有限元分析的数学原理
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du E x E u j ui dx l
E Niu ui E ui N ju 1 1 u j l u j
从而，根据单元分析结果，进行整体分析，求解整体方程组， 进行结果分析
本章主要内容
3.1简明问题的解析求解
3.2弹性力学问题近似求解的加权残值法 3.3弹性力学近似求解的虚功原理、最小势能原理及其
变分原理
3.4各种求解方法的特点及比较
3.1简明问题的解析求解——一维拉压杆问题
基本变量：ux(x),σx(x),εx(x)
基本方程：
平衡方程
几何方程
dM Q 0 dx
dM Qdx 0
几何方程：
ab的变形为：
l ( y)d dx ( y)d ρd yd
。
因此正应变为：
yd yd y yv dx d
其中ρ为曲率半径
1 v v
2 1.5
a1 ui , a2 u j ui l
i 1, j 2
写成矩阵形式为
u N iu ui N ju u j
回代得
u ( x ) a1 a2 x ui u j ui l x
x x 1 ui u j l l N iu ui N ju u j
Chapter3有限元分析的数学求解原理
一般说来，求解方程的途径有两大类：
1）直接针对原始方程进行求解 2）间接针对原始方程进行求解
直接解法——解析法：
解析法从力平衡关系、几何关系以及物理关系出发，推导出一个 或一组关于应力或者关于应变、有时是同时含有应力、应变的微 分方程或偏微分方程，通过求解微分方程，解出应力、应变和变 形量。工程中，常采用的解析方法有材料力学中对杆件的分析， 弹性力学中平面问题的求解，板壳理论等。 解析法的很多基本理论是建立在一些简化的假设基础之上的，经 过大量的工程实践，被证明能很好的符合构件实际工作情况，已 成为成熟的理论。解析法得到的结果是未知量（应力、应变等） 的函数解，可直接得到结构中任意点的精确解。解析法在分析理 论问题以及一些工程问题时起着重要作用。但是解析法在应用到 一些形状复杂或应力分布复杂的结构时，往往由于数学上的问题 而显得无能为力，因而使解析法在应力分析中的应用受到限制。
讨论1
若用材料力学的经验方法求解，则需先作平面假设，即 假设应力为均匀分布
σx=P/A
由广义胡克定律得 εx=P/EA 右端的伸长量为 Δu=εxl=Pl/EA
讨论2
应变能 动能 势能
1 1 l P2l U ij ij d x x Adx 2 2 0 2EA
直接解法——逆解法：
—— 根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本 方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或 位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的 几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作 用或者将有什么样的位移。
直接解法——半逆解法：
——对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状
，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学 解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为 已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条 件确定未知函数中的待定系数。
逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中介绍，其求解过程带有 “试算”的性质。
直接解法——有限差分法：
有限差分法：微分方程和积分微分方程数值解的方法。其基本思 想是：
有限差分方法(finite difference method )是计算机数值模拟最早采用 的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格， 用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展 开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代 替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。 该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数 学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
间接解法——虚功原理：
虚功原理定义：弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的 虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力 分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。 最小势能原理要求
U W 0
最后得
dV F
T T V
间接解法——最小势能原理：
dQ d 2 M d2 2 x ydA 2 dx dx dx A d2 2 Ey yv dA dx A d 2 v E 2 y 2 dA dx A d 2 v EI z 2 dx
4 d 求解方程 EI v p( x) 0 dx 4
基于以上假定，该问题的三类基本变量为
位移：中性层的挠度v（x=y=0） 应力：x方向的正应力σx，其他应力分量很小忽略不
计，该变量对应于梁截面上的弯矩M
应变：采用εx ，满足直法线假定
平衡方程：
x方向
M ( x) x ydA
A
dQ p ( x)dx 0
y方向
dQ p ( x) 0 dx
1 v
物理方程：
由广义虎克定律有 整理得 边界条件
x E x
yv源自文库
。
v x 0 v x l 0 v x 0 v x l 0
弯矩
x方向平衡
y方向平衡
M ( x) x ydA Ey2vdA
A A
d4v EI 4 p( x) 0 dx 。
平截面假定：平截面假定是材料力学中最基本的假定之
一。这个假定认为所有与杆轴线垂直的截面在杆件变形 后仍保持为平面。这样截面上每一个点的变形趋势就可 以确定，如果知道了中性轴的位置和任意一点的应变 （变形），整个断面的应变就可以知道，这是建立该假 设的基础。实验也证明匀质弹性体根据此项假定所得的 计算结果是准确的。
W P u x x l
P2l EA
1 P2l U W ij ij d P u x x l 2 2EA
有限元分析步骤-单元分析
由于杆单元只有两个节 点位移，故可以设杆单 元的位移模式为之包含 两个待定常数的形式 u(x)=a1+a2x
其中Ni，Nj是形函数。
根据几何方程得
x
du 1 a2 u j ui dx l
Niu ui 1 ui N 1 1 ju u j l u j
根据物理方程得
x
x
应变余能
x
应变能 U
0
x d x
应变能
应变余能 U x d x
0
x
o
x
x
U W 0
有限元上的应用（位移法）： 假设单元位移模式 单元刚度方程
间接解法——变分原理：
把一个物理学问题用变分法化为求泛函极值（或驻值） 的问题，后者就称为该物理问题 的变分原理。如果建 立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原 理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如 果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理， 或称为完全的广义变分原理。 在当代，变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义 变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际 应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用 近似计算方法。
根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以 结点的位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位 移分布函数来分块近似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函 数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。
x y
j
i
根据位移条件有u(0)=u0， u(l)=ul，从而得
得
v( x)
1 p0 4 3 2 1 x c x c x c x 3 2 1 EI 24
其中c1,c2,c3是待定系数。最后可得
v( x) p0 x 4 2lx3 l 3 x 24EI
讨论
U
应变能 外力功 势能
1 1 l d x x dAdx ij ij 2 2 0 1 l Eyv yv dAdx 2 0 1 2 EI Z v dx 2 l
有限差分格式
格式精度：一阶格式、二阶格式和高阶格式。
差分的空间形式：中心格式 时间因子：显格式、隐格式、显隐交替格式等。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方 法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶 向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为 一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间
y x ii
i 1 n
，得到所求问题的解。
工程问题无论是几何形状、受力方式还是材料特性都是 前变万化的，因此一种求解方法是否有优势，其判断标 准应该是 具有良好的规范性（不需要太多的经验和个人技巧） 具有良好的适应性（可以处理任何复杂的工程实际） 具有良好的可靠性（计算结果收敛稳定，精度高） 具有良好的求解可行性（计算工作量）
基本方程 1）一般的建模及分析方法，取微单元体
2）特征建模法，采用工程宏观特征量来进行问题描述
简支梁的特征：
梁为细长梁，因此可以只用x坐标来刻画； 主要变形是垂直于x的挠度，可以只用挠度来描述位移
场。
针对这两个特征，可以做出以下两个假定： 直法线假定 小变形和平面假设
直法线假定：一垂直中面的直线(称为法线)，变形时不 伸缩，并且仍为弹性曲面的法线。
d x 0 dx
x
du dx
物理方程
x E x
u
x 0 0 x
边界条件
x l
P px A
对三大方程直接进行求解得
平衡方程
d x 0 dx
x c
c x E c ux x c1 E
物理方程
x E x
x
du dx
几何方程
根据边界条件可得，c=P/A, c1=0
这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
间接解法——加权残值法：
是一种应用广泛的求解微分方程的方法.该方法先假定 一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数,该近似 解不能精确满足微分方程和边界条件,即存在残差.在加 权平均的意义下消除残差,就得到加权残值法的方程.由 于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵一般为满 阵.选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法.
对于泛函
1）假定 y x ii
i 1 n
2）将上式代入泛函
y x
，计算变分 0
。
3）由极值条件，算出待定常数 i ，使之满足基本微分方程。 4）把得到的常数代回 与有限元方法比较： 相同点：都是求解极值问题的方法，方法类似。 不同点：求解问题区域不同：局部和整体 关系。
l
W p( x)v( x)dx
U W 1 2 EI Z v dx p( x)v( x)dx l 2 l
有限元分析步骤-单元分析
由于单元有四个位移 分量，可设梁单元的
由虚功原理可以推得
F e k e e
k e BT EBdV
V
E T 1 1 1 1 1 lA l l EA 1 EA 1 1 1 1 1 l l 1 1
3.1简明问题的解析求解——平面梁问题
E Niu ui E ui N ju 1 1 u j l u j
从而，根据单元分析结果，进行整体分析，求解整体方程组， 进行结果分析
本章主要内容
3.1简明问题的解析求解
3.2弹性力学问题近似求解的加权残值法 3.3弹性力学近似求解的虚功原理、最小势能原理及其
变分原理
3.4各种求解方法的特点及比较
3.1简明问题的解析求解——一维拉压杆问题
基本变量：ux(x),σx(x),εx(x)
基本方程：
平衡方程
几何方程
dM Q 0 dx
dM Qdx 0
几何方程：
ab的变形为：
l ( y)d dx ( y)d ρd yd
。
因此正应变为：
yd yd y yv dx d
其中ρ为曲率半径
1 v v
2 1.5
a1 ui , a2 u j ui l
i 1, j 2
写成矩阵形式为
u N iu ui N ju u j
回代得
u ( x ) a1 a2 x ui u j ui l x
x x 1 ui u j l l N iu ui N ju u j
Chapter3有限元分析的数学求解原理
一般说来，求解方程的途径有两大类：
1）直接针对原始方程进行求解 2）间接针对原始方程进行求解
直接解法——解析法：
解析法从力平衡关系、几何关系以及物理关系出发，推导出一个 或一组关于应力或者关于应变、有时是同时含有应力、应变的微 分方程或偏微分方程，通过求解微分方程，解出应力、应变和变 形量。工程中，常采用的解析方法有材料力学中对杆件的分析， 弹性力学中平面问题的求解，板壳理论等。 解析法的很多基本理论是建立在一些简化的假设基础之上的，经 过大量的工程实践，被证明能很好的符合构件实际工作情况，已 成为成熟的理论。解析法得到的结果是未知量（应力、应变等） 的函数解，可直接得到结构中任意点的精确解。解析法在分析理 论问题以及一些工程问题时起着重要作用。但是解析法在应用到 一些形状复杂或应力分布复杂的结构时，往往由于数学上的问题 而显得无能为力，因而使解析法在应力分析中的应用受到限制。
讨论1
若用材料力学的经验方法求解，则需先作平面假设，即 假设应力为均匀分布
σx=P/A
由广义胡克定律得 εx=P/EA 右端的伸长量为 Δu=εxl=Pl/EA
讨论2
应变能 动能 势能
1 1 l P2l U ij ij d x x Adx 2 2 0 2EA
直接解法——逆解法：
—— 根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本 方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或 位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的 几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作 用或者将有什么样的位移。
直接解法——半逆解法：
——对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状
，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学 解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为 已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条 件确定未知函数中的待定系数。
逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中介绍，其求解过程带有 “试算”的性质。
直接解法——有限差分法：
有限差分法：微分方程和积分微分方程数值解的方法。其基本思 想是：
有限差分方法(finite difference method )是计算机数值模拟最早采用 的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格， 用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展 开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代 替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。 该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数 学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
间接解法——虚功原理：
虚功原理定义：弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的 虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力 分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。 最小势能原理要求
U W 0
最后得
dV F
T T V
间接解法——最小势能原理：
dQ d 2 M d2 2 x ydA 2 dx dx dx A d2 2 Ey yv dA dx A d 2 v E 2 y 2 dA dx A d 2 v EI z 2 dx
4 d 求解方程 EI v p( x) 0 dx 4
基于以上假定，该问题的三类基本变量为
位移：中性层的挠度v（x=y=0） 应力：x方向的正应力σx，其他应力分量很小忽略不
计，该变量对应于梁截面上的弯矩M
应变：采用εx ，满足直法线假定
平衡方程：
x方向
M ( x) x ydA
A
dQ p ( x)dx 0
y方向
dQ p ( x) 0 dx
1 v
物理方程：
由广义虎克定律有 整理得 边界条件
x E x
yv源自文库
。
v x 0 v x l 0 v x 0 v x l 0
弯矩
x方向平衡
y方向平衡
M ( x) x ydA Ey2vdA
A A
d4v EI 4 p( x) 0 dx 。
平截面假定：平截面假定是材料力学中最基本的假定之
一。这个假定认为所有与杆轴线垂直的截面在杆件变形 后仍保持为平面。这样截面上每一个点的变形趋势就可 以确定，如果知道了中性轴的位置和任意一点的应变 （变形），整个断面的应变就可以知道，这是建立该假 设的基础。实验也证明匀质弹性体根据此项假定所得的 计算结果是准确的。
W P u x x l
P2l EA
1 P2l U W ij ij d P u x x l 2 2EA
有限元分析步骤-单元分析
由于杆单元只有两个节 点位移，故可以设杆单 元的位移模式为之包含 两个待定常数的形式 u(x)=a1+a2x
其中Ni，Nj是形函数。
根据几何方程得
x
du 1 a2 u j ui dx l
Niu ui 1 ui N 1 1 ju u j l u j
根据物理方程得
x
x
应变余能
x
应变能 U
0
x d x
应变能
应变余能 U x d x
0
x
o
x
x
U W 0
有限元上的应用（位移法）： 假设单元位移模式 单元刚度方程
间接解法——变分原理：
把一个物理学问题用变分法化为求泛函极值（或驻值） 的问题，后者就称为该物理问题 的变分原理。如果建 立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原 理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如 果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理， 或称为完全的广义变分原理。 在当代，变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义 变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际 应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用 近似计算方法。
根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以 结点的位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位 移分布函数来分块近似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函 数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。
x y
j
i
根据位移条件有u(0)=u0， u(l)=ul，从而得
得
v( x)
1 p0 4 3 2 1 x c x c x c x 3 2 1 EI 24
其中c1,c2,c3是待定系数。最后可得
v( x) p0 x 4 2lx3 l 3 x 24EI
讨论
U
应变能 外力功 势能
1 1 l d x x dAdx ij ij 2 2 0 1 l Eyv yv dAdx 2 0 1 2 EI Z v dx 2 l
有限差分格式
格式精度：一阶格式、二阶格式和高阶格式。
差分的空间形式：中心格式 时间因子：显格式、隐格式、显隐交替格式等。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方 法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶 向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为 一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间
y x ii
i 1 n
，得到所求问题的解。
工程问题无论是几何形状、受力方式还是材料特性都是 前变万化的，因此一种求解方法是否有优势，其判断标 准应该是 具有良好的规范性（不需要太多的经验和个人技巧） 具有良好的适应性（可以处理任何复杂的工程实际） 具有良好的可靠性（计算结果收敛稳定，精度高） 具有良好的求解可行性（计算工作量）
基本方程 1）一般的建模及分析方法，取微单元体
2）特征建模法，采用工程宏观特征量来进行问题描述
简支梁的特征：
梁为细长梁，因此可以只用x坐标来刻画； 主要变形是垂直于x的挠度，可以只用挠度来描述位移
场。
针对这两个特征，可以做出以下两个假定： 直法线假定 小变形和平面假设
直法线假定：一垂直中面的直线(称为法线)，变形时不 伸缩，并且仍为弹性曲面的法线。
d x 0 dx
x
du dx
物理方程
x E x
u
x 0 0 x
边界条件
x l
P px A
对三大方程直接进行求解得
平衡方程
d x 0 dx
x c
c x E c ux x c1 E
物理方程
x E x
x
du dx
几何方程
根据边界条件可得，c=P/A, c1=0
这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
间接解法——加权残值法：
是一种应用广泛的求解微分方程的方法.该方法先假定 一族带有待定参数的定义在全域上的近似函数,该近似 解不能精确满足微分方程和边界条件,即存在残差.在加 权平均的意义下消除残差,就得到加权残值法的方程.由 于试函数定义在全域上,所得方程的系数矩阵一般为满 阵.选取不同的权函数,可得到不同的加权参量法.
对于泛函
1）假定 y x ii
i 1 n
2）将上式代入泛函
y x
，计算变分 0
。
3）由极值条件，算出待定常数 i ，使之满足基本微分方程。 4）把得到的常数代回 与有限元方法比较： 相同点：都是求解极值问题的方法，方法类似。 不同点：求解问题区域不同：局部和整体 关系。
l
W p( x)v( x)dx
U W 1 2 EI Z v dx p( x)v( x)dx l 2 l
有限元分析步骤-单元分析
由于单元有四个位移 分量，可设梁单元的
由虚功原理可以推得
F e k e e
k e BT EBdV
V
E T 1 1 1 1 1 lA l l EA 1 EA 1 1 1 1 1 l l 1 1
3.1简明问题的解析求解——平面梁问题