连云港市高一年级下学期期末试卷(A)
江苏省连云港市2024年高一下学期6月期末考试数学试题(解析版)
2023~2024学年第二学期期末调研考试高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设m 为实数，{}{}2,,2,2M m N m ==，若M N =，则m 的值为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】根据集合相等得到2m m =，解得即可. 【详解】因为{}{}2,,2,2M m N m ==，若M N =， 所以2m m =，解得0m =.故选：A2. 复数2i 34iz −=+在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】【分析】先根据复数的除法运算求出复数z ，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】()()()()2i 34i 2i 211i 34i 34i 34i 25z −−−−==++−， 所以复数2i 34i z −=+在复平面内所对应的点为211,2525 −，位于第四象限. 故选：D .3. 若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（ ）A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形【答案】B【解析】【分析】首先设ABC 的三边分别为5a =，6b =，7c =，得到角C 为ABC 最大的角，再根据222567cos 0256C +−=>××得到C 为锐角，即可得到答案. 【详解】由题知：设ABC 的三边分别为5a =，6b =，7c =，因为c a b >>，所以角C 为ABC 最大的角. 因为222567cos 0256C +−=>××，0C π<<， 所以C 为锐角，故三角形为锐角三角形.故选：B4. 已知()()3,1,1,2a b =−=− ，若()()2a b a kb −⊥+ ，则实数k 的值为（ ） A. 56 B. 53 C. 52 D. 5【答案】B【解析】【分析】首先求出2a b − ，a kb + 的坐标，依题意()()20a b a kb −⋅+= ，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因()()3,1,1,2a b =−=− ，所以()()()223,11,27,4a b −=−−−=− ，()()()3,11,23,12a kb k k k +=−+−=−− ， 又()()2a b a kb −⊥+ ，所以()()()()2734120a b a kb k k −⋅+=−−+−= ，解得53k =. 故选：B5. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和三个月以上六个月以下暂扣驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款.2024年3月以来，某地区交警查处酒后驾车和醉酒驾车共20人．如图，这是对这20人酒后驾车血液中酒精含量进行检为测所得结果的频率直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出频率，即可估计人数.【详解】由频率分布直方图可知酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上的频率为()0.010.005100.15+×=， 所以样本中属于醉酒驾车的人数约为200.153×=人.故选：C6. 已知α为钝角，222ππsin sin sin sin 66αβββ +=++− ，则α=（ ） A. 7π12 B. 2π3 C. 3π4 D. 5π6【答案】D【解析】【分析】利用和差角的正弦公式将右边化简，结合平方关系求出sin α，即可得解. 【详解】因为222ππsin sin sin sin 66αβββ +=++− ， 22ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666ββββ =++−2211cos cos 22ββββ =++− 222311sin cos sin 222βββ=+=+， 所以1sin 2α=， 又α为钝角，所以5π6α=.故选：D7. 用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂），桶口直径为30cm ，桶底直径为25cm ，母线长是27.5cm ．已知每平方米需用油漆120g ，共需用油漆（精确到0.1kg ）（ ） A. 6.7kgB. 6.8kgC. 6.9kgD. 7.0kg 【答案】C【解析】【分析】根据圆台侧面积公式求出S 侧，则一个桶需要涂漆面积为()2SS S +侧底，进而求解. 【详解】30cm 0.3m,,27.5cm 0.0275m,120g 0.12kg 25cm 0.25m ===，0.30.25π0.2750.2750.275π22S =××+=× 侧，20.25π0.1250.125π2S =⋅=×底， 故一个桶需要涂漆面积为()20.1825πS S S +侧底，故100个桶需要涂漆为：1000.120.1825π 6.9kg ××≈.故选：C.8. 在梯形ABCD 中，,AB DC BAD ∠∥钝角，且22AB AD DC ===，若E 为线段BD 上一点，AE BE =，则BE AC ⋅=（ ） A. 12 B. 1 C. 32 D. 23【答案】B【解析】【分析】根据题意，取AB 中点O ，因为AE BE =，所以OE AB ⊥，以,AB OE 为,x y 轴建立直角坐标系，根据//BE BD ，得sin cos 1a αα=+，从而计算BE AC ⋅ . 【详解】根据题意，取AB 中点O ，因AE BE =，所以OE AB ⊥，以,AB OE 为,x y 轴建立直角坐标系，则()()1,0,1,0A B −， 设π,π2BAD αα ∠=<<，()0,E a ， 则()()2cos 1,2sin ,2cos ,2sin D C αααα−，则()()()1,,2cos 2,2sin ,2cos 1,2sin ,BE a BD AC αααα=−=−=+因为//BE BD，则()12sin 2cos 2a αα−×=−, 为为的sin 1cos a αα=−，则sin 1,1cos BE αα =− −， 且()2222sin 2cos cos 12sin 11c 12c o os 1s 1cos BE AC ααααααα−⋅=−×++−+==−− .故选：B【点睛】关键点点睛：利用坐标法，根据//BE BD ，确定点E 的坐标，再坐标法计算数量积.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 一组样本数据如下：82,83,85,85,87,88，则该组数据的（ ）A. 极差为6B. 平均数为85C. 方差为26D. 第80百分位数为87.5 【答案】AB【解析】【分析】根据极差，平均数，方差，百分位数的定义逐一计算即可.【详解】对于A ，极差为88826−=，故A 正确；对于B ，平均数为828385858788856+++++=，故B 正确； 方差为()()()()()()22222218285838585858585878588856 −+−+−+−+−+−133=，故C 错误； 对于D ，80%6 4.8×=，所以第80百分位数为87，故D 错误.故选：AB .10. 已知直线,a l ，平面,,αβγ，则下列结论正确的有（ ）A. 若,αββγ∥∥，则αγ∥B. 若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥C. 若,,l αγβγαβ⊥⊥∩=，则l γ⊥ D. 若,,a a l αβαβ= ∥∥，则a l ∥ 【答案】ACD【解析】【分析】根据面面、线面平行、垂直的判定定理以及性质依次判断选项即可.【详解】对于A ，因,αββγ∥∥，由平面平行传递性可得αγ∥，故A 正确；对于B ，,αββγ⊥⊥，则α与γ可以平行，也可以相交，故B 错误；对于C ，根据两个相交平面同时垂直于第三平面，则它们的交线垂直于第三平面，故C 正确；对于D ，根据若一条直线与两个相交平面分别平行，则这条直线与两个平面的交线平行，故D 正确； 故选：ACD11. 在ABC 中，4,5,6,AC AB BC D ===为AC 的中点，E 为BD 的中点，延长AE 交线段BC 于点F ，则（ ）A. AE =B. 3AE EF =C. BEF △D. 638AE BC ⋅=− 【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由1122AE AD AB =+ 两边平方，并求出cos CAB ∠，即可求解；对于B ，设AF AE λ= ，可得42AF AC AB λλ=+ ，根据三点共线的性质即可求解；对于C ，根据E 为AF 靠近F 的四等分点，F 为CB 靠近B 的三等分点，可得112BEF ABC S S = ，求ABC S 即可；对于D ，由()1142AE BC AC AB AC AB ⋅=+⋅− ，化简可得答案. 【详解】因ABC 中，4,5,6AC AB BC ===，对于A ，由题可得1625361cos 2458CAB +−∠==××，因为D 为AC 的中点，E 为BD 的中点，所以为为1122AE AD AB =+ ，则222211111251163125224424288AE AD AB AD AB AD AB =+=++⋅=++×××=所以AE = ，故A 正确； 对于B ，由11112242AE AD AB AC AB =+=+ ，设AF AE λ= ，所以42AF AC AB λλ=+ ， 因为C ，F ，B 三点共线，则142λλ+=，解得43λ=，则34AE AF = ，所以3AE EF = ，故B 正确； 对于C ，由于34AE AF = ，所以E 为AF 靠近F 的四等分点，由于1233AF AC AB =+ ，所以F 为CB 靠近B 的三等分点，故1114312BEF ABC ABC S S S =×= 由于1cos 8CAB ∠=，()0,πCAB ∠∈，所以sin CAB ∠，则ABC S =××=1452所以111212BEF ABC S S ==× C 不正确； 对于D, ()2211111125634542442828AE BC AC AB AC AB AC AC AB AB ⋅=+⋅−=+⋅−=+×−=− ，故D 正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知0,0x y >>，且9xy =，则11x y +的最小值为______． 【答案】23 【解析】【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】因为0,0x y >>，且9xy =，所以3112x y +≥=，当且仅当3x y ==时取等号. 故答案为：23 13. 在ABC 中，13tan ,tan 45A B ==，若ABC，则最长边的长为______．【解析】【分析】易得π02A B <<<，则a b <，再利用两角和的正切公式求出tan C ，即可得出最长边和最短边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】由13tan ,tan 45A B ==，(),0,πA B ∈， 得π02A B <<<，所以a b <， ()tan tan tan tan 101tan tan A B C A B A B +=−+=−=−<−， 所以ππ2C <<，所以3π4C =，所以a b c <<，故a =c 为最长的边， 由sin 1tan cos 4A A A ==，得cos 4sin A A =， 则222sin cos 17sin 1A A A +==，所以sin A =s n i A =舍去）， 由正弦定理得sin sin a c A C =，所以sin sin a C c A =..14. 已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，其中较大圆锥的体积是较小圆锥的体积的3倍，若这两个圆锥的体积之和为4π，则球的体积为______．【答案】32π3##32π3 【解析】【分析】设圆锥11S O 与圆锥21S O 公共底面圆心为1O ，两圆锥公共底面圆周上一点A ，底面半径1r O A =，设球心为O ，球的半径R OA =，根据圆锥的体积得到21113S O S O =，再由21112S O S O R +=，即可表示21S O 、11S O ，再由勾股定理得到r 与R 的关系，最后由圆锥的体积求出R ，即可求出球的体积.【详解】如图，设圆锥11S O 与圆锥21S O 公共底面圆心为1O ，两圆锥公共底面圆周上一点A ，底面半径1r O A =，设球心为O ，球的半径R OA =， 由112111π3S O V r S O =，212211π3S O V r S O =， 又21112212111π331π3S O S O r S O V V r S O ==，即21113S O S O =，即21113S O S O =，又21112S O S O R +=， 所以1112S O R =，2132S O R =， 所以112OO R =，又22212R r R +=，所以r =， 又112122211111ππ4π33S O S O V V r S O r S O +=+=，即221311ππ4π3232R R R ××+××= ，解得2R =， 所以334432πππ2333V R ==×=，即球的体积为32π3. 故答案为：32π3四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2cos cos cos c B a B b A =+．（1）求角B 的大小；（2）若b =，34a c =，求ABC 的面积．【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）由余弦定理求出a 、c ，再由面积公式计算可得.【小问1详解】因为2cos cos cos c B a B b A =+，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos C B A B B A =+， 即()()2sin cos sin sin πsin C B A B C C =+=−=，又()0,πC ∈，所以sin 0C >，所以1cos 2B =， 又()0,πB ∈，所以π3B =. 【小问2详解】由余弦定理2222cos b a c ac B =+−，即2213a c ac =+−，又34a c =，解得43a c = = （负值已舍去），所以11sin 4322ABC S ac B ==××=△16. 已知三种不同的元件,,X Y Z ，其中元件,X Y 正常工作的概率分别为0.6,0.8，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响．（1）用元件,X Y 连接成系统S （如左图），当元件,X Y 都正常工作时，系统S 正常工作．求系统S 正常工作的概率；（2）用元件,,X Y Z 连接成系统T （如右图），当元件X 正常工作且,Y Z 中至少有一个正常工作时，系统T 正常工作．若系统T 正常工作的概率为0.57，求元件Z 正常工作的概率．【答案】（1）0.48（2）0.75【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）记元件Z 正常工作为事件C ，系统T 正常工作为事件N ，则()()P N P ABC ABC ABC =++，根据相互独立事件的概率公式得到方程，解得即可.【小问1详解】记元件X 正常工作为事件A ，元件Y 正常工作为事件B ，系统S 正常工作为事件M ，则()0.6P A =，()0.8P B =，所以()()()0.60.80.48P M P A P B ==×=；【小问2详解】记元件Z 正常工作为事件C ，系统T 正常工作为事件N ，则()()P N P ABC ABC ABC =++ ()()()P ABC P ABC P ABC =++()()()()()()()()()11P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅−+⋅−⋅()()()0.60.80.60.810.60.20.57P C P C P C =××+××−+××= ，解得()0.75P C =，即元件Z 正常工作的概率为0.75.17. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱1DD 的中点．求证：（1）1BD ∥平面EAC ；（2）平面EAC ⊥平面1AB C【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)借助题设运用面面垂直的判定定理推证.【详解】（1）连BD 交AC 于O ，连EO ，因为O 为BD 的中点，E 为1DD 的中点，所以1//EO BD又1BD ⊄平面,EAC EO ⊂平面EAC ，所以1//BD 平面EAC（2）因为1,AC BD DD ⊥⊥平面ABCD ，所以11,DD AC BD DD ⊥ 于D ，所以AC ⊥平面1BDD ，所以1AC BD ⊥同理可证11⊥AB BD ，又1AC AB ∩于A ，所以1BD ⊥平面1AB C ，因为1//EO BD ，所以EO ⊥平面1AB C ，又EO ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面1AB C ．18. （1）已知ππ0,,,π22αβ∈∈，且()363sin ,sin 565αβα+=−=．求cos β的值； （2）已知()2sin 2sin 0αββ−+=，且πππ,,22k k k αβα−≠+≠∈Z ．求()tan tan αβα−的值． 【答案】（1）253325−.（2）3−. 【解析】 【分析】（1）把题目给的两角和αβ+看成一个整体，则()βαβα=+−，结合已知条件再运用和差公式化简求值即可.（2）把αβ−看成一个整体，把条件()2sin 2sin 0αββ−+=变形为()()2sin sin αβααβα −+=−− ，再运用和差公式化简求值即可.【详解】（1） ππ0,,,π22αβ∈∈ ，π3π,22αβ ∴+∈ ， ()3sin 5αβ+=− ，()4cos 5αβ∴+=−， 63sin 65α=，16cos 65α∴=， ()()()cos cos 416363253cos cos sin sin ()565565325βαβααβααβα=+−=+++=−×+−×=−. 故答案为：253325−. （2） ()2sin 2sin 0αββ−+=， ()2sin 2sin sin()αβββ∴−=−=−，即()()2sin sin αβααβα −+=−− ，()()()()2sin cos 2cos sin sin cos cos sin αβααβααβααβα−+−=−−−()()sin cos 3cos sin αβααβα−=−−，又 πππ,,22k k k αβα−≠+≠∈Z ， ∴()cos 0,cos 0,tan 0αβαα−≠≠≠，∴()tan 3tan αβα−=−3=−. 故答案为：3−.19. 如图，已知各边长为4的五边形ABFCD 由正方形ABCD 及等边三角形BCF 组成，现将BCF △沿BC 折起，连接,FA FD ，得到四棱锥F ABCD −，且二面角F BC A −−．（1）求证：四棱锥F ABCD −为正四棱锥；（2）求平面FAD 与平面FBC 所成的锐二面角的余弦值；（3）若点E 是侧棱FC 上的动点，现要经过点E 作四棱锥F ABCD −的截面，使得截面垂直于侧棱FC ，试求截面面积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）13（3）【解析】【分析】（1）根据过点F 作FO ⊥面ABCD ，垂足为O ，取BC 中点E ，连接,FE OE ，二面角F BC A −−，验证O 的为正方形ABCD 的对角线的交点，从而得证；（2）利用空间直角坐标系计算平面FAD 与平面FBC 所成的锐二面角的余弦值；（3）通过在图形中找到与FC 垂直的平面，从而观察符合题意的截面，判断截面面积最大的情况，计算出面积；【小问1详解】证明：过点F 作FO ⊥面ABCD ，垂足为O ，取BC 中点E ，连接,FE OE ，如图所示，,,,EF BC FO BC FO EF ⊥⊥ 是平面EFO 内两条相交直线，BC ∴⊥平面EFO . OE ⊂ 平面EFO ，EO BC ∴⊥，二面角F BC A −−的平面角为FEO ∠.tan sin FEO FEO ∠∴∠在等边三角形BCF 边长为4，根据勾股定理可得FE在直角三角形EFO ，2FO FO OE EF =∴== . 因此O 为正方形ABCD 的中心，即正方形ABCD 的对角线的交点，又因为FO ⊥面ABCD ，则FA FB FC FD ===.因此四棱锥F ABCD −为正四棱锥.【小问2详解】由（1）可知，四棱锥F ABCD −为正四棱锥，如图所示，以O 为原点，以,,OA OB OF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，OA OB OC OD ====则(0,0,0),(0,((0,(0,0,O A B C D F −−，(((0,FA AD BC FB ∴−−−−−=− 设平面FAD 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m FA m AD ⋅=−= ⋅−−= 令1x =，所以(1,1,1)m =− .设平面FBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n FB n BC ⋅=− ⋅−−= 令1x =，所以(1,1,1)n =−− .设平面FAD 与平面FBC 所成角为α， 所以1cos cos 3m α== 因此平面FAD 与平面FBC 所成的锐二面角的余弦值为13. 【小问3详解】若点E 是侧棱FC 上的动点，如图所示，在等边三角形FBC 中，当E 为FC 的中点时，BE FC ⊥.,,,FO BD AC BD FO AC ⊥⊥ 是平面FOC 内两条相交直线，BD ∴⊥平面FOC 可知BD FC ⊥，又因为,BD BE 是平面BDE 内两条相交直线，则FC ⊥平面BDE . 现要经过点E 作四棱锥F ABCD −的截面，使得截面垂直于侧棱FC ，所以截面都与平面BDE 平行，当E 为FC 的中点时，BE DE BD2OE截面面积的最大，此时122BDE S =×=。
2020-2021学年江苏省连云港市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省连云港市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且∥，则x＝（）A．4B．﹣4C．9D．﹣92．计算的结果是（）A．2i B．﹣2i C．i D．﹣i3．sin的值是（）A．B．C．D．4．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿着正北方向航行．若A船的航行速度为40nmile/h，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船的距离是（）A．20nmile B．20nmile C．20nmile D．20nmile 5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝，AA1＝1，则AD1与A1C1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．甲乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则密码被译出的概率是（）A．B．C．D．7．如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．每场比赛得分36710111330频数2123111则该队员得分的40百分位数是（）A．5B．6C．7D．88．《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，则近似公式V≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，则（）A．数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的平均数为20B．C．数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的标准差为D．10．下列关于向量的说法正确的是（）A．若∥，∥，则∥B．若单位向量，夹角为θ，则向量在向量上的投影向量为cosθC．若•＝•且≠，则＝D．若非零向量，满足，则∥11．已知复数z1，z2∈C，下列结论正确的有（）A．B．若z1z2＝0，则z1，z2中至少有一个为0C．|z1z2|＝|z1||z2|D．若，则z1＝z2＝012．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点M，N，P分别为AB，BC，A1B1的中点，则下列说法正确的是（）A．直线A1M与直线C1N为异面直线B．平面ANC1⊥平面BCC1B1C．三棱柱外接球的表面积为D．直线CC1与平面ANC1所成角的正弦值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数为0，3+2i，﹣2+4i，则点B 所对应的复数为．14．已知圆台下底面的半径为4cm，高为4cm，母线长为cm，则圆台的体积为cm3．15．在△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，延长BC到D，使得CD＝5，则AD的长为．16．已知向量，满足：，，，则＝；若t为非零实数，则的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①，②a cos A＝b cos B，③a cos B+b cos A＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，____，判断△ABC的形状．18．在锐角三角形ABC中，sin A＝，tan（A﹣B）＝﹣，求sin B，cos C的值．19．某网络营销部门随机抽查了某市100名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如表：网购金额（单位：千元）人数频率（0，1]80.08（1，2]120.12（2，3]x p（3，4]y q（4，5]80.08（5，6]70.07合计100 1.00已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2．（1）求x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）；（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这100名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在（1，2]和（4，5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？20．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，点P为面A1B1C1D1内的一点．（1）画出图1中平面PEF与平面B1BCC1的交线；（2）如图2，若P为矩形A1B1C1D1对角线的交点，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，求点B到平面PEF的距离．21．已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，cos x），函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及最小值；（2）若，求的值．22．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝，BC＝B1C＝1，∠CBB1＝∠CBA＝45°，∠ABB1＝60°．（1）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值；（2）求证：平面B1BCC1⊥平面ABC．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且∥，则x＝（）A．4B．﹣4C．9D．﹣9【分析】根据所给的两个向量的坐标和两个向量平行的条件，写出两个向量平行的充要条件，得到关于x的方程，解方程即可得到要求的x的值．解：∵向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且∥，∴2×（﹣6）﹣3x＝0，∴x＝﹣4，故选：B．2．计算的结果是（）A．2i B．﹣2i C．i D．﹣i【分析】利用复数的除法将所求化为a+bi（a、b∈R）的形式即可．解：＝＝＝＝i．故选：C．3．sin的值是（）A．B．C．D．【分析】利用两角差的正弦公式化简即可求解．解：sin＝sin（﹣）＝sin cos﹣cos sin＝×﹣×＝．故选：B．4．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿着正北方向航行．若A船的航行速度为40nmile/h，1h后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船的距离是（）A．20nmile B．20nmile C．20nmile D．20nmile【分析】由题意，△ABC中，AC＝40nmile，∠C＝30°，∠B＝135°，由正弦定理可得AB．解：由题意，△ABC中，AC＝40nmile，∠C＝30°，∠B＝135°，由正弦定理可得：＝，∴AB＝×＝20nmile．故选：A．5．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝，AA1＝1，则AD1与A1C1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】因为A1C1∥AC，所以AD1与A1C1所成角等于AD1与AC所成的角，在△ACD1中，利用余弦定理求解．解：如图，连接AC，CD1．在长方体中，因为A1C1∥AC，所以AD1与A1C1所成角等于AD1与AC所成的角；在△ACD1中，，由余弦定理得＝．故选：D．6．甲乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则密码被译出的概率是（）A．B．C．D．【分析】密码被译出的对立事件是两个人同时不能译出密码，由此能求出密码被译出的概率．解：∵密码被译出的对立事件是两个人同时不能译出密码，∴密码被译出的概率为P＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝．故选：C．7．如表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据．每场比赛得分36710111330频数2123111则该队员得分的40百分位数是（）A．5B．6C．7D．8【分析】11×0.4＝4.4，可得该队员得分的40百分位数．解：由表可知频数共计11，11×0.4＝4.4，可得该队员得分的40百分位数是第5个得分为7．故选：C．8．《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，则近似公式V≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取（）A．B．C．D．【分析】由题意结合椎体的体积公式和圆的周长公式整理计算即可确定公式中π的近似值．解：由圆锥的体积公式结合圆的周长公式可得：，结合题中的公式可得：，∴．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．若数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，则（）A．数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的平均数为20B．C．数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的标准差为D．【分析】利用平均数与方差的计算公式以及运算性质，依次判断四个选项即可．解：因为数据x1，x2，…，x10的平均数为2，所以数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的平均数为3×2+2＝8，故选项A错误；＝10×2＝20，故选项B正确；数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的方差为32×3＝27，所以数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的标准差为，故选项C正确；由方差的计算公式可得，＝10×3+4×2×10﹣10×22＝70，故选项D正确．故选：BCD．10．下列关于向量的说法正确的是（）A．若∥，∥，则∥B．若单位向量，夹角为θ，则向量在向量上的投影向量为cosθC．若•＝•且≠，则＝D．若非零向量，满足，则∥【分析】A，由零向量与任意向量平行，可判断；B，根据平面向量数量积的几何意义可得解；C，由平面向量数量积的定义可得解；D，由平面向量数量积的运算法则知cos＜，＞＝1，从而得到∥．解：选项A，若＝，则与不平行，即选项A错误；选项B，向量在向量上的投影为cosθ＝cosθ，所以投影向量为cosθ，即选项B 正确；选项C，若•＝•，则||cos＜，＞＝||cos＜，＞，不能推出＝，即选项C 错误；选项D，因为cos＜，＞＝||•||，所以cos＜，＞＝1，所以＜，＞＝0°，所以∥，即选项D正确．故选：BD．11．已知复数z1，z2∈C，下列结论正确的有（）A．B．若z1z2＝0，则z1，z2中至少有一个为0C．|z1z2|＝|z1||z2|D．若，则z1＝z2＝0【分析】利用共轭复数的定义判断选项A，由复数的乘法运算以及实数0的含义判断选项B，由复数模的运算性质判断选项C，由特殊例子判断选项D．解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，对于A，，，故选项A正确；对于B，因为z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i＝0，则，则a＝b＝0或c＝d＝0，所以z1，z2中至少有一个为0，故选项B正确；对于C，由复数模的运算性质可知，|z1z2|＝|z1||z2|，故选项C正确；对于D，当z1＝1，z2＝i时，，故选项D错误．故选：ABC．12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点M，N，P分别为AB，BC，A1B1的中点，则下列说法正确的是（）A．直线A1M与直线C1N为异面直线B．平面ANC1⊥平面BCC1B1C．三棱柱外接球的表面积为D．直线CC1与平面ANC1所成角的正弦值为【分析】A，利用MN∥A1C1即可判断；B，利用AN⊥面平面BCC1B1，即可判断；C，三棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点，求出其球半径R＝，即可；D，可得∠CC1N直线CC1与平面ANC1所成角，其正弦值为＝＝，即可判断．解：对于A，∵MN∥A1C1，∴直线A1M与直线C1N共面，故错；对于B，∵AN⊥面平面BCC1B1，∴平面ANC1⊥平面BCC1B1，故正确；对于C，三棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点，故球半径R＝＝，故球的表面积为4＝．故正确；对于D，因为平面ANC1⊥平面BCC1B1，过C作CH⊥C1N，即可得CH⊥平面ANC1，∴∠CC1N直线CC1与平面ANC1所成角，其正弦值为＝＝，故正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数为0，3+2i，﹣2+4i，则点B 所对应的复数为1+6i．【分析】设点B所对应的复数为x+yi（x，y∈R），由题意可得，转化为坐标运算求得x与y的值，则答案可求．解：设点B所对应的复数为x+yi（x，y∈R），∵四边形OABC是平行四边形，∴，又A（3，2），B（x，y），C（﹣2，4），∴（x，y）＝（3，2）+（﹣2，4）＝（1，6），即x＝1，y＝6，则点B所对应的复数为1+6i．故答案为：1+6i．14．已知圆台下底面的半径为4cm，高为4cm，母线长为cm，则圆台的体积为πcm3．【分析】由题意画出图形，利用勾股定理求圆台的上底面半径，再求圆台的体积．解：如图所示，AA1＝2，OA＝4，O1O＝4，过A1作A1B⊥OA，垂足为B，则A1B＝O1O＝4，AB＝OA﹣OB＝OA﹣O1A1＝＝2，所以圆台的上底面半径为O1A1＝2；所以圆台的体积为V＝π（22+2×4+42）×4＝（cm3）．故答案为：．15．在△ABC中，AB＝，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，延长BC到D，使得CD＝5，则AD的长为7．【分析】首先由正弦定理求得AC的长度，然后由余弦定理求得AD的长度即可．解：在△ABC中，由正弦定理可得：，在△ACD中，由余弦定理可得：．故答案为：7．16．已知向量，满足：，，，则＝；若t 为非零实数，则的最小值为．【分析】先根据可以求出，再根据即可求出；利用再结合基本不等式可求的最小值．解：，，两式作差可得，所以，，所以，所以．，当，即时不等式等号成立，所以的最小值为．故答案为为：；．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在①，②a cos A＝b cos B，③a cos B+b cos A＝a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，____，判断△ABC的形状．【分析】选①，根据已知条件，运用正弦定理，即可求解，选②，根据已知条件，运用正弦定理，可得sin A cos A＝sin B cos B，即sin2A＝sin2B，可推得2A＝2B或2A+2B＝π，即可求解，选③，根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．解：选择条件①，由正弦定理可得，，∴sin B＝cos B，sin C＝cos C，又∵B，C∈（0，π），∴C＝B＝，A＝，∴三角形ABC为等腰直角三角形，选择条件②a cos A＝b cos B，由正弦定理可得，sin A cos A＝sin B cos B，即sin2A＝sin2B，又∵2A，2B∈（0，2π），∴2A＝2B或2A+2B＝π，∴三角形ABC为等腰三角形或直角三角形，选择条件③a cos B+b cos A＝a，由余弦定理，可得，解得a＝c，∴三角形ABC为等腰三角形．18．在锐角三角形ABC中，sin A＝，tan（A﹣B）＝﹣，求sin B，cos C的值．【分析】利用同角三角函数关系，求出cos A、tan A，再利用差角的正切公式、和角的余弦公式，即可得出结论．解：∵锐角三角形ABC中，sin A＝，∴cos A＝，∴tan A＝，∵tan（A﹣B）＝﹣，∴tan B＝tan[A﹣（A﹣B）]＝＝，∴sin B＝＝，cos B＝＝，∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝﹣•+•＝．19．某网络营销部门随机抽查了某市100名网友在2020年11月11日的网购金额，所得数据如表：网购金额（单位：千元）人数频率（0，1]80.08（1，2]120.12（2，3]x p（3，4]y q（4，5]80.08（5，6]70.07合计100 1.00已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2．（1）求x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）；（2）该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这100名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在（1，2]和（4，5]的两个群体中确定5人进行问卷调查，若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？【分析】（1）利用频数为100，以及网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3：2，得到关于x和y的方程组，求出x和y的值，然后利用频率的计算公式求出p，q即可，由此补全频率分布直方图．（2）由分层抽样先求出在（1，2]内和（4，5]内应抽取的人数，然后由古典概型的概率公式求解即可．解：（1）由题意可得，，解得x＝40，y＝25，所以p＝，q＝，频率分布直方图如图所示：（2）由分层抽样可知，在（1，2]内的12人中，抽取人，在（4，5]内的8人中，抽取人，所以此2人来自不同群体的概率为＝．20．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，点P为面A1B1C1D1内的一点．（1）画出图1中平面PEF与平面B1BCC1的交线；（2）如图2，若P为矩形A1B1C1D1对角线的交点，AB＝6，BC＝4，BB1＝2，求点B到平面PEF的距离．【分析】（1）利用两个平面交线的定义作出图形即可；（2）设点B到平面PEF的距离为h，利用等体积法V B﹣PEF＝V P﹣BEF，由锥体的体积公式求解即可．解：（1）如图1所示，平面PEF与平面B1BCC1的交线为FG；（2）在△PEF中，，PF＝，PE＝，所以，在△BEF中，，设点B到平面PEF的距离为h，点B1到平面ABCD的距离为BB1＝2，由等体积法V B﹣PEF＝V P﹣BEF，则，即，解得h＝，所以点B到平面PEF的距离为．21．已知向量＝（sin x，cos x），＝（cos x，cos x），函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及最小值；（2）若，求的值．【分析】（1）结合平面向量数量积的坐标运算，二倍角公式与辅助角公式，可得f（x）＝2sin（2x+），再由正弦函数的周期性和最小值，即可得解；（2）由，知sin（x+）＝，再根据2x﹣＝2（x+）﹣]，并结合诱导公式，二倍角公式，得解．解：（1）＝2（sin x cos x+cos2x）﹣1＝sin2x+1+cos2x﹣1＝2sin （2x+），∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π，当2x+＝2kπ﹣，k∈Z，即x＝kπ﹣，k∈Z时，函数f（x）取得最小值，为﹣2．（2）∵＝2sin（2•+）∴sin（x+）＝，∴＝sin[2（x+）﹣]＝﹣cos2（x+）＝2sin2（x+）﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．22．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝，BC＝B1C＝1，∠CBB1＝∠CBA＝45°，∠ABB1＝60°．（1）求二面角A﹣B1B﹣C的余弦值；（2）求证：平面B1BCC1⊥平面ABC．【分析】（1）连接AB1，取B1B的中点D，连接AD，CD，利用边角关系结合余弦定理可求出所需边长以及角度，由二面角的平面角的定义得到∠CDA为平面AB1B与平面B1BC所成的二面角，在三角形中，由余弦定理求解二面角即可．（2）由二面角的平面角的定义，可得∠ACB1即为平面BCC1B1与平面ABC所成的二面角的平面角，通过勾股定理证明∠ACB1＝90°，即可证明．【解答】（1）解：连接AB1，在△ABC中，AB＝，BC＝1，∠CBA＝45°，由余弦定理可得，，故AC＝1，可得AC2+BC2＝AB2，故∠ACB＝90°，在△BCB1中，BC＝1，B1C＝1，∠CBB1＝45°，故∠CB1B＝45°，∠B1CB＝90°，BB1＝，在△ABB1中，AB＝，BB1＝，∠B1BA＝60°，所以AB1＝，取B1B的中点D，连接AD，CD，则CD⊥BB1，AD⊥BB1，故∠CDA为平面AB1B与平面B1BC所成的二面角，在△CDA中，AC＝1，则CD＝，AD＝AB sin60°＝，由余弦定理可得，＝，故二面角A﹣B1B﹣C的余弦值为；（2）证明：由（1）可知，∠ACB＝90°，∠B1CB＝90°，则AC⊥BC，B1C⊥BC，所以∠ACB1即为平面BCC1B1与平面ABC所成的二面角的平面角，在△ACB1中，B1C＝1，AB1＝，AC＝1，则，故∠ACB1＝90°，所以平面BCC1B1与平面ABC所成的二面角为90°，故平面BCC1B1⊥平面ABC．。
江苏省连云港市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 语文 Word版含答案
江苏省连云港市2023-2024学年第二学期期末调研考试高一语文试题注意事项：1.考试时间共150分钟, 分值150分。
2.请在答题卡规定区域作答，其他区域作答一律无效。
一、现代文阅读 (35分)(一)现代文阅读Ⅰ (本题共5小题,18分)阅读下面的文字，完成1~5题。
镜湖，又名鉴湖、庆湖、贺监湖等，在今浙江省绍兴市南、会稽山北麓。
魏晋以前，镜湖多以水利工程的形象出现。
晋室南渡以后，伴随这一时期文人山水审美意识的逐渐觉醒，镜湖才开始作为自然景观之美为人所发现。
而镜湖成为越地自然景观的典型代表，并真正进入文学书写，实则是在唐代，尤其在贺知章以后。
镜湖之于贺知章，是满怀依恋的精神故园，是灵魂栖息的安顿之所。
而贺知章之归镜湖，无疑也给镜湖作了一次很好的宣传，不仅通过名人效应使它广为人知，也赋予其更深层次的文化内涵。
贺知章对镜湖的喜爱与依恋，在他为数不多的诗歌中可以反映出来。
据统计，今存贺诗仅二十三首，涉及浙江的有《答朝士》《采莲曲》《回乡偶书二首》四诗，除家喻户晓的《回乡偶书 (少小离家老大回)》外，其余三诗均提及镜湖。
《答朝士》诗曰：“钑镂银盘盛蛤蜊，镜湖莼菜乱如丝。
乡曲近来佳此味，遮渠不道是吴儿。
”莼菜是极具地域特色且被广泛喜爱的地方风味。
出产莼菜和蛤蜊的镜湖，在为诗人提供生存所需的同时，也孕育了他对家乡最深切的怀恋。
《采莲曲》诗曰： “稽山云雾郁嵯峨，镜水无风也自波。
莫言春度芳菲尽，别有中流采芰荷。
”《采莲曲》是乐府旧题，唐诗中以此为题者甚多，内容多描写采莲的劳动场景、采莲女的美好姿态及男女间的情思。
贺知章此诗却别具一格。
云雾褪去显出苍翠的稽山，环绕着波光潋滟的镜水，水上泛舟中流的采莲女子，构成一幅浓淡相宜的水墨画。
“莫言”道出了诗人不为春归而叹惋， “别有”则显示出他善于发现生活之美的豁达率真。
镜湖之美，给退居山林的贺知章以心灵的慰藉，使他在人生的重大转折面前不至于茫然失措。
《回乡偶书》二首作于贺知章还乡之后，其二曰： “离别家乡岁月多，近来人事半销磨。
2021-2022学年江苏省连云港市高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省连云港市高一下学期期末数学试题一、单选题1．计算的结果是（ ）()221i -A ．B ．C ．D ．2i 2i-ii-C【分析】由复数的乘法运算和除法运算可得答案.【详解】.()22221ii112i i i1i ====-----故选：C.2．在锐角三角形中，，则（ ）ABC 2sin a b A =B =A ．B ．C ．D ．6π4π3π712πA【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】解：在锐角三角形中，，由正弦定理得，ABC 02B π<<sin sin a bA B =又，所以，且，故.2sin a b A =1sin 2B =02B π<<6B π=故选：A.3．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（ ）A ．0.4B ．0.48C ．0.6D ．0.8A【分析】根据概率运算求得正确答案.【详解】目标受损但未击毁的概率是.10.20.40.4--=故选：A4．某校高一年级1000名学生在一次中的成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩40～70分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩50～60分的人数是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．50B【分析】先求出三个分数段的的同学的频率之比，从而求出抽取成绩50～60分的人数.【详解】从频率分布直方图可以看出三个分数段的的同学的频率之比为，0.005:0.015:0.0201:3:4=所以抽取成绩50～60分的人数为，38030134⨯=++故选：B 5．已知，，设，的夹角为，则在上的投影向量是（ ）3a = 5b =a b 135︒b aA ．BC ．DA【分析】根据投影向量的求法求得正确答案.【详解】在上的投影向量是：ba.cos135cos13553a b a b aa a ab aa aaa ⋅⋅︒⎛⋅⋅=⋅=⋅︒⋅=⨯⋅= ⎝故选：A6．一个直角梯形上底、下底和高之比为2:旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．4:9:34:9:84:9:94:9:10D【分析】由已知设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、下底2,3x x 半径和高，代入圆台底面积及侧面积公式，求出两底面积及侧面积，可得答案．【详解】解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、2,3x x 下底半径和高．如图示，过点作于，则中，B BC OA ⊥C Rt ABC △，，32AC OA OC OA O B x x x '=-=-=-=BC O O '==．∴2AB x =．∴()][()][()22::2:3:2324:9:10S S S x x x x x πππ⎡⎤=+⨯=⎣⎦下上侧故选：D7．若a ，b 为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列αβa α⊂b β⊂l αβ= 结论中正确的是( )A ．l 至少与a ，b 中一条相交B ．l 至多与a ，b 中一条相交C ．l 至少与a ，b 中一条平行D ．l 必与a ，b 中一条相交，与另一条平行A【分析】此种类型的题可以通过举反例判断正误.【详解】因为a ，b 为两条异面直线且，，，所以a 与l 共面，b a α⊂b β⊂l αβ= 与l 共面.若l 与a 、b 都不相交，则a ∥l ，b ∥l ，a ∥b ，与a 、b 异面矛盾，故A 对；当a 、b 为如图所示的位置时，可知l 与a 、b 都相交，故B 、C 、D 错.故选：A.8．如图，屋顶的断面图是等腰三角形，其中，横梁的长为8米，ABC AC BC =AB ，为了使雨水从屋顶（设屋顶顶面为光滑斜面）上尽快流下，则的值应BAC α∠=α为（ ）A ．B ．C ．D ．30°45︒60︒75︒B【分析】根据物体受力分析，利用二倍角的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出雨水流下时间的最小值对应的值.α【详解】设雨水的质量为，下滑加速度为，，取的中点，连接.m a AC s =AB D CD 则,且.CD AB ⊥12AD BD AB ==因为，所以；sin F mg ma α==sin a g α=在直角三角形中，ACD 21,cos 2AD s at α==所以222216,cos sin cos sin 2AD AB AB AB t a g g g g αααα===≥=当,即时等号成立，sin 21α=45α=︒故选：B.二、多选题9．一组数据2，6，8，3，3，3，7，8，则（ ）A ．这组数据的平均数是5B ．这组数据的方差是112C ．这组数据的众数是8D ．这组数据的75百分位数是6AB【分析】将数据从小到大排列，根据数据的特征，逐项判断即可.【详解】解：数据从小到大排列为：2，3，3，3，6，7，8，8，则这组数据的平均数为，故A 项正确；2333678858+++++++=这组数据的方差为：，故B22222222111(25)(35)(35)(35)(65)(75)(85)(85)82⎡⎤⨯-+-+-+-+-+-+-+-=⎣⎦项正确；这组数据中有3个3，2个8，1个2，1个6，1个7，所以众数为3，故C 项错误；因为，这组数据的75百分位数是7，故D 项错误.80.756⨯=故选：AB.10．在等腰直角三角形中，斜边，向量，满足，ABC 2AB =a b2AB a = ，则（ ）2AC a b =-AB ．C ．D ．1a b ⋅=- 1a b -=()a b AB-⊥ ACD【分析】先由，结合等腰直角三角形，可求出对应的模BC AC AB b =-=-ABC ,a b 及其夹角，即可判断A ，由可判断B ；由,cos a b a b a b⋅=⋅⋅C ；由是否等于0可a -= ()222a b AB a ab-⋅=-⋅ 判断D【详解】由题意，等腰直角三角形，ABC 2,AB AC BC ===，，又2,AC AB BC a b BC AC AB b =+=-∴=-=- b CB ∴= ,2ABa =πcos cos 4,a b ∴==对A A 对；对B ，，故B 错；,1cos a b a b a b ⋅=⋅⋅=对C ，，故C 对；1a -== 对D ，，故D 对；()()2220,a b AB a a b a b AB -⋅=-⋅=∴-⊥ 故选：ACD 11．在长方体中，矩形、矩形、矩形的面积分1111ABCD AB C D -11ABBA 11ADD A ABCD）A ．B 1AB=C ．直线与D ．二面角的正切值为2AC 1BC 1B ACB --BC 【分析】设，由题意可得1,,AB a AD b AA c ===11⨯==⨯==AB AA ac AD AA bc，解得可判断A ；求出体积可判断B ；连接，⨯==AB AD ab ,,a b c 11、、AC AD CD 所以，所以直线与的夹角即为直线与的夹角，利用余弦定理11//BC AD AC 1BC AC 1AD 求出可判断C ；连接，做交与，可得1cos ∠D AC 11、、AC CB AB BO AC ⊥AC O 为二面角的平面角，计算出可判断D.1B OB ∠1B AC B --1tan ∠B OB 【详解】设，由题意可得1,,AB a AD b AA c ===11⨯==⨯==AB AAac AD AA bc ，解得⨯==AB ADab 1,a b c ===所以，故A 错误；AB =长方体的体积为B 正确；abc =连接，所以，所以直线与的夹角即为直线与11、、AC ADCD 11//BCAD AC 1BC AC 的夹角，因为1AD 112,=====AD CD AC 所以，所以直线与的夹角的余2221111cos 2+-∠===⨯AD AC CD D AC AD AC AC 1BC C 正确；连接，做交与，因为平面，平面11、、AC CB AB BO AC ⊥AC O 1BB ⊥ABCD AC ⊂，所以，又，所以平面，平面，ABCD 1BB AC ⊥1BB BO B = AC ⊥1BOB 1B O ⊂1B BO 所以，所以为二面角的平面角，因为，1OB AC ⊥1B OB ∠1B AC B --=⨯⨯BC BO AC AB所以，故D 错误.=⨯=B B C A BO AC 11tan ==∠B B B BO B O 故选：BC.12．在平面四边形中，，，，则（ ）ABCD 1AB =3BC =2CD DA ==A ．当时，，，，四点共圆π3C =A B C DB ．当，，，四点共圆时，A B C D AC =C ．当时，四边形的面积为32π3B D +=ABCDD ．四边形面积的最大值为ABCD ACD【分析】对AB ，由余弦定理可得，222222cos 2cos BD BC CD BC CD C AB AD AB AD A =+-⋅=+-⋅，结合四点共圆四边222222cos 2cos AC AB BC AB BC B AD CD AD CD D =+-⋅=+-⋅⇔形对角互补，代入数据求解方程组，即可判断；对CD ，由①，以及11sin sin 22S AB BC B AD CD DS =⋅+⋅②，①②两式代入数据，两22222cos 2cos AB BC AB BC B AD CD AD CD D +-⋅=+-⋅边同时平方，再左右对应相减，即可整理得到S 与的关系式，进一步讨论()cos B D +即可判断【详解】对A ，由余弦定理得，，代入数据可得222222cos 2cos BD BC CD BC CD C AB AD AB AD A =+-⋅=+-⋅，又，综上可解得，21312cos 54cos BD C A =-=-π3C =27BD =，故，故平面四边形对角互补，，，，1cos cos 2A C =-=-πA C +=ABCD A B C 四点共圆，故A 对；D 对B ，由余弦定理得，，代入数据可得222222cos 2cos AC AB BC AB BC B AD CD AD CD D =+-⋅=+-⋅， 又，，，四点共圆，故平面四边形对2106cos 88cos AC B D =-=-A B C D ABCD角互补，，综上可解得，故B 错；cos cos B D =-264,7AC AC =∴=对C 、D ，四边形的面积，代入数据可得ABCD 11sin sin 22S AB BC B AD CD D=⋅+⋅()()222213sin 4sin ,43sin 4sin 9sin 24sin sin 16sin 2S B D S B D B B D D =+∴=+=++①，，106cos 88cos ,3cos 4cos 1B D B D -=-∴-= ②，()2223cos 4cos 9cos 24cos cos 16cos 1B D B B D D ∴-=-+=①②两式左右相减，整理可得()()()()222229sin cos 24cos cos sin sin 16sin cos 2524cos 14B B B D B D D D B D S +--++=-+=+，，当时，()266cos 12S B D ∴=-+≤()0,2πB D +∈2π3B D +=，又当时，四边形面积取得最大值，为3S ==πB D +=ABCD ，故C 、D 对；故选：ACD 三、填空题13．已知是锐角，，则的值是_________．α3sin 5α=πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】结合同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得正确答案.【详解】由于是锐角，，α3sin 5α=所以，4cos 5α==所以πππ34cos cos cos sin sin 44455ααα⎛⎫⎫-=+=+=⎪⎪⎝⎭⎭14．已知复数，的虚部为－2，所对应的点在第二象限，则z 2z z A _________．z =1i -+i 1-【分析】设复数，根据题干中的条件列方程组求解的值即可.i z a b =+,a b 【详解】解：设复数，所以，i za b =+=222a b +=又，且的虚部为-2，则，2222(i)2i z a b a b ab =+=-+2z 1ab =-因为所对应的点在第二象限，即点在第二象限，所以，z A (,)A a b 0,0a b <>故，解得，故.22210,0a b ab a b ⎧+=⎪=-⎨⎪⎩1,1a b =-=1i z =-+故答案为.1i-+15．曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄在水平位置时，连杆端点在OA OB P 的位置，当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是，若Q OA OB αP Q cm x ，，，则的值是_________．3cm OA =7cm AP =120α︒=x 5【分析】根据余弦定理解决实际问题，直接计算即可.【详解】如下图，在中，APO △由余弦定理可知，249923cos 5OP OP AOP OP cm =+-´××ÐÞ=另外，由图可知，在点与点重合时，A B 10,OQ AP OA cm =+=,1055PQ OQ OP cm \=-=-=故5四、双空题16．在三棱锥中，平面，，，，则三棱P ABC -PA ⊥ABC 3PA BC ==4AB =5AC =锥的体积为_________，三棱锥的内切球的表面积为_________．P ABC -P ABC - 6169π169π【分析】根据已知条件可得，利用三棱锥的体积公式结算即可；利用线面垂AB BC ⊥直的判定定理可证明平面，设内切球半径为，利用等体积法求解内切球的BC ⊥PAB r 半径，利用球的表面积公式结算即可.【详解】解：因为，，，在中，,3PA BC ==4AB =5AC =ABC 222AC AB BC =+所以，又平面，所以AB BC ⊥PA ⊥ABC ，111133463232P ABC V PA AB BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=因为平面，平面,所以，，，PA ⊥ABC ,,AB AC BC ⊂ABC PA BC ⊥PA AC ⊥PA AB ⊥故5PB ==又，，所以平面，AB BC ⊥PA AB A = BC ⊥PAB 又平面，所以，PB ⊂PAB BC PB ⊥所以均为直角三角形，,,,PAB PAC PBC ABC 设三棱锥的内切球的球心为，半径为，P ABC -O r 则,O ABC O PAB O PAC O PBC P ABC V V V V V -----+++=即，()111(34343535)6332P ABC ABC PAB PAC PBC V r S S S S r -=⨯+++=⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=解得，故三棱锥的内切球的表面积.23r =P ABC -222164439r πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故6；.169π五、解答题17．已知向量，满足，，．求：ab 1a =b = )1a b -=- (1)；a b + (2)与的夹角．a b + a b - (1)2a b += (2)2π3【分析】（1）根据向量模的坐标运算以及向量的基本运算可以直接求得；（2）根据向量数量积的定义进行计算即可得到结果.【详解】(1)由，得，)1a b -=- 2a b -= 故，代入，，2224a b a b +-⋅= 1a = b = 0a b ⋅= 由，得22224a b a b a b +=++⋅= 2a b += (2)由()()221cos ,2a b a b a b a b a b a b a b a b a b +⋅--+-===-+-+- 故与的夹角为.a b + a b - 2π318．从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数．(1)求组成的两位数是偶数的概率；(2)判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否独立，并说明理由．(1)25(2)不独立；理由见解析【分析】（1）设事件A ：“组成的两位数是偶数”，求出样本空间，包含的样本点，ΩA 由古典概型概率计算公式可得答案；（2）设事件B ：“组成的两位数是3的倍数”，求出事件B 包含的样本点、包含的AB 样本点，可得、，从而判断出的关系．()P B ()P AB ()()()、P AB P A P B 【详解】(1)设事件A ：“组成的两位数是偶数”，则样本空间，{12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54}Ω=，{}12,14,24,32,34,42,52,54=A 故，82()205P A ==即组成的两位数是偶数的概率是.25(2)设事件B ：“组成的两位数是3的倍数”，则，，{}12,15,21,24,42,45,51,54=B {}12,24,42,54=AB 故，，82()205P B ==41()205==P AB 故，()()()≠P AB P A P B 即“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”不独立．19．如图，在四棱锥中，底面是菱形．P ABCD -ABCD(1)若点是的中点，证明：平面；E PD //PB ACE (2)若，，且平面平面，求直线与平面2PA PD AD ===120BAD ∠=︒PAD ⊥ABCD PB 所成角的正切值．ABCD (1)证明见解析【分析】(1) 连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，由条件证明，再由线面平行//PB EM 判定定理证明平面；(2) 取AD 的中点O ，由面面垂直性质定理证明⊥//PB ACE PO平面ABCD ，根据直线与平面夹角的定义确定直线与平面的夹角，再求其正PB ABCD 切值.【详解】(1)连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为底面ABCD 是菱形，故点M 是BD 的中点，又因为点E 是PD 的中点，故∥PB EM又因为平面，平面，PB ⊄AEC EM ⊂AEC 所以，平面；PB ∥AEC (2)取AD 的中点O ，连接PO ，BO ，因为，且O 为AD 的中点，2PA PD AD ===故⊥AD ，PO 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD =AD ，平面 PO ⊂PAD故⊥平面ABCDPO 则直线PB 与平面ABCD 所成角为PBO∠在中，，PAD△PO 在中，BAOBO ==在中，Rt PBOtan PBO ∠==故直线PB与平面ABCD 20．已知向量，向量．3cos 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ sin ,3sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (1)若是第四象限角，且，求的值；2x//a b tan x (2)若函数，不等式（其中）()f x a b =⋅+ 5π0,6x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()m f x n ≤≤,R m n ∈恒成立，求的最大值．m n -(1)tan x =(2)92-【分析】（1）根据列方程，化简求得，进而求得.//a b tan 2x tan x （2）化简的表达式，根据三角函数的值域的求法求得在区间的最大()f x ()f x 5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦值和最小值，【详解】(1)因为，故,//a b 3cos 2x ⋅（）3sin 2x -=（）2x ⋅sin 2x （）又因为是第四象限角，故2x tan 2x =-由，22tan2tan 1t an 2xx x ==-得tan x=(2)()f x a b =⋅3cos sin 3sin 2222x x x x =⋅+⋅-（）（）3sin 1cos 2x x =+⋅-3sin 2x x =,π3sin )3x =+（又，当时，，5π[0,]6x ∈π6x =max ()3f x =当，，从而求得的最大值.5π6x =min 3()2f x =-m n -故，，则的最大值为.32m ≤-3n ≥m n -92-21．在中，，是边上一点，且．ABC π3B =AC =M AB 2CM =(1)若的面积；AM =AMC (2)是否存在？若存在，求的长；若不存在，说明理由．π2BMC BAC ∠+∠=BM (2)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用余弦定理求得，进而求得，从而求得三角形cos MAC ∠sin MAC ∠的面积.AMC （2）利用三角形的知识作出判断.【详解】(1)在中，，AMC AM =2CM =AC =由余弦定理得，222cos 2AM AC CM MAC AM CM +-∠=⋅=则sin MAC ∠==1sin 2AMC S AM AC MAC =⋅⋅∠△12==(2)不存在，理由如下：若，π2BMC MAC ∠+∠=则为锐角，,BMC MAC ∠∠则为钝角，则，AMC ∠MAC AMC ∠<∠所以，CM AC <这与已知矛盾，CM AC >所以不存在.π2BMC MAC ∠+∠=22．如图，在正方体中：1111ABCD A B C D -（注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上）(1)证明：平面；1BD ⊥1ACB (2)若，点是棱上一点（不包含端点），平面过点，且，求平2AB =P CD αP 1BD α⊥面截正方体所得截面的面积的最大值．α1111ABCD A B C D -(1)见解析(2)【分析】（1）连接，，根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的BD 11B D 1AC BB ⊥判定定理可得平面，则有，同理可证，再根据线面垂AC ⊥11BB D D 1BD AC ⊥11BD AB ⊥直的判定定理即可得证；（2）过点P 作，交AD 于点Q ，过点Q 作，交于S ，过点作PQ AC ∥1QS A D ∥1AA S ，交于R ，证明Q ，S ，P ，R 四点共面，再证明平面，即可1SR AB ∥11A B 1BD ⊥PQSR 得平面即为所求的平面，设平面平面，说明平面截正PQSR αPQSR11B C CB TO =α方体所得截面为平面六边形，设1111ABCD A B C D -OPQSRT 02),CP x x =<<（再根据截面六边形面积等于等腰梯形的面积加上等腰梯形2,DP x =-OPQSRT SQPR 的面积，从而可得出答案.OTRP 【详解】(1)证明：连接，，BD 11B D 在正方体中，，1111ABCD A B C D -AC BD ⊥由平面，，得，1BB ⊥ABCD AC ABCD ⊂平面1AC BB ⊥又因为，故平面，1BD BB B ⋂=AC ⊥11BB D D 又因为平面，1BD ⊂11BB D D 故，1BD AC ⊥同理，11BD AB ⊥又因为，1AB AC A = 所以⊥平面；1BD 1ACB(2)解：过点P 作，交AD 于点Q ，PQ AC ∥过点Q 作，交于S ，1QS A D ∥1AA 过点作，交于R ，S 1SR AB ∥11A B 则，，故，1DP A R =1DP A R ∥1A D PR ∥又，故，则Q ，S ，P ，R 四点共面，1QS A D ∥QS PR ∥由，，11QS A D B C ∥∥1SR AB ∥由（1）可知，，11BD B C ⊥11BD AB ⊥故，，，故平面，1BD QS ⊥1BD SR ⊥QS SR S = 1BD ⊥PQSR 平面即为所求的平面，PQSR α因为平面平面，平面平面，11A D DA ∥11B C CB PQSR 11A D DA SQ =设平面平面，则，PQSR11B C CB TO =SQ OT ∥又因为，可得，11QS A DB C ∥∥1OT B C ∥同理可得：，1OP C D ∥故平面截正方体所得截面为平面六边形，α1111ABCD A B C D -OPQSRT 设02),CP x x =<<（2,DP x =-则，，)PQ SR OT x ===-OP RT QS ====PR等腰梯形的面积，SQPR 214)S x =-等腰梯形的面积，OTRP 224)S x x =-截面六边形面积，OPQSRT 21222)S S S x x =+=-++当，，1x =max S =故平面截正方体所得截面的截面面积的最大值为α1111ABCD A B C D -。
江苏连云港市高级中学2024年高一下学期期末数学试题(解析版)
连云港高级中学高一年级第二学期期末冲刺试卷数学试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，若i 1i z =−，则z z ⋅=（ ） A. 1 B. 2C.12D. 3【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法运算求得1i z =−−，进而计算可求得z z ⋅. 【详解】由i 1i z =−，得1i (1i)i1i i i iz −−===−−×， 则(1i)(1i)112z z ⋅=−−−+=+=. 故选：B.2. 总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198 3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181 A. 02 B. 14C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】结合随机数表法确定正确答案.【详解】选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的个体的编号为16，15，72（舍去），08，02，63（舍去），15（舍去），02（舍去），16（舍去），43（舍去），19，97（舍去），14. 故选出的第6个个体编号为14. 故选：B.3. 若向量()1,2a =− ，()2,3b = ，则a 在b上的投影向量为（ ）A. ()8,12B. 812,1313−C. 812,1313D.【答案】C 【解析】【分析】首先求出a b ⋅ 、b，再根据投影向量的定义计算可得.【详解】因为()1,2a =−，()2,3b = ，所以12234a b ×⋅=−+×=，b =所以a 在b上的投影向量为812,1313a b b b b ×= =⋅ . 故选：C4. 魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正4576边形，求出圆周率π约为355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.若已知π的近似值还可以表示成4cos38°，则） A. 18− B.8−C. 8D.18【答案】C 【解析】【分析】将π的近似值代入，利用倍角公式和诱导公式进行化简即可. 【详解】π的近似值还可以表示成4cos38°，16cos38sin 388sin 768cos14cos14°°°===°°， 故选：C.5. 设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（ ） A. 若l⊥平面α，//αβ，m β⊂，则l m ⊥ B. 若l α⊥，m β⊂，//l m ，则αβ⊥C. 若l α⊥，m α⊥，则//l mD. 若//l α，l //β，则//αβ【答案】D 【解析】【分析】由面面垂直的判定定理可判断A 、B ；线面垂直的性质定理可判断C ；由面面平行的判定定理可判断D .【详解】对于A ，因l⊥平面α，//αβ，所以l ⊥平面β，又因为m β⊂，所以l m ⊥，故A 正确；对于B ，若l α⊥，//l m ，则m β⊥，又因为m β⊂，所以αβ⊥，故B 正确； 对于C ，若l α⊥，m α⊥，则//l m ，故C 正确； 对于D ，若//l α，l //β，则可能α与β相交，故D 错误. 故选：D .6. 已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S，a =，12b =，cos S B =，则A =（ ） A. 30°或150° B. 30°C. 45°D. 150°【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由三角形的面积公式即可得到角B ，再由正弦定理即可得到结果.【详解】因为1cos sin 2Sac B ac Bsin B B =，即tan B =， 且()0,πB ∈，所以π3B =，又a =，12b =，由正弦定理sin sin a b A B=可得，sin 1sin 2a B Ab ⋅==， 因为a b <，A 为锐角，所以π6A =. 故选：B7. 在长方体1111ABCD A B C D −中，已知2AB BC ==，13AA =，E 为11B C 的中点，则直线CE 与平面11BB D D 所成角的余弦值为（ ）为A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用线面垂直以及线线平行可得1MB N ∠为直线CE 与平面11BB D D 所成角的线面角，又三角形边角关系即可求解，或者建立空间直角坐标系，利用线面角公式即可求解．【详解】方法一：连接,AC BD 相交于O ，取OB 中点M ，BC 中点为N ,连接1,MN B M ， 则//MN AC ,1//EC B N ,由于1BB ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥,又AC BD ⊥,11,,BB BD B BB BD ∩=⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ， 所以MN ⊥平面11BB D D ,因此1MB N ∠为直线CE 与平面11BB D D 所成角，12MNOC ==,1B N =,所以1B M则111cos B MMB N B N ∠=,方法二：建立如图空间直角坐标系，则(0C ,2,0),(1E ,2,3),(2A ,0,0)，(2AC − ,2,0)，(1CE =,0,3)，由于1,,AC BD AC BB ⊥⊥所以平面11BB D D 的法向量为(2AC − ,2,0)，设直线CE 与平面11BB D D 所成角为θ，则||sin ||||AC CE AC CE θ⋅== ， 则直线CE 与平面11BB D D故选：B ．8. 已知点A ，B ，C 均位于单位圆（圆心为O ，半径为1）上，且AB AB AC =⋅的最大值为（ ）A.B.C.1+D.1【答案】C 【解析】【分析】设O为圆心，由||AB =，可得0OB OA =，利用()AB ACAB OC OB OA OA =−− ，计算可求最大值.【详解】设O 为圆心，则||||||1OA OB OC ===，因为||AB =所以2222()22AB OB OA OB OB OA OA =−=−+= ，所以0OB OA = ，所以()()AB AC AB OC OA AB OC AB OA AB OC OB OA OA =−=−=−−2···cos ,1,1AB OC OB OA OA AB OC AB OC AB OC −+=+=+，因为cos ,[1,1]AB OC ∈−，所以max ()1AB AC = 故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 关于复数的命题正确的有（ ） A. 若复数12z z >，则12,z z ∈RB. 若复数()211i z m m =−++为纯虚数，则1m =±C. 若i 2z −=，则z 的最小值为1D. 若12=z z ，则2212z z =【答案】AC 【解析】【分析】根据复数的分类即可判断AB,根据复数模长的计算，结合三角函数的性质即可判断C ，根据模长公式即可判断D.【详解】由复数定义可知，若复数12z z >，则1z ，2R z ∈，A 正确；若复数21(1)i z m m =−++为纯虚数，则21010m m −= +≠，则1m =，B 错误；设i(,R)z x y x y =+∈，|i |2z −=的几何意义是z 的轨迹是以(0,1)为圆心，以2为半径的圆， 令2cos x α=，12sin y α=+，则1z =≥，即||z 的最小值为1，C 正确；若12||||z z =，但2212z z =不一定成立，比如121i,z z =−，则12||||z z ==，22122i,2z z =−=−，D 错误． 故选：AC ．10. 下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ）A. 对于任意向量a 、b，有a b a b −≥− 恒成立B. 若平面向量a ，b满足22b a == ，则2a b − 的最大值是5 C. 若向量a ，b 为单位向量，2a b −=，则向量a 与向量b的夹角为60° D. 若非零向量a ，b 满足()0,xa ybx y +=∈R ，且a ，b不共线，则0x y == 【答案】ABD 【解析】【分析】由平面向量的线性运算的几何性质可判断A ，根据模长的计算公式即可判断B ，数由夹角公式即可利用模长求解C ，根据共线的性质即可判断D.【详解】对于A ，由向量减法的三角形法则及三角形两边之差小于第三边知a b a b −≥−恒成立，故A 正确；对于B ， ||2||2b a ==，∴25a b −=≤，故B 正确；对于C ， 向量a ，b为单位向量，|2|a b − ，∴2(2)7a b −= ，∴22447a b a b +−⋅= ，∴12a b ⋅=− ， 对于D ，a ，b 不共线，当0x ≠时，由()0,xa yb x y +=∈R ，则y a b x=− ，此时与a ，b 不共线矛盾，若0y ≠时，此x b a y=− ，也与a ，b 不共线矛盾，故0xy ==，故D 正确． 故选：ABD ．11. 某市商品房调查机构随机抽取n 名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为13，二居室住户占16．如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中，抽取10%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（ ）A. 样本容量为90B. 样本中三居室住户共抽取了35户C. 据样本可估计对四居室满意的住户有110户D. 样本中对二居室满意的有3户【答案】BC 【解析】【分析】推导出二居室有150户，三居室有450户，由此利用图1和图2能求出结果． 【详解】解：如图1调查的所有市民中四居室共300户，所占比例为13，二居室住户占16， ∴30090013=，二居室有19001506×=户，三居室有450户， 由图1和图2得：在A 中，样本容量为：90010%90n =×=，故A 正确；在B 中，样本中三居室住户共抽取了45010%45×=户，故B 错误； 在C 中，根据样本可估计对四居室满意的住户有30040%120×=户，故C 错误；在D 中，样本中对二居室满意的有15010%20%3××=户，故D 正确． 故选：BC ．12. 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，O 分别为线段11A D ，AC 的中点，F 在棱BC 上.则下列命题正确的是（ ）A. 直线1B O ⊥直线1D CB. 直线1DB ⊥平面1AD CC. 直线1//B O 平面11A DCD. 设直线AB 与直线EF 所成的角为θ，则sin θ∈ 【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意作出辅助线结合线面垂直及平行的判定定理证明A 、B 、C ，取11B C 的中点G ，连接EG 、EF 、FG ，则FEG ∠即为直线AB 与直线EF 所成的角，再由锐角三角函数计算即可判断D.【详解】对于A ：连接1AD 交1A D 于点M ，连接1D C 、OM ，根据正方体的性质可得M 为1AD 的中点，又为AC 的中点，所以1//OM D C ， 设正方体的棱长为2，所以1OB OM 1B M ，所以11MB OB =，显然190MOB ∠≠°，故直线1B O 与直线1D C 不垂直，故A 错误；对于B ：由正方体的性质可得AC BD ⊥，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥，1BB BD B ∩=，1,BB BD ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ，1B D ⊂平面11BB D D ，所以1B D AC ，同理可证11B D AD ⊥，1AD AC A = ，1,AD AC ⊂平面1AD C ，所以直线1DB ⊥平面1AD C ，故B 正确；对于C ：连接11A C ，11B D 交于点H ，连接DH ，由正方体性质1//OD HB 且1OD HB =， 所以四边形1ODHB 为平行四边形，所以1//DH OB ，1B O ⊄平面11A DC ，DH ⊂平面11A DC ，所以1//B O 平面11A DC ，故C 正确；对于D ：取11B C 的中点G ，连接EG 、EF 、FG ，因为11//EG A B ，11//AB A B ，所以//EG AB ， 则FEG ∠即为直线AB 与直线EF 所成的角，即FEG θ∠=， 设正方体的棱长为2，GF x =，则2x ≤≤，则2EG =，EF ，的所以sin GFEFθ==因为2x ≤≤245x ≤≤，211154x ≤≤， 即24415x ≤≤，294125x ≤+≤≤≤≤≤即sin θ∈，故D 正确.故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. ()()1tan 221tan 23+°+°的值为__________． 【答案】2 【解析】【分析】利用正切的和角公式进行化简求值.【详解】已知()tan 22tan 23tan 222311tan 22tan 23°+°°+°==−°⋅°， 故tan 22tan 23tan 22tan 231°+°+°⋅°=，所以()()1tan 221tan 231tan 22tan 23tan 22tan 232+°+°=+°+°+°⋅°= 故答案为：214. 中国古典神话故事《白蛇传》中“水漫金山寺”中的金山寺位于镇江金山公园内，唐宋时期，寺里有南北相向的两座宝塔，一名荐慈塔，一名荐寿塔，后双塔毁于火，明代重建该塔，当年值逢慈禧60大寿，地方官员以此塔作为贺礼进贡，故取名慈寿塔.某校高一研究性学习小组为了实地测量该塔的高度，选取与塔底中心O 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，在A 点测得：塔顶P 的仰角为45°，O 在A 的北偏东60°处，B 在A 的正东方向41米处，且在B 点测得O 与A 的张角为45°，则慈寿塔的高度约为__________米（四舍五入，保留整数）.【答案】30 【解析】【分析】在ABO 中利用正弦定理求出AO ，依题意APO △为等腰直角三角形，即可得到PO . 【详解】由题意可得在AOB 中，30OAB ∠=°，45ABO ∠=°，41AB =米， 所以105AOB ∠=°， 在ABO 中利用正弦定理可得sin sin AB AOAOB ABO=∠∠，所有sin 41sin 45sin sin105AB ABO AOAOB ⋅∠×°==∠°1)30≈， 因为45PAO ∠=°，所以APO △为等腰直角三角形，所以30POAO =≈米． 故答案为：30．15. 一个直角梯形上底、下底分别为3cm 和4cm ，将此直角梯形以垂宜于底的腰为轴旋转周形成一个圆台，此圆台外接球的半径为5cm ，则这个圆台的高为_________. 【答案】1或7 【解析】【分析】分别求出球心到两底面的距离，分类讨论可求出圆台的高.【详解】圆台的外接球的半径为5，则圆台外接球的球心到上底面的距离为14d ==,则圆台外接球的球心到下底面的距离为13d ,若球心在上下两底面之间，则圆台的高为347h =+=, 若上下两底面在球心的同一侧，则圆台的高为431h =−=, 综上所述：这个圆台的高为1或7. 故答案为：1或7.16. 在边长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F ，G 是1111,,AB A D C D 的中点，那么过点E ，F ，G 的截面图形为__________（在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为__________．【答案】 ①. 六边形 ②. 【解析】【分析】根据面面平行的性质定理可推断正方体截面图形的形状为正六边形，再根据截面图的边长与正方体棱长关系以及正六边形结构特征即可求解面积.【详解】如图，分别取BC 、1AA 、1CC 的中点为H 、I 、J ， 连接,,,,FI IE EH HJ JG ，则由正方体的结构特征可知：FI IE EH HJ JG FG =====，且//,//,//FI HJ IE JG FG EH ，又由面面平行的性质定理可知过点E ，F ，G 的截面与正方体上下面的两条交线平行， 与左右两个面的两条交线平行，与前后两个面的交线也平行， 故六边形FGJHEI E ，F ，G 的截面, 所以过点E ，F ，G 的截面图形为六边形.因为FG ，所以六边形FGJHEI 的正六边形，如图，根据正六边形结构特征可以将其分割成6，故由正三角形面积公式得截面图形的面积为6×故答案为：六边形；四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，AE 是边BC 上的中线，点D 、E 在边BC 上． （1）用正弦定理证明AB BDAC CD=；（2）若4360AB AC BAC ==∠=°，，，求DE 长． 【答案】（1）证明见解析 （2）DE =【解析】【分析】（1）由正弦定理知，sin sin AB BDADB BAD =∠∠，sin sin AC BD ADC DAC=∠∠，结合条件可得结论；（2）由余弦定理可求得BC =，进而利用（1）的结论可求DE . 【小问1详解】由正弦定理知，在ABD △中，sin sin AB BDADB BAD=∠∠，在ADC △中，sin sin AC BDADC DAC=∠∠， 由πADB ADC ∠+∠=，BAD DAC ∠=∠，所以sin sin ,sin sin ADB ADC BAD DAC ∠=∠∠=∠， 所以AB BDAC DC=； 【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理可得2222cos 169243cos 6013BC AB AC AB AC BAC =+−=+−×××°= ，所以BC =，由（1）可得43BDAB DCAC ==，所以47BD BC ==， 因为AE 是BC边上的中线，所以12BEBC ==，所以DE BD BE =−=18. 已知12sin 13α=，()3tan 4αβ−=，其中α，β均为锐角.（1）求tan 2α的值； （2）求cos β的值. 【答案】（1）120119− （2）5665的【解析】分析】（1）首先求出cos α，即可求出tan α，再由二倍角正切公式计算可得；（2）根据同角三角函数的基本关系求出()sin αβ−，()cos αβ−，再根据()cos cos βααβ=−− 利用两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】因为12sin 13α=且α为锐角，所以cos 135α=，所以sin 12tan cos 5ααα==， 所以221222tan 12051tan 119tan 21215ααα×===−−−. 【小问2详解】 因为α、β均为锐角， 所以ππ22αβ−<−<，又()3tan 4αβ−=，所以π02αβ<−<，又()()()sin 3tan cos 4αβαβαβ−−==−且()()22sin cos 1αβαβ−+−=， 解得()3sin 5αβ−=，()4cos 5αβ−=（负值舍去），所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=−−=−+−541235613513565=×+×=. 19. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，E 为1BC 中点，F 为1AA 中点．（1）求证：//EF 平面ABC ；（2）若1EF BB ⊥，平面11BB C C ⊥平面ABC ，ACBC ⊥，求证：1BB ⊥平面ABC ．【【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）取BC 的中点M ，连接,ME MA ，由已知易证四边形MEFA 是平行四边形，进而可得//EF AM ，可证结论；（2）由面面垂直的性质可得AC ⊥平面11BB C C ，进而可得1AC BB ⊥，结合（1）与已知可得1AM BB ⊥，进而由线面垂直的判定定理可证结论. 【小问1详解】取BC 的中点M ，连接,ME MA ，因为E 为1BC 中点，所以1//ME CC 且1ME CC =， 又F 为1AA 中点，11//AA CC ，11AA CC =，所以//ME AF 且ME AF =，所以四边形MEFA 是平行四边形， 所以//EF AM ，又因为EF ⊄平面ABC ，AM ⊂平面ABC ， 所以//EF 平面ABC ； 【小问2详解】因为1EF BB ⊥，由（1）可知//EF AM ，所以1AM BB ⊥， 又ACBC ⊥，平面11BB C C ⊥平面ABC ，平面11BB C C 平面ABC BC =，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，所以1AC BB ⊥，又AC AM A ∩=，,AM AC ⊂平面ABC ， 所以1BB ⊥平面ABC ．20. 为了调查疫情期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中a 的值；为了更全面地了解疫情对网课的影响，求该样本的60百分位数； （2）试估计本次数学测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）该校准备对本次数学测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？【答案】（1）0.025a =；60百分位数为74； （2）71 （3）88 【解析】【分析】（1）由直方图区间频率和为1求参数a ；设该样本的60百分位数为x 分，由题意可得0.5(70)0.0250.6x +−×=，求解即可；（2）根据直方图求物理测试成绩的平均分即可；（3）根据直方图求出成绩从高到低排列且频率0.13为对应分数即可. 【小问1详解】由(0.0050.010.01520.030)101a ++×++×=，解得0.025a =； 设该样本的60百分位数为x 分，因为[40,50),[50,60)[60,70),[70,80)，对应的频率分别为0.05，0.15，0.3，0.25， 所以60百分位数在[70,80)内，由题意可得0.5(70)0.0250.6x +−×=，解得74x =， 所以60百分位数为74； 【小问2详解】450.05550.15650.3750.25850.15950.171×+×+×+×+×+×=，故本次防疫知识测试成绩的平均分为71； 【小问3详解】设受嘉奖的学生分数不低于x 分，因为[80,90),[90,100]对应的频率分别为0.15，0.1， 所以(90)0.0150.10.13x −×+=，解得88x =， 故受嘉奖的学生分数不低于分88．21.条件①cos sin b C C a c =+；②()cos 2cos b C a c B =−；③()sin cos cos cos R B B a C c A =+（其中R 为ABC 的外接圆半径）.在这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足__________. （1）求角B 的大小；（2）若4b =，求ABC 面积S 最大值.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分） 【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）若选①，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得π1sin()62B −=，可求ππ5π,666B−∈−，进而可得B 的值；若选②，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1cos 2B =，结合(0,π)B ∈，可求B 的值；若选③，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得1cos 2B =，结合(0,π)B ∈，可求B 的值．（2）由题意利用余弦定理以及基本不等式可求ac 的最大值，进而利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】若选①，因为cos sin b C C a c +=+，由正弦定理可得sin cos sin sin sin B C B C A C +=+，因为sin sin()sin cos cos sin AB C B C B C =+=+，可得sin cos sin sin cos cos sin sin B C B C B C B C C =++，sin cos sin sin B C B C C =+， 又C 为三角形内角，sin 0C ≠，的cos 1B B =+， 可得π1sin()62B −=， 因为(0,π)B ∈， 可得ππ5π,666B −∈−， 所以ππ66B −=， 可得π3B =； 若选②，因为cos (2)cos b C a c B =−， 由正弦定理可得sin cos (2sin sin )cos BC A C B =−， 可得sin cos sin cos sin()sin 2sin cos B C C BB C A A B +=+==， 又A 为三角形内角，sin 0A ≠， 可得1cos 2B =， 因为(0,π)B ∈， 所以π3B =； 若选③，因为sin cos (cos cos )R B B a C c A =+（其中R 为ABC 的外接圆半径）， 又由正弦定理可得2sin sin sin ab cR A B C===， 所以cos (cos cos )2bB aC c A =+， 可得1sin cos (sin cos sin cos )cos sin()cos sin 2B B AC C A B A C B B =+=+=， 又B 为三角形内角，sin 0B ≠， 所以1cos 2B =， 因为(0,π)B ∈， 所以π3B =． 【小问2详解】 因为π3B =，4b =， 所以余弦定理可得22162a c ac ac ac ac =+−≥−=，可得16ac ≤，当且仅当4a c ==时取等号，所以ABC 的面积1sin 2Sac B ac =≤，当且仅当4b c ==时，等号成立，所以ABC 面积S 的最大值为22. 如图，在正方形123SG G G 中，E ，F 分别是12G G ，23G G 的中点，D 为EF 的中点，若沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使1G ，2G ，3G 三点重合，重合后的点记为G .（1）在四面体S EFG −中，请写出不少于3对两两垂直的平面，并证明其中的一对； （2）若正方形的边长为4，求点G 到平面SEF 的距离. 【答案】（1）答案见解析 （2）43【解析】【分析】（1）依题意可得SG GE ⊥，SG GF ⊥，GE GF ⊥，根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据S EGF G SEF V V −−=，利用等体积法计算可得. 【小问1详解】依题意可得平面SGE ⊥平面GEF ，平面SGF ⊥平面GEF ，平面SGE ⊥平面SGF ． 证明如下：在折前正方形123SG G G 中，11SG G E ⊥，33SG G F ⊥，∴折成四面体S EFG −后，SG GE ⊥，SG GF ⊥，又GE GF G ∩= ，,GE GF ⊂平面GEF ，SG ∴⊥平面GEF ．SG ⊥ 平面GEF ，SG ⊂平面SGE ，∴平面SGE ⊥平面GEF ；因为SG ⊂平面SGF ，∴平面SGF ⊥平面GEF ；又令正方体的边长为2，则1GF GE ==，EF ，所以222EF GE GF =+，所以GE GF ⊥，SG GF G = ，,SG GF ⊂平面SGF ，所以GE ⊥SGF ，因为GE 平面SGE ，所以平面SGE ⊥平面SGF .【小问2详解】若正方形的边长为4，则2GE GF ==，SE SF ===EF所以12222GEF S =××= ，162SEF S =×=由（1）可知SG ⊥平面GEF ，所以11842333S EGF GEF V SG S −⋅=××== ，设点G 到平面SEF 的距离为h ，又S EGF G SEF V V −−=，所以8133SEF S h =×× ，即38163h =××，解得43h =．。
江苏省连云港市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(解析版)
江苏省连云港市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 计算1i1i +−的结果是（ ）A. 1−B. 1C. -iD. i【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算以及复数的乘法化简，即可得出答案.【详解】()()()21i 1i2i i 1i1i 1i 2++===−−+. 故选：D.2. 已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人，则甲排在乙前面值班的概率是（ ） A.16B.13C.12D.23【答案】C 【解析】【分析】根据题意，写出所有值班的排法及甲排在乙前面值班的排法，进而根据公式求出答案即可. 【详解】因为甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，所以3人值班的情况有:（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲）， （丙，甲，乙），（丙，乙，甲），共6种，其中甲排在乙前面值班有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（丙，甲，乙），共3种， 故甲排在乙前面值班的概率为3162=. 故选：C.3. 设a ，b 是单位向量，若a b ⊥，则()a b b +⋅ 的值为（ ）．A. 1B. 0C. 1−D.【答案】A 【解析】【分析】直接根据平面向量数量积的运算律，将()a b b +⋅展开，计算结果.【详解】因为a ，b 是单位向量，且a b ⊥，所以0a b ⋅= ，21b b b ⋅== ，所以()011a b b a b b b +⋅=⋅+⋅=+=故选：A.4. 为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“2022～2023学年中学生天文知识竞赛”，并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）A. 直方图中x 的值为0.035B. 估计全校学生的平均成绩不低于80分C. 估计全校学生成绩的样本数据的60百分位数约为60分D. 在被抽取的学生中，成绩在区间)60,70的学生数为10 【答案】B 【解析】【分析】根据各频率和为1可求0.03x =，故可判断A 的正误，根据公式可求均值，故可判断B 的正误，根据前4组的频率之和可求60百分位数，故可判断C 的正误，根据区间[)60,70对应的频率可求对应的人数，故可判断D 的正误.【详解】由频率分布直方图可得()100.0050.0100.0150.041x ++++=， 故0.03x =，故A 错误.由频率分布直方图可得全校学生的平均成绩估计为：()10550.005650.01750.015850.03950.048480×+×+×+×+×=>，故B 正确.前4组的频率为()100.0050.0100.0150.030.6+++=，故全校学生成绩的样本数据的60百分位数大于80，故C 错误.区间[)60,70对应的频率为100.010.1×=，故对应的人数为2000.120×=，故D 错误. 故选：B.5. 若sin tancos 5sin αααα=−，则cos 4α=（ ） A. 2129−B. 19−C.19D.2129【答案】D 【解析】【分析】根据已知切化弦化简，结合二倍角公式可推得2tan 25α=，然后变为正余弦的齐次式化简运算，即可得出答案.【详解】由sin tancos 5sin αααα=−可得，sin sin cos 5sin cos ααααα⋅=−， 整理可得，22cos sin 5sin cos αααα−=， 所以有5cos 2sin 22αα=，所以2tan 25α=，所以，222222cos 2sin 2cos 4cos 2sin 2cos 2sin 2ααααααα−=−=+2222211tan 22151tan 229215αα− − ==++. 故选：D.6. 在长方体1111ABCD A B C D −中，已知AB AD ==11AA =，则1A B 和1AD 所成角的余弦值为（ ） A.13B.14C.15D.16【答案】B 【解析】【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D −中，11//A D BC 且11//A D BC ， 所以四边形11A D CB 为平行四边形，11//A B D C ，在所以1A B 和1AD 所成角等于1D C 与1AD 所成的角，在11Rt A AD 中，11AA =，11A D AD ==，则1AD =2=，同理A C=1C D =2=，在1ACD △中，由余弦定理得，22211111cos 2AD CD AC CD A AD CD +−∠=⋅14， 所以1A B 和1AD 所成角的余弦值为14. 故选：B.7. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数5的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 中位数为3，方差为1.2 D. 平均数为2，方差为1.6【答案】D 【解析】【分析】举特例，结合中位数、众数、平均数以及方差公式，即可得出答案.【详解】对于A 项，若试验结果为1，2，2，5，5，则满足题意，故A 项可以出现点数5； 对于B 项，若试验结果为2，2，3，4，5，则满足题意，故B 项可以出现点数5； 对于C 项，若试验结果为2，2，3，3，5，则平均数为2233535++++=，方差为()()()()()2222212323333353 1.25 −+−+−+−+−=满足题意，故C 项可以出现点数5； 对于D 项，若试验结果中有5，则方差大于等于()2152 1.8 1.65×−=>，故D 项不可以出现点数5.故选：D.8. 已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及正四面体的三个侧面都相切，则球2O 的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据正四面体的性质，推得球心的位置，求出正方体的高与斜高.根据相似三角形，得出方程，即可求出球的半径，得出答案.【详解】如图，正四面体V ABC −，设点O 是底面ABC 的中心，点D 是BC 的中点，连接,VO VD .则由已知可得，VO ⊥平面ABC ，球心12,O O 在线段VO 上，球12,O O 切平面VBC 的切点在线段VD 上，分别设为12,D D .则易知11VD O VOD ∽，2211VD O VD O ∽，设球12,O O 的半径分别为12,r r .因为AD，根据重心定理可知，13OD AD ==VD =，VO ==，1111OO O D r ==，1212O O r r =+，222O D r =. 由11VD O VOD ∽可得，1111O D VO VO OO OD VD VD−==，=，解得，1r =，所以1VO =由2211VD O VD O ∽可得，2221121111O D VO VO O O O D VO VO −==，=2r =，所以，球2O 的体积为33244ππ33r =×. 故选：A.【点睛】关键点睛：根据已知，判断出球心的位置，构造直角三角形.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为1P ，2P ，3P ，则（ ）A. 123P P P ==B. 123P P P +=C. 1231P P P ++=D. 31222P P P == 【答案】BCD 【解析】【分析】根据古典概型的概率公式，求出1P ，2P ，3P 的值，即可得出答案. 【详解】抛掷两枚硬币，可能出现的等可能得结果为4个， 其中包括“两个正面”的结果为1个，所以114P =； 包括“两个反面”的结果为1个，所以214P =； 包括“一正一反”的结果为2个，所以312P =.所以，A 项错误；B 、C 、D 正确. 故选：BCD.10. 已知平面向量()1,0a =，(1,b = ，则下列说法正确的是（ ）A. ||16a b +=B. ()2a b a +⋅=C. 向量+a b与a的夹角为30 D. 向量+a b在a 上的投影向量为2a【答案】BD 【解析】【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A ，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C ，由投影向量的求解公式可判断D.【详解】((11,02,a b +=++= ，所以4a b +=，故A 错误；()1202a a b ⋅+=×+×=，故B 正确；()1cos ,2a a b a a b a a b⋅+<+>==+， (),0,πa a b <+>∈ ，a ∴< ，π3a b +>=，故C 错误；向量+a b 在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=×=，故D 正确． 故选：BD11. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，M 为1CC 中点，N 为四边形11A D DA 内一点（含边界），若1B N 平面BMD ，则下列结论正确的是（ ） A. 11NB DC ⊥ B. 三棱锥1B NBM −的体积为43C. 线段1B N D. 11tan A NB ∠的取值范围为【答案】BCD 【解析】【分析】根据正方体的性质得出平面111B D N 平面BMD ，则根据已知得出点N 在线段11D N 上（含端点），对于选项A ：当N 为1D 时，根据异面直线的平面角结合正方体的性质得出1NB 与1DC 的夹角为1BDC ∠，根据已知得出1BDC 的三边，即可得出1BDC ∠为3π，即可判断；对于选项B ：三棱锥1B NBM −若以N 为顶点，1B BM 为底面时，根据正方体性质得出此时三棱锥的高为2，底面积为2，即可得出体积判断；对于选项C ：点N 在线段11D N 上（含端点），则111B N D N ⊥时，线段1B N 最小，根据等面积法求出答案即可判断；对于选项D ：根据正方体性质结合已知可得111A B A N ⊥，则11111tan A A NB B A N=∠，即可根据1A N 的范围得出11tan A NB ∠的范围判断.【详解】取1AA 、1DD 中点分别为1N 、E ，连接11D N 、11B N 、AE 、11B D ，1A N ，如下图：1111ABCD A B C D − 为正方体，AE BM ∴ ，11B D BD ∥，11D N AE ，11D N BM ∴ ，1111D N B D ⊂ 、平面111B D N ，BD BM ⊂、平面BMD ，且11111D N B D D ∩=，BD BM B = ， ∴平面111B D N 平面BMD ，N 为四边形11A D DA 内一点（含边界），且1B N 平面BMD ， ∴点N 在线段11D N 上（含端点），对于选项A ：当N 为1D 时，1NB BD ，则1NB 与1DC 的夹角为1BDC ∠，此时11BD BC DC ===， 则13BDC π∠=， 则1NB 与1DC 不垂直，故A 错误；对于选项B ：N 为四边形11A D DA 内一点（含边界）， N ∴到平面1B BM 的距离为2，∴三棱锥1B NBM −的体积为11114222323N B BM B NBM V V −−==××××=，故B 正确； 对于选项C ： 点N 在线段11D N 上（含端点）， ∴当111B N D N ⊥时，线段1B N 最小，1111B N D N == ，11B D =111B N D ∴ 在边11B D ，则11112B N D S =×则当111B N D N ⊥时，即1111min112B N D S B N D N == ，故C 正确； 对于选项D ：1111ABCD A B C D − 为正方体，11A B ∴⊥平面11A D DA ， 1A N ⊂ 平面11A D DA ， 111A B A N ∴⊥，11A B N ∴ 为直角三角形，且直角为11B A N ∠，1111112tan A B A N A NA NB ∴==∠，点N 在线段11D N 上（含端点），则当1A N 最大时，即点N 为点1D 时，此时12A N =，此时11tan A NB ∠最小，为12212A N ==， 当1A N 最小时，即111A N D N ⊥，此时1111112A N D S A N D N ==，此时11tan A NB ∠最大，为12A N =，则11tan A NB ∠的取值范围为 ，故D 正确；故选：BCD.12. 设点O 是ABC 的外心，且CO CA CB λµ=+（λ，R µ∈），则下列命题为真命题的是（ ） A. 若1λµ+=，则π2C = B. 若//OA OB，则221λµ+= C. 若ABC 是正三角形，则23λµ+=D. 若1λµ+>，()4,1AB −= ，()2,8CO =，则四边形AOBC 的面积是17【答案】ACD 【解析】【分析】分别根据平面向量三点共线定理及三角形外心的性质判断即可求解.【详解】对选项A ：因为1λµ+=，则A ，O ，B 三点共线，且点O 是ABC 的外心， 所以OA OB OC ==，所以O 为AB 中点，所以ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，故A 正确；对选项B ：因为//OA OB，则A ，O ，B 三点共线，易知ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，且O 为AB 的中点，则12λμ==，2212λµ+=，故B 错；对选项C ：因为ABC 是正三角形，则O 也是ABC 的重心，故()21113233CO CA CB CA CB =×+=+ ，则23λµ+=，故C 对；对选项D ：因为1λµ+>，故O 在ABC 外，又42180CO AB ⋅=−×+×=， 所以CO AB ⊥，又CO =，AB ==，则1172AOBC S CO AB =×=，故D 对. 故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设123i z =+，2i z m =+()m ∈R ，若12z z ⋅为实数，则m 的值为______. 【答案】23− 【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简，然后根据复数的概念列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，()()1223i i z z m ⋅=++()2332i m m =−++. 因为12z z ⋅为实数，所以320m +=，解得23m =−. 故答案为：23−. 14. 在ABC 中，tan 2A =，tan 3B =，则tan C 值为______. 【答案】1 【解析】【分析】根据诱导公式以及两角和的正切公式，化简即可得出答案.【详解】()()tan tan πtan C A B A B =−−=−+tan tan 2311tan tan 123A B A B ++=−=−=−−×. 故答案为：1.的15. 如图，用X ，Y ，Z 三种不同元件连接成系统S ，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响.当元件X 正常工作且Y ，Z 中至少有一个正常工作时，系统S 正常工作.已知元件X ，Y ，Z 正常工作的概率分别为0.6，0.5，0.5，则系统S 正常工作的概率为______.【答案】0.45##920【解析】【分析】根据独立事件以及对立事件的概率公式求出元件Y ，Z 中至少有一个正常工作的概率为0.75，然后即可根据独立事件概率的乘法公式，得出答案.【详解】由已知可得，Y ，Z 都不能正常工作的概率为()()10.510.50.25−×−=， 所以，元件Y ，Z 中至少有一个正常工作的概率为10.250.75−=.所以，元件X 正常工作且Y ，Z 中至少有一个正常工作的概率为0.60.750.45×=， 即系统S 正常工作的概率为0.45. 故答案为：0.45.16. 已知矩形ABCD ，1AB =，BC =，沿对角线AC 将ABC 折起，若二面角B AC D −−的大小为120°，则B ，D ______.【解析】【分析】过,B D 分别作,,BE AC DF AC ⊥⊥由题意可求得1,1,2AECF EF === 由二面角B AC D −−的大小为120°，得到3·cos120,8EB FD EB FD °==− 再利用BD BE EF FD=++ 可求得结果.【详解】过,B D 分别作,,BE AC DF AC ⊥⊥1,2,AB BC AC =∴=111···,222AB BC AC BE AC DF ==BE DF ∴== 则1,1,2AECF EF === 二面角B AC D −−的大小为120°,3·cos120,8EB FD EB FD °∴==−BD BE EF FD =++ ,22222()2?2?2?BD BE EF FD BE EF FD BE EF EF FD BE FD ∴=++=+++++3331314444=+++=,则BD = ,即,B D. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知()sin sin sin b B a A b c C −=−. （1）求A ；（2）若4a =，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）π3A = （2）12 【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，整理根据余弦定理即可得出1cos 2A =，然后根据A 的范围，即可得出答案；（2）方法一：根据余弦定理得出2216b c bc +−=，根据基本不等式可得出()221632b c b c ++−≤，整理即可得出8b c +≤，得出答案；方法二：根据正弦定理得出b B =，c C =.设周长为l ，表示出周长.然后根据诱导公式以及辅助角公式化简可得出π48sin 6l C=++.然后根据C 的范围，即可得出答案. 【小问1详解】在ABC 中，由已知结合正弦定理角化边可得()22b a bc c −=−，整理可得222b c a bc +−=，所以2221cos 22b c a A bc +−==. 又()0,πA ∈，所以π3A =. 【小问2详解】方法一：由（1）知22161cos 22b c A bc +−==，所以2216b c bc +−=，所以()2216332b c b c bc + +−≤，当且仅当4b c ==时等号成立，所以，()221632b c b c ++−≤，整理可得()264b c +≤， 所以8b c +≤，故ABC 的周长a b c ++的最大值为12.方法二：由（1）知4πsin sin sin 3b c B C ===，所以b B =，c C =， 记ABC 的周长为l，则4l a b c B C =++=， 由πA B C ++=，π3A =，得2π3B C =−，所以2π14sin sin 48cos 32l a b c C C C C=++=−+=++π48sin 6C =++ . 又20,3C π∈， 所以当π3C =时，max 12l =. 18. 甲、乙、丙三人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为13，乙译出密码的概率为14，丙译出密码的概率为15，求： （1）其中恰有一人破译出密码的概率； （2）密码被破译的概率. 【答案】（1）1330（2）35【解析】【分析】（1）设出事件，根据互斥事件概率加法公式、对立事件概率公式，以及独立事件概率的乘法公式即可得出答案；（2）根据已知结合独立事件概率的乘法公式，求出密码不能破译的概率，进而根据对立事件概率公式，即可得出答案. 【小问1详解】记密码被甲、乙、丙3人独立地破译分别为事件A 、B 、C ，则()13P A =，()14P B =，()15P C =，()12133P A =−=，()13144P B =−=，()14155P C =−=， 记“恰有一人破译出密码”为事件D ，由已知可得，()()()()P D P ABC P ABC P ABC =++134********34534534530=××+××+××=. 【小问2详解】记“密码被破译出”为事件E ，因为()23423455P ABC =××=，所以()()315A P E P BC =−=.19. 如图，为了测量河对岸A ，B 两点之间的距离，在河岸这边取点C ，D ，测得75ADC ∠=°，60BDC ∠=°，60ACD ∠=°，90BCD ∠=°，100m CD =.设A ，B ，C ，D 在同一平面内，试求A ，B 两点之间的距离.（结果保留根号）【答案】【解析】【分析】在ADC △中，根据正弦定理求出AC ，在BDC 中，根据正切求出BC ，在ABC 中，由余弦定理得出答案.【详解】在ADC △中，75ADC ∠=°，60ACD ∠=°，则45DAC ∠=°， 又100m DC =，由正弦定理，得)sin 100sin 75501sin sin 45DC ADC ACDAC ∠°===+∠°.在BDC 中，60BDC ∠=°，90BCD ∠=°，则tan 100tan 60BC DC BDC =∠=°=ABC 中，由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+−⋅∠)()()2250125019060°° ++−××−25000−.所以AB =答：A ，B两点之间的距离为.20. 如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为6的正方形，平面ABFE 与平面CDEF 的交线为EF .在（1）证明：//EF AB ；（2）若平面FBC ⊥平面ABCD ，FBC 中BC 边上的高4FH =，3EF =，求该几何体的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）60 【解析】【分析】（1）根据已知结合线面平行的判定定理推得//AB 平面CDEF .然后即可根据线面平行的性质定理得出证明；（2）根据面面平行的性质可证明FH ⊥平面ABCD ，AB ⊥平面FBC .即可得出FH ，EF 分别为四棱锥E ABCD −和三棱锥E FBC −的高，求出四棱锥E ABCD −和三棱锥E FBC −的体积，求和即可得出答案.【小问1详解】因为ABCD 是正方形，所以//AB CD . 又AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以//AB 平面CDEF .又AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE 平面CDEF EF =， 所以//EF AB . 【小问2详解】连接BE ，CE ，因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FH ⊂平面FBC ，FH BC ⊥，所以FH ⊥平面ABCD . 同理可得AB ⊥平面FBC .又//EF AB ，所以EF ⊥平面FBC .因此，FH ，EF 分别为四棱锥E ABCD −和三棱锥E FBC −的高，从而EF ABCDE ABCD E FBC V V V −−−=+111332AB CD FH BC FH EF =×××+××××21116464360332=××+××××=.21. 已知函数22()cos cos sin f x x x x x m =+−+的最大值为1. （1）求常数m 的值； （2）若0125x f =，0π0,3x∈ ，求0cos2x 的值. 【答案】（1）1m =−（2 【解析】【分析】（1）根据辅助角公式化简可得()π2sin 26x m f x=++，然后根据正弦函数的性质，即可得出答案；（2）根据已知可得出0π3sin 65x +=，0π4cos 65x +=，然后根据二倍角公式得出00ππsin2,cos 266x x++的值，根据两角差的余弦公式，即可得出答案.【小问1详解】()cos2f x x x m =+x x m =++π2sin 26x m++，当Z 2ππ2,62πk k x =+∈+，即π2π,6x k k Z =+∈时，()max 21f x m =+=， 所以1m =−. 【小问2详解】由（1）知，()π2sin 216f x x=+−. 由0125x f =得，0π12sin 21265x ×+−= ，所以0π3sin 65x+= . 又0π0,3x∈，所以0πππ,662x+∈ ，所以0π4cos 65x +=， 所以000πππ24sin22sin cos 66625x x x+=++=， 200ππ7cos212sin 6625x x+=−+=，所以0000ππ1ππcos2cos 2cos263266x x x x=+−=+++172422525=×+ 22. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 是边长为2的正三角形，CD ⊥平面PAD ，M 是PD 的中点.（1）证明：AM PC ⊥；（2）若直线PC 与平面ABCD，求侧面PAD 与侧面PBC 所成二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）45° 【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质得出CD AM ⊥.然后根据线面垂直的判定定理可得出AM ⊥平面PCD ，进而得出证明；（2）取AD 的中点E ，连接PE ，EC ，根据已知可推得PCE ∠是直线PC 与平面ABCD所成的角，tan PCE ∠2EC =，DC =.设平面PAD 与侧面PBC 交线为l ，根据线面平行的性质定理得出AD //l ，然后根据定义法得出EPF ∠是侧面PAD 与侧面PBC 所成二面角的平面角.在Rt PEF △中，即可得出答案..【小问1详解】因为CD ⊥平面PAD ，AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥. 又因为PAD 是正三角形，M 是PD 的中点，所以AM PD ⊥. 又CD PD D = ，CD ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以AM ⊥平面PCD . 因为PC ⊂平面PCD ， 所以AM PC ⊥. 【小问2详解】取AD 的中点E ，连接PE ，EC ，因为E 是AD 的中点，PA PD =，所以PE AD ⊥.又CD PE ⊥，AD CD D = ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD ，所以PCE ∠是直线PC 与平面ABCD 所成的角，则tan PCE ∠因为PAD 是边长为2的等边三角形，所以PE =，所以tan PE PCE EC ∠== 所以2EC =. 又1DE =所以DC 设平面PAD 与侧面PBC 交线为l ，因为//BC AD ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以//BC 平面PAD .又因为BC ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面PAD l =，,所以//BC l ，所以AD //l .取BC 的中点F ，连接EF ，PF ，则//EF AB ，AD EF ⊥.又因为AD PE ⊥，PE EF E ∩=，PE ⊂平面PEF ，EF ⊂平面PEF ， 所以AD ⊥平面PEF .因为PF ⊂平面PEF ，所以AD PF ⊥，所以l PF ⊥.又因为l PE ⊥，PE ⊂平面PAD ，PF ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面PAD l =， 所以EPF ∠是侧面PAD 与侧面PBC 所成二面角的平面角.在Rt PEF △中，PE =，EF DC ==，所以tan 1EFEPF PE∠==， 所以侧面PAD 与侧面PBC 所成二面角的大小为45°.。
连云港市高一年级下学期期末试卷(A)
连云港市2012－2013学年度第二学期期末调研考试高一数学试题本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知角α的终边过点-(4,3)P ，则2sin cos αα+的值是 ．2．某校高一（1）班共有44人，学号依次为01，02，03，…，44．现用系统抽样的办法抽一个容量为4的样本，已知学号为06，28，39的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 ．3．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对100辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有 辆．4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 ．5．取一根长度为4m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m 的概率是 ．6．从｛1，2，3，4，5，6｝中随机选一个数a ，从｛1，2，3｝中随机选一个数b ，则a b > 的概率为 ．7．设x ∈R ，向量a (,1)x =，b (1,2)=-，且a ⊥b ，则|a +b |= ．8．如图是某工厂一名工人在六天中上班时间的茎叶图，则该工人在这六天中上班时间的方差为 ．089102259．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,A ωπϕπ>>-<<）在512x π=处取得最大值3，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π，则()f x 的解析式为 ． 10．正三棱锥的底面边长为1，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ．↓开始 结束输出aN ↓11．函数()f x =ax ，x [0,]π∈，且()f x ≤1＋sin x ，则a 的取值范围是 ． 12．已知|a |1=，若非零向量b 满足b ⋅(b －a )0=，则|b |的取值范围为 ． 13．若A ，B ，C (0,)2π∈，且sin A －sin C =sin B ，cos A ＋cos C =cos B ，则B －A = ．14．已知函数22|log |,04,()2708, 4.33x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,,a b c d 互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知向量a ，b 的夹角为60︒，且|a |1=，|2a －b|=． （1）求|b |；（2）求b 与2a －b 的夹角． 16．（本小题满分14分）某企业生产A ，B ，C 三种产品，每种产品有M 和N 两个型号．经统计三月下旬该企业的产量如下表（单位：件）．用分层抽样的方法从这月下旬生产的三种产品中抽取50件调查，其中抽到A 种产品10件． （1）求x 的值；（2）用分层抽样方法在C 产品中抽取一个容量为5的样本，将该样本看作一个总体，从中任取两件，求至少有一件是M 型号的概率；（3）用随机抽样的方法从C 产品中抽取8件产品做用户满意度调查，经统计它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把8件产品的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率．17．（本小题满分14分）如图，在半径为R 、圆心角为60︒的扇形AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设BOP ∠θ=，矩形PNMQ 的面积记为S ．（1）求S 与θ之间的函数关系式；（2）求矩形PNMQ 面积的最大值及相应的θ值． 18．（本小题满分16分）已知锐角三角形ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=． （1）求tan tan AB的值； （2）求tan B 的值．19．（本小题满分16分）已知函数2()cos 2sin 1f x x a x a =-+-，a ∈R ．（1）当0a =时，求函数()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）求()f x 在[,]36x ππ∈-上的最大值()m a ． 20．（本小题满分16分）已知圆M 的方程为22(2)1x y -+=，直线l 的方程为2y x =，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ． （1）若60APB ∠= ，试求点P 的坐标；（2）求PA PB ⋅的最小值；（3）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．2012－2013学年度第二学期高一数学期末试题（四星）答案A PBOQ M N一、填空题： 1．252．17 3．20 4．26 5．12 6．237 8．163 9．3sin(2)3y x π=- 10()6abc11．1(,]π-∞ 12．(0,1] 13．－π3 14．(32,35)(1)ab =二、解答题：15．（1）将|2a －b |=两边平方得42a +2b -4|a ||b |cos ,a b <>=12，…………4分即2b -2|b |-8=0，解得|b |=4． …………7分（2） b ⋅（2a －b ）=2ab - 2b =12142⨯⨯⨯=12-，又|b ||2a -b |=4⨯= ………10分由夹角公式得b 与2a －b=，∴夹角为150︒．………14分 16．（1）产品A 的产量为400，从中抽取样本容量为10，故按1∶40的比例抽取， 同理产品B 的产量为1000，按1∶40的比例抽取，从中抽取样本容量为25， 所以产品C 应抽取件数为15，故11540240x=+，解得360x =； …………4分 （2）用分层抽样方法在C 产品中抽取一个容量为5的样本，则M 型号有2件，N 型号有3件，从中任取两件所有的情况有：（M 1，M 2），（N 1，N 2），（N 1，N 3），（N 2，N 3），（M 1，N 1），（M 1，N 2），（M 1，N 3），（M 2，N 1），（M 2，N 2），（M 2，N 3），共10种.故至少有一件是M 型号的有（M 1，M 2），（M 1，N 1），（M 1，N 2），（M 1，N 3），（M 2，N 1），（M 2，N 2），（M 2，N 3），共有7种，所以至少有一件是M 型号的概率1710P =；……9分 （3）9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2这8个数据的平均数为9，则与9差的绝对值超过0.5的有9.6，8.2，所以与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率22184P ==…14分17．（1）在Rt PON ∆中，sin ,cos .PN R ON R θθ==四边形PNMQ 为矩形，sin MQ PN R θ∴==. …………2分故在Rt OMQ ∆中，sin tan 60MQ OM R θ==︒，所以cos sin MN ON OM R θθ=-=. …………4分则sin (cos sin )S PN MN R R θθθ=⋅=-. …………6分2221(sin cos )(sin 22R R θθθθ=-=22sin(230)θ=+︒…11分（2）因为当23090θ+︒=︒时，max sin(230)1θ+︒=，所以当30θ=︒时，22max S =，所以矩形PNMQ 2，30BOP ∠=︒. …………14分 18．（1）53sin cos cos sin )sin(=+=+B A B A B A ① …………2分 51sin cos cos sin )sin(=-=-B A B A B A ② …………4分 ①+②得54cos sin 2=B A ，52cos sin =∴B A ③ 51s i n c o s =B A ④③/④得：2tan tan =B A． …………7分（2）ABC ∆ 是锐角三角形，又20,ππ<<-=+C C B A ，ππ<+<∴B A 2，53)sin(=+B A ， 43)tan(-=+∴B A ，即43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ．…………10分 由（1）B A tan 2tan =，43tan 21tan 32-=-∴BB ， 即01tan 4tan 22=--B B ，4244tan ±=B ． …………14分B 是锐角，261tan +=∴B ． …………16分 19．（1）当0a =时，21()cos 1(cos21)2f x x x =-=-．易得周期T π=,单调增区间为[,]()2k k k Z ππππ++∈． …………5分 （2）将函数2()cos 2sin 1f x x a x a =-+-变形为2()sin 2sin f x x a x a =--+，[,]36x ππ∈-． 设sin ,t x =则1[]2t ∈， 即求函数2()2h t t at a =--+在1[]2t ∈上的最大值()m a ．…………8分①当-≤-a 时，()h t在-1[,]2上单调递减，∴=-=-++3()(1)24m a h a ． …………10分 ②当-≥12a 时，()h t在-1[,]22上单调增，∴==-11()()24m a h ………12分③当-<-<122a 时，∴=+2()m a a a ． …………14分综上所述，231),411(),,421,2a a m a a a a a ⎧-++≥⎪⎪⎪=-≤-⎨⎪⎪+-<<⎪⎩…………16分 20．（1）设(,2)P m m ，由题可知2MP =，所以22(2)(2)4m m +-=， 解之得40,5m m ==．故所求点P 的坐标为(0,0)P 或48(,)55P ． ………4分 （2）设(,2)P m m ，则2||cos PA PB PA PAB ⋅=∠ ．又22||1PA PM =- ,222cos 12sin 12PAB PAB PM ∠∠=-=-， 2222222||cos (1)(1)3PA PB PA PAB PM PM PM PM ∴⋅=∠=--=+- ．………7分 又222216(2)(2)544[,)5PM m m m m =-+=-+∈+∞，2222233||cos 3(1[,)40PA PB PA PAB PM PM PM ∴⋅=∠=+-=-∈+∞ ，故PA PB ⋅ 的最小值3340． …………10分（3）设(,2)P m m ，MP 的中点(1,)2mQ m +，因为PA 是圆M 的切线， 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，故其方程为2222(1)()(1)22m mx y m m --+-=+-， 化简得222(22)0x y x m x y +-+--+=， …………13分故2220,220x y x x y ⎧+-=⎨--+=⎩解得20x y =⎧⎨=⎩或2,54.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(2,0)和24(,)55． …………16分。
连云港市高一下学期语文期末考试试卷
连云港市高一下学期语文期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共3题；共6分)1. （2分） (2020高一上·双鸭山期末) 下列成语使用不正确的一项是（）A . 美国对伊朗发动的攻击师出无名，引起了伊朗乃至世界范围的舆论指责。
B . 采用“只听理论，不去实践”的方法解决成绩差的问题，不过是扬汤止沸罢了。
C . 当青蛙在温水中畅游时，殊不知其早已如釜底游鱼，任人宰割。
D . 大家都认为他虽然犯了些错误，但没有对党和人民造成具体危害，罪不容诛。
2. （2分） (2017高一下·太原月考) 下列各句中，没有语病的一项是（）A . 当今文坛，出现了一些格调不高的作品，这些作品反映了某些作家丧失立场，随波逐流，媚俗竞利。
B . 蔡元培广罗人才，各派人物云集京师大学堂，北大一时既是新文化成长的园地，又是新旧文化激烈交锋的场所。
C . 提起蜀汉亡国，有人认为是刘禅懦弱无能、庸碌昏聩所致。
这也是过分苛求。
D . 建设新农村是一项长期而繁重的历史任务，必须坚持以壮大农村经济为中心，进一步发展和解放农村生产力，促进农业稳定发展、农民持续增收。
3. （2分）你将和去外地上大学的好友分别，想用两句古诗表达送别之情，下列各项中，诗句使用最得体的一项是（）A . 忆君遥在潇湘月，愁听清猿梦里长B . 何当共剪西窗烛，却话巴山夜雨时C . 海内存知己，天涯若比邻D . 寒雨连江夜入吴，平明送客楚山孤二、现代文阅读 (共3题；共28分)4. （6分） (2019高三上·广州月考) 阅读下面的文字，完成下面小题。
美育，就其目标而言，就是培养全面发展的人。
美育的这种人文性集中体现在其作为人格教育的维度。
人格是人的各种能力和素质的综合，是人之所以成为人的各种特质的总和。
美育的特殊性在于，它不仅能够促进人的感性发展，而且有助于人的其他方面的发展，特别是道德发展。
江苏省连云港市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
江苏省连云港市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．计算22(1)i -的结果是( ) A ．2i B ．2i - C ．i D ．i -〖解 析〗222221(1)12ii i i i i i ====--+--． 〖答 案〗C2．在锐角三角形ABC 中，2sin a b A =，则(B = ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．712π 〖解 析〗2sin a b A =，由正弦定理可得：sin 2sin sin A B A =，sin 0A ≠，1sin 2B ∴=， ABC ∆为锐角三角形，6B π∴=．〖答 案〗A3．若一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未被击毁的概率为( ) A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.4〖解 析〗一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，P ∴（目标未受损）0.4=，P ∴（目标受损）10.40.6=-=，目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形，P （目标受损）P =（目标受损但未完全击毁）P +（目标受损但击毁）， 即：0.6P =（目标受损但未完全击毁）0.2+，P ∴（目标受损但未完全击毁）0.60.20.4=-=．〖答 案〗D4．某校高一年级1000名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩40~70分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩50~60分的人数是()A ．20B ．30C ．40D ．50〖解 析〗由频率分布直方图得抽取成绩在50~60分的频率为：0.015100.15⨯=，40~70分的频率为：(0.0050.0150.020)100.40++⨯=，∴抽取成绩50~60分的人数是：0.1580300.40⨯=（人)． 〖答 案〗B5．已知||3a =，||5b =，设a ，b 的夹角为135︒，则b 在a 上的投影向量是( )A ．BC ．D 〖解 析〗||5,,135b a b =<>=︒，||3a =，∴b 在a 上的投影向量是：152||cos1355(||36a b a a a ︒⋅=⋅-⋅=-． 〖答 案〗A6．一个直角梯形上底、下底和高之比为2:一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为( ) A ．4:9:3B ．4:9:8C ．4:9:9D ．4:9:10〖解 析〗设直角梯形上下底和高分别为2x ，3x ，它们分别为圆台的上下底半径和高，如图，过点B 作BC OA ⊥于C ，则Rt ABC ∆中，32AC OA OC OA O B x x x =-=-'=-=，BC O O ='=，2AB x ∴=，∴这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为：22[(2)]:[(3)]:[(23)2]4:9:10x x x x x πππ+⨯=．〖答 案〗D7．若a ，b 为两条异面直线，α，β为两个平面，a α⊂，b β⊂，l αβ=，则下列结论中正确的是( )A ．l 至少与a ，b 中一条相交B ．l 至多与a ，b 中一条相交C ．l 至少与a ，b 中一条平行D ．l 必与a ，b 中一条相交，与另一条平行〖解 析〗a ，b 为两条异面直线，α，α为两个平面，a α⊂，b β⊂，l αβ=，可得图形如图：l 至少与a ，b 中一条相交，否则，//a b 与已知条件矛盾，所以A 正确；B 不正确；由图1，可知C 不正确；由图1可知，:D l 必与a ，b 中一条相交，与另一条平行，所以D 不正确． 〖答 案〗A8．如图，屋顶的断面图是等腰三角形ABC ，其中AC BC =，横梁AB 的长为8米，BAC α∠=，为了使雨水从屋顶（设屋顶顶面为光滑斜面）上尽快流下，则α的值应为( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒〖解 析〗设倾斜角α，8AB =， sin F mg ma α==，sin a g α∴=， 412cos 2s at α==，281616cos sin 2t a g gαα∴==， 当45α=︒时，等号成立，所以45α=︒，雨水从屋顶（光滑）上流下所用的时间最短． 〖答 案〗B二、选择题.本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．一组数据2，6，8，3，3，3，7，8，则( ) A ．这组数据的平均数是5 B ．这组数据的方差是112C ．这组数据的众数是8D ．这组数据的75百分位数是6〖解 析〗数据从小到大排列为：2，3，3，3，6，7，8，8， 则这组数据的平均数为2333678858+++++++=，故A 项正确；这组数据的方差为：22222111[(25)(35)3(65)(75)(85)2]82⨯-+-⨯+-+-+-⨯=，故B 项正确；这组数据中有3个3，2个8，1个2，1个6，1个7，所以众数为3，故C 项错误； 因为80.756⨯=，这组数据的75百分位数是7，故D 项错误． 〖答 案〗AB10．在等腰直角三角形ABC 中，斜边2AB =，向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =-，则( ) A ．||2b =B ．1a b ⋅=-C ．||1a b -=D ．()a b AB -⊥〖解 析〗根据题意得，BC ，CB AB AC b =-=，∴||2b =，||||cos45222AB CB AB CB a b ⋅=︒===⋅，1a b ⋅=，222||21221a b a a b b -=-⋅+=-+=，||1a b -=，2()2()22220a b AB a a b a a b -⋅=⋅-=-⋅=-=，∴()a b AB -⊥．〖答 案〗ACD11．在长方体1111ABCD A B C D -中，矩形11ABB A 、矩形11ADD A 、矩形ABCD ，( )A ．1AB =BC ．直线AC 与1BCD ．二面角1B AC B --的正切值为2〖解 析〗设AB a =，AD b =，1AA c =，由题意可得ac =，bcab =解得a =，1b =，c =AB =A 错误；长方体的体积为abc ，故B 正确；连接AC ，1AD ，1CD ，所以11//BC AD ，所以直线AC 与1BC 的夹角即为直线AC 与1AD 的夹角，12AD =，1CD ==AC =2221111cos 2AD AC CD D AC AD AC +-∠==⋅所以直线AC 与1BC，故C 正确；连接AC ，1CB ，1AB ，作BO AC ⊥交AC 于O ，因为1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1BB AC ⊥，又1BB BO B =，所以AC ⊥平面1B OB ，1B O ⊂平面1B OB ，所以1AC B O ⊥，所以1B OB ∠为二面角1B AC B --的平面角， 因为BO AC AB BC ⨯=⨯，所以AB BC BO AC⨯==，所以11tan 2BB B OB BO ∠==，故D 错误．〖答 案〗BC12．在平面四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD DA ==，则( ) A ．当3C π=时，A ，B ，C ，D 四点共圆B ．当A ，B ，C ，D 四点共圆时，AC C ．当23B D π+=时，四边形ABCD 的面积为3D ．四边形ABCD 面积的最大值为〖解 析〗如图，平面四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD DA ==，若3C π=，则在BCD ∆中，2222cos73BD BC CD BD CD π=+-⋅⋅=，故BD =故在ABD ∆中，2221cos 22AB AD BD A AB AD +-==-⋅，结合(0,)A π∈，故23A π=，A C π+=，故A ，B ，C ，D 四点共圆，此时222cos2AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅222cos 2BC BD CD CBD BC BD +-∠==⋅， 所以21cos 2cos 17ABC ABD ∠=∠-=，所以222642cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=，即AC =≠，故A 正确，B 错误； 由23B D π+=，设B α=，则23D πα=-，所以2222222cos 2cos()3AC AB BC AB BC AD CD AD CD παα=+-⋅⋅=+-⋅⋅-，代入数据整理得23cos 4cos()13παα--=，即5cos 1αα-=⋯⋯①； 再令112223ABCACD ABCD S S S S AB BC sin AD CD sin παα∆∆⎫⎛==+=⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭四边形()152sin αα=+⋯⋯②；①2+②2得：22241(5cos )(5sin )37S αααα+=-++=， 故29S =，3S =，故C 正确； 由题意1132222ABC ACD ABCD S S S S AB BC sinB AD CD sinD sinB sinD ∆∆==+=⋅⋅+⋅⋅=+四边形()1342sinB sinD =+⋯⋯③， 又222222cos 2cos AC AB BC AB BC ABC AD CD AD CD D =+-⋅⋅∠=+-⋅⋅， 代入数据整理得3cos 4cos 1B D -=⋯⋯④；③2+④2并整理得：2412524(sin sin cos cos )2524cos()S B D B D B D +=+-=-+， 则当B D π+=时，24149S +=（取得最大值），解得S =D 正确． 〖答 案〗ACD三、填空题.本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知α是锐角，3sin 5α=，则cos()4πα-的值是 ．〖解 析〗因为α是锐角，3sin 5α=，所以4cos 5α=，则43cos()sin )()4225510πααα-=+=+=．〖答14．已知复数z 满足||z =2z 的虚部为2-，z 所对应的点A 在第二象限，则z = ． 〖解 析〗设z a bi =+，(,)a b R ∈，||z =2z 的虚部为2-，∴=222()2a bi a b abi +=-+，22ab =-②，又z 所对应的点A 在第二象限，0a ∴<，0b >，∴联立①②解得1a =-，1b =，1z i ∴=-+．〖答 案〗1i -+15．曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA 在水平位置OB 时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针方向旋转角α时，P 和Q 之间的距离是xcm ，若3OA cm =，7AP cm =，120α=︒，则x 的值是 ．〖解 析〗如下图，在APO ∆中，由余弦定理可知249923cos 5OP OP AOP OP cm =+-⨯⋅⋅∠⇒=， 另外，由图可知，在点A 与点B 重合时，10OQ AP OA cm =+=，1055PQ OQ OP cm ∴=-=-=．〖答 案〗516．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，3PA BC ==，4AB =，5AC =，则三棱锥P ABC -的体积为 ，三棱锥P ABC -的内切球的表面积为 ．〖解 析〗因为3PA BC ==，4AB =，5AC =，在ABC ∆中，222AC AB BC =+， 所以AB BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，所以111133463232P ABC V PA AB BC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=；因为PA ⊥平面ABC ，AB ，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，PA AC ⊥，PA AB ⊥，故5PB ， 又AB BC ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥，所以PAB ∆，PAC ∆，PBC ∆，ABC ∆均为直角三角形， 设三棱锥P ABC -的内切球的球心为O ，半径为r ， 则O ABC O PAB O PAC O PBC P ABC V V V V V -----+++=，即111()(34343535)6332P ABC ABC PAB PAC PBC V r S S S S r -∆∆∆∆=⨯+++=⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=，解得23r =，故三棱锥P ABC -的内切球的表面积2221644()39r πππ=⨯=．〖答 案〗166;9π 四、解答题.本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知向量a ，b 满足||1a =，||3b =，(3,1)a b -=-．求： （1）||a b +；（2）a b +与a b -的夹角．解：（1）由(3,1)a b -=-，得||312a b -=+=， 即有222||||||24a b a b a b -=+-⋅=， 又因为||1a =，||3b =，所以0a b ⋅=，则222||||||24a b a b a b +=++⋅=，解得||2a b +=；（2）因为cos a b <+，22()()131222||||||||a b a b a b a b a b a b a b a b +⋅---->====-⨯+-+-，所以a b +与a b -的夹角为23π．18．（12分）从1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数． （1）求组成的两位数是偶数的概率；（2）判断事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”是否独立，并说明理由．解：（1）设事件A ：“组成的两位数是偶数”，则样本空间：{12Ω=，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，41，42，43，45，51，52，53，54}， {12A =，14，24，32，34，42，52，54}，∴组成的两位数是偶数的概率P （A ）82205==． （2）设事件B ：“组成的两位数是3的倍数”，则{12B =，15，21，24，42，45，51，54}，{12AB =，24，42，54}，P （B ）82205==，41()205P AB ==， ()P AB P ∴≠（A ）P （B ）， ∴事件“组成的两位数是偶数”与事件“组成的两位数是3的倍数”不独立．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形．（1）若点E 是PD 的中点，证明：//PB 平面ACE ；（2）若2PA PD AD ===，120BAD ∠=︒，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值．（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形， 连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，因为底面ABCD 是菱形，故点M 是BD 的中点， 又因为点E 是PD 的中点，故//PB EM ，又因为PB ⊂/平面AEC ，EM ⊂平面AEC ，所以//PB 平面AEC ；（2）解：若2PA PD AD ===，120BAD ∠=︒，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 取AD 的中点O ，连接PO ，BO ，因为2PA PD AD ===，且O 为AD 的中点，故PO AD ⊥， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， 故PO ⊥平面ABCD ，则直线PB 与平面ABCD 所成角为PBO ∠，在PAD ∆中，PO =在BAO ∆中，BO =在Rt PBO ∆中，tan PBO ∠，故直线PB 与平面ABCD20．（12分）已知向量(3cos )22x x a =，向量(sin ,3sin )22x xb =-．（1）若2x是第四象限角，且//a b ，求tan x 的值； （2）若函数3()32f x a b =⋅+，对于5[0,]6x π∀∈，不等式()m f x n （其中m ，)n R ∈恒成立，求m n -的最大值．解：（1）因为//a b ，故(3cos )(3sin ))(sin )2222x x x x⋅-=⋅，又因为2x 是第四象限角，故tan 2x=-由22tan2tan 12xxx tan==-，得tan x （2）3()32f xa b =⋅+3sin (1cos )2xx =+⋅-3sin 2x x =3sin()3x π=+， 又5[0,]6x π∈，当6x π=时，()3max f x =；当56x π=，3()2min f x =-，故32m -，3n ，则m n -的最大值为92-．21．（12分）在ABC ∆中，3B π=，AC ，M是边AB 上一点，且2CM =．（1）若AM =，求AMC ∆的面积； （2）若2BMC BAC π∠+∠=，求BM 的长．解：（1）由题意可得222cos 2AM AC CM MAC AM AC +-∠==⋅， 因为22sin cos 1MAC MAC ∠+∠=，所以sin MAC∠= 利用三角形的面积公式可得AMC ∆的面积1sin 2S AM AC MAC =⋅⋅∠=． 所以AMC ∆． （2）因为AMC BMC π∠+∠=，得：2AMC MAC π∠=∠+，利用诱导公式可得：sin cos AMC MAC ∠=∠， 2sin MAC=∠， 解得：sin MAC ∠=，由正弦定理可得：2sin BC MAC =∠由余弦定理可得：2221222BM BM =+-⨯，整理可得：27120BM --=，解方程可得：BM =， 可得BM AB >，与M 是边AB 上一点矛盾，可得这样的BM 不存在．22．（12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中：（1）证明：1BD ⊥平面1ACB ；（2）若2AB =，点P 是棱CD 上一点（不包含端点），平面α过点P ，且1BD α⊥，求平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面的面积的最大值．（注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上） （1）证明：连接BD ，11B D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，由1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得1AC BB ⊥， 又因为1BDBB B =，故AC ⊥平面11BB D D ，又1BD ⊂平面11BB D D ，故1BD AC ⊥， 同理11BD AB ⊥，又因为1AB AC A =，所以1BD ⊥平面1ACB ；（2）解：过点P 作//PQ AC ，交AD 于点Q ， 过点Q 作1//QS A D ，交1AA 于S ， 过点S 作1//SR AB ，交11A B 于R ，由作法可知，1DP A R =，1//DP A R ，故1//A D PR ， 又1//QS A D ，故//QS PR ，则Q ，S ，P ，R 四点共面， 由11////QS A D B C ，1//SR AB ， 由（1）可知11BD B C ⊥，11BD AB ⊥， 故1BD QS ⊥，1BD SR ⊥，QSSR S =，故1BD ⊥平面PQSR ，平面PQSR 即为所求的平面α，因为平面11//A D DA 平面11B C CB ，平面PQSR ⋂平面11A D DA SQ =， 设平面PQSR ⋂平面11B C CB TO =，则//SQ OT ，又因为11////QS A D B C ，可得1//OT B C ，同理可得1//OP C D ， 故平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为平面六边形OPQSRT ， 设(02)CP x x =<<，2DP x =-，则)PQ SR OT x ===-，OP RT QS ===，PR =等腰梯形SQPR 的面积21)S x -，等腰梯形OTRP 的面积22)S x x =-，截面六边形OPQSRT 面积21222)S S S x x =+=-++，当1x =，max S =，故平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面的截面面积的最大值为。
2024届江苏省连云港市灌云县高一物理第二学期期末考试试题含解析
2024届江苏省连云港市灌云县高一物理第二学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，有的只有一项符合题目要求，有的有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
1、(本题9分)在下列所述实例中，若不计空气阻力，机械能守恒的是A．抛出的铅球在空中运动的过程B．电梯加速上升的过程C．石块在水中下落的过程D．木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程2、(本题9分)关于静电场的等势面，下列说法正确的是A．两个电势不同的等势面可能相交B．电场线与等势面处处相互垂直C．同一等势面上各点电场强度一定相等D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功3、(本题9分)倒置的光滑圆锥面内侧，有质量相同的两个小玻璃球A、B，沿锥面在水平面内作匀速圆周运动，关于A、B两球的角速度、线速度和向心加速度正确的说法是( )A．它们的角速度相等ωA=ωB B．它们的线速度υA＜υBC．它们的向心加速度相等D．A球的向心力小于B球的向心力4、(本题9分)自由下落的物体，自起点开始依次下落三段相等的位移的时间比是( )A．1∶3∶5 B．1∶4∶9C．1∶2∶3D．1∶(21-)-)∶(325、(本题9分)如图所示，圆心在O点、半径为R的光滑圆弧轨道ABC竖直固定在水平桌面上，OC与OA的夹角为60°，轨道最低点A与桌面相切．一足够长的轻绳两端分别系着质量为m1和m2的两小球（均可视为质点），挂在圆弧轨道光滑边缘C的两边，开始时m1位于C点，然后从静止释放,则下列说法正确的是（）A．在m1由C点下滑到A点的过程中两球速度大小始终相等B．在m1由C点下滑到A点的过程中，重力对m1做功功率先增大后减少C．在m1由C点下滑到A点的过程中，m1机械能守恒D．若m1恰好能沿圆弧下滑到A点，则m1＝3m26、(本题9分)一物体静止在水平地面上，在竖直向上的拉力F的作用下向上运动．不计空气阻力，物体的机械能E与上升高度h的关系如图所示，其中曲线上A点处的切线斜率最大，h2~h3的图线为平行于横轴的直线．下列说法正确的是A．在h1处物体所受的拉力最大B．在h2处物体的动能最大C．h2~h3过程中合外力做的功为零D．0~h2过程中拉力F始终做正功7、(本题9分)如图所示的装置中，木块B放在光滑的水平桌面上，子弹A以水平速度v射入木块后(子弹与木块作用时间极短)，子弹立即停在木块内．然后将轻弹簧压缩到0最短，已知本块B的质量为M，子弹的质量为m，现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则从子弹开始入射木块到弹簧压缩至最短的整个过程中A ．系统的动量不守恒，机械能守恒B ．系统的动量守恒，机械能不守恒C ．系统损失的机械能为()202mMv m M + D ．弹簧最大的弹性势能小于2012mv 8、滑雪运动深受人民群众的喜爱，某滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖直面内的圆弧形滑道AB ，从滑道的A 点滑行到最低点B 的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿AB 下滑过程中（ ）A ．所受合外力始终为零B ．所受摩擦力大小不变C ．合外力做功一定为零D ．机械能的减少量等于克服摩擦力做的功9、 (本题9分)如图所示，光滑绝缘的半圆形容器处在水平向右的匀强电场中，一个质量为m ，电荷量为q 的带正电小球在容器边缘A 点由静止释放，结果小球运动到B 点时速度刚好为零，OB 与水平方向的夹角为θ=600，则下列说法正确的是( )A ．小球重力与电场力的关系是3B ．小球在B 点时，对圆弧的压力为2qEC ．小球在A 点和B 点的加速度大小相等D ．如果小球带负电，从A 点由静止释放后，不能沿AB 圆弧而运动10、2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（）A．质量之积B．质量之和C．速率之和D．各自的自转角速度二、实验题11、（4分）利用如图甲所示的装置做“验证机械能守恒定律”实验：(1)为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任意两点间的_______；A．动能变化量与势能变化量B．速度变化量与势能变化量C．速度变化量与高度变化量(2)实验得到如图乙所示的纸带，在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C,测出它们到起始点O 的距离分别为h A、h B、h C。
江苏省连云港市高一下学期数学期末考试试卷
江苏省连云港市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知角 的终边经过点， 则角 的最小正值是（ ）A.B.C.D. 2. （2 分） (2016 高一下·延川期中) sin80°cos40°+cos80°sin40°等于（ ）A.-B.C.-D.3. （2 分） (2019 高二上·郑州月考) 在，，则（）中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若A.B.C.D.第 1 页 共 11 页4. （2 分） (2020 高一下·内蒙古期末) 已知，则（）A.B. C.1 D.3 5. （2 分） 函数的部分图象如图，则 可以取的一组值是（ ）A.B.,C.,D.,6. （2 分） 已知函数 f(x)=|sinx|的图象与直线 y=kx(k>0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大 值为 a，则 a 等于（ ）A . -cosaB . -sinaC . -tanaD . tana7. （2 分） 已知向量 =（1，7）与向量 =（tanα，18+tanα）平行，则 tan2α 的值为（ ）第 2 页 共 11 页A. B. C. D. 8. （2 分） (2019 高三上·台州期末) 已知函数 取值范围是（ ） A. B. C.，的最小值为 ，则实数 的D.9. （2 分） 已知平面上不共线的四点 O,A,B,C，若 A.3 B.4 C.5 D.610. （2 分） 平面向量 与 的夹角为 60°，则A.B.第 3 页 共 11 页，则（）（）C.4 D . 1211. （2 分） (2019 高一下·哈尔滨月考) 已知 与 为互相垂直的单位向量，，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（ ）A.B.C.D.12. （2 分） 已知平面向量， 则实数 m 的值等于（ ）A . 2或B.C . -2 或D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 化简：sin •cos•tan=________．14. （1 分） (2019 高二上·建瓯月考) 已知，角，则 的取值范围是________.，且 与 的夹角为钝15. （1 分） 给出定义：若 m﹣（其中 m 为整数），则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记作{x}，即{x}=m 在此基础上给出下列关于函数 f（x）=x﹣{x}的四个命题：①f（﹣ ）= ；②f（3.4）=﹣0.4；③f（﹣ ）＜f（） ；④y=f（x）的定义域是 R，值域是[﹣ , ]；则其中真命题的序号是________第 4 页 共 11 页16. （1 分） (2019 高三上·临沂期中) 我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问 沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田 的三边长分别为 13，14，15 里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里．三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） (2020 高一下·重庆期末) 已知函数（1） 求函数的最小正周期；（2） 若将函数图象上每点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数在区间上的值域.18. （5 分） (2018 高二上·北京月考) 已知圆 且 OP⊥OQ（O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.和直线19. （15 分） 已知关于 x 的方程 5x2+x+m=0 的两根为 sinθ，cosθ，. 的图象，求交于 P、Q 两点（1） 求的值；（2） 求 m 的值；（3） 若 θ 为△ABC 的一个内角，求 tanθ 的值，并判断△ABC 的形状．20. （10 分） (2020·淮北模拟) 已知的面积为 ，且.（1） 求的值；（2） 若角成等差数列，求的面积 .21. （10 分） (2017 高一下·景德镇期末) 已知平面向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R）． （1） 若 ∥ ，求| ﹣ | （2） 若 与 夹角为锐角，求 x 的取值范围．22. （ 10 分 ） (2020 高 三 上 · 郑 州 月 考 ) 已 知 函 数满.第 5 页 共 11 页，当时，（1） 求的解析式；（2） 求在上的最大值.第 6 页 共 11 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、第 8 页 共 11 页18-1、 19-1、 19-2、 19-3、20-1、第 9 页 共 11 页20-2、 21-1、 21-2、 22-1、第 10 页 共 11 页22-2、第11 页共11 页。
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连云港市 2012－2013 学年度第二学期期末调研考试高一数学试题本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟．一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．1．已知角a 的终边过点 P(-4,3)，则 2sina + cosa 的值是．2．某校高一（1）班共有 44 人，学号依次为 01，02，03，…，44．现用系统抽样的办法抽一个容量为 4 的样本，已知学号为 06，28，39 的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为．3．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于 70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如 图是某路段的一个检测点对 100 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有辆．开始 ↓ a←1a←a2+1a<10 Y↓N输出 a4．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是↓ 结束 ．5．取一根长度为 4m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于 1 m 的概率是．6．从｛1，2，3，4，5，6｝中随机选一个数 a ，从｛1，2，3｝中随机选一个数 b ，则 a > b的概率为．7．设 x Î R，向量 a = (x,1) ， b = (1, -2) ，且 a ^ b ，则| a + b |=．8．如图是某工厂一名工人在六天中上班时间的茎叶图，则该工人在这六天中上班时间的方差为．08 9 10 2 2 59．函数f(x)=A sin(w x+j)（其中A>0,w>0, -p<j<p）在x=5p 12处取得最大值3，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为p 2，则f(x)的解析式为．10．正三棱锥的底面边长为 1，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为．高一数学第 1 页 共 7 页11．函数 f (x) = ax，xÎ[0,p ] ，且 f (x) ≤ 1＋sinx，则 a 的取值范围是．12．已知| a | = 1，若非零向量 b 满足 b × ( b － a ) = 0 ，则| b |的取值范围为．13．若A，B，CÎ(0,p 2)，且sinA－sinC=sinB，cosA＋cosC=cosB，则B－A=．14 ． 已 知 函 数f(x)=ìïíïî|23loxg22x |, - 8x+0< 70 , 3x £ 4, x > 4.若f (a) = f (b) = f (c) = f (d ) ，则 abcd 的取值范围是a,b,c, d ．互不相同，且二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）已知向量 a ， b 的夹角为 60° ，且| a | = 1，|2 a － b |= 2 3 ．（1）求| b |； （2）求 b 与 2 a － b 的夹角． 16．（本小题满分 14 分） 某企业生产 A，B，C 三种产品，每种产品有 M 和 N 两个型号．经统计三月下旬该企 业的产量如下表（单位：件）．用分层抽样的方法从这月下旬生产的三种产品中抽取 50 件调查，其中抽到 A 种产品 10 件． （1）求 x 的值； （2）用分层抽样方法在 C 产品中抽取一个容量为 5 的样本，将该样本看作一个总体，从中任取两件，求至少有一件是 M 型号的概率； （3）用随机抽样的方法从 C 产品中抽取 8 件产品做用户满意度调查，经统计它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把 8 件产品的得分看作一个 样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值超过 0.5 的概率．ABCM200300240N200700x17．（本小题满分 14 分）高一数学第 2 页 共 7 页如图，在半径为 R、圆心角为 60° 的扇形 AB 弧上任取一点 P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上，设 ÐBOP = q ，矩形 PNMQ 的面积记为 S ．（1）求 S 与q 之间的函数关系式；A（2）求矩形 PNMQ 面积的最大值及相应的q 值．QPOM18．（本小题满分 16 分）已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=3 5，sin(A-B)=1 5．（1）求tan tanA B的值；（2）求 tan B 的值．NB19．（本小题满分 16 分）已知函数 f (x) = cos2 x - 2a sin x + a -1， a ÎR．（1）当 a = 0 时，求函数 f (x) 的最小正周期和单调增区间；（2）求f(x)在xÎ[-p 3,p 6]上的最大值m(a) ．20．（本小题满分 16 分）已知圆 M 的方程为 (x - 2)2 + y2 = 1 ，直线 l 的方程为 y = 2x ，点 P 在直线 l 上，过 P 点作圆 M 的切线 PA ， PB ，切点为 A ， B ． （1）若 ÐAPB = 60o ，试求点 P 的坐标；uuur uuur （2）求 PA × PB 的最小值； （3）求证：经过 A, P, M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．2012－2013 学年度第二学期高一数学期末试题（四星）答案高一数学第 3 页 共 7 页一、填空题：1．2 52．173．204．265．126．2 37． 108．16 39．y=3sin(2x-p 3)10．2 24(abc 6)11．(-¥, 1 ] p12． (0,1]13．－π314．(32,35) (ab = 1)二、解答题：15．（1）将|2 a － b |= 23两边平方得4 a2+ b2-4| a || b| cos<rr a, b>=12 ，…………4分即 b2 -2| b |-8=0，解得| b |=4．（2）Qb× （2 a－brr ）= 2ab-b2= 2´1´ 4´1 2= -12 ，…………7分又| b ||2 a - b |= 4 ´ 2 3 = 8 3 ，………10 分由夹角公式得 b 与 2 a － b 夹角的余弦值为 -12 83=-3 2，\夹角为150° ．………14 分16．（1）产品 A 的产量为 400，从中抽取样本容量为 10，故按 1∶40 的比例抽取，同理产品 B 的产量为 1000，按 1∶40 的比例抽取，从中抽取样本容量为 25，所以产品C应抽取件数为15，故1 40=15 240 +x，解得x=360；…………4 分（2）用分层抽样方法在 C 产品中抽取一个容量为 5 的样本，则 M 型号有 2 件，N 型号有3 件，从中任取两件所有的情况有：（M1，M2），（N1，N2），（N1，N3），（N2，N3），（M1，N1），（M1，N2），（M1，N3），（M2，N1），（M2，N2），（M2，N3），共 10 种.故至少有一件是 M 型号的有（M1，M2），（M1，N1），（M1，N2），（M1，N3），（M2，N1），（M2，N2），（M2，N3），共有7种，所以至少有一件是M型号的概率P1=7 10；……9分（3）9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2 这 8 个数据的平均数为 9，则与 9 差的绝对值超过0.5的有9.6，8.2，所以与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率P2=2 8=1 4…14分17．（1）在 RtDPON 中， PN = R sinq ,ON = R cosq. Q四边形 PNMQ 为矩形，\ MQ = PN = R sinq . …………2 分高一数学第 4 页 共 7 页故在RtDOMQ 中， OM=MQ tan 60°=3 3R sinq，所以 MN = ON - OM = R cosq -3 3Rsin q.…………4 分则 S = PN × MN = R sinq (R cosq -3 3Rsin q).…………6 分= R2 (sinq cosq -3 3sin 2q)=R2(1 2sin2q-3 31-cos 22q)=3 3R2sin(2q+30°)-3 R2 6…11分（2）因为当 2q + 30° = 90° 时，sin(2q + 30°)max = 1 ，所以当q = 30° 时，Smax =3 3R2-3 R2 ， 6所以矩形 PNMQ 面积的最大值为3 6R2，ÐBOP=30°.…………14 分18．（1）Qsin( A+B)=sinA cosB+cosA sinB=3 5①…………2 分sin(A-B)=sinA cosB-cosA sinB=1 5②…………4 分①+②得 2 sinA cosB=4 5，\ sinAcos B=2 5③cosA sinB=1 5④③/④得：tan tanA B=2．…………7 分（2）Q DABC 是锐角三角形，又A+B=p- C,0<C<p 2，\p 2<A+B<p， sin( A +B)=3 5，\ tan(A+B)=-3 4，即 tan A + tan B 1 - tan A tan B=-3 4．由（1） tanA=2 tanB3 tan B ，\ 1 - 2 tan 2B=-3 4，…………10 分即2 tan 2B-4 tanB-1=0，tanB=4± 424．…………14 分Q B 是锐角，\ tan B = 1 +6 2．…………16 分19．（1）当a=0 时，f(x)=cos2x-1=1 2(cos2x-1) ．易得周期 T=p,单调增区间为 [kp+p 2, kp+ p ](kÎZ)．（2）将函数 f (x) = cos2 x - 2a sin x + a -1变形为…………5 分高一数学第 5 页 共 7 页f(x)=-sin 2x-2asinx+a，xÎ[-p 3,p 6]．设 t = sin x, 则 t Î[-3 2,1 2]，即求函数 h(t) = -t2 - 2at + a 在 t Î[-3 2,1 2]上的最大值m(a)．…………8分①当 -a£-3 2时， h(t )在[-3 ,1]上单调递减， 22\ m(a) = h(-3) 2=-3 4+(3 + 1)a ．…………10 分②当 -a³1 2时，h(t)在[-3 2, 12]上单调增，\m(a )=h( 1 ) 2=-1 4………12分③当 -3 2< -a<1 2 时，\m(a )=a+a2 ．…………14 分ì ïï3 4+(3 + 1)a,综上所述，m(a)=ïíï1 4,a³3, 2a£-1 2,ïïa + a2 , î-1 2<a<3 2.…………16 分20．（1）设 P(m, 2m) ，由题可知 MP = 2 ，所以 (2m)2 + (m - 2)2 = 4 ，解之得m=0,m=4 5．故所求点P的坐标为P(0, 0)或P(4 5,8) 5．………4分（2）设P(m,2m)，则uuur PA×uuur PB=|uuur PA|2cosÐPAB．又|uuur PA|2=PM 2-1 , cos ÐPAB= 1 - 2sin2ÐPAB 2=1-2 PM 2，uuur \ PA ×uuur PB=|uuur PA|2cos ÐPAB=(PM2-1)(1 -2 PM2)=PM2+2 PM2-3 ．………7分又 PM 2 = (m - 2)2 + (2m)2 = 5m2 - 4m + 4 Î[156 , +¥) ，uuur uuur \ PA × PB=|uuur PA|2cos ÐPAB=PM 2+2 PM 2-3=(PM-2 PM)2-1Î[33 40,+¥)，故uuur PA×uuur PB的最小值33 40．…………10 分（3）设P(m, 2m) ，MP的中点 Q( m 2+1, m)，因为PA是圆M的切线，所以经过 A, P, M 三点的圆是以 Q 为圆心，以 MQ 为半径的圆，高一数学第 6 页 共 7 页故其方程为 (x-m 2-1)2+(y-m)2=m2+(m 2-1)2，化简得 x2 + y2 - 2x + m(-x - 2 y + 2) = 0 ，故ìx2 + íî-x -y2 - 2x = 0, 2y+2 = 0解得ì í îx y= =2 0或ì ïï í ï ïîx y= =2 5 4 5, .所以经过 A, P, M 三点的圆必过定点 (2, 0) 和 ( 2 , 4) ． 55…………13 分 …………16 分高一数学第 7 页 共 7 页。