第四章 插值与多项式逼近
高中数学中的插值与多项式逼近
高中数学中的插值与多项式逼近在高中数学中，插值和多项式逼近是两个重要的概念和技巧。
它们在数学和工程领域中具有广泛的应用，可以用来解决实际问题，提高计算精度和效率。
本文将对插值和多项式逼近进行介绍和探讨。
一、插值的概念和应用1. 插值的概念插值是指通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上与已知函数或数据完全一致。
插值的目的是为了通过已知的离散数据点来估计未知的数据点，从而实现对数据的预测和补充。
2. 插值的应用插值在实际应用中非常广泛，例如地理信息系统中的地图绘制、图像处理中的图像重建、金融领域中的股票价格预测等。
通过插值方法，可以根据已知数据点的特征和规律，推断出未知数据点的值，从而提供更准确的预测和分析。
二、插值方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。
这个多项式函数通过已知数据点的横纵坐标来确定，从而实现对未知数据点的估计。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来构造一个多项式函数。
差商是指已知数据点之间的差值与对应函数值之间的比值，通过差商的递归计算，可以得到一个多项式函数，从而实现对未知数据点的估计。
三、多项式逼近的概念和方法1. 多项式逼近的概念多项式逼近是指通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，使得这个多项式函数在已知数据点上与已知函数或数据最接近。
多项式逼近的目的是为了简化计算和分析，提高计算效率和精度。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的多项式逼近方法，它通过最小化已知数据点与多项式函数之间的误差平方和，来确定最优的多项式函数。
最小二乘法可以用来解决数据拟合、曲线拟合等问题，广泛应用于统计学、信号处理等领域。
四、插值与多项式逼近的比较1. 精度比较插值方法可以通过已知数据点完全重构已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度非常高。
而多项式逼近方法则是通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度可能会有一定的误差。
第四章 插值法与函数逼近
第四章 插值法与函数逼近A 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令证明是n 次多项式,它的根是,且 .2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设,k =0,1,2,3,求.6. 设为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)ii)7. 设且,求证8. 在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少? 9. 若,求及. 10. 如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数).11. 证明.12. 证明13. 证明14. 若有个不同实根,证明2000011211121()(,,,,)11n n n n nn n n nx x x V x V x x x x x x x xx x ----==()n V x 01,,n x x -101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--0k x x kh =+032max ()x x x l x ≤≤jx 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑[]2(),f x C a b ∈()()0f a f b ==21()()().8maxmax a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"44x -≤≤()x f x e =x e 610-h 2n n y =4n y ∆4n y δ()f x m ()()()f x f x h f x ∆=+-()f x k ()(0)k f x k m ∆≤≤m k -()0(m l f x l +∆=1()k k k k k kf g f g g f +∆=∆+∆110010.n n k kn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++n 12,,,n x x x15. 证明阶均差有下列性质: i)若,则;ii) 若,则.16. ,求及.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,.20. 设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到.21. 设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差.22. 求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23. 求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i)ii)25. 若,是三次样条函数,证明i);ii) 若,式中为插值节点,且,则.26. 编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用(8.7)式的表达式).{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑n ()()F x cf x =[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =()()()F x f x g x =+[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+74()31f x x x x =+++0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈()P x (0)(1)P P k =-+()P x (0)(0)0P P ='=(1)(1)1P P ='=(2)1P =[](),f x C a b ∈[],a b n ()n x ϕn →∞()nx ϕ[],a b ()f x 2()1/(1)f x x =+55x -≤≤10n =()h I x ()h I x ()f x 2()f x x =[],a b ()h I x 4()f x x =[],a b (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='=(0.25)(0.53)0.S S "="=[]2(),f x C a b ∈()S x [][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰()()(0,1,,)i i f x S x i n ==i x 01n a x x x b=<<<=[][][]()()()()()()()()()b aS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰()S x ()S xB 函数逼近1. (a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.(b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当时,. (b)当时,.3. 在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.4. 假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求在上的最佳一次逼近多项式. 8. 如何选取,使在上与零偏差最小?是否唯一?9. 设,在上求三次最佳逼近多项式. 10. 令,求.11. 试证是在上带权.12. 在上利用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使14. 设在上,试将降低到3次多项式并估计误差. 15. 在上利用幂级数项数求的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16.是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数. 17. 求、使为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. 、,定义问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.[],a b ()sin f x x =[]0,/2π()m f x M ≤≤(,)n m B f x M ≤≤()f x x =(,)n B f x x =()sin 4f x x =[]0,2π()f x [],a b ()f x a 301max x x ax≤≤-()sin f x x =[]0,/2π()xf x e =[]0,1r2()p x x r =+[]1,1-r 43()31f x x x =+-[]0,1[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈***0123(),(),(),()T x T x T x T x {}*()nT x []0,1ρ=[]1,1-1()f x tg x -=()xf x e =[]1,1-()n L x n f L ∞-1n ≥n αn β11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤[]1,1-234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----()x ϕ[]1,1-()sin f x x =()f x [],a a -n ()f x *()n n F x H ∈a b []220sin ax b x dx π+-⎰()f x []1(),g x C a b ∈()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰6101x dx x +⎰20. 选择,使下列积分取得最小值:.21. 设空间,分别在、上求出一个元素,使得其为的最佳平方逼近,并比较其结果.22. 在上,求在上的最佳平方逼近.23.是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系.24. 将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把在上展成切比雪夫级数.26..27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录,试用改进FFT 算法求出序列的离散频谱a 1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=1ϕ2ϕ[]20,1x C ∈()f x x=[]1,1-{}2411,,span x x ϕ=sin (1)arccos ()nn x u x +=()()()112n n n u x xu x u x +-=-1()sin2f x x=[]1,1-()arccos f x x =[]1,1-2y a bx =+{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x ={}k x {}k C (0,1,,7).k =。
数值分析课件 第四章 多项式插值与函数逼近2
代入条件
i ( xi ) Ai xi Bi 1 i( xi ) Ai 2( Ai xi Bi )li( xi ) 0
2l ( x )l ( x ) l ( x ) i i
2 i
解之得
( x x0 )( x x1 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ) li( x ) ( xi x0 )( xi x1 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn )
x ( x 2)
2
2
1 1 ( x 0)( x 1) 2 2 ( x ) [1 2( x 2)( )][ ] 2 0 2 1 ( 2 0)( 2 1) 1 2 2 (7 3 x ) x ( x 1) 4
1 2 2 0 ( x ) ( x 0)l ( x ) x( x 1) ( x 2) 4 2 2 2 1( x) ( x 1)l1 ( x) ( x 1) x ( x 2) 1 2 2 ( x ) ( x 2)l2 ( x ) ( x 2) x 2 ( x 1)2 4
N2 ( x0 ) k( x0 x1 )( x0 x2 ) f ( x0 )
f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ]( x0 x1 ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
插值余项的推导：设 构造辅助函数
k( x)( x x0 ) ( x x1 )( x x2 )
对于Hermite插值问题，主要讨论下面的特殊情形： Qestion:已知函数 f ( x ) 在互异节点 xi i 0处的函数值 f ( xi )i 0
多项式插值与逼近
3.1.2 数据点的参数化 欲唯一的确定一条插值于n+1个点Pi(i=0,1,…,n)的参 数插值曲线或逼近曲线，必须先给数据点Pi赋予相 应的参数值Ui，使其形成一个严格递增的序列，称 为关于参数u的一个分割(partition),其中，每个参数 值称为节点（knot）或断点（breakpoint）
通常，用逼近曲线上参数值为Uk的点P(Uk)与数据点Pk间距离 的平方和
J = P(u k )-Pk =J x +J y +J z
2 k=0
m
达到最小来刻划逼近的程度。下面就是根据求偏导来计算。
由于输入比较麻烦，就不详细了
3.4 弗格森参数三次曲线
由于高次参数多项式曲线存在缺点，不适合用来插值，而低 次多项式曲线又难以用来描述形状复杂的曲线。唯一的选择 就是：将一段段低次曲线在满足一定的连接条件下逐段拼接 起来。这样以分段(piecewise)方式定义的曲线称为组合 (composite)曲线。
=
p(1)
= p (0) = p 1
可以写成矩阵的形式，可以求解出系数矢量。
0 1 -2 1
将上式代入（3.1）得
p(t)= 1 t t 2
p(0) 1 0 0 0 0 0 1 0 p(1) t3 -3 3 -2 -1 p (0) 2 -2 1 1 p (1)
3.4.1 参数三次曲线方程
参数三次（parametric cubic）曲线，简称PC曲线，若采用 幂基表示
p(t)=a0 +a1 t +a2 t +a3 t t [0,1]
多项式逼近和插值
多项式逼近和插值多项式逼近和插值是计算数学中的两个基本概念，它们是求一定准确度下函数近似值所必须采用的数值方法。
多项式逼近是指用低阶多项式逼近原函数，插值是利用已知数据点在插值区间内构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。
它们的应用范围很广，包括科学工程计算、图像处理、信号处理等领域。
下面介绍它们的原理和应用。
一、多项式逼近当我们需要用低阶多项式逼近原函数时，可以采用最小二乘法。
最小二乘法是一种在数据拟合中广泛使用的方法，通过将误差的平方和最小化来确定函数的系数。
假设给定函数$f(x)$及其在$n+1$个采样点$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$处的值，我们要用一个$m$次多项式$p_m(x)$去逼近$f(x)$。
我们可以将$p_m(x)$表示为$p_m(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_mx^m$，则函数的误差可以表示为$E(a_0,a_1,...,a_m)=\sum_{i=0}^n [f(x_i)-p_m(x_i)]^2$，通过最小化误差函数来确定多项式系数$a_0,a_1,...,a_m$。
最小二乘法可以用线性代数和矩阵计算方法求解。
最小二乘逼近是一种非常有效的数据拟合方法，并且有许多实际应用。
例如，在金融领域中，我们可以用该方法来估计股票期权价格；在图像处理中，我们可以用该方法实现图片的平滑处理和降噪处理。
二、插值插值是利用已知数据点构造一个多项式函数，使得该函数在已知数据点处等于原函数。
插值法可分为以下两种情况：一是利用拉格朗日插值公式，将函数表示为已知节点函数的线性组合；二是利用牛顿插值公式，基于差商的思想构造插值多项式。
两种方法的计算效果是相同的，但在计算机实现过程中，两者有些微小的差别。
在实际应用中，插值方法常常用于图像处理、信号处理、数值微分和数值积分等问题，例如，在金融领域中，也可以利用插值方法对期权的未来价格进行预测。
第四章 多项式插值与函数逼近4
f ( x) ( x) ( x)W ( x)dx 0
k
k 0,1,, n
即：
b
a
( x ) k ( x )W ( x )dx f ( x ) k ( x )W ( x )dx
b a
k 0,1, 2,, n
记
( i , j ) i ( x ) j ( x )W ( x )dx i , j 0,1, 2,, n
lim pn ( x ) f ( x )
n
P0 ( x)
P ( x) 1
x [a, b]
x
注：结论并不是对 所有函数都成立 Pn ( x )
x
x
( 2) 1 ( 3) 1
x
x
( 2) 2 ( 3) 2
P2 ( x)
( x33)
P3 ( x)
( ( ( ( x0n ) x1 n ) x2n ) x3n )
( x) ( x) ( x) f ( x)W ( x)dx (b a ) ( x ) f ( x ) ( x )W ( x )dx 0
a n
b k 0 k k a k
f ( x) ( x) ( x)W ( x)dx 0
b
( x )
j
其中W ( x ) 0为权函数
n
c ( x) 满足
j 0 j j
n
j 0
，寻求一组系数c0 , c1 ,, cn
lim max f ( x ) ( x ) 0
lim f ( x ) ( x ) W ( x )dx 0
p n a
一致逼近
1 i 0
内插法以及多项式逼近法
這個多項式稱為 n 次的 Lagrange 插値多項式，此多項式定義於下列定理中： 定理 1.1 如果有 x0 , x1 , x2 ,L , xn 共 n + 1 個相異的點且 f 為ㄧ函數，其函數値由 n + 1 個相異 的點給定，則唯一存在一個維度最高為 n 次的多項式 p( x) ，對於 k = 0,1,L , n 使得 f ( xk ) = p ( xk ) 。此多項式為：
這個例子中我們造了一個函數 Ln ,k ( x) 滿足當 i ≠ k ， Ln ,k ( xi ) = 0 以及 Ln ,k ( xk ) = 1 。 為了滿足當 i ≠ k ， Ln ,k ( xi ) = 0 ， Ln ,k ( x) 的分子必須為：
( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xk −1 )( x − xk +1 )L ( x − xn )
p( x) = L0 ( x) f ( x0 ) + L1 ( x) f ( x1 )
因為
L0 ( x0 ) = 1, L0 ( x1 ) = 0 and L1 ( x0 ) = 0, L1 ( x1 ) = 1
可以得到
p( x0 ) = 1× f ( x0 ) + 0 × f ( x1 ) = f ( x0 ) = y0
內插法以及多項式逼近法
第ㄧ節 內插法及 Lagrange 多項式
x
x0
表格一. L x1
xn
y
y0
y1
L
yn
假設有 n + 1 個相異的點為 x0 , x1 , x2 ,L , xn ，對應的 y 値為 y0 , y1 , y2 ,L , yn (如表 格一)，我們想要找一個通過這 n + 1 個點的多項式曲線。所以，我們想要算出定 義在 x 軸的多項式且對於在表格ㄧ中的 n + 1 個相異的點 xi 代入此多項式的函數 值會滿足對應於 xi 的 yi 値。一個多項式 p 滿足 p( xi ) = yi ， 0 ≤ i ≤ n ，被稱為插値 表格ㄧ。 通過 ( x0 , y0 ) 與 ( x1 , y1 ) 相異兩點的一次多項式問題等同於利用內插法找出一 次多項式來逼近函數 f ，且此多項式滿足 f ( x0 ) = y0 及 f ( x1 ) = y1 。 首先，我們定義下列函數： x − x0 x − x1 L0 ( x) = and L1 ( x) = x0 − x1 x1 − x0 然後定義
四章 多项式插值与数值逼近PPT课件
Ci
ji
ห้องสมุดไป่ตู้
( xi
1
xj )
j 0 j i
li(x)
n ji
(x xj ) (xi xj )
j0
n
Ln(x) li(x)yi i0
li(x ) (x ( ix x x 0 ) 0 ( ) ( x x i x x 1 1 ) )( ( x x i x x ii 1 1 ) ) ( ( x x i x x i i1 ) 1 )(( x x i x n x ) n )
( x是) 满足插值条件（*）的不超过n次的插值多项式，则对
x[a存,b在] (，x满) 足[a,b] R n(x)f(x)(x)f(n (n 1)1 ()!)n1(x)
n
其中 n1(x) 。(x且当xi) 在区f间(n[1)a( x,b) ]有上
i0
界M
时，有
n1
Rn(x) (nMn11)!n1(x)
第四章 多项式插值与函数逼近
/*Polynomial Interpolation and Approximation of Functions */
本章主要内容： 1、Lagrange插值方法 2、Newton插值方法 3、Hermite插值方法 4、三次样条插值方法 5、函数逼近:最佳平方逼近和最佳一致逼近
则称 ( 为x ) 在f ( 函x ) 数集合 中关于节点 并称 为被插f值( x函) 数,[a,b]为插值区间，
（*）式为插值条件。
的一x i个为ni 插插0 值值函节x i数点ni ，，0
设 M m a xx i n i 0, m m inx i n i 0
内插法：用 ( x计) 算被插值函数 f在( x点) x处(的m近,M似)值 外插法：用 ( x计) 算被插值函数 f在( x点) x [a,b处],的x 近(似m 值,M )
第四章 插值与多项式逼近
函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个 区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi)，或者给出 函数表：
x
x0
x1
x2 …… xn
y
y0
y1
y2 …… yn
_____________________________________________________________
✓ 换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出” 所要点的函数值。用φ(x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望 φ(x)能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单
_____________________________________________________________
WUHAN UNIVERSITY
设n次多项式
P(x) an x n an1 x n1 a1 x a0
是函数y=f(x)在区间[a, b]上的n+1个互异的节点xi (i=0,1,…,n)上的插值多项式,则求插值多项式P(x)的问题 就归结为求它的系数a,由插值条件φ(xi)= f(xi)可得
an x0 n an1 x0 n1 a1 x0 a0 f (x0 ) an x1n an1 x1n1 a1 x1 a0 f (x1 ) ________a_n__x_n_n____a_n__1_x__n_n_1_________a_1_x__n____a_0_____f_(_x__n_)________
WUHAN UNIVERSITY
12
电子信息学院
School of Electronic Information
① xk位于区间[a,b] ② 满足a≤x0 ≤x1 ≤… ≤xn ≤b ③ yk=f(xk)
数学中的函数逼近与插值理论
曲线拟合是通过一系列已知的数据点，找 到一条曲线来近似地表示这些数据点。曲 线拟合方法包括线性拟合、非线性拟合等， 用于分析数据的规律和预测未知数据点的 取值。
线性回归分析
优势 效果
应用
简单易懂 数据关系
预测与决策
非线性拟合方法
01 多项式拟合
适应性广泛
02 指数函数拟合
复杂数据
多项式逼近方法比较
多项式逼近
简单易懂 计算速度快 适用范围广泛 效果依赖于阶数
误差分析
评估逼近准确性 控制误差范围 提高逼近稳定性 确定逼近条件
01 04
插值方法
实现数据点完全一致
容易出现过拟合
适用于离散数据
02
插值误差较小
最佳逼近
误差最小化
03
适用于实际应用
更高的逼近效果
需要确定逼近范围
总结
多项式逼近与插值在数学中起着 重要作用，通过多项式逼近方法， 可以用简单的多项式函数近似表 示复杂的非线性函数，插值方法 可以通过已知数据点实现精确逼 近。在实际应用中，选择合适的 逼近方法和误差分析是十分重要 的。
03
曲线拟合的评价指标
均方误差
衡量模型与真实数据的拟合程度
01
决定系数
反映模型对数据变异的解释能力
02
04 03
总结
曲线拟合是数学中重要的理论之 一，通过逼近与插值方法，能够 更好地理解数据背后的规律，为 预测与决策提供依据。线性回归 和非线性拟合方法各有优势，评 价指标能够帮助我们选择合适的 拟合模型。
常见
通过数值积分逼近函数积分 数值积分、概率统计
评估逼近的精度和稳定性 梯形法则、辛普森法则
第4章 插值与逼近
i =0 j −1
(4-8)
则可将 n 次插值多项式写成如下形式：
pn (x) = ∑ a jϕ j ( x)
n
= a 0 + a1 ( x − x0 ) + L + a n ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n −1 )
j =0
(4-9)
其中待定系数 a0 , a1 , L, an 由插值条件
(1 − 2)(1 − 3) ( x − 1)( x − 2)
1 = ( x − 2)( x − 3) , 2
l1 ( x) =
( x − 1)( x − 3)
(2 − 1)(2 − 3)
= −( x − 1)( x − 3) ,
(
) (
)
(
)
于是
4.2.2 Newton插值公式
在插值问题中，为了提高插值精度，有时需增加插值节 点个数。插值节点个数发生变化后，所有的Lagrange插值基函 数都会发生变化，从而整个Lagrange插值多项式的结构发生变 化，这在计算实践中是不方便的。为了克服Lagrange插值多项 式的缺点，能灵活地增加插值节点，使其具有“承袭性”，我 们引进Newton插值公式。
xk − x j
i≠ j≠k
为f(x) 关于xi, xj, xk的二阶均差（差商）。
f [ x0 , x1 , L, xk ] =
xk − xk −1
称 (4-12)
f [ x0 , L , xk − 2 , xk ] − f [ x0 , x1 , L, xk −1 ]
函数的插值与多项式近似计算
函数的插值与多项式近似计算1. 实验描述计算机中常常要用到库函数，sin(x),cos(x)和e x ,它们是用多项式逼近来计算的。
常见的多项式逼近方法有泰勒级数、拉格朗日逼近、牛顿多项式等。
在求解不同的问题时，采用不同逼近方法或同一种方法不同阶数都会对逼近结果造成影响。
好的方法可以降低误差优化计算。
2. 实验内容比较对函数f(x)=tan(x)的逼近：计算N=9的多项式计算及误差比较;要求：1.用泰勒多项式逼近；2.拉格朗日多项式逼近；3.牛顿多项式逼近；4.帕德逼近。
3. 实验结果及分析泰勒多项式逼近：设f ∈C N+1[a,b]，而x 0∈[a,b]是固定值。
如果x ∈[a,b]，则有f x =P N x +E N (x )其中P N x 为用来近似f x 的多项式：f x ≈P N x = f k x 0 k !N k =0(x −x 0)k 误差项E N (x )形如E N (x )=f N +1 c N +1 ! x −x 0 N +1，c 为x 和x 0的某个值c =c x 。
令w=tan(x)，则泰勒展开的9项式为：P = x+1/3*x^3+2/15*x^5+17/315*x^7+62/2835*x^9用泰勒展开逼近其绝对误差b=|F-P|，相对误差c=b/|F| 由图（1）得在区间从-1到1之间泰勒展式能很逼近tan （x ），误差基本为零。
但随着x的变化，绝对误差和相对误差都变大，失去逼近效果。
红线为tan （x ），蓝线为P图（1）绝对误差相对误差拉格朗日多项式逼近：设f ∈C N+1[a,b]，且x 0,x 1,…,x N ∈[a,b]为N+1个节点。
如果x ∈[a,b]，则f x =P N x +E N (x )其中P N x 是可以用于逼近f(x)的多项式：f x ≈P N x = f (x k )L N ,k Nk =0x误差项E N (x )形如E N (x )= x −x 0 x −x 1 … x −x N f N +1 c N +1 ！c =c x 为区间[a,b]内的某个值。
插值与多项式逼近的数组计算方法实验
插值与多项式逼近的数组计算方法实验【摘要】计算机软件中经常要用到库函数，如）cos，x e，它们（x（xsin，）是用多项式逼近来计算的。
虽然目前最先进的逼近方法是有理函数（即多项式的商），但多项式逼近理论更适于作为数值分析的入门课程。
在已知数据具有高精度的情况下，通常用组合多项式来构造过给定数据点的多项式。
构造组合多项式的方法有许多种，如线性方程求解、拉格朗日系数多项式以及构造牛顿多项式的方分和系数表。
关键字泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近一、实验目的1.通过具体实验，掌握泰勒级数、拉格朗日插值法、牛顿插值法、帕德逼近的编程技巧。
2.比较各插值方法的优劣并掌握。
二、实验原理1.泰勒级数在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
具有任意阶导数，则幂级数如果在点x=x处的泰勒级数。
称为在点x=0，得到的级数在泰勒公式中，取x称为麦克劳林级数。
函数的麦克劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与的麦克劳林级数一致。
2.拉格朗日插值法如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。
这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。
数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。
在平面上有(x 1,y 1)(x 2,y 2)...(x n ,y n )共n 个点，现作一条函数f （x ）使其图像经过这n 个点。
作n 个多项式p i (x),i=1,2,3...,n,使得最后可得3.牛顿插值法插值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
第4章-多项式插值方法
f [ x, x0 ,L , xn1] f [ x0 , x1,L , xn ]
f [ x, x0 , x1,L , xn ]( x xn ).
22
4.3.2 Newton均差插值多项式 只要把后一式代入前一式，就得到
f ( x) f ( x0 ) f [x0 , x1]( x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1) L
ln1.46 (1.46 1.5)(1.46 1.6) ln1.4 (1.46 1.4)(1.46 1.6) ln1.5
(1.4 1.5)(1.4 1.6)
(1.5 1.4)(1.5 1.6)
(1.46 1.4)(1.46 1.5) ln1.6 0.378402 (1.6 1.4)(1.6 1.5)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x
),
x
[a,
b]
其中 ( x) (a, b).
注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式
Rn ( x)
Mn1 (n 1)!
n1( x)
11
（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使n1(x)
尽可能小，以减小误差。
若 f ( x) =xk (k n), 那么f (n1)( x) 0,
x( x
1)
13
L2( x) f ( x0 )l0( x) f ( x1)l1( x) f ( x2 )l2( x) 1.25l0( x) 0.75l1( x) 1.25l2( x)
5
5
x( x 1) 0.75( x 1)( x 1) x( x 1)
8
8
3 1 x2 42
第9节 多项式插值
拉格朗日多项式
P2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
1.3 log10 P1(x) P2(X) X
1 1.25 ( x 20)( x 15) 50 1.2 1.1761 1.15 ( x 10)( x 20) 25 1.1 1.3010 1.05 ( x 10)( x 15) 50 1 10 最后得到 : P 1 (12) 1.0602 （三位有效数字） P2 (12) 1.0766 （四位有效数字） log(12) 1.0792
• 差异：
y y
插值函数必 须经过插值点。
x x
拟合函数不必 经过拟合点。
插值
• 在已知 < xi, yi > 的前提下，有多少函数满足yi = f (xi) ？
y
x
• 给定任意一组< xi, yi >，存在无穷多函数满足yi = f (xi) ，因 此，在解决插值问题前，必须首先明确所采用的插值函数。 • 常用插值函数：
f ( n＋1) ( x)在（a, b）存在，节点a x0 x1 ... xn b, Pn ( x)是n次拉格朗日插值多项式，则对任意的x [a, b], 必存一点 (a, b), 使插值余项： Rn ( x)
n 1 时 n 2时 f ''' ( ) R2 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 6
A = vander(x) display(strcat('cond(A) = ' , num2str(cond(A)))) display(' ') display('P = A \ y.' ) P = A \ y.' ; P = P.' plot(x, y, 'o') hold on xx = 0 : 0.01 : 1; yy = P(1) * xx.^5 + P(2) * xx.^4 + P(3) * xx.^3 + P(4) * xx.^2 + P(5) * xx.^1 + P(6); plot(xx, yy)
第四章 多项式与插值
0
0.5
1
1.5
2
2 插 值 多 项 式 的 存唯 在一 性 定 理 4 . 1 :在 n 1 个 互 异 节 点处 x 满 足 插 值 条 件 k p ( x x k 0 , 1 ,2 ,. . . ,n ) n k)f( k) ( 的 次 数 不 超 过 n 的 多 项 式 p ( x )存 在 且 唯 一 . n
P=[3,0,4,-5,-7.2,5]; X=roots(P) %求方程f(x)=0的根 G=poly(X) %求多项式g(x) X0=[5,7.8,9.6,12.3]; f=polyval(P,X0) %求多项式f(x)在给定点的值
注：多项式求值还有一个函数是polyvalm，其调用 格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要 求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。 3. 多项式的四则运算 (1)多项式的加减法
加法：c=poly_add(a,b)
减法: c=poly_add(a,-b)
(2)多项式的乘法
函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。
(3)多项式的除法
函数[Q,r]=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2
作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，
r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系
二、用幂级数做多项式插值
给定 n+1 个数据点：
x 1 x 2 y 1 y 2 x n 1 y n 1 横 坐 标 纵 坐 标
过 n+1个点的 n 阶多项式可写为幂级数形式：
n n 1 g ( x ) c x c x c x c 1 2 n n 1
(第4章 函数逼近的插值法与曲线拟和法)1
(4.1.7)
其中， (a, b) 。
26
拉格朗日余项定理
证明 当 x xi 时，显然式(4.1.7)成立。
现 设
x xj
，
由 Rn ( x j ) f ( x j ) Ln ( x j ) 0
(j=0,1,…，n)，故知 Rn (x) 可表示为
Rn ( x) k ( x) ( x)
18
显然
Ln( x0 ) l0 ( x0 ) y0 l1 ( x0 ) y1 ln ( x0 ) yn y0 Ln( x1 ) l0 ( x1 ) y0 l1 ( x1 ) y1 ln ( x1 ) yn y1
……..
Ln( xn ) l0 ( xn ) y0 l1 ( xn ) y1 ln ( xn ) yn yn
归结为：构造一个简单函数，既能反映函数的 特征，又便于计算。
2
这类问题称为插值问题
x0 , x1, ... , xn 称为插值节点 P(x0)=y0 , P(x1)=y1 , , P(xn)=yn称为插值条件
f(x) 称为被插值函数；
p(x) 称为插值函数；
[x0 , xn] 称为插值区间；
3
2o v v l j y j ; 4) 输出 : u, v。
24
25
四、 插值余项
定理 4.1.2 设函数 f ( x) C n [a, b] ， f ( n1) ( x) 在开区间（a,b） 内存在，则 Lagrange 插值多项式 Ln( x) 的余式有如下估计 式：
f ( n 1) ( ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) ( x) (n 1)!
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a n x0 n a n 1 x0 n 1 a1 x0 a 0 f ( x0 ) n n 1 a n x1 a n 1 x1 a1 x1 a 0 f ( x1 ) a x n a x n 1 a x a f ( x ) n 1 n 1 n 0 n n n
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定理4.1 （泰勒多项式逼近） 设f∈CN+1[a,b],而x0∈[a,b] 是固定值。如果x∈[a,b]，则有 f(x)=PN(x)+EN(x) 其中PN(x)为用来近似f(x)的多项式： N f ( k ) ( x0 ) k f ( x) P ( x ) ( x x ) N 0 k ! k 0 误差项EN(x)为
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插值函数φ (x)在n+1个互异插值节点 xi(i=0,1,…,n )处与 f(x)相等,也就是φ (xi)= f(xi)。 在其它点x就用φ (x) 的值作为f(x) 的近似值。这一过程称 为插值，点x称为插值点。 换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出” 所要点的函数值。用φ (x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望 φ (x)能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单
a1 x a0
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为 代数插值法。其几何意义如下图所示
y y=P(x) y=f(x)
P( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
y1
yn
x0 x1 xn x _____________________________________________________________
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多项式计算方法
定理4.2（泰勒级数） 设f(x)在包含x0的区间(a,b)中是解 析的。设泰勒多项式(2)趋近于一个极限
S ( x) lim PN ( x) lim
N N k 0 N
(i 1,2,, n)
则称φ (x)为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点xi为 插值节点, 该式为插值条件, 而误差函数R(x)=f(x)- φ (x)称 为插值余项, 区间[a, b]称为插值区间, 插值点在插值区间 内的称为内插值, 否则称外插值。 _____________________________________________________________
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n次代数插值问题的解是存在且惟一的
设n次多项式
P( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
是函数y=f(x)在区间[a, b]上的n+1个互异的节点xi (i=0,1,…,n)上的插值多项式,则求插值多项式P(x)的问题 就归结为求它的系数a,由插值条件φ (xi)= f(xi)可得
I. 泰勒级数和函数计算
常用泰勒级数
其过程就是，无穷多项相加，并求部分和的极限。 _____________________________________________________________
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M max{| f N 1 ( z) |: x0 R z x0 R}
• 增加N；和减小R，从而减小误差。 _____________________________________________________________
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k 1
N
f ( k ) ( x0 ) ( x x0 ) k 1 ( k 1)! f
( k 1)
k 0
N 1
( x0 ) ( x x0 ) k k!
连续求导，即可证明。 _____________________________________________________________
推论4.1 如果PN(x)为定理4.1给出的N次多项式，则
(k ) (k ) P ( x ) f ( x0 ), k 0,1,..., N N 0
' P 证明： N ( x)
f ' ( x0 )
k 1
N
f ( k ) ( x0 ) ( x x0 ) k 1 ( k 1)!
插值法的基本原理
设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, x0,x1,…,xn是区间[a, b] 上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知 f(x0),f(x1),…,f(xn),即yi=f(xi)。若存在一个f(x)的近似函数 φ (x),满足
( xi ) f ( xi )
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例题： ex在x0=0泰勒展开，并计算x=1时的部分和 (n≤15)
n
0
e
1.0 2.0 2.5 2.666666666666 2.708333333333 2.716666666666
部分和公式： sn=1+1/1！+1/2!+…+1/n!
f ( k ) ( x0 ) ( x x0 ) k k!
则f(x)有泰勒展开
f ( x)
k 0
f ( k ) ( x0 ) ( x x0 )k k!
可以由级数收敛定义证明。上式如果成立，则误差项趋近于 0，所以一个充要条件是 _____________________________________________________________
例题： 求逼近多项式ex≈P8(x)，在区间|x|≤1.0和|x|≤0.5的 误差界。 ① |x|≤1.0， 所以R=1.0 M=max(f(N+1)(x))=max(f(9)(x)), M=|ec |≤e1 因此，|E8(x)|≤e1(1)9/9! ≈0.00000749 ② 试着分析|x|≤0.5的情况 _____________________________________________________________
y = p (x ) y=f(x)
f(x)可以用p(x)来近似 _____________________________________________________________
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讲授提纲
I. 泰勒级数和函数计算 II. 插值介绍 III. 拉格朗日逼近 IV. 牛顿多项式 V. 帕德逼近 VI. 本章小结
_____________________________________________________________
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1 2 3 4
练习： … 分析误差项，并判断有效数字位数。 15
5
2.718281828459
_____________________________________________________________
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泰勒多项式误差
泰勒多项式的精度随着N的增长而提高，另一方面随着x 逐渐远离x0，精度逐渐降低。 如何保证精度？ ① 足够大的N ② 限制最大值|x- x0 | 如果给定区间宽度为2R，而x0位于区间中心(即|x- x0 |<R) ，则误差绝对值满足关系 MR N 1 | EN ( x) | ( N 1)!
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f ( N 1) (c) lim EN ( x) lim ( x x0 ) N 1 0 x x ( N 1)!
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习题：
1. 设f(x)=sin(x)，应用定理4.1， (a) 对x0=0，计算P5(x), P7(x)和P9(x) (b) 证明|x|≤1，则逼近多项式sin(x)=P9(x)的误差界| E9(x) |<1/10! ≤2.75574 x 10 -7 (c) x0=π/4, 计算P5(x), 其中包含（x- π/4 ）的幂函数 2. 对f(x)=(2+x)1/2,应用定理4.1， (a)求x0=2附近的P3(x) (b)用P3(x)计算31/2的近似值 (c)求区间1≤ c ≤3上|f (4) (c)|的最大值，并计算|E3(x)|的误差 界 _____________________________________________________________