幂函数的图像与性质

幂函数的图像与性质
（三）幂函数 1、幂函数的定义
形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

例1.下列函数中不是幂函数的是（ ）
A ．y x =
B ．3y x =
C ．2y x =
D ．1
y x -=
例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数； （3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；
变式 已知幂函数2
223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数
y =_______．
2.幂函数的图像
幂函数y ＝x α的图象由于α的值不同而不同．
α的正负：α＞0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；
α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；
3、幂函数的性质
y=x
y=x 2 y=x 3
12
y x = y=x -1
定义域 R R R [0，+∞） {}|0x x R x ∈≠且
值域 R [0，+∞）
R
[0，+∞） {}|0y y R y ∈≠且
奇偶性 奇 偶 奇
非奇非偶 奇
单调性
增
x ∈[0，+∞）时，增；
x ∈(,0]-∞时，减
增 增
x ∈(0,+∞)时，减；
x ∈(-∞,0)时，减
定点
（1，1）
例3．比较大小：
（1）112
2
1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）112
5.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5
4.幂函数的性质及其应用 幂函数y ＝x α有下列性质：
(1) 单调性：当α＞0时，函数在(0，＋∞)上单调递增；
当α＜0时，函数在(0，＋∞)上单调递减．
(2)奇偶性：幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．
例4．已知幂函数2
23
m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于
原点对称，求m 的值．
例5.已知幂函数2()m y x m -=∈N 的图象与x y ，轴都无交点，且关于y 轴对称，求
m 的值，并画出它的图象．
变式：已知幂函数f(x)=x 322
--m m （m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F （x ）=a
）
（）（x xf b
x f -
的奇偶性.
5.规律方法
（1）．幂函数y ＝x α(α＝0,1)的图象
（2）.幂函数(,,,a q q
y x a p q N p p
*==
∈为最简分式）的图象
6.性质：
（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限； （2）当0a >时，幂函数在[0,)+∞上 ；当0a <时，幂函数在(0,)+∞上 ；
（3）当2,2a =-时，幂函数是 ；当1
1,1,3,3
a =-时，幂函数
是 ．
例6右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）
()A a b c d >>> ()B b a d c >>> ()C a b d c >>>
()D a d c b >>>
例7 若点
在幂函数
的图象上，点
在幂函数
的图象上，定义
，试求函数
的最大值以及单调区间。

例8 若函数
在区间
上是递减函数，求实数的取值范围。

x
O
y a
y x =
b y x =
c
y x =
【巩固练习】
1．在函数220
3
1,3,,y y x y x x y x x
=
==-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
2、幂函数的图象都经过点（ ）
A ．（1，1）
B ．（0，1）
C ．（0，0）
D ．（1，0） 3、幂函数2
5
-=x
y 的定义域为（ ）
A ．(0,+∞)
B ．[0,+∞)
C ．R
D ．(-∞，0)U (0,+∞) 4．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( ) A ．a >0
B ．a <0
C ．a =0
D ．不能确定
5．若幂函数()1m f x x -=在(0，+∞)上是减函数，则 ( ) A ．m >1 B ．m <1
C ．m =l
D ．不能确定
6．若函数f (x )＝x 3(x ∈R)，则函数y ＝f (－x )在其定义域上是( )
A ．单调递减的偶函数
B ．单调递减的奇函数
C ．单调递增的偶函数
D ．单调递增的奇函数 7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：
x 1
12 f (x )
1
22
则不等式f (|x |)≤2的解集是( ) A ．{x |－4≤x ≤4}
B ．{x |0≤x ≤4}
C ．{x |－2≤x ≤2}
D ．{x |0＜x ≤2} 8．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)
的图象不过原点，则m 的取值是( )
A ．－1≤m ≤2
B ．m ＝1或m ＝2
C ．m ＝2
D ．m ＝1
9、当x ∈（1，＋∞）时，函数）y ＝a x 的图象恒在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是 A 、a ＜1 B 、0＜a ＜1 C 、a ＞0 D 、a ＜0
二、填空题： 11、若21)
1(－＋a ＜2
1)
23(－
－a ，则a 的取值范围是____；
12.函数2
3-
=x
y 的定义域为___________.
（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ） 13．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝
⎛
⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的
x 的值是________．
14．已知a ＝5－1
2
，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，
n 的大小关系为________．
幂函数的性质与图像测试
一、填空题
1.若幂函数()y f x =的图像过点2,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，则函数()y f x =的解析式为
__________.
2.已知函数()()2
21
44m
m f x m m x --=--是幂函数，则实数m 的值为
__________.
3.幂函数2
23
n
n y x --=()n N ∈的图像与两坐标无交点且关于y 轴对称，
则n 的值等于_________.
4.设1112,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫
∈---⎨⎬⎩⎭
，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间
()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________.
5.已知函数()1
a x
f x x a -=
--的图像的对称中心是()3,1-，则函数()f x 的单调
递减区间是_________.
6.已知幂函数()y x R αα=∈的图像当01x <<时，在直线y x =的上方；当1x >时在直线y x =的下方，则α的取值范围是__________.
7.函数1y x =+12
y x =的图像向__________平移________个单位. 8.已知()()113
3
132x x -
-
+<-，则实数x 的取值范围是_________.
二、选择题
9.如图，M 、N 、P 、Q 分别为幂函数图像上的点，且他们的纵坐标相同，若四个幂函数为①3
y x -=；②2
y x -=；③23
y x -
=；④13
y x -
=，则M 、N 、
P 、Q 与四个函数序号的对应顺序只可能是（ ）. （A ）①②③④ (Ｂ)②③④①
(Ｃ)②①③④
(Ｄ)③②①④
10.下列函数中，是奇函数且在()0,+∞上是增函数的是（ ）. （Ａ）53
y x -= (Ｂ) 53
y x = （Ｃ）54y x =
(Ｄ)43
y x =
11.当()1,x ∈+∞时，下列函数的图像全在直线y x =下方且为偶函数的是（ ）. （Ａ）12
y x =
(Ｂ) 4y x -= （Ｃ）4y x =
(Ｄ)1y x -=
12.设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){}|M x f x g x ==，则集合M 中元素的个数是（ ） （Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3 （Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3
三、解答题
13.研究函数23
y x =的定义域、值域、奇偶性和单调性，并画出其大致图像.。