的集合，记为Φ。
规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
3.集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。
交集是由所有属于A 且属于B的元素所组成的集合，记作A∩B。
并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B。
补集是由S中所有不属于A的元素所组成的集合，记作A的补集。
如果S是一个集合，A是S的一个子集，则A的补集为由S中所有不属于A的元素组成的集合。
高一数学集合知识点总结[1]
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高一数学集合知识点总结高一数学集合知识点总结一．知识归纳：1．集合的有关概念。
1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1）子集：若对x∈A都有x∈B，则AB （或AB）；2）真子集：AB且存在x0∈B但x0A；记为AB（或，且）3）交集：A∩B={x|x∈A 且x∈B}4）并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}5）补集：CUA={x|xA但x∈U}注意：①?A，若A≠?，则?A；②若，，则；③若且，则A=B（等集）3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、?的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。
4．有关子集的几个等价关系①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABCuACuB；④A∩CuB=空集CuAB；⑤CuA∪B=IAB。
5．交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A；③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB；6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
二．例题讲解：【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，则M,N,P满足关系A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM分析一：从判断元素的共性与区别入手。
集合(一、二)
1－2．集合【知识要点归纳】一、基础概念1.集合的定义一般地，指定的某些对象的全体称为集合，记作：A，B，C，D，…2.元素的定义集合中的每个对象叫做这个集合的元素，记作：a，b，c，d，…3.集合的三个特性: 、、4.集合的分类：根据集合中所含元素的个数来分: 、、5.常用数集：非负整数集（即自然数集）：有理数集正整数集实数集整数集二．集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。
2、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。
格式：{x∈A| P（x）}3、图示法：（1）数轴法：{x∈R|3<x<10}、{x∈R|3≤x<10}、{x∈R|3≤x≤10}（2）Venn图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
注：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.三．两种关系1.元素与集合的关系属于：a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作不属于：a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作2.集合与集合的关系说明： 1．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ，∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．2．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．四．集合的三种运算常用运算性质：1．A ∩A ＝ ，A ∩∅＝ ，A ∩B B ∩A ，A ∪A ＝ ，A ∪∅＝ ，A ∪B B ∪A2．U A C A ⋂＝ ，U A C A ⋃＝ ，()U C C A = ． 3．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，4．A∪B＝A ⇔ ；A ∩B ＝A ⇔【经典例题】例1：设a,b 是非零实数，那么b b a a +可能取的值组成集合的元素是例2：用描述法分别表示（1）抛物线y=x 2上的点.（2）抛物线y=x 2上点的横坐标.（3）抛物线y=x 2上点的纵坐标.例3：已知集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且30a ≠.则A 中所有元素之和是（ ）（A ）120 （B ）112 （C ）92 （D ）84例4：已知集合8|6A x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，试求集合A 的所有子集.例5：有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅ ，且c a r d ()2A =，card()3B =.若集合X 满足X M ⊆，且A X ⊄，B X ⊄，则集合X 的个数是（ ）（A ）672（B ）640（C ）384（D ）352例6.设集合A={a |a =3n ＋2,n ∈Z}，集合B={b|b=3k －1,k ∈Z}，则集合A 、B 的关系是________．例7：已知集合A ={x |-2£x £5}，集合}12|{-≤≤=p x p x B ，若A B ⊆，求实数p 的取值范围。
【课件】第一单元集合与常用逻辑用语知识点复习课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第1章 集合与常用逻辑用语
N*
N
Z
Q
R
什么是集合？什么是元素？
“对象”
集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中
我看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号
等等，都可以看做对象。比如数、点、图形、多项式、方
程、函数、人等等、
“总体”
集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”
互异性
一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复
出现
无序性
集合中的元素排列没有顺序之分，只要某两个集合当中的元素相同，
那么它们就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是同样的集合
集合和元素怎么表示？它们之间有什么关系？
一般来说：
用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合
用小写拉丁字母, , …等表示元素
元素与集合的关系：
如果是是集合A的元素，那么就说属于集合A，记作∈A；
如果是不是集合A的元素，那么就说不属于集合A，记作∉A；
比如，3∈自然数集；4∉奇数集
常用的数集比如自然数集怎么表示？
【自然数集】全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集
【正整数集】全体正整数组成的集合，记作N*或N+；
y 2 ≥ 0”
【3】全称量词命题中一般含有全称量词，但是有些全称量词命题中的全称
量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如“平行四边形的对角
线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”
全称量词命题怎么判断真假？
要判断全称量词命题“∀x ∈ M, p x ”是真命题，需要对集合中每一个
苏教版(2019)必修第一册 1-1 集合的概念与表示 课件(37张)
这个集合中就确定了.
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.任何两个
相同的对象在同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.
（3）无序性：集合中的元素无先后顺序之分.
些对象的全体，而非个别对象.
【示例】中国古代四大发明组成一个集合，那么集合的元素就是造纸术、指南针、火药、印刷术.
二十一世纪中国有新四大发明：高铁、移动支付、共享单车和网购.这四大发明就组成了一个集合.
即时巩固
［多选题］下列所给对象能构成集合的是（AD）
A.平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点
B.《高中数学必修第一册》课本上的所有难题
两个集合相等，记作A＝B.
【提示】（1）两个集合相等时，其元素个数一定相等.
（2）当两个集合相等时，其元素不一定依次对应相同.
如：集合{1，2，3}与集合{3，2，1}相等.
（3）两个集合是否相等，不能只看形式.
如：不等式0<x<1的解集与不等式 0<y<1的解集是两个相等的集合.
三、集合的表示方法
，即
∈{
}.
2.常用数集及其记法（要牢记）
数学中一些常用的数集及其记法：
全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作N；
全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合，叫作整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合，叫作实数集，记作R.
【提示】（1）N比N*（或N+）多一个元素0；（2）N*中*在右上角，N+中+在右下角.
1.1.1集合的概念及其表示(一)
用列举法表示下列集合： 例１ 用列举法表示下列集合： (1) 小于 的所有自然数组成的集合； 小于10的所有自然数组成的集合 的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x 2 = x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合． 以内的所有质数组成的集合． ～ 以内的所有质数组成的集合
• 全体非负整数组成的集合称为自然数集，记为 Ｎ 全体非负整数组成的集合称为自然数集， • 所有正整数组成的集合称为正整数集，记为 N *或N + 所有正整数组成的集合称为正整数集， • 全体整数组成的集合称为整数集，记为 Ｚ 全体整数组成的集合称为整数集， • 全体有理数组成的集合称为有理数集，记为 Ｑ 全体有理数组成的集合称为有理数集， • 全体实数组成的集合称为实数集，记为 Ｒ 全体实数组成的集合称为实数集，
一般形式： 一般形式：{ x ∈ A x满足的条件}
说明： 1、不能出现未被说明的字母； 说明： 、不能出现未被说明的字母； 2、多层描述时，准确使用“且”、“或”； 、多层描述时，准确使用“ 3、描述语言力求简明、准确； 、描述语言力求简明、准确； 4、多用于元素无限多个时。 、多用于元素无限多个时。
的所有自然数组成的集合为Ａ， 解：⑴设小于10的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 设小于 的所有自然数组成的集合为Ａ，那么 Ａ＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝. ｝ Ａ＝｛
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关， 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此 集合Ａ可以有不同的列举方法． 集合Ａ可以有不同的列举方法．例如 Ａ＝｛９ Ａ＝｛９,8,7,6,5,4,3,2,1,0｝. ｝
具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 具体方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 号及以取值(或变化 范围,再画一条竖线 或变化)范围 再画一条竖线,在竖线后写出这个 号及以取值 或变化 范围 再画一条竖线 在竖线后写出这个 集合中元素所具有的共同特征. 集合中元素所具有的共同特征
高中数学必修一课件：集合的概念(第1课时)
思考题 1 【多选题】下列每组对象的全体能构成集合的是( ACD )
A．《高考调研·必修Ⅰ》的作者 B．中国的大城市 C．直角坐标平面内第一象限的点 D．方程 x2－2＝0 在实数范围内的解
题型二 元素与集合的关系
例 2 用符号“∈”“∉”填空． (1)0___∈____N，－1____∉___N， 3___∉____N，12___∉____N； (2)－13___∉____Z， 2___∉____Q，π___∈____R； (3)5__∈_____Z，－11___∈____Q，－ 5___∈____R.
(2)B＝{－2，－1，0，1，2}． (3){2，3，5，7，11}．
题型四 集合中元素的性质 例 4 (1)集合{a，a2}中，实数 a 的取值范围是_____a≠_0_且_a_≠_1______． 【解析】 根据集合中元素的互异性得 a≠a2，即 a≠0 且 a≠1.
(2)已知 A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，求实数 a 的值． 【解析】 ∵－3∈A，∴a－2＝－3 或 2a2＋5a＝－3. ∴a＝－1 或 a＝－32.但 a＝－1 时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，与集合中元 素的互异性矛盾，∴a＝－32.
【解析】 若 A，B 表示同一个集合，则xy＝ ＝22， x 或xy＝＝22x，，即xy＝ ＝24，或xy＝ ＝02， .
课后巩固
1．判断对错(对的打“√”，错的打“×”)． (1)在一个集合中不能找到两个相同的元素．( √ ) (2)高中数学新教材人教 A 版第一册课本上的所有难题能组成集合．( × ) (3)由方程 x2－4＝0 和 x－2＝0 的根组成的集合中有 3 个元素．( × ) (4)由形如 x＝3k＋1(k∈Z)的数组成集合 A，则 1，－1，－11 这三个元素都 属于集合 A.( × )
通用版高中数学必修一集合常考点
(每日一练)通用版高中数学必修一集合常考点单选题1、已知集合A={1，2，3，5，7，11}，B={x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5答案：B解析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B={5,7,11}，故A∩B中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2、已知集合A={x|x2−1<0}，B={x|0<x<2}，则A∩B=（）A．(−1,1)B．(−1,0)C．(0,1)D．(1,2)答案：C解析：解一元二次不等式化简集合A，再进行交运算，即可得答案；因为A={x|x2−1<0}=(−1,1)，∴A∩B=(0,1).故选：C.小提示：本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，求解时注意一元二次不等式的求解.3、已知全集U={−2,−1,0,1,2}，集合M={x|x2−x−2<0,x∈N}，则∁U M=（）A．{−2,1,2}B．{−2,−1,2}C．{−2}D．{2}答案：B解析：根据题意，求出集合M，进而可得∁U M.由题意得，M={0,1}，故∁U M={−2,−1,2}.故选：B.解答题4、设P表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？(1){P|PA=PB}(A,B是两个不同定点)；(2){P|PO=3cm}(O是定点)答案：(1)线段AB的垂直平分线；(2)以点O为圆心,3cm长为半径的圆.解析：(1)PA=PB指平面内到A,B距离相等的点的集合；(2)PO=3cm指平面内到定点O的距离为3cm的点的集合．(1) PA=PB指平面内到A,B距离相等的点的集合，这样的点在线段AB的垂直平分线上，即集合的点组成的图形是线段AB的垂直平分线；(2) PO=3cm指平面内到定点O的距离为3cm的点的集合，这样的点在以O为圆心，以3cm为半径的圆上，即集合的点组成的图形是以点O为圆心,3cm长为半径的圆．小提示：本题考查描述法表示集合，是基础题．5、在①B ⊆(∁R A )，②(∁R A )∪B =R ，③A ∩B =B 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若问题中的实数a 不存在，请说明理由. 已知集合A ={x |x 2−5x +4≤0}，B ={x |a +1<x <2a −1}，是否存在实数a ，使得________？ 答案：答案见解析.解析：若选①：求出∁R A ，分B =∅和B ≠∅两种情况，列出不等式组可得答案； 若选②：由(∁R A )∪B =R ，得B ≠∅，列出不等式组可得答案；若选③：由A ∩B =B 可知B ⊆A ，分B =∅和B ≠∅列出不等式组可得答案. 集合A ={x |x 2−5x +4≤0}={x |1≤x ≤4}.若选①：∁R A ={x |x <1或x >4}，由B ⊆(∁R A )得，当B =∅时，a +1≥2a −1，解得a ≤2；当B ≠∅时，{a +1<2a −12a −1≤1 或{a +1<2a −1a +1≥4， 解得a ∈∅或a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3,+∞).综上，存在实数a ，使得B ⊆(∁R A )，且a 的取值范围为(−∞,2]∪[3,+∞).若选②：∁R A ={x |x <1或x >4}，由(∁R A )∪B =R ，得B ≠∅，所以{2a −1>4a +1<1，解得a ∈∅， 所以不存在实数a ，使得(∁R A )∪B =R . 若选③：由A ∩B =B 可知B ⊆A ，当B =∅时，a +1≥2a −1，解得a ≤2；当B ≠∅时，{a +1<2a −1a +1≥12a −1≤4，解得2<a ≤52. 综上，存在实数a ，使得A ∩B =B ，且a 的取值范围为(−∞,52]. 小提示：本题考查了集合的运算，解题关键点是对于B ⊆(∁R A )和(∁R A )∪B =R 中含有参数的集合要分情况进行讨论，要熟练掌握集合间的基本运算.。
高一数学新人教B版必修1教学课件：第1章 集合 1.1.2 集合的表示方法.ppt
• 1．表示集合的方法常用___描__述__法_、___列__举__法_、____维__恩__图__法． • 2．把集合中元素的___公__共__属__性_描述出来，写在大括号内表示集合的方法叫描
述法．描述法有两种形式： • (1)一般形式：{x∈A|p(x)}．例如：不大于100的自然数构成的集合可表示为
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}． • (2)方程x2＝x的实数根为0,1，设方程x2＝x的所有实数根构成的集合为B，则B
＝{0,1}． • (3)设由1～20的所有质数构成的集合为C，则C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
『规律方法』 对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在 明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，” 而不是用“、”隔开；②元素不能重复．
• 3．如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集 合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个__________．于 是，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}．它表示特集征合性A质是由集合I 中具有性质p(x)的所有元素构成的．
A．0∈A
B．2∉A
C．－2∈A
D．0∉A
• [解析] ∵A＝{x|x(x－2)＝0}＝{0,2}，∴0∈A,2∈A，－2∉A，故选A．
3．直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合为@ziyuanku (
A．{0,1}
B．{(0,1)}
C．{－12，0}
D．{(－12，0)}
[解析] 由xy＝＝02x＋1 ，得xy＝ ＝01 ，故选 B．
(2)解方程组2x－x＋y＝y＝18 ，得xy＝ ＝32 .
高三一轮复习集合知识点和题型
第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念知识点1.元素和集合的概念元素：一般地，我们把研究对象统称为元素集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。
集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。
知识点2.集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，它的元素必须是确定的。
设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．（2）互异性： 给定一个集合，它的任意两个元素是互不相同的。
也就是说集合中的元素是不重复出现的。
集合中相同的元素只能算是一个。
（3）无序性：集合中的元素是不分先后顺序的．知识点3.元素与集合的关系一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。
特别注意：（1）集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的；（2）元素与集合之间不存在大小与相等的关系，只存在属于或不属于的关系。
如2与{}3，只能是{}23∉，不能写成{}23≠。
知识点4.集合的第一种表示方法自然语言和常用数集及记法上面举的例子：中国的直辖市组成的集合。
还比如：地球上的四大洋组成的集合；小于10的所有自然数组成的集合等等我们是可以用自然语言表示一个集合。
数学中有一些常用数集，就是自然语言表示的， 这些常用数集及记法如下： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N 。
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N 。
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z 。
（4）全体有理数数组成的集合称为有理数集，记作Q 。
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R 。
知识点5.集合的表示方法 （1）自然语言 （2）列举法列举法概念：像这样把集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来表示集合的方法叫做列举法。
高一数学必修1集合知识点总结
高一数学必修1集合知识点总结集合的含义与表示知识点总结一、课标要求《课程标准》对本课内容的要求是:能够了解集合的含义,知道常用数集的表示方法,了解集合元素的三个性质,会用适当的方法表示集合.集合知识是整个高中学习的基础,使学生掌握和使用数学语言表述数学问题的基础.通过学习集合知识,可以使学生更好的理解数学中的集合语言,可以使学生逐步运用集合的观点和思想分析数学问题.二、本节知识要点（1）集合的含义与表示;（2）元素与集合之间的关系与表示;（3）集合元素的三个基本性质;（4）常用数集的表示;（5）集合的两种表示方法（列举法和描述法）;（6）集合的分类.三、集合的含义与表示一般地,指定的某些对象的全体称为集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合用大写字母来表示,集合的元素与小写字母来来表示.四、元素与集合之间的关系与表示a a元素与集合之间是从属关系:若元素在集合A中,就说元素属于集合A,记作;若元素不在集合A中,则称元素不属于集合A,记作.a∉a∈a a A A要求会判断元素与集合之间的从属关系.五、集合元素的三个基本性质集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.确定性给定一个集合,它的的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合,也就确定了.互异性给定一个集合,它的元素是互不相同的.即同一个集合中的元素不能重复出现.在用列举法表示集合时,相同的元素算作集合的一个元素.无序性 集合中的元素是没有顺序的.如果构成两个集合的元素是相同的,那么就称这两个集合相等.六、常用数集的表示自然数集N ; 正整数集N +或N *; 整数集Z ; 有理数集Q ; 实数集R .七、集合的两种表示方法集合有两种常用表示方法,即列举法和描述法.此外还有韦恩图法（Venn 图法）.列举法把集合的元素一一列举出来,并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做列举{}法.用列举法表示集合时要注意以下几点:（1）元素之间必须用逗号隔开;（2）元素不能重复（即集合的元素要满足互异性）;（3）元素之间无先后顺序（集合的元素具有无序性）;（4）表示有规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才可以使用省略号,如﹛1 , 2 , 3 , … ﹜;（5）注意与的表示是有区别的:表示的是一个元素,表示的是只有一个a {}a a {}a 元素的集合.二者具有从属关系,及.a a A ∈ 列举法常用来表示有限集或有规律的无限集.描述法定义 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.记作,(){}x P I x ∈其中为集合的代表元素,I 表示元素的取值范围,表示集合的元素所具有x x ()x P 的共同特征.第二定义 用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法,称为描述法.注意:“共同特征”或“确定的条件”可以说是方程,也可以是不等式（组）等.如集合,集合.{}0322=--=x x x A {}062<-=x x B 用描述法表示集合时要注意以下几点:（1）写清集合中的代表元素,如实数或有序实数对,从而正确表示数集和点集;（2）用简洁准确的语言表示集合中元素的共同特征;（3）不能出现未被说明的字母,如集合中的未被说明,应正确表示{}n x Z x 2=∈n 为或;{}Z n n x Z x ∈=∈,2{}Z x n x x ∈=,2（4）元素的取值范围,从上、下文来看,如果是明确的,可以省略.如集合,也可以写作.{}02=+∈x x R x {}02=+x x x （5）出现多层描述时,应正确使用“或”、“且”、“非”等逻辑联结词;（6）所有描述的内容都要写在大括号内;（7）识别描述法表示的集合时,要看清代表元素,正确区分数集和点集.当集合所含元素较多或元素的共同特征不明显时,适合用描述法来表示集合.例1. 用两种方法表示二元一次方程组的解. ⎩⎨⎧=-=+152y x y x 注意:二元一次方程组的解是有序实数对,所以在表示二元一次方程组的解时,要表示为点集的形式.解:解二元一次方程组得: ⎩⎨⎧=-=+152y x y x ⎩⎨⎧==12y x 用列举法表示为,用描述法表示为. (){}1,2()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧==12,y x y x 提示:与表示的是两个不同的集合.(){}1,2(){}2,1例2. 指出集合与集合的区别.{}12-=x y x (){}12,-=x y y x 注意:区分数集和点集的关键在于代表元素.用描述法表示集合时记作,其(){}x P I x ∈中表示的就是代表元素,它可以是一个数字（数集）,也可以是有序实数对（点x 集）.解:集合表示的是一个数集,它表示函数解析式中自变量的{}12-=x y x 12-=x y 取值范围,所以R ;{}=-=12x y x 集合表示的是一个点集,它表示函数的图象上所有(){}12,-=x y y x 12-=x y点的坐标.例3. 用合适的方法表示下列集合:（1）文房四宝;（2）2019年9月3日,新乡市平原示范区所辖乡镇;（3）平面直角坐标系中,第二象限的点构成的集合.注意:在用描述法表示集合时,元素之间必须用逗号隔开,不要用错标点符号.点集的代表元素为有序实数对.解:（1）;{}砚纸墨笔,,,（2）;{}师寨镇桥北乡原武镇韩董庄乡祝楼乡,,,,（3）.(){}0,0,><y x y x 且例4. 分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）方程的所有实数根组成的集合;022=-x （2）由大于10小于15的所有整数组成的集合.注意:在用描述法表示集合时,代表元素的取值范围,如果从上、下文来看是明确的,可以省略.解:（1）列举法:;{}2,2-描述法:或.{}022=-∈x R x {}022=-x x （2）列举法:﹛11 , 12 , 13 , 14﹜;描述法:.{}1511<<∈x Z x 八、集合的分类集合按所含元素个数的多少可以分为有限集、无限集和空集含有有限个元素的集合叫做有限集.含无限个元素的集合叫做无限集. 不含任何元素的集合叫做空集,记作.∅ 如方程的实数根组成的集合就是一个空集,即012=+x {}012=+∈x R x .{}∅==+∈012x R x 九、重要结论:判断形如的方程的实数根的个数的方法是:02=++c bx ax（1）当时,方程可化为的形式:0=a 0=+c bx ①当时,方程有唯一一个实数根; 0≠b bc x -=②当时,方程有无数个实数根;0,0==c b ③当时,方程没有实数根;0,0≠=c b （2）当时,原方程为关于的一元二次方程:0≠a x ①若,则方程有两个不相等的实数根;042>-=∆ac b ②若,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数042=-=∆ac b 根组成的集合时,集合只有一个元素）;③若,则方程没有实数根.042<-=∆ac b 提示:在讨论集合元素的个数时,一定要注意分类讨论.例4. 已知集合.{}R a x ax R x A ∈=++∈=,0122（1）若A 中只有一个元素,求的值;a （2）若A 中至多有一个元素,求的取值范围.a 分析:先弄清楚集合A 的本质.集合A 是由方程的实数根组成的集0122=++x ax 合,该方程中含有参数,为含参方程.a （1）集合A 中只有一个元素,指的是方程只有一个实数根,该方0122=++x ax 程可以说一次方程,也可以是二次方程,注意分类讨论;()0=a ()0≠a （2）集合A 中至多有一个元素,指的是方程只有一个实数根或没0122=++x ax 有实数根.解:（1）当时,原方程可化为:,解之得:,集合,符合0=a 012=+x 21-=x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21A 题意;当时,∵只有一个实数根0≠a 0122=++x ax ∴,解之得:044=-=∆a 1=a 综上,当或时, A 中只有一个元素;0=a 1=a （2）当A 中只有一个元素时,由（1）可知:或;0=a 1=a 当A 中没有元素时,即方程没有实数根0122=++x ax ∴,解之得:044<-=∆a 1>a综上,当或≥1时,A 中至多有一个元素.0=a a 例5. 实数集A 满足条件:,若,则. A ∉1A a ∈A a ∈-11（1）若,求A ;A ∈2（2）集合A 能否为单元素集合?若能,求出A ;若不能,请说明理由;（3）求证:. A a∈-11分析:本题重点考查集合元素的三个基本性质:确定性、互异性和无序性. （1）解:∵, ∴ A ∈212≠A ∈-=-1211∵ ∴ 11,1≠-∈-A ()A ∈=--21111∵ ∴ 121,21≠∈A A ∈=-22111∴﹛2 , , ﹜; =A 1-21（2）解:A 不能为单元素集合.理由如下:若A 为单元素集合,则有,整理得: aa -=11012=+-a a ∵ ()031412<-=⨯--=∆∴方程没有实数根012=+-a a ∴A 不能为单元素集合;（3）证明:若,则 A a ∈A a ∈-11∴. A aa a a ∈-=-=--1111111习题1. 已知集合.{{}0232=+-=x ax x A （1）若A 为空集,求的取值范围;a （2）若A 中只有一个元素,求的值;a （3）若A 中至多有一个元素,求的取值范围.a集合间的基本关系知识点总结本节知识点（1）Venn 图,表示集合的图示法;（2）子集的含义及表示;（3）集合相等;（4）真子集的含义及表示;（5）空集的含义及其性质;（6）子集、真子集个数的确定.知识点一 Venn 图在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn 图（韦恩图）.这种表示集合的方法叫做图示法.关于Venn 图:（1）Venn 图的边界是封闭的曲线,它可以是椭圆、圆、矩形,也可以是其它的封闭曲线;（2）用Venn 图表示集合的优点是能直观地反映集合之间的关系,缺点是集合元素的共同特征不明显.知识点二 子集的含义及表示子集反映的是集合之间的包含关系.一般地,对于两个集合A , B ,如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作（或B A ⊆）,读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.A B ⊇对子集的理解:（1）的Venn 图表示:B A ⊆（2）的符号表述:对任意的,都有.B A ⊆A x ∈B x ∈（3）若集合A 中存在不属于集合B 的元素时,则集合A 不是集合B 的子集.子集的性质:（1）任何一个集合都是它本身的子集（包括后面的空集,即）;∅⊆∅（2）传递性:若,则.C B B A ⊆⊆,C A ⊆子集的应用根据集合之间的关系可以确定参数的值或取值范围.若,在未指明A 非空时,要分两种情况进行讨论:B A ⊆①;∅=A ②.∅≠A 知识点三 集合相等如果集合A 是集合B 的子集（）,且集合B 是集合A 的子集B A ⊆（）,此时集合A 与集合B 的元素是一样的,集合A 与集合B 相等,叫做A B ⊆.B A = 上面也即互为子集的两个集合相等.集合的符号表述:若,且,则.B A =B A ⊆A B ⊆B A =如何证明两个集合相等对于两个集合A , B ,若要证明,只需证明与均成立即可. B A =B A ⊆A B ⊆如何判断两个集合相等（1）当两个集合为有限集时,若两个集合的元素个数相同,且都含有相同的元素,则这两个集合相等.（2）当两个集合为无限集时,若两个集合的代表元素满足的条件一致,则两个集合相等.注意:集合相等与集合的形式无关,形式不同的两个集合也可以相等.如.{}{}2,130=<<∈x Z x 知识点四 真子集的含义及表示如果集合,但存在元素,且,我们称集合A 是集合B 的真子集,B A ⊆B x ∈A x ∉记作（或）,读作“A 真含于B ”（或“B 真包含A ”）.B A ≠⊂A B ≠⊃对真子集的理解:（1）的Venn 图表示:B A ≠⊂（2）的符号表述:若,且,则. B A ≠⊂B A ⊆B A ≠B A ≠⊂（3）若,则B 中至少存在一个A 中没有的元素.B A ≠⊂（4）规定是任何非空集合的真子集,即若,则.∅∅≠A A ≠⊂∅子集与真子集的关系若,则或.B A ⊆B A =B A ≠⊂知识点五 空集的含义及其性质不含任何元素的集合叫做空集,记作.∅空集的性质:（1）空集是任何集合的子集（包括空集）.（2）空集的只有一个子集,是空集,即它本身.（3）空集是任何非空集合的真子集,即若,则.∅≠A A ≠⊂∅重要提醒:在由集合间的关系确定参数的值或参数的取值范围时,注意对空集的讨论.知识点六 子集、真子集个数的确定若集合A 含有个元素,则集合A :n （1）含有个子集;n 2（2）含有个非空子集;12-n（3）含有个真子集;12-n （4）含有个非空真子集.22-n 知识点七 关于集合为空集的重要结论（1）若集合,则;{}∅=≤≤=n x m x A n m >（2）若集合,则≥;{}∅=<<=n x m x A m n （3）若集合或,则≥.{}∅=<≤=n x m x A {}∅=≤<=n x m x A m n 以上结论雅慧你要熟记在心,在解决由集合间的关系确定参数取值范围的问题时要会灵活运用,并注意分类讨论（如关于空集的讨论）.例1. 已知集合,,若,求实数的取{}41>-<=x x x A 或{}32+≤≤=a x a x B A B ⊆a 值范围.分析:这是一道由集合间的关系确定参数的取值范围的问题,注意数形结合思想和分类讨论思想的应用.因为,集合B 中含有参数,所以分为两种情况:①;②.对于A B ⊆∅=B ∅≠B 这种情况,要借助于数轴来完成对参数的约束,从而可以确定参数的取值∅≠B 范围.最后需要说明的是,参数的取值范围要表示成集合的形式.解:∵,,∴分为两种情况:A B ⊆{}32+≤≤=a x a x B ①当时,,解之得:;∅=B 32+>a a 3>a ②当时,则有:或,解之得:或≤3. ∅≠B ⎩⎨⎧-<++≤1332a a a ⎩⎨⎧>+≤4232a a a 4-<a a <2综上,实数的取值范围为. a {}24>-<a a a 或集合的基本运算知识点总结本节知识点:（1）并集. （2）交集. （3）全集与补集. （4）德·摩根定律.知识点一 并集自然语言 一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A与集合B 的并集,记作,读作“A 并B ”.B A 符号语言 .{}B x A x x B A ∈∈=或, 图形语言（用Venn 图表示并集） 图中阴影部分表示两个集合的并集.（1）A 与B 有公共元素,相互不包含（2）A 与B 没有公共部分（3） （4）B A ≠⊂A B ≠⊂（5）B A =对并集的理解（1）求两个集合的并集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A 或集合B 的元素组成的.（2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可.符号语言“”分为三种情况:B x A x ∈∈或,①,但; ②,但; ③,且.A x ∈B x ∉A x ∉B x ∈A x ∈B x ∈（3）根据集合元素的互异性,在求两个集合的并集时,两个集合中的公共元素在并集中只能出现一次.并集的性质性质说明A B B A =并集运算满足交换律()()C B A C B A =并集运算满足结合律A A =∅ 任何集合与空集的并集等于这个集合本身A A A = 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身若,则B B A = B A ⊆并集运算与子集关系的转化,()B A A ⊆()B A B ⊆任何集合都是该集合与另一个集合的并集求并集的方法（1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性.（2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.知识点二 交集自然语言 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B 的交集,记作,读作“A 交B ”.B A 符号语言 .{}B x A x x B A ∈∈=且, 图形语言（用Venn 图表示交集） 图中阴影部分表示两个集合的并集.如下页图所示.AA BB A B（1）A 与B 有部分公共元素（2）A 与B 无公共元素, ∅=B A（3）若,则（4）若,则（5）A B ≠⊂B B A = B A ≠⊂A B A = B A B A == 对交集的理解（1）求两个集合的交集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,及两个集合的公共元素所组成的集合. （2）交集概念中的“所有”二字不能省略,否则会漏掉一些元素,一定要将两个集合中的相同元素（公共元素）全部找出来.（3）当集合A 与集合B 没有公共元素时,不能说集合A 与集合B 没有交集,而是交集为空集,.交集的性质性质说明A B B A =交集运算满足交换律 ∅=∅ A 任何集合与空集的交集都是空集A A A = 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身()()C B A C B A =交集运算满足结合律()()()C B C A C B A =()()()C B C A C B A =满足分配律若,则A B A = B A ⊆交集运算与子集关系的转化()()B B A A B A ⊆⊆ ,两个集合的交集是其中任何一个集合的子集求交集的方法（1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素.（2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的解集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围.知识点三 全集与补集全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作U .补集 对于一个集合A ,由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集,简称集合A 的补集,记作C U A ,即C U A .{}A x U x x ∉∈=且,用Venn 图表示为:对补集的理解（1）补集是相对于全集而言的,求一个集合的补集,结果因全集的不同而不同.所以求补集前,要先明确全集.（2）补集既是集合间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算. （3）符号“C U A ”有三层意思: ① C U A ;{}A x U x x ∉∈=且,② C U A 是U 的一个子集,及(C U A ); U ⊆③ C U A 表示一个集合.补集的性质①(C U A ); ②(C U A ); ③ C U (C U A ); U A = ∅=A A =④ C U U ; ⑤ C U .∅=U =∅U4321B A 知识点四 德·摩根定律知识点五 重要结论如图所示,集合A , B 将全集U 分成了四部分,这四部分用集合表示如下: （1）①表示; B A （2）②表示(C U B ); A （3）③表示(C U A ); B （4）④表示(C U A )(C U B ).知识点六 集合中元素元素的个数若集合A 为有限集,则用card(A )表示集合A 中元素的个数. 如果集合A 中含有个元素,那么有card(A ). m m =（1）一般地,对于任意两个有限集合A , B ,有 card card(A )card(B )－card . ()=B A +()B A （2）一般地,对于任意三个有限集合A , B , C ,有card card(A )card(B )－card －card －card ＋ ()=C B A +()B A ()C A ()C B card .()C B A。
高1数学必修1集合间的基本关系知识点
高1数学集合间的基本关系知识点总结(一)集合知识点总结知识点包括集合的概念、集合元素的特性、集合的表示方法、常见的特殊集合、集合的分类和集合间的基本关系等知识点，除了集合的表示方法中的描述法较难理解，其它的都多是好理解的知识，只需加强记忆。
一、集合有关概念1、集合的含义2、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。
整数集Z (包括负整数、零和正整数) (4)有理数集Q (5)实数集R6、集合的分类： (1)有限集;(2)无限集;(3)空集。
二、集合间的基本关系1、子集2、真子集3、空集集合考法集合是学习函数的基础知识，在段考和高考中是必考内容。
在段考中多考查集合间的子集和真子集关系，在高考中也是不可少的考查内容，多以选择题和填空题的形式出现，经常出现在选择填空题的前几小题，难度不大。
主要与函数和方程、不等式联合考查的集合的表示方法和集合间的基本关系。
误区提醒2、集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3、集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。
4、集合的运算注意端点的取等问题。
最好是直接代入原题检验。
5、集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征，尤其是确定性和互异性。
在解题中，要注意把握与运用，例如在解答含有参数问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误。
【典型例题】高1数学集合间的基本关系知识点总结(二)集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种：1、子集概念：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作AB(或说A包含于B)，也可记为BA(B包含A)，此时说A是B的子集;A不是B的子集，记作AB，读作A不包含于B2、集合相等：对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B3、真子集：对于集合A与B，如果AB并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作，读作A真包含于B(B真包含A)集合间基本关系：性质1：(1)空集是任何集合的子集，即A;(2)空集是任何非空集合的真子集;(3)传递性：AB，BCAC;AB，BCAC;(4)AB，BAA=B。
集合一
第1讲 集合及其表示1.集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集），常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2.常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N ，{} ,2,1,0=N ； （2）正整数集：非负整数集内除0的集合.记作N *或N +，{}*1,2,3,N = ；（3）整数集：全体整数的集合.记作Z,{} ，，，210±±=Z ； （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q ,{}整数与分数=Q ；（5）实数集：全体实数的集合.记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R ； 3.元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4.集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准，给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，二者居其一而且只居其一.不能模棱两可；（2）互异性：集合中的元素没有重复；（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）. 5.集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合； 如：{}6,4,8A =，{}B =刘，世，华，{}C =刘，思，法…（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法，格式：{x ∈A|P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合； 如：{}x R 2x-30∈≥…（3）文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法. 点拨：{}21A x y x ==-，{}21B y y x ==-，(){}2,1C x y y x ==-是互不相同的集合.6.按元素的多少，集合可分为以下三类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x点拨：注意Φ，0，{}0三者的区别与联系.三【典例精析】例1.下列语句能确定是一个集合的是 （要简述理由）（1）著名的科学家：（2）留长发的女生；（3）不超过π的正整数；（4）视力差的男生：（5）本班中成绩好的同学；（6）高一数学课本中所有的简单题；（7）平方后等于自身的数． 例2.下列对象能否组成集合：（1）所有小于10的自然数；（2）某班个子高的同学； （3）方程210x -=的所有解；（4）不等式20x ->的所有解． 例3.由实数,,x x x -,332,x x -所组成的集合中，最多含几个元素？例4.用描述法表示下列集合：（1）{1，4，7，10，13}； （2）{-2，-4，-6，-8，-10}；（3）所有奇数组成的集合； （4）坐标平面内到两坐标轴的距离相等的点组成的集合.例5.用列举法表示下列集合（1）{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}； （2）⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ；（3）},)1(|{N n x x n ∈-=； （4）},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+；（5）设a,b 是非零实数，那么bb aa +可能取的值组成集合.例6. 用符号“∈”或“∉”填空：（1）−3 N ，0.5 N ，3 N ； （2）1.5 Z ，−5 Z ，3 Z ； （3）−0.2 Q ，π Q ，7.21 Q ； （4）1.5 R ，−1.2 R ，π R ．例7.设集合A=（x,y,x+y ）,B=(0,2x ，xy)且A=B ，求实数x ，y 的值例8. 指出下列各集合中，哪个集合是空集？（1）方程210x +=的解集； （2）方程22x +=的解集．例9 用列举法表示下列集合：（1）由大于4-且小于12的所有偶数组成的集合； （2）方程2560x x --=的解集．例10 用描述法表示下列各集合： （1）不等式210x +…的解集； （2）所有奇数组成的集合；（3）由第一象限所有的点组成的集合．例11．用列举法表示下列各集合：（1）方程2340x x --=的解集；（2）方程430x +=的解集；（3）由数1，4，9，16，25组成的集合；（4）所有正奇数组成的集合． 2．用描述法表示下列各集合：（1）大于3的实数所组成的集合；（2）方程240x -=的解集； （3）大于5的所有偶数所组成的集合；（4）不等式253x ->的解集．四【过关精练】一.选择题1.给定四个集合：(){}(){}1,22,1M N ==，，{}{}1,22,1P ==，Q ,则（ ）A.M N =B.N P =C.M P =D.P Q = 2．集合A 只含有元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．A a ∉C ．a ∈AD ．a ＝A3．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( ) A ．1 B ．－2 C ．6 D ．25．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( ) A ．2 B ．3 C ．0或3 D ．0,2,3均可 6．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}7.将集合⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是( ) A ．{2,3} B ．{(2,3)} C ．{x ＝2，y ＝3} D ．(2,3)8.集合,,,b a c x x a b c R a b c ⎧⎫⎪⎪=++∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的列举法表示应该是( ) A ．{－3，－1,1,3} B ．{1,3} C ．{－1,1,3} D ．{－1,1}二.填空题9.集合A=}{0122=++x ax x 中只有一个元素，则a 的值是______10.已知P=}{R k N x k x x ∈∈<<,,2，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是_____ 11.用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，86－x∈N}＝____________12.已知a ∈Z ，A ＝{(x ，y )|ax －y ≤3}且(2,1)∈A ，()14A -∉，则满足条件的a 的值为________． 三.解答题13.设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？14.用适当的方法表示下列集合：①方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合； ③不等式x －2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．15.对于,a b N +∈，现规定：()()b b a b a a b a b a ⎧+⎪*=⎨⨯⎪⎩，与的奇偶性相同，与的奇偶性不同集合(){},36,,M a b a b a b N +=*=∈.(1)用列举法表示,a b 奇偶性不同时的集合M ； (2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素？第2讲 子集、全集、补集1．子集的概念：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 为集合B 的子集.记作A B (B A)⊆⊇或，读作A B (B A )“包含于”或“包含”.当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2.集合相等与真子集的概念：（1）如果A B ⊆，且B A ⊆，则称 ，记作A B ＝ （2）如果A B ⊆，但存在元素B A x x ∈∉，且，则称A 是B 的真子集，记作A B(B A)⊂⊃≠≠或3.空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.并规定： 空集是任何一个集合的子集；空集是任何非空集合的真子集. 4.集合之间的基本关系.（1）任何一个集合都是它本身的子集，即A A ⊆；（2）对于集合A B C 、、，如果A B B C ⊆⊆，，那么A C.⊆+结论：含n 个元素的集合共有2n个子集；有 个真子集；有 个非空真子集. 5.补集：引入：观察下列三个集合： U ＝{高一年级的同学}——全集； A ＝{高一年级参加军训的同学}； B ＝{高一年级没有参加军训的同学}. 可知：（1）A U ⊆，B U ⊆；（2）集合B(或A)就是集合U 中除去集合A(或B)之外．——补集（1）定义定义（1）所要研究的集合都是某个给定集合的子集，这个给定的集合就是全集.全集常用U 表示. 定义（2）设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），则由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作S A ð， （2）符号语言：{|}且ðS A x x S x A =∈∉ （3）图形语言：如右图：（3）性质：ðU U φ=；ðU U φ=：()痧U UA A =.三【典例精析】例1.写出集合{}1,2,3A =的所有子集和真子集.例2.说出下列每对集合之间的关系： （1）{}1,2,3,4,5A =，{}1,3,5B =； （2）{}21P x x ==，{}1Q x x ==；（3）{}21,C x x k k Z ==+∈,{}D x x Z =∈.例3.（1）填空：N___Z ； N___Q ； R___Z ； R___Q ； Φ___{0}.（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？（3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？ （4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 点拨：（1）“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}.（2）{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合.例4.填空：（1）U={x|0≤X<6,X ∈Z},A={1,3,5},B=｛1,4}, 则U A ð=_____________,U B ð=_____________（2）U={3,6,9},{}210A x R x x =∈++=,则U A ð=____ ____ （3）U={实数}，A={有理数},则U A ð=____ ____（4）A={1,3,5},U A ð={2,4,6},B={4,6},则U B ð=____ ____ （5）全集U={x|0<x<10},A={x|2<x<5},则U A ð=_____________ ______例5.已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求U A ð.例6.已知U ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与U Bð的关系四【过关精练】一、选择题1.下列八个关系式①{0}=φ；②φ=0；③φ={φ}；④φ∈{φ}；⑤{0}⊇φ；⑥0∉φ；⑦φ≠{0}；⑧φ≠{φ}其中正确的个数（ ）A.4B.5C.6D.7 2.集合{1，2，3}的真子集共有（ ）A.5个B.6个C.7个D.8个 3.集合A={x Z k k x ∈=,2}；B={Z k k x x ∈+=,12}；C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有（ ）A.（a+b ）∈AB.(a+b)∈BC.(a+b)∈CD.(a+b)∈A 、B 、C 任一个 4.下列各组对象不能形成集合的是（ ）A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=1图象上所有的点 5.设集合M =},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则（ ） A ．M N = B.M ⊆N C ．M ≠⊃N D ．M≠⊂N 6.下列各式中，正确的是（ ）A.2}2{≤⊆x xB.{12<>x x x 且}C.{Z k k x x ∈±=,14}},12{Z k k x x ∈+=≠D.{Z k k x x ∈+=,13}={Z k k x x ∈-=,23}7.设一元二次方程()200ax bx c a ++=<的根的判别式042=-=∆ac b ，则不等式20ax bx c ++≥的解集为（ ）A.RB.φC.{abx x 2-≠} D.{a b 2-}8.集合A={x|x=2n ＋1，n∈Z}， B={y|y=4k ±1，k ∈Z}，则A 与B 的关系为 （ ） A ．A ≠⊂B B ．A ≠⊃B C ．A=B D ．A≠B二、填空题9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为__________________10.设集合A={23≤≤-x x },B={x 1212+≤≤-k x k },且A ⊇B ，则实数k 的取值范围 是 。
点的集合(1)
讨论-思考：
怎样用点的排列做出几何图形、静物或风景画？
技法点击：
1. 设计几何图形
2.从某一小块作点的渐变排列
3. 用几种颜色逐格完成。
点的排列
学大师，练练手吧！
请选择其中一组颜色的油画 棒点色块，试着体会这些彩点在 你手中变得丰富多彩：
1、红色调、黄色调（邻近色）
2、蓝色调(同类色）
3、绿色调（同类色）
拓展：
大家可以尝试着采用多种工具和 材料，完成一幅有创意的作品。
认识点彩派艺术风格
点彩派：又称为点描派。十九世纪 末产生的新印象主义，代 表人物有修拉和西涅克。 特 点：点彩是通过很多小点来造 型，使画面产生一种闪烁的 效果，但放远一看画面还一 个整体。
欣赏生活中的点：
欣赏生活中点的图片
欣赏动植物身上点的图片
欣赏不同形状的点的应用
山 水 （ 局 部 ） （ 中 国 画 ） 现 代 黄 宾 虹
黑屋顶（中国画） 现代 吴冠中
不规则的点无序排列，随意性强，能产生轻松、变化的视觉效果。
欣赏不同形状的点的应用
蜡染 （苗族）
构成
维克托· 瓦萨里（法国）
欣赏不同形状的点的应用
《 午 夜 和 晨 雨 中 夜 莺 的 歌 声 》 法 国 米 罗
用规则和不规则的方式相 结合做点的排列，可使画 面丰富活泼。 水彩点彩画 克罗斯 法国新印象主义画家
修拉
创始者 《大碗岛的星期天下午》
点彩派代表画家
西涅克（发扬者） ———《纳蒂布港》
西涅克———《纳蒂布港》
《大碗岛星期天的下午》 修拉
法国新印象主义
《牧羊女》
米勒
法国现实主义
点彩派不经调和的颜色经过重叠形成丰富的色彩，画面给人朦 胧的效果，与现实主义绘画作品效仿自然、清晰而真实的画面是完 全不同的。
人教版高中数学必修一集合全部重要知识点
(每日一练)人教版高中数学必修一集合全部重要知识点单选题1、设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，则A∩(∁U B)=（）A．{3}B．{1,6}C．{5,6}D．{1,3}答案：B解析：根据交集、补集的定义可求A∩(∁U B).由题设可得∁U B={1,5,6}，故A∩(∁U B)={1,6}，故选：B.2、已知集合A={x|x2−2x−3<0}，集合B={x|x−1≥0}，则∁R(A∩B)=（）. A．(−∞,1)∪[3,+∞)B．(−∞,1]∪[3,+∞)C．(−∞,1)∪(3,+∞)D．(1,3)答案：A解析：算出集合A、B及A∩B，再求补集即可.由x2−2x−3<0，得−1<x<3，所以A={x|−1<x<3}，又B={x|x≥1}，所以A∩B={x|1≤x<3}，故∁R(A∩B)={x|x<1或x≥3}.故选：A.小提示：本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.3、已知集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x∈N|2≤x≤5}则A∩B=( ) A．{2}B．{3}C．{2,3}D．{2,3,4}答案：C解析：首先利用一元二次不等式解出集合A，然后利用集合的交运算即可求解.因为x2−2x−3≤0，解得，−1≤x≤3，故集合A={x|−1≤x≤3}，又因为B={2,3,4,5}，所以A∩B={2,3}.故选:C.填空题4、已知集合A={−2,−1,0,1}，集合B={y|y=|x|,x∈A}，则B=_______________. 答案：{0,1,2}解析：根据题意，由列举法，即可得出结果.因为A={−2,−1,0,1}，所以B={y|y=|x|,x∈A}={0,1,2}.所以答案是：{0,1,2}.小提示：本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.5、若集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a＝. 答案：2解析：因为集合A＝{x|x≤2}、B＝{x|x≥a}，由A∩B={2}⇒A,B只有一个公共元素2⇒a=2.。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(117)
1.1 集合的概念一、单选题1．下列对象中，能组成集合的是（ ） A ．所有接近1的数的全体 B ．某班高个子男生的全体 C ．某校考试比较靠前的学生的全体 D ．大于2小于7的实数的全体答案：D解析：根据集合元素的特性：确定性即可排除ABC ，进而得到正确选项. 详解：由集合元素的特性：ABC 不符合确定性原则，D 可表示为{|27}x x <<， 故选：D2．下列给出的对象中，能组成集合的是（ ） A ．一切很大数 B ．方程210x -=的实数根 C ．漂亮的小女孩 D ．好心人答案：B解析：根据集合的概念，逐项判断，即可得出结果. 详解：A 选项，很大数没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合；排除A ；B 选项，方程210x -=的实数根为±1，能构成集合；B 正确；C 选项，漂亮没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合，排除C ；D 选项，好心人没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合，排除D. 故选：B.3．若集合A=x|–2<x <1}，B=x|x <–1或x >3}，则A B= A ．x|–2<x <–1} B ．x|–2<x <3} C ．x|–1<x <1} D ．x|1<x <3}答案：A解析：试题分析：利用数轴可知{}21A B x x ⋂=-<<-，故选A. 【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.4．下面对集合1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的一个是( ) A ．x|x 是小于18的正奇数} B ．x|x ＝4k ＋1，k∈Z，k<5} C ．x|x ＝4t －3，t∈N，t<5} D ．x|x ＝4s －3，s∈N *，s<6} 答案：D 详解：集合中的元素除以4余1，故可以用41(04,)k k k Z +≤≤∈或43(15,)k k k Z -≤≤∈来表示，故选D.5．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B = A ．2} B ．2，3}C ．-1，2，3}D ．1，2，3，4}答案：D解析：先求A C ，再求()A C B ． 详解：因为{1,2}A C =， 所以(){1,2,3,4}A C B =. 故选D ． 点睛：集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．6．已知集合{(,)|10,10,,}A x y x y x y N =≤≤∈,B A ⊆,且对于集合B 中任意两个元素()11,x y ,()22,x y ,均有()()12120x x y y --≤,则集合B 中元素的个数最多为 A ．21 B ．19C ．11D ．10答案：A解析：根据题意知集合A 表示的是第一象限内的1111121个点,又因为B A ⊆,B 中任意两个元素()11,x y ,()22,x y ,均有()()12120x x y y --≤,则在同一象限内,y 随着x 的增大而减小或相等.根据规律一一列举即可得出结果. 详解：解:因为{(,)|10,10,,}A x y x y x y N =≤≤∈, 则集合A 表示的是第一象限内的1111121个点, 又因为B A ⊆,且对于集合B 中任意两个元素()11,x y ,()22,x y , 均有()()12120x x y y --≤,则12120x x y y -⎧⎨->≤⎩或121200x x y y -<≥-⎧⎨⎩ 则在同一象限内,y 随着x 的增大而减小或相等. 若点0,10A ,则(1,9)B 或(1,10)B ,根据规律可得:2,8,3,7,4,6,5,5,6,4,7,38,29,1,10,0, 或2,9,3,8,4,7,5,6,6,5,7,48,39,2,10,1故B 中元素的个数最多为21个. 故选:A 点睛：本题考查集合的元素的个数的求法,考查不等式求函数的单调性,利用单调性解决集合问题. 7．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是 ①{}3,1M =-，(){}3,1P =-； ②(){}3,1M =，(){}1,3P =；③{}21M y y x ==-，{}21P t t x ==-； ④{}21M y y x ==-，(){}2,1P x y y x ==-.A ．①B ．②C ．③D ．④答案：C解析：对四组集合逐一分析，可选出答案. 详解：对于①，集合M 表示数集，集合P 表示点集，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合；对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合； 对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合M 研究对象是函数值，集合P 研究对象是点的坐标，故不是同一个集合. 故选：C. 点睛：本题考查相同集合的判断，属于基础题. 8．下列命题中的真命题是（ ） A是有理数 B．是实数 C ．e 是有理数D ．0 不是自然数答案：B解析：根据数集的定义，实数的运算判断． 详解：22 属于无理数指数幂，其计算结果是实数；3 和 e 都是无理数；0 是自然数．故选：B ．9．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．8 D ．9答案：B解析：由,,x M y M x y M ∈∈+∈即可求解满足题意的点(),x y 的坐标. 详解：解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3. 故选：B.10．设全集为U ，定义集合M 与N 的运算：{()*|M N x x M N =∈⋃且()}x M N ∉⋂，则()**N N M =A ．MB ．NC ．UM ND ．UNM答案：A解析：先由题意得出*N M 表示区域，再由题中的定义，即可得出()**N N M 表示的区域，从而可得出结果. 详解：如图所示，由定义可知*N M 为图中的阴影区域，()**N N M ∴为图中阴影Ⅰ和空白的区域，即()**N N M M =.故选A. 点睛：本题主要考查集合的交集与并集的应用，熟记概念即可，属于常考题型. 二、填空题1．用列举法表示集合：4,1M mZ m Z m ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭=_______________.答案：{}5,3,2,0,1,3---解析：易得1m +为4的因数,再分别列举即可. 详解： 由题41Z m ∈+,故1m +为4的因数,故14,2,1,1,2,4m +=---, 故5,3,2,0,1,3m =---.故{}5,3,2,0,1,3M =---. 故答案为：{}5,3,2,0,1,3--- 点睛：本题主要考查了集合的元素求解,属于基础题. 2．已知集合_________．答案：详解： 试题分析：当，解得，此时，不满足集合的互异性，所以舍去，当时，（舍）或，当时，，满足集合的互异性，故填：. 考点：集合与元素3．已知集合[][],14,9A t t t t =+⋃++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是____________答案：1或3-解析：根据t 所处的不同范围，得到[],1a t t ∈+和[]4,9a t t ∈++时，aλ所处的范围；再利用集合A 的上下限，得到λ与t 的等量关系，从而构造出方程，求得t 的值.详解：0A ∉，则只需考虑下列三种情况：①当0t >时，[][],14,9a t t t t ∈+++11111,,941a t t t t ⎡⎤⎡⎤∴∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦ 又0λ> ,,941a t t t t λλλλλ⎡⎤⎡⎤⇒∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦ A a λ∈ 914t t t t λλ⎧≥⎪⎪+∴⎨⎪≤+⎪+⎩且419t t t t λλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩可得：()()()()()()991414t t t t t t t t λλ⎧+≤≤+⎪⎨++≤≤++⎪⎩()()()914t t t t λ∴=+=++ 1t ⇒=②当90t +<即9t <-时，与①构造方程相同，即1t =，不合题意，舍去③当1040t t +<⎧⎨+>⎩即41t -<<-时可得：11t t t t λλ⎧≥⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩且4994t t t t λλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪+⎩()()()149t t t t λ∴=+=++ 3t ⇒=-综上所述：1t =或3- 点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过t 的不同取值范围，得到a 与aλ所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于λ的等量关系，从而构造出关于t 的方程；难点在于能够准确地对t 的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求，属于难题.4．定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =，{}0,2B =，则集合A B *的所有元素之和为______. 答案：6解析：根据新定义可求A B *，从而可求所有的元素之和. 详解：0,2,4A B，故所有的元素之和为6，故答案为：6. 点睛：关键点点睛：根据定义进行运算是关键，注意元素的互异性对计算结果的影响. 5．设集合{}|1A x Q x =∈>-_____________A （用适当符号填空）.答案：∉解析：根据描述法集合的表示，得到集合A 表示由大于1-的有理数构成的集合，即可求解. 详解：由题意知，集合A 表示由大于1-的有理数构成的集合，A . 故答案为∉. 点睛：本题主要考查了集合的表示方法，以及元素与集合的关系的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 三、解答题1．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值.答案：1,0x y ==解析：根据集合相等的含义，结合集合中元素的互异性，即可得出结论． 详解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.①当x ＝0时，x 2＝0，B 中元素为0，0，不满足集合中元素的互异性，故舍去. ②当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由①知x ＝0应舍去. 综上知：x ＝1，y ＝0. 点睛：本题考查集合相等的含义，考查集合中元素的互异性，属于基础题． 2．用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集. （1）到A 、B 两点距离相等的点的集合 （2）满足不等式21x >的x 的集合 （3）全体偶数 （4）被5除余1的数 （5）20以内的质数（6）{(,)|6,,}x y x y x N y N **+=∈∈ （7）方程()0,x x a a R -=∈的解集答案：（1）集合{A =点}P PA PB =，无限集；（2）集合{}21B x x =>，无限集；（3）集合{}2,C x x k k Z ==∈，无限集； （4）集合{}51,D x x k k Z ==+∈，无限集； （5）集合{}2,3,5,7,11,13,17,19E =，有限集； （6）集合()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1F =，有限集； （7）集合{}()0,G x x x a a R =-=∈，有限集.解析：（1）由题意可知，点P 满足PA PB =，用描述法表示该集合，即可. （2）用描述法表示该集合，即可.（3）由题意可知，偶数x 能被2整除，用描述法表示该集合，即可. （4）用描述法表示该集合，即可.（5）由题意可知，20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，用列举法表示该集合，即可.（6）由题意可知，方程的解为15x y =⎧⎨=⎩，24x y =⎧⎨=⎩，33x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，51x y =⎧⎨=⎩，用列举法表示该集合，即可.（7）用描述法表示该集合，即可. 详解：（1）因为到A 、B 两点距离相等的点P 满足PA PB =，所以集合{A =点}P PA PB =，无限集.（2）由题意可知，集合{}21B x x =>，无限集.（3）因为偶数x 能被2整除，所以集合{}2,C x x k k Z ==∈，无限集. （4）由题意可知，集合{}51,D x x k k Z ==+∈，无限集. （5）因为20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19. 所以集合{}2,3,5,7,11,13,17,19E =，有限集.（6）因为6,,x y x N y N **+=∈∈，所以方程的解为15x y =⎧⎨=⎩，24x y =⎧⎨=⎩，33x y =⎧⎨=⎩，42x y =⎧⎨=⎩，51x y =⎧⎨=⎩，所以集合()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1F =，有限集. （7）由题意可知，集合{}()0,G x x x a a R =-=∈，有限集. 点睛：本题考查集合的表示方法，属于较易题.3．已知M 是满足下列条件的集合：① 0M ∈，1M ∈；② 若,x y M ∈，则x y M -∈；③ 若x M ∈且0x ≠，则1M x∈.（1）判断12M ∈是否正确，说明理由； （2）证明：“x ∈Z ”是“x M ∈”的充分条件； （3）证明：若,x y M ∈，则xy M ∈.答案：（1）正确，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 解析：（1）由①②容易得到2M ∈，所以由③得到；12M ∈；（2）x M ∈，能得到x M -∈，由已知条件知0M ∈，所以只要证明任意的正整数x M ∈即可得到任意的整数x M ∈，可考虑用数学归纳法来证：1，2M ∈，假设k M ∈，则(1)1k k M --=+∈，所以根据数学归纳法对任意正整数x M ∈，所以便得到x ∈Z 是x M ∈的充分条件；（3）先构造出222()22x y x y xy ++=-，所以可先证明：若x ，y M ∈，则2x M ∈，x y M +∈．先证明2x M ∈，设x M ∈，0x ≠，则得到1M x∈，1x M -∈，11M x ∈-，所以1111(1)M x x x x -=∈--，所以2x x M-∈，所以得到22()x x x x M --=∈，由前面知，x y M +∈，112M x x x +=∈，所以，2xM ∈，所以便可得到2()2x y +，222x y M +∈，从而222()22x y x y M ++-∈． 详解：解：（1）12M ∈正确；证明如下： 由①0M ∈，1M ∈，由②知011M -=-∈，1(1)2M ∴--=∈，由③知12M ∈；（2）证明：由②知，若x M ∈，则0x x M -=-∈，故只需证明任意正整数x M ∈即可， 由（1）知，2M ∈，假设正整数k M ∈，则(1)1k k M --=+∈，∴由数学归纳法知：任意正整数x M ∈，即x ∈Z ，是x M ∈的充分条件； （3）先证：若x M ∈，则2x M ∈，由②知，若x M ∈，且0x ≠，1M ∈，则1x M -∈； 由③知1M x∈，11M x ∈-，所以1111(1)M x x x x -=∈--，所以2x x M -∈，所以得到22()x x x x M --=∈， 再证：若x ，y M ∈，则x y M +∈，0y y M -=-∈，()x y x y M∴--=+∈；∴112M x x x +=∈，由③知2x M ∈，∴由前面知：2()x y +、2x 、2y 、2()2x y +、222x y M +∈，∴222()22x y x y xy M ++-=∈．点睛：本题主要考查对给出的新信息的运用，以及数学归纳法在证明正整数问题的运用，而想到222()22x y x y xy +-=-是求解本题的关键．本题属于难题．4．某学习小组共有8位同学，记他们的学号分别为1、2、3、、8．现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据，分派的原则为：若x 号同学去，则8x -号同学也去．请你根据老师的要求回答下列问题：（1）若只有一个名额，请问应该派谁去？ （2）若有两个名额，则有多少种分派方法？ （3）谈一谈你对集合在实际生活中的应用的认识．答案：（1）学号为4的同学；（2）3种；（3）见解析. 解析：（1）由题意得出8x x =-，解出即可； （2）列举出符合条件的情况即可；（3）根据集合在生活中的实际应用来进行说明. 详解：（1）分派去图书馆查询数据的所有同学的学号构成一个集合，记作M ，则有x M ∈，8x M -∈．若只有一个名额，则M 中只有一个元素，必须满足8x x =-，故4x =，所以应该派学号为4的同学去；（2）设老师派去查询数据的同学的学号组成集合N ，若有两个名额，则N 中有且仅有两个不同的元素x 和8x -，从而全部含有两个元素的集合N 可能是{}1,7或{}2,6或{}3,5，即有两个名额的分派方法有3种；（3）（答案不唯一）在生活中，我们会遇到各种各样的事物，为了便于讨论，我们需要在一定范围内，按一定标准对所讨论的事物进行分类．分类后，我们会用一些术语来描述它们，例如“群体”“全体”“集体”等．点睛：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题.5．若集合A 中含有三个元素3a -，21a -，24a -，且3A -∈，求实数a 的值.答案：0a =或1a =.解析：由已知得33a -=-或213a -=-或243a -=-，解之可求得实数a 的值，代入集合中检验是否满足元素的互异性，可得答案.详解：①若33a -=-，则0a =，此时{}3,1,4A =---，满足题意.②若213a -=-，则1a =-，此时{}4,3,3A =---，不满足元素的互异性.③若243a -=-，则1a =±.当1a =时，{}2,1,3A =--，满足题意；当1a =-时，由②知不合题意.综上可知0a =或1a =.。
点集与数集的表示方法(一)
点集与数集的表示方法(一)点集与数集的表示方法在数学领域中，点集和数集是我们经常遇到的概念。
它们在数学模型、数据结构和算法等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍点集和数集的表示方法。
1. 点集的表示方法点集是由一组点组成的集合，每个点可以是二维坐标中的一个点，也可以是多维空间中的一个点。
以下是几种常见的点集表示方法：•显式法表示：显式法表示是通过列举所有的点来表示点集。
例如，对于一个二维平面上的点集，可以通过列举所有的坐标对来表示。
例如，点集{(-1, 2), (3, -4), (0, 0)}可以用显式法表示为：{(-1, 2), (3, -4), (0, 0)}。
•隐式法表示：隐式法表示是通过一定的条件来表示点集。
例如，可以通过一个方程来表示一个平面上的点集。
例如，一个以原点为中心，半径为5的圆可以用隐式法表示为：x^2 +y^2 = 25。
•参数方程表示：参数方程表示是通过参数的取值范围来表示点集。
例如，可以用参数t表示一个曲线上的点集。
例如，一个以原点为起点的单位圆可以用参数方程表示为：{ (cos(t),sin(t)) | 0 <= t <= 2π }。
2. 数集的表示方法数集是由一组数字组成的集合，它可以是有限的也可以是无限的。
以下是几种常见的数集表示方法：•列举法表示：列举法表示是通过列举所有的数字来表示数集。
例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}可以用列举法表示为：{1,2, 3, 4, 5}。
•描述法表示：描述法表示是通过一定的条件来表示数集。
例如，可以用描述法表示一个正整数的数集，即所有大于0且为整数的数字集合，可以表示为：{ n | n > 0, n ∈ Z }。
•区间法表示：区间法表示是通过给定一个起始点和一个终止点来表示连续的数集。
例如，可以用区间法表示一个介于2到5之间的实数数集，可以表示为：[2, 5]。
•集合法表示：集合法表示是通过另一个集合来定义数集。
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1、红色调、黄色调（邻近色）
2、蓝色调(同类色）
3、绿色调（同类色）
殉 教 者 （ 马 赛 克 镶 嵌 壁 画 局 部 ） （ 希 腊 ）
蜡 染 （ 苗 族 ）
黑 屋 顶 （ 中 国 画 ）
现 代
吴 冠 中
山 水 （ 局 部 ） （ 中 国 画 ）
现 代
黄 宾 虹
·
构 成
维 克 托 瓦 萨 里 （ 法 国 ）
奉化市锦屏中心小学：李静芳
（一）
修拉 创始者 《大碗岛的星期天下午》
点彩派代表画家
西涅克 （发扬者） 代表作《马赛港的入口》
点彩代表画家
《牧羊女》 米勒 法国现实主义画家
西涅克———《纳蒂布港》
西涅克———《纳蒂布港》
长形点
点的排列
学大师，练练手吧！
请选择其中一组颜色的油画 棒点色块，试着体会这些彩点在 你手中变得丰富多彩：
《星月夜》 梵·高 法国后印象派画家
《 午 夜 和 晨 雨 中 夜 莺 的 歌 声 》
法 国
米 罗
技法点击
作业要求：用点的画法进行临摹或创作。
注意整体效果的变化，把握色彩的关系。
作业星级达标要求：
★我能点出简单的图形。
★★我的作品色彩丰富、有变化。 ★★★我的作品点出了疏密（大小、方向）。 ★★★ ★光感呢！
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