第四章 插值与多项式逼近

y = p (x ) y=f(x)
f(x)可以用p(x)来近似 ____________________________Hale Waihona Puke Baidu________________________________
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a1 x a0
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为 代数插值法。其几何意义如下图所示
y y=P(x) y=f(x)
P( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
y1
yn
x0 x1 xn x _____________________________________________________________


k 1
N
f ( k ) ( x0 ) ( x x0 ) k 1 ( k 1)! f
( k 1)

k 0
N 1
( x0 ) ( x x0 ) k k!
连续求导，即可证明。 _____________________________________________________________
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多项式计算方法
定理4.2（泰勒级数） 设f(x)在包含x0的区间(a,b)中是解 析的。设泰勒多项式(2)趋近于一个极限
S ( x) lim PN ( x) lim
N N k 0 N
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n次代数插值问题的解是存在且惟一的
设n次多项式
P( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
是函数y=f(x)在区间[a, b]上的n+1个互异的节点xi (i=0,1,…,n)上的插值多项式,则求插值多项式P(x)的问题 就归结为求它的系数a,由插值条件φ (xi)= f(xi)可得
x y
x0 y0
x1 y1
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x2 y2
…… ……
xn yn
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① xk位于区间[a,b] ② 满足a≤x0 ≤x1 ≤… ≤xn ≤b ③ yk=f(xk)
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插值函数φ (x)在n+1个互异插值节点 xi(i=0,1,…,n )处与 f(x)相等,也就是φ (xi)= f(xi)。 在其它点x就用φ (x) 的值作为f(x) 的近似值。这一过程称 为插值，点x称为插值点。 换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出” 所要点的函数值。用φ (x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望 φ (x)能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单
f ( k ) ( x0 ) ( x x0 ) k k!
则f(x)有泰勒展开
f ( x)
k 0
f ( k ) ( x0 ) ( x x0 )k k!
可以由级数收敛定义证明。上式如果成立，则误差项趋近于 0，所以一个充要条件是 _____________________________________________________________
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定理4.1 （泰勒多项式逼近） 设f∈CN+1[a,b],而x0∈[a,b] 是固定值。如果x∈[a,b]，则有 f(x)=PN(x)+EN(x) 其中PN(x)为用来近似f(x)的多项式： N f ( k ) ( x0 ) k f ( x) P ( x ) ( x x ) N 0 k ! k 0 误差项EN(x)为
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例题： ex在x0=0泰勒展开，并计算x=1时的部分和 (n≤15)
n
0
e
1.0 2.0 2.5 2.666666666666 2.708333333333 2.716666666666
部分和公式： sn=1+1/1！+1/2!+…+1/n!
第四章 插值与多项式逼近
本科生课程《科学计算方法》 主讲教师：顾旭东 龚 韵
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怎样利用有限和很好的逼近无线和？ 泰勒级数表明，只要有足够的项相加，就可以得到精确 的逼近。 面临的问题： ① 选择什么次数的多项式？ ② 怎样计算多项式各种幂的系数？
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(i 1,2,, n)
则称φ (x)为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点xi为 插值节点, 该式为插值条件, 而误差函数R(x)=f(x)- φ (x)称 为插值余项, 区间[a, b]称为插值区间, 插值点在插值区间 内的称为内插值, 否则称外插值。 _____________________________________________________________
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多项式插值
满足
P( x) an x an1 x
n
n1
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泰勒多项式误差
泰勒多项式的精度随着N的增长而提高，另一方面随着x 逐渐远离x0，精度逐渐降低。 如何保证精度？ ① 足够大的N ② 限制最大值|x- x0 | 如果给定区间宽度为2R，而x0位于区间中心(即|x- x0 |<R) ，则误差绝对值满足关系 MR N 1 | EN ( x) | ( N 1)!
f ( N 1) (c) EN ( x ) ( x x0 ) N 1 ( N 1)!
c为x和x0之间的某个值c=c(x)。 _____________________________________________________________
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推论4.1 如果PN(x)为定理4.1给出的N次多项式，则
(k ) (k ) P ( x ) f ( x0 ), k 0,1,..., N N 0
' P 证明： N ( x)
f ' ( x0 )
k 1
N
f ( k ) ( x0 ) ( x x0 ) k 1 ( k 1)!
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II. 插值介绍
泰勒多项式可以很好的逼近函数f(x)，但是构造泰勒多项 式需要知道x0处的f及其导数值，缺点之一是必须知道函 数的高阶导数值，而通常的情况下，它们或者无法获得 ，或者无法计算。 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个 区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi)，或者给出 函数表：
例题： 求逼近多项式ex≈P8(x)，在区间|x|≤1.0和|x|≤0.5的 误差界。 ① |x|≤1.0， 所以R=1.0 M=max(f(N+1)(x))=max(f(9)(x)), M=|ec |≤e1 因此，|E8(x)|≤e1(1)9/9! ≈0.00000749 ② 试着分析|x|≤0.5的情况 _____________________________________________________________
1 2 3 4
练习： … 分析误差项，并判断有效数字位数。 15
5
2.718281828459
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a n x0 n a n 1 x0 n 1 a1 x0 a 0 f ( x0 ) n n 1 a n x1 a n 1 x1 a1 x1 a 0 f ( x1 ) a x n a x n 1 a x a f ( x ) n 1 n 1 n 0 n n n
I. 泰勒级数和函数计算
常用泰勒级数
其过程就是，无穷多项相加，并求部分和的极限。 _____________________________________________________________
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f ( N 1) (c) lim EN ( x) lim ( x x0 ) N 1 0 x x ( N 1)!
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习题：
1. 设f(x)=sin(x)，应用定理4.1， (a) 对x0=0，计算P5(x), P7(x)和P9(x) (b) 证明|x|≤1，则逼近多项式sin(x)=P9(x)的误差界| E9(x) |<1/10! ≤2.75574 x 10 -7 (c) x0=π/4, 计算P5(x), 其中包含（x- π/4 ）的幂函数 2. 对f(x)=(2+x)1/2,应用定理4.1， (a)求x0=2附近的P3(x) (b)用P3(x)计算31/2的近似值 (c)求区间1≤ c ≤3上|f (4) (c)|的最大值，并计算|E3(x)|的误差 界 _____________________________________________________________
M max{| f N 1 ( z) |: x0 R z x0 R}
• 增加N；和减小R，从而减小误差。 _____________________________________________________________
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插值法的基本原理
设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, x0,x1,…,xn是区间[a, b] 上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知 f(x0),f(x1),…,f(xn),即yi=f(xi)。若存在一个f(x)的近似函数 φ (x),满足
( xi ) f ( xi )
讲授提纲
I. 泰勒级数和函数计算 II. 插值介绍 III. 拉格朗日逼近 IV. 牛顿多项式 V. 帕德逼近 VI. 本章小结
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