正态分布的算术平均数
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合一，都位于点。
3、正态分布的多数观察值集中于算术平均数
的附近，离平均数愈远，相应的次数愈少， 在-≥3 以外，次数极少。
4、正态分布曲线的形状完全取决于和 两个参数。 确定正态分布在X轴上的 中心位置， 确定正态分布的变异度。
5、正态分布概率密度函数曲线与X轴所围 成的全部面积必等于1；
量的一种最重要的理论分布。
左侧的黄色阴影部分的面积为0.25（x是0.25 分位数或25个百分点），而右侧深色部分面 积是遇到取值大于2的数值的概率（-0.023）.
正态分布概率密度函数：
1 f ( x) e 2
1 x 2 ( ) 2
x
f ( x)
: 所研究的变数;
:x的函数值,称为概率密度函数;
逐渐增大时,事件A的频率愈来愈稳定的
接近一个定值P，则定义为事件A发生的
概率.记为
P(A)=p=a/n
概率的基本性质: 1、任何事件的概率都在0与1之间,即:
0≤P(A) ≤ 1 2、必然事件的概率等于1,即:
P(U)=1
3、不可能事件的概率等于0,即:
P(V)=0
(二)概率的运算方法
1.加法定理
第三章 理论分布与抽样分布
•事件与概率 •正态分布 •二项分布和普阿松分布 •抽样分布
第一节 事件与概率 一、事件及其相互关系 (一)事件的意义
1.必然事件 2.不可能事件 3.随机事件 在一定条件下，可能发生，也可能不发 生的现象称为随机事件。
(二)、事件的相互关系
1. 和事件
事件A和事件B至少有一个发生,这 一事件称为和事件,记为“A+B”。
对标准正态分布方程计算从-∞到ui的累积
概率计算公式如下:
FN (ui ) p(u ui ) (u)du
ui
•
前人已计算出从-3到3之间各个
u值的FN(ui) 值，列入附表1。
【例2.1】有一随机变数X服从正态分布， 平均数 =30 =5，试计算X小 ，标准差 于26，大于40，介于26-40区间的概率。 x小于26：
μ :总体平均数;
:总体标准差 2 μ μ , 2 ) , 其中 , 是两个常数,正态分布记为N(
表示具有平均数为μ ,方差为 2 的正态分布。
二、正态分布曲线的特征: 1、正态分布曲线围绕算术平均数向左右两侧
作对称分布，wk.baidu.com以它是一条对称曲线。
2、正态分布的算术平均数、中数及众数三者
即:P(A1+A2+… + An）
=P(A1)+P(A2) + … +(An)
=1
一批棉花纤维长度<28cm事件A1,概率 为0.2; 28-30cm事件A2,概率为0.6; >30cm 事件A3,概率为0.2;这三种情况构成一个完 全事件系，其概率之和为：
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 0.2+0.6+0.2=1
三. 小概率事件实际不可能性
随机事件概率的大小客观地反映事件
在一次试验中发生的可能性的大小。概率
大表示该事件发生的可能性大；概率小，
说明该事件发生的可能性小；
农业研究中多采用5%、1%这两个标准 作为小概率事件。
第二节 正态分布
一、正态分布的概念
正态分布(Normal distribution)或 称高斯（Gauss)分布,是连续性随机变
两个互斥事件A和B的和事件的概 率等于事件A和事件B各自的概率之和, 既:P(A+B)=P(A)+P(B)
例如 有一批种子，其中二级占5%,一级占 10%，其余为三级，问三级种子占多少？
2.乘法定理 两个独立事件A和B的积事件的概 率等于事件A和事件B各自概率的乘积, 即: P(A×B)=P(A) ×P(B) 若一批玉米种子发芽率为0.9,发芽后能 出土的概率为0.8,求这批种子的出苗率?
正态分布的标准化 将随机变量x～ N (,
2
) 标准化，令
u
x
u称标准正态离差，表示离开平均数有 几个标准差单位。
标准化正态分布函数：
(u )
1 2
e
1 2 u 2
（u） 称为标准化正态分布密度函数，即
=0， =1时的正态分布记作N（0，1）
从N(, 2 )到 N(0,1),从几何意义上说，仅仅是将 变量x作了横坐标轴的平移和尺度单位的变化。
例如、“产品合格”A和“产品不合 格”B，A+B=必然事件，AB=不可能事 件。
5.完全事件系 若事件A1、A2、A3、…、An满足以下 条件: 即A1×A2 × A3 ×… × An=V, A1+A2﹢…+An=U 则称这n个事件为完全事件系.
二 概率的统计定义及估计方法
表3.1 在相同条件下水稻种子发芽试验结果
6、正态分布曲线在 和 处各有一 拐点。曲线两尾向左右伸展，永不接触 横 轴,x 的取值范围[-,+ ]。
三、正态分布的概率计算
• • • 根据正态分布的性质，变量在两个定值间取值 的概率等于曲线与其x轴在该区间围成的面积。 因此概率的计算即正态分布概率密度函数的定 积分计算。 N (, 2 ) 是一个曲线系统。为了一般化的应用， 需将正态分布标准化。
试验粒数(n)
发芽粒数(a)
5
5
10
8
50 100 200
44 91 179
500
452
1000
901
发芽频率(a/n) 1.0 0.8 0.88 0.91 0.895 0.904 0.901
(一)概率的统计定义 假定在相似条件下重复进行同一类试 验,调查事件A发生的次数a与试验总次数
n的比数称为频率(a/n),则在试验总次数n
2.积事件
事件A和事件B同时发生,这一事 (A 件称为积事件,记为“A×B”或 B）; 3.互斥事件(不相容事件)
事件A和事件B不能同时发生,这一 事件称为互斥事件,记为“A×B=V”
4.对立事件
事件A和事件B必发生其一,但又 不能同时发生,这一事件称为对立事 件,记为“A+B=U,A×B=V”。
P(A×B)=P(A) ×P(B)=0.9×0.8=0.72
3.对立事件的概率
若事件A的概率为P(A),那么对立 事件的概率 A 为: P( A )=1-P(A)
若一批种子发芽率为0.9,则不发芽率的概 率为1-0.9=0.1
4.完全事件系的概率
若有几个事件A1,A2,…..,An是试验的 完全事件系,则这些事件的概率之和为1。
3、正态分布的多数观察值集中于算术平均数
的附近，离平均数愈远，相应的次数愈少， 在-≥3 以外，次数极少。
4、正态分布曲线的形状完全取决于和 两个参数。 确定正态分布在X轴上的 中心位置， 确定正态分布的变异度。
5、正态分布概率密度函数曲线与X轴所围 成的全部面积必等于1；
量的一种最重要的理论分布。
左侧的黄色阴影部分的面积为0.25（x是0.25 分位数或25个百分点），而右侧深色部分面 积是遇到取值大于2的数值的概率（-0.023）.
正态分布概率密度函数：
1 f ( x) e 2
1 x 2 ( ) 2
x
f ( x)
: 所研究的变数;
:x的函数值,称为概率密度函数;
逐渐增大时,事件A的频率愈来愈稳定的
接近一个定值P，则定义为事件A发生的
概率.记为
P(A)=p=a/n
概率的基本性质: 1、任何事件的概率都在0与1之间,即:
0≤P(A) ≤ 1 2、必然事件的概率等于1,即:
P(U)=1
3、不可能事件的概率等于0,即:
P(V)=0
(二)概率的运算方法
1.加法定理
第三章 理论分布与抽样分布
•事件与概率 •正态分布 •二项分布和普阿松分布 •抽样分布
第一节 事件与概率 一、事件及其相互关系 (一)事件的意义
1.必然事件 2.不可能事件 3.随机事件 在一定条件下，可能发生，也可能不发 生的现象称为随机事件。
(二)、事件的相互关系
1. 和事件
事件A和事件B至少有一个发生,这 一事件称为和事件,记为“A+B”。
对标准正态分布方程计算从-∞到ui的累积
概率计算公式如下:
FN (ui ) p(u ui ) (u)du
ui
•
前人已计算出从-3到3之间各个
u值的FN(ui) 值，列入附表1。
【例2.1】有一随机变数X服从正态分布， 平均数 =30 =5，试计算X小 ，标准差 于26，大于40，介于26-40区间的概率。 x小于26：
μ :总体平均数;
:总体标准差 2 μ μ , 2 ) , 其中 , 是两个常数,正态分布记为N(
表示具有平均数为μ ,方差为 2 的正态分布。
二、正态分布曲线的特征: 1、正态分布曲线围绕算术平均数向左右两侧
作对称分布，wk.baidu.com以它是一条对称曲线。
2、正态分布的算术平均数、中数及众数三者
即:P(A1+A2+… + An）
=P(A1)+P(A2) + … +(An)
=1
一批棉花纤维长度<28cm事件A1,概率 为0.2; 28-30cm事件A2,概率为0.6; >30cm 事件A3,概率为0.2;这三种情况构成一个完 全事件系，其概率之和为：
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 0.2+0.6+0.2=1
三. 小概率事件实际不可能性
随机事件概率的大小客观地反映事件
在一次试验中发生的可能性的大小。概率
大表示该事件发生的可能性大；概率小，
说明该事件发生的可能性小；
农业研究中多采用5%、1%这两个标准 作为小概率事件。
第二节 正态分布
一、正态分布的概念
正态分布(Normal distribution)或 称高斯（Gauss)分布,是连续性随机变
两个互斥事件A和B的和事件的概 率等于事件A和事件B各自的概率之和, 既:P(A+B)=P(A)+P(B)
例如 有一批种子，其中二级占5%,一级占 10%，其余为三级，问三级种子占多少？
2.乘法定理 两个独立事件A和B的积事件的概 率等于事件A和事件B各自概率的乘积, 即: P(A×B)=P(A) ×P(B) 若一批玉米种子发芽率为0.9,发芽后能 出土的概率为0.8,求这批种子的出苗率?
正态分布的标准化 将随机变量x～ N (,
2
) 标准化，令
u
x
u称标准正态离差，表示离开平均数有 几个标准差单位。
标准化正态分布函数：
(u )
1 2
e
1 2 u 2
（u） 称为标准化正态分布密度函数，即
=0， =1时的正态分布记作N（0，1）
从N(, 2 )到 N(0,1),从几何意义上说，仅仅是将 变量x作了横坐标轴的平移和尺度单位的变化。
例如、“产品合格”A和“产品不合 格”B，A+B=必然事件，AB=不可能事 件。
5.完全事件系 若事件A1、A2、A3、…、An满足以下 条件: 即A1×A2 × A3 ×… × An=V, A1+A2﹢…+An=U 则称这n个事件为完全事件系.
二 概率的统计定义及估计方法
表3.1 在相同条件下水稻种子发芽试验结果
6、正态分布曲线在 和 处各有一 拐点。曲线两尾向左右伸展，永不接触 横 轴,x 的取值范围[-,+ ]。
三、正态分布的概率计算
• • • 根据正态分布的性质，变量在两个定值间取值 的概率等于曲线与其x轴在该区间围成的面积。 因此概率的计算即正态分布概率密度函数的定 积分计算。 N (, 2 ) 是一个曲线系统。为了一般化的应用， 需将正态分布标准化。
试验粒数(n)
发芽粒数(a)
5
5
10
8
50 100 200
44 91 179
500
452
1000
901
发芽频率(a/n) 1.0 0.8 0.88 0.91 0.895 0.904 0.901
(一)概率的统计定义 假定在相似条件下重复进行同一类试 验,调查事件A发生的次数a与试验总次数
n的比数称为频率(a/n),则在试验总次数n
2.积事件
事件A和事件B同时发生,这一事 (A 件称为积事件,记为“A×B”或 B）; 3.互斥事件(不相容事件)
事件A和事件B不能同时发生,这一 事件称为互斥事件,记为“A×B=V”
4.对立事件
事件A和事件B必发生其一,但又 不能同时发生,这一事件称为对立事 件,记为“A+B=U,A×B=V”。
P(A×B)=P(A) ×P(B)=0.9×0.8=0.72
3.对立事件的概率
若事件A的概率为P(A),那么对立 事件的概率 A 为: P( A )=1-P(A)
若一批种子发芽率为0.9,则不发芽率的概 率为1-0.9=0.1
4.完全事件系的概率
若有几个事件A1,A2,…..,An是试验的 完全事件系,则这些事件的概率之和为1。