正态分布的算术平均数
正态分布几何平均数-概述说明以及解释
正态分布几何平均数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：正态分布是人们在研究和描述各种自然现象中最常用的概率分布之一。
它具有许多特性，例如对称性和集中趋势，因此在各个领域都有着广泛的应用。
几何平均数是一组数据的平均值的另一种描述方式，它对数据的分布特点有着独特的解释能力。
在正态分布中，几何平均数可以帮助我们更好地理解数据的分布规律和趋势。
本文将重点讨论正态分布的几何平均数，通过对其定义和特性的分析，探讨其在实际应用中的重要性和价值。
同时，我们也将展望未来在这一领域中可能的研究方向，以期为相关领域的研究和实践提供一定的参考和启发。
1.2 文章结构文章结构部分的内容:本文主要分为引言、正文和结论三部分。
在引言部分中，将对文章的主题进行概述，介绍正态分布和几何平均数的基本概念，以及本文的目的和意义。
在正文部分中，将详细探讨正态分布的概念、几何平均数的定义以及正态分布的几何平均数特性。
最后在结论部分中，将总结正态分布几何平均数的重要性，介绍其在不同领域的应用，并展望未来可能的研究方向。
整个文章结构清晰，逻辑严谨，旨在全面而深入地探讨正态分布几何平均数的相关内容。
1.3 目的:本文旨在探讨正态分布的几何平均数及其在统计学和数据分析中的重要性。
通过对正态分布和几何平均数的定义进行介绍，我们将分析正态分布的几何平均数的特性，并阐述其在实际应用中的意义。
同时，我们将探讨正态分布几何平均数在各个领域的应用，并展望未来可能的研究方向，以期给读者一个全面的了解和启发。
通过本文的阐述，读者将能够更好地理解正态分布的几何平均数的重要性，并为相关领域的应用和研究提供有益的参考。
2.正文2.1 正态分布的概念正态分布，又称为高斯分布，是统计学中最重要的概率分布之一。
它的形状呈钟形曲线，两头低、中间高，呈对称性。
正态分布的概率密度函数具有如下的形式：f(x) = (1 / (σ* √(2π))) * exp(-((x - μ)²/ (2σ²)))其中，μ是分布的均值，σ是分布的标准差，π是圆周率。
高斯分布的均值
高斯分布的均值1. 什么是高斯分布？高斯分布（Gaussian distribution），也被称为正态分布（Normal distribution），是统计学中最重要的概率分布之一。
它以数学家卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，因其在自然界和社会科学中广泛出现而得到了广泛应用。
高斯分布具有钟形曲线的特征，其概率密度函数（Probability Density Function, PDF）可以用以下公式表示：其中，μ表示均值（mean），σ表示标准差（standard deviation）。
均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽窄程度。
2. 均值对高斯分布的影响均值是高斯分布中一个非常重要的参数，它决定了分布曲线的中心位置。
当均值μ增大时，整个分布曲线向右移动；当均值μ减小时，整个分布曲线向左移动。
这意味着均值改变后，随机变量取不同取值的概率也会发生变化。
此外，均值还可以用来描述一组数据的集中趋势。
例如，对于一个正态分布的数据集，均值就是数据的平均值。
3. 均值的计算方法在实际应用中，我们通常需要从一组观测数据中计算出高斯分布的均值。
以下是常用的几种计算均值的方法：3.1 算术平均数算术平均数是最常见也是最简单的计算均值的方法。
给定n个观测值x1,x2,...,x n，其算术平均数可以通过以下公式计算得出：x‾=1n∑x ini=1其中，x‾表示均值。
3.2 加权平均数加权平均数在某些情况下比算术平均数更为合适。
当不同观测值具有不同的权重时，我们可以使用加权平均数来计算带有权重的均值。
给定n 个观测值x 1,x 2,...,x n 及其对应的权重w 1,w 2,...,w n ，加权平均数可以通过以下公式计算得出：x ‾w =∑w i n i=1x i ∑w in i=1 其中，x ‾w 表示加权平均数。
3.3 中位数中位数是将一组观测值按照大小排列后，处于中间位置的值。
生物统计习题及答案
第一章填空1.变量按其性质可以分为（连续型）变量和（非连续/离散型）变量。
2.样本统计数是总体（总体参数）的估计值。
3.生物统计学是研究生命过程中以样本来推断（总体）的一门学科。
4.生物统计学的基本内容包括（实验设计）和（统计推断）两大部分。
5.生物统计学的发展过程经历了（古典统计学）、（近代统计学）和（现代统计学）3个阶段。
6 .生物学研究中,—般将样本容量（大于30 ）称为大样本。
7 .试验误差可以分为（随机误差）和（系统误差）两类。
判断1.对于有限总体不必用统计推断方法。
（错）2.资料的精确性高,其准确性也一定高。
（错）3•在试验设计中，随机误差只能减小,而不能完全消除。
（对）4.统计学上的试验误差，通常指随机误差。
（对）第二章填空1.资料按生物的性状特征可分为（数量性状）变量和（质量性状）变量。
2.直方图适合于表示（非连续型/离散型）资料的次数分布。
3•变量的分布具有两个明显基本特征,即（集中性）和（离散性）。
4.反映变量集中性的特征数是（平均数）,反映变量离散性的特征数是（标准差）。
5 .样本标准差的计算公式s=（）。
判断题1•计数资料也称连续性变量资料,计量资料也称非连续性变量资料。
（错）2.条形图和多边形图均适合于表示计数资料的次数分布。
（错）3.离均差平方和为最小。
（对）4.资料中出现最多的那个观测值或最多一组的中点值，称为众数。
（对）5.变异系数是样本变量的绝对变异量。
（对）单项选择1.下列变量中属于非连续性变量的是（C）.A.身高B・体重C・血型D・血压2•对某鱼塘不同年龄鱼的尾数进行统计分析,可做成(A)图来表示.A.条形B・直方C.多边形D・折线3.关于平均数，下列说法正确的是(B).A.正态分布的算术平均数和几何平均数相等.B.正态分布的算术平均数和中位数相等.C.正态分布的中位数和几何平均数相等.D.正态分布的算术平均数、中位数、几何平均数均相等。
4.如果对各观测值加上一个常数「其标准差(D )。
大学试验统计复习题
第一章复习1.解释以下概念：总体、个体、样本、样本容量、变量、参数？1.总体是具有相同性质的个体所组成的集合，是指研究对象的全体。
2.个体是组成总体的根本单元。
3.样本是从总体中抽出的假设干个个体所构成的集合。
4.样本容量是指样本个体的数目。
5.变量是相同性质的事物间表现差异性的某种特征。
6.参数是描述总体特征的数量。
7.统计数是描述样本特征的数量。
8.因素是指试验中所研究的影响试验指标的原因或原因组合。
2.统计数、因素、水平、处理、重复、效应、互作、试验误差？1.水平是指每个试验因素的不同状态(处理的某种特定状态或数量上的差异)。
2.处理是指对受试对象给予的某种外部干预(或措施)。
3.重复是指在试验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位上。
4.效应是由处理因素作用于受试对象而引起试验差异的作用。
5.互作是指两个或两个以上处理因素间的相互作用产生的效应。
6.试验误差是指试验中不可控因素所引起的观测值偏离真值的差异，可以分为随机误差和系统误差。
3.随机误差与系统误差有何区别?随机误差也称为抽样误差或偶然误差，它是由于试验中许多无法控制的偶然因素所造成的试验结果与真实结果之间的差异，是不可防止的。
随机误差可以通过试验设计和精心管理设法减小，但不能完全消除。
系统误差也称为片面误差，是由于试验处理以外的其他条件明显不一致所产生的带有倾向性的或定向性的偏差。
系统误差主要由一些相对固定的因素引起，在某种程度上是可控制的，在试验过程中是可以防止的。
4.准确性与精确性有何区别?准确性也称为准确度，是指在调查或试验中某一试验指标或性状的观测值与真值接近的程度。
精确性也称为精确度，是指调查或试验中同一试验指标或性状的重复观测值彼此的接近程度的大小。
准确性是说明测定值对真值符合程度的大小，用统计数接近参数真值的程度来衡量。
精确性是反映屡次测定值的变异程度，用样本中的各个变量问的变异程度的大小来衡量。
填空1.变量按其性质可以分为〔连续〕变量和〔非连续(离散型)〕变量。
心理统计填空题
绪论1、统计学从具体应用角度来分，可以分成、和实验设计。
1、样本上的数字特征是统计量，总体上的数字特征是。
3、在一组考分：4、2、1、2、5、6、7、9、2、8中，算术平均数为___ ___,众数为______ __，中位数为。
12、当样本容量N>时，我们称之为大样本；反之，则称之为小样本。
2.按照数据是否连续来分，某次考试中某学生得了87分属于__连续型_____数据，他这一考分在全班学生中位于第12名，这一名次属于__间断_型_____数据。
1、具有某种特征的一类事物的全体被称为________，它的每一个基本单元称为________。
2、描述统计学产生于20世纪20年代以前，以高尔顿和________为代表；推论统计学产生于20年代以后，其先驱者首推高赛特，其主要创始人以________为代表。
1、描述统计学产生于20世纪20年代以前，以高尔顿和________为代表；推论统计学产生于20年代以后，以________为代表。
1、在心理与教育研究过程中，即使使用同一种测量工具重复测量同一种现象，所测得的数据也不会完全相同。
数据的这种特点称为__________，它是由某些偶然的无法控制的因素---随机因素引起的。
随机因素造成的误差称为_______。
3、对已获得的数据进行整理、概括，显现其分布特征的统计方法为数据的统计分类。
2、按数据来源分，智商、考试成绩等分数是度量数据。
3、取值个数有限的（可数的）数据，称为间断型随机变量，该数据可以用小数表示。
5、根据样本提供的信息，运用概率理论进行分析、论证，在一定可靠程度上，对总体特征进行估计、推测的方法是推断统计。
2、为揭示实验中自变量与因变量的关系，在实验之前所制订的实验计划称为实验设计。
1.教育统计学的三个组成部分是相互联系的，其中，_____________是_______________的基础，而良好的_______________才能使我们获得真实的有价值的数据，对这样的数据的统计处理才能得出正确的结论。
均数与标准差的关系
均数与标准差的关系引言均数和标准差是统计学中常用的两个概念，它们分别反映了一组数据的平均水平和数据的离散程度。
在统计学中，研究均数与标准差的关系对于揭示数据的特征和分布具有重要意义。
本文将深入探讨均数与标准差的概念、计算方法以及它们之间的关系。
一、均数的概念和计算方法均数代表着一组数据的平均水平，是最常用的统计量之一。
均数的计算方法有多种，其中最常见的是算术平均数。
算术平均数的计算公式如下：其中，表示均数，表示样本容量，表示第个观测值。
二、标准差的概念和计算方法标准差是一组数据的离散程度的度量，它反映了数据各个观测值与均数之间的差异程度。
标准差的计算方法如下：其中，表示标准差，表示样本容量，表示第个观测值，表示均数。
三、均数与标准差的关系均数和标准差都是统计学中常用的概念，它们之间存在一定的关系。
下面将从不同角度探讨均数与标准差的关系。
3.1 均数与标准差之间的直接关系一般情况下，均数和标准差之间存在一种直观的关系：当数据的离散程度较大时，标准差会相应增大；当数据的离散程度较小时，标准差会相应减小。
这是因为标准差的计算中包含了每个观测值与均数之间的差异，当差异较大时，标准差会相应增大；当差异较小时，标准差会相应减小。
3.2 均数与标准差之间的数学关系均数和标准差之间的数学关系可以通过数学推导得到。
假设有一组数据，其均数为，标准差为，则有以下关系：•标准差的平方等于方差：表示方差，计算公式为，可以将标准差的计算公式进行推导得出。
•对于一组常规分布的数据，均数和标准差之间存在确定的数学关系。
例如，对于正态分布的数据，约68%的数据会落在一个标准差范围内；约95%的数据会落在两个标准差范围内；约99.7%的数据会落在三个标准差范围内。
这个规律被称为”68-95-99.7规则”，它揭示了均数和标准差之间的一种确定关系。
四、实例分析下面通过一个实例来更加直观地展示均数与标准差之间的关系。
假设我们有一组数据：[1, 2, 3, 4, 5]。
正态分布概率公式(部分)
图 6-2 正态分布概率密度函数的曲线正态曲线可用方程式表示。
当n→∞时，可由二项分布概率函数方程推导出正态分布曲线的方程：f(x)= （6.16 ）式中： x —所研究的变数； f(x) —某一定值 x 出现的函数值，一般称为概率密度函数（由于间断性分布已转变成连续性分布，因而我们只能计算变量落在某一区间的概率，不能计算变量取某一值，即某一点时的概率，所以用“概率密度”一词以与概率相区分），相当于曲线 x 值的纵轴高度； p —常数，等于 3.1 4159 ……； e —常数，等于 2.71828 ……；μ为总体参数，是所研究总体的平均数，不同的正态总体具有不同的μ ，但对某一定总体的μ 是一个常数；δ 也为总体参数，表示所研究总体的标准差，不同的正态总体具有不同的δ ，但对某一定总体的δ 是一个常数。
上述公式表示随机变数 x 的分布叫作正态分布，记作N( μ , δ2 ) ，读作“具平均数为μ，方差为δ2 的正态分布”。
正态分布概率密度函数的曲线叫正态曲线，形状见图 6-2 。
（二）正态分布的特性1 、正态分布曲线是以x= μ 为对称轴，向左右两侧作对称分布。
因的数值无论正负，只要其绝对值相等，代入公式（ 6.16 ）所得的 f(x) 是相等的，即在平均数μ 的左方或右方，只要距离相等，其 f(x) 就相等，因此其分布是对称的。
在正态分布下，算术平均数、中位数、众数三者合一位于μ点上。
2 、正态分布曲线有一个高峰。
随机变数 x 的取值范围为（ - ∞，+ ∞ ），在（ - ∞ ，μ ）正态曲线随 x 的增大而上升，；当 x= μ 时， f(x) 最大；在（μ ，+ ∞ ）曲线随 x 的增大而下降。
3 、正态曲线在︱x-μ︱=1 δ 处有拐点。
曲线向左右两侧伸展，当x →± ∞ 时，f(x) →0 ，但 f(x) 值恒不等于零，曲线是以 x 轴为渐进线，所以曲线全距从 -∞到+ ∞。
算术平均数的计算公式
算术平均数的计算公式算术平均数是统计学中一种最基本的方法，它表示一组数据中有多少元素，它们的能量或者价值的一种平均值。
算术平均数用于统计分析，社会科学，经济学和其他学科。
算术平均数的计算可以通过一个简单的公式来实现：算术平均数 = (x1 + x2 + x3 +… + xn) / n其中，x1，x2，x3，…，xn表示n个元素，n表示元素的总数。
以下我们以一个例子来说明如何计算算术平均数。
假设有5个元素：2, 4, 6, 8, 10，则算术平均数可以按照以下公式计算：算术平均数 =（2 + 4 + 6 + 8 + 10）/ 5 = 6从上面的例子可以看出，算术平均数可以用来衡量一组数据中元素的平均值。
算术平均数有时也被称为算术平均值，它是一组数据的中间值。
算术平均数可以帮助我们研究一组数据的总体分布，比如判断这组数据的偏态程度，是不是正态分布等。
此外，算术平均数还有一个重要的性质，即平均值的性质。
算术平均数满足“加法”和“乘法”性质，即如果一组数据中所有元素都增加a或者都乘以a，则算术平均数也会改变。
这种性质使得算术平均数具有重要的应用价值。
此外，算术平均数也有一个概念，叫做几何平均数。
几何平均数和算术平均数的计算方式不同，它是所有数据的n次方再开n次方根的值。
几何平均数主要用于计算投资的平均收益率，不仅可用于计算实际数据，也可用于空间数据，比如距离等。
总之，算术平均数是一种统计学中最基本的方法，广泛应用于不同领域。
算术平均数可以计算出一组数据中元素的平均值，可以用来衡量一组数据的总体分布，还可以用来计算投资的平均收益率。
它的计算公式也非常简单，可以用来分析一组数据中元素的平均值。
生物统计学期末复习的填空、非选择和选择题目
一、填空1 变量按其性质可以分为_连续__变量和__非连续_变量。
2 样本统计数是总体__参数_____的估计量。
3 生物统计学是研究生命过程中以样本来推断__总体_____的一门学科。
4 生物统计学的基本内容包括__试验设计_____、__统计分析_____两大部分。
5 统计学的发展过程经历了_古典记录统计学、近代描述统计学、现代推断统计学3个阶段。
6 生物学研究中，一般将样本容量___n>=30____称为大样本。
7 试验误差可以分为___随机误差____、___系统误差____两类。
8资料按生物的性状特征可分为__连续_____变量和___非连续____变量。
9直方图适合于表示___计量____资料的次数分布。
10变量的分布具有两个明显基本特征，即___集中性____和___离散性___。
11反映变量集中性的特征数是___平均数____，反映变量离散性的特征数是___变异数____。
12样本标准差的计算公式s=_______。
13如果事件A 和事件B 为独立事件，则事件A 与事件B 同时发生地概率P （AB ）=_P(A)*P(B)______。
14二项分布的形状是由__n_____和___p____两个参数决定的。
15正态分布曲线上，__μ_____确定曲线在x 轴上的中心位置，___δ____确定曲线的展开程度。
16样本平均数的标准误x σ等于____。
17t 分布曲线和正态分布曲线相比，顶部偏___低____，尾部偏___高____。
18统计推断主要包括___假设检验____ 和___参数估计____两个方面。
19参数估计包括___区间____估计和___点____估计。
20假设检验首先要对总体提出假设，一般应作两个假设，一个是___无效假设____，一个是___备择假设____。
21对一个大样本的平均数来说，一般将接受区和否定区的两个临界值写作_______。
22在频率的假设检验中，当np 或nq ___<____30时，需进行连续性矫正。
生物统计学习题集答案
生物统计学习题集参考答案第一章概论一、填空1 变量按其性质可以分为连续变量和非连续变量。
2 样本统计数是总体参数的估计量。
3 生物统计学是研究生命过程中以样本来推断总体的一门学科。
4 生物统计学的根本内容包括_试验设置、统计分析_两大局部。
5 统计学的开展过程经历了古典记录统计学、近代描述统计学现代推断统计学3个阶段。
6 生物学研究中，一般将样本容量n大于等于30称为大样本。
7 试验误差可以分为__随机误差、系统误差两类。
二、判断〔-〕1 对于有限总体不必用统计推断方法。
〔-〕2 资料的准确性高，其准确性也一定高。
(+) 3 在试验设计中，随机误差只能减少，而不可能完全消除。
〔+〕4 统计学上的试验误差，通常指随机误差。
三、名词解释样本：从总体中抽出的假设干个体所构成的集合称为样本。
总体：具有一样的个体所构成的集合称为总体。
连续变量：是指在变量X围内可抽出某一X围的所有值。
非连续变量：也称离散型变量，表示变量数列中仅能取得固定数值并且通常是整数。
准确性：也称准确度指在调查或试验中某一试验指标或性状的观测值与真实值接近的程度。
准确性：也称准确度指在调查或试验中同一试验指标或性状的重复观测值彼此接近程度的大小。
第二章试验资料的整理与特征数的计算一、填空1 资料按生物的性状特征可分为___数量性状资料_变量和__变量性状资料_变量。
2 直方图适合于表示__计量、连续变量_资料的次数分布。
3 变量的分布具有两个明显根本特征，即_集中性_和__离散性_。
4 反映变量集中性的特征数是__平均数__，反映变量离散性的特征数是__变异数〔标准差〕_。
5 样本标准差的计算公式s=√∑〔x-x横杆〕平方/(n-1)。
二、判断( - ) 1 计数资料也称连续性变量资料，计量资料也称非连续性变量资料。
( - ) 2 条形图和多边形图均适合于表示计数资料的次数分布。
〔+〕3 离均差平方和为最小。
〔+ 〕4 资料中出现最多的那个观测值或最多一组的中点值，称为众数。
平均数二：数值平均数
35
二、标准差的计算方法 （一）直接法 对于未分组或小样本资料 ， 可直接 利用（3—11）或（3-12）式来计算标 准差。
36
【例3.9】 计算10只辽宁绒山羊产绒量： 450， 450， 500， 500， 500，550， 550， 550， 600， 600，650（g）的标准差。
3
2
24
应用平均指标的原则 1．必须是同质的量方可平均； 2．总平均数与组平均数结合分析； 3．根据具体条件选择平均方法； 4．平均数与典型值和分配数列结合分析； 5．集中趋势与离散趋势结合分析。
25
第二节 标准差
一、标准差的意义 用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱 受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅用 平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面 的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度 大小的统计量。
【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝重 （单位：kg）资料整理成次数分布表如下，求 其加权数平均数。
5
要点解释
权数
权数（Weighted），是分布数列中的频数或频率。
对求平均数具有权衡轻重的作用，是影响平均数变
动的两个因素之一（另一因素是变量值）。
例
(1) x =5
(2) x =5
(3) x =4.75
X 频数 频率(%) X 频数 频率(%) X 频数 频率(%)
4 10 25.0 4 20 25.0 4 20 50.0
5 20 50.0 5 40 50.0 5 10 25.0 6 10 25.0 6 20 25.0 6 10 25.0
合计 40 100.0 合计 80 100.0 合计 80 100.0
体的平均数为：
算数平均数
算数平均数
算数平均数又称算术平均数，简称均数或均值，英文名arithmetic mean），常用于描述正态分布（或近似正态分布）变量的平均水平。
它是反映数据集中趋势的一项指标，能反映全部观察值的平均水平。
定义
算术均数（简称算数均数）是描述一组同质观察值的集中趋势，反映一组观察值平均水平的三种常用指标之一（其余为几何均数和中位数），适用于服从对称分布变量的平均水平描述。
计算方法
直接法
将所有的观察值直接相加，再除以总例数，其计算公式为：
其中，n为样本均数，为观察值。
式中的在不引起混淆的前提下，可简化为或者
性质
1、算术平均数是一个良好的描述集中趋势的指标，具有反应灵敏、确定严密、简明易解、计算简单、适合进一步演算和较小受抽样变化的影响等优点。
2、算术平均数易受极端数据的影响，这是因为平均数反应灵敏，每个数据的或大或小的变化都会影响到最终结果。
3、算术均数与方差有着密不可分的关系。
生物统计习题及答案
．在频率地假设检验中，当或（小于）时，需进行连续性矫正.二、判断
．作假设检验时，若﹥α，应该接受，否定.(错)
．若根据理知识或实践经验判断甲处理地效果不会比乙处理地效果差，分析地目地在于推断甲处理是否真地比乙处理好，这时应用单侧检验.(对)．小概率事件在一次试验中实际上是不可能发生地.(对)．当总体方差σ未知时需要用检验法进行假设检验.(错)．在进行区间估计时，α越小，则相应地置信区间越大.(对)．在小样本资料中，成组数据和成对数据地假设检验都是采用检验地方法.(对)．在同一显著水平下，双尾检验地临界正态离差大于单尾检验.(对)三、单选资料个人收集整理，勿做商业用途
第七章一、填空
、变量之间地关系分为（函数关系）和（相关关系），相关关系中表示因果关系地称为回归.
、一元线性回归方程中，地含义是（样本回归截距），地含义是（样
本回归系数）.
二、判断
、回归关系是否显著可以通过构造统计量比较和地相对大小来进行判断.（对）
、相关关系不一定是因果关系.（对）
、反映两定量指标间地相关关系用回归系数.（）、相关系数可取值.（错）
填空
．变量按其性质可以分为（连续型）变量和（非连续离散型）变量.．样本统计数是总体（总体参数）地估计值.资料个人收集整理，勿做商业用途
．生物统计学是研究生命过程中以样本来推断（总体）地一门学科.．生物统计学地基本内容包括（实验设计）和（统计推断）两大部分.．生物统计学地发展过程经历了（古典统计学）、（近代统计学）和（现代统计学）个阶段.资料个人收集整理，勿做商业用途
.下列变量中属于非连续性变量地是().
.身高.体重.血型.血压
正态分布[2-2]
![正态分布[2-2]](https://img.taocdn.com/s3/m/bb3e54a60029bd64783e2cf5.png)
(X − X) u=
S
3.曲线下对称于 的区间，面积相等。 曲线下对称于0的区间，面积相等。 曲线下对称于 的区间 4.曲线下横轴上的面积为 曲线下横轴上的面积为100%或1。 曲线下横轴上的面积为 或 。
正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线 正态分布是一种对称分布，其对称轴为直线X=µ， ， 即均数位置，理论上： 即均数位置，理论上： µ±1σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的68.27% µ±1.96σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的95% 范围内曲线下的面积占总面积的 µ±2.58σ范围内曲线下的面积占总面积的 ± 范围内曲线下的面积占总面积的99% 范围内曲线下的面积占总面积的 实际应用中： 实际应用中： 范围内曲线下的面积占总面积的68.27% ±1 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的95% ±1.96 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的99% ±2.58 S范围内曲线下的面积占总面积的 范围内曲线下的面积占总面积的
u=
X −µ
σ
二、正态分布的特征
1. 关于 心，左右对称。 左右对称。 2. 在 在 处取得概率密度函数的最大值， 处取得概率密度函数的最大值， 处有拐点，表现为钟形曲线。 处有拐点，表现为钟形曲线。即正 拐点 对称。 对称。即正态分布以均数为中
态曲线在横轴上方均数处最高。 态曲线在横轴上方均数处最高。
双侧---过高、 双侧 过高、过低均异常 过高
异常
正常
正常
异常
异常
正常
异常
生物统计学习题集
⽣物统计学习题集⽣物统计学姓名：班级：学号：第⼀章概论⼀、填空1 变量按其性质可以分为_______变量和_______变量。
2 样本统计数是总体_______的估计量。
3 ⽣物统计学是研究⽣命过程中以样本来推断_______的⼀门学科。
4 ⽣物统计学的基本内容包括_______、_______两⼤部分。
5 统计学的发展过程经历了_______、_______、_______3个阶段。
6 ⽣物学研究中，⼀般将样本容量_______称为⼤样本。
7 试验误差可以分为_______、_______两类。
⼆、判断（）1 对于有限总体不必⽤统计推断⽅法。
（）2 资料的精确性⾼，其准确性也⼀定⾼。
( ) 3 在试验设计中，随机误差只能减少，⽽不可能完全消除。
（）4 统计学上的试验误差，通常指随机误差。
三、名词解释样本总体连续变量⾮连续变量准确性精确性第⼆章试验资料的整理与特征数的计算⼀、填空1 资料按⽣物的性状特征可分为_______变量和_______变量。
2 直⽅图适合于表⽰_______资料的次数分布。
3 变量的分布具有两个明显基本特征，即_______和______。
4 反映变量集中性的特征数是_______，反映变量离散性的特征数是_______。
5 样本标准差的计算公式s=_______。
⼆、判断( ) 1 计数资料也称连续性变量资料，计量资料也称⾮连续性变量资料。
( ) 2 条形图和多边形图均适合于表⽰计数资料的次数分布。
（）3 离均差平⽅和为最⼩。
（）4 资料中出现最多的那个观测值或最多⼀组的中点值，称为众数。
（）5 变异系数是样本变量的绝对变异量。
三、名词解释资料数量性状资料质量性状资料计数资料计量资料普查抽样调查全距（极差）组中值算数平均数中位数众数⼏何平均数⽅差标准差变异系数四、单项选择（）1 下⾯变量中属于⾮连续性变量的是_______。
A ⾝⾼ B 体重 C ⾎型 D ⾎压（）2 对某鱼塘不同年龄鱼的尾数进⾏统计分析时，可做成_______图来表⽰。
算术平均数,中位数,众数三者之间的数量关系说明了什么样的变量分布特征
算术平均数,中位数,众数三者之间的数量关系说明了什么样的变量分布特征
算术平均数、中位数、众数三者是统计学中经常被提到的重要指标，可以用来衡量一组数据的中心，它们之间的关系反映了数据之间的差异状况，这也就告诉我们这些数据的分布特征。
首先，三者的数量关系是平衡的时候，表明数据的分布集中在某个中间位置，此时，算术平均数、中位数和众数都相等。
这种情况通常被称为正态分布，即曲线上有一个大致呈现出峰形状，曲线前后都是向两侧递减的曲线。
此时，这些数据的分布范围比较集中，密度也十分接近，最常见的实例是常模分布或者是正态分布。
其次，三者的数量关系不平衡时，算术平均数、中位数和众数三者之间出现差异，则表明数据的分布是非连续性的，而存在较大的非对称性。
算术平均数大于中位数，中位数大于众数，这种情况通常被称为右偏分布，这种分布特征表明，多数数据分布在右边，而数据出现的概率随着数值的增加而减少。
最后，当三者的数量关系不平衡时，算术平均数小于中位数，中位数小于众数，这种情况通常被称为左偏分布，这种分布特征表明，多数数据分布在左边，而数据出现的概率随着数值的增加而增加。
总的来说，算术平均数、中位数和众数之间的数量关系可以反映出数据分布的特征。
如果三者的数量关系平衡，则表明数据呈现正态分布；如果三者的数量关系不平衡，则表明数据分布呈现右偏分布或者左偏分布。
因此，算术平均数、中位数和众数之间的数量关系是分析数据分布特征的有效方法。
试卷成绩分布的正态性检验方法
试卷成绩分布的正态性检验方法摘要：本文针对考试成绩正态性检验研究中所存在的忽视检验方法的具体条件、缺乏方法的比较与整合等方法学上的问题，运用初等数学方法探讨了正态性检验的途径、工具和主要检验方法，并对检验方法进行了多方面比较和评价。
关键词：成绩分布正态性检验方法1.问题的提出对考试成绩应用教育统计与测量的方法进行正态性检验，是教学诊断的核心和主要基础。
所谓正态性检验，就是采用统计图表或一些基本统计指标对考试成绩进行分布形态的判别［１］，以揭示成绩分布的整体形态、分段特征以及其他一些重要测量信息。
根据判别的结果，教师可以从中提取一些重要的教学诊断信息，从而实施针对性的教学改革。
2003年以来，许多学者从教学管理［２］、教学监控［３］［４］等方面探讨了正态性检验的意义和作用，发展了基于数理统计和概率论的正态性检验方法［５］［６］［７］，开发了相应的计算机管理系统［８］。
这些研究在促进教学绩效管理和教学改革方面做出了重要的贡献，有力地推动了我国新一轮的教育改革和高校教学评建工作。
但是这些研究还存着在一些缺陷，具体表现在：混淆了教育统计与数理统计的区别，缺乏对正态性检验方法在应用时的具体教育条件的分析，往往导致对教学问题的误诊；以线性代数和数理统计为基础，未考虑高校文科教师和中小学教师的实际，限制了研究成果的应用；缺乏整合性研究，对正态性检验方法未能进行有效的比较和鉴别，导致因方法的不同而出现的争议。
因此，本文以初等数学知识和教育测量为基础，结合统计工具来探讨各种正态性检验方法的运用，并对各种检验方法进行优劣比较，以提高教师教学诊断的能力。
2.正态性检验及检验途径2.1正态性检验与成绩分布正态性检验借助基本统计指标或统计图表，对样本数据（如一个班级的考试成绩）进行整理和缩减，以便揭示出杂乱无章的数据背后隐藏的统计规律性。
通常情况下，正态性检验是判断成绩分布的偏斜程度，即判断成绩分布属于正态分布还是属于偏态分布。
统计学习题第四章数据分布特征的描述习题答案
第四章 静态指标分析法（一）一、填空题1、数据分布集中趋势的测度值（指标）主要有、和。
其中和用于测度品质数据集中趋势的分布特征，用于测度数值型数据集中趋势的分布特征。
2、标准差是反映的最主要指标（测度值）。
3、几何平均数是计算和的比较适用的一种方法。
4、当两组数据的平均数不等时，要比较其数据的差异程度大小，需要计算。
5、在测定数据分布特征时,如果M M e X 0==，则认为数据呈分布。
6、当一组工人的月平均工资悬殊较大时，用他们工资的比其算术平均数更能代表全部工人工资的总体水平。
二.选择题单选题：1.反映的时间状况不同，总量指标可分为（ ）A 总量指标和时点总量指标B 时点总量指标和时期总量指标C 时期总量指标和时间指标D 实物量指标和价值量指标2、某厂1999年完成产值200万元，2000年计划增长10%，实际完成了231万元，超额完成( )A 5.5%B 5%C 115.5%D 15.5%3、在同一变量数列中，当标志值（变量值）比较大的次数较多时，计算出来的平均数（ ）A 接近标志值小的一方B 接近标志值大的一方C 接近次数少的一方D 接近哪一方无法判断4、在计算平均数时，权数的意义和作用是不变的，而权数的具体表现（ ）A 可变的B 总是各组单位数C 总是各组标志总量D 总是各组标志值 5、1998年某厂甲车间工人的月平均工资为520元，乙车间工人的月平均工资为540元，1999年各车间的工资水平不变，但甲车间的工人占全部工人的比重由原来的40%提高到了60%，则1999年两车间工人的总平均工资比1998年（ ）A 提高B 不变C 降低D 不能做结论 6、在变异指标（离散程度测度值）中，其数值越小，则（ ）A 说明变量值越分散，平均数代表性越低B 说明变量值越集中，平均数代表性越高C 说明变量值越分散，平均数代表性越高D 说明变量值越集中，平均数代表性越低7、有甲、乙两数列,已知甲数列:07.7,70==甲甲σX ;乙数列:41.3,7==乙乙σX 根据以上资料可直接判断( )A 甲数列的平均数代表性大B 乙数列的平均数代表性大C 两数列的平均数代表性相同D 不能直接判别8、杭州地区每百人手机拥有量为90部，这个指标是 （ ）A 、比例相对指标B 、比较相对指标C 、结构相对指标D 、强度相对指标 9、某组数据呈正态分布，计算出算术平均数为5，中位数为7，则该数据分布为 （ ） A 、左偏分布 B 、右偏分布 C 、对称分布 D 、无法判断10、加权算术平均数的大小 （ ）A 主要受各组标志值大小的影响，与各组次数多少无关；B 主要受各组次数多少的影响，与各组标志值大小无关；C 既与各组标志值大小无关，也与各组次数多少无关；D 既与各组标志值大小有关，也受各组次数多少的影响11、已知一分配数列，最小组限为30元，最大组限为200元，不可能是平均数的为 （ ） A 、50元 B 、80元 C 、120元 D 、210元12、比较两个单位的资料，甲的标准差小于乙的标准差，则 （ ） A 两个单位的平均数代表性相同 B 甲单位平均数代表性大于乙单位C 乙单位平均数代表性大于甲单位D 不能确定哪个单位的平均数代表性大 13、若单项数列的所有标志值都增加常数9，而次数都减少三分之一，则其算术平均数 （ ） A 、增加9 B 、增加6C 、减少三分之一 D 、增加三分之二 14、如果数据分布很不均匀,则应编制( )A 开口组B 闭口组C 等距数列D 异距数列 15、计算总量指标的基本原则是：( ) A 总体性B 全面性C 同质性D 可比性16、某企业的职工工资分为四组:800元以下;800-1000元;1000—1500元;1500以上,则1500元以上这组组中值应近似为()A1500元 B 1600元 C 1750元D 2000元 17、统计分组的首要问题是( )A 选择分组变量和确定组限B 按品质标志分组C 运用多个标志进行分组,形成一个分组体系D 善于运用复合分组18、某连续变量数列,其末组为开口组,下限为200,又知其邻组的组中值为170,则末组组中值为( )A 230B 260C 185D 215 19、分配数列中,靠近中间的变量值分布的次数少,靠近两端的变量值分布的次数多,这种分布的类型是( )A 钟型分布B U 型分布C J 型分布D 倒J 型分布 20、要了解上海市居民家庭的开支情况，最合适的调查方式是：（） A 普查B 抽样调查C 典型调查D 重点调查21、已知两个同类企业的职工平均工资的标准差分别为5元和6元,而平均工资分别为3000元，3500元则两企业的工资离散程度为 ( )A 甲大于乙B 乙大于甲C 一样的D 无法判断 22、加权算术平均数的大小取决于( )A 变量值B 频数C 变量值和频数D 频率23、如果所有标志值的频数都减少为原来的1/5,而标志值仍然不变.那么算术平均数( ) A 不变 B 扩大到5倍 C 减少为原来的1/5 D 不能预测其变化 24、 计算平均比率最好用 ( )A 算术平均数B 调和平均数C 几何平均数D 中位数25、若两数列的标准差相等而平均数不同,在比较两数列的离散程度大小时,应采用() A 全距 B 平均差 C 标准差 D 标准差系数26、若n=20,∑∑==2080,2002x x ,标准差为( )A 2B 4C 1.5D 327、已知某总体3215,3256==eMM,则数据的分布形态为( )A左偏分布B正态分布 C 右偏分布DU型分布28、一次小型出口商品洽谈会,所有厂商的平均成交额的方差为156.25万元，标准差系数为14.2%,则平均成交额为( )万元A11 B 177.5 C 22.19 D 8826、欲粗略了解我国钢铁生产的基本情况，调查了上钢、鞍钢等十几个大型的钢铁企业，这是（）A普查B重点调查C典型调查D抽样调查多选题：1.某企业计划2000年成本降低率为8%，实际降低了10%。
正态分布的算术平均数
• 【例2.3】有一批玉米种子，其发芽率
为70%，如每窝播种4粒，问出苗数为
2和3时的概率分别为多少？
A
(q p) C p q C p q C p q C p q C p q
4 0 4 0 4 1 4 1 3 2 4 2 2 3 4 3 1 4 4 4
0
出苗数为2概率： C p q 6 0.7 0.3 0.2646
量的一种最重要的理论分布。
左侧的黄色阴影部分的面积为0.25（x是0.25 分位数或25个百分点），而右侧深色部分面 积是遇到取值大于2的数值的概率（-0.023）.
Байду номын сангаас
正态分布概率密度函数：
1 f ( x) e 2
1 x 2 ( ) 2
x
f ( x)
: 所研究的变数;
:x的函数值,称为概率密度函数;
以上两式等号右侧的前一项为右尾概率，后一 项为左尾概率，其和概率为两尾概率。附表2 列出的就是两尾概率。
第三节 二项分布和普阿松分布
一、二项总体与二项分布
在独立重复试验中，总体的某个性状每
一次试验只有非此即彼两个可能结果，这种 A 非此即彼事件所构成的总体叫二项总体，也 叫0，1总体。
当每次独立的从二项总体抽取n个个 体，这n个个体：“此”事件出现的次数 X可能有0、1、2、….n,共有n+1种,这n+1 种可能性有它各自的概率，组成一个分布, 此分布叫二项概率分布或简称二项分布 （binomial distribution）。二项分布是一 种离散型分布。
x介于26与40之间：
p(26 x 40) p(0.8 u 2) F (u 2) F (u 0.8) 0.9773 0.2119 =0.7654
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6、正态分布曲线在 和 处各有一 拐点。曲线两尾向左右伸展，永不接触 横 轴,x 的取值范围[-,+ ]。
三、正态分布的概率计算
• • • 根据正态分布的性质，变量在两个定值间取值 的概率等于曲线与其x轴在该区间围成的面积。 因此概率的计算即正态分布概率密度函数的定 积分计算。 N (, 2 ) 是一个曲线系统。为了一般化的应用， 需将正态分布标准化。
量的一种最重要的理论分布。
左侧的黄色阴影部分的面积为0.25（x是0.25 分位数或25个百分点），而右侧深色部分面 积是遇到取值大于2的数值的概率（-0.023）.
正态分布概率密度函数：
1 f ( x) e 2
1 x 2 ( ) 2
x
f ( x)
: 所研究的变数;
:x的函数值,称为概率密度函数;
μ :总体平均数;
:总体标准差 2 μ μ , 2 ) , 其中 , 是两个常数,正态分布记为N(
表示具有平均数为μ ,方差为 2 的正态分布。
二、正态分布曲线的特征: 1、正态分布曲线围绕算术平均数向左右两侧
作对称分布，所以它是一条对称曲线。
2、正态分布的算术平均数、中数及众数三者
正态分布的标准化 将随机变量x～ N (,
2
) 标准化，令
u
x
u称标准正态离差，表示离开平均数有 几个标准差单位。
标准化正态分布函数：
(u )
1 2
e
1 2 u 2
（u） 称为标准化正态分布密度函数，即
)到 N(0,1),从几何意义上说，仅仅是将 变量x作了横坐标轴的平移和尺度单位的变化。
试验粒数(n)
发芽粒数(a)
5
5
10
8
50 100 200
44 91 179
500
452
1000
901
发芽频率(a/n) 1.0 0.8 0.88 0.91 0.895 0.904 0.901
(一)概率的统计定义 假定在相似条件下重复进行同一类试 验,调查事件A发生的次数a与试验总次数
n的比数称为频率(a/n),则在试验总次数n
合一，都位于点。
3、正态分布的多数观察值集中于算术平均数
的附近，离平均数愈远，相应的次数愈少， 在-≥3 以外，次数极少。
4、正态分布曲线的形状完全取决于和 两个参数。 确定正态分布在X轴上的 中心位置， 确定正态分布的变异度。
5、正态分布概率密度函数曲线与X轴所围 成的全部面积必等于1；
即:P(A1+A2+… + An）
=P(A1)+P(A2) + … +(An)
=1
一批棉花纤维长度<28cm事件A1,概率 为0.2; 28-30cm事件A2,概率为0.6; >30cm 事件A3,概率为0.2;这三种情况构成一个完 全事件系，其概率之和为：
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 0.2+0.6+0.2=1
三. 小概率事件实际不可能性
随机事件概率的大小客观地反映事件
在一次试验中发生的可能性的大小。概率
大表示该事件发生的可能性大；概率小，
说明该事件发生的可能性小；
农业研究中多采用5%、1%这两个标准 作为小概率事件。
第二节 正态分布
一、正态分布的概念
正态分布(Normal distribution)或 称高斯（Gauss)分布,是连续性随机变
第三章 理论分布与抽样分布
•事件与概率 •正态分布 •二项分布和普阿松分布 •抽样分布
第一节 事件与概率 一、事件及其相互关系 (一)事件的意义
1.必然事件 2.不可能事件 3.随机事件 在一定条件下，可能发生，也可能不发 生的现象称为随机事件。
(二)、事件的相互关系
1. 和事件
事件A和事件B至少有一个发生,这 一事件称为和事件,记为“A+B”。
两个互斥事件A和B的和事件的概 率等于事件A和事件B各自的概率之和, 既:P(A+B)=P(A)+P(B)
例如 有一批种子，其中二级占5%,一级占 10%，其余为三级，问三级种子占多少？
2.乘法定理 两个独立事件A和B的积事件的概 率等于事件A和事件B各自概率的乘积, 即: P(A×B)=P(A) ×P(B) 若一批玉米种子发芽率为0.9,发芽后能 出土的概率为0.8,求这批种子的出苗率?
对标准正态分布方程计算从-∞到ui的累积
概率计算公式如下:
FN (ui ) p(u ui ) (u)du
ui
•
前人已计算出从-3到3之间各个
u值的FN(ui) 值，列入附表1。
【例2.1】有一随机变数X服从正态分布， 平均数 =30 =5，试计算X小 ，标准差 于26，大于40，介于26-40区间的概率。 x小于26：
P(A×B)=P(A) ×P(B)=0.9×0.8=0.72
3.对立事件的概率
若事件A的概率为P(A),那么对立 事件的概率 A 为: P( A )=1-P(A)
若一批种子发芽率为0.9,则不发芽率的概 率为1-0.9=0.1
4.完全事件系的概率
若有几个事件A1,A2,…..,An是试验的 完全事件系,则这些事件的概率之和为1。
2.积事件
事件A和事件B同时发生,这一事 (A 件称为积事件,记为“A×B”或 B）; 3.互斥事件(不相容事件)
事件A和事件B不能同时发生,这一 事件称为互斥事件,记为“A×B=V”
4.对立事件
事件A和事件B必发生其一,但又 不能同时发生,这一事件称为对立事 件,记为“A+B=U,A×B=V”。
例如、“产品合格”A和“产品不合 格”B，A+B=必然事件，AB=不可能事 件。
5.完全事件系 若事件A1、A2、A3、…、An满足以下 条件: 即A1×A2 × A3 ×… × An=V, A1+A2﹢…+An=U 则称这n个事件为完全事件系.
二 概率的统计定义及估计方法
表3.1 在相同条件下水稻种子发芽试验结果
逐渐增大时,事件A的频率愈来愈稳定的
接近一个定值P，则定义为事件A发生的
概率.记为
P(A)=p=a/n
概率的基本性质: 1、任何事件的概率都在0与1之间,即:
0≤P(A) ≤ 1 2、必然事件的概率等于1,即:
P(U)=1
3、不可能事件的概率等于0,即:
P(V)=0
(二)概率的运算方法
1.加法定理