人口模型(马尔萨斯__vs__logistic)描述
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求出方程的解 ——求出未知函数的解析表达式 ——利用各种数值解法、数值软件（如Matlab）求
近似解 不必求出方程的解
——根据微分方程的理论研究某些性质，或它的变 化趋势
§ 4.1 Malthus模型与Logistic模型
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门 徒”是范·梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为 真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的回 答是：由于范·梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制 “在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，他 的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以后， 他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这种解释不能使怀疑者感到满意， 他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。 这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦（CarnegieMellon）大学的科学家们 基本上解决。
几乎完全吻合，见图4.2。
图4-2
Malthus模型和Logistic模型的总结
Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（4.4） 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常 数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。
以1790－1900年的数据拟合（4.3）式，用 Matlab软件计算得：r＝0.2743/10年，
Matlab计算示范 ln x(t) ln x0 rt y a rt （4.3） ( y ln x(t), a ln x0 )
以1790-1900年共计12个数据为例进行拟合： t=[0：11]； %输入数据 x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76]; plot (t, x, ’o’); %画散点图 y=log(x); p=polyfit(t,y,1)
输出结果： p 0.2743 1.4323
表示： y 0.2743t 1.4323
ln x0 1.4323 x0 4.1884 x(t ) 4.1884e0.2743t
模型预测
假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将
以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，
果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有
0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%
的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量
375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，x(0)=5的Logistic曲
线：
x(t)
375 1 74e2.309t
§ 4.1 Malthus模型与Logistic模型
世界人口
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 哇！
人口（亿） 5
10
20 30 40 50 60
美丽的大自然
中国人口
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000
人口（亿） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95
（4.2）
x(t ) x0ert
（4.2）
当r>0时，表明人口将按指数规律无限增长，因此又称为人 口指数模型。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时 间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：2 x0 x0erT 故 T ln 2
r
模型检验
x(t ) x0ert
（4.2）
T 45亿年 铀238
镭226
（无放射性）
铅206 钋210
T 1600 年 铅210 （放射性）
T 138天 T 22年
假设
（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪 的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少 还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟
人口模型
微分方程模型
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较 为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为 容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题.
本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
把未知变量表示为已知量的函数——跟已知量的 导数有关
物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数
量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。
对（4.6）分离变量：
1 1
x
xm
x
dx
rdt
两边积分并整理得：
x
1
xm Ce rt
令x(0)=x0，求得：
C xm x0 xm 1
x0
x0
故（4.6）的满足初始条件x(0)=x0的解为：
用P61给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万作 单位），对模型作检验。
r , x0
参数估计： r，x0可用已知数据利用线性最小二乘法进行估计
（4.2）式两边取对数，得：
ln x(t) ln x0 rt y a rt （4.3） ( y ln x(t), a ln x0 )
用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。 相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原 因，对模型进行修改。
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两 个较为有趣的实例。
x(t)
xm
1 ( xm 1)ert
x0
（4.7）
易见：
lim
t
x(t )
xm
x(t)的图形请看图4.1
图4-1
模型检验
练习二： （1）用Matlab软件求出Logistic模型人口随时间变化
的函数关系式，并估计出各个时刻的人口，制出书上表格 4-1；
（2）对计算出来的结果和原始数据进行比较（可通过画 图等方式），并予以解释。
模型检验
用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945 年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数 学生物学家高斯（E·F·Gauss）也做了一个原生物草履虫实验， 实验结果都和Logistic曲线十分吻合。
大量实验资料表明用LogistHale Waihona Puke Baiduc模型来描述种群的增长，效
本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一
下这方面离的散问化题为。连一续般，生方态系统的分析可以通过一些简单模
型的复合来研究便，研大究家若有兴趣可以根据生态系统的特征自
行建立相应的模型。
美丽的大自然
种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的。
原理 著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：
物质的放射性正比于现存物质的原子数。
设 t 时刻的原子数为N (t) ，则有
dN N
dt
为物质的衰变常数。
初始条件
N t t0
N0
N (t)
N e (tt0 ) 0
t
t0
1
ln
N0 N
t
t0
1
ln
N0 N
半衰期 T 1 ln 2
碳-14 T 5568 年
例5 赝品的鉴定
历史背景:
在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同 谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于1945年 5月29日以通敌罪逮捕了三流画家范·梅格伦（H·A·Vanmeegren），此人 曾将17世纪荷兰名画家扬·弗米尔（Jan Veermeer）的油画“捉奸”等卖给 纳粹德国戈林的中间人。可是，范·梅格伦在同年7月12日在牢里宣称：他从 未把“捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画“在埃牟 斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（17世纪荷兰画家） 的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是 一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中间”，当 这项工作接近完成时，范·梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此他 拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。
模型1 马尔萨斯（Malthus）模型
假设：人口净增长率r是一常数
符号：x( t ) t时刻时的人口，可微函数 x0 t 0时的人口
则 r x(t t) x(t) x(t )t
于是x（t）满足如下微分方程：
dx
dt
rx
x(0) x0
（4.1）
（3.1）的解为： x(t ) x0ert
（4.4）
x(0) x0
增长对的(马4.种6尔)群式萨个还斯体有，模另当一型种解引群释入数，一量由过次于多空项时间（，和竞由资争于源人项都均是）资有，源限令占的有，r(率不x)的可=r下能-a降供x及养环无境限
恶化此、时疾得病到增微多等分原方因程，：出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养
的x积被m（成 称种-（x4恰正为群4..为55数比统））环量，计被可境的正筹称还d改上d好算为xtdd能L界符律xt写o供为合的gx成rim(养sx统原rt(m：ix的c计 因（rm得马(模ax就种规 。近x据r)到 尔型为 模 程 实 是)最(是x群xx律似实或)的 萨拟了 型 师 采际)简x引数是，地际生就 斯合得 ， 原 用问单或进量未得将物背是 模方题出 我 则 尽的一，总知到x景马 型法dm的一 们 。 可d形次数（函x了看t，尔 的来个 不 工 能数式增项4数实成它萨 最.求有 妨 程 简学（是6长r（，验常无）(斯 简14的实 采 师 单模常。竞.但结数法指6模 单统际 用 们 的型数）争x根果）用出x型 的计m时意 一 在 方，项的)，，筹。 改x，义 下 建 法此）支x种算对 进的工立。表总时持律（群示，4，增.当5是这）长前由就率的荷是与兰种（两数群4者学.数6的生）量乘也，
为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学
家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经有
过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历 经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹， 还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据， 范·梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监 狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。
镭-226
T 1600 年
铀-238 T 45亿年 铅-210 T 22年
, N (t) 能测出或算出，只要知道 N0 就可算出
断代。
这正是问题的难处，下面是间接确定N0 的方法。
油画中的放射性物质
白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应 用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和 更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而 铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅 从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210 的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到 Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210 的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。
现象。
2
几何级数的增长
N/人
1.5
1
0.5
0 1950
2000
2050 t/年
2100
2150
2200
练习一：用P61的部分或者全部数据拟合Malthus模型， 计算并作图，观察并分析结果。
模型2 Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(x)
从而有：
dx
dt
r(x)x
即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，
而到2670年，人M口a达lth3u6×s模10型15个实，际只上好只一有个在人群站体在总另一人的
肩上排成二层所净它了数生生物以增应。不物存等长当M故太群存原率与a马大 体 空 因lt不人23尔..h553时的间，x u1可口0萨1才各，就1s能数模斯合成有可始量型模理员限能终有假型，之的发保关设是到间自生持。的不总由然生马常人尔完数于资存萨数斯口善增有源竞模型，的人大限及争口预。时的食等测 ，
近似解 不必求出方程的解
——根据微分方程的理论研究某些性质，或它的变 化趋势
§ 4.1 Malthus模型与Logistic模型
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门 徒”是范·梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为 真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的回 答是：由于范·梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制 “在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，他 的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以后， 他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这种解释不能使怀疑者感到满意， 他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。 这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦（CarnegieMellon）大学的科学家们 基本上解决。
几乎完全吻合，见图4.2。
图4-2
Malthus模型和Logistic模型的总结
Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（4.4） 所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常 数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环 境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。
以1790－1900年的数据拟合（4.3）式，用 Matlab软件计算得：r＝0.2743/10年，
Matlab计算示范 ln x(t) ln x0 rt y a rt （4.3） ( y ln x(t), a ln x0 )
以1790-1900年共计12个数据为例进行拟合： t=[0：11]； %输入数据 x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76]; plot (t, x, ’o’); %画散点图 y=log(x); p=polyfit(t,y,1)
输出结果： p 0.2743 1.4323
表示： y 0.2743t 1.4323
ln x0 1.4323 x0 4.1884 x(t ) 4.1884e0.2743t
模型预测
假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将
以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，
果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有
0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%
的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量
375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，x(0)=5的Logistic曲
线：
x(t)
375 1 74e2.309t
§ 4.1 Malthus模型与Logistic模型
世界人口
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 哇！
人口（亿） 5
10
20 30 40 50 60
美丽的大自然
中国人口
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000
人口（亿） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95
（4.2）
x(t ) x0ert
（4.2）
当r>0时，表明人口将按指数规律无限增长，因此又称为人 口指数模型。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时 间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：2 x0 x0erT 故 T ln 2
r
模型检验
x(t ) x0ert
（4.2）
T 45亿年 铀238
镭226
（无放射性）
铅206 钋210
T 1600 年 铅210 （放射性）
T 138天 T 22年
假设
（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪 的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少 还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟
人口模型
微分方程模型
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较 为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为 容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题.
本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一。
把未知变量表示为已知量的函数——跟已知量的 导数有关
物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数
量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。
对（4.6）分离变量：
1 1
x
xm
x
dx
rdt
两边积分并整理得：
x
1
xm Ce rt
令x(0)=x0，求得：
C xm x0 xm 1
x0
x0
故（4.6）的满足初始条件x(0)=x0的解为：
用P61给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万作 单位），对模型作检验。
r , x0
参数估计： r，x0可用已知数据利用线性最小二乘法进行估计
（4.2）式两边取对数，得：
ln x(t) ln x0 rt y a rt （4.3） ( y ln x(t), a ln x0 )
用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对 求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。 相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原 因，对模型进行修改。
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的 增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这 些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两 个较为有趣的实例。
x(t)
xm
1 ( xm 1)ert
x0
（4.7）
易见：
lim
t
x(t )
xm
x(t)的图形请看图4.1
图4-1
模型检验
练习二： （1）用Matlab软件求出Logistic模型人口随时间变化
的函数关系式，并估计出各个时刻的人口，制出书上表格 4-1；
（2）对计算出来的结果和原始数据进行比较（可通过画 图等方式），并予以解释。
模型检验
用Logistic模型来描述种群增长的规律效果如何呢？1945 年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数 学生物学家高斯（E·F·Gauss）也做了一个原生物草履虫实验， 实验结果都和Logistic曲线十分吻合。
大量实验资料表明用LogistHale Waihona Puke Baiduc模型来描述种群的增长，效
本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一
下这方面离的散问化题为。连一续般，生方态系统的分析可以通过一些简单模
型的复合来研究便，研大究家若有兴趣可以根据生态系统的特征自
行建立相应的模型。
美丽的大自然
种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的。
原理 著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出：
物质的放射性正比于现存物质的原子数。
设 t 时刻的原子数为N (t) ，则有
dN N
dt
为物质的衰变常数。
初始条件
N t t0
N0
N (t)
N e (tt0 ) 0
t
t0
1
ln
N0 N
t
t0
1
ln
N0 N
半衰期 T 1 ln 2
碳-14 T 5568 年
例5 赝品的鉴定
历史背景:
在第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同 谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于1945年 5月29日以通敌罪逮捕了三流画家范·梅格伦（H·A·Vanmeegren），此人 曾将17世纪荷兰名画家扬·弗米尔（Jan Veermeer）的油画“捉奸”等卖给 纳粹德国戈林的中间人。可是，范·梅格伦在同年7月12日在牢里宣称：他从 未把“捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画“在埃牟 斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（17世纪荷兰画家） 的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是 一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中间”，当 这项工作接近完成时，范·梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此他 拒绝将这幅画变陈，以免留下罪证。
模型1 马尔萨斯（Malthus）模型
假设：人口净增长率r是一常数
符号：x( t ) t时刻时的人口，可微函数 x0 t 0时的人口
则 r x(t t) x(t) x(t )t
于是x（t）满足如下微分方程：
dx
dt
rx
x(0) x0
（4.1）
（3.1）的解为： x(t ) x0ert
（4.4）
x(0) x0
增长对的(马4.种6尔)群式萨个还斯体有，模另当一型种解引群释入数，一量由过次于多空项时间（，和竞由资争于源人项都均是）资有，源限令占的有，r(率不x)的可=r下能-a降供x及养环无境限
恶化此、时疾得病到增微多等分原方因程，：出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养
的x积被m（成 称种-（x4恰正为群4..为55数比统））环量，计被可境的正筹称还d改上d好算为xtdd能L界符律xt写o供为合的gx成rim(养sx统原rt(m：ix的c计 因（rm得马(模ax就种规 。近x据r)到 尔型为 模 程 实 是)最(是x群xx律似实或)的 萨拟了 型 师 采际)简x引数是，地际生就 斯合得 ， 原 用问单或进量未得将物背是 模方题出 我 则 尽的一，总知到x景马 型法dm的一 们 。 可d形次数（函x了看t，尔 的来个 不 工 能数式增项4数实成它萨 最.求有 妨 程 简学（是6长r（，验常无）(斯 简14的实 采 师 单模常。竞.但结数法指6模 单统际 用 们 的型数）争x根果）用出x型 的计m时意 一 在 方，项的)，，筹。 改x，义 下 建 法此）支x种算对 进的工立。表总时持律（群示，4，增.当5是这）长前由就率的荷是与兰种（两数群4者学.数6的生）量乘也，
为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学
家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经有
过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历 经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹， 还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据， 范·梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监 狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。
镭-226
T 1600 年
铀-238 T 45亿年 铅-210 T 22年
, N (t) 能测出或算出，只要知道 N0 就可算出
断代。
这正是问题的难处，下面是间接确定N0 的方法。
油画中的放射性物质
白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应 用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和 更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而 铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅 从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210 的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到 Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210 的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。
现象。
2
几何级数的增长
N/人
1.5
1
0.5
0 1950
2000
2050 t/年
2100
2150
2200
练习一：用P61的部分或者全部数据拟合Malthus模型， 计算并作图，观察并分析结果。
模型2 Logistic模型
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(x)
从而有：
dx
dt
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即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，
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