中心极限定理
中心极限定理的理解
中心极限定理的理解
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它指出在一定条件下，对于一个大样本量的随机变量的和或均值，其分布会趋近于一个正态分布。
具体来说，中心极限定理包括以下三个方面的理解：
1. 大样本量：中心极限定理适用于大样本量的情况，也就是说当样本量足够大时，中心极限定理成立。
2. 随机变量的和或均值：中心极限定理适用于将大样本量的随机变量进行求和或求均值的情况。
通过对这些随机变量的操作，得到的新的随机变量在一定条件下会服从近似正态分布。
3. 近似正态分布：当样本量足够大时，中心极限定理告诉我们随机变量的和或均值的分布会接近于正态分布。
这意味着当我们对大量随机变量进行求和或求均值时，可以用正态分布来进行近似计算。
总的来说，中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它提供了在大样本量情况下近似计算随机变量和或均值分布的方法，为许多统计推断和假设检验提供了理论基础。
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。
中心极限定理
中心极限定理
(3)与参数估计的关系：
E（xi） X 样本n : x1 , x2 , xn , 取自总体,故 ， D xi）= 2 （ n E（ xi） nX n i 1 样本和 xi ， n i 1 D （ xi）=n 2 i 1 根据中心极限定理推论，有：lim P(z1 <
X 周围1个标准差( n )范围内分布着68.26%的 x 2个标准差( n )范围内分布着95.46%的 x 3个……. ……… t 个标准差( n )范围内分布着F(t)的 x
其它条件不变时，置信度F(t)越大，则 t 越大，反之亦然 给定F(t)，样本规模越大， t 越小 给定t ，样本规模越大， F(t)越小
n N
x
i 1 z2 2
n
i
nX <z2 )=
n dz
1 2
Z2
Z1
e
z2 2
dz
即：
xX lim P(z1 < n N n
<z2 )=
1 2
Z2
Z1
e
据此可知，样本平均数服从均值为x，方差为 2 n 的正态分布， 从而可以对X 作出区间估计。
中心极限定理
(4)根据中心极限定理有： 样本平均数的平均数等于总体平均数：x X
p( E ( ) s) 0.6826 （s = p( E ( ) 1.96s) 0.9500 p( E ( ) 2s) 0.9544 p( E ( ) 2.58s) 0.9900 p( E ( ) 3s) 0.9973 n）
(1)定理（推论）：
E ( ) P(z1 < <z2 )= D ） （
中心极限定理
概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。
中心极限定理
∫
b − x2 / 2 e dx a
中心极限定理(3) 中心极限定理(3)
例 2.1
解
掷一粒骰子 1200,求点 6 发生的次数为181 ~ 210 次的概率.
p = 1/ 6 , q = 5 / 6 , n = 1200 .
ESn = np → ∞ , DSn = npq → ∞ ,
故要“缩少尺度”.
若缩为 S n / n ,则 D ( S n / n ) = pq / n → 0 ,也不好研究.
故 “缩少尺度”要适当.通常的方法是 “标准化” Sn ,即通过适 当的线性变换把 Sn 变为一个均值为 0,方差为 1 的随机变量
中心极限定理(1) 中心极限定理(1)
贝努利大数定律: 贝努利大数定律 : 设 X1 , X 2 ,L 是独立的随机变量序列,对每一 k
P 有 X k ~ B (1, p ) , Sn = X1 + ⋅⋅⋅ + X n .则 Sn / n p . →
考虑当 n → ∞ 的时候, Sn 的分布.因为
第十二周作业
• 补充习题 • 补50，补51，补52，补53 习题4 • 2*，8*
4
以 S12000 记点 6 出现的次数,则 S1200 ~ B (1200,1/ 6) .这时
于是由积分极限定理知
P (180 < S1200
180 − np S1200 − np 210 − np ≤ 210) = P ( < ≤ ) npq npq npq
S1200 − np 1 1 2 = P ( − 15 < ≤ 15) ≈ 5 5 npq 2π
统计学中心极限定理的含义
统计学中心极限定理的含义
中心极限定理（central limit theorem）是统计学中的一个重要
定理，它描述了随机变量和其样本均值之间的关系。
中心极限定理的含义是，当随机变量满足一定条件时，其样本均值的分布会收敛于一个正态分布。
简单来说，无论原始随机变量的分布是什么，只要样本容量足够大，样本均值的分布就会趋近于正态分布。
具体来说，中心极限定理有以下几个关键点：
1. 独立性：样本之间应该是独立同分布的，也就是每个样本点之间是相互独立的。
2. 同分布性：每个样本点应该来自于同一个总体分布。
3. 样本容量：随着样本容量的增加，样本均值的分布会趋近于正态分布。
中心极限定理的重要性在于，它使得我们可以利用正态分布的知识和性质来研究和推断总体的特征。
当我们的样本容量足够大时，我们可以使用正态分布的统计方法进行假设检验、置信区间估计等统计推断工作。
无论总体分布是什么，只要样本容量够大，就可以使用中心极限定理来大致估计总体分布的特征。
总的来说，中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值会趋近于正态分布，这为统计推断提供了重要依据。
中心极限定理几个
中心极限定理几个
中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它可以帮助我们
理解随机现象背后的规律性。
该定理表明，随机变量的和或均值在一
定条件下，随着随机变量个数的增多，其分布趋近于正态分布，从而
更容易进行概率推断。
其中，最为著名的包括以下几个中心极限定理：
1. 切比雪夫定理：当一个随机变量的期望和方差都存在时，任何
一个k倍于标准差的差异的概率都不会超过1/k^2。
这个定理可以帮助我们衡量随机变量的离散程度，从而更好地理解样本总体的性质。
2. 中心极限定理：对于任意独立随机变量的序列，它们的和在一
定条件下服从正态分布。
这个定理是概率论中最著名的定理之一，它
告诉我们，大多数随机现象都可以用正态分布来近似，这对于实际问
题的解决有着重要意义。
3. 林德伯格-列维定理：对于一组独立同分布的随机变量，均值
的标准化值（即均值与总体均值的差除以标准误差）在一定条件下会
趋向于标准正态分布。
这个定理可以帮助我们通过样本均值来推断总
体的性质，进而做出概率性的决策。
总之，中心极限定理是概率论中最为重要的一个定理之一，从中
我们可以看到随机现象的规律性，这对科学研究和决策的制定都有着
非常重要的意义。
中心极限定理三个公式简单
中心极限定理三个公式简单中心极限定理啊，这可是统计学里一个相当重要的概念。
咱们今儿就来聊聊其中的三个公式，不过在这之前，我先跟您讲讲我之前遇到的一件小事儿。
有一次，我去参加一个集市。
那个集市上有个小游戏，就是扔飞镖扎气球。
摊主设定了一个规则，如果在连续十次投掷中，扎破气球的总数超过某个特定的值，就能得到一个大奖。
我在旁边观察了一会儿，发现参与的人不少，但大多数都没能达到那个标准。
这时候，我就开始琢磨了。
这不就和中心极限定理有点儿关系嘛！每个参与者每次扔飞镖扎破气球的概率其实都不太一样，有的准，有的不太准。
但是当参与的人数多起来，把每个人扎破的气球数加总起来，这个总数的分布就会呈现出一定的规律。
咱们先来说说中心极限定理的第一个公式。
它大致是说，如果从一个总体中抽取样本量为 n 的随机样本，并且当 n 足够大时，样本均值的抽样分布将近似服从正态分布。
这个公式就好像是在告诉我们，尽管单个样本的情况可能千差万别，但当我们把大量的样本平均一下，它们就会变得“听话”，乖乖地符合一定的规律。
比如说一个班级里学生的考试成绩。
每次考试的难度、每个学生的状态都不一样，但是如果我们抽取很多次考试的成绩，计算每次的平均成绩，你就会发现这些平均成绩的分布会接近正态分布。
再来说第二个公式。
它涉及到样本均值的标准差，也就是抽样分布的标准差。
这个公式告诉我们，抽样分布的标准差会随着样本量的增大而减小。
这意味着样本量越大，我们对总体均值的估计就越准确。
还是拿考试成绩来说事儿，如果我们只抽取几个学生的成绩来估计全班的平均成绩，可能误差会比较大。
但如果抽取一大半甚至全班学生的成绩，那估计的误差就会小很多。
最后是第三个公式。
它主要是用于计算样本均值与总体均值之间差异的概率。
通过这个公式，我们可以知道在给定的置信水平下，样本均值与总体均值之间的差距在多大范围内是合理的。
就好比我们要估计全校学生的平均身高，通过抽取一部分学生测量身高，然后利用这个公式，我们就能知道我们估计的全校平均身高有多大的把握是准确的。
中心极限定理的概念和意义
中心极限定理的概念和意义1. 什么是中心极限定理？中心极限定理，听起来像个高深的数学名词，其实它就像一道神奇的魔法，能够把许多复杂的事情简单化。
简单来说，中心极限定理告诉我们，当我们对一个大样本进行多次独立抽样时，不管原始数据的分布是什么样的，样本均值的分布都会逐渐趋向于正态分布，尤其是在样本量很大的时候。
就像你把各种水果放进果汁机，搅拌后，不管你放了苹果、香蕉还是橙子，最后出来的果汁看起来都是一样的好喝。
这就说明了，无论你起初的配方是什么，经过“搅拌”之后，结果会趋于一致。
再简单一点说，假如你在学校里收集了班上每个人的数学考试成绩，结果发现有些人考得很好，有些人却很糟糕，但当你把这所有的成绩加起来，算出平均分，你会发现这个平均值往往是一个相对稳定的数字，不管班上有多少人，成绩好坏参差不齐。
这种稳定性就是中心极限定理的魔力所在。
2. 中心极限定理的意义2.1 统计学的基石要说这个定理的重要性，那可真是“举足轻重”。
它是统计学中的一块基石，几乎所有的统计推断都离不开它。
比如，想知道一所学校学生的身高平均值，你不可能把每一个学生都量一遍，但你可以随机抽取一些学生，算出他们的平均身高。
根据中心极限定理，即使你只量了少数几个人，结果也能反映出全校的平均身高。
这种“以小见大”的智慧，简直就是统计界的“金钥匙”。
2.2 应用广泛再说说它的应用，中心极限定理简直是无处不在！比如在保险公司，他们要计算风险，得出保费，都会用到这个定理。
商家在做市场调查时，抽样调查也是通过它来推算出顾客的消费习惯。
这就好比打猎，猎人并不需要每一只动物的详细资料，只要找出一小部分的样本，就能知道整个森林里动物的情况，做到心中有数，真是一举两得。
3. 生活中的例子3.1 不怕风雨生活中，我们其实每天都在体验中心极限定理的作用。
比如你买彩票，很多人总是抱怨运气不佳，觉得自己永远不可能中大奖。
但是如果你从统计的角度来看，每次购买彩票的结果就是一个个小样本，虽然单个结果可能天差地别，但如果你连续购买彩票几次，最终的平均中奖概率会变得更加可预测。
中心极限定理
= Φ (1.83) = 0.966
练习：237页1、2
3、李雅普诺夫（独立不同分布） 、
设随机变量 X 1 , X 2 ,L, X n ,L相互独立 , 它 们具有数学期望 和方差： 和方差： E ( X k ) = µ k , D( X k ) = σ k ≠ 0 ( k = 1,2,L),
2 n
中心极限定理
林德贝格—勒维（独立同分布定理） 棣莫弗—拉普拉斯（二项分布的正态近似） 李雅普诺夫（独立不同分布）
一.依分布收敛
为随机变量序列， 为随机变量， 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 对应的分布函数分别为F 若在F(x) 对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x) 的连续点， 的连续点，有 则称{F (x)}弱收敛于 弱收敛于F(x). 则称{Fn(x)}弱收敛于F(x). 可记为
由中心极限定理, 由中心极限定理,结论得证
记
2 2 Bn = ∑ σ k , k =1
若存在正数 δ , 使得当 n → ∞ 时, 1
2 Bn +δ
E {| X k − µ k |2+δ } → 0, ∑
k =1
n
则随机变量之和的标准化变量 n n n n ∑ X k − E ∑ X k ∑ X k − ∑ µk k =1 = k =1 k =1 Z n = k =1 Bn n D ∑ X k k =1 的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足 n n ∑ X k − ∑ µk k =1 k =1 lim Fn ( x ) = lim P ≤ x n→ ∞ n→ ∞ Bn 2 t x 1 −2 e dt = Φ ( x ). =∫ −∞ 2π
中心极限定理levy lindeberg
中心极限定理levy lindeberg中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论与统计学中的一个重要定理，它指出在一定条件下，大量独立随机变量的均值的分布接近正态分布。
这个定理在现代统计学中有着广泛的应用，为我们理解各种现象提供了重要的数学工具。
Levy Lindeberg条件是中心极限定理的一个重要前提条件。
它要求独立同分布的随机变量序列的方差之和要趋于无穷大，而每个随机变量的方差要有限。
这个条件的提出，使得中心极限定理的适用范围更广，更符合实际应用的情况。
中心极限定理的重要性在于它可以帮助我们理解为什么在许多情况下，随机现象会呈现出正态分布的特征。
无论是自然界中的现象，还是人类社会中的行为，往往都可以被看作是大量随机变量的叠加。
而正态分布则是一种极具普遍性的分布形式，它在统计学中有着独特的地位。
通过中心极限定理，我们可以更好地理解抽样分布的性质。
在统计学中，我们常常需要通过抽样来推断总体的特征。
而中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的分布将逼近正态分布。
这为我们在实际应用中进行推断提供了理论依据。
除了在统计学中的应用，中心极限定理还在其他领域有着重要的作用。
在金融学中，它可以帮助我们理解股票价格的波动特性；在生态学中，它可以帮助我们分析种群数量的波动规律。
无论是自然科学还是社会科学，中心极限定理都有着广泛的应用前景。
总的来说，中心极限定理是统计学中的一个基础定理，它为我们理解随机现象提供了重要的数学工具。
Levy Lindeberg条件作为中心极限定理的前提条件，进一步拓展了定理的适用范围，使其更具有实际意义。
通过深入理解和应用中心极限定理，我们可以更好地分析和解释各种现象，为科学研究和实践应用提供有力支撑。
中心极限定理课件
期值来检验总体的假设。
在金融数学中的应用
1 2
资产收益率分估投资组合的风险。
风险评估
中心极限定理可以用来评估投资组合的风险，通 过计算资产收益率的方差和相关性。
3
资本资产定价模型（CAPM）
中心极限定理是资本资产定价模型的基础，用于 评估资产的预期收益率和风险。
详细描述
当独立同分布的随机变量数量趋于无 穷时，这些随机变量的平均值的分布 趋近于正态分布，不论这些随机变量 的分布本身是什么。
弱收敛和依概率收敛
总结词
这是中心极限定理的两种收敛方式，弱收敛强调的是分布函数之间的收敛，而依概率收敛则关注事件发生的概率 。
详细描述
弱收敛是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值的分布函数趋近于正态分布函数。 依概率收敛则是指当独立同分布的随机变量数量趋于无穷时，这些随机变量的平均值以概率1趋近于某个常数。
05 中心极限定理的扩展和展 望
中心极限定理的推广和改进
推广到多元分布
将中心极限定理从一元分布推广到多元分布，研究多维随机变量 的分布性质。
考虑非独立随机变量
研究非独立随机变量的中心极限定理，探索它们之间的依赖关系对 极限分布的影响。
考虑不同收敛速度
研究不同收敛速度下的中心极限定理，以更准确地描述随机变量的 分布特性。
资产配置。
人口统计学
中心极限定理用于研究人口增长、 人口普查数据的分布等，帮助科学 家了解人口变化的规律。
生物学和医学
中心极限定理用于研究生物变异、 遗传基因频率的变化以及医学中的 临床试验和流行病学调查等。
02 中心极限定理的数学表述
独立同分布的中心极限定理
总结词
第二节--中心极限定理
四、拉普拉斯中心极限定理
例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部 工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的 概率.
解：设
Xi
0, 1,
第i台床不工作 第i台床工作
i 1, 2,
,100
则 Xi B(1, 0.8)
100
100
依题意， E( X ) E( Xi ) E( Xi ) 80
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同分布，
EXi , DXi 2 , i 1, 2, ，则
lim
n
P
n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim P n
n i 1
Xi n n 2
x
1
x t2
e 2 dt ( x)
2
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同0-1分布，即
n
Xi B(1, p), EXi p, DX i pq, i 1, 2, ， X i nA，
i 1
n
n
lim n
P
i 1
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim
n
P
nA np npq
x
近似
Xi N (n，n 2 ),
i 1
X
1 n
n
近似
X i N (， 2
i 1
n)
n
近似
~ Xi独立同0 - 1分布 Xi nA N (np，npq)
i 1
大数定律与中心极限定理
§5.3 中心极限定理
80 − 10 P ( 20000 × 8 ≤ 2000 X ) = 1 − P ( X ≤ 80) = 1 − Φ( ) 9.995 = 1 − Φ( 22.1) = 0
(2)应求概率 应求概率
20 − 10 P ( 20000 × 8 − 2000 X > 12000) = P ( X ≤ 20) = Φ( ) 9.995 = Φ( 3.16) = 0.9993
X n = ∑ n =1 Yk ~ B( n, p ). k
又因为
E (Yk ) = p, D(Yk ) = pq ≠ 0, k = 1,2,L,
由(5.9)式得 式得
X n ~ N ( np, npq ).
则当n很大时 很大时, 推论 设随机变量X ~ B( n, p ), 则当 很大时 从而可得近似公式: 近似地有 X ~ N ( np, npq )， 从而可得近似公式
n i =1
记S n = ∑ X i，则
n i =1
S n = ∑ Xi ~ N(nµ, nσ 2 ), (2)
n i =1
•
X= ∑
1 n
n k =1
X i , 则得近似公式
X ~ N(µ,
σ2
n
) ，
(3)
它表明,不论 原来分布情况如何， 它表明 不论 X k 原来分布情况如何，其n σ2 项平均值 X 总是可以近似认为服从 N ( µ , )， 这在数理统计中是很有用处的.正因为如此正 这在数理统计中是很有用处的 正因为如此正 态分布在概率统计中占有极为重要的地位. 态分布在概率统计中占有极为重要的地位
(3)对于概率 P (a ≤ X < b ), P (a < X < b ), 对于概率 均可用(5.15)进行计算 因为 很大 进行计算,因为 P (a ≤ X ≤ b ) 均可用 进行计算 因为n很大 的值都很小,可以忽略不 时, P ( X = a ), P ( X = b) 的值都很小 可Yn实际上是随机变量 S n = ∑n=1 X i i 的标准化.(5.9)式亦可记成 式亦可记成 的标准化
中心极限定理
X 3 10 3 3 从而 P 0 X 10 P 1.7312 1.7312 1.7312 (4.043) (1.733) 1 1 (1.733) 0.96
即保险公司的这个项目 1 年中获利不小于 10000 元的概率大约可达到 0.96。
********************************************************** 例12.2.1 一个生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均
重量50kg，标准差为5kg，若用最大载重量5吨的汽车运输产品，试用中心极限定理 估计每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977( 2 0.977 )。 解：设每箱的重量为随机变量 X ，则 E X 50 , Var X 5 2 ； 设一辆车所装各箱产品的重量依次为随机变量 X 1 , X 2 , X n ，则 X 1 , X 2 , X n 相互 独立且与 X 分布相同，所以 X 1 X 2 X n ~ N 50******************************************** 例 12.2.3 （二项分布的正态逼近） 在某一寿险公司中的一个项目有 3000 个同一年 龄的人参加人寿保险，在 1 年里，这些人的死亡率为 0.1%，参加保险的人在年初交 纳保险费 10 元， 若被保人在 1 年内死亡， 保险受益人可以从保险公司领取 2000 元， 求保险公司的这个项目 1 年中获利不小于 10000 元的概率。 解：设 1 年内死亡的人数为 X ，死亡的概率为 0.001，则 X ~ B(3000, 0.001) 。 保险公司这 1 年的收入为 30000 元，赔付 2000 X 元。
中心极限定理
由中心极限定理, 随机变量 Z 近似服从正态分布 N (0,1) ,
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V 20 5 其中 Z 100 100 20 20 12 12 V 20 5 105 20 5 } P{V 105} P { 100 100 20 20 12 12
k 1
2
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四、例题选讲 例1
一加法器同时收到 20 个噪声电压 Vk
20
( k 1, 2, 20 ), 设它们是相互独立的随机变量 , 且都在区间 (0,10) 上服从均匀分布, 记 V Vk ,
k 1
求 P{V 105} 的近似值.
解
E (Vk ) 5,
100 D(Vk ) ( k 1,2,,2对x R, 有
1 lim P{ Z n x } e dt n 2
x
t2 2
则称随机序列{Xn}服从中心极限定理.
当 n , 随机变量序列 Z n 的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函数.
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一、独立同分布的中心极限定理
定理一 设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,独立同分布,
X k 400 1.1
k 1
400
400 0.19
X 400 1.1 400 0.19
近似服从正态分布 N (0, 1),
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于是 P{ X 450}
X 400 1.1 450 400 1.1 P 400 0.19 400 0.19 X 400 1.1 1 P 1.147 400 0.19
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中心极限定理定义
中心极限定理定义
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，大量独立随机变量的和近似服从正态分布的现象。
这个定理在统计学、金融学、物理学等领域都有广泛的应用。
中心极限定理的核心思想是，当独立随机变量的数量足够大时，它们的和的分布会趋近于正态分布。
具体来说，如果有n个独立随机变量X1、X2、...、Xn，它们的期望值和方差分别为μ和σ^2，那么它们的和S的分布近似于一个均值为nμ、方差为nσ^2的正态分布。
这个近似程度随着n的增大而增加，当n趋近于无穷大时，S的分布就完全符合正态分布的特征。
中心极限定理的应用非常广泛。
例如，在统计学中，我们经常需要对样本的均值或总和进行估计。
如果样本数量足够大，那么根据中心极限定理，这些估计值的分布就可以近似为正态分布，从而可以使用正态分布的性质进行推断和计算。
在金融学中，中心极限定理也被广泛应用于风险管理和投资组合优化等领域。
在物理学中，中心极限定理可以用于描述大量微观粒子的运动状态，从而推导出宏观物理规律。
需要注意的是，中心极限定理只适用于独立随机变量的和，而不适用于其他形式的组合。
此外，中心极限定理的适用条件也比较苛刻，需要满足一定的正态性和独立性假设。
因此，在实际应用中，我们需要仔细考虑这些条件是否成立，以确保中心极限定理的有效性。
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了大量独立随机变量的和近似服从正态分布的现象。
这个定理在统计学、金融学、物理学等领域都有广泛的应用，但需要注意其适用条件和限制。
中心极限定理 30个样本
中心极限定理 30个样本
中心极限定理（central limit theorem, CLT）是概率论中的一个重要定理，指的是当样本容量足够大时，一组独立同分布的随机变量的和的分布近似地服从正态分布。
具体来说，中心极限定理表明，对于一个独立同分布的随机变量序列X1, X2,..., Xn，其均值的分布（即样本均值）服从正态分布，即
lim(n->∞) P((X1+X2+...+Xn - nμ)/√(nσ^2)) ≤ x) =
Φ(x)
其中，μ是随机变量的期望，σ是随机变量的标准差，Φ(x)是标准正态分布的累积分布函数。
根据中心极限定理，当样本容量n足够大时，其样本均值的分布近似于正态分布。
这意味着，对于较大的样本量，即使原始数据并不服从正态分布，其样本均值的分布也会趋近于正态分布。
在中心极限定理中，并没有明确给出样本量需要达到多少才能满足近似正态分布的条件，一般认为当样本容量n大于30时，中心极限定理适用性较好。
因此，当我们有30个独立同分布的样本时，可以认为样本均值的分布近似服从正态分布。
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了一类独立同分布随机变量之和的极限分布特征。
本文将介绍中心极限定理的概念、数学表达式以及应用场景，并探讨其原理和证明过程。
一、中心极限定理的概念中心极限定理是概率论的核心内容之一，它表明在一定条件下，当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的和的分布趋近于正态分布。
这意味着即使原始随机变量不服从正态分布，其和的分布仍然接近正态分布。
二、中心极限定理的数学表达式中心极限定理可以用数学公式表示为：若X₁, X₂, ..., Xₙ是n个独立同分布的随机变量，且具有相同的数学期望μ和方差σ²，则当n趋于无穷大时，这n个随机变量之和的标准化变量（即减去期望值再除以标准差）Zₙ=(X₁+X₂+...+Xₙ-nμ)/(√(nσ²))的极限分布为标准正态分布，即Zₙ服从N(0,1)分布。
三、中心极限定理的应用场景中心极限定理在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在统计学中，当样本容量足够大时，可以利用中心极限定理来近似计算样本均值的抽样分布。
此外，在概率论和数理统计中，中心极限定理也被应用于估计参数的置信区间、假设检验等问题中。
四、中心极限定理的原理和证明过程中心极限定理的原理主要基于独立性和同分布的假设，并借助于大数定律和特征函数的性质进行证明。
具体证明过程较为复杂，可参考相关数学教材和概率论专业资料。
总结：中心极限定理是概率论中一项重要的结果，它描述了独立同分布随机变量和的极限分布接近于正态分布的性质。
中心极限定理在统计学和概率论的研究与应用中具有广泛的意义，并在实际问题中发挥着重要的作用。
理解中心极限定理的概念、数学表达式和应用场景，对于深入研究概率论和统计学具有重要意义。
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lim p{
n
n np
1 x} lim p{ i 1 x} e n np(1 p) np(1 p) 2
x
X
n
i
np
t2 2
dt
定理6表明,正态分布也是二项分布的极限分布(二项分布
的另一极限分布是泊松分布).当n充分大时,我们可利用
定理6来计算二项分布的概率.
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度
不高.为此我们研究下面的内容.
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
地位事实上遇到的大量随机变量都服从正态分布。自然会提 出为什么正态分布如此广泛地存在，而且在概率论中占有重 要地位。应该如何解释大量随机现象中这一客观规律性呢？ 李雅普夫证明：在某些非常一般的充分条件下，独立随机变
二项分布以正态分布为极限
例2 10部机器独立工作,每部停机的概率为0.2.求3部机器同时 停机的概率?
分析:机器停机是独立变量,且服从二项分布.
n 10, p 0.2, q 0.8, npq 10 0.2 0.8 1.6 1.265
(1)直接计算
p( 3) C p q
7000
数理统计的特点:它以随机现象的观察试验取得资料作
为出发点,以概率论为理论基础来研究随机现象.根据资料
为随机现象选择数学模型,且利用数学资料来验证数学模 型是否合适,在合适的基础上再研究它的特点,性质和规律 性. 例如灯泡厂生产灯泡,将某天的产品中抽出几个进行试
验.试验前不知道该天灯泡的寿命有多长,概率和其分布情
220 180 200 20 p(180 220) p ( 200 20) p( ) 2 13 13 20 200 20 p( ) 0 (1.54) 0 (1.54) 2 0 (1.54) 1 13 13 13 2 0.93822 1 0.87644
在概率意义下接近于数学期望E(X i)=μ.
即表示在定理2的条件下,n个随机变量的算术平均值在n无限增
大时,几乎变成一个常数.它反映了大量测量值的算术平均值 的稳定性,这就从理论上肯定了用算术平均值代替理论均值 的合理性. 贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立 对于任意给定的ε>0,有
nA lim P{| p | } 1 n n
定理2可由定理1得到证明.这里我们说明上述两个定理都在概 率意义下的极限结论,通常称为依概率收敛. 一般,设X1,X2,..Xn是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任 意给定的ε>0,有 limP{|Xn-a|<ε}=1 则称该序列依概率收敛于a.
定理2表明:当n很大时随机变量X 1 , X 2 ,, X n的算术平X=Σ X/n i
例3 设电站供电网有10000个电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率是 0.7.而假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着灯数在6800和 7200之间的概率? 在上二节中我们计算它的概率为0.95.现在利用局部定理
E 10000 0.7 7000 D npq 10000 0.7 0.3 2100 np 10000 0.7 7000 . npq 2100 45.83 p(6800 7200 ) p( 7000 200) 200 p( ) 2 0 (4.36) 1 0.99999 45.83 45.83
* n
(X
k 1
n
k
)
X
k 1
n
k
n
n
n
的分布函数Fn(y)满足
* lim Fn ( y) lim p(n y) n n y
1 x2 e dx 2
2
(5)
定理6 设随机变量ηn(n=1,2,...)服从参数为n,p(0<p<1)的二项 分布,则对于任意x,恒有 φ[(X-μ)/σ]~N(0,1)的概率密度函数
0.76) p( x 0.75n 0,01n) 1
D
2
1
0.1875n 1875 1 0.9 2 (0.01n) n
例4 设电站供电网有10000个电灯，夜晚每一盏灯开灯的概
率 是0.7.而假定开关时间彼此独立,估计夜晚同时开着灯数在 6800和7200之间的概率?
证明:
1 n 1 由于X1,X2,...,Xn相互独立,故 D( X i ) 2 n i 1 n
D( X i )
i 1
n
C n
再由切比雪夫不等式,可得
2 2 p( X ) 2 , (14) p( X ) 1 2 (15)
1 n 1 n C 2 P{| [ X i E ( X i )] | } 1 D( X i ) / 1 2 n i 1 n i 1 n C 1 n 1 2 P{| [ X i E ( X i )] | } 1 n n i 1
nA 其中nA/n是频率,p是概率,即次数多 lim P{| p | } 1 n n 时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1 1 lim P{| ( X 1 X 2 ...X n ) p | } 1 n n
2 p( X ) 2 , (14)
D( X )
例2 在n重贝努里试验中，若知道每次试验A出现的概率为0.75 试用切贝谢夫不等式求n.使A出现的频率在0.74到0.76之间的概 率不少于0.9? 分析:设n重贝努里试验A出现的次数为 , 服从二项分布 n重贝努里试验A出现的频率为 /n
3 10
3 10 3
10 9 8 0.23 0.87 0.2013 3 2
(2)用局部定理
1 k np 1 3 2 1 p( 3) 0 ( ) 0 ( ) 0 (0.79) 0.2308 1.265 1.265 npq npq 1.265
如果n大于50,则误差就不会产生.
即
nA lim P{| p | } 1 n n
定理3表明事件A发生的频率nA/n依概率收敛于事件A的概率p. 定理3以严格的数学形式表达了频率的稳定性.因此在实际应用 中,当n很大时,我们可用事件的频率来代替概率.
例1 设 X 是抛一颗骰子所出现的点数，若给定X =1，2， 实际计算 p( X E( X ) )，并验证切贝谢夫不等式成立。 分析：因为X 的概率函数
例1 对敌人某地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸
弹数目是一个随机变量，其期望值为2，方差为1.69.求100
次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率? 分析:令第 I次轰炸命中目标的次数 i .100次轰炸中命中 目标次数 i i 1 应用中心极限定理 i 服从正态分布期望值为 200,方差为169,标准差为13
7 1 2 p( X 1) 4 . X 1,2,5,6时满足不等式。 2 6 3 7 1 1 1 p( X 2) p( X 1) p( X 6) 2 6 6 3 35 2 8 7 X 1, 2 p( X ) 12 3 12 2 D( X ) 35 1 35 1 16 X 2, 2 12 4 48 3 48
E( ) np 0.75n.D( ) npq 0.75 0.25n 0.1875 n
x {0.74 0.76} {0.74n x 0.76n} { x 0.75n 0.01n} n 0.01n n n 18750 p(0.74
量的和的分布，当随机变量的个数无限增加时是趋向正态分
布的。 此后林德伯格又成功地找到独立随机变量和的分布，当随机 变量的个数无限增加时趋向正态分布的更一般的充分条件。 概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的一
般定理称为中心极限定理。
定理5(独立同分布的中心极限定理)
设相互独立的随机变量 X 1 X 2 ...具有相同的分布,且具有 有限的数学期望和方差,E(X k)=μ,D( X )=σ2≠0(k=1,2,..), 则随机 k 变量
lim p p)
x}
x
1 e 2
t2 2
dt
(6)
证明 由于服从二项分布的随机变量ηn可看成n个相互独立, 服从同一个(0-1)分布的随机变量X1,X2,...Xn之和,即ηn=∑Xi 其中Xi(i=1,2,...,n)的分布律为 P{Xi=k}=Pk(1-P)1-k 而 E(Xi)=P, D(Xi)=P(1-P) 布定理) (k=0,1) (i=1,2,...,n),根据定理5(独立同分
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 5.1大 数 定 律
定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机 变量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意
给定的ε>0,有
1 n lim P{| [ X i E ( X i )] | } 1(1) n n i 1
k 6800
k k 10000 k C 0 . 7 0 . 3 10000
E np 10000 0.7 7000 D npq 10000 0.7 0.3 2100 p(6800 7200 ) p( 7000 7200 6800 D 2100 200 1 2 1 0.95 2 2 200