定弦定角隐圆教学文案

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初中数学精讲隐圆模型(线段最值和轨迹问题)

几何模型11——隐圆问题在初中数学中利用隐圆解决平面几何问题大致分为三类，第一类是定点加定长构造圆形，第二类是定弦定角，第三类是从动模型之轨迹为圆也就是常说的“瓜豆原理”，在初中数学当中构造定弦定角构造圆形在压轴题当中经常出现，定弦定角构造圆形圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题。

定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（很多时候一般是找出张角的补角），（补角一般为60︒、45︒）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径例1.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，求A′C的长的最小值变式1.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，点E为AB中点，点F为AD 边上从A到D运动的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，求点G运动的路径长（1）直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：例2.如图，半径为4的⊙O 中，CD 为直径，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，求点F 所经过的路径长变式1.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，动点E 从点A 出发向终点D 运动，同时动点F 从点D 出发向终点C 运动，点E ，F 的运动速度相同，当它们到达各自的终点时停止运动．运动过程中线段AF ，BE 相交于点P ，求线段DP 长的最小值变式2.如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．P PA BOP变式3.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，点E 是AB 边上的动点，过点B 作直线CE 的垂线，垂足为F ，当点E 从点A 运动到点B 时，求点F 的运动路径长变式4.如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（）（2）定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB 为定值，∠P 为定角，则A点轨迹是一个圆．∠P 度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．例3.如图，△ABC 是等边三角形，边长为6，E 、F 分别是BC 、AC 上的动点，且CE ＝AF ，连接AE 、BF 交于点G ，求CG 最小值60°120°O P ABO120°120°P ABP PAB P30°O 60°BAP 90°45°ABO P变式2.如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，求线段PB长度的最小值变式3.边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．例4.如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，求内心I所经过的路径长变式1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是．变式2.如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度数；（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；例5.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）16A．213+C．5D．13-B．29变式1.如图，△ABC中，AC＝3，BC＝24，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（）A．1B．2C．2D．241-4例6.如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为一边作等边△APQ ．考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？【分析】Q 点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ ，故Q 点轨迹是个圆：考虑∠PAQ=60°，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足∠MAO=60°；考虑AP=AQ ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM=AO ，且可得半径MQ=PO ．即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ≌△AQM ．例7.如图，正方形ABCD 中，25AB ，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE=2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．【解析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足EO=2，故E 点轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．答案为52-2 变式1.如图，已知在扇形AOB 中，OA ＝3，∠AOB ＝120º，C 是在上的动点，以BC 为边作正方形BCDE ，当点C 从点A 移动至点B 时，求点D 运动的路径长？OPA Q60°MQAPOO AB CD E F O A B C D EF M变式2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝2，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为____________．变式3.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．。

2024年中考复习-专题13隐圆问题3种模型(解析版)

专题13隐圆问题3种模型通用的解题思路：隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。

当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。

（3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。

隐圆常与线段最值结合考查。

类型1：定点定长1．（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA OB OC∠=︒，则ACB∠=AOB==，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若7035︒．如图，Rt ABCAB=．∠=︒，2BCA∆中，90∠=︒，30ABC（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和BEA∠的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足45∠=︒且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，BQA若不存在，说明理由．【分析】（1）利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．【解答】（1）以O 为圆心，OA 为半径作辅助圆，如图，，70AOB ∠=︒ ，35ACB ∴∠=︒，故答案为35︒．（2）连接PB ，PE ，如图，，Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30BCA ∠=︒，2AB =．4AC ∴=，60BAC ∠=︒，BC =．P 为Rt ABC ∆斜边AC 中点，122BP AC ∴==，线段AC 平移到DF 之后，2AB AD PE ===，2BP AE ==，∴四边形ABPE 为菱形，60BAC ∠=︒ ，30BEA ∴∠=︒，//CF BD ，且90ABC ∠=︒，∴四边形BDFC 为直角梯形，11()622S BD CF BC ∴=+⨯=⨯⨯=（3）如图所示，以AB 为斜边在AB 的右侧作等腰直角三角形OAB ，以O 为圆心，OA 为半径作O ，当AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF 时，满足45BQA ∠=︒且此时四边形BADF 的面积最大，∴直线DF 与O 相切于点Q ，连接OQ 交AD 于G ，过点O 作OH AD ⊥于H ，则90AHO OHG DQG ∠=∠=∠=︒，45OAH ∠=︒，30GDQ ∠=︒，90ABC ∠=︒ ，30BCA ∠=︒，2AB =，BC ∴=OA OB OQ ===1AH OH ∴==，33HG =，233OG =，3GQ ∴=，23DG GQ ==-，11AD AH HG GD ∴=++=++，1a ∴=+，此时直角梯形ABFD 的最大面积为：11()112222S BF AD AB =⨯+⨯=⨯++-++⨯=+．【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．2．（2024•兰州模拟）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为平面内一点（点A ，B ，D 三点不共线），AE 为ABD ∆的中线．【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM AC =；②180MDA DAB ∠+∠=︒；【类比探究】（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：12AE CF =，请你帮他证明；【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动()AD AB >，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若4AB =，请直接写出BG的最大值．【分析】（1）利用SAS 证明ABE MDE ∆≅∆，可得AB DM =，再结合AB AC =，即可证得DM AC =；由全等三角形性质可得BAE DME ∠=∠，再运用平行线的判定和性质即可证得180MDA DAB ∠+∠=︒；（2）延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM ．利用SAS 证得ACF DMA ∆≅∆，可得CF AM =，再由12AE AM =，可证得12AE CF =；（3）延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得()ACF ABM SAS ∆≅∆，利用三角形中位线定理可得//AE BM ，即//AG BM ，利用直角三角形性质可得11222GP AC AB ===，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，可得BG '的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】（1）证明：①AE 为ABD ∆的中线，BE DE ∴=，在ABE ∆和MDE ∆中，BE DE AEB MED AE ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE MDE SAS ∴∆≅∆，AB DM ∴=，AB AC = ，DM AC ∴=；②由①知ABE MDE ∆≅∆，BAE DME ∴∠=∠，//AB DM ∴，180MDA DAB ∴∠+∠=︒；（2）证明：延长AE 至点M ，使得ME AE =，连接DM．由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，90BAC ∠=︒ ，360DAF BAC BAD CAF ∠+∠+∠+∠=︒，180BAD CAF ∴∠+∠=︒，由（1）②得：180MDA DAB ∠+∠=︒，DM AB AC ==，CAF MDA ∴∠=∠，在ACF ∆和DMA ∆中，AF AD CAF MDA AC DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF DMA SAS ∴∆≅∆，CF AM ∴=，12AE AM = ，12AE CF ∴=；（3）如图3，延长DA 至M ，使AM AD =，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF AD =，90DAF ∠=︒，AF AM ∴=，1809090MAF ∠=︒-︒=︒，90BAC ∠=︒ ，MAF CAM BAC CAM ∴∠+∠=∠+∠，即CAF BAM ∠=∠，在ACF ∆和ABM ∆中，AC AB CAF BAM AF AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF ABM SAS ∴∆≅∆，AFC AMB ∴∠=∠，即AFN KMN ∠=∠，ANF KNM ∠=∠ ，90FAN MKN ∴∠=∠=︒，BM CF ∴⊥，E 、A 分别是DB 、DM 的中点，AE ∴是BDM ∆的中位线，//AE BM ∴，即//AG BM ，AG CF ∴⊥，90AGC ∴∠=︒，点P 是AC 的中点，11222GP AC AB ∴===，∴点G 在以P 为圆心，2为半径的P 上运动，连接BP 并延长交P 于G '，BG ∴'的长为BG 的最大值，在Rt ABP ∆中，BP ==2BG BP PG ∴'=+'=+，BG ∴的最大值为2+．【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．3．（2022•番禺区二模）已知抛物线23(0)2y ax bx a =+->与x 轴交于点A ，B 两点，OA OB <，4AB =．其顶点C 的横坐标为1-．（1）求该抛物线的解析式；（2）设点D 在抛物线第一象限的图象上，DE AC ⊥垂足为E ，//DF y 轴交直线AC 于点F ，当DEF ∆面积等于4时，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 是抛物线上的一点，M 点从点B 运动到达点C ，FM FN ⊥交直线BD 于点N ，延长MF 与线段DE 的延长线交于点H ，点P 为N ，F ，H 三点构成的三角形的外心，求点P 经过的路线长．【分析】（1）利用对称性，求得A 和B 的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）证明CGA ∆和DEF ∆都为等腰直角三角形，利用等面积法求得4DF =，再求得直线AC 的解析式为1y x =-，设点D 的坐标，得到点F 的坐标，然后求解即可；（3）先求得45BDF ∠=︒，推出点P 的运动路径时11H N 的中点绕点F 逆时针旋转90︒得到2N H 的中点之间的弧长，证明四边形2DN FE 为正方形，即可求解．【解答】解：（1）点A ，点B 两点关于直线1x =-对称，4AB =，(1,0)A ∴，(3,0)B -，代入232y ax bx =+-得，30239302a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得：121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为21322y x x =+-．（2）如图1所示：//DF y 轴//GC ，GCA DFE ∴∠=∠，抛物线的解析式为22131(1)2222y x x x =+-=+-，∴顶点(1,2)C --，(1,0)A ，2AG ∴=，2CG =，CGA ∴∆为等腰直角三角形，45GCA DFE ∴∠=∠=︒，DE AC ⊥ ，DEF ∴∆为等腰直角三角形，DE EF ∴=，DF =，142DEF S DE EF ∆=⋅= ，DE ∴=，4DF ∴==，设直线AC 的解析式为y kx b =+，则02k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得：11k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为1y x =-，设点213(,22D x x x +-，则(,1)F x x -，221311(1)42222DF x x x x ∴=+---=-=，解得：3x =或3x =-（舍)，(3,6)D ∴，(3,2)F ．（3）如图2所示，NFH ∆ 是直角三角形，NFH ∴∆的外心是斜边NH 的中点，当点M 位于点B 时，△11N FH ，其外心是斜边11H N 的中点，当点M 位于点C 时，得△2N FE ，其外心是斜边22N H 的中点，即2N E 的中点，(3,6)D ，(3,0)B -，33tan 16BDF +∴∠==，45BDF ∴∠=︒，由（2）得，45FDE ∠=︒，45DBA BAC ∴∠=∠=︒，//BD AC ∴，FN BD ∴⊥，DF ∴平分BDE ∠，90BDE ∠=︒，∴点D ，N ，F ，H 四点共圆，∴点P 在线段DF 的垂直平分线上，即点P 在2N E 上运动，即点P 的运动轨迹是一条线段．2290DN F N DH DHF ∠=∠=∠=︒ ，2FN FE =，∴四边形2DN FE 为正方形，此时点P 在DF 上，且2EP =；当点M 与点C 重合时，此时点P 在DF 上，即为2P ，且222FP EP ==，由题意，224BN BD DN =-=，BF =2N F =，21//FN DH ，2BFN ∴∆∽△1BH D ，∴21BN BF BD BH =，解得1FH =，1FP ∴=，由勾股定理可得：121P P =，即点P 的运动轨迹长为1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC=，求BDC∆外一点，且AD AC∠的度数．若∆中，AB AC=，80BAC∠=︒，D是ABC以点A 为圆心，AB 为半径作辅助圆A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=40︒．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）问题拓展：抛物线21(1)34y x =--+与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ，点P 在抛物线上，直线//PQ BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．①若含45︒角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，求Q 的坐标；②若含30︒角的直角三角板一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，点D 与点B ，点Q 不重合，求点P 的坐标．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）①先求出抛物线顶点的坐标，再由点D 、C 、Q 、E 共圆，得出45CQB OED ∠=∠=︒，求出CQ ，再求点Q 的坐标．②分两种情况，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，Ⅱ、当60︒的角的顶点与点C 重合时，运用点D 、C 、Q 、E 共圆，求出CQ 即点P 的横坐标，再代入抛物线求出点P 的纵坐标，即可求出点P 的坐标．【解答】解：（1）AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1402BDC BAC ∴∠=∠=︒，（2）如图2，90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）①如图3点B 为抛物线21(1)34y x =--+的顶点，∴点B 的坐标为(1,3)，45︒ 角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一顶点E 在PQ 上，∴点D 、C 、Q 、E 共圆，45CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==，4OQ ∴=，∴点Q 的坐标为(4,0)，②如图4，Ⅰ、当30︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板30︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，60CQB CED ∴∠=∠=︒，3CQ BC ∴==1OQ ∴=+，∴把1+代入21(1)34y x =--+得94y =，∴点P 的坐标是(1+94Ⅱ、如图5，当60︒的角的顶点与点C 重合时，直角三角板60︒角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，30CQB CED ∴∠=∠=︒，CQ ∴==，1OQ ∴=+∴把1+21(1)34y x =--+得154y =-，∴点P 的坐标是(1+，154-综上所述，点P 的坐标是(1+94或(1+15)4-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等．类型2：定弦定角1．（2022•雁塔区校级三模）问题提出（1）如图①，已知ABC ∆为边长为2的等边三角形，则ABC ∆的面积为问题探究（2）如图②，在ABC ∆中，已知120BAC ∠=︒，BC =，求ABC ∆的最大面积；问题解决（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD ，其宽20AB =米，长24BC =米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD 上安装一台摄像头M 进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角45AMB ∠=︒，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD 区域上是否存在点M 满足要求？若存在，求出MC 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】（1）作AD BC ⊥于D ，由勾股定理求出AD 的长，即可求出面积；（2）作ABC ∆的外接圆O ，可知点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，求出A H '的长，从而得出答案；（3）以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，利用等腰直角三角形的性质求出OA ，OG 的长，则以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，从而O 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，利用勾股定理求出OE 的长，从而解决问题．【解答】解：（1）作AD BC ⊥于D ，ABC ∆ 是边长为2的等边三角形，1BD ∴=，AD ∴==ABC ∴∆的面积为122⨯=；（2）作ABC ∆的外接圆O ，120BAC ∠=︒ ，BC =，∴点A 在 BC上运动，当A O BC '⊥时，ABC ∆的面积最大，60BOA '∴∠=︒，33BH CH ==，3OH ∴=，6OB =，633A H OA OH ''∴=-=-=，ABC ∴∆的最大面积为133932⨯=（3）存在，以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且90AOB ∠=︒，过O 作HG AB ⊥于H ，交CD 于G ，20AB = 米，10AH OH ∴==米，2OA =米，24BC = 米，14OG ∴=米，10214> ，∴以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，O ∴ 上存在点M ，满足45AMB ∠=︒，此时满足条件的有两个点M ，过1M 作1M F AB ⊥于F ，作1EO M F ⊥于E ，连接OF ，10EF OH ∴==米，1102OM =114EM ∴=米，22112OE OM M E ∴-=米，18CM BF ∴==米，同理210212CM BH OE =+=+=（米)，MC ∴的长度为8米或12米．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．2．（2023•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，ABC ∆为等腰三角形，120C ∠=︒，8AC BC ==，D 是AB 上一点，且CD 平分ABC ∆的面积，则线段CD 的长度为4．问题探究：（2）如图②，ABC ∆中，120C ∠=︒，10AB =，试分析和判断ABC ∆的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD ，满足600BC =米，300CD =米，60C ∠=︒，60A ∠=︒，主办方打算过BC 的中点M 点（入口）修建一条径直的通道ME （宽度忽略不计）其中点E （出口）为四边形ABCD 边上一点，通道ME 把四边形ABCD 分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME ？若存在，请求出点A 距出口的距离AE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可知，CD 是ABC ∆的中线，利用等腰三角形的性质推出CD AB ⊥，利用三角函数求解即可解决问题；（2）当ABC ∆的AB 边上的高CD 最大时，三角形ABC 的面积最大，即CD 过圆心O ，连接AO ．求出CD 的最大值即可得出答案；（3）连接DM ，BD ．首先证明90BDC ∠=︒，求出BD ，推出BDC ∆的面积是定值，要使得四边形ABCD 的面积最大，只要ABD ∆的面积最大即可，因为BD 为定值，A ∠为定角60=︒，推出当ABD ∆是等边三角形时，求出四边形ABCD 的面积最大值，然后再求出90MDE ∠=︒，构建方程解决问题即可．【解答】解：（1）如图①，CD 平分ABC ∆的面积，AD DB ∴=，8AC BC == ，CD AB ∴⊥，1602ACD BCD ACB ∠=∠=∠=︒，cos 8cos 604CD AC ACD ∴=∠=︒=，CD ∴的长度为4，故答案为：4；（2）存在．如图②，10AB = ，120ACB ∠=︒都是定值，∴点C 在AB 上，并且当点C 在 AB 的中点时，ABC ∆的面积最大；连接OC 交AB 于点D ，则CD AB ⊥，152AD BD AB ===，1602ACD ACB ∠=∠=︒，∴tan AD ACD CD ∠=，53tan 603AD CD ==︒，∴125323ABC S AB CD ∆=⋅=，答：ABC ∆（3）存在．如图③，连接DM ，BD ，M 是BC 的中点，13002CM BC ∴==，CM CD ∴=，又60C ∠=︒ ，CMD ∴∆是等边三角形，60MDC CMD ∴∠=∠=︒，CM DM BM ==，30CBD MDB ∴∠=∠=︒，90BDC ∴∠=︒，tan 60BD CD ∴=⋅︒=米，在ABD ∆中，BD =60A ∠=︒为定值，由（2）可知当AB AD =时，即ABD ∆为等边三角形时ABD ∆的面积最大，此时也为四边形ABCD 的最大值(BDC ∆的面积不变），21330024max BDC BDA S S S ∆∆=+=⨯⨯=；ABD ∆ 是等边三角形，60ADB ∴∠=︒，90ADM ADB BDM ∴∠=∠+∠=︒，由12EMD CDM max S S S ∆∆+=，得：21130030022DE ⨯+=⨯解得：DE =，AE AD DE ∴=-==)，答：点A 距出口的距离AE 的长为米．【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题．3．（2023•柯城区校级一模）如图，点A 与点B 的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点．（1）使30APB ∠=︒的点P 有无数个；（2）若点P 在y 轴上，且30APB ∠=︒，求满足条件的点P 的坐标；（3）当点P 在y 轴上移动时，APB ∠是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时APB ∠最大的理由；若没有，也请说明理由．【分析】（1）已知点A 、点B 是定点，要使30APB ∠=︒，只需点P 在过点A 、点B 的圆上，且弧AB 所对的圆心角为60︒即可，显然符合条件的点P 有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P 在y 轴的正半轴上时，点P 是（1）中的圆与y 轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P 的坐标；当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P 的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要APB ∠最大，只需构造过点A 、点B 且与y 轴相切的圆，切点就是使得APB ∠最大的点P ，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：（1）以AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC ，以点C 为圆心，AC 为半径作C ，交y 轴于点1P 、2P ．在优弧1APB 上任取一点P ，如图1，则11603022APB ACB ∠=∠=⨯︒=︒．∴使30APB ∠=︒的点P 有无数个．故答案为：无数．（2）①当点P 在y 轴的正半轴上时，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，如图1．点(1,0)A ，点(5,0)B ，1OA ∴=，5OB =．4AB ∴=．点C 为圆心，CG AB ⊥，122AG BG AB ∴===．3OG OA AG ∴=+=．ABC ∆ 是等边三角形，4AC BC AB ∴===．CG ∴===∴点C 的坐标为(3，．过点C 作CD y ⊥轴，垂足为D ，连接2CP ，如图1，点C 的坐标为(3，，3CD ∴=，OD =1P 、2P 是C 与y 轴的交点，1230APB AP B ∴∠=∠=︒．24CP CA == ，3CD =，2DP ∴== 点C 为圆心，12CD PP ⊥，12PD P D ∴==2(0P ∴，-．1(0P ，+．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：3(0,P -．4(0,P -．综上所述：满足条件的点P 的坐标有：(0，-、(0，、(0,--、(0,-+．（3）当过点A 、B 的E 与y 轴相切于点P 时，APB ∠最大．理由：可证：APB AEH ∠=∠，当APB ∠最大时，AEH ∠最大．由2sin AEH AE∠=得：当AE 最小即PE 最小时，AEH ∠最大．所以当圆与y 轴相切时，APB ∠最大．①当点P 在y 轴的正半轴上时，连接EA ，作EH x ⊥轴，垂足为H ，如图2．E 与y 轴相切于点P ，PE OP ∴⊥．EH AB ⊥ ，OP OH ⊥，90EPO POH EHO ∴∠=∠=∠=︒．∴四边形OPEH 是矩形．OP EH ∴=，3PE OH ==．3EA ∴=．90EHA ∠=︒ ，2AH =，3EA =，EH ∴===OP ∴P ∴．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：(0,P ．理由：①若点P 在y 轴的正半轴上，在y 轴的正半轴上任取一点M （不与点P 重合），连接MA ，MB ，交E 于点N ，连接NA ，如图2所示．ANB ∠ 是AMN ∆的外角，ANB AMB ∴∠>∠．APB ANB ∠=∠ ，APB AMB ∴∠>∠．②若点P 在y 轴的负半轴上，同理可证得：APB AMB ∠>∠．综上所述：当点P 在y 轴上移动时，APB ∠有最大值，此时点P 的坐标为和(0,．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．类型3：四点共圆1．（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图（1），已知ABC∆内接于O，点P在O上（不与点A，B，C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为点D，E，F．求证：点D，E，F在同一条直线上．如下是他们的证明过程（不完整）:如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ====，（依据1)点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒．（依据2)又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠．同上可得点B，D，P，E四点共圆，⋯⋯任务：（1）填空：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②依据2指的是．（2）请将证明过程补充完整．（3）善于思考的小虎发现当点P是 BC的中点时，BD CF=，请你利用图（2）证明该结论的正确性．【分析】（1）利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；（2）利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E，F，P，C和点B，D，P，E四点分别共圆，再说明180FEP DEP∠+∠=︒，可证明结论；（3）连接PA，PB，PC，利用HL证明Rt PBD Rt PCF∆≅∆，从而得出结论．【解答】（1）解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②依据2指的是圆内接四边形对角互补，故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；（2）解：如图（1），连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE．QF，则12EQ FQ PC PQ CQ ====，∴点E，F，P，C四点共圆，180FCP FEP∴∠+∠=︒，又180ACP ABP∠+∠=︒，FEP ABP∴∠=∠，同上可得点B，D，P，E四点共圆，DBP DEP∴∠=∠，180ABP DBP∠+∠=︒，180FEP DEP∴∠+∠=︒，∴点D，E，F在同一直线上；（3）证明：如图，连接PA，PB，PC，点P 是 BC的中点，∴ BPPC =，BP PC ∴=，PAD PAC ∠=∠，又PD AD ⊥ ，PF AC ⊥，PD PF ∴=，Rt PBD Rt PCF(HL)∴∆≅∆，BD CF ∴=．【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt PBD Rt PCF ∆≅∆是解题的关键．2．（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是ABC ∆外一点，且AD AC =，求BDC ∠的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助A ，则点C 、D 必在A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=45︒．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，25BDC ∠=︒，求BAC ∠的度数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．（2）由A 、B 、C 、D 共圆，得出BDC BAC ∠=∠，（3）根据正方形的性质可得AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，然后利用“边角边”证明ABE ∆和DCF ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得12∠=∠，利用“SAS ”证明ADG ∆和CDG ∆全等，根据全等三角形对应角相等可得23∠=∠，从而得到13∠=∠，然后求出90AHB ∠=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得112OH AB ==，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小．【解答】解：（1）如图1，AB AC = ，AD AC =，∴以点A 为圆心，AB 为半径作圆A ，点B 、C 、D 必在A 上，BAC ∠ 是A 的圆心角，而BDC ∠是圆周角，1452BDC BAC ∴∠=∠=︒，故答案为：45；（2）如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．90BAD BCD ∠=∠=︒ ，∴点A 、B 、C 、D 共圆，BDC BAC ∴∠=∠，25BDC ∠=︒ ，25BAC ∴∠=︒，（3）如图3，在正方形ABCD 中，AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠，在ABE ∆和DCF ∆中，AB CD BAD CDA AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE DCF SAS ∴∆≅∆，12∴∠=∠，在ADG ∆和CDG ∆中，AD CD ADG CDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADG CDG SAS ∴∆≅∆，23∴∠=∠，13∴∠=∠，390BAH BAD ∠+∠=∠=︒ ，190BAH ∴∠+∠=︒，1809090AHB ∴∠=︒-︒=︒，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则112OH AO AB ===，在Rt AOD ∆中，OD ===，根据三角形的三边关系，OH DH OD +>，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值1OD OH =-=．（解法二：可以理解为点H 是在Rt AHB ∆，AB 直径的半圆 AB 上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小）1-．【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．3．（2022•潢川县校级一模）如图1，点B 在直线l 上，过点B 构建等腰直角三角形ABC ，使90BAC ∠=︒，且AB AC =，过点C 作CD ⊥直线l 于点D ，连接AD ．（1）小亮在研究这个图形时发现，90BAC BDC ∠=∠=︒，点A ，D 应该在以BC 为直径的圆上，则ADB ∠的度数为45︒，将射线AD 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ，可求出线段AD ，BD ，CD 的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC 绕点B 在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD ，BD ，CD 的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD 长为1，当ABD ∆面积取得最大值时，请直接写AD 的长．【分析】（1）由90BAC ∠=︒，且AB AC =，可得45ACB ABC ∠=∠=︒，由90BAC BDC ∠=∠=︒，推出A 、B 、C 、D 四点共圆，所以45ADB ACB ∠=∠=︒；由题意知EAB DAC ∆≅∆，所以BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，可知ADE ∆是等腰直角三角形，推出2CD DB EB BD DE +=+==；（2）如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90︒交直线l 于点E ．易证()EAB DAC SAS ∆≅∆，则BE CD =，由AE AD =，90EAD ∠=︒，所以ADE ∆是等腰直角三角形，则2DE =，由BD CD BD BE DE -=-=，推出BD CD-=；（3）当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，ABD∆的面积最大．【解答】解：（1）①如图，在图1中．=，，且AB AC∠=︒90BACACB ABC∴∠=∠=︒，45，∠=∠=︒90BAC BDC∴、B、C、D四点共圆，A∴∠=∠=︒；45ADB ACB②由题意可知，90∠=∠=︒，EAD BAC∴∠=∠，EAB DAC又AE AD=，AB AC=，EAB DAC SAS∴∆≅∆，()∴=，BE CD，90AE AD=∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，DE，+=+=CD DB EB BD DE∴+=；CD DB故答案为45︒，CD DB+=；（2）线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD CD-=．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90︒交直线l于点E．则90∠=∠=︒，DAE CAB∴∠=∠，DAC EAB又AD AE=，AC AB=，EAB DAC SAS∴∆≅∆，()∴=，BE CD，90AE AD=∠=︒，EAD∴∆是等腰直角三角形，ADE∴=，2DE，-=-=BD CD BD BE DE∴-=；2BD CD（3）由（2）知，CDA BEA∆≅∆，∴∠=∠，CDA AEB，∠=︒DEA45∴∠=︒-︒=︒，AEB18045135∴∠=∠=︒，135CDA AEB∴∠+∠=︒+︒=︒，13545180CDA ABC∴、B、C、D四点共圆，A于是作A、B、C、D外接圆O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此ABD∆的面积最大．作DG AB ⊥，则DG 平分ADB ∠，DB DA =，在DA 上截取一点H ，使得1CD DH ==，45ADB ACB ∠=∠=︒ ，22.5GDB ∴∠=︒，67.5DBG ∠=︒，67.54522.5DBC ∴∠=︒-︒=︒，4522.522.5HCB DHC HBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，HCB HBC ∴∠=∠，HB CH ∴==，1AD BD DH BH ∴==+=．【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。

专题25 定弦定角(隐圆模型)

隐圆模型---定弦定角【模型专题】隐圆模型－－－－－定弦定角【模型分析】若线段AB的长度及其所对的∠ACB的大小不变，则点C的运动轨迹是以AB为弦的圆．上运动（不与点A、B重合）（1）当∠C＜90°时，点C在如图所示的优弧ACB结论：∠AOB＝2∠C．上运动（不与点A、B重合）（2）当∠C＝90°时，点C在AB结论：弦AB为⊙O的直径．上运动（不与A、B重合）（3）当∠C＜90°时，点C在如图所示的劣弧AB【拓展－－－－定角是特殊角】【1】在△ABP中，A，B均为定点，点P平面内一动点，且∠APB=30°（或∠APB=150°），则点P在以AB 为边构造的等边△ABC（或△ABC′的顶点C（或C′）为圆心的圆上运动．【结论2】如图所示，在△ABP中，A，B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=45°（或∠APB=135°），则点P在以AB为腰构造的等腰直角△ABC（或△ABC′）的顶点C（或C′）为圆心的圆上运动．【结论3】如图所示，在△ABP中，A，B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=60°（或∠APB=120°），则点P在以AB为腰构造的等腰△ABC（或△ABC′）的顶点C（或C′）为圆心的圆上运动．【解题技巧】构造隐圆圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题．定弦定角解决问题的步骤：（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为60°、45°）（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置（4）计算隐形圆的半径（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径【例题】1．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）B．210﹣2C．213﹣2D．4A．32【例题】2．如图，已知四边形ABCD.（1）如图①，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所有点P；（2）如图②，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的所有点P；（3）如图③，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的所有点P【变式】3．在平面直角坐标系中，A(-3，0)，B(3，0)，C(3，4)，点P为任意一点，已知PA⊥PB，则线段PC的最大值为（）A．3B．5C．8D．10【变式】4．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC＝60°，则△DBC 面积的最大值是()A ．33B ．3C ．3D ．23【变式】5．如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（）A ．2B ．π2C ．32D 【变式】6．已知正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 上的动点，且满足BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则PD 的最小值为_________．【变式】7．如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为________【变式】8．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm．D是BC 上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为__．【变式】9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作⊙O，连接BD交⊙O于点E，则AE的最小值为________________．【变式】10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG 长的最小值为_____cm．【变式】11．如图，边长为23的等边△ABC内接于⊙O，D为劣弧BC 上一点，过点B作BE⊥OD于点E，当点D从点B 运动到点C时，求点E经过的路径长．沿劣弧BC谢谢观看。

初中九年级数学教案-定弦定角模型的最值问题-优秀奖

课题：定弦定角模型的最值问题
准
备
教学过程设计
（设计意图：这道题综合性很强，包含三大类型问题：定弦定角问题，双动点最值问题，点圆之间距离最值问题，通过这道题的分析让学生掌握定弦定角模型的最值问题）
教学反思
1、本节课是九年级总复习中的“定弦定角模型的最值问题”专题，综合性很强，通过这道题的分析，让学生了解定弦定角模型，并从中找到隐形圆，这是重点和难点，也是解决这类题的关键入口
2、学生对双动点问题不熟悉，学生可以从这道题当中体验转化的思想把不熟悉的双动点问题转化为我们熟悉的单动点问题最终转化点圆距离问题
3、定弦定角模型有关问题是一个难点，学生们要学会从题目中构造出模型，以后也还要多加练习。

初中数学隐圆的教案

初中数学隐圆的教案教学目标：1. 理解隐圆问题的概念，掌握解决隐圆问题的基本方法；2. 培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力；3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

教学内容：1. 隐圆问题的定义和特点；2. 解决隐圆问题的基本方法；3. 隐圆问题在实际中的应用。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过向学生展示一些生活中的圆形物体，如硬币、篮球等，引导学生关注圆形的特征和性质；2. 教师提出隐圆问题的定义，让学生初步了解隐圆问题。

二、探究隐圆问题的基本方法（15分钟）1. 教师引导学生观察一些隐圆问题，如在三角形中构造一个圆，使得该圆与三角形的三个顶点相切；2. 教师引导学生思考如何解决这个问题，学生可以通过画图、讨论等方式尝试解决这个问题；3. 教师引导学生总结解决隐圆问题的基本方法，如构造辅助线、利用圆的性质等。

三、解决实际问题（15分钟）1. 教师提出一个实际问题，如在一条固定直线上，如何构造一个圆，使得该圆与直线上的两个点相切；2. 教师引导学生应用隐圆问题的解决方法，尝试解决这个问题；3. 教师引导学生总结解决实际问题的方法和步骤。

四、巩固练习（10分钟）1. 教师给出一些隐圆问题的练习题，让学生独立解决；2. 教师引导学生互相交流解题思路和解题方法，共同提高解题能力。

五、总结和反思（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学的内容，让学生明确隐圆问题的定义和解决方法；2. 教师引导学生反思自己在解决隐圆问题时的思考过程和解决问题的能力，鼓励学生积极思考和探索。

教学评价：1. 教师通过课堂讲解、练习和实际问题解决等方式，评价学生对隐圆问题的理解和掌握程度；2. 教师通过学生的课堂表现、练习和总结反思等方式，评价学生的思考能力和解决问题的能力。

教学资源：1. 教师准备一些隐圆问题的图片和实例，用于引导学生观察和思考；2. 教师准备一些隐圆问题的练习题，用于巩固学生所学知识。

微专题22“隐形圆”问题(教学案)

微专题22“隐形圆”问题1．能用探究轨迹的思想挖掘题目中的隐形圆问题．2．能通过圆的几何意义等思想方法解决与圆有关的范围(最值)问题．3．深刻体会“等价转化”、“数形结合”等数学思想方法，能用代数方法处理几何问题．考题导航题组一利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆1．如果圆(x－2a)．2．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围为__________．→＋OB→的1．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝23，则||OA 最大值是________．1．已知圆C：(x－3)，则正数m的取值范围是________．2．已知点A (2，3)，B (6，－3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP →·BP →＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (－1，0)，Q (2，1)，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点P 在直线l 上的射影为H ，则线段QH 的取值范围是________．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是________．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1，0)，B (1，2)． (1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得P A 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．1．已知点M (x ，y )与两个定点O (0，0)，A (3，0)的距离之比为12，那么点M 的坐标满足的关系为_____．2．已知点A (0，1)，B (1，0)，C (t ，0)，D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为________．1．如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A (－5，0)，在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在定点B (不同于点A )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有PBP A为一常数，则满足条件的点B 的坐标为________．冲刺强化训练(22)1．已知点A (－1，0)，B (1，0)，动点M (x ，y )满足MA ＝2MB ，则动点M 的轨迹方程是_________． 2．若圆O 1与圆O 2的半径都是1，O 1O 2＝4，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，过动点P 分别作圆O 1与圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得PM ＝2PN ，则动点P 的轨迹方程是______________．3．已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|P A →＋PB →|的取值范围为____________．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，0)，B (1，0)均在圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP ⊥BP ，则半径r 的值为________．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．6．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ<0)，若点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是________．7．已知点A (－1，0)，B (1，0)，过定点M (0，2)的直线l 上存在点P ，使得P A →·PB →<0，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上的点M 均满足MA 2＋MO 2>10，则实数a 的取值范围是________．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上的两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得P A →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为 ________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC的长的取值范围是________．11．已知定点O (0，0)，M 是圆(x ＋1)2＋y 2＝4上的任意一点，问：是否存在不同于点O 的定点A ，使得MOMA为常数？若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图所示，A ，B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区．为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P ．垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求(A ，B ，P 可看成三个点)：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大)．现估测得A ，B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？。

初中隐圆问题专题教案

初中隐圆问题专题教案1. 知识与技能：（1）理解隐圆问题的概念，认识隐圆问题在初中数学中的重要性；（2）掌握解决隐圆问题的基本方法和技巧；（3）能够运用圆的有关性质和定理解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力；（2）运用数形结合的思想，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生合作交流、解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生克服困难的意志和团队合作的精神；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 隐圆问题的概念及分类2. 隐圆问题的解决方法（1）利用圆的性质解决隐圆问题；（2）利用圆的定理解决隐圆问题；（3）利用数形结合解决隐圆问题。

3. 典型隐圆问题分析（1）三角形内切圆问题；（2）四边形外接圆问题；（3）圆与圆的位置关系问题。

三、教学过程1. 导入新课通过展示一些生活中的隐圆问题，引导学生关注隐圆问题，激发学生的学习兴趣。

2. 自主学习让学生通过阅读教材，理解隐圆问题的概念，了解隐圆问题的分类。

3. 合作交流让学生分组讨论，总结解决隐圆问题的基本方法和技巧。

4. 课堂讲解讲解典型隐圆问题，引导学生运用圆的性质和定理解决问题。

5. 练习巩固布置一些相关的练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。

6. 总结反思让学生总结本节课所学内容，反思自己在解决问题中的不足之处。

四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题的方式、合作交流的能力等。

2. 练习反馈：检查学生在练习中的解答情况，了解学生对知识的掌握程度。

3. 课后总结：收集学生的课后总结，了解学生的学习效果和反思情况。

五、教学资源1. 教材：初中数学教材相关章节；2. 课件：隐圆问题相关的课件；3. 练习题：隐圆问题相关的练习题；4. 生活中的隐圆问题案例：例如自行车轮胎、篮球等。

六、教学建议1. 注重引导学生观察、分析、归纳，培养学生的逻辑思维能力；2. 注重培养学生的数形结合思想，提高学生解决问题的能力；3. 鼓励学生合作交流，培养学生的团队合作精神；4. 关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在课堂上得到锻炼和提高。

“隐圆问题”

“隐圆问题”“隐圆问题”是中考常考的一部分内容。

这部分重点是要把题目中隐藏的圆给找出来。

只要“隐圆”一出，所有的问题就迎刃而解。

01【理论准备】一：定弦定角根据圆心角和圆周角的大小关系可以确定圆心的位置，以及半径的大小二：动点到定点距离为定长当OA=OB=OC时候，则点A在以OA为半径，O为圆心的圆上三：直角所对的是直径若线段AB固定，且∠ACB=90°，则点C在以AB为直径的圆上四：四点共圆可知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8。

△ABE∽△DCE,△ADE∽△BCE02【例题精讲】类型一：定弦定角1.如图，∠MON= 45°，线段AB=10，且A,B 分别在OM、ON 上移动，那么点O到AB的距离的最大值为__________．3.如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为__________类型二：动点到定点距离为定长1.如图，长2米的梯子AB竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子AB的中点P的移动轨迹长度为？2.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为？类型三：直角所对的是直径1.如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE = DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________．2.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且始终有AP⊥BP，则线段CP长的最小值为_________类型四：四点共圆1.如图，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AF与BD交于N，AE与BD交于M，连接MF、NE，求证△ANE、△AMF是等腰直角三角形.2.如图，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，P D⊥BC，PE⊥AC，则DE的最小值为？03【总结】隐圆问题经常涉及和最值问题联系在一起。

专题02 巧用隐圆(模型讲解)

CABCAB DABC C O A DB MQ OAP CO AD BCABDCABP专题02 巧用隐圆隐圆一:定弦定角 AB 的长度固定不变（定弦），∠ABC=α不变（定角）。

这样的图形就是我们所谓的“定弦定角模型”。

隐圆一特殊:若∠ACB=90°，则AB 为三点所在圆的直径。

（可以解决动点轨迹。

）隐圆二:等弦对等角(可以利用四点共圆证相似,角相等)若∠ADC=∠ABC ，则A,B,C,D 四点共圆。

在半角模型中,证四点共圆,主要利用了这类隐圆.隐圆二特殊.若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D 四点共圆，且AC 为直径。

隐圆三:对角互补的四边形,四点共圆.若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D 四点共圆。

隐圆三特殊:若∠ABC=∠ADC=90°，则A,B,C,D 四点共圆，且AC为直径。

隐圆四：定点定长 CA=CB=CP隐圆五、瓜豆原理之种圆得圆。

若Q 为AP 的中点，当P 沿⊙O 运动一周，则Q 的运动轨迹为以 AO 中点M 为圆心的圆。

（P 为“主动点”，点Q 为“从动点。

）实例讲解一:(包含以上多种模型)已知在正方形ABCD 中，∠MAN =45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。

从图中找出3组四点共圆及一组5点共圆。

详解: 由题意可得：∠BDF=∠FHE=45°（等弦对等角） ⇒点A,M,F,D 四点共圆。

⇒∠AMF=90° ∠HFM=45°同理，可得点A,B,E,N 四点共圆。

∠ANE=90°,∠NEH=45° ∠NEH=∠HFM⇒点M,E,F,N 四点共圆。

∠FME=∠ECF=∠FME=90° ⇒点N,F,C,E,M 五点共圆。

图如右:实例讲解二：如图，点P（3,4），圆P半径为2，A（2.8,0），B（5.6,0），点M是圆P上的动点，点C是MB 的中点，则AC的最小值是_______．【分析】M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．考虑C是BM中点，可知C点轨迹：取BP中点O，以O为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹．当A、C、O三点共线且点C在线段OA上时，AC取到最小值，根据B、P坐标求O，利用两点间距离公式求得OA，再减去OC即可．。

(隐)“圆”来如此----微课程设计方案

微课程设计方案主题：陕西省近几年考查的涉及隐圆求最值的问题，这类型题目中明明没有圆，却要用圆的知识来解决。

因此，解决问题的关键是找到隐藏的圆。

教学目标：1.介绍隐圆产生的历史背景；常见的基本模型；应储备的知识点。

2.如何已知定点定长求最值。

3.培养学生用动态的观点思考问题的能力，同时渗透建模思想。

教学对象：九年级面临中考的学生教学流程与内容设计：第一环节（导课）：大家好！本节微课与大家交流陕西省近几年考查的涉及隐圆求最值的问题。

这类型题目中明明没有圆，却要用圆的知识来解决。

因此，解决问题的关键是找到隐藏的圆。

第二环节（正文讲解）：第一部分内容：介绍常见的五种基本模型：1、定点定长；2、定边定角；3、定高定角；4、张角最大；5 四点共圆。

第二部分内容：1、介绍定点定长问题中涉及的基本模型图形（利用几何画板演示）；2、要求应储备的知识点：（1）直径是圆内最长的弦；（2）点圆最值；（3）线圆最值。

（利用几何画板分别演示）第三部分内容：讲授定点定长问题的解题思路：1、明确原型；2、介绍常见题型；3、范例讲解（利用几何画板演示）第三环节（总结）：通过本节课的交流，我们会发现涉及隐圆求最值的问题，解决问题的关键是掌握基本模型（如本节定点定长问题-----定点定长走圆周），找到隐藏的圆；同时要明确这一模型下用到的知识储备。

这样你就会发现：只要“圆”形毕露，定能手到擒来！你也才会有“圆”来如此的感悟！实施思路：首先，通过引课让学生知道本节微课的知识点不是教材中的具体内容，而是基于陕西省近几年中考最值问题的考查而确定的。

其次，利用几何画板直观演示，使得对于大多数学生而言遥不可及的最值问题不再令人畏惧。

因为这个演示的过程把动态的问题直观化、具体化、形象化，它在一定程度上降低了理解的难度；同时加之理论储备的支撑，使大家知其然更知其所以然。

最后，通过简要的总结让学生明确解决这类型问题的关键是找到隐藏的圆，这样就会发现：只要“圆”形毕露，定能手到擒来！。

初中数学隐圆模型教案

初中数学隐圆模型教案教学目标：1. 了解隐圆模型的概念及其在几何中的应用。

2. 学会通过观察和分析图形，识别隐圆模型并运用相关知识解决问题。

3. 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 隐圆模型的概念及识别。

2. 隐圆模型在几何问题中的应用。

教学难点：1. 隐圆模型的识别。

2. 灵活运用隐圆模型解决实际问题。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 相关例题和练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍隐圆模型的概念，引导学生思考在日常生活中是否遇到过类似的现象。

2. 展示一些隐圆模型的图片，让学生观察并尝试解释。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解隐圆模型的定义和特点，引导学生通过观察和分析图形，识别隐圆模型。

2. 讲解隐圆模型在几何中的应用，如动点定长模型、定弦定角模型等。

3. 通过示例题目，讲解如何运用隐圆模型解决问题，引导学生掌握解题思路和方法。

三、课堂练习（15分钟）1. 提供一些有关隐圆模型的练习题，让学生独立解答。

2. 引导学生相互讨论，共同解决问题，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

四、总结与拓展（10分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调隐圆模型的识别和应用。

2. 提供一些拓展题目，引导学生课后思考和探究，提高学生的学习能力。

教学反思：本节课通过引入隐圆模型的概念，让学生了解和认识隐圆模型在几何中的应用。

通过讲解和练习，让学生掌握隐圆模型的识别和解题方法。

在教学过程中，要注意引导学生观察和分析图形，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

同时，要鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的合作意识和解决问题的能力。

初中隐圆教案

初中隐圆教案教案标题：初中隐圆教案教案目标：1. 了解隐圆的定义和性质。

2. 掌握隐圆的方程与图像的关系。

3. 能够根据给定的隐圆方程，确定其图像的特征。

4. 运用隐圆的性质解决相关的几何问题。

教学步骤：引入活动：1. 利用幻灯片或实物示例引起学生对隐圆的兴趣，让学生观察并描述不同形状的圆。

2. 提出问题：如何确定一个圆的方程？引导学生思考。

知识讲解：3. 介绍隐圆的定义：在平面直角坐标系中，满足方程x^2 + y^2 + Dx + Ey + F= 0的点的集合为隐圆。

4. 解释隐圆方程中各项的含义，并与标准圆方程进行比较。

5. 讲解隐圆的图像特征：圆心坐标为(-D/2, -E/2)，半径为√(D^2 + E^2 - 4F)/2。

示例演练：6. 给出一些隐圆方程的示例，引导学生根据方程确定圆心和半径，并绘制出相应的图像。

7. 引导学生观察不同形式的隐圆方程，分析其图像特征，如圆心位置、半径大小等。

综合应用：8. 提供一些综合应用题，要求学生根据给定的隐圆方程解决几何问题，如求两个隐圆的交点坐标、判断直线与隐圆的位置关系等。

9. 引导学生运用隐圆的性质解决实际问题，如在平面地图上确定两个地点之间的最短路径等。

拓展延伸：10. 鼓励学生自主学习更多关于隐圆的性质和应用，如椭圆、双曲线等。

11. 提供一些拓展问题，让学生进行思考和探究，如如何确定一个点是否在给定的隐圆上等。

总结回顾：12. 总结隐圆的定义、性质和图像特征，并与学生一起回顾所学内容。

13. 检查学生对隐圆的理解情况，解答他们可能存在的疑问。

教学资源：- 幻灯片或实物示例- 教科书或教学参考资料- 练习题和答案- 计算器（可选）评估方式：- 练习题的完成情况和答案的准确性。

- 学生对隐圆相关问题的解决能力和思维能力的展示。

教学反思：在教学过程中，要注重引导学生思考和发现，激发他们的学习兴趣。

通过示例演练和综合应用，帮助学生将所学知识运用到实际问题中，培养他们的问题解决能力和创新思维。

初中数学隐圆教学设计博客

初中数学隐圆教学设计博客一、引言隐圆作为初中数学中的重要内容之一，是学生在初中数学学习过程中比较难以理解和掌握的知识点之一。

因此，合理的教学设计对于学生的学习效果起着至关重要的作用。

本文将从教学目标、教学内容、教学方法、教学评价等方面，对初中数学隐圆教学进行设计，旨在提高学生对隐圆的理解和应用能力。

二、教学目标1. 知识目标：通过隐圆教学，使学生掌握隐圆的定义、性质和基本判定方法，能够正确应用隐圆解决与其相关的数学问题。

2. 能力目标：通过隐圆的学习和实践，培养学生的观察力、逻辑思维能力和问题解决能力。

3. 过程目标：通过合作学习和讨论，培养学生的有效沟通和团队合作能力。

三、教学内容1. 隐圆的定义：明确隐圆的定义，让学生了解到隐圆是一个具有特定性质的曲线。

2. 隐圆的性质：介绍隐圆的基本性质，如离心率、直径、焦点等，并通过示例让学生理解和记忆。

3. 隐圆的判定方法：介绍隐圆的判定方法，如利用圆锥曲线定义的判定方法和利用方程判定方法等。

4. 隐圆的应用：通过具体的问题例题，让学生了解隐圆在实际生活中的应用，如车轮、建筑物等。

四、教学方法1. 探究式学习：为了激发学生对隐圆的兴趣，教师可以设计一些探究性的问题，引导学生通过观察和实践来发现隐圆的性质和判定方法。

2. 合作学习：通过小组合作学习，让学生相互讨论和交流，提高学习效果，培养团队合作能力。

3. 案例分析：通过实际问题的案例分析，加深学生对隐圆的应用认识，培养学生解决实际问题的能力。

4. 归纳总结：在教学过程中，及时归纳总结隐圆的定义、性质和判定方法，帮助学生理清思路，加深记忆。

五、教学评价1. 课堂表现评价：通过观察学生的课堂表现，包括主动参与、提问和回答问题的能力等，评价学生的学习积极性和主动性。

2. 作业评价：布置相应的练习作业，包括选择题、解答题等形式，评价学生的掌握程度和应用能力。

3. 项目评价：设计一些有挑战性的项目，让学生在实践中运用隐圆的知识解决问题，并评价学生的创新能力和解决问题的能力。

定角定弦隐圆

定角定弦隐圆
我们经常会碰到以上这些词，怎么区分呢？
1、“定边定角”(此处特指定边对定角)：
在△ABC中，BC＝m（定长），∠A＝α（定角）。

对△ABC作确定性分析，一个角一个边无法确定三角形，那么如果固定BC，A点是怎么动的就是研究这个三角形的主要课题之一。

2、“定弦定角”：
在圆中，弦长BC＝m（定长），弦BC所对的圆周角∠A＝α（定角）。

对于圆作确定性分析，圆周角确定，则同弧所对的圆心角确定，令圆心为O，则会得到确定的等腰三角形OBC，从而可以求出半径，得到了“定圆”，所以可以研究圆中的所有元素。

3、“定圆定角”：
在圆O中，半径OC＝r（定长），圆周角∠A＝α（定角）。

圆是确定的，圆周角是确定的，所以同弧所对的圆心角是确定的，则会得到确定的等腰三角形OBC，从而可以求出弦BC的长，也可以研究圆中的所有元素。

4、“定圆定弦”
在圆O中，半径OC＝r（定长），弦长BC＝m（定长）。

这个结构更加简单，圆是确定的，一条弦是确定的，所以这条弦和两条半径组成的三角是确定的，则弦所对的圆心角是确定的。

当然可以继续研究这条弦所对的两个圆周角。

从本质上讲，上面四个名词，其实是“正弦定理”的不同表现形式。

综上所述，我们知道了题目中四个名词的基本意思。

下一次，我们将根据这四个名词来讨论不同的命题方向。

定弦定角初中数学教案模板

教学对象：初中生教学目标：1. 知识与技能：理解定弦定角的概念，掌握定弦定角的基本性质和运用方法。

2. 过程与方法：通过观察、操作、探究等活动，培养学生分析问题和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习几何知识的兴趣，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

教学重难点：1. 教学重点：定弦定角的概念、基本性质和运用方法。

2. 教学难点：定弦定角的应用，解决实际问题。

教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题3. 教学模型或实物教学过程：一、导入1. 复习圆的基本概念，如圆心、半径、直径等。

2. 引入定弦定角的概念，提出问题：如果一条线段的两个端点和该线段外一动点构成的角（动点是动角的顶点）不随点的运动而变化，即该动角的度数恒定不变，这种情况下，这条线段和动点有什么关系？二、新课讲解1. 定义定弦定角：一条线段的两个端点和该线段外一动点构成的角（动点是动角的顶点）不随点的运动而变化，即该动角的度数恒定不变，这种情况下，这条线段称为定弦，该动角称为动角。

2. 讲解定弦定角的基本性质：（1）直径所对的圆周角是直角；（2）90°的圆周角所对的弦是直径；（3）在圆内，定弦定角所对的圆周角恒为定值；（4）定弦定角所对的圆周角所对的弦的长度恒定。

3. 讲解定弦定角的应用：（1）解决几何证明题；（2）解决几何计算题；（3）解决实际问题。

三、课堂练习1. 给出一些定弦定角的例题，让学生独立完成。

2. 学生完成练习后，教师进行点评和讲解。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调定弦定角的概念、基本性质和运用方法。

2. 提出课后作业，让学生巩固所学知识。

五、课后作业1. 完成课后习题，巩固定弦定角的相关知识。

2. 选择一些实际问题进行探究，提高解决实际问题的能力。

教学反思：本节课通过引入定弦定角的概念，讲解了其基本性质和运用方法，让学生掌握了定弦定角的相关知识。

在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的思维能力。

《隐圆问题》公开课学案

隐圆问题[教学目标]通过分析、转化，发现圆、求解圆，从而最终应用圆的知识来求解一类“隐圆”问题。

[教学重点]探求动点轨迹，发现圆，并进一步转化为圆的相关问题[教学难点]如何发现“隐圆”，化“隐圆”为“显圆”[知识梳理]1.圆的定义：__________________________________.2.圆的方程：（1）标准方程 __________________________________.（2）一般方程 __________________________________.3.直线与圆的位置关系：几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：_________⇔相交； _________⇔相切； _________⇔相离．4.圆与圆的位置关系：设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).[前置作业] 1.从圆1:22=+y x O 外一点P 向圆引两条切线,切点分别是A 、B ,使得∠APB ＝60°,则点P 的轨迹方程为 .2.已知点(0,0),(0,2)O A ，点P 满足PA PO ⊥，求点P 的轨迹方程.3.已知点(0,0),(0,2)O A ，点P 满足2210PO PA +=，求点P 的轨迹方程.4.已知点()(2,3),B 6,3A -，点P 满足4AP BP ⋅=-，求点P 的轨迹方程.5.已知点P(,)x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，求点P 的轨迹方程.6.已知点Q 在圆()22:11C x y +-=上运动，点P 满足2OP OQ =，求点P 的轨迹方程.[归纳小结]圆的定义的五种形式：1.平面内，到定点距离等于定长的点的集合；2.平面内，到两定点张角等于90︒的点的集合；3.平面内，到两定点距离的平方和等于定值的点的集合；4.平面内，到两定点的向量的数量积等于定值的点的集合；5.平面内，到两定点的距离之比等于定值的点的集合。

隐圆的应用教案

隐圆的应用教案教案标题：隐圆的应用教案教学目标：1. 了解隐圆的定义和特征；2. 掌握隐圆的方程及其应用；3. 能够解决与隐圆相关的问题。

教学内容：1. 隐圆的定义和特征；2. 隐圆的方程及其应用；3. 解决与隐圆相关的问题。

教学步骤：引入活动：1. 引导学生回顾圆的定义和特征，了解圆的方程形式；2. 提出问题：是否所有圆都可以用标准方程表示？引出隐圆的概念。

知识讲解：1. 介绍隐圆的定义和特征，即平面上所有满足一定方程的点构成的集合；2. 解释隐圆的方程形式：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0；3. 解释方程中各项的含义，如A、B、C、D和E分别代表什么；4. 举例说明如何根据已知条件确定隐圆的方程。

示例演练：1. 给出几个隐圆的方程，要求学生画出对应的圆；2. 给出几个圆，要求学生写出对应的隐圆方程。

拓展应用：1. 引导学生思考隐圆在实际问题中的应用，如在几何建模、物理学和工程领域中的应用；2. 提供一些实际问题，要求学生分析并解决问题，涉及隐圆的方程和特性。

总结归纳：1. 总结隐圆的定义、特征和方程形式；2. 强调隐圆在实际应用中的重要性和灵活性；3. 激发学生对数学应用的兴趣和思考能力。

作业布置：1. 布置练习题，要求学生进一步巩固隐圆的概念和应用；2. 鼓励学生自主寻找更多关于隐圆的实际应用，并进行小组分享。

教学评价：1. 观察学生在课堂上的积极参与程度；2. 收集学生完成的练习题，检查他们对隐圆的掌握程度；3. 对学生的小组分享进行评价，评估他们对隐圆应用的理解和表达能力。

教学资源：1. 教科书和课堂教具；2. 隐圆的实例和练习题；3. 多媒体设备，用于展示隐圆的图像和应用案例。

教学反思：根据学生的实际情况和反馈，适时调整教学内容和方式，确保学生能够全面理解隐圆的概念和应用，并能够灵活运用于实际问题中。