结构力学教案位移法和力矩分配法
结构力学教案--力法3
15.3 力法的计算步骤和示例（二）一次超静定钢架【例】作图 (a)所示连续梁的内力图。
EI 为常数。
【解】(1) 选取基本结构 此结构为一次超静定梁。
将B 点截面用铰来代替，以相应的多余未知力X1代替原约束的作用，其基本结构如图 (b)所示。
(2) 建立力法方程 位移条件：铰B 两侧截面的相对转角应等于原结构B 点两侧截面的相对转角。
由于原结构的实际变形是处处连续的，显然同一截面两侧不可能有相对转动或移动，故位移条件为B 点两侧截面相对转角等于零。
由位移条件建立力法方程如下δ11X1+Δ1P=0(3) 计算系数和自由项 分别作基本结构的荷载弯矩图MP 图和单位弯矩图M1图，如图19.13(c)、(d)所示。
利用图乘法求得系数和自由项分别为(4) 求多余未知力 将以上系数和自由项代入力法方程，得(5) 作内力图 ① 根据叠加原理作弯矩图，如图 (e)所示。
② 根据弯矩图和荷载作剪力图，如图 (f)所示11212(11)233ll EI EIδ=⨯⨯⨯=21(32)48P P ql l EI+∆=-2112(32)0348(32)32l P ql l X EI EIP ql l X +-=+=15.3 力法的计算步骤和示例（三） 铰接排架【例】计算图 (a)所示排架柱的内力，并作出弯矩图。
【解】(1) 选取基本结构 此排架是一次超静定结构，切断横梁代之以多余未知力X1得到基本结构如图 (b)所示。
(2) 建立力法方程 δ11X1+Δ1P=0(3) 计算系数和自由项 分别作基本结构的荷载弯矩图MP 图和单位弯矩图M1图如图 (c)、(d)所示。
利用图乘法计算系数和自由项分别如下(4) 计算多余未知力 将系数和自由项代入力法方程，得解得X1=-5kN(5) 作弯矩图 按公式M=M1X1+MP 即可作出排架最后弯矩图如图 (e)所示。
13521760033X EI EI+=15.6 超静定结构的位移计算 一次超静定钢架用力法计算超静定结构，是根据基本结构在荷载作用和全部多余未知力共同作用下内力和位移应与原结构完全一致这个条件来进行的。
结构力学教案位移法和力矩分配法
§7-6 用位移法计算有侧移刚架例1.求图(a)所示铰接排架的弯矩图。
解：（1）只需加一附加支杆，得基本结构如图(b)所示，有一个基本未知量Z 1。
（2）位移法方程为 01111=+P R Z r（3）求系数和自由项2211123l il i r ==∑ql R P 431-=（4）代入方程求未知量iql Z 1631=（5）绘制弯矩图例2.用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M 图 解：（1）此刚架具有一个独立转角Z 1和一个独立线位移Z 2。
在结点C 加入一个附加刚臂和附加支杆，便得到图(b)所示的基本结构。
（2）建立位移法方程01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r （3）求各系数和自由项i i i r 73411=+=， i r r 5.12112-==1615434122222ii i r =+=01=P RkN ql RP 6030832-=--=（4）求未知量i Z 87.201=，i Z 39.972= （5）绘制弯矩图例3.用直接平衡法求刚架的弯矩图。
解：（1）图示刚架有刚结点C 的转角Z 1和结点C 、D 的水平线位移Z 2两个基本未知量。
设Z 1顺时针方向转动，Z 2向右移动。
（2）求各杆杆端弯矩的表达式3421+-=Z Z M CA 3221--=Z Z M AC 13Z M CD = 25.0Z M BD -= （3）建立位移法方程有侧移刚架的位移法方程，有下述两种：Ⅰ.与结点转角Z 1对应的基本方程为结点C 的力矩平衡方程。
∑=0CM ， 037021=+-⇒=+Z Z M M CD CAⅡ.与结点线位移Z 2对应的基本方程为横梁CD 的截面平衡方程。
∑=0xF， 0=+D C CA Q Q取立柱CA 为隔离体(图(d))，∑=0A M ， 331216262121-+-=---=Z Z ql Z Z Q CA 同样，取立柱DB 为隔离体（(e))，∑=0B M ， 2212165.0Z Z Q DB =--= 代入截面平衡方程得 03125012133121221=-+-⇒=+-+-Z Z Z Z Z（4）联立方程求未知量 Z 1=0.91 Z 2=9.37（5）求杆端弯矩绘制弯矩图将Z 1、Z 2的值回代杆端弯矩表达式求杆端弯矩作弯矩图。
结构力学——6位移法和力矩分配法
△ △
4、5、6 三个固定端都是不动的点，结点1 、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长 度不变，故三个结点均有相同的水平位移 FP △ 。
1
2
3
4
5
6
(a)
事实上，图(a)所示结构的独立线位移数 将结构的刚结点(包括固定支座)都变成 目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目 铰结点(成为铰结体系),则使其成为几何 是相同的。因此，实用上为了能简捷地确 不变添加的最少链杆数，即为原结构的独 定出结构的独立线位移数目，可以 立线位移数目(见图b)。
4
5
6
(a)
共有四个刚结点，结点线位移数目为二 ，基本未知量为六个。基本结构如图所 示。
7
10 返回
5
6
(b)
例：确定图a所示连续梁的基本结构。 D B A C D B A C
（图a）
A A
B B
基本结构 基本结构
C C
D （图b） D
在确定基本结构的同时，也就确定了基本未知量及其数目。
EI
第六章
位移法和力矩分配法
§6—1 位移法的基本概念 §6—2 位移法基本未知量的确定 §6—3 位移法典型方程计算步骤和示例 §6—4 力矩分配法的基本概念 §6—5 用力矩分配法计算连续梁 §6—6 用力矩分配法计算无接点线位移刚架
1
§6—1
位移法的基本概念
一、位移法的提出(Displacement Method)
M
A
B
0
2i
r11 4i 4i 0
8EI r11 8i l
2i
M1
得
15
求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩 图(MP图)。 取结点B为隔离体
结构力学(I)力矩分配法
M1B M1FB
M1C M1FC
S1 B ( R ) M1FB 1B ( R1P ) S 1P
1
1
S1C ( R ) M 1FC 1C ( R1P ) S 1P
1
力矩分配法采用了与位移法相同的基本结 构，即固定刚结点，在固定状态下刚臂上产生 约束力矩，为恢复到原状态，将刚臂放松（加 反方向约束力矩），求出放松状态产生的杆端 力矩，将固定状态与放松状态的杆端力矩叠加 即得结构的实际杆端力矩.
一. 基本概念
远端支撑 固定 铰支 滑动 转动刚度S 4i 3i i 传递系数C 1/2 0 -1
1
1
1
可避免解联立方程 不需要求出角位移 计算程式简单机械
哈工大 土木工程学院
4i
1 / 31
2i
3i
哈工大 土木工程学院
i
2 / 31
讨论 1 点在M作用下各杆端的弯矩 1M m1 0
列表法
练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图
B
EI
A
EI
C
40 kN
10m
10m
q 10 kN/m
M F 100
分 配 传 递
0.571 0.429 100 0 57.1 42.9 42.9 42 .9
0 0
A
4m
EI
BБайду номын сангаас
4m
EI
C
6m
28.6
M 128.6
128 .6
0
42.9
M
哈工大 土木工程学院
ql 2 /12
A
F F M BC M CB 0
第16章 位移法及力矩分配法
（2）近端位移弯矩的计算及分配系数 AB杆：远端为固定支座，转动刚度SBA = 4i BC杆：远端为铰支座，转动刚度SBC = 3i BD杆：远端为双滑动支座，转动刚度SBD = i
各杆近端（B端）的杆端弯矩表达式：
M BA
F F F M BA M BA 4i M BA S BA M BA
独立节点线 位移数为1
独立节点线 位移数为2
16.1.3 位移法的杆端内力
•（１）运用位移法计算超静定结构时，需要将结 构拆成单杆，单杆的杆端约束视结点而定，刚结点 视为固定支座，铰结点视为固定铰支座。当讨论杆 件的弯矩与剪力时可不予考虑，从而铰支座可进一 步简化为垂直于杆轴线的可动铰支座。结合边界支 座的形式，位移法的单杆超静定梁有三种形式，如 图1６-４所示。
第16章 位移法及力矩分配法
第16章 位移法及力矩分配法
16.1 位移法的基本概念 16.2 位移法的原理 16.3 位移法的应用 16.4 力矩分配法的基本概念 16.5 用力矩分配法计算连续梁 和无侧移刚 架
学习目标
• 通过本章的学习，熟悉位移 法的基本概念、力矩分配法 的概念；掌握位移法的原理， 能进行位移法的应用； 能够用力矩分配法计算连续梁 和无侧移刚架。
16.1位移法的基本概念
16.1.1 位移法基本变形假设
位移法的计算对象是由等截面直杆组成的杆系 结构，例如刚架、连续梁。在计算中认为结构仍然 符合小变形假定。同时位移法假设： （１）各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变； （２）刚性结点所连各杆端的截面转角是相同的。
16.1.2 位移法基本未知量
S BA M BA
S BC M BC
S BD M BD
结构力学6位移法和力矩分配法
△
4、5、6 三个固定端都是不动的点，结点 1
2△
3△
1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其
长度不变，故三个结点均有相同的水平位 移△ 。Biblioteka FP456
(a)
事将实结上构，的图刚(a结)所点示(包结括构固的定独支立座线)都位变移成数
铰目结，点与(图成(为b)铰所结示体铰系结)体,则系使的其线成位为移几数何目不 变是添相加同的的最。少因链此杆，数实，用即上为为原了结能构简的捷独地立确
线定位出移结数构目的(独见立图线b)位。移数目，可以
7
(b)
返回
ZZ1 1
Z 1Z 1
FF11
CC
DD
CC
DD
FF22
BB
BB ZZ2 2
EE Z2Z2
EE
AA
FF
AA
FF
结构有四个刚结点——四个结点角位移。
需增加两根链杆， 2个独立的线位移。
位移法的基本未知量的数目为6个。
需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件， 变形后两端之间的距离不能看作是不变的。
D l
l
1
FC
B
B
F
C
B B
l/ 2 l/2
A
l/ 2 l/ 2
三次超静定图示刚架
力 法：三个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
l
力法与位移法必须满足的条件：
1.力的平衡; 2. 位移的协调; 3. 力与位移的物理关系。
位移法的基本假定：
（1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响。
例如 ( 见图a) 基本未知量三个。
2
3
5
工程力学-结构力学课件-8力矩分配法
40kN .m
求不平衡力矩
40kN.m
A EI
6m
C B EI
4m
MBu
20kN / m
40kN .m
60
60
M
u B
60
40
100kN .m
A
60 B
C
40
8 /17 9 /17
M F 60
60
分 配
23.5
传
递
47 53
M 83.5 13 53
§8-2多结点的力矩分配A q 12kN / m
对于同层柱等高，剪力分配系数可简化为按各柱的线刚度进行
分配，即
i
ii ii
顶层：
1
i1 ii
1 3
2
3
底层：
5
i5
2
0.4
ii 1.5 2 1.5
4
i4 ii
1.5 1.5 2 1.5
0.3
6
(2)计算各柱剪力
第8章 渐近法及其他算法简介
§8-1 力矩分配法的基本概念
力法、位移法：精确，求解方程。 力矩分配法是基于位移法，逐步逼近精确解 的近似方法。 单独使用时只能用于无侧移（无线位移）的 结构。
1.名词解释
B
q 1
C
M1B 3i ql2 / 8
M1A 4i ql 2 / 4
M1C i
1.8 3.5 2.6
… … ...
M1FA ql 2 / 8 150
M1F2 ql 2 / 12 100
S21 4i
S2B 3i
第15章 位移法和力矩分配法
EI B i =EI/l
线刚度
l
M AB 4i M BA 2i
2i A 4i M图 B A 6i/l
VAB 6i / l VBA 6i / l
B 6i/l V图
A l
EI
B △=1
M AB 6i / l M BA 6i / l
6i/l A M图
VAB 12i / l 2 VBA 12i / l 2
2、基本未知量 基本未知量: 包括角位移和独立的结点线位移 在所有刚结点上加刚臂 在有结点线位移的方向上加连杆 角位移=刚结点数 独立线位移 =? ☆‘刚结点’变成铰，为使铰结体系几 何不变所需加的支杆数。
Z1
Z2
Z1
Z2
Z3
Z1 EI Δ1 EI q
Z2
Z3
EI
Z2 EI
q Z1
位移法的基本结构不唯一!!
△1
EI
q
EI
例1 用位移法计算图示连续梁
Z1
r
r11
3i
11
Z1+ R1F =0
R1
EI
q
EI
3i
2
r
11
=6i
R1F
ql 2 / 8
R1F
q
R1F ql2 / 8
ql 8
Z1 ql2 / 48i
M M1Z1 M F
ql2 / 16
MP
r11
3i
Z1=1 3i
M
M1
例2 用位移法计算图示连续梁，EI=常数。
B
MB
B
M BA
C
M BA BA ( M B ) 57.1
结构力学——力矩分配法
结构力学——力矩分配法结构力学是研究物体在外力作用下的变形和破坏行为的学科。
其中，力矩分配法是一种求解结构梁的内力和变形的常用方法之一、本文将介绍力矩分配法的基本理论和应用。
首先，对于结构力学的研究，我们需要了解一些基本概念。
力矩是由力的作用点与旋转轴之间的距离和力的大小决定的。
在结构力学中，我们通常考虑作用在梁上的力和力矩。
梁是一种常见的结构元件，可以将其看作是在两个固定点之间作用的力的集合。
在力矩分配法中，我们将梁分割成若干个小段，然后逐段计算每个小段的内力和变形。
假设有一根长度为L，截面形状均匀的梁，并且在两个固定点之间施加了一系列分布力。
我们可以将梁分割成n个小段，每个小段的长度为Δx=L/n。
接下来，我们需要计算每个小段的内力和变形。
首先，我们可以根据材料力学的基本原理得出梁的拉伸、压缩和弯曲的力学方程。
然后，我们可以根据小段的切线方向和切线上的任意一点来推导出该小段的内力和弯曲方程。
最后，我们将内力分量在小段两端的力矩分配系数和位置矩分配系数进行合成，从而得出该小段的内力和弯曲方程。
在力矩分配法中，一个重要的概念是力矩分配系数。
力矩分配系数是一个无量纲的参数，用来表示力和力矩在小段两端分配的比例。
在计算力矩分配系数时，我们可以根据梁的几何形状和分布力的位置，利用力矩的基本原理进行推导。
力矩分配系数是力矩分配法的核心，它可以帮助我们计算出每个小段的内力和变形。
在实际应用中，力矩分配法通常用于求解多跨梁的内力和变形。
我们可以将多跨梁分割成若干个小段，并根据力矩分配法计算出每个小段的内力和变形。
然后，我们可以将各个小段的内力和变形进行叠加，得出整个多跨梁的内力和变形。
需要注意的是，力矩分配法具有一定的局限性。
首先，它只适用于存在弯曲变形的梁，对于其他类型的结构，如框架和板，需要采用其他的分析方法。
其次，力矩分配法仅适用于分布力作用在梁的直线部分上，对于弯曲部分或非均匀分布力的情况，需要采用其他的方法进行分析。
《结构力学》教学大纲
《结构力学》教学大纲一、课程基本信息课程名称：结构力学课程类别：专业基础课课程学分：＿____课程总学时：＿____授课对象：＿____二、课程性质与任务结构力学是土木工程专业的一门重要的专业基础课，它是研究结构的受力性能、承载能力和设计方法的学科。
通过本课程的学习，使学生掌握结构力学的基本概念、基本理论和基本方法，具备对常见结构进行受力分析、内力计算和位移计算的能力，为后续的专业课程学习和工程实践打下坚实的基础。
三、课程教学目标1、知识目标掌握平面体系的几何组成分析方法，能够判断体系的几何不变性和可变性。
理解静定结构的内力计算原理和方法，能够熟练计算静定梁、静定刚架、静定桁架和静定拱的内力。
掌握静定结构的位移计算方法，能够利用单位荷载法计算结构的线位移和角位移。
理解超静定结构的内力计算原理和方法，能够熟练运用力法、位移法和力矩分配法计算超静定结构的内力。
了解影响线的概念和绘制方法，能够绘制简单结构的影响线。
2、能力目标培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
提高学生的计算能力和绘图能力。
培养学生运用结构力学知识进行工程结构设计和分析的能力。
3、素质目标培养学生的工程意识和创新精神。
培养学生严谨的科学态度和认真负责的工作作风。
四、课程教学内容与要求（一）绪论1、结构力学的研究对象和任务介绍结构力学的研究对象，包括各类工程结构，如桥梁、房屋、塔架等。
阐述结构力学的主要任务，即研究结构的受力性能、承载能力和设计方法。
2、结构的计算简图讲解结构计算简图的概念和简化原则。
举例说明如何将实际结构简化为计算简图，包括支座的简化、杆件的简化、荷载的简化等。
（二）平面体系的几何组成分析1、几何不变体系和几何可变体系介绍几何不变体系和几何可变体系的概念和特点。
通过实例让学生区分几何不变体系和几何可变体系。
2、平面体系的自由度讲解平面体系自由度的概念和计算方法。
让学生掌握如何通过计算自由度来判断体系的几何可变性。
结构力学教案
§5-3荷载作用下的位移计算
§5-4荷载作用下的位移计算举例
2
讲授
5-2 5-4
5-8 5-10
5
13
§5-5图乘法
§5-6温度作用时的位移计算
2
讲授
5-12 5-17 5-20 5-22
5
14
§5-8变形体的虚功原理
§5-11互等定理
2
讲授
5-255-27 -32-33
§6-13小结
2
讲授
6-20 6-22
6-23 6-24
6-25
8
24
第7章位移法
§7-1位移法的基本概念
§7-2等截面杆件的刚度方程
2
讲授
7-2a.d.e
7-6
9
25
§7-3无侧移刚架的计算
§7-4有侧移刚架的计算
2
讲授
7-8 7-10
7-14
9
26
§7-5位移法的基本体系
§7-6对称结构的计算
2
《结构力学》杨天祥等编湖南大学出版社
《结构力学》朱伯钦等编同济大学出版社
学期授课学时分配
课程教学周数
15
周学时
4、6
理论教学时数
74
其中
多媒体教学时数
74
双语教学时数
实验时数
6
课程设计时数
复习、习题课时数
8
机动时数
备
注
讲授以课本教材高教版《结构力学教程》为主线，辅以多媒体课件、录像、幻灯片、CAI等，提高教学的效果；求解器要求学生会使用（选讲）。
2
讲授
14-33 14-36
(完整)结构力学(二) 教案
第十章、矩阵位移法授课题目：第一节概述第二节单元坐标系中的单元刚度方程和单元刚度矩阵教学目的与要求：1．掌握整体刚度矩阵中的位移矩阵和结点力矩阵 2．掌握局部坐标系中刚度矩阵教学重点与难点：重点：结构的离散化，自由式杆件的单元刚度矩阵难点：无教学方法：讲授法教学手段：多媒体、板书教学措施：理论分析与实际工程相结合讲解讲授内容:第十章、矩阵位移法第一节概述结构矩阵分析方法是电子计算机进入结构力学领域而产生的一种方法。
它是以传统结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法。
1.结构的离散化由若干根杆件组成的结构称为杆件结构.使用矩阵位移法分析结构的第一步，是将结构“拆散”为一根根独立的杆件，这一步骤称为离散化。
为方便起见，常将杆件结构中的等截面直杆作为矩阵位移法的独立单元，这就必然导致结构中杆件的转折点、汇交点、支承点、截面突变点、自由端、材料改变点等成为连接各个单元的结点。
只要确定了杆件结构中的全部结点,结构中各结点间的所有单元也就随之确定了。
(a)(b)2。
结点位移和结点力由于矩阵位移法不再为了简化计算而忽略杆件的轴向变形,因此，对于平面刚架中的每个刚结点而言，有三个相互独立的位移分量：水平方向的线位移分量u，竖直方向的线位移分量v，和结点的转角位移分量q。
对于这三个分量，本章约定线位移与整体坐标系方向一致为正,转角以顺时针转向为正,反之为负.结点荷载是指作用于结点上的荷载.本章约定结点集中力和支反力均以与整体坐标系方向相同时为正，反之为负。
结点集中力偶和支座反力偶以顺时针转向为正，反之为负.()()N 1Q 23N 4Q 56e e i i e i i ee j j j j Ff F f M f F f F f M f ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦F F F()()123456e e i i e i i ee j j j j u v u v δδθδδδθδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦δδδ3。
9力矩分配法
CB 1
CD 0
③传递系数
1 CCB 2
CBC 0
第9章 力矩分配法
§9-3 对称结构的计算
取一半结构进行计算，注意杆件截半后，线刚度增倍。 例9-3-1 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。
q
A EI1 F
B
EI2
K
l2
C
解：设梁的线刚度为i1=EI1/l1 柱的线刚度为i2=EI2/l2
⑸最后一轮循环最后一个结点分配后只向其他结点传递。
第9章 力矩分配法
⑹不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数）， 但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
A
B
C
D
E
B、D同时分配后向C传递，C分配后再同时向B、D传递，如此循 环。
A
B
C
D
E
F
B、D同时分配后同时向C、E传递，C、E同时分配后再同时向B、 D传递，如此循环。
A
B
15.86 3m 3m
C M (kNm) 6m
结点
A
B
C
解：① 不平衡力矩
m
g AB
Pl 8
20 6 8
15
m
g BA
Pl 8
15
mBgC
ql2 8
9
mBg
m
g BA
mBgC
6
杆端
AB
BA BC CB ②分配系数
分配系数
4/7 3/7
固端弯矩 -15
15
-9 0
平衡
分配传递 -1.72 -3.43 -2.57 0
第9章 力矩分配法
§9-1 力矩分配法的基本概念
6第六章 位移法和力矩分配法PPT课件
FF QBA
15
第2节 位移法的基本原理
力法：是以结构的多余约束力作为未知量，
按照位移条件将多余约束力求出，然后再根 据平衡条件求解其他的约束力、内力 以及求 位移等等。
力法是将超静定结构化为静定结构来计算的。
位移法：是以结构的某些位移作为未知量， 利用变形协调条件，通过对超静定梁系的计 算建立平衡条件，求出结点位移，再根据内 力与位移之间的关系，确定结构的内力。
11F/16 -5F/16
B －ql2/8 0
5ql/8 -3ql/8
11
14、
A 1
A
EI
l
杆端弯矩
杆端剪力
B MAB
MBA FQAB
FQBA
i
-i
0
0
12
15、
a
A
F
b
EI
l
16、
q
A
EI
l
杆端弯矩
杆端剪力
B MAB
MBA FQAB
FQBA
-Fa(l+b)/2l -Fa2/2l F
0
a=0
-Fl/2
X1
B
X2 X1 =1
X2 =1
11
l EI
22
l3 3EI
12
l2 2EI
M2 Fa
1F
Fa2 EI
2F
Fa2 6EI
(3b2a)
F MF
4
F
A
aC
b
B
l
F
A
C
X1
B
X2
F ab 2
l2
F a 2b
l2
M
解得：
X1
结构力学 力矩分配法
同时：各杆远端产生传递弯矩：
M A B
1 2
M
B A
MCB 0
（三）(b)图+(c)图=(a)图，即：
M BA
M
g BA
M B A
M AB
M
g AB
M A B
M BC M B C
MCB 0
归纳：
②①② ①放固放 固松 定松定节 节节节点 点点点， ，，，分 各分各配 杆配杆弯 端弯端矩 有矩有， 固，固传 端传端弯递弯递弯 矩弯矩矩 ，矩，。 有。有节节点点不不平平衡衡力力矩矩。。
第8章 力矩分配法
8.1 力矩分配法的基本概念
属于位移法类型的渐近解法。 一、力矩分配法依据
1. 理论基础：位移法 2. 解题方法：渐进法 3. 适用范围：连续梁、无结点线位移的刚架 4. 计算对象：杆端弯矩，正负号规定与位移法相同 二、力矩分配法的三个基本概念
（一）转动刚度 转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。数值上
M
M AB
S AB S
M
D
A θA
B
A
M AC
S AC S
M
分配弯矩
A
C
θA
M
S
A
M AD
S AD S
M
A
令
μAj
S Aj S
(
j
B,C, D)
A
(a)
M AB SAB θA 4 iAB θA
M AC S AC θA iAC θA
M AD S AD θA 3iAD θA
例: 试绘制连续梁的弯矩图。
教案 第八章 力矩分配法[18页]
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第八章力矩分配法（4学时）1.主要内容8-1 力矩分配法的基本概念8-2 多结点的力矩分配8-3 连续梁影响线2.知识点8-1 力矩分配法的基本概念转动刚度、分配系数和传递系数；结点力矩、分配力矩、传递力矩；杆端弯矩、近端弯矩、远端弯矩。
8-2 多结点的力矩分配多结点力矩分配的基本思路；多结点的力矩分配解题的基本过程：结点力矩、非结点力矩。
8-3 连续梁影响线超静定力影响线的作法；连续梁弯矩、剪力影响线的绘制。
3.重点难点8-1 力矩分配法的基本概念重点：掌握单结点力矩分配法解题的基本过程。
难点：非结点荷载如何转变成结点荷载。
8-2 多结点的力矩分配重点：掌握多节点力矩分配法解题的基本过程。
难点：结点的锁住、放松。
8-3 连续梁影响线重点：掌握连续梁影响线的绘制。
8.1 分配法的基本概念1. 知识点转动刚度、分配系数和传递系数；结点力矩、分配力矩、传递力矩；杆端弯矩、近端弯矩、远端弯矩。
2. 重点难点重 点：掌握单结点力矩分配法解题的基本过程。
难 点：非结点荷载如何转变成结点荷载。
知识点：转动刚度、分配系数和传递系数（1）基本概念转动刚度S ：杆件的近端发生单位转角时，在该端需要施加的力矩； 分配系数μ：。
BABA S S μ=∑，只与杆件的线刚度i 和约束条件有关。
传递系数C ：远端弯矩与近端弯矩的比值。
（2）取值表8.1 等截面直杆的转动刚度和传递系数（3）实例例：计算图8.1结构的转动刚度、分配系数和传递系数，EI 为常数。
EAC 2aa2a aB D图8.1解：表8.2 转动刚度和传递系数杆件 远端 转动刚度S分配系数μ传递系数CAB 自由端 0 0 0 AC 固定 4EI ／(2a) 4/9 0.5 AD 铰支 3EI ／(2a) 1/3 -1 AE滑动EI ／a2/9结点力矩下单结点力矩分配的解题步骤： 1. 确定结点力矩；2. 根据转动刚度求分配系数3. 根据分配系数求分配力矩（近端弯矩）4. 根据传递系数求传递力矩（远端弯矩） 实例：例1：图8.2a 梁线刚度 i 相同，用力矩分配法求梁各杆端弯矩，并绘制弯矩图。
结构力学中位移法与力矩分配法的关系分析
文章编号:１００９￣６８２５(２０２０)２０￣００５９￣０３结构力学中位移法与力矩分配法的关系分析收稿日期:２０２０￣０７￣１３:北部湾大学高等教育本科教学改革工程项目«土木工程系统性教学案例设计研究与实践»(项目编号:１７ＱＪＧＢ１４)作者简介:姚展环(１９９８￣)ꎬ女ꎬ在读本科生ꎻ㊀杨㊀威(１９９９￣)ꎬ男ꎬ在读本科生ꎻ㊀冯章标(１９９７￣)ꎬ男ꎬ在读本科生ꎻ㊀凌志丹(１９９８￣)ꎬ女ꎬ在读本科生ꎻ㊀农妍妹(１９９８￣)ꎬ女ꎬ在读本科生姚展环㊀杨㊀威㊀冯章标㊀凌志丹㊀农妍妹(北部湾大学建筑工程学院ꎬ广西钦州㊀５３５０１１)摘㊀要:超静定结构的求解方法在综合考虑平衡条件㊁几何条件和物理条件的情况下日益增多ꎬ为此需要建立近似状态使其求解方法简化ꎮ通过研究位移法的计算过程ꎬ引入曲率半径㊁转动刚度㊁分配系数和传递系数将位移法求解过程中的方程消除ꎬ从而得到不必解算联立方程的近似解法 力矩分配法ꎮ力矩分配法不必联立方程ꎬ计算步骤简单ꎬ可以直接求得杆端弯矩ꎬ大大降低了求解问题的难度ꎮ关键词:位移法ꎬ力矩分配法ꎬ超静定结构中图分类号:ＴＵ３１１文献标识码:Ａ０㊀引言目前ꎬ计算超静定结构的精确方法主要是位移法ꎬ位移法的思想是法国的纳维于１８２６年提出的ꎬ其基本未知量包括节点的角位移和独立节点的线位移ꎮ但现实中大多数为多层多跨的结构体系ꎬ有多个未知量ꎬ需要列多个位移法方程来求解ꎮＨ.克罗斯于１９３０年在位移法的基础上ꎬ提出了不必解方程组而是逐次逼近的力矩分配法ꎬ大大地减轻了工程的计算工作ꎮ位移法和力矩分配法的共性和特性给我们提供了一个建立二者关系的视角ꎮ两者都需借助不平衡力矩以及查询形常数表和载常数表来获取形常数载常数来计算结构内力ꎮ但两者性质不同ꎬ位移法是精确解法ꎬ是以节点的角位移和独立节点的线位移作为基本未知量ꎮ而力矩分配法是近似解法ꎬ主要是通过对刚节点施加阻止转动的约束得到各固端弯矩ꎬ并分配传递至各刚结点平衡ꎮ通过研究位移法的计算过程ꎬ引入曲率半径㊁转动刚度㊁分配系数和传递系数将位移法求解过程中的方程消除ꎬ从而得到不必解算联立方程的近似解法 力矩分配法ꎮ本文将以例题展开讨论位移法和力矩分配法之间的关系ꎮ１㊀位移法计算过程位移法是以结构的结点位移为基本未知量ꎻ以结点和截面的平衡方程为基本方程ꎬ据以求出结点位移ꎻ最后求出结构的内力ꎮ其最大的特点在于:位移法的思路是先通过加入附加联系固定所有独立结点位移ꎬ此时各附加联系上将产生附加反力(不平衡反力)ꎬ为消除这些附加反力ꎬ同时放松各结点(即同时取消所有附加联系)ꎬ从而同时消除各附加联系上的附加反力ꎮ若附加联系不止一个ꎬ则必须求解联立的位移法典型方程[３]ꎮ例题:用位移法计算如图１所示连续梁的弯矩ꎮ１)基本体系(见图２):２)位移法方程:ｋ１１Δ１＋Ｆ１Ｐ＝０(１)其中ꎬΔ１为连续梁结点Ｂ角位移ꎻｋ１１为基本结构在单位转角Δ１＝１作用下在附加约束中的约束力矩ꎻＦ１Ｐ为基本结构在荷载作用下在附加约束中的约束力矩ꎮ图1原结构AqCBll图2位移法基本体系ABCq３)计算ｋ１１ꎬＦ１Ｐ(见图３~图６):图3Δ1=1作用的M 1图AC3i3i图4计算k 11k 113i3iB由结点Ｂ的力矩平衡可得:ðＭＢ＝０ꎬｋ１１＝３ｉ＋３ｉ＝６ｉ(２)由结点Ｂ的力矩平衡可得:ðＭＢ＝０ꎬＦ１Ｐ＝ｑｌ２/８(３)９５ ㊀㊀㊀㊀第４６卷第２０期２０２０年１０月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀山西建筑ＳＨＡＮＸＩ㊀ＡＲＣＨＩＴＥＣＴＵＲＥ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｖｏｌ.４６Ｎｏ.２０Ｏｃｔ.㊀２０２０图5荷载作用的M PA Cql 2/8ql 2/16图6计算F 1PF 1PBql 2/8４)计算Δ１:Δ１＝－Ｆ１Ｐ/ｋ１１＝－ｑｌ２/４８ｉ(４)５)作Ｍ图(如图７所示):由弯矩的叠加原理:Ｍ＝Ｍ１Δ１＋ＭＰ(５)其中ꎬＭ１为基本结构在单位转角Δ＝１中任一截面上所产生的弯矩ꎻ由形常数表可查得ꎮＭＰ为荷载在基本结构中相应截面上所产生的弯矩ꎮＭＢＡ＝３ｉˑ(－ｑｌ２/４８ｉ)＋ｑｌ２/８＝ｑｌ２/１６(６)ＭＢＣ＝３ｉˑ(－ｑｌ２/４８ｉ)＝－ｑｌ２/１６(７)其中ꎬＭＢＡ为ＡＢ杆的Ｂ端弯矩ꎻＭＢＣ为ＢＣ杆的Ｂ端弯矩ꎮ图7弯矩图ACBql 2/163ql 2/32２㊀力矩分配法计算过程力矩分配法的求解思路则有所不同ꎬ第一步先约束所有独立结点角位移ꎬ得到基本结构ꎬ显然各结点将产生不平衡力矩ꎮ为了使基本结构转化为原结构ꎬ必须消除各结点不平衡力矩(因为原结构中不存在这些不平衡力矩)[３]ꎮ由例题ꎬ１)先在Ｂ结点加上阻止转动的约束(见图８):图8力矩分配法基本体系ACBqＭＦＢＡ＝ｑｌ２/８(８)其中ꎬＭＦＢＡ为在结点Ｂ加上阻止转动的约束时ꎬ由荷载产生的固端弯矩ꎮ２)松开结点Ｂ:相当于结点Ｂ施加一个力偶荷载－ｑｌ２/８ꎮ转动刚度:ＳＢＡ＝３ｉＢＡ＝３ｉ(９)ＢＢＣ＝３ｉＢＣ＝３ｉ(１０)其中ꎬＳＢＡ为ＡＢ杆Ｂ端的转动刚度ꎻＳＢＣ为ＢＣ杆Ｂ端的转动刚度ꎮ分配系数:μＢＡ＝ＳＢＡ/(ＳＢＡ＋ＳＢＣ)＝３ｉ/(３ｉ＋３ｉ)＝０.５(１１)μＢＣ＝ＳＢＣ/(ＳＢＡ＋ＳＢＣ)＝３ｉ/(３ｉ＋３ｉ)＝０.５(１２)其中ꎬμＢＡ为ＡＢ杆在Ｂ端的分配系数ꎻμＢＣ为ＢＣ杆在Ｂ端的分配系数ꎮðμ＝μＢＡ＋μＢＣ＝１(１３)分配弯矩:ＭᶄＢＡ＝０.５ˑ(－ｑｌ２/８)＝－ｑｌ２/１６(１４)ＭᶄＢＣ＝０.５ˑ(－ｑｌ２/８)＝－ｑｌ２/１６(１５)其中ꎬＭᶄＢＡ为ＡＢ杆Ｂ端的分配弯矩ꎻＭᶄＢＣ为ＢＣ杆Ｂ端的分配弯矩ꎮ传递弯矩均为０ꎮ即:ＭᶄＣＢ＝０(１６)ＭᶄＡＢ＝０(１７)其中ꎬＭᶄＣＢ为ＢＣ杆Ｃ端的传递弯矩ꎻＭᶄＡＢ为ＡＢ杆Ａ端的传递弯矩ꎮ计算过程见图９ꎮ图9力矩分配的计算格式AC0.50.5B000000ql 2/8-ql 2/16-ql 2/16ql 2/16-ql 2/16ðＭＢ＝ｑｌ２/１６－ｑｌ２/１６＝０(１８)３㊀位移法与力矩分配法关系分析位移法与力矩分配法均运用了不平衡力矩ꎬ都借助不平衡力矩来计算结构内力ꎮ两者都需要查询形常数和载常数表来获取形常数载常数以便计算ꎮ由式(２)ꎬ图４可知:ｋ１１＝ðｉ(１９)由式(３)ꎬ图６可知:Ｆ１Ｐ＝－Ｍ(２０)由式(４)ꎬ式(１９)ꎬ式(２０)得:Δ１＝－Ｆ１Ｐ/Ｋ１１＝Ｍ/ðｉ(２１)由式(５)ꎬＭ１由形常数表可查得ꎬ因此设:Ｍ１＝ｉｉ(２２)由式(２１)ꎬ式(２２)可得:Ｍ１Δ１＝ｉｉΔ１＝ｉｉＭ/ðｉ(２３)由曲率Ｋ表示单位弧段上切线转过角度的大小作如下定义:Ｋ＝Δα/Δｓ(２４)０６ 第４６卷第２０期２０２０年１０月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀山西建筑㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀其中ꎬＫ为杆件中性层的曲率ꎻΔα为转角增量ꎻΔｓ为弧长增量ꎮ由曲率与曲率半径的互为倒数的关系有:Ｋ＝１/ρ(２５)其中ꎬρ为杆件中性层的曲率半径ꎮ由式(２４)ꎬ式(２５)得:１/ρ＝Δα/Δｓ(２６)或:Δα＝Δｓ/ρ(２７)由转动刚度Ｓ为单位转角所需的力矩作如下定义:Ｓ＝Ｍ/Δα(２８)由杆件的弯矩:Ｍ＝ＥＩ/ρ(２９)其中ꎬＥ为材料的弹性模量ꎻＩ为杆件截面的惯性矩ꎮ由式(２７)~式(２９)得:Ｓ＝Ｍ/Δα＝(ＥＩ/ρ)/(Δｓ/ρ)＝ＥＩ/Δｓ(３０)由可变形固体的小变形假设由Δｓʈ１ꎬ因此得:Ｓ＝ＥＩ/ΔｓʈＥＩ/ｌ＝ｉ(３１)由力矩分配系数μ为同一刚结点上的某一根杆的转动刚度与所有杆的转动刚度和的比值ꎬ作如下定义:μ＝Ｓｉ/ðＳｉ＝ｉｉ/ðｉ(３２)由式(２３)得分配弯矩:Ｍ１Δ１＝μＭꎮ令Ｍᶄ远＝μＭ即:Ｍᶄ远＝Ｍ１Δ１(３３)其中ꎬＭᶄ远为所求杆端的远端分配弯矩ꎮ对于等截面杆件ꎬ由于均匀性假设与影响线ꎬ可知同一杆件弯矩变化为线性变化ꎬ由相似原理ꎬ与传递系数Ｃ表示当杆件近端产生转角时ꎬ杆件远端弯矩与近端弯矩的比值作如下定义ꎬ即:Ｃ＝ｉ远/ｉ近＝Ｍᶄ远/Ｍᶄ近ꎮ得:Ｍ远＝ＣˑＭᶄ近(３４)其中ꎬＭᶄ近为节点近端的分配弯矩ꎮ因为位移法中荷载在基本结构中相应截面上所产生的弯矩ＭＰ与力矩分配法中在节点加上阻止转动的约束后由荷载产生的固端弯矩ＭＦ均由等截面直杆的载常数可查得ꎬ即:ＭＰ＝ＭＦ(３５)由式(３３)ꎬ式(３５):ＭＰ＋Ｍ１Δ１＝ＭＦ＋Ｍᶄ(３６)其中ꎬＭᶄ为远端或近端的分配弯矩ꎮ故位移法与力矩分配法的计算结果相同ꎮ对于多结点的体系ꎬ由于其处于平衡状态ꎬ即每个结点的内力与外力合力为０ꎬ所以当结点合力不近似于０时ꎬ不为０的合力矩继续传递直至结点合外力近似等于０ꎮ最终累加各杆端所得的分配弯矩可得各杆端弯矩ꎮ４㊀结语位移法是通过平衡条件建立位移法方程ꎬ取隔离体来计算不平衡力矩ꎮ而力矩分配法是在位移法的基础上引入曲率半径㊁转动刚度㊁分配系数与传递系数将位移法求解过程中的方程消除ꎬ所以力矩分配法不需要列方程ꎬ只需按照分配系数来分配不平衡力矩ꎬ但计算过程相对繁杂ꎬ需要很强的细心及耐心ꎮ致谢:本文是在蒋琼明博士的指导下完成的ꎬ在此表示深深的感谢ꎮ参考文献:[１]㊀包世华ꎬ熊㊀峰ꎬ范小春.结构力学教程[Ｍ].武汉:武汉理工大学出版社ꎬ２０１７.[２]㊀陈玉骥.力矩分配法教学中体现其数学意义的方法[Ｊ].长沙铁道学院学报(社会科学版)ꎬ２００３ꎬ４(４):９８￣９９.[３]㊀同济大学数学系.高等数学第七版上册[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１４.[４]㊀孙训方ꎬ方孝淑ꎬ关来泰.材料力学(Ⅰ)[Ｍ].第５版.北京:高等教育出版社ꎬ２００９.ＭｏｄｉｆｉｅｄｉｔｅｒａｔｉｖｅｉｎｉｔｉａｌｖａｌｕｅｓｆｏｒｔｈｅｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｏｆｍａｒｉｎｅｃｏｎｃｒｅｔｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓＹａｏＺｈａｎｈｕａｎ㊀ＹａｎｇＷｅｉ㊀ＦｅｎｇＺｈａｎｇｂｉａｏ㊀ＬｉｎｇＺｈｉｄａｎ㊀ＮｏｎｇＹａｎｍｅｉ(ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｉｖｉｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅꎬＢｅｉｂｕＧｕｌｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＱｉｎｚｈｏｕ５３５０１１ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:Ｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｏｆｓｔａｔｉｃａｌｌｙｉｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓａｒｅｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｕｎｄｅｒｔｈｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅｃｏｎｓｉｄｅｒ￣ａｔｉｏｎｏｆｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓꎬｇｅｏｍｅｔｒｉｃｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄｐｈｙｓｉｃａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ.Ｂｙｓｔｕｄｙｉｎｇｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓｏｆｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄꎬｔｈｅｃｕｒｖａｔｕｒｅｒａｄｉｕｓꎬｒｏｔａｔｉｏｎｓｔｉｆｆｎｅｓｓꎬｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｔｒａｎｓｆｅｒｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｔｏｅｌｉｍｉｎａｔｅｔｈｅｅ￣ｑｕａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄꎬｓｏｔｈａｔｔｈｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｏｕｔｓｏｌｖｉｎｇｍｏｍｅｎｔｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ.Ｔｈｅｍｏｍｅｎｔｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｄｏｅｓｎｏｔｎｅｅｄｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｅｑｕａｔｉｏｎｓꎬｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｄｕｒｅｉｓｓｉｍｐｌｅꎬａｎｄｔｈｅｍｏｍｅｎｔａｔｔｈｅｅｎｄｏｆｔｈｅｒｏｄｃａｎｂｅｃａｌｃｕｌａｔｅｄｄｉｒｅｃｔｌｙꎬｗｈｉｃｈｇｒｅａｔｌｙｒｅｄｕｃｅｓｔｈｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙｏｆｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｐｒｏｂ￣ｌｅｍ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄꎬｍｏｍｅｎｔｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄꎬｓｔａｔｉｃａｌｌｙｉｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ１６ ㊀㊀㊀第４６卷第２０期２０２０年１０月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀姚展环等:结构力学中位移法与力矩分配法的关系分析。
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§7-6 用位移法计算有侧移刚架例1.求图(a)所示铰接排架的弯矩图。
解：（1）只需加一附加支杆，得基本结构如图(b)所示，有一个基本未知量Z 1。
（2）位移法方程为01111=+P R Z r（3）求系数和自由项2211123l il i r ==∑ql R P 431-=（4）代入方程求未知量iql Z 1631=（5）绘制弯矩图例2.用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M 图 解：（1）此刚架具有一个独立转角Z 1和一个独立线位移Z 2。
在结点C 加入一个附加刚臂和附加支杆，便得到图(b)所示的基本结构。
（2）建立位移法方程01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r（3）求各系数和自由项i i i r 73411=+=， i r r 5.12112-==1615434122222ii i r =+=01=P RkN ql R P 6030832-=--=（4）求未知量i Z 87.201=，i Z 39.972=（5）绘制弯矩图例3.用直接平衡法求刚架的弯矩图。
解：（1）图示刚架有刚结点C 的转角Z 1和结点C 、D 的水平线位移Z 2两个基本未知量。
设Z 1顺时针方向转动，Z 2向右移动。
（2）求各杆杆端弯矩的表达式3421+-=Z Z M CA 3221--=Z Z M AC 13Z M CD =25.0Z M BD -=（3）建立位移法方程有侧移刚架的位移法方程，有下述两种：Ⅰ.与结点转角Z 1对应的基本方程为结点C 的力矩平衡方程。
∑=0CM ， 037021=+-⇒=+Z Z M M CD CAⅡ.与结点线位移Z 2对应的基本方程为横梁CD 的截面平衡方程。
∑=0xF， 0=+DC CA Q Q取立柱CA 为隔离体(图(d))，∑=0A M ， 331216262121-+-=---=Z Z ql Z Z Q CA同样，取立柱DB 为隔离体（(e))，∑=0B M ， 2212165.0Z Z Q DB =--= 代入截面平衡方程得03125012133121221=-+-⇒=+-+-Z Z Z Z Z（4）联立方程求未知量 Z 1=0.91 Z 2=9.37（5）求杆端弯矩绘制弯矩图将Z 1、Z 2的值回代杆端弯矩表达式求杆端弯矩作弯矩图。
例4.计算图(a)所示结构C 点的竖向位移。
解：解法（一）——用典型方程求解（1）确定基本未知量。
变截面处C 点应作为刚结点，加刚臂及支杆得位移法基本结构如图(b)所示。
其中未知量是C 点角位移Z 1和C 点的竖向线位移Z 2。
（2）位移法典型方程 01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r（3）求各系数和自由项i i i r 128411=+=， lil i l i r r 66122112-=+-== 22222361224lil i l i r =+=, 01=P R , ql R P -=2（4）求未知量EI ql Z 6631=，EIql Z 3342=Z 2即为所求的C 点的竖向位移。
解法（二）——用直接平衡法求解 （1）确定基本未知量为C 点的角位移C ϕ和竖向线位移C ∆（2）求各杆杆端弯矩表达式2121128ql l i i M C C CA +∆-=ϕ，ql li l i Q C C CA 2124122-∆+-=ϕ，2121124ql l i M C C AC -∆-=ϕ，212164ql l i i M C C CB -∆+=ϕ，ql li l i Q C C CB 211262+∆--=ϕ，212162ql l i M C C BC +∆-=ϕ（3）建立位移法方程∑=0CM ， 06120=∆-⇒=+C C CB CA lii M M ϕ ∑=0yF ， 036602=-∆+-⇒=-ql l il i Q Q C C CB CA ϕ （4）解方程求C ϕ和C ∆ EI ql C 663=ϕ，EIql C 334=∆§7-7 用剪力分配法计算等高铰结排架适用范围——适用于横梁刚度无穷大只有结点线位移的铰接排架或刚架（等高或不等高） 一、柱顶有水平集中荷载作用的计算1.取水平横梁为隔离体，由∑=0x F 得 ∑=i Q P2.求每根竖柱的柱顶剪力， Z h EI l i Q ii i 3233=∆=则P P h EI h EI Q Z h EI Q P i ii iii ii i η==⇒==∑∑∑333333 令33ii i h EI =γ，称为抗侧移刚度系数；∑=iii γγη称为剪力分配系数。
3.作柱的弯矩图。
把每一根竖柱看成柱上端作用有集中荷载i Q 的悬臂梁作弯矩图。
对于刚架结构：Z h EI l iQ i i i 321212=∆=，312ii i h EI =γ 注意：对多层多跨刚架，当横梁刚度无穷大（EI →∞）时，横梁可以看作无结点角位移的刚性梁，此时同样可以用剪力分配法求刚架在水平结点荷载作用下的弯矩图。
在工程中主要用于梁柱线刚度比3/>c b i i 时的强梁弱柱式刚架在水平风荷载作用下的内力计算，即反弯点法。
二、柱间有水平均布荷载作用的计算1.在柱顶增加一水平链杆，使排架不产生水平位移，由表7.1求得附加链杆的约束反力R 。
2.将力R 取反方向后再作用在排架上，利用剪力分配法求得各柱端剪力。
3.将以上两种情况叠加，求得最后结果。
§7-8 对称性的利用对称简化计算的另外一种方法——取半边结构，减少结点位移数目以达到简化减少的目的。
一、奇数跨对称结构 1.正对称荷载作用情况变形正对称，对称轴截面不能水平移动，也不能转动，但是可以发生竖向移动。
取半边结构时可以用滑动支座代替对称轴截面。
对称轴截面上一般有弯矩和轴力，但没有剪力。
2.反对称荷载作用情况变形反对称，对称轴截面在左半部分荷载作用下向下移动，在右半部分荷载作用下向上移动，但由于结构是一个整体，在对称轴截面处不会上下错开，故对称轴截面在竖直方向不会移动，但是会发生水平移动和转动，故可用链杆支座代替。
对称轴截面上无弯矩和轴力，但一般有剪力。
二、偶数跨对称结构 1.正对称荷载作用情况变形正对称，对称轴截面无水平位移和角位移，又因忽略竖柱的轴向变形，故对称轴截面也不会产生竖向线位移，可以用固定端支座代替。
中柱无弯曲变形，故不会产生弯矩和剪力，但有轴力。
对称轴截面对梁端来说一般存在弯矩、轴力和剪力，对柱端截面来说只有轴力。
2.反对称荷载作用情况变形反对称，中柱在左侧荷载作用下受压，在右侧荷载作用下受拉，二者等值反向，故总轴力等于零，对称轴截面不会产生竖向位移，但是会发生水平移动和转动，是由中柱的弯曲变形引起的。
中柱由左侧荷载和右侧荷载作用产生的弯曲变形的方向和作用效果相同，故中柱有弯曲变形并产生弯矩和剪力，取半边结构时可取原结构对称轴竖柱抗弯刚度的一半来计算。
三、无剪力分配法1.适用范围：刚架中的侧移杆件（竖柱）都是剪力静定杆，既可求单层刚架，也可求多层。
剪力静定杆——下端固定，上端有侧移但该截面剪力为零，侧移对杆端内力无影响，可简化为下端固定上端滑动的超静定杆件。
2.解题方法：可用位移法，也可用力矩分配法。
例1.已知EI=常数，用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图。
解：（1）确定基本未知量为B 点的角位移Z 1（2）用直接平衡法求Z 12161ql iZ M BA -= 2131ql iZ M AB --= 211633ql iZ M BC -=∑=0BM ， 2121192170481740ql Z ql iZ M M BC BA =⇒=-⇒=+ （3）代入杆端弯矩表达式，绘制弯矩图22164561ql ql iZ M BA -=-= 2216451633ql ql iZ M BC =-=221642731ql ql iZ M AB -=--= 2645ql26427ql212837ql(1)(2)175.8175.8154.2673.4519.2560.8673.4519.2154.2560.8例2.利用对称性求下图刚架的弯矩图。
解：（1）图示对称结构可分为在正对称和反对称荷载两种情况下的作用。
（2）在正对称荷载作用下，只有横梁产生轴力，无其它内力。
（3）在反对称荷载作用下，可简化为下图的半边结构求解。
在半边结构中，每一层竖柱均可看作下端固定、上端滑动的剪力静定杆，而柱顶承受以上各层传来的剪力，等于以上各层所有水平荷载之和。
横梁则看作一端固定、一端铰支的梁。
（4）由直接平衡法求半边结构。
确定基本未知量是B 、C 两点的结点角位移Z 1 和Z 2，列各杆端的弯矩表达式。
54052111-=-=Z Pl iZ M BA54052111--=--=Z Pl iZ M AB1655.35.321--=Z Z M BC11162543Z Z M BE =⨯=1655.35.312--=Z Z M CB22162543Z Z M CD =⨯=∑=0BM ， 07055.35.170021=--⇒=++Z Z M M M BE BC BA ∑=0CM， 01655.35.165012=--⇒=+Z Z M M CD CB联立求解得Z 1 = 4.157；Z 2 =1.085，代入求杆端弯矩绘制弯矩图。
第八章 力矩分配法及连续梁的影响线§8-1 力矩分配法的基本概念一、概述1.定义——力矩分配法是建立在位移法基础上的一种渐近法，在计算过程中需要采取逐次修正的步骤，计算轮次越多，结果精度越高。
2.适用范围——无侧移结构，即多跨连续梁和无侧移刚架。
3.正负号规定——杆端转角、杆端内力正负号规定同位移法。
二、几个概念 1.转动刚度AB S（1）定义——杆端对转动的抵抗能力，等于使杆端产生单位转角时所需要施加的力矩，可用杆端产生单位转角时在杆端引起的杆端弯矩代替，与杆件的线刚度和远端支承情况有关。
（2）四种情况远端固定 i S AB 4=；远端铰支 i S AB 3=； 远端滑动 i S AB =； 远端自由 0=AB S 2.力矩分配系数Aj μ （1）定义式：∑=AjAjAj SS μ（2）∑=1Aj μ如图(a)所示刚架，其上各杆件均为等截面直杆。
刚结点不发生线位移只有角位移，我们称它为力矩分配法的一个计算单元。
设在该单元的结点1作用一集中力偶M(结点外力偶以顺时针转向为正)，现要求出汇交于结点1之各杆的杆端弯矩值。
对此我们称之为力矩分配法的基本运算。
∑=01M ， ()04301141312141312=++-⇒=++θi i i M M M M 求得 141312143i i i M++=θ则 M i i i i i M 14131212112124333++==θ， M i i i i i M 14131213113134344++==θ，M i i i i i M 141312141141443++==θ， 021=M ， 113312θi M =， 11441θi M -=3.传递系数AB C （1）定义式：ABBAAB M M C =，即杆件近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值,也可写成AB AB BA M C M =。