14- 5 20 学年第一学期《复变函数与积分变换 》期终考试 …

2012-2013 学年第二学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--1
同济大学课程考核试卷（A 卷）
2. (1)(4%) 设u(x, y) = x3 + ������������������2，求实数 k，使得 u(x,y)为调和函数。 (2)(4%)求函数 v(x,y)，使得 f(z) = ������(������, ������) + ������������(������, ������)解析，且 f(0)=0。
2014-2015 学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--1
同济大学课程考核试卷（A 卷）
2. 设u(x, y) = x3 − 3xy2，v(x, y)为u(x, y)的共轭调和函数。 (1)(6%) 若v(0,0) = 0，求v(x, y).
2014 — 2015 学年第 一 学期
(2)(9%) 设f(z) = (u(x, y) + iv(x, y))2，证明 f(z)是解析函数且 uv 是调和函数。.
2013-2014 学年第二学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--1
同济大学课程考核试卷（A 卷）
2.(16%)设 f(z)为解析函数。 (1)(4%) 以下哪个函数可能是 f(z)的实部？
2013 — 2014 学年第 二 学期
A. x2 + y2
B. x2y2
C.
1 x2+y2+1
D. x2 − y2
2013-2014 学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--1
同济大学课程考核试卷（A 卷）
2. (1)(4%) 已知： u(x, y) = ex cos ������ + ������−������������������������������，证明：u(x, y)为调和函数。 (2)(6%) 求u(x, y)的共轭调和函数������(������, ������)。
4. (1) (10%)求积分
(2) (12%)求出ez−ze−z在复平面上的一切孤立奇点，并指出其类型。
������������ ∫ ������ sin ������
|������|=4
(2) (10%)求函数f(x) = e−|x+1|的 Fourier 变换。
5. (10%) 求解微分方程初值问题 x′′(t) − 2x′(t) + x(t) = 1, x(0) = 0, x′(0) = −1.
|������+1|+|������|=3
5. (1) (8%)求函数 的 Fourier 变换。
1 0 < ������ < 1 f(x) = {0 x 为其他值
(2)(10%) 求解微分方程初值问题 x′′(t) − 4x(t) = et, x(0) = 1, x′(0) = 0.
2012-2013 学年第二学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--3
6.(10%) 写出一个将区域D = {z: |z| < 2, Im z > 0}映为上半平面，且将 i 仍映为 i 的共形映照。
2012-2013 学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--1
命题教师签名：
审核教师签名：
(2)(6%) 在第（1）题基础上，进一步要求f(1) = 1，求f(z)。 (3)(6%) 求积分
课号：122144
课名：复变函数与积分变换
此卷选为：期中考试( )、期终考试( √)、重考( )试卷
考试考查：考试
年级 专业
题号
一
学号二Leabharlann 三姓名 四任课教师
五
六
___ _ 总分
2
2
(1) (8%)计算它们的导数（要求仍用双曲函数表示）。
(2) (8%)这两个函数是否有零点？说明理由。
(3)
(8%)求出csoinshh
������在扩充复平面上一切孤立奇点的类型
������
3.
(24%)设f(z)
=
sin ������ 1−������
(1) (8%) 求 f(z)在 0 点的 Taylor 展开式中前三个非零项。 (2) (8%) 求 f(z)在 1 点的 Laurent 展开式中前三个非零项。 (3) (8%)求积分
lim ������(������)
������→∞
2014-2015 学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--2
4.(1) (10%)求积分
������������ ∫ z2sin ������
|������|=4
(2) (10%)求以下函数的 Fourier 变换 1
f(x) = x2 + 4������ + 5
2013 — 2014 学年第 一 学期
(3)(6%)记f(z) = u(x, y) + ������ ������(������, ������)，若f′′(z) = f(z)，求������(0,0)。 (4)(4%) 对上述 f(z)，求其沿曲线(cos ������ , ������2 + 1)的积分，这里0 ≤ t ≤ 1。
命题教师签名：
审核教师签名：
(3)(5%) 设 C 是以(1 − cos ������ , sin 2������) , (0 ≤ ������ ≤ ������)为参数方程的有向曲线，求积分∫������ ������(������)������������.
课号：122144
课名：复变函数与积分变换
2013-2014 学年第一学期《复变函数与积分变换》期终考试试卷--3
7.若分式线性变换������(������)
=
������������+b中，系数
������������+������
a,b,c,d
均为整数，且������������
−
������������
=
1，则������(������)称为模变换。
年级 题号
专业 一
学号
二
三
姓名
四
五
任课教师
六
七
___ _ 总分
得分
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分 100 分．考试时间为 120 分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）
1. (10%) 关于 z 的方程sin ������ = ������，是否对一切复数 c 都有解？说明理由。
3. (1) (8%)求 ez 在 0 点的 Taylor 展开，展开至三次方项。
命题教师签名：
审核教师签名：
课号：122144
课名：复变函数与积分变换
此卷选为：期中考试( )、期终考试( √)、重考( )试卷
考试考查：考查
年级 题号
专业 一
学号
二
三
姓名
四
五
任课教师
六
七
___ _ 总分
得分
（注意：本试卷共七大题，三大张，满分 100 分．考试时间为 120 分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）
此卷选为：期中考试( )、期终考试( √)、重考( )试卷
考试考查：考试
年级 专业
题号
一
学号
二
三
姓名 四
任课教师
五
六
___ _ 总分
得分
（注意：本试卷共六大题，三大张，满分 100 分．考试时间为 120 分钟。要求写出解题过程，否则不予计分）
1.
(10%)证明：若|z|
=
1(z
≠
1)，则Re
[1]
7. 设 y(x)在原点解析，且满足微分方程 (1 − x2)������′′(������) − 2������������′(������) + ������(������ + 1)������(������) = 0，
这里 n 为正整数。 (1) (5%) 若 y(0)=1，y’(0)=0，求 y(x)在原点的 Taylor 展开式（展至 2 次项）。 (2) (5%) 若 y(0)=0，y’(0)=1，求 y(x)在原点的 Taylor 展开式（展至 3 次项）。 (3) (5%) 证明：对(1)(2)中的 y(x)，有且仅有一个是多项式。
2012 — 2013 学年第 二 学期
(3)(7%) 求积分
命题教师签名： 课号：122144
审核教师签名： 课名：复变函数与积分变换
考试考查：考试
∫ ������(������)������������
������
这里 C 为连接(0,0)和(π, 0)的正弦曲线 y=sin x.
此卷选为：期中考试( )、期终考试( √)、重考( )试卷
(2) (5%)
证明：T0(z)
=
a0 z+a0+ib0
将半平面{Re
z
>
0}映射为圆盘{|w
−
1|
2
<
12}，这里a0为正数，
b0为实数。
(3)
(5%)
证明：Tk(z)
=
ak z+zk+ibk
(������
≥
1)将半平面{Re
z
>
0}映射为包含于{Re
z
>
0}中的区域,
这里ak是正数，bk为实数，且Re z������ ≥ 0. (4) (5%) 证明：若有理函数f(z)可以写为复合函数������0 ∘ ������1 ∘ ⋯ ∘ ������������(������), 这里������0, ������1, … , ������������如(2)(3)中 所定义，则f(z)的一切极点的实部均为负数。